Trabajo Colaborativo Fase1 100412 277

ECUACIONES DIFERENCIALES

FASE 1: PLANIFICACIÓN

PRESENTADO POR:

ALEXSANDER DIAZ GUALDRON LEIDY VIVIANA RUIZ SAAVEDRA

YADIRA SULEIMA SUATERNA DENNIS HERREÑO DUARTE

DARYI SUGEY MATEUS PAEZ

GRUPO: 100412_277

PRESENTADO A ORLANDO HARKER

TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA OCTUBRE 5 DE 2016

CEAD VELÉZ INTRODUCCIÓN

El contenido de este documento final es el resultado de la aplicación de los conocimientos adquiridos en la unidad 1, del curso de ecuaciones diferenciales, sobre ecuaciones diferenciales de primer orden, utilizando los métodos necesarios para la culminación de los ejercicios, todo esto con el fin de aumentar la capacidad analítica y desarrollar competencias que permitan al estudiante dar respuesta a necesidades de formación relacionadas con el perfil del futuro profesional.

El presente trabajo tiene como fin aplicar los conocimientos adquiridos en la unidad uno de ecuaciones diferenciales, curso que nos brinda herramientas, técnicas y estrategias básicas para dar solución a ejercicios prácticos de análisis sobre situaciones propuestas, lo cual será muy importante en la solución de problemas reales tanto en nuestra vida profesional como personal.

OBJETIVOS

Objetivo General

 resolver problemas y ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden para la unidad 1.

Objetivos Específicos

 comprender las temáticas y la forma de desarrollo de las actividades de la unidad 1.  Dar solución a cada uno de los ítems planteados

1. Tipo 2. Orden 3. Linealidad PRIMERA ACTIVIDAD INDIVIDUAL

Se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando, el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. El estudiante debe garantizar que los ejercicios seleccionados sean diferentes a los de sus compañeros. Es importante que cada uno de los integrantes del grupo revise y realimente como mínimo uno de los ejercicios desarrollados por sus compañeros de grupo ya que esto permitirá una comprensión integral de la unidad.

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA

A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda

correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta.

Responda las preguntas 1 y 2 con base a la siguiente información.

En la UNAD CEAD José Acevedo y Gómez un estudiante de Ingeniería de sistemas observa el siguiente letrero en las oficinas de la ECBTI.

1. Una ecuación diferencial ordinal de Tercer orden Lineal corresponde a. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Una Ecuación Diferencial (E.D.) es una ecuación que contiene una variable desconocida y sus derivadas, se clasifican de acuerdo a tres componentes.

1. Tipo: Una E.D. es ordinaria si la variable desconocida depende solamente de una Variable Independiente, pero si la variable desconocida depende

de dos o más variables independientes, la ecuación diferencial es parcial.

2. Orden: El orden de una E.D. es el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.

3. Linealidad: Una E.D. es lineal si cumple dos características.

a. La variable dependiente “y” junto con todas sus derivadas son de Primer orden, esto es la potencia de cada termino de “y” es 1.

A.

(

dy_dx

)

3 +7 x2d2y dx2−6 x dy dx+5 y=x +2 B. x3d 3 y dx3−7 x 2d2y d x2+6 xy dy dx−7 y=0 C. d 3_y dx3+5 x 2d2 y d x2+3 xy dy dx−6 y=e x +1 D. c2δ 4 y δx4 + δ2y δt2 =0

La ecuación que cumple la condición es la B porque

Justificación: Tercer orden, la mayor derivada de la ecuación es 3 x3d

3

y

dx3 , lineal porque todas sus derivadas son de primer grado (potencia 1) y sus coeficientes dependen de la variable independiente X, además la ecuación está igualada a 0. (Narváez, 2012).

2. La ecuación diferencial

(

d 4 y dx4

)

2 +3 y

(

d 2 y dx2

)

2 +y3dy dx=5 x corresponde a: A. Ecuación diferencial Ordinal de segundo orden no lineal.

B. Ecuación diferencial Ordinal de cuarto orden lineal. C. Ecuación diferencial Ordinal de segundo orden lineal. D. Ecuación diferencial Ordinal de cuarto orden no lineal.

TERCER ORDEN

(

d4y dx4

)

2 +3 y

(

d 2 y dx2

)

2 +y3dy dx=5 x

Justificación: De cuarto orden por que la máxima potencia de una derivada es 4 No lineal porque la variable Y es de tercer grado y para ser lineal debe ser de primer grado

Responda las preguntas 3 y 4 con base a la siguiente información.

En una CIPA del CEAD Ibagué del curso de ecuaciones diferenciales se presenta la siguiente situación. “Cuando la ecuación diferencial no es separable, exacta ni lineal, podríamos transformarla en una ecuación que sepamos resolver”, de tal forma en convertir ecuaciones diferenciales que pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas,

como es el caso de las ecuaciones diferenciales homogéneas que son de la forma dy_dx=f (x , y)

, en las que se pueden expresar como una función que sólo depende del cociente y_{x .}

3 Teniendo en cuenta la información anterior, la solución general de la ecuación diferencial homogénea. x2dy_dx+y2=xy Corresponde a: A. y=c−ex B. e x y_=cx C. y=lnx+ey+c D. y=c+x2

Otra forma de solución: Corresponde a: A. y=c−ex B. e x y_=cx

C. y=lnx+ey+c D. y=c+x2 Datos: Ecuación: x2dy_dx+y2=xy y=vx ≅ dy=xdv +vdx Igualamos a 0. x2dy dx+y 2 =xy ≅ x2dy dx+y 2 −xy=0

Sustituimos “dy” y “y” x2(xdv +vdx)

dx +(vx)

2

−x (vx)=0

Realizamos las multiplicaciones y las separaciones de la suma x3dv dx+x 2vdx dx +(vx ) 2 −v x2=0 ≅ x3dv dx+x 2 v+(vx)2−v x2=0

Sacamos factor común x3dv dx+x 2 v (v−1)=0 ≅ x3dv dx+x 2 v ( v )=0 ≅ x3dv dx+x 2 v2=0 ≅ x3dv dx=−x 2 v2 dv dx= −x2v2 x3 ≅ dv dx=−x 2−3 v2≅dv dx=−x −1 v2≅dv dx= −1 x v 2 ≅dv dx= −v2 x

Dejamos términos semejantes a ambos lados dv dx= −v2 x ≅ dv −v2= dx x

Ahora integramos por separado

∫

dv

−v2=

∫

dx

∫

dv −v2=

∫

1 −v2dv=v −2 = v −2+1 −2+1= v−1 −1= 1 −1 v= −1 v ≅

∫

dv −v2=−( −1 v ) ¿x∨¿+C

∫

dx_x =ln¿ ¿x∨¿+C −−1 v =ln¿ Sustituimos el valor de v ¿x∨¿+C ¿x∨¿+C ≅x y=ln¿ −−1 y x =ln|x|+C ≅−−x y =ln¿ Nos queda: ¿x∨¿+C x y=ln¿

Elevamos a potencia base e e x y_=eln|x|+c e x y_=eln|x|_∗ec e x y_=ec_∨x∨¿ e x y_=ec x e x y_=cx

Respuesta B = e

x y_=cx

(The Math Sorcerer , 2014)

4 El tutor durante la CIPA le indica a los estudiantes que en las ecuaciones diferenciales sus soluciones son generales, pero si se asignan valores iniciales se obtiene una solución particular de dicha ecuación diferencial debido a que se conoce el valor de la constante “c”.

Si la ecuación x2dy_dx+y2=xy se presenta la condición inicial de y (1)=1, el valor de la constate “c” es:

A. c=e B. c=1+e C. c=1−e D. c=0

Otra forma de solución: Datos:

Ecuación: x2dy_dx+y2=xy Condición inicial y(1)=1 Contante C = ?

Identificamos que la ecuación es de tipo Bernoulli donde: dy

dy+p ( x ) y=f (x ) y n

x2dy dx+y 2 =xy x2dy dx−xy=− y 2 dy dx− 1 x y= −1 x2 y 2

Convertimos la ecuación de Bernoulli en una ecuación lineal n=2 u= y1−n=y1−2=y−1 u=1 y y=1 u dy dx= −1 u2 du dx Reemplazando −1 u2 du dx− 1 x 1 u= −1 x2 1 u2

Multiplicamos ambos lados por −u2 du dx+ 1 xu= 1 x2

Calculamos el factor de integración m(x)=e∫

1

xdx_=eln|x|_=eln y

=x m( x )=x

xdu dx+u= 1 x d dx[x∗u]= 1 x Integrando x∗u=ln|x|+_c Recordamos que u=1_y Elevamos a potencia base e

e x y_=eln|x|+c e x y_=eln|x|_∗ec e x y_=ec ∗¿x∨¿ e x y_=ec_∗x e x y_=c∗x c=e Respuesta: A. c = e

Responda las preguntas 5 a la 10 con base en siguiente información.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Las ecuaciones diferenciales son una rama fundamental de las matemáticas las cuales describen una situación física determinada, así mismo determinan ya sea de manera exacta o aproximada, la solución apropiada de una ecuación e interpretan la solución que se encuentre.

Existen varios métodos para solucionar ecuaciones diferenciales dependiendo del orden en que se encuentre la derivada.

Inicialmente se estudian las ecuaciones diferenciales de primer orden que se caracterizan en que relacionan una función desconocida y una derivada de primer orden; donde para poder resolverlas se pueden emplear tales como Variables separables, exactas, factor integrante, y lineales las cuales no requieren transformaciones; pero cuando la ecuación diferencial no es separable, exacta, factor integrante ni lineal, podríamos transformarla en una ecuación que sepamos resolver”, de tal forma en convertir ecuaciones diferenciales que pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas, como es el caso de las

ecuaciones diferenciales homogéneas que son de la forma dy_dx=f (x , y) , en las que se pueden expresar como una función que sólo depende del cociente y_{x , o de la forma} dy_dx=f (u) donde u es una expresión en términos de x, y dy_dx=f (x , y)

dy

dx=f (u) , donde u esuna expresión en terminos de x , y automáticamente se transforma en variables separables.

5 La solución general de la ecuación diferencial

dy −2 xyln(y)= dx x2+(y2

√

y2+1) corresponde a: A. x2+ln|y|+

(

y2+1

)

√

y2+1−1₃ y+c=0 B. x2+ln|y|+

√

y2+1+c=0 C. x2Lny−

(

y 2₊₁

₎

3 2 3 +c=0 D. x2Lny +(y 2 +1) 3 2 3 +c=0

Solución Resolvemos: −dy ( x) dx 2 x y ( x ) ln

(

y ( x )

)

= 1 x2+y (x )2

√

y (x)2+1 Reescribimos la ecuación: x ¿ ¿ ¿2 y (x )2+1 y¿ x2 +√¿ −1 ¿

Multiplicamos a ambos lados por:

−2 xy +(x2

+y2

_√

_y2

+1)ln ( y ): De esta manera obtenemos:

2 yln( y ) x +(x2+y2

√

y2+1)y ´ (x )=0

Se sabe que R ( x , y )=2 ln ⁡( y) y S (x , y )=x2+y2

√

y2+1 , esto no es una ecuación exacta, ya que:

∂ R( x , y)

∂ y =2 xln( y )+2 x ≠ 2 x =

∂ S(x , y) ∂ x

Declaramos un factor de integración μ( y ) , de tal manera que:

μ ( y ) R ( x , y )+μ ( y )dy (x )

dx S (x , y )=0 Es exacta

Esto significa que _{∂ y}∂

(

μ ( y ) R ( x , y )

)

=_{∂ x}∂

(

μ ( y ) S ( x , y )

)

:

2 yln( y )dμ ( y )

dy x +2 μ ( y ) x +2 ln ( y ) μ ( y ) x=2 μ ( y ) x

Despejamos μ( y ) del lado izquierdo: ∂ μ( y )

∂ y μ( y ) =

−1 y

Integramos en ambos lados con respecto a y ln

(

μ ( y )

)

=−ln ⁡( y )

Tomamos exponenciales de ambos lados μ ( y )=1

y

Multiplicamos en ambos lados de

(

x2+y (x )

2

√

y x2 +1

)

dy (x ) dx +2 x y ( x ) ln

(

x ( x )

)

=0 Por μ(x(x)) : 2 xln

(

y(x)

)

+

(

x 2 y(x)+

√

y(x) 2 +1 y(x)

)

dy(x) dx =0

Sabemos que P (x , y )=2 xln( y ) Y Q (x , y )=x

2

y +y

√

y

2₊₁

Es una ecuación exacta, ya que:

∂ P(x , y) ∂ y = 2 x y = ∂ Q(x , y ) ∂ x

Definimos f (x , y ) , por lo tanto ∂ f (x , y )_{∂ x} =P(x , y ) Y ∂ f (x , y )_{∂ y} =Q(x , y )

Entonces, la solución será dada por f ( x , y )=c1 _{, Donde} c1 _{Es una constante arbitraria.}

Integramos ∂ f (x , y )_{∂ x} Con respecto a x en orden, para encontrar f ( x , y ) :

f ( x , y )=

_∫

2 ln( y ) x dx=ln ( y ) x2+g( y )

Donde g( y ) es una función arbitraria de y .

Diferenciamos f (x , y ) con respecto a y en orden para encontrar g( y ) :

∂ f (x , y ) ∂ y = ∂ ∂ y

(ln ( y ) x

2 +g ( y )

)=

x2 y+ dg ( x ) dy Substituimos dentro ∂ f (x , y )_{∂ y} =Q(x , y ) : x2 y+ dg ( y ) dy = x2 y +y

√

y 2 +1

Resolvemos para dg( y )_dy :

dg( y )

dy =y

√

y

2₊₁

Integramos dg( y )_dy Con respecto a y :

g ( y )=

∫

y

√

y2+1 dy=1 3(y 2 +1) 3 2 Substituimos g ( y ) dentro de f ( x , y ) : f(x , y)=ln(y)x2 +1 3(y 2₊₁₎32

Finalmente, la solución de f ( x , y )=c1 _es:

ln(y)x2

+1 3(y

2₊₁₎32_=c 1

Lo cual sería lo mismo que:

x2_{ln ( y )+}(y 2 +1) 3 2 3 =c1

6 Al Resolver la ecuación diferencial _{sen(x− y +1)}dy =dx ; si y(0)=π−1 , el valor aproximado de la constante c corresponde a:

1. -1 2. 0 3. 1 4. 2 ⅆ_Y s nⅇ ( X −Y +1)=ⅆX ⅆY=s nⅇ ( X −Y +1) dx

∫

ⅆ_Y=

∫

s nⅇ ( X −Y +1) dx

(u= X −Y +1 du=1dx =du/dx =1)

Y=

∫

s nⅇ (u)1du

Y=

∫

s nⅇ (u)du

Y=-cos(U) esto por

∫

s nⅇ (u)du =(-cos (u)) Sustituimos la ecuación u u= X −Y +1

Y=-cos (1-y+x)+c (0)=�−1 �−1 = -cos (1-( −1 )+0) +c �−1 = -cos (1- � +1 +0) +c �−1 = -cos (-1, 1.42)+ c �−1 = -0,999 + c �−1 + 0.999 =c C=1,141

Si aproximamos c =1

7. La siguiente ecuación diferencial x

(

2 x3−3 y3

)

dy= y (2 x3−y3)dx tiene como solución general: A. −2

(

xy

)

3−9 ln

|

y x

|

=6 ln|x|+c B. −2

(

y x

)

3−9 (e ) y/ x_{=6 ( e)}y / x +c C. 9 ln

|

_xy

|

=6 ln|x|+c D. 9 (e )y/ x=6 ( e)y / x+c X (2 3−¿y 3 x3_{−3 y}3 ¿dy = y 2 x¿_dx dy dx= y(2 x3−y3) x (2 x3−3 y3) dy dx=

(

y x

)

(2 x 3 x3 − y3 x3) 2 x3 x3 − 3 y3 x3

2−(y x¿ 3 ) ¿ 2−3(y x¿ 3 ) ¿ ¿ ¿ dy dx=

(

y x

)

¿ du dx∗x +u= u(2−u3) 2−3 u3 du dx∗x= u

(

2−u3

)

2−3 u3 −4 du dx x= 2u−u4−2 u+3 u4 2−3 u3 du dx x= 2 u4 2−3 u3 2−3 u3 2 u4 du= dx x

∫

u−4du−3 2

∫

du u =ln( x )+c u−3 3 − 3 2ln (u )=ln( x )+c y x ¿ 3 ¿ 3¿ −1 ¿

y x ¿ 3 ¿ ¿ −2 ¿ −2

(

y x

)

3−9 ln

|

y x

|

=6 ln|x|+c Respuesta: A. −2

(

y x

)

3−9 ln

|

y x

|

=6 ln

|

x

|

+c

Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:

Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas.

8. Simultáneamente en la UNAD CEAD Ibagué un estudiante de Ingeniería industrial Observa el mismo letrero en las oficinas de la ECBTI.

El estudiante puede afirmar que la Ecuación diferencial eyd 2_y dx2 +2

(

dy dx

)

2 =_{1 es una} ecuación diferencial ordinal No lineal porque:

1. La segunda derivada depende de ey

2. La Ecuación diferencial no contiene variable Independiente x. 3. La primera derivada está elevada al cuadrado.

4. La igualdad debería ser igual a cero. Re

Respuesta: Comprobación por medio del enunciado

La variable dependiente “y” junto con todas sus derivadas son de Primer orden, esto es la potencia de cada termino de “y” es 1.

(

dy_dx

)

2

Cada coeficiente depende solo de la variable independiente “x” eyd

2

y dx2

9. Teniendo en cuenta que el primer método de solucionar una ecuación diferencial de primer orden es el de variables el cual tiene como forma general dy_dx=f ( x ) g( y) y al separarlas

dyg ( y )=dxf (x) , se integra y se puede llegar a la solución general, hay ocasiones que se requiere una transformación especial de la forma dy_dx=f (u) donde u es una expresión en términos de x, y dy_dx=f (x , y) dy_dx=f (u) , donde u es una expresión en terminos de x , y automáticamente se convierte en variables separables. Con base a la anterior información el método más apropiado y la solución general de la ecuación general

dx=

(

x2y2+x2+y2+1

)

_{dy corresponden a:}

1. Transformables a variables separables. 2. Variables separables.

3. y +1=c ex 2 −2 x (x +1)4 4. x2+1=c ey 2 −2 y (y +1)4

Comprobación por medio de ecuaciones de variables separables

Colocamos la ecuación de la forma Pdx=Qdy despejando la ecuación dx=

(

x2 y2+x2+y2+1

)

dy y ¿ (¿2+1¿) x2 (y2₊₁₎₊ ¿dy dx=¿ y2+1 ¿ x ¿ (¿2+1¿)dy dx=¿ Despejando dx (x2+1)=

(

y 2 +1

)

dy He, integrando

∫

dx (x2+1)=

∫

(

y 2 +1

)

dy 1 2

∫

(

1 (x−1)− 1 (x +1)

)

dx=

∫

(

y 2₊₁

₎

_dy (x +1) ln ( x−1)−ln¿ ¿ 1 2¿

ln(x−1) (x +1) = 2 y3 3 +2 y +C Elevamos a la Euler eln (x−1) (x+1)_=e 2 y3

3 +2 y+C ea. eb _{= e}a+b _{despejamos constante}

eln (x−1) (x+1)_=e 2 y3 3 +2 y+C e ln(x−1) (x+1) =(x−1) (x+ 1) Identidades logarítmicas (x−1) (x +1)=C e 2 y3 3 +2 y (x−1)=C e 2 y3 3 +2 y_{(x +1)}

10. Teniendo en cuenta los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden ; el método apropiado de solución de la ecuación diferencial

(

x

3

+exseny+ y3

)

dx

−

(

3 x y2+excosy+ y3

)

dy=1 y su solución general corresponden a:

1. . x 4 +y4 4 +e x cosy+ x y3=c 2. . x 4 +y4 4 +e x seny+x y3=c 3. Exactas 4. Factor integrante

Comprobación por medio de ecuaciones exactas

Colocamos la ecuación de la forma Pdx+Qdy=0 despejando la ecuación

(

x3+exseny+ y3

)

dx=−

(

3 x y2+excosy+ y3

)

dy

(

x3

+ex_{seny + y}3

₎

_{dx +}

₍

_{3 x y}2

+ex_{cosy+ y}3

₎

_dy=0

P(x , y )=x3

+ex_{seny+ y}3

Q (x , y )=3 x y2+excosy+ y3

Py=excosy+3 y2 Derivada respecto a y

Qx=excosy+3 y2 Derivada respecto a x Es claro que

Py¿excosy+3 y2 Luego la E. D. es exacta

Calculemos la función potencial F (que nos dará directamente las soluciones F ( x , y )=C ) Como Fx=x 3 +exseny+ y3 Integrando respecto de x F ( x , y )=x 4 4 +e x seny+xy3+φ ( y)

Derivando respecto de y e igualando a Q queda excosy+3 xy2+φ'(y )=3 x y2+excosy+ y3 Es decir

excosy+3 xy2+φ'(y )=3 x y2+excosy+ y3 φ'_{(y )= y}3

De donde basta tomar φ'(y )= y3 he integramos obteniendo φ ( y )=y4 4 Y por tanto F ( x , y )=x4 4 +e x_seny+xy3 + y 4 4

x4 4 +e x_{seny+ xy}3 + y 4 4 =C x4+y4 4 +e x seny+xy3 _=C

PRIMERA ACTIVIDAD GRUPAL

Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Problema:

Conductividad del material. Bajo ciertas condiciones la cantidad constante Q calorías/segundo de calor que pasa a través de una pared está dada por.

Q=−kAdT dx

Donde k es la conductividad del material, A (cm2) es la superficie de una cara de la pared perpendicular a la dirección del flujo y T es la temperatura a x(cm) de esa cara, de forma que T disminuye cuando x aumenta. Hallar el número de calorías por hora del calor que pasa a través de (1 m2) de la pared de una habitación frigorífica de 125 cm de espesor y k=0,0025, si la temperatura de la cara interior es de -5°C y de la cara exterior es de 75°C.

Solución: A= 100cm x 100cm= 10 cm2 125 cm espesor X Q Fluj o A= 1m2 T= -5°C T= 75°C 100 cm 100

Datos: K=0.0025 A= 1 m2 = 100 cm2 T1 = b= -5 °C T2 = a = 75 °C X = 125 cm Q = ¿??

Ecuación Inicial Q=−kAdT_dx

Vemos que tenemos una derivada, por tanto para obtener el valor de las calorías, despejamos la derivada e integramos. Q=−kAdT dx≅ Q −kA= dT dX≅ Q −kA dx=dT Reordenando términos dT =−Q kA dx Ahora integramos

∫

dT =

_∫

−Q kA dx

Resolvemos las integrales por separado.

Primero integramos dT. Como tenemos dos temperaturas, una inicial y otra final, utilizamos las integrales definidas en un intervalo cerrado [-05, 75], se aplica la ecuación: (FranmerSub , 2013)

fxdx=Fx/b a =¿Fb−Fa

∫

a b ¿ Ahora reemplazamos

∫

dT =

∫

a75 −5 dTdX=Fb−Fa=−5−75=80 Ahora integramos −_kAQdx

∫

−_kAQdx=−Q kA

∫

dx= −Q kA x +C

Igualamos los resultados de las dos integraciones 80=−Q kA x Despejamos Q 80=−Q kA x ≅ Q= 80 kA x

Reemplazamos por los valores iniciales

Q=80∗0.0025∗100 2 cm 125 cm Q=16Cal seg=16 Cal seg∗3.600 seg 1 hora =57.600 Cal hora

SEGUNDA ACTIVIDAD GRUPAL

Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada:

Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de personas presentes en dicho instante. Si la población se duplica en 5 años, ¿cuánto demorará en triplicarse?, ¿Cuánto demorará en cuadruplicarse?

dp dt =kp ⨜dp_p =⨜dt e−¿|p| = e−kt+C 1 p=lne −kt +C p=−cekt

dp dt =kp = dp p =kdt = ln P=kt+c = P=cekt (positivo) Po=P(0) Condición Inicial t=0 p=0 c=? p0=cek (0) p₀=c P: población en tiempo P0: población inicial en t = 0 t: tiempo en años dp

dt : Rapidez con la que aumenta la población

k: Constante de proporcionalidad

Lo cual; p=− po ekt p= poekt (Positivo)

Para hallar k lo que hacemos es una segunda medición. t=5 años p=2 p₀ 2 p0=p0e k(5) 2=e5 k k =¿2 5 k =0,13 p= po e0,13 t

¿Cuál sería el tiempo si se triplicara? 3 p0=3 po e0,13 t 3=e−0,39 t ¿3=0.39t ¿3 0,39=t 2,81 años=t 3 p0=Po e0,13t 3=e0,13 t 0.13 t=ln 3 t=1.09 0.13 t=8.3

¿Cuál sería el tiempo si se cuadruplicara? 4 p0=po e 0,39 t ¿4=0,39 t ¿4 0,13=t t=2,55 años 4 p0=Po e0,13 t 4=e0,13 t

0.13 t=ln 4

t=1.38 0.13 t=10.6 años

Respuesta: La población se triplicara a los 8.3 años y se cuadriplicara a los 10.6 años

Segunda actividad Grupal: Retroalimentación Dennis

Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada:

Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de personas presentes en dicho instante. Si la población se duplica en 5 años, ¿cuánto demorará en triplicarse?, ¿Cuánto demorará en cuadruplicarse?

dp

dt =kp La ecuación a utilizar esta correcta

⨜dp_p =⨜dt _{Falto el despeje de la ecuación y le hiso falta la K constante}

e−¿|p|

= e−kt+C La integración queda bien echa pero es con signos positivos 1

p=lne

−kt +C

p=−cekt _{Es la ecuación pero con signo positivo}

Condición Inicial

t=0 p=0 c=? p0=ce

k (0)

La constante está bien hallada p₀=c

Lo cual; p=− po ekt la ecuación sigue estando negativa y debe de ser positiva

Para hallar K lo que hacemos es una segunda medición. t=5 años p=2 p₀

2 p0=po e

k(5)

La K está bien hallada

2=e5 k _{Le hiso falta más cifras desimales después del punto}

k =¿2

5 k =0,13 Para una mayor exactitud p= po e0,13 t _{La ecuación está bien escrita}

¿Cuál sería el tiempo si se triplicara? 3 p0=3 po e

0,13 t

La ecuación no está bien

3=e−0,39 t _{Al remplazar la constante k ese no es el valor}

¿3

0,39=t

2,81 años=t _{La respuesta está mal, ya que la constate K no tenía el valor correcto} ¿Cuál sería el tiempo si se cuadruplicara?

4 p0=po e 0,39 t

La ecuación está bien

¿4=0,39 t _{Al remplazar la constante k ese no es el valor} ¿4

0,13=t Buen despeje la ecuación está bien y la k corresponde t=2,55 años _{La respuesta está mal, la operación queda mal hecha}

Comprobación del problema anterior con los valores y respuestas correctas Sea

P=Población de lacomunidad en el tiempot p_o=Población inicial , ent=0

t=Tiempo , en años dp

dt =Rapidez conla que aumete la población K >0 Costante de proporcionalidad

De tal manera que:

dp

dt =KP⇔ dp

P =Kdt

lnP=Kt +C₁ P=ceKt ₍₁₎ po=P(0) ₍₂₎

Sustituyendo (2) en (1) se obtiene el valor de la constante C

P=ceK (0 )⇔ c= po ₍₃₎

Sustituyendo (3) en (1)

P= poeKt ₍₄₎

t=5 P= po

} _{La población se duplico en 5 años (5)}

→2 po=poe

5 K

→2=e5 K⇔ ln2=5 K ⇔ K=0.13873 (6)

La función que da la ´población en función del tiempo t, se obtiene sustituyendo (6) en (4)

P= poe0.13873t ₍₇₎

Cuando la población se triplica (7) queda: 3 po=poe

0.13873t_⇔3=e0.13873t_{⇔ ln 3=0.13873 t}

t= ln 3

0.13873⇔t=7.92

Cuando la población se cuadruplica (7) queda: 4 po=poe0.13873t⇔ 4=e0.13873 t⇔ ln 4=0.13873 t t= ln 4

La respuesta es que la población se triplica aproximadamente 7.92 años, y se cuadruplica a los 9.993 años

CONCLUCIONES

 La realización de este trabajo nos permite dar un recorrido de la unidad uno y reforzar los conocimientos adquiridos en el desarrollo de esta unidad, para entender un poco las aplicaciones que tienen las ecuaciones diferenciales, son una herramienta muy útil para el desarrollo de áreas difíciles de solucionar mediante los métodos convencionales o por tener formas más complejas y de más análisis matemático.

 En la ejecución de este trabajo ejercitamos el conocimiento en cuanto a la realización de ejercicios de ecuaciones diferenciales, logrando así tener más conocimiento sobre el tipo de soluciones que se le dan a estos ejercicios planteados en el curso de forma integral.

REFERENCIAS

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OVA - Unidad I - Ecuaciones diferenciales de primer orden-Introducción a las ecuaciones diferenciales

En estos recursos digitales se brinda información a los estudiantes del contenido temático de la Unidad 1- Ecuaciones diferenciales de primer orden, Introducción a las ecuaciones diferenciales con el objetivo de facilitar el reconocimiento de algunos elementos que se deben tener en cuenta para el cumplimiento de los objetivos cognitivos de la unidad.

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