Plan de estudio semanal 15- solución.pdf

(1)

Plan de estudio semanal 14.

Las operaciones deben aparecer en el cuaderno.

Lunes: Ejercicio FARO

Habilidad Habilidad especifica Nivel

Resolución de problemas

Resolver problemas que involucren polígonos y sus diferentes elementos.

3

El nuevo centro comercial de Guanacaste

De acuerdo con la Revista Construir, la Empresa conformada por el Grupo Tántalo de Venezuela desarrollará un proyecto el cual se ubicará en el Cantón de Santa Cruz, Guanacaste; entre los distritos de Cabo Velas y Cartagena. Según los planos la construcción tendrá un área cercana a los 7500 𝑚2_{, una vista de planta de las instalaciones viene dada por la siguiente imagen:}

De acuerdo con el contexto “El nuevo centro comercial de Guanacaste”, conteste las preguntas a y b:

a) La superficie en 𝑘𝑚2 de la Fase 3 corresponde a

Solución

(2)

Paso 2. Usar el método de las columnas para conseguir el área del polígono:

−30 0

0 0

50 10

30 − 20

−40 − 20

−30 0

= −30 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 50 ∙ −20 + 30 ∙ −20 − 40 ∙ 0 = −1600 −30 0

0 0

50 10

30 − 20

−40 − 20

−30 0

= −30 ∙ −20 − 40 ∙ −20 + 30 ∙ 10 + 50 ∙ 0 + 0 ∙ 0 = 1700 Área de la fase 3 = |−1600−1700 2 | = 1650 𝑘𝑚 2 Respuesta: El área de la fase 3 es de 1650 𝑘𝑚2 b) El Grupo Tántalo luego de un estudio de densidad poblacional concluye que, el 62 % del bosque interno debe estar sembrado con árboles y plantas autóctonas. De acuerdo con lo anterior, la superficie en 𝑘𝑚2_{del bosque interno destinada a siembra de árboles y plantas, corresponde a} Solución Paso 1. Escribir los puntos que limitan el polígono del Bosque interno: 𝐴(−50,40) 𝐵(50,10) 𝐶(0,0) Paso 2. Usar el método de las columnas para conseguir el área del polígono: −50 40

50 10

0 0

−50 40

= −50 ∙ 10 + 50 ∙ 0 + 0 ∙ 40 = −500 −50 40

50 10

0 0

−50 40

= −50 ∙ 0 + 0 ∙ 10 + 50 ∙ 40 = 2000

Área del Bosque interno = |−500−2000

2 | = 1250 𝑘𝑚

(3)

Paso 3. Calcular el 62% del área del bosque interno:

1250 ∙ 0.62 = 775 𝑘𝑚2

Respuesta: El área del bosque interno que debe estar sembrada con árboles y plantas autóctonas es de 775 𝑘𝑚2

Martes: Repaso de temas (Rectas, polígono regulares e irregulares)

1)

Si el total de diagonales de un polígono regulare es de 27, ¿Cuál es la cantidad de

diagonales que se pueden trazar desde un vértice pare este polígono?

Paso 1. Hacer una ecuación para encontrar el número de lados del polígono, para ello se

debe utilizar la fórmula del total de diagonales.

𝑛(𝑛 − 3)

2 = 27

𝑛

2

− 3𝑛 = 54

𝑛

2

_{− 3𝑛 − 54 = 0}

𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑑 53

𝑛 = 9

Paso 2. Utilizar el dato n=9 para encontrar el total de diagonales que se pueden trazar desde

un vértice con la fórmula.

𝑑 = 𝑛 − 3 = 9 − 3 = 6

(4)

2)

Para el polígono adjunto determine la medida de su apotema y de su radio.

Paso 1. Construir el triángulo rectángulo con el que se estará trabajando:

Paso 2. Utilizar ley de senos para encontrar la apotema y el radio.

Apotema

7 𝑠𝑒𝑛(30°)

=

𝑎

𝑠𝑒𝑛(60°)

𝑎 =

7 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(60°)

𝑠𝑒𝑛(30°)

𝑎 = 12,1

Radio

7 𝑠𝑒𝑛(30°)

=

𝑟

𝑠𝑒𝑛(90°)

𝑟 =

7 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(90°)

𝑠𝑒𝑛(30°)

𝑟 = 14

Respuesta: La apotema mide 12,1 cm y el radio mide 14 cm.

60° 30°

𝑀𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙

𝑎 𝑟

(5)

3)

Para un cilindro circular recto determine su área total, si el área de su base mide

2

144



cm

y su altura es tres unidades mayor que su radio.

Paso 1. Hacer una ecuación para encontrar la medida del radio del cilindro, para ello se

utiliza la fórmula del área de la base del cilindro.

𝑟

2

_{𝜋 = 144𝜋}

𝑟

2

= 144

𝑟 = √144

𝑟 = 12

Paso 2. Como la altura es tres unidades mayor que el radio, entonces la altura del cilindro

debe ser 12+3=15 cm.

Paso 3. Calcular el área total de un cilindro, la cual se divide en tres partes:

a)

Calcular el área basal del cilindro =

2𝑟

2

𝜋 = 2 ⋅ (12)

2

𝜋 = 288𝜋 𝑐𝑚

2

b)

Calcular el área lateral del cilindro=

2𝑟ℎ𝜋 = 2 ⋅ 12 ⋅ 15𝜋 = 360𝜋 𝑐𝑚

2

c)

Sumar las áreas anteriores =

288𝜋 + 360𝜋 = 648𝜋 𝑐𝑚

2

(6)

4)

Un plano corta una esfera de 10 cm de radio, exactamente a 6 cm de su centro,

determine el área de la sección trasversal, producida por el plano.

Paso 1. Construir el triángulo rectángulo con el que se estará trabajando:

Paso 2. Aplicar Pitágoras para encontrar la medida del radio de la circunferencia amarilla.

10

2

= 6

2

+ 𝑥

2

100 = 36 + 𝑥

2

100 − 36 = 𝑥

2

64 = 𝑥

2

√64 = 𝑥

8 = 𝑥

Paso 3. Calcular el área de la sección trasversal, es decir de la circunferencia amarilla.

Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑟

2

_{𝜋 = (8)}

2

_{𝜋 = 64𝜋 𝑐𝑚}

2

Respuesta: El área de la sección trasversal es de

64𝜋

𝑥

6 cm

(7)

Miércoles: Repaso de temas (análisis de gráficas)

Para cada grafica determine lo que se le indica:

Dominio Ámbito: Crecimiento: Decrecimiento: Constante: 𝑓(𝑥) > 0:

𝑓(𝑥) < 0: Punto máximo: Punto mínimo: Un cero: La imagen de 6: La preimagen de -4:

(8)

Ámbito [−4,3]

Crecimiento [−1, 1.5[ ∪ ]3,5[

(9)

Constante ]5 , ∞ +[

𝑓(𝑥) > 0: ]0, ∞ +[ − {3,5}

(10)

Máximo No hay Mínimo (−1 , −4) Cero (0 , 0)

La imagen de 6 es 3

(11)

Jueves: Composición de conjuntos

Determine las siguientes composiciones de funciones

1) Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 𝑦 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 5 determine (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) 𝑦 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) 2) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 2 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 determine (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) 𝑦 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) 3) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2_{− 2𝑥}_determine_{(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) 𝑦 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)}

4) Para las siguientes graficas de las funciones f y g complete la tabla adjunta.

Solución de 1 Caso (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)

Paso1. Sustituir la función g dentro de la función f

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 + 3

= 2(−𝑥 + 5) + 3

Paso 2. Operar algebraicamente

= −2𝑥 + 10 + 3 = −2𝑥 + 13

Respuesta: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = −2𝑥 + 13

Caso (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)

Paso1. Sustituir la función f dentro de la función g

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = −𝑥 + 5

= −(2𝑥 + 3) + 5

= −2𝑥 − 3 + 5 = −2𝑥 + 2

Respuesta: (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = −2𝑥 + 2

X (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)

(12)

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥2− 2 = (𝑥 − 2)2− 2

= 𝑥2− 4𝑥 + 4 − 2 = 𝑥2− 4𝑥 + 2

Respuesta: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥2_{− 4𝑥 + 2}

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥 − 2 = 𝑥2_{− 2 + 5}

= 𝑥2_{+ 3}

Respuesta: (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥2_{+ 3}

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 1 = 𝑥2_{− 2𝑥 + 1}

= 𝑥2− 2𝑥 + 1

Respuesta: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥2_{− 2𝑥 + 1}

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥2_{− 2𝑥}

= (𝑥 + 1)2− 2(𝑥 + 1)

= 𝑥2_{+ 2𝑥 + 1 − 2𝑥 − 2}

= 𝑥2− 1

(13)

Solución de 4

Paso1. Construir los diagramas respectivos en el caso de la composición (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) primero se analiza la función g y luego la función f.

Paso 2. Rellenar el diagrama de la función g, observando su gráfica 𝑔

𝑓 −2

0

(14)

Paso 3. Rellenar el diagrama de la función f, observando su gráfica

𝑔 𝑓

−2

0

1

2

−1

−3

2

−1

−3 𝑃𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑔 𝑓

−2

0

1

2

−1

−3

2

−1

−3 𝑃𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒

−2

1

(15)

Respuesta

Viernes: Función lineal.

1) Determine la función lineal f, si sabemos que 𝑓(2) = 0 𝑦 𝑓(5) = 3. Solución

Paso 1. Calcular m y b con los puntos dados 𝑓(2) = 0 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴(2,0) y por otra parte 𝑓(5) = 3 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐵(5,3)

𝑚 =𝑦2− 𝑦1 𝑥2− 𝑥1

=3 − 0

5 − 2= 1

𝑏 = 𝑦1− 𝑚 ⋅ 𝑥1= 0 − 1 ⋅ 2 = −2

Paso2. Escribir la recta de la forma y=mx+b

𝑦 = 1𝑥 − 2

Respuesta: la función lineal es 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2

2) Juan tiene una empresa de inflables y en ella brinda el servicio del toro mecánico. Luego de un estudio, Juan ha determinado que esta atracción debe alquilarse con un costo fijo de 35 000 colones y que además debe cobrar por cada hora de alquilar un monto de 2800 colones extra. De acuerdo con la información anterior, cuántas horas puede alquilarse el toro mecánico, si se dispone de un presupuesto de 50 000 colones.

Resuelto en clase.

X (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)

-2 -2

0 1