B
Trigonometría básica
José Jesús MENA DELGADILLO La trigonometría corresponde al estudio de los triángulos que a su vez es un polígono limitado por tres lados, que forman entre sí tres ángulos internos.
El presente trabajo se remite a estudiar las propiedades de triángulos rectilíneos. Los puntos A, B, C, se llaman vértices, los segmentos AB,BC,C A,se llaman lados; y los ángulos interiores A,B,C.
A continuación en la figura 1 se presenta la disposición grafica de un triangulo rectilíneo.
Figura 1. Muestra un triangulo rectilíneo, en donde, los puntos A, B, C, se llaman vértices, los segmentos AB,BC,C A,se llaman lados; y los ángulos interiores
La clasificación de los triángulos por la magnitud de sus lados.
a) Triangulo equilátero. Los tres lados del triangulo son iguales, es decir, los segmentos
b) Triangulo isósceles. Dos de sus lados son iguales, y otro desigual.
c) Triangulo escaleno. Los tres lados del triangulo son diferentes en magnitud, es decir, los segmentos ABBCC A.
Clasificación de los ángulos.
A C A B
c
La definición de un ángulo plano, corresponde a la parte de un plano determinado por dos líneas llamadas lados que tiene el mismo punto de origen llamado vértice del ángulo y cuya abertura puede medirse generalmente en grados o radianes. Las diferentes clases de ángulos según su abertura, se clasifican de la forma:
ángulo recto: α = 900
ángulo agudo: α < 900
ángulo obtuso: α > 900
ángulo llano (Colineal): α = 1800
ángulo poligonal α = 3600
1. Ángulos opuestos por el vértice.
Dos ángulos que tienen un mismo vértice, y cuyos lados son los de uno la prolongación del otro, reciben el nombre de ángulos opuestos por el vértice, observe la figura 2.
Figura 2. Muestra la disposición geométrica de los ángulos y ;
(
y)
opuestos por el vértice. En donde, se satisface: = , = (1)2. Ángulos internos, alternos externos, correspondientes y adyacentes suplementarios.
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal o secante, se forman α
β
Para ilustrar dichas propiedades, considere la figura 3.
Figura 3. Muestra la disposición geométrica de los ángulos internos, alternos externos, correspondientes y adyacentes suplementarios.
En donde, se satisface:
= , = Por ser ángulos alternos internos. (2)
= , = Por ser ángulos alternos externos. (3)
= , = , = , = Por ser ángulos correspondientes. (4)
. 180 , 180 , 180 , 180 , 180 , 180 , 180 , 180 0 0 0 0 0 0 0 0 = + = + = + = + = + = + = + = +
Por ser ángulos adyacentes suplementarios. (5) Ejemplos.
a) Considere que los ángulos x y y son adyacentes, su suma es de 650 y su
diferencia de 180. ¿Calcular el valor de x y y ?
Solución. 0 65 = + y x (i) 0 18 = − y x (ii) α β ϒ ϭ ϵ φ τ ψ
De la relación (i):
y
x=650 − (iii) Sustituyendo la expresión (iii) en (ii):
0 0 18 ) 65 ( − y − y= Desarrollando la expresión anterior:
0 0 0 47 65 18 2 = − =− − y Es decir: 0 3 23 2 47 0 0 = = y (iv)
Sustituyendo (iv) en (i), resulta:
0 0 65 0 3 23 = + x 41 30 0 = x (v)
b) Considere que los ángulos x y y son suplementarios, uno de ellos es igual al triple más 80. ¿Calcular el valor de x y y ?
Solución. 0 180 = + y x (11) 0 8 3 + = y x (21) De la relación (11): y x =1800 − (31) Sustituyendo (31) en (21), resulta: 0 0 8 3 180 −y = y+ Desarrollando la expresión anterior:
0 0 0 172 8 180 4 =− + =− − y
0 0 0 43 4 172 = − − = y (41) Sustituyendo (41) en (11), resulta: 0 0 180 43 = + x 0 0 0 137 43 180 − = = x (51)
Teorema: “En cualquier triángulo la suma de los ángulos interiores es igual a 1800 “.
Demostración.
Considere la siguiente figura geométrica:
a) + + =1800 , forman un ángulo llano. b) =, por ser ángulos alternos internos. c) =, por ser ángulos alternos internos. Sustituyendo b) y c) en a), resulta:
0 180 = + + (6) Ejemplo. A B C α β ϒ φ ψ
A partir de la siguiente figura. ¿Calcule el valor de los ángulos β y x?
Solución:
Por ángulos suplementarios: β = 980
Por el teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo: 3 x + 120 + 280 + 980 = 1800 Desarrollando: 3 x + 1380 = 1800 3 x = 1800 – 1380 = 420 0 0 14 3 42 = = x
Relación entre grados sexagesimales y radianes.
Sabemos que la longitud de una circunferencia es 2 veces el radio, es decir, subtiende un ángulo de 2 radianes.
Es decir: 0 180 2 radianes= (7) Ejemplos. 280 β 820 3 x + 12
Considerando la siguiente equivalencia: 180 10 = radianes. Convertir: a) 300 en radianes.
( )
o radianes radianes 6 180 300 = b) 600 en radianes.( )
o radianes radianes 3 180 600 = c) 1350 en radianes.( )
o radianes radianes 4 3 180 1350 = d) 5 radianes en grados sexagesimales.
0 0 0 36 5 180 180 5 5 = = = radianes e) 5 3
radianes en grados sexagesimales.
( )
0 0 0 0 108 5 540 5 180 3 180 5 3 5 3 = = = = radianes f) 9 radianes en grados sexagesimales.
0 0 0 20 9 180 180 9 9 = = = radianes
Propiedades de los triángulos por la magnitud de sus ángulos. I) Triangulo rectángulo.
Se dice que un triangulo es rectángulo, si uno de sus ángulos internos es recto. En todos los triángulos rectángulos se les llaman se les denominan catetos a los lados que forman el ángulo recto y el otro se llama hipotenusa. Una propiedad geométrica importante que satisface este tipo de triangulo, es el teorema de Pitágoras. (Observe figura 4).
Figura 4. Muestra la forma de un triangulo rectángulo.
II) Triangulo acutángulo.
Se dice que un triangulo es acutángulo, si tiene sus tres ángulos internos agudos. (Observe figura 5).
Figura 5. Muestra la forma de un triangulo acutángulo.
III) Triangulo obtusángulo.
Se dice que un triangulo es obtusángulo, si tiene un ángulo interno obtuso. (Observe figura 6). A B C A C B
Figura 6. Muestra la forma de un triangulo obtusángulo.
IV) Triangulo oblicuángulo.
Se dice que un triangulo es oblicuángulo, si ningún ángulo interno es recto. Que corresponde a los casos de los triángulos obtusángulo y acutángulo.
Triángulos congruentes.
Un triangulo es congruente con otro, o igual a otro, si tiene todos sus lados y ángulos respectivos iguales a los lados y los ángulos del otro. El conjunto de elementos que deben ser iguales da origen, a los siguientes criterios de igualdad de triángulos.
El primer criterio de igualdad de triángulos. Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente igual, son iguales.
Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 7. A C B A B C D E F B A
Figura 7. Muestra dos triángulos ABC yDE F que tienen los lados F D C A y E D B A = = y los ángulos A =B.
El segundo criterio de igualdad de triángulos. Dos triángulos que tienen un lado y dos ángulos igualmente dispuestos, entonces, los triángulos son iguales.
Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 8.
Figura 8. Muestra dos triángulos ABC yDE F que tienen el lado AB=DE y los ángulos = =B y C D A .
El tercer criterio de igualdad de triángulos. Dos triángulos que tienen los tres lados respectivamente iguales, los triángulos son iguales.
Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 9.
A B C D E F B A C D A B C D E F
Figura 9. Muestra dos triángulos ABC yD E F que tienen los lados AB=DE, F D C A y F E C B = = Triángulos semejantes.
Los triángulos semejantes tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados proporcionales.
Tipos de triángulos semejantes.
Primer tipo de triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales.
Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 10.
Figura 10. Muestra dos triángulos ABC y DE F , son semejantes si tienen los ángulos A =B y C =D.
Segundo tipo de triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionales.
Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 11.
A B C D E F B A C D B E
Figura 11. Muestra dos triángulos ABC y DE F, son semejantes si tienen un ángulo B A = y E D B A F D C A = .
Tercer tipo de triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.
Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 12.
Figura 12. Muestra dos triángulos ABC yDE F , son semejantes si satisface:
F E C B E D B A F D C A = = Teorema de Tales.
“Toda recta paralela a un lado de un triángulo, forma con los otros dos lados o prolongaciones otro triángulo que es semejante al triángulo dado”
Es decir: C A B C D E F A B C D E F
Demostración geométrica.
A partir de la siguiente construcción.
Dado que por construcción de la figura anterior: áreaCBE=áreaCDE entonces, se satisface.
( )
( )
2 2 2 1 D E h h B C = (a)En forma análoga: áreaCBD =área BDE entonces, se satisface.
( )
( )
2 2 2 1 D E h h B C = (b)Y finalmente. áreaCAD=área EBA , entonces, se satisface.
( )
( )
2 1 2 2 B A h h A D = (c)Dividiendo las relaciones (c) en (b), resulta:
C B A B E D A D = (8)
Utilizando las propiedades del teorema de Tales de Mileto, se pueden obtener los siguientes resultados geométricos particulares.
A B C D E h1 h2
Caso 1.
Considere los siguientes triángulos inscritos CAE yBAD como se muestra en la figura 13.
.
Figura 13. Muestra dos triángulos inscritos CAE y BAE Dado que los segmentos BD II CE.
Entonces: E A AD C AAB = (9) Caso 2.
Considere los siguientes triángulos inscritos CAE yBAD como se muestra en la figura 14. C B A D E B A
Figura 14. Muestra dos triángulos inscritos CAE yCBD
Dado que los segmentos BD II AE. Entonces: E A BD CE CD = (10) Ejemplos.
I. Un palo de 2 m de alto, colocado verticalmente, proyecta una sombra de 5 m. Simultáneamente, una torre proyecta una sombra de 45 m. ¿Qué altura tiene la torre?
Solución.
Consideremos los lados como se ilustra en la siguiente figura.
De la relación (10), resulta: H m m m 2 45 5 = Por lo tanto: H = 18 m 5 m 2 m 40 m H = x
2. ¿Considerando la siguiente figura calcular el segmento AB y con segmentos . DE II B A ? Solución. Considere: x B A = . m C A =25 . m D C =6 . m E D =5 .
Por semejanza de triángulos se establece:
D C E D C BX = Resolviendo:
( )( )
( ) (
)
m m m m m m D C C B E D X 20.8 6 125 6 25 5 2 = = = = Teorema de Pitágoras. A B C D E x 25 m 6 m 5 mEl teorema de Pitágoras indica: “Para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de sus catetos”.
Demostración:
Considere el triángulo ABC como se muestra en la siguiente figura:
El triángulo ABC con lados AB⊥CD.
b c c
e = Proporcionalidad entre los lados del triángulo ABC . (i)
2
c b
e = A partir de la propiedad (i). (ii) d
a
ae = Proporcionalidad entre los lados del triángulo ABC . (iii)
2
a d
e = A partir de la propiedad (iii). (iv)
2 2 a c d e b
e + = + Sumando las propiedades (ii) y (iv) (v)
(
)
2 2 a c d b e + = + Factorizando (v) (vi) d be= + A partir de la figura. (vii)
2 2 2
a c
e = + Sustituyendo (vii) en (vi) (viii) Es decir: A B C a b c d e D
2 2 2 a c e = + (11) Ejemplos.
1. Considere la siguiente figura:
¿Calcular h? Solución. 20 8 h h = Resolviendo:
( ) ( )
20 8 160 2 = = h( )( )
16 10 16 10 4 10 160= = = = h2. Considere la siguiente figura:
h
8 20
β/2 β
¿Calcular el valor de α y β? Solución. 0 0 180 0 6 + + = (a) 0 0 180 90 2 + + = (b) De (a), resulta: = 0 − 0 − = 0 − 120 60 180 (c) Sustituyendo (c) en (b), resulta: 0 0 0 180 90 2 120 = + + − 0 0 0 180 90 2 60 + + = 0 0 0 30 150 180 2 = − = 0 60 = (d) Sustituyendo (d) en (c), resulta: 0 0 0 60 60 120 − = = (e)
Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.
Considere el sistema cartesiano en un plano como se muestra en la figura 15: β
α 600
Figura 15. Muestra gráficamente la distancia entre los puntos P = (x1,y1) y Q = (x2,y2) en el
plano cartesiano X-Y.
Se define la distancia entre los puntos P y Q que representa la línea “gruesa” que se observa en el grafico anterior y se denota por: d (P, Q) y/o II P Q II.
Utilizando el teorema de Pitágoras:
(
) (
) ( )
2 2 2 ,Q X Y P d = + Desarrollando:(
) (
) ( )
2 2 ,Q X Y P d = + (
) (
) (
)
2 1 2 2 1 2 ,Q x x y y P d = − + − (12) Y X X1 O X2 Y1 Y2 P = ( x1 , y1 ) Q = ( x2 , y2 ) Δ X = x2 – x1 Δ Y = y2 – y1La relación (12), es conocida como la fórmula utilizada para determinar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.
Ejemplos.
I) Si el punto P = (1, a) y su distancia al punto Q = (6, 7) es 13. ¿Determine el valor de a? Solución:
(
) (
) (
)
2 1 2 2 1 2 ,Q x x y y P d = − + − Sustituyendo:(
) (
2)
2 7 1 6 13= − + −a( ) (
2)
2 7 5 13= + −a( )
(
2)
14 49 25 13= + − a +a 2 14 74 13= − a +a 2 14 74 169= − a +a 0 14 95− + 2 = − a aResolviendo la anterior ecuación cuadrática, resulta: 19 1 = a 5 2 =− a Por lo tanto: P1 = (1,19) P2 = (1, -5)
II) Si el punto P = (-1, y) y su distancia al origen es la mitad de su distancia al punto Q = (1, 3). ¿Determine el valor de y?
( )
(
)
2 , 0 , d P Q P d = Sustituyendo:( ) (
) (
2)
2 2 1 0 0 1 0 , y y P d = − − + − = +(
) (
) (
2)
2 3 1 1 ,Q = − − + y− P d(
P Q)
y y y y d , = 4+ 2 −6 +9 = 13+ 2 −6 Sustituyendo valores en la primera expresión, resulta:2 6 13 1 2 2 y y y = + − + Desarrollando: 0 9 6 3y2 + y− = Resolviendo la anterior ecuación cuadrática, resulta:
1 1 = y 3 2 =− y Por lo tanto: P1 = (-1,1) P2 = (-1, -3) Funciones trigonométricas.
Las razones que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo cambian de acuerdo al ángulo de que se trate y dichas razones son funciones del ángulo α. Estas razones se les llaman funciones trigonométricas.
Sea el triángulo rectángulo ABC, con ángulos agudos y . Como se observa en la figura 16.
Figura 16. Muestra gráficamente el triángulo rectángulo ABC, con ángulos agudos
y .
En el triángulo rectángulo ABC .Se denota, el lado b, como el cateto opuesto al ángulo y adyacente al ángulo , el lado a, se denota como el cateto opuesto al ángulo y adyacente al ángulo . El lado c corresponde a la hipotenusa.
Las proporciones que resultan de comparar los lados del triangulo rectángulo están definidos para el ángulo , de la forma:
c b hipotenusa opuesto cateto sen= = (i) c a hipotenusa adyacente cateto = = cos (ii) a b adyacente cateto opuesto cateto = = tan (iii) a b c α β
b a opuesto cateto adyacente cateto = = cot (iv) a c adyacente cateto hipotenusa = = sec (v) b c opuesto catetohipotenusa = = csc (vi) Ejercicios:
A partir de las definiciones muestre las siguientes identidades trigonométricas. a) sen cos =1 Solución: 1 csc = = b c c b sen b) cos tan = sen Solución: cos tan sen c a c b c a c b a b = = = = c) sen2 +cos2 =1 Solución: 1 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + = + = = + = + c c c a b c a c b c a c b sen d) 2 2 csc cot 1+ = Solución: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 csc 1 1 1 1 cot 1 = = = + = + = + = + = + b c b c b a b b a b a b a
La función seno de x, se denota por f
( )
x =senx, y se dice que es una función impar dado que satisface la siguiente propiedad:( )
x sen( )
xsen − =− (13)
La función coseno de x, se denota por f
( )
x =cosx, y se dice que es una función impar dado que satisface la siguiente propiedad:( )
x cos( )
xcos − = (14)
Las funciones f
( )
x =senx y f( )
x =cosx son periódicas ya que satisfacen:(
2)
=0,1,2,.... =sen x n n x sen (15)(
2)
0,1,2,.... cos cosx= x n n= (16)Las cuatro funciones trigonométricas restantes se pueden expresar en términos de las funciones sen
( )
x y cos( )
x , de la forma:( )
x x sen x cos tan = (17)( )
x sen x x cos cot = (18)( )
x x cos 1 sec = (19)( )
x sen x 1 csc = (20) Funciones hiperbólicas.Corresponden a la combinación de funciones exponenciales. Estas combinaciones se definen: 2 x x e e x h sen − − = (21) 2 cos x x e e x h − + = (22)
x x x x e e e e x h x h sen x h − − + − = = cos tan (23) x x x x e e e e x h x h − − − + = = tan 1 cot (24) x x e e x h x h − + = = 2 cos 1 sec (25) x x e e x h sen x h − − = = 1 2 csc (26)
Construcción geométrica para algunos valores de los lados y ángulo de una función trigonométrica particular.
Considere el triangulo equilátero de lado de 2 unidades como se muestra en la figura 17.
Figura 17. Muestra un triángulo equilátero con lado de 2 unidades.
En el caso particular del triangulo de la figura 17, resulta:
2 3 60 = = hipotenusa opuesto cateto sen o 2 1 60 cos 0 = = hipotenusa adyacente cateto 30o 60o 60o 2 1 √3
3 60 tan = = adyacente cateto opuesto cateto o 3 1 60 cot = = opuesto cateto adyacente cateto o 2 60 sec 0 = = adyacente cateto hipotenusa 3 2 60 csc = = opuesto cateto hipotenusa o En forma análoga: 2 1 30 = = hipotenusa opuesto cateto sen o 2 3 30 cos 0 = = hipotenusa adyacente cateto 3 1 30 tan = = adyacente cateto opuesto cateto o 3 30 cot = = opuesto cateto adyacente cateto o 3 2 30 sec 0 = = adyacente cateto hipotenusa 2 30 csc = = opuesto cateto hipotenusa o
A continuación considere un triangulo rectángulo isósceles de los catetos igual a 1 unidad, como se observa en l figura 18.
1 √2
45o
Figura 18. Muestra un triángulo rectángulo isósceles con catetos de 1 unidad.
En el caso particular del triangulo de la figura 18, resulta:
2 1 45 = = hipotenusa opuesto cateto sen o 2 1 45 cos 0 = = hipotenusa adyacente cateto 1 45 tan = = adyacente cateto opuesto cateto o 1 45 cot = = opuesto cateto adyacente cateto o 2 45 sec 0 = = adyacente cateto hipotenusa 2 60 csc = = opuesto cateto hipotenusa o
Considerando las relaciones de la mitad del ángulo dadas por:
2 cos 1 2 − = sen (27) 2 cos 1 2 cos = + (28)
Las ecuaciones de suma de ángulos:
(
/)
sen cos/ sen/ cossen + = + (29)
(
/)
cos cos/ sen/ sencos + = − (30) En el caso =/ :
( )
2 2sen cos sen = (31)(
)
2 2 cos 2 cos = −sen (32)Ejemplos a) ¿Calcular sen 15o? Solución. Dado que: 2 3 30
cos o = y la ecuación (27), resulta:
2588 . 0 4 3 2 2 2 3 2 2 2 3 1 15 = − − = − = o sen b) ¿Calcular cos 15o? Dado que: 2 1 30 =o
sen y la ecuación (28), resulta:
9659 . 0 4 3 2 2 2 3 2 2 2 3 1 15 cos = + + = + = o c) ¿Calcular cos 45o? Solución.
A partir de la ecuación (30), resulta:
(
o o)
o o o o o sen sen15 30 15 cos 30 cos 15 30 cos 45 cos = + = − 7071 . 0 2 1 4 3 2 4 3 2 2 3 45 cos − − + = o d) ¿Calcular sen 45o?A partir de la ecuación (29), resulta:
(
o o)
o o o oo
sen sen
sen
sen45 = 30 +15 = 30 cos15 + 15 cos30
7071 . 0 2 3 4 3 2 4 3 2 2 1 45 − + + = o sen
e) ¿Calcular sen 75o?
Solución.
A partir de la ecuación (29), resulta:
(
o o)
o o o oo
sen sen
sen
sen75 = 60 +15 = 60 cos15 + 15 cos60
Sustituyendo valores: 9659 . 0 2 1 4 3 2 4 3 2 2 3 75 − + + = o sen f) ¿Calcular cos 120o? Solución.
A partir de la ecuación (32), resulta:
( )
o( )
o o sen 60 60 cos 120 cos = 2 − 2 2 1 4 2 4 3 4 1 2 3 2 1 120 cos 2 2 − = − = − = − = o g) ¿Calcular sen 120o? Solución.A partir de la ecuación (31), resulta:
( ) ( )
o o o sen sen120 = 2 60 cos 60 8660 . 0 2 3 2 1 2 3 2 120 = = o sen h) ¿Calcular tan 120o? Solución.A partir de la ecuación (17), resulta:
o o o sen 120 cos 120 120 tan =
Solución.
A partir de la ecuación (19), resulta:
o o 45 cos 1 45 sec = 4142 . 1 2 1 4 3 2 4 3 2 2 3 1 45 sec − − + = o Bibliografía.
- Ress P., Sparks F.; Trigonometría, Reverte, 2005.
- Fuentelabrada S., Fuentelabrada I.; Geometría y trigonometría, Mc. Graw-Hill, 2013.
