Tema 6
Constelación de Orión
Cuando aperturamos el tema 1 vimos que con un conjunto de puntos podíamos construir distintos tipos de líneas, tales como:
Esta vez vamos a centrarnos en aprender las características que tienen las líneas poligonales y los polígonos en general. Pero primero es necesario hacer una discriminación oportuna: ¿Cuándo hablamos de una línea poligonal abierta y cuándo es cerrada?
Es decir, en una línea poligonal abierta, el punto que dio inicio al primer segmento es distinto al punto final del último segmento. Obviamente que en la poligonal cerrada el punto de inicio del primer segmento es, al mismo tiempo, el punto final del último.
Recta Curva Poligonal Mixta
B C D N
O
R
T
U V
S
Línea poligonal abierta A
B
C
D
H
I
J
K G
E F
Línea poligonal cerrada
Polígonos
Etimológicamente:
Polígono proviene de polis: «muchos» y gonos: «ángulos».
¿Sa bía s qu e...?
Un polígono existe si todos y cada uno de sus lados pertenecen al mismo plano.
Recu erda
Otra característica que tienen las líneas poligonales es que algunas son convexas y otras no convexas (en alguna literatura se utiliza la expresión cóncavas, pero dicha denominación no es del todo apropiada ya que está más asociada a las líneas o superficies curvas).
¿Cómo identificamos si una línea poligonal es convexa o no convexa? Partiendo de un plano, se traza una recta sobre dicho plano y este queda dividido en dos semiplanos.
Tal como se muestra en el gráfico:
A partir de ello podemos definir:
• Línea poligonal convexa: Cuando todos los segmentos que la conforman pertenecen a un mismo semiplano.
• Línea poligonal no convexa: Cuando algún o algunos segmentos de una línea poligonal no pertenecen al mismo semiplano.
A partir de las líneas poligonales cerradas podemos construir polígonos, tanto convexos como no convexos.
Primero, determinamos la nomenclatura de las poligonales cerradas:
Semiplano 1
Semiplano 2
Semiplano A
Semiplano B
Línea poligonal convexa
Semiplano A
Semiplano B Línea poligonal no convexa
Número de lados Nombre
3 triángulo
4 cuadrilátero
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
9 nonágono (eneágono)
10 decágono
11 undecágono (endecágono)
12 dodecágono
15 pentadecágono
20 icoságono
Otra manera de saber si una figura es convexa, sería verla por el máximo número de cortes de una secante.
¿Sa bía s qu e...?
Solo dos puntos de corte.
Más de dos puntos de corte.
Polígono convexo
Polígono no convexo
105 Nota: Para un polígono cuyo número de lados no aparece en la lista, simplemente se le
nombra en función a su número de lados: Por ejemplo podemos hablar del Polígono de 30 lados (sería un error hablar de TRIDECÁGONO).
Ya que hemos notado cómo se conforma un polígono, los elementos de un polígono solo son dos: vértices y lados.
En la figura:
• Vértices: A, B, C, D y E
• Lados: AB, BC, CD, DE y EA
Los ángulos y las diagonales son llamados elementos asociados.
Veamos algunos elementos asociados en la figura.
ABC: ángulo interior de medida θ°
DEP: ángulo exterior de medida α°
FC : diagonal
Clasificación de polígonos
Polígono convexo: Formado por una poligonal cerrada convexa.
A B
C D
E
B
A G
F
E
P D θ° C
α°
Recu erda
Se llama ángulo ABC.
α°: medida del ángulo ABC.
A α°
C B
BD: diagonal interior CE: diagonal exterior A
B C
E D
106
Polígono no convexo: Formado por una poligonal cerrada no convexa.
Polígono equilátero: Polígono donde las longitudes de sus lados son iguales. Puede ser convexo o no convexo.
Polígono equiángulo: Polígono donde las medidas de sus ángulos son iguales.
Necesariamente debe ser un polígono convexo.
Polígono regular: Es equiángulo y equilátero al mismo tiempo.
θ°
θ°
θ°
θ°
θ°
θ°
θ°
α° α°
α° α°
α° α°
Centro O a
a a
a
a a
I mporta nte
Polígono equilátero: Sus lados miden igual.
Polígono equiángulo: Sus ángulos miden igual.
Polígono regular:
Tanto sus lados como ángulos miden igual.
Polígono equilátero convexo Polígono equilátero no convexo
θ°
θ°
θ°
θ°
107 a = b
a = b
Observación: Un polígono regular tiene la propiedad de estar inscrito y circunscrito al mismo tiempo.
Más adelante estudiaremos al detalle estos polígonos, por ahora, nos concentraremos en algunos teoremas a partir de su configuración.
Postulado: En todo polígono el número de vértices es igual al número de lados e igual al número de ángulos internos.
Teorema: En todo polígono el número de diagonales es igual al semiproducto del número de lados con el número de lados disminuido en tres.
Teorema: En todo polígono convexo, la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual al producto de 180º con el número de lados disminuido en 2.
S i = 180°(n – 2)
S e = 360°
Teorema: En todo polígono convexo, la suma de las medidas de los ángulos exteriores (considerando uno en cada vértice) es 360º.
n: número de lados C
A
D
F
E B
Postulado: Es una proposición que no requiere demostración ya que es obvia.
Teorema: Es una proposición que requiere demostración.
Recu e rda
a = b ND = n(n – 3)
2
108
a = b
a = b
a = b
Teorema: En todo polígono equiángulo y regular, la medida de cada ángulo exterior es igual a 360º dividido por el número de lados.
Teorema: En todo polígono regular, la medida de su ángulo central es equivalente con la de su ángulo externo.
Teorema: En todo polígono equiángulo y regular, la medida de cada ángulo interior es igual al producto de 180º con el número de lados disminuido en dos, y dividido por el número de lados.
m i = 180°(n – 2) n
m e = 360°
n
m c = 360°
n
Observación: Si el pentágono mostrado es regular, se tiene que:
Observación: Para un polígono de n lados se tiene:
Teorema: Desde cada vértice en un polígono se pueden trazar «n – 3» diagonales.
Cantidad de vértices
consecutivos Número de diagonales trazables
1 n – 3
2 n – 3
3 n – 4
4 n – 5
5 n – 6
Recu e rda
A
D
AD: diagonal
Sea O: centro del pentágono ángulo exterior
ángulo interior ángulo central
O
1 ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un pentadecágono convexo?
2 ¿Cuántas diagonales más tiene un icoságono que un dodecágono?
Suma de medidas de ángulos interiores:
a = b S i = 180°(n – 2)
Número máximo de diagonales:
a = b ND = n(n – 3)
2
Recu e rda
3 En un polígono convexo de 146 lados, ¿cuánto es la suma de las medidas de sus ángulos exteriores? (Considere un solo ángulo exterior por vértice)
Recu e rda
Solo dos puntos de corte:
Polígono convexo
Más de dos puntos de corte: Polígono no convexo o cóncavo.
4 ¿Cuánto mide el ángulo central de un polígono de 20 lados?
Ejercicios resueltos
6 ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo cuya suma de los ángulos interiores es 3060º?
O: Centro
AOB: ángulo central de medida α.
Ángulo central de un polígono regular
A B
O α°
Recu e rda
Polígono regular:
• Lados miden igual.
• Ángulos miden igual.
Recu e rda
7 ¿Cuántas diagonales tiene el polígono regular en el cual el ángulo externo es la mitad del interno?
• Número de diagonales:
Recu e rda
a = b ND = n (n ‒ 3)2
5 Se tiene un polígono de 18 lados, ¿cuántas diagonales se pueden trazar desde 5 vértices consecutivos?
8 En la figura, se muestran dos polígonos regulares. Indica el valor de x.
x
9 ¿Cuántos lados tiene el polígono cuyo número de diagonales excede en 133 al número de lados?
Medida de un ángulo interno:
Medida de un ángulo externo:
Recu e rda
a = b m i = 180° (n ‒ 2)
n
a = b m e = 360°
n
112
10 En un polígono equilátero cuyo lado mide 4 cm, su número de diagonales es numéricamente igual al cuádruplo del número que expresa el perímetro de la región que limita dicho polígono. Calcula el número de lados del polígono.
12 En la figura ABCDEF y APQF, son polígonos regulares, determina el valor de x.
11 Halla el número de lados de un polígono en el cual la diferencia de su número de diagonales y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos interiores es 19.
A B
C D
E
F P
x
Q Perímetro:
Suma de las longitudes de los lados de un polígono cualquiera.
Recu e rda
113
Anexo
En Matemática, las afirmaciones (proposiciones) tienen diferentes categorías. Tenemos:
Axiomas o postulados
Son proposiciones de obvia explicación o de análisis simple. Aquí algunos ejemplos:
La distancia mínima entre dos puntos es un segmento recto Sea:
A B Es obvio que para unir A y B se requiere solo un segmento recto.
A B
Todos los ángulos rectos miden igual
Esto es evidente porque todos los ángulos rectos miden 90°.
Algunos postulados geométricos requieren un poco más de reflexión:
Así por ejemplo:
Postulado de ángulos correspondientes Sea L1 // L2 ⇒ αa = b ° = β°
β° α°
L2 L1
Postulado de triángulos congruentes
Si AB = MN y BC = NK; además, m ABC = m MNK.
θ°
A C
B
α β
°θ
M K
N
α β
Entonces se afirma que:
a = b ABC ≅ MNK
≅ se lee:
es congruente a
Recu e rda
114
También como siguiente tipo de proposiciones tenemos los teoremas.
Teorema
Es una proposición matemática que tiene una demostración.
Veamos:
Teorema 1
Los ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes.
Si L1 // L2 ⇒ θ° = ω°a = b
ω° θ°
L2 L1
Demostración:
ω° D
θ°
θ°
L2 L1
C A
B
E F
1. m ABC = m FBD (ángulos opuestos por el vértice).
2. Por el postulado de los ángulos correspondientes, ω = θ → LQQD Teorema 2
Los ángulos conjugados entre paralelas son suplementarios.
Sea L1 // L2 ⇒ α° + β° = 180°a = b
β° α°
L2 L1
Demostración:
β° D
α° β°
L2 L1
C A
B
E
1. Por el postulado de ángulos correspondientes: m ABC = m ADE 2. Se nota que en «B» se tiene un par lineal.
a = b
α° + β° = 180° → LQQD LQQD: quiere decir,
«lo que se quería demostrar».
¿Sa bía s qu e...?
115 Recuerda: Par lineal son ángulos adyacentes y suplementarios.
θ° α°
Teorema 3
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
A
B
α° θ° C
β°
Demostración
θ° α°
E D L
A
B
α° θ° C
β°
1. Se traza una recta L paralela a AC.
2. m BAC = m EBA = α°
m BCA = m CBD = θ°
Apoyándonos en el teorema de los ángulos alternos.
3. Como puedes observar en «B» se cumple: α° + β° + θ° = 180° → LQQDa = b
Teorema 4
Si L1 // L2 ⇒ x + y = a° + b°
y b°
a°
L2 L1
x
Demostración:
1. Por ángulos alternos internos m PTQ = y
⇒m RTQ = b – y
2. Por el teorema anterior se tiene que x = a + (b – y) Al desarrollar x + y = a° + b° → LQQDa = b
Par lineal a = b α° + θ° = 180°
a = b α° + β° + θ°= 180°
y
b b ‒ y Q
P R T
y a
L2 L1
x
116
Teorema 5
Si L1 // L2 ⇒ x = α° + β°a = b
β° x α°
L2 L1
Demostración:
α° α°
β° β° L2
L1
x
A B
C D
1. Por «B» se traza una paralela a L1 y L2. 2. Por ángulos alternos internos: m ABD = α°
m CBD = β°
3. En «B» se nota x = α° + β° → LQQDa = b
Teorema 6
Se cumple que: x + y = a + b
a
b
x y
Demostración:
a T Q
P S
R V
x
b
x y
1. Se traza VT // PS.
2. Por ángulos alternos internos m VTQ = x.
3. Por «el serrucho» x + y = a + ba = b → LQQD
117
Síntesis
Modela y resuelve
Hexágono equilátero
Hexágono equiángulo
Hexágono regular S i = 180°(n – 2)
S e = 360°
En todo polígono equiángulo o regular Todo polígono
En todo polígono regular
ND = n(n – 3) 2
m i = ;
;
180°(n – 2)
n m e =
donde m : medida del ángulo 360° n
m c = 360°
n
e e
e e
e
e
α
α α
α
α α
α
α α
α
α α
e
e
e e
e e
Polígonos
Encuentra en este pupiletras los nombres de los polígonos.
• Endecágono
• Dodecágono
• Octógono
• Hexágono
• Nonágono
• Undecágono
• Heptágono
• Cuadrilátero
• Pentadecágono
• Eneágono
• Pentágono
• Icoságono
C R D M G N H V P N S R O P K I T H U U O R A L X E O K E O E I Y F O E A N D Y Q E L N V P A N O X B Y A P D D E I Y G A G U K T T F P W O X T R E C E O G P U E A W J Y O P V D A I C A U O F V E D A Q V E X U E P G L A G N O Q N E I Y W Y N A C I E O A G O S C E C U U X B Q E I O N N N T O N W A A A S O A Y K G S W T T O E N O G G A O U Y I F O O E B E A T R O O O U K O C P A N E N U E G G Y O N N V E U B X I O F O O O V O O O O O A I O E N D E C A G O N O N N T U F A S T R E I N T A G O N O O O X R L E H E X A G O N O N O C T O G O N O I C O S A G O N O A W P E P P U W
118
1 Calcula la suma de las medidas de los ángulos internos de un pentágono convexo.
Resolución:
2 Calcula la suma de las medidas de los ángulos internos de un octágono convexo.
Resolución:
Resuelve las situaciones que se plantean con la ayuda de tu profesor.
3 Determina el número total de diagonales de un decágono regular.
Resolución:
8 ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide 150°?
Resolución:
4 ¿En qué polígono regular se cumple que el número de lados es la mitad del número de diagonales?
Resolución:
5 Encuentra el número de lados de un polígono regular en el cual su número total de diagonales es igual a 7 veces su número de lados.
Resolución:
6 ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un hexágono regular?
Resolución:
7 ¿En qué polígono regular se cumple que su ángulo exterior mide 24°?
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
119 13 En un polígono regular, el doble del número de
diagonales es igual al quíntuplo del número de lados. Halla la medida de un ángulo interior.
Resolución:
14 ¿Cuánto mide el ángulo interior de un polígono regular de 18 lados?.
Resolución:
15 ¿Cuál es el polígono convexo que tiene 119 diagonales? Da como respuesta el número de lados.
Resolución:
16 Determina el número de lados de un polígono regular convexo, cuyo número total de diagonales es 54.
Resolución:
11 Efectúa la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo de 18 lados.
Resolución:
12 ¿Qué polígono tiene tantas diagonales como lados?
Resolución:
9 ¿Cuántos lados tiene aquel polígono donde se pueden trazar 20 diagonales?
Resolución:
10 En un pentágono convexo tres de sus ángulos miden 120º cada uno y los otros dos son congruentes. Calcula uno de ellos.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
120
17 Encuentra la medida de un ángulo exterior de un polígono regular de 24 lados.
Resolución:
18 Encuentra el perímetro de un polígono regular cuyo lado mide 7 cm, si la medida de su ángulo interior es el triple de la medida de su ángulo exterior.
Resolución:
Resolución:
19 Halla el número de diagonales de un polígono regular, sabiendo que 36 veces la medida de su ángulo exterior equivale a 9 veces la medida de su ángulo interior.
Resolución:
20 En la figura, ABCDE y EFCMN son pentágonos regulares. Halla m FED.
E C
B
A
F D
M
N
22 En un cuadrado ABCD, se construye interiormente el triángulo equilátero AED. Calcula m AEB.
Resolución:
21 En un polígono regular ABCDE, la m ACE = 144°.
¿Cuánto mide su ángulo interior?
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
121 Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
25 La diferencia entre el número de diagonales de cierto polígono regular y el número de ángulos rectos equivalentes a la suma de los ángulos internos es 8.
Encuentra la medida del ángulo central.
Resolución:
27 Efectúa la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono regular si el número de diagonales es 90.
Resolución:
26 Encuentra el número de lados del polígono cuyo máximo número de diagonales es el doble de la suma del número de lados más dos.
Resolución:
28 La diferencia entre el número de diagonales y el número de ángulos llanos equivalentes a la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es 119. Halla la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono.
Resolución:
24 ¿A cuántos ángulos rectos equivale la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono?
Resolución:
23 En un polígono equilátero se sabe que desde 5 vértices consecutivos se pueden trazar 29 diagonales. Determina el perímetro si uno de sus lados mide 3 cm.
Resolución:
122
Practica y demuestra
Nivel I
1 ¿En qué polígono convexo la suma de ángulos internos es 1260º?
A decágono B octógono C hexágono D pentágono
E nonágono
4 ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales es igual al doble del número de lados?
A pentágono B hexágono C heptágono D nonágono
E octógono 2 Halla el número de diagonales de un icoságono.
A 160 B 200 C 180
D 170 E 150
3 Calcula el ángulo interno de un dodecágono equiángulo.
A 130° B 120° C 160°
D 150° E 110°
5 Determina el número de diagonales del polígono convexo que tiene 10 ángulos internos.
A 40 B 35 C 20
D 30 E 27
6 Encuentra el número de vértices del polígono convexo cuya suma de ángulos internos más la suma de ángulos externos es 1980º.
A 12 B 13 C 10
D 9 E 11
123 7 Halla el número de diagonales del polígono
regular cuyo ángulo interno mide 135º.
8 Calcula la medida del ángulo central del polígono regular cuyo número de vértices es igual al número de diagonales.
9 La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es equivalente a 56 ángulos rectos.
Determina la medida del ángulo central de dicho polígono.
10 Encuentra la suma de ángulos internos del polígono no convexo mostrado.
A 20 B 16 C 9
D 35 E 27
A 60° B 90° C 120°
D 45° E 72°
A 30° B 12° C 132°
D 32° E 15°
11 En un polígono convexo la suma de los ángulos internos excede en 720º a la suma de los ángulos exteriores. Halla su número de diagonales.
A 27 B 35 C 44
D 14 E 20
A 1080° B 900° C 1260°
D 720° E 1340°
12 Calcula el número de vértices del polígono cuyo número de diagonales más el número de lados es 105.
A 12 B 13 C 15
D 16 E 14
124
13 Si la relación del ángulo interior y exterior de un polígono regular es de 7 a 2. Determina el número total de sus diagonales.
15 Halla el perímetro de un hexágono equiángulo ABCDEF. Siendo DE = 1 u; BC = 2 u; AF = 3 u y CD = 4 u.
16 ¿Cuántos lados tiene un polígono cuyo número de diagonales excede en ocho al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos?
14 En el gráfico, encuentra el valor de θ, si ABCDE es un pentágono regular y CDPQ es un cuadrado.
A 27 B 20 C 35
D 44 E 56
A 14 u B 15 u C 16 u D 18 u E 20 u
A 9 B 10 C 11
D 12 E 8
A 12° B 10° C 9°
D 8° E 15°
B
A
E D
P C
θ
Q
17 Calcula la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo de 25 lados.
18 Determina el número total de diagonales de un endecágono regular.
A 40 B 44 C 50
D 30 E 45
A 4140° B 3960°
C 3780° D 3600°
E 4320°
Nivel II
125 19 Encuentra la medida de un ángulo exterior de un
pentadecágono regular.
21 ¿Cuántos lados tiene el polígono donde se cumple que el número de sus diagonales excede al número de sus vértices en 7?
20 Halla el número de diagonales de un polígono convexo, si la suma de sus ángulos interiores es igual a 4,5 veces la suma de sus ángulos exteriores.
A 30° B 24° C 36°
D 45° E 48°
A 7 B 8 C 9
D 11 E 13
22 Si al número de lados de un polígono se le agrega su número de vértices se obtiene 20. Calcula su número de lados.
A 10 B 15 C 20
D 25 E 30
A 30 B 35 C 44
D 20 E 56
24 ¿En qué polígono se cumple que el número de sus diagonales excede al número de sus vértices en 18? (Da como respuesta el número de lados).
A 7 B 8 C 9
D 11 E 13
23 De todos los polígonos regulares, ¿cuál es el que posee mayor ángulo central?
A triángulo B cuadrado C pentágono D hexágono
E dodecágono
126
25 El número de ángulos rectos equivalentes a la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es 20. Determina el número de sus lados.
A 10 B 11 C 12
D 13 E 14
26 Se sabe que en un polígono convexo la suma de sus ángulos interiores es 540°. Con este dato, averigua el número total de sus diagonales.
A 8 B 7 C 6
D 5 E 4
27 Encuentra el número de diagonales de un polígono cuyos ángulos interiores suman 900°.
A 5 B 9 C 14
D 20 E 7
28 ¿En qué polígono se cumple que el número de lados es igual al número de diagonales?
A pentágono B hexágono C heptágono D octógono
E eneágono
29 ¿En qué polígono regular se cumple que la medida del ángulo exterior es el doble de la medida del ángulo interior?
A triángulo B cuadrilátero C pentágono D hexágono
E heptágono
30 ¿En qué polígono se cumple que el número de lados más la mitad del número de vértices es igual al número de diagonales?
A pentágono B hexágono C heptágono D octógono
E dodecágono Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
MateMática Delta 1 - GeoMetría 127
¿Cuánto mide el ángulo central de un hexágono?
Determina el número de diagonales de un polígono cuya suma de sus ángulos internos es 1440°.
Calcula la medida de un ángulo interior de un dodecágono.
Encuentra el número de vértices de un polígono en el que se pueden trazar 54 diagonales en total.
Halla la suma de las medidas de los ángulos internos de un octógono.
En cierto polígono, la suma de sus ángulos internos es 2340°; ¿cuánto mide un ángulo central si se sabe que dicho polígono es regular?
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
6°
A 60°
C
30°
B 120°
D
8 A
20 C
10 B
35 D
A 15°
140°
C
120°
B 150°
D
A 12 9 C
10 B
8 D
1440°
A C 900°
1080°
B D 720°
13°
A C 18°
B 15°
D 24°
128
El número de diagonales de un polígono convexo excede al número de ángulos internos en 12. Da como respuesta el nombre del polígono.
Halla cuánto mide un ángulo externo de un polígono regular cuya suma de ángulos internos es 3240°.
Calcula el número de lados de un polígono convexo, si su número de diagonales equivale a 10 veces el número de vértices.
La relación de un ángulo interno con un externo de un polígono regular es de 3 a 2. Determina el total de diagonales que se pueden trazar en dicho polígono.
Indica la suma de ángulos externos de un polígono que tiene 42 lados y es irregular.
Descubre cuántas diagonales se pueden trazar en total en un polígono convexo en el que la suma de sus ángulos internos y externos es 2340°.
7 10
8 11
9 12
octógono A
endecágono C
decágono B
icoságono D
17 A C 23
B 20 D 26
5 A C 12
B 8 D 16 15°
A 17°
C
B 16°
18°
D
58°
A C 200°
B 119°
D 360°
44 A C 65
B 54 D 77
Miguel A. Malhaber Montenegro
Docente
