esen H x yl d f Hx, y, zl = ysen H x zl e f Hx, y, zl = H x y Lz f f Hx, y, zl = Sen H x yl Cos Hx y L g f Hx, y, zl = zx y z h f Hx, y, zl =

aL f Hx, y, zL = Ln Kx + y

z O bO f Hx, y, zL = e^{SenH x yL} cO f Hx, y, zL = x + y

z

d fHx, y, zL = y^{SenH x zL} e f

Hx, y, zL = H x y L^z f fHx, y, zL = Sen H x yL Cos Hx y L

g fHx, y, zL = z^{x y z} h fHx, y, zL =

e^{2 x2y}CosI 3 x y²M i fHx, y, zL = Iz²+ 1M^x

GradBLogBx + y

z F, 8x, y, z<F : 1

x+y ,

1 x+y

,- 1 z>

GradAe^{Sin@x zD},8x, y, z<E

9e^{Sin@x zD}z Cos@x zDLog@eD, 0, e^{Sin@x zD}x Cos@x zDLog@eD=

GradB x + y z

,8x, y, z<F

: 1

2 ^x+y

z z

, 1

2 ^x+y

z z

,-

x+y

2 ^x+y

z z²

>

GradAy^{Sin@x zD},8x, y, z<E

9y^{Sin@x zD}z Cos@x zDLog@yD, y-1+Sin@x zDSin@x zD, x y^{Sin@x zD}Cos@x zDLog@yD=

Grad@H x y L^z,8x, y, z<D

9yHx yL^-1+zz, xHx yL^-1+zz,Hx yL^zLog@x yD=

Grad@Sen @ x yD Cos @x y D, 8x, y, z<D

8-y Sen@x yDSin@x yD +y Cos@x yDSen^¢@x yD, -x Sen@x yDSin@x yD +x Cos@x yDSen^¢@x yD, 0<

Grad@z^{x y z},8x, y, z<D

9y z^{1+x y z}Log@zD, x z^{1+x y z}Log@zD, z^{x y z}Hx y+x y Log@zDL=

GradAe^{2 x2y}CosA3 x y²E, 8x, y, z<E

94 e^{2 x2y}x y CosA3 x y²ELog@eD -3 e^{2 x2y}y²SinA3 x y²E, 2 e^{2 x2y}x²CosA3 x y²ELog@eD -6 e^{2 x2y}x y SinA3 x y²E, 0= GradAIz²+ 1M^x,8x, y, z<E

:I1+z²M^xLogA1+z²E, 0, 2 x zI1+z²M^-1+x>

2. Obtener la matriz hessiana de las siguientes funciones en un punto genérico, especificando las condiciones que

debe verificar este punto :

aL f Hx, yL = x y bM f Hx, yL = LnAx + y²E Grad@Sqrt@x yD, 8x, y<D

: y

2 x y ,

x 2 x y

>

La matriz Hessiana será : Grad@%, 8x, y<D

::- y²

4Hx yL^32,- x y 4Hx yL^32 +

1 2 x y

>,:- x y 4Hx yL^32 +

1 2 x y

,- x² 4Hx yL^32>>

Tambien podemos obtener la matriz Hessiana directamente con :

In[1]:= DA x y , 88x, y<, 2<E

Out[1]= ::- y²

4Hx yL^32,- x y 4Hx yL^32 +

1 2 x y

>,:- x y 4Hx yL^32 +

1 2 x y

,- x² 4Hx yL^32>>

Grad@Log@x + y^2D, 8x, y<D

: 1

x+y² ,

2 y x+y²

>

Grad@%, 8x, y<D

::- 1

Ix+y²M²,- 2 y

Ix+y²M²>,:- 2 y

Ix+y²M²,- 4 y² Ix+y²M²

+ 2

x+y²

>>

La matriz Hessiana directamente :

In[2]:= D@Log@x + y^2D, 88x, y<, 2<D

Out[2]= ::- 1

Ix+y²M²,- 2 y

Ix+y²M²>,:- 2 y Ix+y²M²,-

4 y² Ix+y²M² +

2 x+y²

>>

3. Obtener la matriz hessiana de la función f en

el puntoH1, 1L y de la función g en el punto H1, 0, -1L.

aL f Hx, yL = x + y bM g Hx, y, zL = x y z - x²z²

GradA x + y , 8x, y<E

: 1

2 x+y ,

1 2 x+y

>

Grad@%, 8x, y<D

::- 1

4Hx+yL^32,- 1

4Hx+yL^32>,:- 1

4Hx+yL^32,- 1

4Hx+yL^32>>

La matriz Hessiana directamente :

In[5]:= DA x + y , 88x, y<, 2<E

Out[5]= ::- 1

4Hx+yL^32,- 1

4Hx+yL^32>,:- 1

4Hx+yL^32,- 1

4Hx+yL^32>>

In[26]:= Hf@x_, y_D := ::- 1

4Hx + yL^32, - 1

4Hx + yL^32>, :- 1

4Hx + yL^32, - 1

4Hx + yL^32>>;

Hf@1, 1D

Out[27]= ::- 1

8 2 ,-

1 8 2

>,:- 1 8 2

,- 1 8 2

>>

Hf@1, 1D =

- 1

4 8 - 1

4 8 - 1

4 8 - 1

4 8

GradAx y z - x²z²,8x, y, z<E 9y z-2 x z², x z, x y-2 x²z= Grad@%, 8x, y, z<D

99-2 z², z, y-4 x z=,8z, 0, x<,9y-4 x z, x,-2 x²==

La matriz Hessiana directamente :

In[8]:= DAx y z - x²z²,88x, y, z<, 2<E

Out[8]= 99-2 z², z, y-4 x z=,8z, 0, x<,9y-4 x z, x,-2 x²==

In[30]:= Hg@x_, y_, z_D := 99-2 z², z, y - 4 x z=, 8z, 0, x<, 9y - 4 x z, x, -2 x²==;

Hg@1, 0, -1D

Out[31]= 88-2,-1, 4<,8-1, 0, 1<,84, 1,-2<<

Hg@1, 0, -1D = - 2 - 1 4 - 1 0 1 4 1 - 2

4. Dada la función fHx, y, zL =

x^y + y^zobtener el vector gradiente en un punto genérico y las siguientes derivadas parciales de segundo orden en el puntoH1, 2, 3L :¶²f

¶ x²

Hx, y, zL,

¶²f

¶ y ¶ x Hx, y, zL, ¶²f

¶ x ¶ y Hx, y, zL.

Grad@x^y+ y^x,8x, y<D

9x^-1+yy+y^xLog@yD, x y^-1+x+x^yLog@xD=

D@x^y+ y^x, xD x^-1+yy+y^xLog@yD D@%, xD

x^-2+yH-1+yLy+y^xLog@yD² Tambien directamente D₁₁:

In[9]:= D@D@x^y+ y^x, xD, xD

Out[9]= x^-2+yH-1+yLy+y^xLog@yD²

In[32]:= D11f@x_, y_, z_D := x^-2+yH-1 + yL y + y^xLog@yD²;

D11f@1, 2, 3D

Out[33]= 2+2 Log@2D²

DAx^-1+yy + y^xLog@yD, yE

x^-1+y+y^-1+x+x^-1+yy Log@xD +x y^-1+xLog@yD Tambien directamente D₁₂y D₂₁:

In[10]:= D@D@x^y+ y^x, xD, yD

Out[10]= x^-1+y+y^-1+x+x^-1+yy Log@xD +x y^-1+xLog@yD

In[34]:= D21f@x_, y_, z_D := x^-1+y+ y^-1+x+ x^-1+yy Log@xD + x y^-1+xLog@yD;

D21f@1, 2, 3D

Out[35]= 2+Log@2D

In[11]:= D@D@x^y+ y^x, yD, xD

Out[11]= x^-1+y+y^-1+x+x^-1+yy Log@xD +x y^-1+xLog@yD

5. Dada la función fHx, y, zL = LnAx + y²+ z³E. aM Obtener el dominio de la función f. bM Obtener el vector gradiente de f en un punto genérico. cM

Determinar el dominio de definición del vector gradiente de f, y si es posible, el vector gradiente de en

los puntosH-2, -1, 0L y en H1, 1, -1L.dM Obtener las siguientes derivadas parciales de segundo orden :

¶²f

¶ y² Hx, y, zL, ¶²f

¶ x ¶ z Hx, y, zL, ¶²f

¶ y ¶ x Hx, y, zL.

In[15]:= GradALogAx + y²+ z³E, 8x, y, z<E

Out[15]= : 1

x+y²+z³ ,

2 y x+y²+z³

,

3 z² x+y²+z³

>

cL Dom HGradfL = 9Hx, y, zL Î R³‘ x + y²+ z³> 0=.

In[44]:= Gra@x_, y_, z_D := : 1

x + y²+ z³ ,

2 y x + y²+ z³

,

3 z² x + y²+ z³>;

H-2, -1, 0L Ï DomGradf

In[21]:= Gra@1, 1, -1D

Out[21]= 81, 2, 3<

DALogAx + y²+ z³E, yE 2 y

x+y²+z³ D@%, yD -

4 y² Ix+y²+z³M²

+ 2 x+y²+z³

Tambien directamente D₂₂:

In[12]:= DADALogAx + y²+ z³E, yE, yE

Out[12]= - 4 y²

Ix+y²+z³M²

+ 2

x+y²+z³

DALogAx + y²+ z³E, xE 1

x+y²+z³ D@%, zD

- 3 z²

Ix+y²+z³M²

Directamente D₃₁y D₁₂:

In[13]:= DADALogAx + y²+ z³E, zE, xE

Out[13]= - 3 z²

Ix+y²+z³M²

In[14]:= DADALogAx + y²+ z³E, xE, yE

Out[14]= - 2 y

Ix+y²+z³M²

6. Dada la función : fHx, y, zL = Sen@x yD Cos@zD . aL Obtener el dominio de la función. bL Obtener el vector gradiente de f en un punto genérico. cL Determinar el dominio de definición del vector gradiente de f ,

y si es posible, el vector gradientede f e

el puntoH1, 0, Π L. dL Obtener las siguientes derivadas parciales de segundo orden :

¶²f

¶ z²

Hx, y, zL, ¶²f

¶ y ¶ x Hx, y, zL, ¶²f

¶ x ¶ y Hx, y, zL.

aL Dom HfL = R

In[22]:= Grad@Sin@x yD Cos@zD, 8x, y, z<D

Out[22]= 8y Cos@x yDCos@zD, x Cos@x yDCos@zD,-Sin@x yDSin@zD<

cL Dom HGradfL = R

In[36]:= Gra@x_, y_, z_D := 8y Cos@x yD Cos@zD, x Cos@x yD Cos@zD, -Sin@x yD Sin@zD<;

Gra@1, 0, Π D

Out[37]= 80,-1, 0<

In[23]:= D@D@Sin@x yD Cos@zD, zD, zD

Out[23]= -Cos@zDSin@x yD

In[24]:= D@D@Sin@x yD Cos@zD, xD, yD

Out[24]= Cos@x yDCos@zD -x y Cos@zDSin@x yD

In[25]:= D@D@Sin@x yD Cos@zD, yD, xD

Out[25]= Cos@x yDCos@zD -x y Cos@zDSin@x yD 7. Dada la función fHx, yL = Sin@x yD

5^x

. a Obtener el vector gradiente de f, así como su dominio de definición. b Calcular las

derivadas parciales de segundo orden :

¶²f

¶ y² Hx, yL , ¶²f

¶ x ¶ y Hx, yL.

In[38]:= GradBSin@x yD 5^x

,8x, y<F

Out[38]= 85^-xy Cos@x yD -5^-xLog@5DSin@x yD, 5^-xx Cos@x yD<

aL DomGraf = 9Hx, yL Î R²=

In[39]:= DBDBSin@x yD 5^x

, yF, yF

Out[39]= -5^-xx²Sin@x yD

In[40]:= DBDBSin@x yD 5^x

, yF, xF

Out[40]= 5^-xCos@x yD -5^-xx Cos@x yDLog@5D -5^-xx y Sin@x yD

8. Dada la función fHx, y, zL = Ln@x y + zD.

aL Obtener el dominio de la función.bL Obtener el vector gradiente de f, en un punto genéico.cL Determinar el dominio de definición del

vector gradiente de f, y si es posible, el vector gradiente de f en el puntoH1, 1, -2L.

aL Domf = 9Hx, y, zL Ε R³‘ x y + z > 0=

In[41]:= Grad@Log@x y + zD, 8x, y, z<D

Out[41]= : y

x y+z ,

x x y+z

, 1 x y+z>

cL DomGraf = 9Hx, y, zL Ε R³‘ x y + z > 0=

Gra@x_, y_, z_D := : y x y + z

, x x y + z

, 1 x y + z>;

H1, 1, -2L Ï DomGraf

9. Dada la función fHx, yL = x y - 1

y gHx, yL = x^xy

a Obtener los dominios de definición de f y g. b Obtener los vectores

gradientes de f y g en un punto genérico, indicando sus respectivos dominios. c

Si es posible, determinar los vectores gradientes en el puntoH1, 2L.

aL Domf = :Hx, yL Î R²“ x y - 1

r0, y - 1 ¹ 0>, Domg = 9Hx, yL Î R²‘ x > 0, y ¹ 0=

In[45]:= GradB x

y - 1

,8x, y<F

Out[45]= : 1

2 ^x

-1+y H-1+yL ,-

x

2 ^x

-1+y H-1+yL²

>

In[46]:= GradBx^xy,8x, y<F

Out[46]= :x^xy 1 y

+

Log@xD y

,- x¹⁺

x

y Log@xD y²

>

In[47]:= Graf@x_, y_D := : 1

2 ^x

-1+y H-1 + yL , -

x

2 ^x

-1+y H-1 + yL²

>;

Grag@x_, y_D := :x^xy 1 y

+

Log@xD y

, - x¹⁺

x

y Log@xD

y²

>;

Graf@1, 2D Grag@1, 2D

Out[49]= :1 2

,-1 2>

Out[50]= :1 2

, 0>

10. Dada la función fHx, yL = LnB x + y x - y

3 F. a Obtener

el dominio de definición de f. b Obtener la matriz Hessiana

de f en un punto genérico indicando su dominio de definición. c

Si es posible calcular la matriz Hessiana en el puntoH2, 1L.

aL Domf = 9Hx, yL Ε R²‘ x - y ¹ 0=

In[51]:= DBLogB x + y

x - y

3 F, 88x, y<, 2<F

Out[51]= ::Hx-yL J-_Hx-yL² 2 + ^2Hx+yL

Hx-yL³N 3Hx+yL -

Hx-yL²J_x-y¹ - ^x+y

Hx-yL²N² 3Hx+yL² ,

- 2

3Hx-yL² -

Hx-yL²J_x-y¹ - ^x+y

Hx-yL²N J_x-y¹ + ^x+y

Hx-yL²N 3Hx+yL² >,

:- 2

3Hx-yL² -

Hx-yL²J_x-y¹ - ^x+y

Hx-yL²N J_x-y¹ + ^x+y

Hx-yL²N

3Hx+yL² , Hx-yL J_Hx-yL² 2 + ^2Hx+yL

Hx-yL³ N 3Hx+yL -

Hx-yL²J_x-y¹ + ^x+y

Hx-yL²N² 3Hx+yL² >>

In[52]:= Simplify@%D

Out[52]= :: 4 x y

3Hx-yL²Hx+yL²,-

2Ix²+y²M

3Hx-yL²Hx+yL²>,:- 2Ix²+y²M 3Hx-yL²Hx+yL²,

4 x y

3Hx-yL²Hx+yL²>>

bL DomHf = 9Hx, yL Ε R²‘ x - y ¹ 0, x + y ¹ 0=

In[53]:= Hf@x_, y_D :=

:: 4 x y

3Hx - yL²Hx + yL², -

2Ix²+ y²M

3Hx - yL²Hx + yL²>, :- 2Ix²+ y²M 3Hx - yL²Hx + yL²,

4 x y

3Hx - yL²Hx + yL²>>;

Hf@ 2, 1D

Out[54]= :: 8 27

,-10

27>,:-10 27 ,

8 27>>

11. Dada la función fHx, yL = Sin²@x yD. aM

Obtener el vector gradiente de f en un punto genérico. bM Calcular la derivada parcial de segundo orden :

¶²f

¶ x²

Hx, yL

In[56]:= GradASin@x yD²,8x, y<E

Out[56]= 82 y Cos@x yDSin@x yD, 2 x Cos@x yDSin@x yD<

In[57]:= DADASin@x yD², xE, xE

Out[57]= 2 y²Cos@x yD²-2 y²Sin@x yD²

12. Dada la función fHx, y, zL = x^{x z}. aL Obtener el dominio de la función f. bL Obtener el vector gradiente de f en un punto genérico. cL

Determinar el dominio de definición del vector gradiente de f, y si es posible, el vector gradientede f en

el puntoH1, -1, 1L.

aL Domf = 9Hx, y, zL Ε R³‘ x > 0=

In[58]:= Grad@x^{x z},8x, y, z<D

Out[58]= 9x^{x z}Hz+z Log@xDL, 0, x^{1+x z}Log@xD=

cL DomGraf = 9Hx, y, zL Ε R³‘ x > 0=

In[59]:= Gra@x_, y_, z_D := 9x^{x z}Hz + z Log@xDL, 0, x^{1+x z}Log@xD=;

Gra@1, -1, 1D

Out[60]= 81, 0, 0<

13. Dada la función fHx, yL = LnB x + 3 y³

F. a Obtener el vector gradiente de f,

asícomo su dominio de definición. b Calcular las

derivadas parciales de segundo orden :

¶²f

¶ x² Hx, yL y ¶²f

¶ x ¶ y Hx, yL.

In[61]:= GradBLogB x + 3 y³

F, 8x, y<F

Out[61]= : 1

2H3+xL,- 3 2 y>

aL DomGraf = :Hx, yL Ε R²“ x + 3 y³

> 0, y ¹ 0>

In[62]:= DBDBLogB x + 3

y³

F, xF, xF

Out[62]= - 1

2H3+xL²

In[63]:= DBDBLogB x + 3

y³

F, yF, xF

Out[63]= 0

14. Dada la función fHx, y, zL = z^{Sin@x zD}. aM Obtener el vector gradiente de f, así como su dominio de definición. bM Calcular las

derivadas parciales de segundo orden :

¶²f

¶ x² Hx, yL y ¶²f

¶ x ¶ y Hx, yL.

In[64]:= GradAz^{Sin@x zD},8x, y, z<E

Out[64]= :z^{1+Sin@x zD}Cos@x zDLog@zD, 0, z^{Sin@x zD} x Cos@x zDLog@zD +Sin@x zD z >

aL DomGraf = 9Hx, y, zL Ε R³‘ z > 0=

In[65]:= DADAz^{Sin@x zD}, xE, xE

Out[65]= z^{2+Sin@x zD}Cos@x zD²Log@zD²-z^{2+Sin@x zD}Log@zDSin@x zD

In[66]:= DADAz^{Sin@x zD}, yE, xE

Out[66]= 0