Teoría de la Complejidad Computacional. Tema 2: Modelos de Computación Máquinas de Turing

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Teor´ıa de la Complejidad Computacional

Tema 2: Modelos de Computaci´ on M´ aquinas de Turing

Mario de J. P´erez Jim´enez

Grupo de Investigación en Computación Natural Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial

Universidad de Sevilla

[email protected] http://www.cs.us.es/~marper/

M´aster Universitario en Matem´aticas Curso 2020-2021

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´Indice

∗ Alan Turing.

∗ M´aquinas de Turingdeterministas.

• Sintaxis y Sem´antica.

• MTDs de decisi´on.

• MTDs que resuelven problemas de decisi´on.

• MTDs que calculan funciones.

∗ M´aquinas de Turing deterministascon k cintas.

∗ M´aquinas de Turingno deterministas.

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Modelos de computaci´ on

Formalizaci´on del concepto de procedimiento mec´anico.

? Sintaxis.

? Sem´antica.

En un modelo de computaci´on se define:

? Procedimiento mec´anico.

? Funciones computables.

? M´aquinas.

De ahi que existan modelos de computaci´on “orientados” a:

• Programas(Modelo GOTO, modelo WHILE, etc.)

• Funciones(Funciones recursivas, λ-calculables, etc.)

• M´aquinas(M´aquinas de Turing, de Post, URM, etc.)

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Alan Turing (1912-1954)

? Naci´o el 23 de junio de 1912 en una zona residencial de Londres (Maida Vale).

? Pionero en la introducci´on de modelos de computaci´on (mayo de 1936).

? Tesis doctoral: Systems of logic based on ordinals(mayo de 1938, dirigida por A. Church).

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? Al d´ıa siguiente de la entrada de Gran Breta˜na en la Segunda Guerra Mundial, fue “reclutado” en Bletchley Park (septiembre de 1939), donde se encontraba el Servicio Brit´anico de Descifrado.

? Papel decisivo en esa guerra, descifrando información codificada por los alemanes (para transmitir órdenes a sus naves que operaban en el Atlántico).

? Los alemanes codificaban la informaci´on usando la m´aquinaEnigma.

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? A finales de 1939, A. Turing diseñó una máquinaelectromecánicade propósi- to espec´ıfico: la máquinaBombe(mejorando una máquina desarrollada en 1938 por investigadores polacos).

? Se estima que la aportación de A. Turing propició que la guerra finalizara unos dos años antes, evitando la muerte de varios millones de personas.

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En 1950, A. Turing formuló una pregunta muy interesante: Can machines think?¹ Para responder a esta cuestión formuló ésta otra preguntaAre there imaginable digital computers which would do well inthe imitation game?

? Conocido comotest de Turing.

? Eugene Goostman es una aplicación software capaz de mantener una conver- sación. Se considera la primera “máquina” que superó el test de Turing (en un polémico evento celebrado en 2014 por K. Warwick).

A. Turing es el pionero de una de las disciplinas cient´ıficas m´as relevante en la actualidad: laInteligencia Artificial.

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A partir de 1952, A.Turing se centr´o en el estudio de lateor´ıa de patrones, aplicada al mecanismo de desarrollo de la formamorfog´enesis².

A. Turing conjeturó la existencia depatrones regularesen el sistema biológico animal, a la hora de implementar la morfogénesis.

2A. Turing. The Chemical Basis of Morphogenesis.Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences, Vol. 237, No 641. (Aug. 14, 1952), pp. 37-72.

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? Las c´elulas se organizan entre ellas para crear las diferentes estructuras y formas en los animales.

? Las estructuras resultantes son consecuencia de ladifusi´onde mol´eculas por el espacio y lasreaccionesqu´ımicas que se produce entre ellas.

? La combinación de los procesos de difusión/reacción produce la creación de patrones periódicos, en lugar de homogéneos.

? La pigmentaci´on de los animales (i.e. las rayas que aparecen regularmente en ciertos animales) eran causadas por un par de sustancias qu´ımicas (morf´ogenos) que trabajaban, a la vez, como activadores e inhibidores.

? Esta conjetura fue corroborada experimentalmente, en 2012, por unos investigadores del King’s College, en Cambridge.

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A. Turing era homosexual, fue juzgado por ello, y condenado porgross indecency (1952). Aceptó la castración qu´ımica para evitar la entrada en prisión.

Elfinal: 7 de junio de 1954 (presunto suicidio, al haber mordido una manzana rociada de cianuro).

Su rehabilitaci´on p´ublica se produjo el d´ıa de Nochebuena de 2013.

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M´ aquina de Turing determinista: Sintaxis

Es una tupla, M = (Q, Σ, q0, F , B, ., δ):

• Q es un alfabeto finito (estados).

• Σ es un alfabeto finito (de trabajo de la m´aquina) tal que Σ ∩ Q = ∅.

• q0∈ Q (estado inicial).

• F = {qh, qy, qn} ⊆ Q − {q0} (estados finales, todos distintos entre s´ı).

• B ∈ Σ (s´ımbolo blanco).

• . ∈ Σ (primer s´ımbolo) verificando que . 6= B.

• δ es una aplicación (función de transición) de (Q − F ) × Σ en Q × Σ × {L, R, S } tal que:

? Si δ(q, .) = (q⁰, s⁰, x ) entonces s⁰= . ∧ x = R.

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Informalmente, una m´aquina de Turing determinista M consta de:

∗ Unacinta infinita: celdas/casillas enumeradas, con primera casilla.

∗ Unaunidad de controlcon uncabezal lector/escritor.

s s s s s s s s s s

s₁ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11BB B B B B B B B B Unidad de Control

q

∗ En un instante determinado:

? Cada celda contiene un s´ımbolo del alfabeto de trabajo (el s´ımbolo de la primera celda es .).

? El cabezal inspecciona el contenido de una celda (lee), lo sustituye por un s´ımbolo (escribe), y se desplaza a lo largo de la cinta (una celda a la iz- quierda, si x =L, una a la derecha, si x =R, o se queda en el mismo si- tio, si x =S)

? La m´aquina se encuentra en unestadode Q.

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Funci´on de transici´on, δ:

¿Qu´e significa que la m´aquina M ejecuteδ(q, s) en un cierto instante?

∗ Si δ(q, s) = (q⁰, s⁰, x ) entonces la m´aquina M:

? Pasa del estadoqal estadoq⁰.

? Sustituye el s´ımbolospor el s´ımbolos⁰.

? El cabezal se desplaza seg´un el valor de x ∈ {L, R, S}.

∗ La condici´on δ(q, .) = (q⁰, s⁰, x ) ⇒ s⁰= . ∧x = Rsignifica lo siguiente:

? si el cabezal est´a inspeccionando la primera celda, entonces el s´ımbolo . no se modificay el cabezal se desplazar´a una celda a la derecha.

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M´ aquina de Turing determinista: Sem´ antica

Unaconfiguración(descripción instantánea) de una MTD, M, en un instante t es una terna ordenada (q,w,u) tal que q ∈ Q, w ∈ Σ^∗y u ∈ Σ^∗.

Una configuraci´on (q,w,u) de una m´aquina MTD, M, en un instante t,puede ser interpretadacomo sigue:

? q es el estado de la m´aquina M en el instante t.

? . w u es la palabra escrita en la cinta de la m´aquina M, en ese instante (el resto de s´ımbolos de la cinta ser´an todos iguales al blanco B).

? Si w no es la cadena vac´ıa, el cabezal de la m´aquina M estar´aleyendoel

´

ultimo s´ımbolo de w , en ese instante.. Caso contrario, estar´a leyendo el s´ımbolo . de la primera casilla.

u Gen´ericamente escribiremos: Ct= (q, w1. . . wr −1

w↓r

| {z }

,z }| { u1u2. . . us).

w

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M´ aquina de Turing determinista: Sem´ antica

Configuraci´on Ct=(q, w, u)de una MTD en un instante t.

s s s s s s s s s s

s₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₁₀ ₁₁ BB B B B B B B B B Unidad de Control

q

w u

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M´ aquina de Turing determinista: Sem´ antica

Tiposinteresantes de configuraciones.

SeaCt=(q, w, u)una configuraci´on de una MTD en un instante t:

∗ Ctes laconfiguraci´on inicialasociada al dato de entrada u, si q = q0, w es la cadena vac´ıa λ y u ∈ (Σ − {B})^∗. NotaremosCt= Iu.

∗ Ctes unaconfiguraci´on de parada, si q ∈ F .

∗ Ctes unaconfiguraci´on de aceptaci´on, si q = qy.

∗ Ctes unaconfiguraci´on de rechazo, si q = qn.

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M´ aquina de Turing determinista: Sem´ antica

u SeaCt= (q, w1. . . wr −1

w↓r

| {z }

,z }| {

u1u2. . . us) una configuraci´on de una MTD, en un w

instante t, tal queno sea de parada.

Laconfiguración siguiente,Ct+1, deCtse obtiene aplicando la función de transición δ al par ordenado (q, wr).

∗ Caso 1: δ(q, wr) = (q⁰, w_r⁰, L)

En este caso,Ct+1= (q⁰, w1· · ·wr −1^↓

| {z }

,

z }| {

w_r⁰u1u2. . . us).

∗ Caso 2: δ(q, wr) = (q⁰, w_r⁰, R)

En este caso,Ct+1= (q⁰, w1. . . wr −1w_r⁰u^↓1

| {z }

,z }| { u2. . . us).

∗ Caso 3: δ(q, wr) = (q⁰, w_r⁰, S) En este caso,Ct+1= (q⁰, w1. . . wr −1

↓

w⁰_r

| {z }

,z }| { u1u2. . . us).

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M´ aquina de Turing determinista: Sem´ antica

Computaci´onC de una MTD, M: sucesi´on (finita o infinita) de configuraciones (C0, C1, . . . , Cr), r ∈ N ∪ {∞}, tal que:

∗ C0es una configuraci´on inicial (asociada a un dato de entrada u ∈ (Σ − {B})^∗).

∗ Para cada t < r , la configuraci´on Ct+1es la configuraci´on siguiente de Ct.

Lacomputaci´onC esde paradasi

• r ∈ N y la ´ultima configuraci´on Cr es (q, λ, u⁰), siendo q ∈ {qy, qn, q_h) y u⁰∈ (Σ − {B})^∗.

? Si q = qy, diremos que Maceptau y escribiremos M(u) = yes.

? Si q = qn, diremos que Mrechazau y escribiremos M(u) = no.

? Si q = qh, diremos que elresultadode la computaci´on es la cadena u⁰∈ (Σ − {B})^∗y escribiremos M(u) = u⁰.

Si la computaci´on C es de parada, diremos que Mpara sobre u(M(u) ↓).

Si la computaci´on C no es de parada, diremos que Mnopara sobre u(M(u) ↑).

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MTD de decisi´ on

UnaMTDes dedecisi´onsi sus estados finales son qy y qn. Sea L un lenguaje sobre el alfabeto Σ − {B}.

Si M es una MTD de decisi´on, diremos que:

? M decide el lenguaje L siipara cada u ∈ (Σ − {B})^∗se verifica:

• Si u ∈ L, entonces M(u) = yes; es decir, si el estado de la configuracion de parada es qy.

• Si u /∈ L, entonces M(u) = no; es decir, si el estado de la configuracion de parada es qn.

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Ejemplo de una MTD de decisi´ on

Q = {q0, q1, q2, q⁰₁, q₂⁰, q3,qy,qn}; Σ = {0, 1, B, .}

(Q − F ) × Σ Q × Σ × {L, R, S}

(q₀, 0) (q₁, ., R) (q₀, 1) (q₂, ., R) (q₀, B) (q_y, B, S) (q0, .) (q0, ., R) (q1, 0) (q1, 0, R) (q₁, 1) (q₁, 1, R) (q₁, B) (q₁⁰, B, L) (q₂, 0) (q₂, 0, R) (q₂, 1) (q₂, 1, R) (q₂, B) (q₂⁰, B, L) (q⁰₁, 0) (q₃, B, L) (q⁰₁, 1) (q_n, 1, S) (q⁰₁, .) (q_y, B, R) (q⁰₂, 0) (qn, 1, S) (q⁰₂, 1) (q₃, B, R) (q⁰₂, .) (qy, ., R) (q₃, 0) (q₃, 0, L) (q₃, 1) (q₃, 1, L) (q₃, .) (q₀, ., R)

Funci´on de transici´on:

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Diagrama de una MTD de decisi´ on

q0 q1

q2

q₁⁰ q₂⁰

q3

qy

qn

0/.; R

1/.;R

B/B; S

./.; R

0/0; R

1/1; R B/B; L 0/0; R

1/1; R

B/B; L

0/B;

L

1/1;

S

./B;R

0/1;

S

1/B;

./.;R L

0/0;

1/1; L L

./.; R

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MTD que calcula una funci´ on

Sea f unafunci´onparcial f de (Σ − {B})^∗en Σ^∗

Diremos que unaMTD, M,calculalafunci´onf si se verifican las condiciones siguientes:

? El ´unico estado final de M es qh.

? Para cada u ∈ (Σ − {B})^∗ se tiene que:

∗ La m´aquina M con dato de entrada u parasiiu ∈ dom(f ).

∗ Si la m´aquina M con dato de entrada u para entonces M(u) = f (u).

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Ejemplo de una MTD que calcula una funci´ on

Un ejemplo: Q = {q0, q1,qh}; Σ = {0, 1, B, .}

(Q − F ) × Σ Q × Σ × {L, R, S}

(q₀, 0) (q₀, 0, R) (q₀, 1) (q₀, 1, R) (q₀, B) (q₁, B, L) (q₀, .) (q₀, ., R) (q₁, 0) (q_h, 1, S) (q₁, 1) (q₁, 0, L) (q1, B) (q1, B, S) (q1, .) (q_h, ., R)

Funci´on de transici´on:

Hallemos M(01)

1.^q. 0 1 B.⁰ 5. . 0 ^q1 B.¹ 2. . ^q0 1 B.⁰ 6. . ^q0 0 B.¹ 3. . 0 ^q1 B.⁰ 7. . ^q1 0 B.^h 4. . 0 1 B.^q⁰

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MTD’s que resuelven problemas

¿C´omoresolver un problemaX ?

∗ Sea X un problema de decisi´on.

? UnaMTD resuelve X siidecideel lenguaje asociado a X .

∗ Sea X un problema caracterizado por una funci´on total fX : LX → Σ^∗.

? UnaMTD resuelve X siicalculala funci´on fX.

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M´ aquina de Turing determinista con k cintas

? En cada instante, la m´aquina est´a enun estado.

? Consta de k cintas, infinitas a la derecha con primera celda/casilla.

? Cada cinta tiene un cabezal lector/escritor que en cada instante:

• Analiza una celda/casilla.

• Puede reescribir sobre la celda/casilla.

• Puede cambiar de estado (el mismo en todas las celdas).

• Se puede desplazar (L, R, S ) sobre la cinta.

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(27)

M´ aquina de Turing determinista con k cintas

Para realizar una computaci´on con entrada u ∈ (Σ − {B})^∗:

• Se registra la entrada u ∈ (Σ − {B})^∗en la primera cinta.

• Las restantes cintas est´an en blanco.

• Inicialmente, todos los cabezales inspeccionan la primera celda.

• Inicialmente, la m´aquina est´a en el estado q0.

• La función de transiciónactúa, simultáneamente, sobre cada cinta.

δ(q, w⁽¹⁾, . . . , w^(k)) = (q⁰, w⁰⁽¹⁾, x⁽¹⁾, . . . , w^0(k), x^(k)) En donde x⁽¹⁾, . . . , x^(k)∈ {L, R, S}.

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M´ aquina de Turing determinista con k cintas

El resultado de una computaci´on de parada es:

∗ yes, si el estado de la configuraci´on de parada es qy.

∗ no, si el estado de la configuraci´on de parada es qn.

∗ El contenido de la primera cinta si el estado de la configuraci´on de parada es qh.

Teorema : Para cada MTD, M, con k cintas existe una MTD, M⁰, con una cinta tal que M(w ) = M⁰(w ), para cada dato de entrada w .

¿Qu´epeaje se ha de pagarpara “pasar” de una MTD con k cintas a una MTD con una s´ola cinta que sea “equivalente” a ella?

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M´ aquina de Turing no determinista

Es una tupla, M = (Q, Σ, q0, F , B, ., δ), en donde:

• Q es un alfabeto finito (estados).

• Σ es un alfabeto finito (de trabajo de la m´aquina) tal que Q ∩ Σ = ∅.

• q0∈ Q (estado inicial).

• F = {qh, qy, qn} ⊆ Q − {q0} (estados finales, todos distintos entre s´ı).

• B ∈ Σ (s´ımbolo blanco).

• . ∈ Σ (primer s´ımbolo), . 6= B.

• δ es una aplicación (función de transición) de (Q − F ) × Σ en P(Q × Σ × {L, R, S }) tal que:

? Si (q⁰, s⁰, x ) ∈ δ(q, .) entonces s⁰= . ∧ x = R.

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MTD versus MTND

Es una tupla M = (Q, Σ, q0, F , B, ., δ):

M´aquina de Turing determinista M´aquina de Turingnodeterminista

?Q es un conjunto finito no vac´ıo (estados).

?Σ es un alfabeto (de la m´aquina), Σ ∩ Q = ∅.

?q₀∈ Q (estado inicial).

?F = {q_h, q_y, q_n} ⊆ Q − {q₀} (estados finales).

?B ∈ Σ (s´ımbolo blanco).

?. ∈ Σ (primer s´ımbolo), . 6= B.

• δ : (Q − F ) × Σ →Q × Σ × {L, R, S}

?Q es un conjunto finito no vac´ıo (estados).

?Σ es un alfabeto (de la m´aquina), Q ∩ Σ = ∅.

?q₀∈ Q (estado inicial).

?F = {q_h, q_y, q_n} ⊆ Q − {q₀} (estados finales).

?B ∈ Σ (s´ımbolo blanco).

?. ∈ Σ (primer s´ımbolo), . 6= B.

• δ : (Q − F ) × Σ →P(Q × Σ × {L, R, S})

Por ejemplo: en una MTD podr´ıa ser δ(q, s) = (q1, s1, L), mientras que en una MTND podr´ıa ser δ(q, s) = {(q1, s1, S), (q2, s2, R), (q3, s3, L), (q4, s4, }

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M´ aquina de Turing no determinista

Para MTNDs, los conceptos deconfiguraci´onen un instante t ycomputacion se definen de manera similar a como se hizo en las MTDs.

Observaciones importantes:

• Una configuración de una MTND que no sea de parada, puede tener más de una configuración siguiente.

• Dada una MTND, M, y un dato de entrada u pueden existir varias computa- ciones de M sobre u.

• Toda MTD es, en particular, una MTND.

• Una MTND de decisi´on es aquella cuyos estados finales son {qy, qn}.

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MTNDs que resuelven problemas de decisi´ on

Sea L un lenguaje sobre el alfabeto Σ − {B}.

Si M es una MTND de decisi´on, diremos que:

? M decideel lenguaje Lsiipara cada u ∈ (Σ − {B})^∗se verifica:

• u ∈ Lsiiexiste, al menos,una computaci´on de M(u) tal que para y devuelve yes.

Teorema : Sea L un lenguaje tal que una MTND, M, decide L. Entonces existe otra MTD, M⁰, con tres cintas que tambi´en decide L (verANEXO).

¿Qu´epeaje se ha de pagarpara “pasar” de una MTND que decide L a una MTD que tambi´en decide L?

UnaMTND resuelve un problema de decisi´on X siidecideel lenguaje asociado a X .

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ANEXO

Teorema: TodaMTNDpuede ser simulada por unaMTDcontres cintas.

Idea de la demostraci´on:

Sea M una MTND (p: n´umero m´aximo de elecciones no deterministas en M).

Para cada entrada u de M se considera el ´arbol de computaci´on Tuasociado:

? La ra´ız es la configuraci´on inicial asociada a u.

? Los nodos son las distintas configuraciones.

? Existe un arco de C1a C2siiexiste una transici´on en M de C1a C2.

Se simulará el árbol de computación Tu mediante un recorrido en anchura.

? En primer lugar, todas las configuraciones obtenidas al ejecutar un paso.

? En primer lugar, todas las configuraciones obtenidas al ejecutar dos pasos.

? Y as´ı sucesivamente.

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Una direcci´on es una cadena del alfabeto Γp= {1, . . . , p}

? Cada nodo de Tutiene asociada un´ıvocamente una direcci´on (v´alidas).

? Existen direcciones que no se corresponden con ning´un nodo (no v´alidas).

Las cadenas de Γ^∗_P se ordenan lexicogr´aficamente, seg´un su longitud.

Descripci´on informal de una MTD, M⁰, con tres cintas que simula a M:

? Cinta 1: de entrada.

? Cinta 2: de simulaciones.

? Cinta 3: de direcciones.

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Un esquema algor´ıtmico que implementa una MTD, M⁰, es el siguiente:

1. Inicialmente, la cinta 1 contiene a u y las cintas 2 y 3 est´an vac´ıas 2. Colocar en la cinta 3 la primera cadena de Γ^∗_P

3. Borrar la cinta 2, y copiar la cinta 1 en la cinta 2

4. Usar la cinta 2 para simular la parte de la computaci´on correspondiente a la cadena de Γ^∗_Pque aparece en la cinta 3. Para ello:

? Se analiza el primer s´ımbolo de la cadena de la cinta 3.

? (*) Si es v´alido, entonces

– Realizar la correspondiente elecci´on no determinista

– Si ha llegado a una configuraci´on de aceptaci´on, entonces aceptar y terminar – Si no,

si queda alg´un s´ımbolo por analizar en la cinta 3, elegir el siguiente e ir a (*) si no, ir al paso 5

si no es v´alido, ir al paso 5

5. Reemplazar la cadena de la cinta 3 por la siguiente cadena.

? Si no hay siguiente cadena, entonces terminar 6. Ir al paso 3.