MATERIA: Álgebra lineal SEMANA 1

MATERIA: Álgebra lineal SEMANA 1

TEMAS SEMANA 1:

a)Matrices y determinantes

1. Reconocer las propiedades de una matriz.

2. Operaciones elementales con matrices. Suma, resta y producto de matrices.

3. Transpuesta de una matriz

4. Calcular determinantes 2 x 2 y 3 x 3 usando la regla de Sarrus.

5. Solucionar sistemas de ecuaciones lineales m x n usando las reglas de Gauss-Jordan y Cramer.

 ¿Cómo se interpretan las propiedades de una matriz?

1. Asociativa (A + B) + C = A + (B + C)

Esta propiedad indica que puedes cambiar la agrupación en la suma de matrices y obtener el mismo resultado. Por ejemplo, puedes sumar la matriz A y B primero, y luego sumar la matriz C, o bien puedes sumar la matriz B y C, y luego este resultado sumarlo a A.

Esta propiedad es similar a la propiedad asociativa de la suma para números reales. Por ejemplo, ( 2 + 3 ) + 5 = 2 + ( 3 + 5 ).

Ejemplo 2:

2. Conmutativa A + B = B + A;

Esta propiedad indica que puedes sumar dos matrices en cualquier orden y obtener el mismo resultado. Esto es similar a la propiedad conmutativa

Por ejemplo, 3 + 5 = 5 + 3

El siguiente ejemplo ilustra esta propiedad de las matrices.

3. Elemento neutro aditivo A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.

Una matriz cero, se denota como 0, es una matriz en la que todas las entradas son 0.

Para comprobar esta propiedad observa que cuando se suma una matriz cero a cualquier matriz A, el resultado es siempre A.

4. Elemento opuesto o inverso aditivo A + (-A) = (-A) + A = 0 La opuesta de una matriz A es la matriz -A, en la cual cada elemento es el opuesto del elemento correspondiente en la matriz , por ejemplo:

Si sumamos A con -A, obtenemos la matriz cero, lo cual ilustra la propiedad del inverso aditivo.

 ¿Cómo se realizan las operaciones elementales con matrices?

Suma, resta y producto de matrices.

Suma

Para sumar dos matrices de las mismas dimensiones, simplemente suma las entradas en las posiciones correspondientes.

Ejemplo:

Resta

De forma similar, para restar matrices, restamos las entradas correspondientes. Por ejemplo, consideremos:

Multiplicación

Para ayudar a nuestro entendimiento, etiquetemos los renglones en la matriz A y las columnas en la matriz B. Podemos definir la matriz producto, la matriz C, como se muestra a continuación:

Podemos completar los productos puntos para encontrar la matriz producto completa.

 ¿Cómo se efectúa el cálculo del valor de un determinante de 2x2 y 3x3 mediante la regla de Sarrus?

Dada una matriz de 2x2, 𝐴 = (𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑎₂₁ 𝑎₂₂), el determinante asociado a esta matríz será |𝐴| = |𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑎₂₁ 𝑎₂₂|, el cual se desarrolla de la siguiente forma:

det(𝐴) = |𝐴| = |𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑎₂₁ 𝑎₂₂| = (𝑎₁₁)(𝑎₂₂) − (𝑎₂₁)(𝑎₁₂) Ejemplo:

Considera la matriz 𝐴 = (5 −4

3 −6) su determinante será:

det(𝐴) = |𝐴| = |5 −43 −6| = (5)(−6) − (3)(−4) = −30 + 12 = −18

Para el cálculo del determinante de una matriz de 3x3, se usa la regla de Sarrus. El cálculo de su determinante se realiza mediante el producto de

sus diagonales principales, restándole el producto de las diagonales inversas. Para ello se realiza el siguiente procedimiento

1.- Dada la matriz 𝐴 = (2 −3 −5

5 1 −4

3 4 −6

) su determinante es

det(𝐴) = |𝐴| = |2 −3 −5

5 1 −4

3 4 −6

|

2.- Se repiten los dos primeros renglones, es decir las filas 1 y 2, del determinante después de la tercera fina

|𝐴| = ||

2 −3 −5

5 1 −4

3 4 −6

𝟐 −𝟑 −𝟓

𝟓 𝟏 −𝟒

||

3.- Seleccionar las diagonales principales las cuales se representan con flechas de color rojo

|𝐴| = ||

2 −3 −5

5 1 −4

3 4 −6

𝟐 −𝟑 −𝟓

𝟓 𝟏 −𝟒

||

4.- Multiplicar los términos de cada una de las diagonales principales y multiplicar el producto por el signo +. Al resultado de este producto lo llamaremos |𝐴₁|

|𝐴₁| = ||

2 −3 −5

5 1 −4

3 4 −6

𝟐 −𝟑 −𝟓

𝟓 𝟏 −𝟒

|| = +(2)(1)(−6) + (5)(4)(−5) + (3)(−3)(−4)

5.- Seleccionar las diagonales inversas las cuales se representan con flechas de color azul

|𝐴| = ||

2 −3 −5

5 1 −4

3 4 −6

𝟐 −𝟑 −𝟓

𝟓 𝟏 −𝟒

||

+ +

+

6.- Multiplicar los términos de cada una de las diagonales inversas y multiplicar este producto por el signo -. Al resultado de este producto lo llamaremos |𝐴₂|

|𝐴₂| = ||

2 −3 −5

5 1 −4

3 4 −6

𝟐 −𝟑 −𝟓

𝟓 𝟏 −𝟒

|| = −(5)(−3)(−6) − (2)(4)(−4) − (3)(1)(−5)

7.- El resultado del cálculo del determinante será la suma de |𝐴₁| y

|𝐴₂|, es decir:

|𝐴| = ||

2 −3 −5

5 1 −4

3 4 −6

𝟐 −𝟑 −𝟓

𝟓 𝟏 −𝟒

||

= +(2)(1)(−6) + (5)(4)(−5) + (3)(−3)(−4)

− [(5)(−3)(−6) + (2)(4)(−4) + (3)(1)(−5)]

= −12 − 100 + 36 − [90 − 32 − 15] = −76 − [43 ] = 119

De esta manera, las diagonales aparecen de una manera más visual, sin complicar la resolución del determinante, tratando de averiguar que elementos de la matriz pertenecen a cada diagonal. Así el resultado del determinante anterior es:

8.- det(𝐴) = |𝐴| = |2 −3 −5

5 1 −4

3 4 −6

| = 119

 ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales, mxn, usando los métodos de Gauss-Jordan y Cramer?

Notación matricial

La información esencial de un sistema lineal puede registrarse de manera compacta en una matriz. Dado el sistema

𝑥₁− 2𝑥₂+ 3𝑥₃= 0 2𝑥₂− 3𝑥₃= 8

−4𝑥₁+ 5𝑥₂+ 9𝑥₃ = −9

- -

-

Se denomina matriz de coeficientes del sistema a la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas, es decir

𝐴 = ( 1 −2 3

0 2 −3

−4 5 9

)

Aquí, la segunda fila contiene un cero porque la segunda ecuación podría escribirse como 0𝑥₁+ 2𝑥₂− 3𝑥₃= 8.

Se denomina matriz aumentada del sistema, a la matriz que consta de su matriz de coeficientes con una columna adicional que contiene las constantes o términos independientes de los lados derechos de las ecuaciones, es decir:

𝑀 = ( 1 −2 3

0 2 −3

−4 5 9

| 0 8

−9 )

Resolución de un sistema lineal por método de Gauss-Jordan

El método de eliminación de Gauss-Jordan o simplemente método de Gauss-Jordan, consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz.

Las transformaciones elementales en una matriz son:

1. Intercambiar renglones.

2. Multiplicar un renglón por un número real 3. Sumar y restar renglones.

Dado lo anterior, el procedimiento para resolver el sistema de ecuaciones lineales anterior es:

El proceso es el que se va explicando mediante las transformaciones que hay entre matrices; por ejemplo, partiendo de la matriz aumentada; lo que se desea es obtener una matriz escalonada, por lo que se observa que la primer entrada del último renglón hay un 4, por lo que si multiplicamos el primer renglón o fila (F) por 4 y lo sumamos con el tercero y colocamos el resultado en este último obtendríamos el 0 que necesitamos por eso se escribe: 𝐹₃− (−4)𝐹₁= 𝐹₃ lo cual quiere decir que a la fila 3 le restamos la multiplicación de la fila 1 por -4 y el resultado de la suma lo colocamos en la fila 3.

Para la fila 2, observamos que hay un 2 en la segunda entrada de la segunda fila; por lo que procedemos a multiplicar por ½ toda la segunda fila a fin de obtener un 1 en esa entrada., por lo que 𝐹₂/2 = 𝐹₂; así que dividimos todo el renglón entre 2. Seguimos el mismo procedimiento hasta obtener una matriz en donde los términos del lado izquierdo de la matriz aumentada formen una matriz triangular con unos en la diagonal.

Los términos del lado derecho de la matriz aumentada serán las soluciones del sistema.

Resolución de un sistema lineal de 2x2 por método de Cramer Resolución de un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 por método de Cramer

Solución de un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 por el método de Cramer.

Dado el sistema:

3𝑥 + 𝑦 = 9 2𝑥 + 3𝑦 = 13 En forma matricial es

(3 12 3) (𝑥

𝑦) = (9 13) La solución, por el método de Cramer es:

𝑥 =| 𝟗 1 𝟏𝟑 3|

|3 12 3| =(9)(3) − (13)(1)

(3)(3) − (2)(1) =27 − 13 9 − 2 =14

7 = 2

𝑦 =|3 𝟗 2 𝟏𝟑|

|3 12 3| =(3)(13) − (2)(9)

(3)(3) − (2)(1) =39 − 18 9 − 2 =21

7 = 3

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales de 3x3 por método de Cramer

Solución de un sistema de ecuaciones lineales de 3x3 por el método de Cramer.

Dado el sistema:

3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 2𝑥 + 𝑧 = 2

−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 4 En forma matricial es

( 3 1 1 2 0 1

−1 1 2) ( 𝑥 𝑦 𝑧) = (1

2 4

)

La solución, por el método de Cramer es:

𝑥 =

|𝟏 1 1 𝟐 0 1 𝟒 1 2

|

| 3 1 1 2 0 1

−1 1 2|

= (1) (|0 11 2|) − (1) (|2 14 2|) + (1) (|2 04 1|) (3) (||0 11 2||) − (1) (| 2 1

−1 2|) + (1) (| 2 0

−1 1|)

=(1)(0 − 1) − (1)(4 − 4) + (1)(2 − 0)

(3)(−1) − (1)(4 + 1) + (1)(2 − 0) = −1 + 2

−3 − 5 + 2= 1

−6= −1 6

𝑦 =

| 3 𝟏 1

2 𝟐 1

−1 𝟒 2

|

| 3 1 1

2 0 1

−1 1 2|

= (3) (|2 14 2|) − (1) (| 2 1

−1 2|) + (1) (| 2 2

−1 4|) (3) (||0 11 2||) − (1) (| 2 1

−1 2|) + (1) (| 2 0

−1 1|)

=(3)(4 − 4) − (1)(4 + 1) + (1)(8 + 2)

(3)(−1) − (1)(4 + 1) + (1)(2 − 0) = −5 + 10

−3 − 5 + 2= 5

−6= −5 6

𝑧 =

| 3 1 𝟏

2 0 𝟐

−1 1 𝟒

|

| 3 1 1

2 0 1

−1 1 2|

= (3) (|0 21 4|) − (1) (| 2 2

−1 4|) + (1) (| 2 0

−1 1|) (3) (||0 11 2||) − (1) (| 2 1

−1 2|) + (1) (| 2 0

−1 1|)

=(3)(0 − 2) − (1)(8 + 2) + (1)(2 + 0)

(3)(−1) − (1)(4 + 1) + (1)(2 − 0) =−6 − 10 + 2

−3 − 5 + 2 =−14

−6 =7 3