Se considera el intervalo X = [0, 5] con la medida de Lebesgue µ

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(1)

Engrap eaqu No

doble

An´alisis Real. Tarea 3. Variante α.

Definici´on de la integral de Lebesgue, teorema de convergencia mon´otona, lema de Fatou, teorema de convergencia dominada.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 3 %.

Se considera el intervalo X = [0, 5] con la medida de Lebesgue µ. Muestre que la siguiente funci´on f : X→ R es simple y dibuje su gr´afica:

f(x) =bxc + senπbxc 2 .

Calcule Z

X

f dµ.

Ejercicio 2. 3 %.

Sean f, g : [−2π, 2π]→ R,

f(x) = x, g(x) =cos(x).

Para cada una de las funciones f, g, f + g dibuje su gr´afica y calcule las partes positiva y negativa.

Determine si (f + g)+ = f++ g+. Ejercicio 3. 2 %.

Se consideran el conjunto X = R, la medida de Lebesgue µ, el conjunto A = [0, 1] y la funci´on f :=la funci´on caracter´ıstica del conjunto Q ∪ [2, 3].

Calcule: Z

A

f dµ, µ {x ∈ X: f(x) > 0}, µ(A), µ {x ∈ A: f(x) > 0}.

(2)

X

Ejercicio 7. 4 %.

En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones fn: (0, 1] → [0, +∞) definida mediante la regla

fn(x) =



n − nx, 0 < x < n1; 0, n1 ≤ x ≤ 1.

Demuestre que fn converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞fn



dµ y lim

n→∞

Z

X

fndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) = sup

n∈{1,2,...}|fn(x)|.

(3)

Engrap eaqu No

doble

An´alisis Real. Tarea 3. Variante 1.

Definici´on de la integral de Lebesgue, teorema de convergencia mon´otona, lema de Fatou, teorema de convergencia dominada.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 3 %.

Se considera el intervalo X = [0, 5] con la medida de Lebesgue µ. Muestre que la siguiente funci´on f : X→ R es simple y dibuje su gr´afica:

f(x) =cos πbxc + 2bxc.

Calcule Z

X

f dµ.

Ejercicio 2. 3 %.

Sean f, g : [−2π, 2π]→ R,

f(x) =sen(x), g(x) = −x.

Para cada una de las funciones f, g, f + g dibuje su gr´afica y calcule las partes positiva y negativa.

Determine si (f + g)+ = f++ g+. Ejercicio 3. 2 %.

Se consideran el conjunto X = R, la medida de Lebesgue µ, el conjunto A = [0, 1] y la funci´on f(x) :=

|x|.

Calcule: Z

A

f dµ, µ {x ∈ X: f(x) > 0}, µ(A), µ {x ∈ A: f(x) > 0}.

(4)

X

Ejercicio 7. 4 %.

En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones fn: (0, 1] → [0, +∞) definida mediante la regla

fn(x) = nχ(0,1/n](x) =



1, 0 < x6 n1; 0, n1 < x6 1.

Demuestre que fn converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞fn

dµ y lim

n→∞

Z

X

fndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) = sup

n∈{1,2,...}|fn(x)|.

(5)

Engrap eaqu No

doble

An´alisis Real. Tarea 3. Variante 2.

Definici´on de la integral de Lebesgue, teorema de convergencia mon´otona, lema de Fatou, teorema de convergencia dominada.

Nombre: Calificaci´on ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificaci´on parcial.

Ejercicio 1. 3 %.

Se considera el intervalo X = [0, 5] con la medida de Lebesgue µ. Muestre que la siguiente funci´on f : X→ R es simple y dibuje su gr´afica:

f(x) =b6 −|x − 3|c.

Calcule Z

X

f dµ.

Ejercicio 2. 3 %.

Sean f, g : [−3, 3]→ R,

f(x) = 1 −|x|, g(x) = 2x − 2.

Para cada una de las funciones f, g, f + g dibuje su gr´afica y calcule las partes positiva y negativa.

Determine si (f + g)+ = f++ g+. Ejercicio 3. 2 %.

Se consideran el conjunto X = R, la medida de Lebesgue µ, el conjunto A = [0, 1] y la funci´on f :=la funci´on caracter´ıstica del conjunto Q ∪ [4, 5].

Calcule: Z

A

f dµ, µ {x ∈ X: f(x) > 0}, µ(A), µ {x ∈ A: f(x) > 0}.

(6)

∀n ∈ N

X

fndµ = +∞.

Ejercicio 7. 4 %.

En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones fn: R → [0, +∞) definida mediante la regla

fn(x) = χ[n,n+1)(x) =



1, n6 x < n + 1;

0, x < n ∨ x > n + 1.

Demuestre que fn converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞fn



dµ y lim

n→∞

Z

X

fndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) = sup

n∈N|fn(x)|.

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