Tema 7. Funciones. Concepto de l´ımite. Continuidad

(1)

19 de febrero de 2015

Andrés D´ıaz (IES ALPAJÉS) Matemáticas II 19 de febrero de 2015 1 / 41

(2)

Ejercicio 1

Hallar el dominio de la funci´ on

f(x) = arc sen 2x

1

−1

−1 1

Domf (x) =

− 1 2 , 1

2

(3)

1 2 3 4

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

3x − 9 = 0 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 9 3 = 3 Domf (x) = R − {3}

(4)

Ejercicio 1

Hallar el dominio de la funci´ on

f (x) = p

x

²

− 5x + 6

1 2 3 4 5 6

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

−2

−3

−4

Hallamos los puntos d´ onde la expresi´ on x

²

− 5x + 6 se anula

x

²

− 5x + 6 = 0 x = 5 ± √

25 − 24

2 = 5 ± 1

2 = 3 y 2 por tanto vemos el signo de x

²

− 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Domf (x) = (−∞, 2] ∪ [3, ∞)

2 3

+ - +

+ +

(5)

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

-2 2

+ - +

+ +

Vemos el signo de x

²

− 4. Domf (x) = (−∞, −2) ∪ (2, ∞)

(6)

Estudiar la continuidad de la funci´on:

f (x) = x + 1 −1 6 x < 0

−x 0 6 x 6 1

Las funciones son polinomios de grado 1 por tanto son continuas en todo R. Estudiamos la continuidad en x = 0

x l´ım →0 f (x) ⇒ l´ım

x →0

⁺

−x = 0 l´ım

x →0

⁻

+1 = 1

Los l´ımites laterales no coinciden por tanto la funci´on presenta una discontinuidad de salto en x = 0

(7)

Estudia la continuidad de la funci´on f (x) para los valores del par´ametro a.

f (x) = x ² + ax x 6 2 a − x ² x > 2

Las dos funciones son continuas porque son polinomios de grado dos. Por tanto s´olo debemos estudiar el punto x = 2

x l´ım →2

⁻

x ² − ax = 4 − 2a

x l´ım →2

⁺

a − x ² = a − 4 4 − 2a = a − 4 ⇒ a = 8

3 Comprobamos que para a = 8

3 f (2) = 4 − 2 · 8

3 = − 4

3 = l´ım x →2 f (x) La funci´on es continua en todo R para a = 8

3 . Para a 6= 8

3 la funci´on es presenta una discontinuidad de salto en x = 2

(8)

Ejercicio 7

Estudia la continuidad de la funci´on f (x) para los valores del par´ametro a.

f (x) =

e ^ax x 6 0 x + 2a x > 0

Las dos funciones son continuas en todo su dominio de definici´on. Por tanto s´olo debemos estudiar el punto x = 0

x l´ım →0

⁻

e ^ax = 1

x l´ım →0

⁺

x + 2a = 2a 2a = 1 ⇒ a = 1

2 Comprobamos que para a = 1

2 f (0) = 1 = l´ım x →0 f (x). Para a 6= 1

2 la funci´on presenta una discontinuidad de salto en x = 0

(9)

La funci´on se puede escribir:

√

−x si x < 0

√ x si x ≥ 0 La ra´ız es una funci´on continua en [0, +∞) por tanto √

−x es continua en (−∞, 0] y √

x es continua en [0, +∞). Estudiamos la continuidad en x = 0. Para ello hallamos

l´ım x →0 f (x) Hallamos los l´ımites laterales

x l´ım →0

⁺

f (x) = l´ım

x →0

⁺

√ x = 0

x l´ım →0

⁻

f (x) = l´ım

x →0

⁺

√ −x = 0 Por tanto

x l´ım →0 f (x) = 0 La funci´on es continua en R

(10)

Ejercicio 9

Dada la funci´on:

f (x) = x ² − x

sen(πx) , x ∈ (0, 1)

Definir f (0) y f (1) de forma que f sea continua en todo el intervalo cerrado [0, 1].

Para que la funci´on sea continua en todo el intervalo [0, 1] debe presentar continuidad lateral en x = 0 y x = 1. Para ello.

x l´ım →0

⁺

f (x) = l´ım

x →0

⁺

x ² − x sen(πx) = 0

0 Para hallar este l´ımite aplicamos la regla de L’Hˆopital

x l´ım →0

⁺

x ² − x

sen(πx) = l´ım

x →0

⁺

2x − 1

π cos(πx) = − 1 π

x l´ım →1

⁻

f (x) = l´ım

x →0

⁺

x ² − x sen(πx) = 0

0 Para hallar este l´ımite aplicamos la regla de L’Hˆopital

x l´ım →1

⁻

x ² − x

sen(πx) = l´ım

x →1

⁻

2x − 1

π cos(πx) = − 1 π Por tanto

f (0) = f (1) = − 1 π

(11)

Ejercicio 10

Estudiar la continuidad de la funci´on:

f (x) =







5, si x = 0

5 − |x|

x , si x 6= 0

(12)

Ejercicio 11

Estudiar la continuidad de la funci´on f (x) =







0, si x = 2

x − 2

1 + e

^x−2¹

, si x 6= 2 en el punto a = 2.

Hallamos

x l´ım →2 f (x) = l´ım

x →2

x − 2

1 + e

^x−2¹

= 0 1 + e

¹⁰

Hallamos los l´ımites laterales y obtenemos

x l´ım →2

⁻

f (x) = l´ım

x →2

⁻

x − 2

1 + e

^x−2¹

= 0

e

¹⁰

= l´ım

x →2

⁻

x − 2

1 + e

^x−2¹

= 0

1 + e ^−∞ = 0

x l´ım →2

⁺

f (x) = l´ım

x →2

⁺

x − 2

1 + e

^x−2¹

= 0

e

¹⁰

= l´ım

x →2+

x − 2

1 + e

^x−2¹

= 0

1 + e ^+∞ = 0 Por tanto f (0) = l´ım x →2 f (x). Es continua en R

1 2 3

−1

−2

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

(13)

Ejercicio 12

Aplicando el Teorema de Bolzano, demostrar que la ecuaci´on:

x ³ + x − 3 = 0 tiene una ra´ız comprendida entre 1 y 2.

Sea f (x) = x ³ + x − 3. La funci´on f(x) es continua en R por tanto es continua en [1, 2]. Estudiamos f (1) = −1 < 0 f (2) = 8 + 2 − 3 = 7 > 0

Cumple las condiciones del Teorema de Bolzano por tanto ∃c ∈ (0, 1) tal que f(c) = 0. c es una ra´ız del polinomio comprendida entre 1 y 2

(14)

Ejercicio 13

Demostrar que la funci´on f (x) = x(1 + sen x) toma el valor 2, es decir, Existe un valor de a ∈ R tal que a(1 + sen a) = 2.

Tomamos g(x) = x(1 + sen x) − 2 que es una funci´on continua en todo R. Ahora aplicamos el teorema de Bolzano en el intervalo h

0, π 2 i

en efecto g(0) = 0 − 2 = −2 < 0 g π

2 = π

2 (1 + sen π

2 ) − 2 = π

2 · 2 − 2 = π − 2 > 0 Por tanto la funci´on g cumple las condiciones del teorema de Bolzano en el intervalo

0, π 2

por tanto existe c ∈ h

0, π 2 i

tal que g(c) = 0 y por tanto

g(c) = 0 ⇒ f(c) − 2 = 0 ⇒ f(c) = 2

(15)

Ejercicio 14

Encontrar un intervalo donde la funci´on f (x) = 2x ³ + x − 1 tenga al menos una ra´ız.

La funci´on f (x) es continua en R por ser un polinomio de grado 3.

f (0) = −1 < 0 f (1) = 2 + 1 − 1 = 2 > 0

La funci´on cumple las condiciones del Teorema de Bolzano en el intervalo [0, 1] por tanto ∃c ∈ (0, 1) tal que f (c) = 0

(16)

Ejercicio 15

Probar que existe un n´ umero x tal que:

2x − 1 = cos x

(17)

Ejercicio 16

Dada la ecuaci´on x ³ + 5x ² − 10 = 0, encontrar tres intervalos cerrados de modo que en el interior de cada uno de ellos haya una ra´ız de la ecuaci´on.

La funci´on f (x) = x ³ + 5x ² − 10 es continua en todo R Hallamos los tres intervalos

f (−5) = −125 + 125 − 10 = −10 < 0 f (−2) = −8 + 20 − 10 = 2 > 0 ⇒ [−5, −2]

f (−2) = 2 > 0 f (0) = −10 < 0 ⇒ [−2, 0]

f (0) = −10 < 0 f (2) = 8 + 20 − 10 = 18 ⇒ [0, 2]

(18)

Ejercicio 17

Hallar a y b de modo que la siguiente funci´on sea continua en todo R:

f (x) =



 



 



a(x − 1) ² , si x 6 0 sen(b + x), si 0 < x < π

π

x , si x > π Estudiamos la continuidad en x = 0

x l´ım →0

⁻

a(x − 1) ² = a l´ım

x →0

⁺

sen(b + x) = sen b Estudiamos la continuidad en x = π

x l´ım →π

⁻

sen(b + x) = sen(b + π) = − sen b l´ım

x →0

⁺

π x = 1 Igualamos las expresiones y obtenemos el siguiente sistema

a = sen b

− sen b = 1 a = −1 b = 3π

2 + 2kπ k ∈ Z

(19)

embargo no se anula en ´el. ¿Contradice este ejemplo el teorema de Bolzano?.

La funci´on no cumple las condiciones del teorema de Bolzano porque tg x no es continua en _π

4 , ^3π ₄ , concretamente la funci´on presenta una discontinuidad de tipo infinito en x = π

2 1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3 4

−1

(20)

Ejercicio 19

La funci´on f (x) = 1

x toma valores de signo contrario en los extremos del intervalo cerrado [−2, 2], y sin embargo, no se anula en ´el. Explicar esta aparente contradicci´on con el Teorema de Bolzano.

La funci´on f (x) = 1

x no es continua en [−2, 2] concretamente presenta una discontinuidad de tipo infinito en x = 0

1 2 3 4

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

(21)

volumen de agua.

Sea

f : [0, 3] −→ R t −→ f(t)

La función que describe el volumen de agua del primer depósito en función del tiempo g : [0, 3] −→ R

t −→ g(t)

La función que describe el volumen de agua del segundo depósito en función del tiempo. Ambas funciones son funciones continuas. Llamamos

h(t) = f (t) − g(t) Por tanto

h(0) = f (0) − g(0) = 0 − 1000 = −1000 < 0 h(3) = f (3) − g(3) = 1000 − 0 = 1000 > 0 Por tel teorema de Bolzano se tiene que existe un t 0 ∈ (0, 3) tal que h(t ⁰ ) = 0 por tanto

f (t 0 ) = g(t 0 )

(22)

Ejercicio 21

Estudiar la continuidad de la funci´on:

f (x) = |x|

x

en el intervalo [−1, 1]. ¿Se cumple el Teorema de Bolzano?. Razonar la respuesta.

f (x)

_−x

x si x < 0

x

x si x > 0

La función f (x) no está definida en x = 0 por tanto presenta una discontinuidad evitable en dicho punto. La función no es continua en [−1, 1] y no podemos aplicar el teorema de Bolzano.

(23)

Ejercicio 21

Estudiar el dominio y la continuidad de la funci´on:

y = f (x) = ln x + 2 x ²

Para hallar el dominio estudiamos el signo de la funci´on x + 2

x ² . Por tanto la función estará definida en (−2, +∞) − {0}. En los puntos de su dominio la función es continua por ser el logaritmo del cociente de dos funciones continuas.

(24)

Ejercicio 22

Dada la funci´on:

f (x) = x(ln x) ² (x − 1) ²

1

Determinar su dominio.

2

Se podr´ıa asignar a f (x) alg´ un valor en los puntos de discontinuidad para que fuera continua en [0, +∞)?

la funci´on tiene como dominio D = (0, +∞) − 1 Para que se continua en (0, +∞) hallamos los siguientes l´ımites:

x l´ım →0

⁺

x(ln x) ²

(x − 1) ² = 0 · ∞ Aplicamos la regla de L’Hˆopital

x l´ım →0

⁺

x(ln x) ²

(x − 1) ² = l´ım

x →0

⁺

(ln x) ² (x − 1) ²

x

= l´ım

x →0

⁺

2 ln x · 1 x

2(x − 1)x − (x − 1) ² x ²

x l´ım →0

⁺

2 ln x x x ² − 1

x ²

= l´ım

x →0

⁺

2x ² ln x

x(x ² − 1) = l´ım

x →0

⁺

2x ln x x ² − 1 =

(25)

x l´ım →0

⁺

2x ln x

x ² − 1 = l´ım

x →0

⁺

2 ln x x ² − 1

x

= l´ım

x →0

⁺

2 x

2x · x − (x ² − 1) x ²

= l´ım

x →0

⁺

2 x x ² + 1

x ²

= l´ım

x →0

⁺

2x

x ² − 1 = 0 f (0) = 0

Para x = 1

x l´ım →1

x(ln x) ² (x − 1) ² = 0

0 x l´ım →1

ln ² x + 2x ln x · 1 x

2(x − 1) = l´ım

x →1

ln ² x + 2 ln x

2(x − 1) = l´ım

x →1

2 ln x · 1 x + 2

x

2 = 1

f (1) = 1

(26)

Ejercicio 24

f (x) = 6 2 + sen x alcanza el valor 4 en el intervalo h

− π 2 , π

2 i

. Sea g(x) = 6

2 + sen x − 4 una funci´on continua en el intervalo h

− π 2 , π

2 i Para aplicar el teorema de Bolzano calculamos.

g π 2

= 6

2 + sen π 2

− 4 = 6

2 + 1 − 4 = −1 < 0 g −π

2 = 6

2 + sen −π 2

− 4 = 6

2 − 1 − 4 = 2 > 0

Por el Teorema de Bolzano ∃c ∈

− π 2 , π

2 tal que f (c) = 0

g(c) = 0 ⇒ f(c) − 4 = 0 ⇒ f(c) = 4

(27)

Ejercicio 25

item Sea:

f (x) =

( x ³ − x, si x 6 0 ax + b, si x > 0 Calcular a, b para que f sea continua.

Las funciones son polinomios por tanto continuas en todo su dominio de definici´on. Estudiamos la continuidad en x = 0

x l´ım →0

⁻

x ³ − x = 0 l´ım

x →0

⁺

ax + b = b Por tanto

b = 0 a ∈ R

(28)

Ejercicio 26

Estudiar la continuidad de la funci´on:

f (x) = x 1 + |x|

f (x) =

_x

1−x si x < 0

x

1+x si x > 0 Estudiamos la continuidad en x = 0

x l´ım →0

⁻

x

1 − x = 0 l´ım

x →0

⁺

x

1 + x = 0 Por tanto

x l´ım →0 f (x) = f (0) = 0 La funci´on es continua en R

(29)

Ejercicio 27

Probar que la funci´on f definida por:

f (x) = x ² − 1 x ³ + 7x − 8

no es continua en x = 1. Indicar qu´e tipo de discontinuidad presenta en dicho punto.

x l´ım →1

x ² − 1

x ³ + 7x − 8 = 0 0

x l´ım →1

✘ ✘ ✘ ✘ ✘

(x − 1)(x + 1)

✘ ✘ ✘ ✘ ✘

(x − 1)(x ² + x + 8) = 2 10 = 1

5 Es una discontinuidad evitable.

(30)

Ejercicio 28

Estudiar la continuidad de la función f (x) = x − [x], donde [x] designa la parte entera de x, es decir, el mayor entero k que cumple k 6 x. Representar también dicha función.

1 2

−1

−2

1 2 3 4

−1

−2

Es discontinua en todo los n´ umeros enteros.

(31)

Estudiar la continuidad de la funci´on f definida como:

f (x) =





 e ^x

e ^x + 1 , si x 6 0 x ² + 1, si x > 0

Las dos funciones son continuas en todo la primera por ser un cociente de funciones continuas y la segunda por ser un polinomio. Estudiamos la continuidad en x = 0. Para ello

x l´ım →0

⁻

e ^x

e ^x + 1 = 1 2

x l´ım →0

⁺

x ² + 1 = 1

x l´ım →0

⁻

f (x) 6= l´ım

x →0

⁺

f (x) La funci´on presenta una discontinuidad de salto en en x = 0

(32)

Ejercicio 30

Determinar los n´ umeros reales a y b para que la funci´on f definida como:

f (x) =



 



 

 ae

^sen

2x

x

+ b cos x, si x < 0

6, si x = 0

3a sen x

x + b(x − 1), si x > 0 sea continua en toda la recta real.

Estudiamos la continuidad en x = 0

x l´ım →0

⁻

ae

^sen

2x

x

+ b cos x = a + b

x l´ım →0

⁺

3a sen x

x + b(x − 1) = 3a − b Igualamos los l´ımites a f (0) = 6

a + b = 6 3a − b = 6 a = 3 b = 3

(33)

¿Se puede afirmar que la funci´on f (x) = x ³ + x ² − 7x + 1 corta al eje de abscisas en al menos un punto del intervalo (−1, 0)?. ¿Y del (0, 1)?.

f (x) = x ³ + x ² − 7x + 1 es una función continua en R,por tanto, es una función continua en el intervalo cerrado [−1, 0]. A continuación calculamos

f (−1) = −1 + 1 − 7 + 1 = −6 < 0 f (0) = 6 > 0

Como la función toma signos opuestos la función se le puede aplicar el teorema de Bolzano y por tanto podemos encontrar un c ∈ (−1, 0) tal que f(c) = 0. En el intervalo cerrado [0, 1] la función f (x) es continua. Calculamos

f (0) = 6 > 0 f (1) = 1 + 1 − 7 + 1 = −4 < 0

La funci´on cumple las condiciones del teorema de Bolzano, existe un c ∈ (0, 1) tal que f(c) = 0

(34)

Ejercicio 32

Probar que las gr´aficas de las funciones f (x) = ln x y g(x) = e ^−x se cortan en alg´ un punto y localizarlo aproximadamente.

(35)

tiene siempre soluci´on real.

¿Es también esto cierto para la ecuación x ⁴ + ax ³ + bx ² + cx + d = 0? Tomamos la función f (x) = x ³ + ax ² + bx + c

El

x l´ım →∞ x ³ + ax ² + bx + c = +∞

por tanto puedo encontrar un valor k 1 tal que f (k 1 ) > 0

x →−∞ l´ım x ³ + ax ² + bx + c = −∞

por tanto puedo encontrar un valor k 2 ∈ R f(k ² ) < 0.

La funci´on f (x) cumple las condiciones del teorema de Bolzano en el intervalo [k 1 , k 2 ], por tanto existe un c ∈ (k ¹ , k 2 ) tal que f(c)=0 como quer´ıamos demostrar. En el caso de

f (x) = x ⁴ + ax ³ + bx ² + cx + d no lo podemos asegurar, ya que,

x →−∞ l´ım x ⁴ + ax ³ + bx ² + cx + d = +∞

Por tanto no podemos asegurar que exista un k 1 ∈ R tal que f(k ¹ ) < 0 y no podr´e aplicar el teorema de Bolzano.

(36)

Ejercicio 34

Estudiar la continuidad de la funci´on:

f (x) = ( √

3 − x, si x < 3 13 − x ² , si x > 3

2 −2

2 4

−2

Las funciones √

3 − x y 13 − x ² son funciones continuas en todo su dominio de definici´on. Por tanto solo tenemos que estudiar la continuidad en el punto x = 3. Para ello hallamos los l´ımites laterales.

x l´ım →3

⁻

√ 3 − x = 0 l´ım

x →3

⁺

13 − x ² = 13 − 9 = 4 Los l´ımites laterales no coinciden por tanto no existe

l´ım x →3 f (x) . La funci´on presenta en x = 3 una discontinuidad de salto.

(37)

f (x) =

( 2 − sen x, si x < π/4 1 + 2 cos x, si x > π/4

las funciones 2 − sen x y 1 + 2 cos x son funciones continuas en todo R, por tanto, ´unicamente queda por estudiar la continuidad en x = π

4 para ello l´ım

x →

^π4−

2 − sen x = 2 −

√ 2

2 l´ım

x →

^π4

+

1 + 2 cos x = 1 + 2

√ 2

2 = 1 + √ 2 Los l´ımites laterales no coinciden por tanto no existe

x l´ım →

^π4

f (x) . La funci´on presenta en x = π

4 una discontinuidad de salto.

(38)

Ejercicio 36

Estudiar la continuidad de la funci´on

f (x) = e ^x x ² + k seg´ un los diferentes valores del par´ametro real k.

La funci´on ser´a continua para los valores de k que cumplan x ² + k 6= 0, es decir, x ² + k = 0 ⇔ x ² = −k ⇔ x = ± √

−k

Si k > 0, f es continua en todo R. Si k ≤ 0, f tiene discontinuidades de tipo infinito en x = ± √ en los dem´as puntos es continua. −k;

(39)

 x , si 1 6 x 6 π

en el intervalo [−π, π], calculando el punto del interior c al que hace menci´on dicho teorema.

Estudiamos la continuidad de la funci´on en el intervalo [−π, π]. Estudiamos la continuidad en x = −π

x →−π l´ım

⁺

cos x = −1 f (−π) = −1

La funci´on es continua por la derecha en x = −π Estudiamos la continuidad en x = 0. Hallamos los l´ımites laterales.

x l´ım →0

⁻

cos x = 1 l´ım

x →0

⁺

a + x ² = a Para que la funci´on sea continua a = 1

Estudiamos la continuidad en x = 1

x l´ım →1

⁻

a + x ² = 2 l´ım

x →1

⁺

b x = b

Para que la funci´on sea continua b = 2. Ahora sustituimos los valores en la funci´on

f (x) =



 



 



cos x, si −π 6 x 6 0 x ² + 1, si 0 < x < 1

2 x , si 1 6 x 6 π

(40)

Por ´ ultimo estudiamos la continuidad lateral en x = π

x l´ım →π

⁻

2 x = 2

π = f (π) Es continua por la izquierda en x = π

1 2 3 4

−1

−2

−3

1 2 3 4

−1

−2

−3

La funci´on f (x) es continua en [π, −π] y adem´as

f (−π) = −1 < 0 f (π) = 2 π > 0

Por tanto ∃ c ∈ (−π, π) tal que f(c) = 0 El punto que buscamos es x = π

2 ∈ (−π, π) y f π 2

= 0

(41)

Tema 7. Funciones. Concepto de l´ımite. Continuidad

19 de febrero de 2015

Ejercicio 1

Hallar el dominio de la funci´ on

f(x) = arc sen 2x

Domf (x) =



− 1 2 , 1

2



3x − 9 = 0 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 9 3 = 3 Domf (x) = R − {3}

Ejercicio 1

Hallar el dominio de la funci´ on

f (x) = p

x

− 5x + 6

Hallamos los puntos d´ onde la expresi´ on x

− 5x + 6 se anula

x

− 5x + 6 = 0 x = 5 ± √

25 − 24

2 = 5 ± 1

2 = 3 y 2 por tanto vemos el signo de x

− 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Domf (x) = (−∞, 2] ∪ [3, ∞)

2 3

+ - +

-2 2

+ - +

Vemos el signo de x

− 4. Domf (x) = (−∞, −2) ∪ (2, ∞)

Estudiar la continuidad de la funci´on:

f (x) =  x + 1 −1 6 x < 0

−x 0 6 x 6 1

Las funciones son polinomios de grado 1 por tanto son continuas en todo R. Estudiamos la continuidad en x = 0

x l´ım →0 f (x) ⇒ l´ım

x →0

−x = 0 l´ım

x →0

+1 = 1

Los l´ımites laterales no coinciden por tanto la funci´on presenta una discontinuidad de salto en x = 0

Estudia la continuidad de la funci´on f (x) para los valores del par´ametro a.

f (x) =  x 2 + ax x 6 2 a − x 2 x > 2

Las dos funciones son continuas porque son polinomios de grado dos. Por tanto s´olo debemos estudiar el punto x = 2

x l´ım →2

x 2 − ax = 4 − 2a

x l´ım →2

a − x 2 = a − 4 4 − 2a = a − 4 ⇒ a = 8

3 Comprobamos que para a = 8

3 f (2) = 4 − 2 · 8

3 = − 4

3 = l´ım x →2 f (x) La funci´on es continua en todo R para a = 8

3 . Para a 6= 8

3 la funci´on es presenta una discontinuidad de salto en x = 2

Ejercicio 7

Estudia la continuidad de la funci´on f (x) para los valores del par´ametro a.

f (x) =

 e ax x 6 0 x + 2a x > 0

Las dos funciones son continuas en todo su dominio de definici´on. Por tanto s´olo debemos estudiar el punto x = 0

x l´ım →0

e ax = 1

x l´ım →0

x + 2a = 2a 2a = 1 ⇒ a = 1

2 Comprobamos que para a = 1

2 f (0) = 1 = l´ım x →0 f (x). Para a 6= 1

2 la funci´on presenta una discontinuidad de salto en x = 0

La funci´on se puede escribir:

 √

−x si x < 0

√ x si x ≥ 0 La ra´ız es una funci´on continua en [0, +∞) por tanto √

−x es continua en (−∞, 0] y √

x es continua en [0, +∞). Estudiamos la continuidad en x = 0. Para ello hallamos

l´ım x →0 f (x) Hallamos los l´ımites laterales

x l´ım →0

f (x) = l´ım

x →0

√ x = 0

x l´ım →0

f (x) = l´ım

x →0

√ −x = 0 Por tanto

f (x) = x + 1 −1 6 x < 0

f (x) = x ² + ax x 6 2 a − x ² x > 2

x ² − ax = 4 − 2a

a − x ² = a − 4 4 − 2a = a − 4 ⇒ a = 8

e ^ax x 6 0 x + 2a x > 0

e ^ax = 1

√

f (x) = x ² − x

x ² − x sen(πx) = 0

x ² − x

x ² − x sen(πx) = 0

x ² − x

1 + e ^−∞ = 0