Engrap eaqu No
doble
An´alisis Real. Tarea 3. Variante α.
Definici´on de la integral de Lebesgue, teorema de convergencia mon´otona, lema de Fatou, teorema de convergencia dominada.
Nombre: Calificaci´on ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificaci´on parcial.
Ejercicio 1. 3 %.
Se considera el intervalo X = [0, 5] con la medida de Lebesgue µ. Muestre que la siguiente funci´on f : X→ R es simple y dibuje su gr´afica:
f(x) =bxc + senπbxc 2 .
Calcule Z
X
f dµ.
Ejercicio 2. 3 %.
Sean f, g : [−2π, 2π]→ R,
f(x) = x, g(x) =cos(x).
Para cada una de las funciones f, g, f + g dibuje su gr´afica y calcule las partes positiva y negativa.
Determine si (f + g)+ = f++ g+. Ejercicio 3. 2 %.
Se consideran el conjunto X = R, la medida de Lebesgue µ, el conjunto A = [0, 1] y la funci´on f :=la funci´on caracter´ıstica del conjunto Q ∪ [2, 3].
Calcule: Z
A
f dµ, µ {x ∈ X: f(x) > 0}, µ(A), µ {x ∈ A: f(x) > 0}.
X
Ejercicio 7. 4 %.
En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones fn: (0, 1] → [0, +∞) definida mediante la regla
fn(x) =
n − nx, 0 < x < n1; 0, n1 ≤ x ≤ 1.
Demuestre que fn converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z
X
nlim→∞fn
dµ y lim
n→∞
Z
X
fndµ.
Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:
h(x) = sup
n∈{1,2,...}|fn(x)|.
Engrap eaqu No
doble
An´alisis Real. Tarea 3. Variante 1.
Definici´on de la integral de Lebesgue, teorema de convergencia mon´otona, lema de Fatou, teorema de convergencia dominada.
Nombre: Calificaci´on ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificaci´on parcial.
Ejercicio 1. 3 %.
Se considera el intervalo X = [0, 5] con la medida de Lebesgue µ. Muestre que la siguiente funci´on f : X→ R es simple y dibuje su gr´afica:
f(x) =cos πbxc + 2bxc.
Calcule Z
X
f dµ.
Ejercicio 2. 3 %.
Sean f, g : [−2π, 2π]→ R,
f(x) =sen(x), g(x) = −x.
Para cada una de las funciones f, g, f + g dibuje su gr´afica y calcule las partes positiva y negativa.
Determine si (f + g)+ = f++ g+. Ejercicio 3. 2 %.
Se consideran el conjunto X = R, la medida de Lebesgue µ, el conjunto A = [0, 1] y la funci´on f(x) :=
|x|.
Calcule: Z
A
f dµ, µ {x ∈ X: f(x) > 0}, µ(A), µ {x ∈ A: f(x) > 0}.
X
Ejercicio 7. 4 %.
En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones fn: (0, 1] → [0, +∞) definida mediante la regla
fn(x) = nχ(0,1/n](x) =
1, 0 < x6 n1; 0, n1 < x6 1.
Demuestre que fn converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z
X
nlim→∞fn
dµ y lim
n→∞
Z
X
fndµ.
Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:
h(x) = sup
n∈{1,2,...}|fn(x)|.
Engrap eaqu No
doble
An´alisis Real. Tarea 3. Variante 2.
Definici´on de la integral de Lebesgue, teorema de convergencia mon´otona, lema de Fatou, teorema de convergencia dominada.
Nombre: Calificaci´on ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificaci´on parcial.
Ejercicio 1. 3 %.
Se considera el intervalo X = [0, 5] con la medida de Lebesgue µ. Muestre que la siguiente funci´on f : X→ R es simple y dibuje su gr´afica:
f(x) =b6 −|x − 3|c.
Calcule Z
X
f dµ.
Ejercicio 2. 3 %.
Sean f, g : [−3, 3]→ R,
f(x) = 1 −|x|, g(x) = 2x − 2.
Para cada una de las funciones f, g, f + g dibuje su gr´afica y calcule las partes positiva y negativa.
Determine si (f + g)+ = f++ g+. Ejercicio 3. 2 %.
Se consideran el conjunto X = R, la medida de Lebesgue µ, el conjunto A = [0, 1] y la funci´on f :=la funci´on caracter´ıstica del conjunto Q ∪ [4, 5].
Calcule: Z
A
f dµ, µ {x ∈ X: f(x) > 0}, µ(A), µ {x ∈ A: f(x) > 0}.
∀n ∈ N
X
fndµ = +∞.
Ejercicio 7. 4 %.
En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones fn: R → [0, +∞) definida mediante la regla
fn(x) = χ[n,n+1)(x) =
1, n6 x < n + 1;
0, x < n ∨ x > n + 1.
Demuestre que fn converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z
X
nlim→∞fn
dµ y lim
n→∞
Z
X
fndµ.
Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:
h(x) = sup
n∈N|fn(x)|.
