INVERSORES RESONANTES DE ALTA FRECUENCIA
Presentado por
José Marcos Alonso Álvarez
para optar a la plaza de
PROFESOR TITULAR DE UNIVERSIDAD en el Área de Conocimiento de
TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA
Concurso convocado por Resolución de 26 de febrero de 1998 de la Universidad de Oviedo (B.O.E. de 25 de marzo de 1998)
GIJÓN – MAYO 1999
ÍNDICE
1.- INTRODUCCIÓN A LOS INVERSORES RESONANTES
1.1.- Justificación y ámbito de la lección 1
1.2.- Parámetros característicos de un inversor 3
1.3.- Diagrama de bloques de un inversor resonante 5
2.- TOPOLOGÍAS Y CONTROL DE INVERSORES RESONANTES
2.1.- Topologías de inversores resonantes 9
2.2.- Control de la potencia de salida de un inversor resonante 15 2.3.- Modos de funcionamiento de un inversor resonante 25 2.4.- Efecto de los parámetros de control en el modo de funcionamiento 31
3.- ANÁLISIS ESTÁTICO DE INVERSORES RESONANTES
3.1.- Métodos de análisis 35
3.2.- Obtención de características 38
3.3.- Análisis comparativo de inversores resonantes 40 3.4.- Comentarios para la selección de una topología 55
4.- INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DINÁMICO DE INVERSORES RESONANTES
4.1.- Introducción 57
4.2.- Metodología de estudio dinámico 58
4.2.1.- Aplicación al modelado en el espacio de estados 60 4.2.2.- Caso particular: sistemas lineales e invariantes 61
4.3.- Ejemplos de modelado 65
4.3.1.- Modelado de un inversor resonante LC paralelo 65 4.3.2.- Modelado de un convertidor CC-CC resonante 79
APÉNDICE A: SIMULACIÓN POR ORDENADOR DE UN CIRCUITO DE POTENCIA
A.1.- Ecuaciones de simulación de un convertidor de potencia a partir del
modelo en el espacio de estados 83
4.1.- Aplicación al modelado de un inversor resonante LC paralelo 85
APÉNDICE B: OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA DINÁMICA DEL INVERSOR LC PARALELO
BIBLIOGRAFÍA
1.1. Justificación y ámbito de la lección
La función de un inversor consiste en la generación de una onda de tensión o de corriente alterna de una determinada magnitud y frecuencia a partir de una fuente de energía continua.
Su funcionamiento cae por tanto en el campo de la conversión CC-CA y sus aplicaciones son muy numerosas.
La presente lección se centrará en los inversores resonantes de alta frecuencia, y especial- mente aquellos cuya fuente primaria de alimentación corresponde a una fuente de tensión. En estos inversores se genera una onda de tensión cuadrada o cuasi-cuadrada de alta frecuencia (por encima de 20kHz), que posteriormente es filtrada por medio de un circuito tanque reso- nante para obtener una onda de alta frecuencia con bajo contenido en armónicos. Finalmente esta onda es empleada para alimentar una determinada carga.
Los inversores resonantes de alta frecuencia han sido objeto de numerosos estudios recien- tes. Esto es debido al amplio número de aplicaciones que han venido apareciendo en los últi- mos años para este tipo de convertidores de potencia. Entre ellas cabe destacar las siguientes:
Alimentación de lámparas de descarga
Los inversores resonantes encuentran una aplicación particularmente interesante en la ali- mentación de lámparas de descarga. Además de realizar el encendido y la alimentación de la lámpara en régimen permanente al igual que los sistemas tradicionales (balastos electromag- néticos), presentan la ventaja de alimentar las lámparas con corriente de alta frecuencia. Esto produce un aumento del flujo luminoso emitido por la lámpara con respecto al emitido a fre- cuencias de red para la misma potencia eléctrica. Además la alimentación a alta frecuencia elimina el efecto estroboscópico, aumentando la calidad de la iluminación proporcionada por estas lámparas y haciendo posible su empleo en aplicaciones críticas como sistemas de reco- nocimiento de imagen por CCD, naves industriales con equipos móviles, etc. Otras ventajas adicionales son las derivadas de un mayor rendimiento energético en la etapa de potencia, control del flujo luminoso, regulación de la potencia eléctrica entregada a la lámpara, etc. [25- 38].
Calentamiento por inducción
El calentamiento por inducción es otra aplicación interesante de los inversores resonantes.
En los sistemas de calentamiento eléctrico tradicionales gran parte de calor generado eléctri- camente se pierde en el entorno del generador debido a fugas térmicas, por lo que el rendi- miento energético del proceso es reducido. Por medio del calentamiento por inducción el ren- dimiento del proceso se mejora en gran medida. En este proceso se genera una onda de co- rriente alterna de frecuencia comprendida dentro del rango 25-40kHz, con la que se alimenta una bobina de inducción. El campo magnético creado por la bobina induce corrientes circula- torias en el elemento metálico a calentar. De esta forma toda la energía eléctrica es transferida en forma de energía útil de calentamiento [14-16].
Soldadura por arco eléctrico
En la soldadura de arco eléctrico la energía de fusión se proporciona por medio de un arco eléctrico entre dos electrodos, uno de los cuales es la pieza metálica a soldar. En estos equipos es imprescindible el aislamiento galvánico entre la entrada y la salida. Los sistemas tradicio- nales emplean un transformador de baja frecuencia seguido de un puente de tiristores y una bobina de valor elevado para disminuir el rizado de la corriente del arco. El empleo de un inversor resonante seguido de un transformador de alta frecuencia, rectificador y bobina de alta frecuencia permite tanto reducir el tamaño y peso del equipo como aumentar su eficien- cia. En estos equipos se obtiene eficiencias del orden del 90% [9, 10].
Equipos ultrasónicos
La alimentación de cargas ultrasónicas es otra aplicación relativamente reciente de los in- versores resonantes. En estas aplicaciones se alimentan cargas construidas con materiales pie- zoeléctricos, con una onda de tensión de alta frecuencia (por encima del margen audible de 20 kHz) de manera que la energía eléctrica es transformada en energía mecánica que puede ser transformada de nuevo en energía eléctrica (transformadores piezoeléctricos, motores ultrasó- nicos), o simplemente empleada como medio de obtención de información (sonar, ecografía, etc.) [11-13].
Procesos electrostáticos
En determinados procesos electrostáticos, como por ejemplo la descarga en corona, es útil el empleo de un inversor resonante de alta frecuencia. Algunos ejemplos de aplicación son el tratamiento de materiales por descarga en corona, la separación de sustancias y la generación de ozono [ 6-8].
Reguladores CC-CC conmutados
Los reguladores conmutados de tensión continua pueden implementarse en base a un in- versor resonante sin mas que añadir un rectificador a la salida del mismo. En este caso suele hablarse de reguladores conmutados resonantes. Presentan la ventaja de manejar evoluciones senoidales en los interruptores, con lo que las pérdidas de conmutación son menores, pudien- do elevarse por tanto la frecuencia de conmutación. De esta forma se consiguen equipos de alimentación con una elevada relación potencia/volumen, alta eficiencia y muy buena res- puesta dinámica [17-24].
Se comprueba por tanto que los inversores resonantes de alta frecuencia corresponden a topologías de alimentación de amplio uso, cuyo estudio no debe ser obviado en un programa actual de Electrónica de Potencia.
En esta introducción se presentarán los conceptos básicos sobre el tema, las diferentes eta- pas de un inversor resonante así como sus características. En la sección segunda se mostrarán las diferentes topologías de inversores, los métodos y parámetros de control más empleados, y sus diferentes modos de funcionamiento.
En el apartado tercero se presenta la metodología de estudio estático de los inversores re- sonantes y se obtiene algunas de sus características más interesantes. Se finaliza el apartado con una comparación de los diferentes inversores así como algunos comentarios que ayudan a la selección de la topología más adecuada para cada aplicación.
Finalmente, el cuarto apartado está dedicado a introducir el tema del modelado dinámico de convertidores de potencia y en particular de los inversores resonantes. Se presenta en él tanto la metodología de análisis como algunos ejemplos de modelado dinámico de convertido- res de potencia.
1.2. Parámetros característicos de un inversor
La figura 1.1 muestra un inversor alimentando una carga genérica. El inversor se caracteri- za básicamente por la calidad de su onda de salida, que en general puede ser una tensión o una corriente. Cuanto menor sea el contenido en armónicos de la onda de salida más próxima será ésta a una onda senoidal pura. En este sentido se definen los parámetros siguientes:
Fuente
Primaria Inversor V, I Carga
CC CC-CA CA
Figura 1.1. Esquema de conversión CC-CA
Distorsión del armónico n:
V1
Dn =Vn (1.1)
donde Vn yV1 representan el valor eficaz del armónico de orden n y fundamental respectiva- mente.
Distorsión armónica total:
... 100 (%) ...
1 2 2
3 2
2 + + + + ⋅
= V
V V
THD V n (1.2)
Puesto que los armónicos de orden superior tienen un peso cada vez inferior en la onda de salida del inversor y son por tanto más fáciles de filtrar, suelen definirse también factores de distorsión ponderados, de la forma siguiente:
Factor de distorsión del armónico n:
n V DFn Vn
1
= (1.3)
Factor de distorsión total:
100 (%)
1 ...
3 , 2
2
⋅
=
∑
V n V TDF
n
(1.4)
1.3. Diagrama de bloques de un inversor resonante
La Figura 1.2 muestra el diagrama de bloques de un inversor resonante, tanto para el caso de alimentación en tensión (Fig. 1.2a) como para el caso de alimentación en corriente (Fig.
1.2b). Se observa que está formado por cinco etapas fundamentales:
• Fuente primaria de continua
• Inversor estático de alta frecuencia
• Circuito resonante
• Transformador de alta frecuencia
• Circuito de gobierno y control
Fuente
Primaria Inversor A.F. Circuito
Resonante Carga
Transformador A.F.
Circuito Controlde
Fuente
Primaria Inversor A.F. Circuito
Resonante Carga
Transformador A.F.
Circuito Controlde
(a)
(b) I
E
Figura 1.2. Diagrama de bloques de un inversor resonante: (a) Alimentado
Fuente primaria de continua
La fuente de alimentación continua genera la tensión de entrada del inversor. En principio podría ser una batería tal como representa la figura 1.2a, o de manera más general una etapa de conversión alterna-continua para la alimentación desde la tensión de red. Esta conversión podría realizarse empleando simplemente un rectificador seguido de un filtro o también de forma más flexible empleando a continuación un convertidor CC/CC que podría variar la ten- sión continua de entrada al inversor e incluso podría corregir el factor de potencia en la red.
Ejemplos de estas soluciones se muestran en la figura 1.3, tanto para el caso de alimentación en tensión como para alimentación en corriente.
AC Control Al inversor
AC Control Al inversor
(a)
(b)
L D
Q C
L L1
C D
Q
Figura 1.3. Etapas electrónicas para la alimentación de un inversor resonante: (a) en tensión y (b) en corriente
Inversor estático de alta frecuencia
El inversor de alta frecuencia emplea interruptores formados por transistores y diodos para producir una onda de tensión o corriente de alta frecuencia. Los interruptores empleados de- ben ser bidireccionales en corriente en el caso de inversores alimentados en tensión y unidi- reccionales en corriente en el caso de inversores alimentados en corriente, tal como se ha re- presentado en el diagrama de bloques de la figura 1.2. Estos interruptores manejan la corriente o tensión de entrada del circuito tanque por lo que estas formas de onda serán un parámetro
Circuito resonante
El objetivo del circuito tanque resonante es filtrar la onda de salida del inversor de forma que las ondas de tensión y corriente en la carga sean prácticamente senoidales. El circuito tanque debe suministrar la corriente y tensión necesaria para la carga en régimen permanente, manejando la mínima corriente de entrada posible para así disminuir las pérdidas en los inter- ruptores.
Transformador de alta frecuencia
En ocasiones puede ser necesario el empleo de un transformador de salida por alguna de las razones siguientes:
♦ Puede ser necesario disponer de aislamiento galvánico entre la entrada y la salida, por ejemplo para evitar el peligro de descargas eléctricas a personas o animales.
Es el caso típico de los inversores empleados en equipos de soldadura eléctrica.
♦ La tensión de entrada puede ser demasiado baja o demasiado alta, y es necesario elevarla o reducirla respectivamente para alimentar la carga en régimen perma- nente. Es el caso de alimentación de lámparas de descarga desde baterías en equi- pos de iluminación de emergencia o autónomos. La relación de espiras del trans- formador está determinada por la tensión de salida del circuito tanque y la tensión necesaria en la lámpara.
Circuito de gobierno y control
El circuito de gobierno y control realiza diversas funciones, entre las que cabe destacar las siguientes:
♦ Generación de las señales de disparo de los interruptores controlados y adaptación al terminal de control de los mismos.
♦ Regulación de alguna de las variables de control de la carga (tensión, corriente, potencia, etc.).
♦ Implementación de protecciones (sobretensión, sobrecorriente, fallos en la carga, etc.)
2.1. Topologías de inversores resonantes
En esta lección se tratará exclusivamente el estudio de los inversores resonantes alimenta- dos en tensión, por ser los de más uso en la mayoría de las aplicaciones. No obstante, la me- todología de análisis y diseño es fácilmente aplicable al caso de inversores alimentados en corriente.
Las diferentes topologías de inversores resonantes más habituales se obtienen combinando un inversor de alta frecuencia de los mostrados en la figura 2.1a con un circuito resonante de los ilustrados en la figura 2.1b.
E
1
1
N NE
E
E/2 +
E E/2
PUSH-PULL ASIMÉTRICO
MEDIO PUENTE
E
PUENTE COMPLETO E
(a)
LC Serie LC Paralelo LCC Serie-Paralelo LCLC Serie-Paralelo
(b)
L C L
C
L Cs
Cp
Cs
Cp L p
L s
Inversor push-pull
El inversor push-pull presenta la ventaja de poder ajustar el nivel de tensión de la onda cuadrada de salida por medio de la relación de espiras del transformador. Sin embargo tiene el inconveniente fundamental de que los transistores deben soportar el doble de la tensión de entrada, ya que a la propia tensión de entrada se le suma el valor reflejado en el primario del transformador. Esto hace necesario el empleo de transistores con tensiones de ruptura superio- res y en consecuencia con peores características de conducción. Además esta topología exige el uso de un elemento reactivo adicional como es el transformador, lo que aumenta el coste para algunas aplicaciones. Esto hace que dicha topología se reserve para el caso de tensiones de entrada reducidas, donde además el uso de un transformador elevador es inevitable.
Por otro lado, el diseño y la construcción del transformador debe realizarse con mucho cuidado para evitar componentes continuas en el flujo del núcleo, que podrían dar lugar a fuertes corrientes de magnetización, disminuyendo el rendimiento del inversor o incluso pro- duciendo su destrucción debido a la saturación del transformador.
La figura 2.2 muestra las formas de onda más características del inversor push-pull así co- mo los diferentes circuitos equivalentes que se obtienen durante su funcionamiento. El flujo máximo en el transformador puede obtenerse a partir de la siguiente expresión:
dt N d
E φ
= 1 (2.1)
integrando se obtiene:
f N
E
max
4 1
=1
φ (2.2)
siendo N1 el número de espiras de los devanados primarios y f la frecuencia de conmutación.
A partir de (2.1) se obtiene la siguiente ecuación para el diseño del transformador:
f A B N E
e
4 m
1
1 = (2.3)
donde Bm es la inducción máxima en el núcleo y Ae su sección efectiva.
E 1
1 N
Q1 D1
Q2 D2
E 1
1 N
D1
E 1
1 N
Q1
E 1
1 N
D2
E 1
1 NE N
- +
MODO I MODO II MODO III MODO IV
NE -
+ -
+ NE
Q2
-
+ NE
iB2 iB1
vO i O
vCE1
T/2 T
t iB1
iB2
NE vO
iO
Modo I Modo II Modo III Modo IV
Q1 ON
Q2 OFF
Q1 OFF
Q2 ON
D1 Q1 D2 Q2
UCE1
i C1
i D1
2E
T/2 T
φ
φmax
Figura 2.2. Circuitos equivalentes y formas de onda para el inversor push-pull.
Inversor asimétrico
El inversor asimétrico es muy simple pues sólo requiere dos interruptores. Estrictamente hablando esta topología no corresponde a un inversor pues genera una tensión de salida que tiene siempre la misma polaridad. Esto hace preciso que el circuito tanque al que alimenta esta topología presente un condensador en serie con la entrada de forma que se bloquee el paso de corriente continua. Así la tensión alterna de entrada al circuito tanque corresponderá a una onda cuadrada de tensión máxima igual a la mitad de la tensión de entrada. Esta topología es muy empleada para la implementación de inversores autoscilantes. La figura 2.3 muestra sus formas de onda más características.
E +
T/2 T
t iB1
iB2
E/2 v
O iO
Modo I Modo II Modo III Modo IV
Q1 ON
Q2 OFF
Q1 OFF
Q2 ON
D1 Q1 D2 Q2
UCE1 E
Q1
D1
Q2
D2 v
O iO C
u C= E/2
Figura 2.3. Formas de onda para el inversor asimétrico.
Normalmente el condensador de filtro se considera parte del circuito resonante. El princi- pal inconveniente de este inversor es que el condensador de filtro soporta un nivel de continua igual a la mitad de la tensión de entrada. Por ello, este condensador debe ser de valor elevado para minimizar el rizado de tensión. Por la misma razón, también debe ser un condensador de baja resistencia serie, lo que aumenta su coste.
Inversor en medio puente
El inversor en medio puente emplea dos condensadores para crear un punto a una tensión flotante igual a la mitad de la tensión de entrada. De esta forma la tensión de salida corres- ponde directamente a una onda cuadrada de valor máximo igual a la mitad de la tensión de entrada. Los condensadores deben ser escogidos adecuadamente de forma que sean capaces de suministrar la energía necesaria en cada ciclo de conmutación sin una descompensación excesiva en su tensión. Su funcionamiento es muy similar al del inversor asimétrico, las for- mas de onda son iguales a las mostradas en la figura 2.3, por lo que no se repetirán aquí.
Inversor en puente completo
En algunas aplicaciones con elevada tensión de entrada, los inversores asimétrico y medio puente, pueden no suministrar potencia suficiente a la salida, en estos casos puede emplearse la topología en puente completo. Esta topología emplea cuatro interruptores para generar una tensión cuadrada de valor máximo igual al de la tensión de entrada, el doble que en las otras dos topologías anteriores, por lo que la potencia disponible en la salida se multiplica por cua- tro. En este inversor los interruptores sólo soportan una tensión igual a la de entrada. Las for- mas de onda más relevantes se ilustran en la figura 2.4.
Otra ventaja del inversor en puente completo es que permite la modulación de la señal de salida, permitiendo así el control del valor eficaz de la tensión aplicada al circuito resonante.
Por otro lado, uno de los inconvenientes de este inversor es que en cada instante se encuentran siempre dos semiconductores en estado de conducción. Por ello el rendimiento para potencias de salida reducidas será inferior que en el caso de los otros inversores en los que sólo un se- miconductor conduce en cada intervalo.
E
Q1 D1
Q2
D2 Q3
D3 Q4
D4
T/2 T
t iB1
iB3
E vO
iO
Modo I Modo II Modo III Modo IV
Q1, Q2 ON
Q3, Q4 OFF
Q1, Q2 OFF
Q3, Q4 ON
D1-D2 Q1-Q2 D3-D4 Q3-Q4
UCE1 E
iB2 iB4
vO iO
UCE2
Figura 2.4. Formas de onda características en el inversor en puente completo.
En cuanto a las posibilidades para la implementación del circuito resonante, en la figura 2.1b se mostraron algunos de los posibles circuitos que pueden ser empleados y que pueden encontrarse en la bibliografía reciente. Los circuitos LC-serie, LCC y LCLC, incorporan todos ellos un condensador en serie con la entrada por lo que pueden ser empleados directamente en el inversor asimétrico o en topologías que incorporen un transformador. En la segunda parte de este artículo se realizará un estudio comparativo de varios circuitos resonantes.
2.2. Control de la potencia de salida de un inversor resonante
En muchas aplicaciones de inversores resulta interesante poder regular la tensión o corrien- te de salida para mantenerla constante frente a variaciones en la tensión de entrada, en la car- ga, etc. En otros casos puede ser interesante controlar la onda de salida en un margen amplio para variar así la potencia entregada a la carga. Ejemplos típicos son el control del flujo lumi- noso cuando se alimentan lámparas de descarga, el control de temperatura en sistemas de ca- lentamiento por inducción, etc.
Las técnicas empleadas para el control de la potencia de salida de un inversor resonante son básicamente las siguientes:
• Control de la tensión continua de entrada al inversor
• Control por frecuencia de conmutación de los interruptores
• Control por deslizamiento de fase o enclavamiento
• Control por modulación de ancho de pulso o PWM
• Control por modulación de densidad de pulsos o PDM
Tensión continua de entrada
Puesto que la tensión de salida del inversor de alta frecuencia, que es la tensión de entrada del circuito tanque, depende directamente de la tensión continua de entrada, ésta puede em- plearse como parámetro de control de la potencia suministrada por el inversor resonante. De esta forma la onda alterna de salida mantiene su forma relativa y su frecuencia, variando su amplitud proporcionalmente a la tensión continua de entrada. Esto exigiría el empleo de algu- na etapa intermedia de conversión CA-CC que permitiese ajustar el nivel de la tensión conti- nua de salida. Algunas de las posibles soluciones se muestran en la figura 2.5.
Para el caso de alimentación desde alterna puede emplearse un rectificador controlado, tal como muestra la figura 2.5a. No obstante en este convertidor los interruptores trabajan a fre- cuencias de red por lo que su respuesta dinámica es lenta. En caso de ser necesaria una res- puesta dinámica rápida puede emplearse un convertidor CC-CC conmutado a frecuencia inde- pendiente, tal como muestra la figura 2.5b. Finalmente, en el caso de alimentar el inversor desde una batería se emplearán soluciones basadas en reguladores conmutados. En la figura 2.5c se muestra un convertidor elevador a modo de ejemplo.
AC
AC Control
(a)
(b)
Inversor
Inversor
Control
(c)
Inversor E
L
C
T1 T2
T3 T4
D1 D2
D3 D4
Q
D L
C
L
Q D
C
Figura 2.5. Etapas previas para el control de la tensión de entrada al inversor.
El principal inconveniente de este método de control es la disminución en el rendimiento total del inversor debido a la configuración en dos etapas, aparte de un mayor coste. Puede ser interesante en algunos casos en los que se desee corregir el factor de potencia con esta prime- ra etapa.
Control por frecuencia de conmutación
Este método resulta más sencillo que el anterior, ya que basta con variar la frecuencia de conmutación de los transistores para variar la potencia suministrada a la salida del inversor. El equivalente Thevenin de salida del circuito tanque depende de la frecuencia, lo que permite variar la tensión o corriente de salida del inversor resonante por medio de variaciones en la frecuencia de la tensión alterna de entrada a dicho circuito tanque. El principal inconveniente
de este método es que los elementos reactivos, sobre todo bobinas y transformadores, deben estar diseñados para su correcto funcionamiento en todo el rango de frecuencias, lo que no permite optimizarlos en tamaño.
Control por deslizamiento de fase o enclavamiento
Por medio del control adecuado de los interruptores del inversor puede variarse la forma de onda de salida, modificando su valor eficaz. El método consiste en no aplicar siempre toda la tensión de entrada en la salida del inversor, sino que en determinados intervalos se cortocir- cuita el circuito resonante, aplicándole tensión cero. Esto suele realizarse empleando la topo- logía en puente completo en la que se utilizan los interruptores superiores o inferiores cerra- dos simultáneamente para cortocircuitar la carga. Si además se varía la duración de los inter- valos en los que está cortocircuitada la carga, puede modificarse la forma de onda de la salida y por tanto su valor eficaz. Un ejemplo de esta topología junto con sus formas de onda carac- terísticas se muestra en la figura 2.6.
El nombre de ciclo de trabajo dado a este parámetro de control suele emplearse por simili- tud con el funcionamiento de los convertidores CC-CC conmutados, de ahí que en algunas ocasiones a este modo de control se le denomine también modulación de ancho de pulso o PWM. No obstante, las denominaciones más habituales son: método de deslizamiento de fase (phase-shift) o de enclavamiento (clamped-mode). El algunas referencias también se les de- nomina a estos inversores como inversores de clase D, por su similitud de funcionamiento con los amplificadores de audio de clase D.
El valor eficaz de la tensión aplicada al circuito tanque se puede obtener integrando la for- ma de onda de salida:
D E dt T E
VO = 2
∫
0DT/2 2 = (2.4)por tanto se puede controlar la tensión eficaz de entrada por medio del ciclo de trabajo si- guiendo la ley expresada por (2.4).
Por otro lado la onda de entrada al circuito tanque se puede expresar empleando el desarro- llo en serie de Fourier de la forma siguiente:
E Q1
D1
Q2
D2 Q3
D3 Q4
D4
T/2 T
t iB1
iB2
E vO
iO
D1 Q1
vO iO
t iB3
iB4
t
t A
B
v vA B
E v
vB A
E
Q4 D1
D2 Q2 D3
Q2 D3
D4 Q3
Q4
D1Q4
D T/2 (1-D) T/2
Figura 2.6. Formas de onda características del inversor en puente completo con control de fase.
t nD n
n t E
u
n
O π ω
π sen
sen 2 ) 4
(
...
5 , 3 ,
∑
1∞=
= (2.5)
En esta forma de onda el armónico superior de mayor amplitud es el de orden 3 y la distor- sión armónica mínima se obtiene para D=0.731, tal como se observa en la figura 2.7.
0 0.25 0.5 0.75 1
0 100 200 300 THD(%)
D
Figura 2.7. Distorsión armónica total de una onda cuasi-cuadrada.
La técnica de control de fase también puede emplearse acoplando las salidas de dos inver- sores por medio de transformadores y desplazando a su vez las señales de control de los in- versores. La figura 2.8 muestra un ejemplo empleando inversores push-pull en los que el transformador de salida siempre está presente.
E 1
1 N
Q1 D1
Q2
iB2 D2 iB1
i O
E 1
1 N
Q3 D3 Q4
iB4 D4 iB3
vO2 vO1
vO
vO1
vO2
Vm
2Vm Vm
Figura 2.8. Control de fase empleando dos inversores push-pull acoplados.
Control por modulación de ancho de pulso o PWM
Este método de control realiza una modulación de anchura de pulso de la onda de salida del inversor, de forma que la tensión media de salida evaluada en cada periodo de conmuta- ción es proporcional a la onda modelo que se desea obtener.
Normalmente la onda modelo es una onda senoidal, de forma que se obtiene una onda se- noidal a la salida. La modulación se realiza comparando la onda modelo con una onda trian- gular de alta frecuencia. Las formas de onda características de un inversor en medio puente con control PWM se muestran en la figura 2.9.
E/2
E/2
Q1
Q2
D1
D2
v1 FILTRO
A.F. vo
Tc
T Tc<< T
Vp
v1 vo
t t vm
Figura 2.9. Control de la salida de un inversor por modulación de anchura de pulso.
La figura 2.10 muestra en detalle las formas de onda durante un periodo de conmutación de alta frecuencia. Si la frecuencia de la onda triangular es mucho mayor que la de la onda mode- lo se puede admitir que ésta última permanece constante durante todo el periodo de conmuta- ción, tal como se muestra en la figura 2.10. El valor medio de la onda de salida vo(t) vendrá dado por la expresión siguiente:
C
o T
t E t t v t
v 1 ( ) ( )
) 2 ( )
( + − −
=
= (2.6)
t(-) t(+)
+
_ α
α
E/2
v1(t) = vo(t) v1(t)
vm(t)
Tc Vp
Figura 2.10. Detalle de las formas de onda durante un periodo de conmutación
A partir de la figura 2.10 se obtienen las siguientes relaciones:
(
V v t)
tanαt(−) =2 p − m( ) (2.7)
(
V v t)
tanαt(+) =2 p + m( ) (2.8)
a partir de (2.7) y (2.8) se obtiene:
α tan t v t
t(+) − (−) =4 m( ) (2.9)
donde:
p c
V tan T /4
=
α (2.10)
Sustituyendo (2.9) y (2.10) en (2.6) se obtiene finalmente:
p m
O V
t v t E v t
v ( )
) 2 ( )
( = 1 = (2.11)
Se comprueba en (2.11) que la onda de salida es proporcional a la onda modelo de entrada.
Si la onda modelo es senoidal la ecuación (2.11) puede expresarse de la forma siguiente:
t E m
V t E V
t
v a
p m
O ω ω
2 sen sen
) 2
( = = (2.12)
donde el factor ma se denomina factor de modulación en amplitud, y se define de la forma siguiente:
p m
a V
m =V (2.13)
La frecuencia de conmutación debe ser suficientemente elevada para poder admitir que la onda modelo es constante durante todo el periodo de conmutación Tc. Se define el factor de modulación de frecuencia de la forma siguiente:
f
mf = fc (2.14)
siendo fc la frecuencia de conmutación y f la frecuencia de la onda modelo.
Los armónicos de orden superior de la onda de salida v1(t) se sitúan en bandas centradas en torno a la frecuencia de conmutación y sus múltiplos, es decir, en torno a las frecuencias nor- malizadas mf, 2mf, 3mf, etc. Para valores de mf superiores a 8, que es lo más habitual excepto en potencias muy elevadas, las magnitudes de los armónicos son prácticamente independien- tes de mf. La frecuencia del armónico j correspondiente a la banda k viene dada por:
f k jm
fhj =( f ± ) (2.15)
donde para valores pares de j sólo se dan los valores impares de k y viceversa. La figura 2.11 muestra la distribución de armónicos.
La tabla 2.1 muestra los valores de amplitud normalizada Vh_pico/(E/2) en función del factor de modulación ma y suponiendo mf ≥ 9.
1 m f
m f+2 mf+4 m f-2
m f-4 jmf
jmf +k jmf -k
si j par k impar si j impar k par ...
...
...
...
...
Figura 2.11. Distribución de armónicos de una onda PWM para mf≥ 9.
TABLA 2.1.AMPLITUD NORMALIZADA DE LOS ARMÓNICOS DE ORDEN SUPERIOR DE UNA ONDA PWM(MF≥9)
h \ ma 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1 (fundamental) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
mf
mf ± 2 mf ± 4
1.242 0.016
1.150 0.061
1.006 0.131
0.818 0.220
0.601 0.318 0.018 2mf ± 1
2mf ± 3 2mf ± 5
0.190 0.326
0.024 0.370
0.071 0.314
0.139 0.013
0.181 0.212 0.033 3mf
3mf ± 2 3mf ± 4 3mf ± 6
0.335 0.044
0.123 0.139 0.012
0.083 0.203 0.047
0.171 0.176 0.104 0.016
0.113 0.062 0.157 0.044
Las frecuencias de conmutación más habituales suelen ser inferiores a 6 kHz o superiores a 20 kHz, para evitar el margen audible. Empleando tiristores rápidos pueden llegar a manejarse potencias del orden de kVA.
La aplicación de este tipo de control para alimentación de cargas a alta frecuencia está li- mitada debido a la necesidad de trabajar a frecuencias de conmutación muy altas. Por ejemplo para alimentar una carga a 20 kHz sería necesario trabajar con frecuencias de conmutación del orden de 200 kHz. Puesto que las pérdidas de conmutación en un convertidor se incrementan proporcionalmente a la frecuencia de conmutación la aplicación de este método a alta fre- cuencia daría lugar a rendimientos reducidos.
Control por modulación de densidad de pulsos o PDM
La figura 2.12 ilustra las formas de onda de un inversor resonante con control por modula- ción de densidad de pulsos. Para mayor simplicidad se ha representado el circuito resonante como un circuito LC paralelo. En el control PDM se empleando los modos de funcionamiento I, II y III para realizar el control de la energía entregada a la carga. Durante el modo III se generan señales de disparo para los dos interruptores Q2 y Q3, proporcionando un circuito bidireccional de libre circulación para la corriente resonante, aplicando tensión cero al mismo.
La figura 2.12 corresponde a un caso con densidad de pulsos de 3/4. La salida del inversor resonante es una onda periódica de valor eficaz igual a 3/4 del valor máximo posible.
iO
vA vB E
Q1 D1
Q2 D2 Q3
D3 Q4
D4
vO iO
E
Q1 D1
Q2 D2 Q3
D3 Q4
D4
vO iO
E
Q1 D1
Q2 D2 Q3
D3 Q4
D4
vO iO
E
Q1 D1
Q2 D2 Q3
D3 Q4
D4
vO iO A
B
A B
A B
A B
Circuito Inversor Modo I
Modo II Modo III
Modo I Modo II Modo I Modo II Modo I Modo II Modo I Modo III Modo I Modo II Modo I
Figura 2.12. Control por modulación de densidad de pulsos.
El método PDM proporciona gran precisión y amplio margen de control de la potencia de salida, llegando a tenerse márgenes comprendidos entre el 0.5% y el 100%. Esto resulta espe- cialmente interesante en determinadas aplicaciones como el tratamiento por descarga en coro- na.
2.3. Modos de funcionamiento de un inversor resonante
El caso más general desde el punto de vista de los diferentes modos de conmutación que pueden producirse corresponde al inversor en puente completo con control por deslizamiento de fase que se ha mostrado en la figura 2.6. En esta topología se dispone de dos parámetros de control: la frecuencia de conmutación y el ciclo de trabajo.
En función del desfase existente entre la tensión de salida vO y la corriente iO del circuito resonante pueden darse los siguientes modos de conmutación:
• Modo de conmutación a tensión cero (ZVS) o conmutación forzada
• Modo de conmutación a corriente cero (ZCS) o conmutación natural
• Modo de conmutación mixto (ZVS-ZCS)
Modo de conmutación a tensión cero (ZVS)
La figura 2.13a muestra las ondas de gobierno de los transistores del puente junto con las formas de onda de tensión y corriente en el circuito tanque para este modo de conmutación.
Como se observa en la figura, la secuencia de conducción para los dispositivos del puente es Q1-Q2, D3-Q2, D3-D4, Q3-Q4, D1-Q4 y D1-D2. Cada transistor es activado cuando su diodo en antiparalelo ya se encuentra conduciendo, esto hace que la tensión que soporta al entrar en conducción sea muy reducida. Este tipo de conmutación se denomina por ello conmutación a tensión cero o ZVS (Zero-Voltage-Switching) y cuando se produce, las pérdidas de entrada de conducción del transistor son nulas.
E vO iO
D1 Q1
Q4 D1
D2 Q2 D3
Q2 D3
D4 Q3
Q4
D1Q4
(a)
E vO
iO
Q1 Q1
D4 D1
Q2 D2 Q3
D2 D3
Q3 D4 Q4
Q1D4
(b)
E vO
iO
Q4 Q1
D1 Q3
Q2 Q2 D2
D3 Q4
Q3 D1 Q4 Q1D4
(c)
Figura 2.13. Modos de funcionamiento de un inversor resonante.
Sin embargo, tal y como observamos en la figura 2.13a, cuando los transistores salen de conducción, lo hacen manejando corriente no despreciable; más aún, estas conmutaciones se producen cerca de los máximos de la corriente. Por tanto, existirán pérdidas en la salida de conducción de los transistores y por ello a estas conmutaciones se les denomina también conmutaciones forzadas por similitud con las producidas en los tiristores. Las pérdidas de salida de conducción pueden calcularse empleando la ecuación siguiente [4]:
S f S S
off V I t f
P 2
= 1 (2.16)
siendo VS, IS los valores de tensión y corriente que maneja el interruptor en el momento de la conmutación, tf el tiempo de salida de conducción del interruptor y fs la frecuencia de conmu- tación.
No obstante, las pérdidas de salida de conmutación de estos transistores pueden minimizar- se empleando redes de protección no disipativas, constituidas exclusivamente por un conden- sador colocado en paralelo con cada transistor. Esto es posible gracias a que los transistores siempre entran en conducción con tensión cero y por tanto la energía de la red de protección no se vuelca al transistor. Se demuestra que el condensador óptimo para esta aplicación es el siguiente [5]:
S f S óptimo
V t C I
4
= 1 (2.17)
siendo las pérdidas de conmutación obtenidas con este condensador las siguientes:
S f S S
off V I t f
P 12
= 1 (2.18)
Con este modo de conmutación, y empleando condensadores como redes de protección no disipativas se eliminan los problemas de sobretensión en los interruptores y se disminuye de forma considerable las pérdidas de salida de conducción.
Por otro lado, los diodos empleados en el inversor pueden ser de baja velocidad pues nunca se les aplica tensión inversa instantáneamente para la salida de conducción, sino que el diodo deja de conducir porque la corriente se invierte y pasa a su transistor en antiparalelo, mante- niéndose baja la tensión en el diodo, que además dispone de todo el tiempo de conducción del transistor para salir de su estado de conducción. Esto hace que puedan emplearse los diodos parásitos que se encuentran en muchos transistores Darlington de potencia y en todos los MOSFET de potencia.
Modo de conmutación a corriente cero (ZCS)
La figura 2.13b muestra las formas de onda de control de los transistores y de tensión y co- rriente en el circuito tanque resonante para este modo de funcionamiento. Como vemos en la figura 2.13b la secuencia de conmutación en este caso es Q1-Q2, D1-D2, Q3-D2, Q3-Q4, D3- D4 y Q1-D4. Ahora cada transistor sale de conducción porque su corriente pasa por cero, se
Los transistores salen de conducción con corriente cero, de ahí que a este tipo de conmuta- ción se la denomine conmutación a corriente cero o ZCS (Zero-Current-Switching). En este caso las pérdidas de salida de conducción en los transistores son nulas y por ello a estas con- mutaciones se las denomina en ocasiones conmutaciones naturales.
Sin embargo, en este caso cuando se produce la entrada de un transistor su diodo en antipa- ralelo no se encuentra en conducción y el transistor está soportando la tensión de entrada. La entrada en conducción no se produce a tensión cero como en el caso anterior, sino que el tran- sistor se ve obligado a manejar simultáneamente corriente y tensión durante la conmutación, con las consiguientes pérdidas.
En cuanto a los diodos se producen problemas adicionales en las conmutaciones. Si obser- vamos la figura 2.13b el transistor que entra en conducción lo hace sacando de conducción al diodo del otro transistor de su misma rama; por ejemplo, en la mencionada figura, Q3 entra en conducción polarizando inversamente a D1 y la corriente debe pasar instantáneamente desde el diodo al transistor, lo que no puede ocurrir debido al propio tiempo de recuperación en in- versa del diodo. Esto provoca la aparición de picos de corriente debido a cortorcircuitos pun- tuales, además de las pérdidas de entrada de conducción del transistor y de salida del diodo.
Por ello en este modo se hace necesario el empleo de diodos rápidos con bajo tiempo de recuperación en inversa para disminuir los problemas durante la conmutación. Aquí ya no es válido el empleo de los diodos parásitos de los Darlington o de los MOSFET debido a sus malas características. En tales casos, estos diodos deben ser anulados colocando diodos rápi- dos uno de bloqueo en serie con el transistor y otro en paralelo con el conjunto transistor y diodo adicional.
Modo de conmutación mixto (ZVS-ZCS)
Para valores reducidos del ciclo de trabajo aparece el modo de conmutación mixto, en el cual dos de los interruptores del puente trabajan en ZVS, mientras que los otros dos lo hacen en ZCS. Las formas de onda características en este modo se muestran en la figura 2.13c. La secuencia de conmutación en este caso es la siguiente: Q1-Q2, Q2-D3, Q3-D2,Q3-Q4, Q4-D1 y Q1-D4. Como se observa, los transistores Q1 y Q3 entran en conducción cuando sus diodos en antiparalelo están ya conduciendo, es decir, conmutan a tensión cero (ZVS) y salen de conducción manejando corriente. Por otro lado, los transistores Q2 y Q4 de la otra rama en- tran en conducción con tensión, pero salen de conducción de forma natural al invertirse la
corriente y pasar a su diodo en antiparalelo, es decir conmutan a corriente cero (ZCS). Se tie- ne por tanto una mezcla de las características de ambos modos.
Balance energético en los modos de conmutación
En principio, puede parecer que el mejor modo de funcionamiento es el modo de conmuta- ciones a tensión cero en los cuatro interruptores, ya que las pérdidas de entrada en conducción son nulas y las de salida de conducción pueden minimizarse empleando redes de protección no disipativas. Además, presenta la ventaja adicional de que pueden ser empleados los diodos parásitos de los semiconductores de potencia.
No obstante, no debe olvidarse el hecho de que las pérdidas totales en los semiconductores vienen dadas por la suma de las pérdidas de conmutación y las pérdidas de conducción. Las primeras dependen principalmente de los niveles de corriente y tensión con los que se produce la conmutación y son proporcionales a la frecuencia, las segundas dependen de los valores medios y/o eficaz de la corriente conducida (dependiendo del modelo de interruptor empleado para evaluarlas) y son independientes de la frecuencia.
La figura 2.14 muestra las formas de onda de tensión y corriente de entrada en el circuito tanque en los tres modos de conmutación comentados. Es evidente que el circuito tanque so- lamente puede absorber o ceder energía durante los intervalos de tiempo en los cuales el in- versor le aplica tensión no nula procedente de la fuente de entrada. Esto sucede durante un intervalo de tiempo igual a D⋅T/2 en cada semiperiodo.
La energía neta suministrada a la carga es proporcional al área encerrada entre la onda de corriente y el eje de tiempos. En la figura 2.14 se ha denotado con un signo "+" la energía absorbida por el circuito tanque y con un signo "-" la cedida por el mismo a la fuente de en- trada. De la figura 2.14 se deduce que tanto en el modo ZVS, en el que todos los transistores conmutan a tensión cero, como en el ZCS donde lo hacen a corriente cero, existen intervalos de tiempo en los que el circuito tanque absorbe energía e intervalos en los que la cede. En cambio, en el modo mixto ZVS-ZCS con dos transistores conmutando a tensión cero y otros dos a corriente cero el circuito tanque siempre absorbe energía y no existen intervalos en los que ceda energía a la fuente de entrada. En este modo de funcionamiento sólo se toma de la fuente de entrada la energía justa para ceder a la carga y el juego de energía reactiva no existe.
vO
D1 Q1
Q4 D1
D2 Q2 D3
Q2
+ -
vO
Q1 Q1
D4 D1
D2
Q2 Q3
D2 iO
(a)
+
-
(b) iO
Q1 Q1
D4 Q2 Q2
D2 (c)
iO
vO
+
Figura 2.14. Balance de energía en los distintos modos de funcionamiento del inversor resonante.
Esto significa que para suministrar la misma energía a la carga en los modos simples ZVS y ZCS se necesitarán valores eficaces y de pico de la corriente de entrada superiores a los ne- cesarios en el modo de conmutación mixto, en el que siempre se ingresa energía en el circuito tanque.
En resumen, las pérdidas de conducción en el modo mixto ZVS-ZCS serán inferiores a las de los otros dos modos. Las pérdidas de conmutación podrán ser superiores a las del modo ZVS, y será el balance entre pérdidas en conmutación y pérdidas en conducción el que deter- mine el modo de funcionamiento más adecuado. Para potencias elevadas el rendimiento neto del inversor trabajando en el modo mixto será superior al del modo ZVS debido a las menores pérdidas en conducción. Un ejemplo experimental ha sido realizado por Sabaté et al [22, 23].
Resulta por tanto fundamental realizar el análisis de las diferentes topologías de inversores resonantes para obtener las regiones correspondientes a los distintos modos de funcionamien- to, lo que permitirá el diseño adecuado del inversor. Dicho análisis constituye el objetivo de la sección siguiente.
2.4. Efecto de los parámetros de control en el modo de funcionamiento del inversor De forma intuitiva puede razonarse la existencia de las tres zonas de funcionamiento ante- riores al producirse variaciones en los parámetros de control. La figura 2.15 muestra la ten- sión de entrada en el circuito tanque junto a la forma de onda de la corriente de entrada, asu- miendo que esta última es senoidal.
Considerando solamente el armónico fundamental de la tensión y de la corriente de entrada en el tanque, la corriente podrá estar adelantada o retrasada con respecto a la tensión de entra- da. Si, por ejemplo, nos situamos en un punto de funcionamiento a frecuencia elevada, muy por encima de la frecuencia de resonancia del tanque, la impedancia de entrada de dicho cir- cuito será prácticamente inductiva y la corriente tenderá a estar desfasada 90° con respecto a la tensión. El modo de funcionamiento corresponderá obviamente al modo ZVS. Esta situa- ción está representada por la curva (1) de la figura 2.15.
Si ahora disminuimos progresivamente la frecuencia, la componente capacitiva del circuito tanque hará que el desfase entre corriente y tensión vaya disminuyendo, hasta que para una frecuencia determinada la corriente se anula antes de que se aplique tensión no nula al circuito tanque, tal como representa la curva (2) de la figura 2.15. A esta frecuencia, la conmutación corresponde al modo mixto ZVS-ZCS.
Si seguimos disminuyendo la frecuencia, hasta valores bastante inferiores a la frecuen- cia de resonancia del circuito tanque, la componente capacitiva predominará sobre la inducti- va y la corriente de entrada puede estar muy adelantada con respecto a la tensión de entrada.
Tal situación es mostrada por la curva (3) de la figura 2.15. En este caso se habrá alcanzado el modo de conmutación ZCS.
En resumen, podemos decir que al variar la frecuencia desde valores elevados hasta valores reducidos el inversor atraviesa las tres zonas de conmutación.
VAB_fund
VAB
(3) (2)
(1)
(1) ZVS (2) ZVS-ZCS (3) ZCS
Figura 2.15. Formas de onda en la entrada del circuito tanque al variar la frecuencia de conmutación..
De la misma forma se puede razonar el paso de un modo de conmutación a otro al variar el ciclo de trabajo. La figura 2.20 muestra las formas de onda de tensiones y corrientes para dos valores diferentes del ciclo de trabajo, trabajando a frecuencia constante.
VAB VAB
VAB_fund. VAB_fund.
(a) (b)
ZVS Mixto
ZCS Mixto
Figura 2.16. Formas de onda en la entrada del circuito tanque al variar el circlo de trabajo.
En la figura 2.16a la componente fundamental de la corriente en el circuito tanque se en- cuentra retrasada con respecto a la componente fundamental de la tensión. Es el caso típico de funcionamiento por encima de resonancia. En estas condiciones, para un ciclo de trabajo ele- vado vemos que el modo de conmutación corresponde a ZVS en todos los interruptores. Si manteniendo constante la frecuencia disminuimos el ciclo de trabajo, los valores máximos de tensión y corriente disminuirán, pero el desfase se mantiene constante, por lo que para un ci- clo de trabajo bajo pasamos al modo mixto ZVS-ZCS.
La figura 2.16b muestra el caso de funcionamiento a baja frecuencia con la corriente ade- lantada con respecto a la tensión, es el funcionamiento normal por debajo de resonancia. En estas condiciones, para un ciclo de trabajo elevado tenemos el modo ZCS mientras que al disminuirlo pasamos de nuevo al modo mixto ZVS-ZCS.
3.1. Métodos de análisis
Los inversores resonantes se analizan siguiendo la metodología tradicional empleada para cualquier topología de potencia. El régimen permanente viene dado por las condiciones de tensiones y corrientes medias nulas en bobinas y condensadores respectivamente (formas de onda periódicas), junto con las condiciones de continuidad y simetría. No obstante, la mayoría de los inversores pueden reducirse a una fuente de tensión o corriente periódica aplicada sobre un circuito lineal, y por ello el método del desarrollo en serie de Fourier resulta también de gran utilidad. Se tienen por tanto dos métodos típicos de análisis de los inversores resonantes:
• Planteamiento y resolución del sistema de ecuaciones diferenciales
• Método del desarrollo en serie de Fourier
Planteamiento y resolución del sistema de ecuaciones diferenciales
En este método se plantean las ecuaciones diferenciales en cada uno de los modos topoló- gicos a que da lugar el funcionamiento del circuito. Resolviendo las ecuaciones diferenciales y planteando las condiciones de continuidad se obtiene la solución. A modo de ejemplo senci- llo se analiza a continuación el inversor en medio puente con filtro por bobina mostrado en la figura 3.1a.
E/2
(a) E/2
i(t) u(t) L
R E/2 i(t) u(t) R
M0: 0 < t < T/2
u(t) R
i(t) E/2
M1: T/2 < t < T (b)
Figura 3.1. Inversor con filtro por bobina.
La figura 3.1b muestra los modos topológicos o circuitos equivalentes a los que da lugar el circuito. Para estos modos las ecuaciones diferenciales son las siguientes:
M0: 0 < t < T/2
) 2 ) (
) (
( Ri t E
dt t Ldi t
i = + = (3.1)
M1: T/2 < t < T
) 2 ) (
) (
( E
t i dt R
t L di t
i = + = −
(3.2)Resolviendo las ecuaciones diferenciales se obtienen las siguientes evoluciones tempora- les:
M0: 0 < t < T/2
L tR
R e i E
R t E
i −
−
+
= (0) 2
) 2
( (3.3)
M1: T/2 < t < T
L R T t
R e T E
R i t E
i
) 2 / (
) 2 2 / 2 (
) (
− −
+
+
−
= (3.4)
Las evoluciones de régimen permanente se obtiene teniendo en cuenta que las onda de co- rriente deberá ser periódica y simétrica con respecto al semiperiodo, es decir:
) 2 / ( ) 0
( i T
i =− (3.5)
aplicando (3.5) en (3.3) y (3.4) se obtiene finalmente:
L TR
L TR
e e R T E
i i
2 2
1 1 ) 2
2 / ( ) 0
( −
−
+
−
= −
−
= (3.6)
Las ecuaciones (3.3), (3.4) y (3.6) proporcionan finalmente las evoluciones de la corriente en cada modo topológico. Si por ejemplo se verifica la condición:
R
T >> L (3.7)
entonces la ecuación (3.6) puede aproximarse de la forma siguiente:
R T E
i
i(0)=− ( /2)≈ −2 (3.8)
y las evoluciones en los dos modos topológicos serían:
M0: 0 < t < T/2
L tR
R e E R t E
i = − −
) 2
( (3.9)
M1: T/2 < t < T
L R T t
Re E R t E
i
) 2 / (
) 2 (
− −
+
−
= (3.10)
En la figura 3.2 se muestran las formas de onda para diferentes valores de la constante de tiempo L/R.
E/2 E/2R
u(t)
i(t)
L /R
>
1 1
L /R 2 2
L /R 1 1 L /R 2 2
t
Figura 3.2. Formas de onda para el inversor en medio puente con filtro por bobina.
Este método de análisis resulta cada vez más complejo a medida que se complica el filtro empleado en el inversor. Para los circuitos LC serie, LC paralelo y LCC se tienen elementos reactivos adicionales que complican en gran medida la obtención de una solución general, debido a los diversos modos de funcionamiento que pueden aparecer. En estos casos el méto-
