Ayudantia 8 - MAT1116
14 de Septiembre del 2017
Definici´on Punto Adherente: Sea X ⊂R, se dice que a es un punto adherente a X, si
a= l´ımn→∞xn con xn∈X
Definici´on Clausura de un conjunto: Llamaremos clausura de un conjunto X ⊂ R al conjunto:
X ={a∈X/ a es punto adherente a X}
Observaci´on : Tenemos que x⊆X, ya que si tenemos a ∈X, entonces definimos
xn=a para todo n∈N, entonces a= l´ımn→∞xn.
Definici´on Conjunto Cerrado: Decimos queF ⊂X es cerrado si,F =F.
Ejemplo 1: (a, b) = [a, b]
Por la observacion anterior tenemos gratis que (a, b)⊂(a, b)
Ahora, veamos que a ∈(a, b), para esto, consideremos la sucesi´onxn=a+ 1
n, notemos que a < xn para todo n∈N y ademasa = l´ımn→∞xn, luego a es un punto adherente a (a, b). Para ver que b es un punto adherente a (a, b) es analogo. Y claramente no hay mas sucesiones en (a, b) que convergan a un punto fuera de [a, b], luego (a, b) = [a, b]
Ejemplo 2: Sea X ={1
n / n∈N}
Veamos los puntos de adherencia, por la observaci´on tenemos queX ⊂X, vamos a ver que otro punto es punto adherente.
Para esto, consideremos la sucesi´onxn = 1
n, claramente xn ∈X para todon ∈N
Problema 1. a es adherente a X ⇐⇒Toda vecindad de a contiene alg´un punto de X.
Soluci´on : =⇒: Tenemos queaes adherente aX =⇒a= l´ımn→∞xnconxn ∈Xpara todo
n ∈ N, luego por definici´on de limite tenemos que para cualquier vecindad V de a, xn ∈ V para n suficientemente grande. Luego xn ∈ V ∩X, luego xn ∈ V ∩X 6= ∅. Luego tenemos que para toda vecindad V de a hay puntos de X.
⇐=: Tenemos que todo entorno deatiene puntos de X. En particular el entorno (a−1 n, a+
1
n)
contiene puntos de X para todo n∈N.
Luego para cada n∈N escogemos xn∈(a− 1
n, a+
1
n), luego notemos que esto implica que |xn−a|<
1
n, como l´ımn→∞
1
n = 0 entonces l´ımn→∞xn =a
Observaci´on : Si a6∈X =⇒ existe una vecindad de a tal que V ∩X =∅.
Problema 2. F ⊂R cerrado⇐⇒ A=R−F =Fc es abierto.
Soluci´on : =⇒: Tenemos que F es cerrado,
Queremos ver que A es abierto, pero siempre tenemos que Int(A) ⊂ A, asi que vamos a demostrar la otra desigualdad.
Seaa∈A =R−F =⇒a6∈F =F, luegoano es adherente aF, entonces por la observaci´on anterior se tiene que existe una vecindad V de a tal que V ∩F = ∅. Como A = R−F y
V ∩F =∅, entonces se tiene que V ⊂A.
Recapitulando, tomamos a ∈ A y vimos que existe V vecindad de a tal que V ⊂ A, osea
a∈Int(A).
Por lo tanto A⊂Int(A).
Asi queA =Int(A), osea A es abierto.
⇐=: Tenemos que A es abierto,
Queremos ver que F es cerrado, pero siempre tenemos que F ⊂ F, asi que vamos a ver la otra desigualdad.
Sea a ∈ F, entonces por el problema 1 tenemos que todo entorno de a tiene puntos de F, osea, a6∈Int(A) = A, luegoa ∈F.
Por lo tanto, F ⊂F.
Observaci´on : De el problema anterior se deduce que las uniones finitas de cerrados son cerrados.
Notar que esto no es cierto para uniones infinitas, ya que todo conjunto (abierto o no) puede escribirse como uniones infinitas de conjuntos de un elemento, los cuales son cerrados.
Problema 4. Sea Fi, i ∈ N una familia infinita de conjuntos cerrados =⇒ T∞i=1Fi es un
conjunto cerrado.
Soluci´on : tenemos que Fi son cerrados para todo i∈N, luegoFic son abiertos para todo
i∈N.
Queremos demostrar que T∞
i=1Fi es cerrado,pero por el problema 3, basta con demostrar que (T∞
i=1Fi)
c es abierto, pero tenemos que:
(
∞
[
i=1
Fi)c=
∞
\
i=1
Fic
Sabemos que Fc
i, i ∈ N son abiertos y que la union arbitraria de conjuntos abiertos es abierto, entonces tenemos que (T∞
i=1Fi)c es abierto.
Definici´on Puntos de Acumulaci´on: Diremos que a ∈ R es un punto de acumulaci´on de conjunto X ⊂R, si para todo >0, se tiene que:
(a−, a+)∩(X− {a})6=∅
LLamaremos X0 ={a∈X / a es punto de acumulacion de X}
Definici´on Punto Aislado: Diremos que a ∈R es un punto aislado de conjunto X ⊂R, si a no es punto de acumuluaci´on deX, osea, existe >0 tal que:
X∩(a−, a+) =∅
Ejemplo : Si consideramos el conjunto X ={1
n / n∈N}
podemos notar que tiene un punto de acumulaci´on en 0, ya que para todo > 0 hay un punto en el conjunto X∩(, ), esto es porque dado un > 0 siempre puedo encontrar un
N ∈N tal que 1
N < , luego
1
Problema 5. Dado X⊂R y a∈R, tenemos que la siguientes afirmaciones son equivalen-tes:
1. a es punto de acumulaci´on de X.
2. a es l´ımite de una sucesi´on de puntos xn∈X− {a}.
3. Todo intervalo abierto centrado en a contiende infinitos puntos deX.
Soluci´on : (1. =⇒ 2.) Tenemos que a es punto de acumulaci´on de X, luego se tiene que
(a−, a+)∩(X− {a})6=∅, en particular tomando = 1
n para todo n ∈N, se tiene que :
Para todo n ∈N, (a− 1 n, a+
1
n)∩(X− {a})6=∅,
Luego para todon ∈N, tomamos un elemento xn∈(a− 1
n, a+
1
n)∩(X− {a}), (xn6=a).
Comoxn ∈(a− 1
n, a+
1
n)∩(X− {a}), entoncesa−
1
n < xn< a+
1
n, entonces|xn−a|<
1
n.
Entonces tenemos que l´ımn→∞xn =a con xn6=a.
(2. =⇒ 3.) Tenemos que a = l´ımn→∞xn con xn 6= a, entonces consideremos el conjunto
Cn0 ={xn:n > n0}para cualquiern0 ∈N, notemos queCn0 tiene infinitos elementos deX,
ya que si tuviera finitos, se tendria que algun elementoxn1 se repetiria infinitas veces, luego
l´ımx→∞xn1 6=a, lo que es un contradicci´on.
Osea, tenemos que el conjunto Cn0 ={xn :n > n0} tiene infinitos elementos de X.
Ademas notemos que si V es un intervalo abierto con centro a, se tiene que Cn0 ⊂ V para
algun n0 ∈N por definici´on de limite.
Luego todo intervalo abierto V centrado en a tiene infinitos elementos de X.
(3. =⇒ 1.) Tenemos que todo intervalo abierto centrado en a, contiene infinitos puntos deX.
En particular para todo >0 el intervalo (a−, a+) tienen infinitos elementos de X. Luego (a−, a+)∩X tiene infinitos elementos.
Entonces (a−, a+)∩X− {a}sigue teniendo infinitos elementos. Luego a es punto de acumulaci´on de X.
Problema 6. Todo conjunto infinito y acotado de n´umeros reales tiene al menos, un punto de acumulaci´on.
Soluci´on : Tenemos que X es infinito y acotado, entonces tomemos un conjunto infinito y enumeremoslo, sea {x1, x2, . . . , xn, . . .}, ahora con estos elementos que son todos distintos definamos una sucesi´on llamemosla (xn), claramente esta sucesi´on esta acotada, ya que X
esta acotado.
Luego por el Teorema de Bolzano.Weiertrass, sabemos que nuestra sucesion (xn) posee una subsucesi´on convergente, llamemosla (xφ(n)) que cumple con:
l´ım
n→∞xφ(n) =a∈R
Ahora consideremos el conjunto {xφ(1), xφ(2), . . . , xφ(n), . . .}, este conjunto tiene infinitos
ele-mentos distintos, y si para algunj ∈Nse tiene que xφ(n)=a le quitamos ese elemento.
Entonces{xφ(1), xφ(2), . . . , xφ(n), . . .}es un conjunto infinito, conxφ(n)6=ay tal que l´ımn→∞xφ(n)=
