Integrales Triples

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES F

C

Integrales Triples

Logros esperados

 Elabora representaciones de integrales triples iteradas a partir del análisis de su región de integración.

 Calcula integrales triples iteradas discriminando entre varios ordenes de integración el más

adecuado, haciendo uso de diversas estrategias.

 Representa gráfica y simbólicamente la región de integración de una integral triple tanto en coordenadas cartesianas como en cilíndricas.

 Analiza el uso coherente y pertinente de

coordenadas cilíndricas en el cálculo de una

integral triple.

Definición de integral triple

Las integrales triples se definen sobre cajas rectangulares 𝐵 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ 𝑅

; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 ; 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 𝑠 Sean las particiones

𝑃

= 𝑥

; 𝑥

; ⋯ ; 𝑥

de 𝑎; 𝑏 𝑃

= 𝑦

; 𝑦

; ⋯ ; 𝑦

de 𝑐; 𝑑 𝑃

= 𝑧

; 𝑧

; ⋯ ; 𝑧

de 𝑟; 𝑠

Que definen una partición

𝑃 en el paralelepípedo 𝐵

𝒙_𝟏 𝟎

𝒙_𝒎

𝒚_𝟏 𝒚_𝒎

𝒛_𝟎 𝒛_𝒑 𝒛_𝟏

Definición de integral triple

Para cada subparalelepípedo

𝐵

= 𝑥

− 𝑥

× 𝑦

; 𝑦

× 𝑧

; 𝑧

definimos la norma de la partición 𝑃 como

𝑃 = max 𝑥

; 𝑥

; 𝑦

; 𝑦

; 𝑧

; 𝑧

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛

1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 La integral triple de 𝑓 sobre el paralelepípedo 𝐵 es

𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒛 𝒅𝑽

𝑩

= 𝐥𝐢𝐦

𝑷 →𝟎 𝒇 𝒙 ; 𝒚_𝒊 ; 𝒛_𝒋 ∆𝑽_𝒌

𝒑 𝒌=𝟏 𝒏

𝒋=𝟏 𝒎

𝒊=𝟏

si el límite existe.

Donde ∆𝑉 = 𝑥

− 𝑥

𝑦

− 𝑦

𝑧

− 𝑧

y

𝑥 ; 𝑦

; 𝑧

es un punto cualquiera del suparalelepípedo

𝐵

= 𝑥

− 𝑥

× 𝑦

; 𝑦

× 𝑘

; 𝑧

Integral triple como volumen

La interpretación anterior permite interpretar la integral triple como un volumen:

Para el sólido 𝐸 ⊂ ℝ

𝑽 𝑬 = 𝒅𝑽

𝑬

𝒙 𝒚

𝒛

Sólido 𝐸

Propiedades de la integral triple

La integral triple, al igual que la integral doble, cumple las siguientes propiedades

1.- Si 𝑓: 𝐸 ⊂ ℝ³ → ℝ es una función continua en la región acotada 𝐸 entonces 𝑓 es integrable en 𝐸.

2.- Si 𝑓 y 𝑔 son funciones integrables en 𝐸 ⊂ ℝ³, entonces 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 ± 𝑔(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑑𝑉 =

𝐸

𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑉

𝐸

± 𝑔(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑉

𝐸

3.- Si 𝑓 es integrable en 𝐸 ⊂ ℝ³, entonces 𝑐𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑉

𝐸

= 𝑐 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 𝑑𝑉

𝐸

4.- Si 𝑓 y 𝑔 son integrables en 𝐸 y 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 ≥ 𝑔 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∀(𝑥; 𝑦; 𝑧)

∈ 𝐸 entonces:

𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑉

𝐸

≥ 𝑔(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑉

𝐸

Propiedades de la integral triple

5.- Si 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ³ → ℝ es una función continua en 𝐷. Si 𝐷 se puede descomponer en un número finito de subconjuntos 𝐷_𝑖 tales que:

• Los conjuntos 𝐷_𝑖 son disjuntos dos a dos o a lo más se intersectan en una superficie, una curva o un número finito de puntos.

•

entonces

𝒇 𝒙, 𝒚; 𝒛 𝒅𝑽

𝑫

= 𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒛 𝒅𝑽

𝑫_𝒊 𝒏

𝒊=𝟏

𝐷 = 𝐷_𝑖

𝑛 𝑖=1

Integrales triples iteradas

Las integrales iteradas triples son análogas a las

integrales iteradas dobles. Aquí se tienen tres procesos de integración simple considerando los diferenciales 𝑑𝑥 , 𝑑𝑦 y 𝑑𝑧

Sea 𝑓 una función continua definida sobre el

paralelepípedo 𝐸 = 𝑎; 𝑏 × 𝑐; 𝑑 × 𝑟; 𝑠 entonces

𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒛 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙

𝒔 𝒓 𝒅 𝒄

= 𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒛 𝒅𝒛

𝒔 𝒓 𝒅

𝒄

𝒅𝒚 𝒅𝒙

𝒃 𝒂 𝒃

𝒂

PRIMERO: Integrar respecto a 𝑧 (constantes 𝑥 e 𝑦)

SEGUNDO: Integrar respecto a 𝑦 (constante 𝑥)

TERCERO: Integrar respecto a 𝑥

Ejemplo

Integrales triples iteradas

1

Calcule las siguientes integrales iteradas:

a.- ₀⁴ ₀ ^4−𝑧 ₀^{𝑥 𝑠𝑒𝑛 (2𝑧)}_4−𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 b.- ₀⁹ ₀^𝑦/3 ₀ ^{𝑦2−9𝑥2} 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 c.- ₀^2𝜋 ₀^𝜋4 ₀^{cos 𝑧} 𝑥²𝑠𝑒𝑛𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦

Solución

Teorema de Fubini

Sea 𝑓 una función continua definida sobre el paralelepípedo

𝑹 = 𝒙; 𝒚; 𝒛 ∈ ℝ^𝟑 \𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 ; 𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅; 𝒎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒏

entonces,

𝒇(𝒙; 𝒚; 𝒛)𝒅𝑽

𝑹

= 𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒛 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙

𝒏

𝒎 𝒅

𝒄 𝒃

𝒂

Ejemplo

Integrales triples iteradas

1

Evalúe la siguiente integral triple

𝑥𝑦𝑧²𝑑𝑉

𝐵

donde 𝐵 es la caja rectangular dada por:

𝐵 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ³ ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, ; −1 ≤ 𝑦 ≤ 2 ; 0 ≤ 𝑧 ≤ 3

Solución

Ejemplo

Integrales triples iteradas

2

Calcule la integral triple

𝑥𝑦𝑧

𝐷

𝑑𝑉

donde 𝐷 es el solido mostrado en la figura adjunta

𝒚

𝒙 𝒛

Solución

Integrales triples sobre regiones mas generales

Sea 𝑓: 𝐸 ⊂ ℝ³ → ℝ una función continua sobre 𝐸, donde:

𝐸 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ; 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐸_𝑋𝑌, 𝑢₁(𝑥; 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑢₂(𝑥; 𝑦) Para calcular la integral

𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 𝑑𝑉

𝐸

procedemos de la siguiente maneara:

PASO 1: Proyectamos el sólido sobre uno de los planos cartesianos:

(superficie)

(superficie)

𝑬_𝑿𝒀

Proyección sobre 𝑋𝑌

Integrales triples sobre regiones mas generales

PASO 2: Expresamos la integral triple como una integral doble:

𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 𝑑𝑉

𝐸

= 𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒛 𝒅𝒛

𝒖_𝟐(𝒙;𝒚)

𝒖_𝟏(𝒙;𝒚) 𝒅𝑨

𝑬_𝑿𝒀

PASO 3: La integral doble sobre la proyección se expresa como una integral iterada.

𝒙 𝒚

𝑬_𝑿𝒀

𝑦 = 𝑕₁(𝑥)

𝑦 = 𝑕₂(𝑥)

𝒙 𝒃

𝒂

𝐸_𝑋𝑌 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; 𝑕₁ 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑕₂(𝑥) 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 𝑑𝑉

𝐸

= 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 𝑑𝑧

𝑢₂(𝑥;𝑦)

𝑢₁(𝑥;𝑦)

𝑑𝑦

ℎ₂ 𝑥

ℎ₁(𝑥)

𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Ejemplo

Integrales triples

1

Calcule

𝑧𝑑𝑉

𝐸

donde 𝐸 es el tetraedro sólido limitado por los planos:

𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 y 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

Solución

Ejemplo

Integrales triples

2

La figura siguiente muestra la región de integración 𝐵.

Calcule la integral

𝑥 + 𝑦𝑧 𝑑𝑉

Solución:

Ejemplo

Integrales triples

3

Calcule la itegral

2𝑧

𝐸

𝑑𝑉

si 𝐸 es el sólido mostrado en la figura adjunta.

Solución:

Cambio en el orden de integración

Sea 𝑓: 𝐸 ⊂ ℝ

→ ℝ una función continua sobre la región sólida 𝐸. Al pasar la integral triple

𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒛 𝒅𝑽

𝑬

a una integral triple iterada, se pueden definir 3!=6 formas totales de órdenes de integración:

𝒅𝒛𝒅𝒙𝒅𝒚

𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙 Al proyectar 𝐸 sobre el plano 𝑋𝑌 𝒅𝒚𝒅𝒙𝒅𝒛

𝒅𝒚𝒅𝒛𝒅𝒙 Al proyectar 𝐸 sobre el plano 𝑋𝑍 𝒅𝒙𝒅𝒛𝒅𝒚

𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 Al proyectar 𝐸 sobre el plano 𝑌𝑍

Ejemplo

Cambio en el orden de integración

1

Dada la integral iterada

^{3−3𝑥−𝑦} 2𝑥𝑦 − 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥.

0 3−3𝑥 0

1

0

Modele otra integral triple iterada equivalente que tenga el orden de integración 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

Solución

Ejemplo

Cambio en el orden de integración

2

Sea el sólido 𝐸 ⊂ ℝ³ en el primer octante, limitado por las superficies de ecuaciones

𝑥² + 𝑧² = 4; 𝑦 + 𝑥 = 2; 𝑧 = 4; 𝑦 = 0; 𝑥 = 0 calcule la integral triple

𝑥𝑑𝑉

𝐸

por medio de integrales triples iteradas con el orden de integración:

a.- 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 b.- 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥

Solución

Caso para que analice el estudiante: 1

Sea 𝐸 el sólido limitado por las superficies 𝑧 = 1 − 𝑥² y 𝑥 + 𝑦 = 1 en el primer octante. Use integrales triples iteradas con el orden solicitado, para calcular el volumen del sólido 𝐸, a.- Orden 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

b.- Orden 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧

Solución

PASO 1: Graficamos el sólido descrito en el ejercicio.

𝒛 = 𝟏 − 𝒙^𝟐 𝒚 = 𝟏 − 𝒙

𝒙 𝒚

𝒛

Caso para que analice el estudiante: 1

PASO 2: El volumen del sólido lo calculamos mediante la integral triple:

𝑑𝑉

𝐸

PASO 3a: Para obtener el orden 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥, debemos proyectar sobre el plano 𝑋𝑌.

Formulamos la integral como una integral doble.

𝑑𝑉

𝐸

= 𝑑𝑧

1−𝑥²

0

𝑑𝐴

𝐸_𝑋𝑌

y luego como una integral iterada a partir de la descripción analítica de la proyección 𝐸_𝑋𝑌:

0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥 Obtenemos:

𝑑𝑧

1−𝑥²

0

𝑑𝑦

1−𝑥

0

𝑑𝑥

1

0

a.-

𝒙 𝒚

𝑬_𝑿𝒀

𝒙 𝟏

𝟏 𝒚 = 𝟏 − 𝒙

Caso para que analice el estudiante: 1

PASO 4a: Calculamos la integral iterada obtenida 𝑑𝑧

1−𝑥²

0

𝑑𝑦

1−𝑥

0

𝑑𝑥

1

0

= (1 − 𝑥²)𝑑𝑦

1−𝑥

0

𝑑𝑥

1

0

= (1 − 𝑥²)(1 − 𝑥)𝑑𝑥

1

0

= 5 12

PASO 3b: Para obtener el orden 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧, debemos proyectar sobre el plano 𝑋𝑍.

Formulamos la integral como una integral doble.

𝑑𝑉

𝐸

= 𝑑𝑦

1−𝑥

0

𝑑𝐴

𝐸_𝑋𝑍

y luego como una integral iterada a partir de la descripción analítica de la proyección 𝐸_𝑋𝑍:

0 ≤ 𝑧 ≤ 1; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 − 𝑧 Obtenemos:

𝑑𝑦

1−𝑥

0

𝑑𝑥

1−𝑧

0

𝑑𝑧

1

0

b.-

𝒙

𝒛 𝒛 = 𝟏 − 𝒙^𝟐

𝑬_𝑿𝒁

𝟏

𝟏 𝒛

Caso para que analice el estudiante: 1

PASO 4b: Calculamos la integral iterada obtenida 𝑑𝑦

1−𝑥

0

𝑑𝑥

1−𝑧

0

𝑑𝑧

1

0

= (1 − 𝑥)𝑑𝑥

1−𝑧

0

𝑑𝑧

1

0

= (1 − 𝑥)𝑑𝑥

1−𝑧

0

𝑑𝑧

1

0

= 1 − 𝑧 − 1

2 1 − 𝑧 𝑑𝑧

1

0

= 5 12

Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas se usan para describir

regiones que son simétricas respecto a algunos de los ejes.

𝒓; 𝜽 : Coordenadas polares de 𝑃’

𝑃’ proyección de 𝑃 sobre 𝑋𝑌

𝒛: Distancia dirigida de 𝑃 al plano 𝑋𝑌

Coordenadas cilíndricas

Para describir un sólido en coordenadas cilíndricas, se sugiere seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Proyectar el sólido sobre uno de los planos cartesianos (Por ejemplo en 𝑋𝑌)

Paso 2: Describir en coordenadas polares la proyección del sólido (variación de las coordenadas 𝑟 y 𝜃)

Paso 3: Determinar la variación de 𝑧

Ejemplo

Coordenadas cilíndricas

1

Describa en coordenadas cilíndricas los sólidos dados a continuación:

a.- Sólido limitado por 𝑥² + 𝑦² = 4 ; 𝑦 + 𝑧 = 4 ; 𝑧 = 1

b.- Sólido limitado por 𝑥² + 𝑦² = 9 ; 𝑧 + 𝑥²

9 + 𝑦²

9 = 1;

𝑦 + 𝑧 = 4

Solución

Cambio a coordenadas cilíndricas

El siguiente teorema muestra el cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas para calcular integrales triples.

Sea 𝑓 continua en el sólido 𝐸 ⊂ ℝ

, entonces se cumple

𝑬

= 𝒇 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ; 𝒓 𝐬𝐞𝐧 𝜽 ; 𝒛 𝒓 𝒅𝑽

𝑬

Donde en la integral de la derecha el sólido 𝐸 debe

estar descrito en coordenadas cilíndricas

Ejemplo

Cambio a coordenadas cilíndricas

1

Sea 𝑅 el sólido mostrado en la figura adjunta. Modele la integral

(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑉

𝑅

como una integral triple iterada.

Solución

Ejemplo

Cambio a coordenadas cilíndricas

2

Calcule la integral iterada

𝑥^{𝑥 2} + 𝑦² 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

0 1−𝑦² 0

1

−1

Solución

Caso para que analice el estudiante: 1

Determine

𝟓 𝒙^𝟐 + 𝒚^𝟐𝒅𝑽

𝑬

donde 𝐸 es el sólido limitado por el cilindro 𝒙^𝟐 + 𝒚^𝟐 = 𝟏, el plano 𝒛 = 𝟒 y el paraboloide 𝒛 = 𝟏 − 𝒙^𝟐 − 𝒚^𝟐.

Solución

PASO 1: Graficamos el sólido descrito en el

ejercicio. 𝒙^𝟐 + 𝒚^𝟐 = 𝒛^𝟐

𝒚 𝒙

𝒛

𝒛 = 𝟏 − 𝒙^𝟐 − 𝒚^𝟐

𝒛 = 𝟒

Caso para que analice el estudiante: 1

PASO 2: Proyectamos en el plano 𝑋𝑌 y

describimos esta proyección en coordenadas polares

𝐸_𝑋𝑌: 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ; 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 _𝒙

𝒚

PASO 3: Determinamos la variación de 𝑧.

Observamos el sólido y notamos que:

Limite inferior: Superficie 𝑧 = 1 − 𝑥² − 𝑦² , a cilíndricas: 𝑧 = 1 − 𝑟² Limite superior: Superficie 𝑧 = 4 , a cilíndricas: 𝑧 = 4

Luego el sólido descrito en coordenadas cilíndricas es 𝐸: 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ; 0 ≤ 𝑟 ≤ 1; 1 − 𝑟² ≤ 𝑧 ≤ 4 PASO 4: Calculamos la integral triple

5 𝑥² + 𝑦²𝑑𝑉

𝐸

= 5𝑟.𝑟

4 1−𝑟²

𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃

1 0 2𝜋 0

= 5𝑟²(3 + 𝑟²)𝑑𝑟𝑑𝜃

1 0 2𝜋 0

Caso para que analice el estudiante: 1

5𝑟²(3 + 𝑟²)𝑑𝑟

1 0

𝑑𝜃

2𝜋 0

= 6 𝑑𝜃

2𝜋 0

= 12𝜋

Lo que no debes olvidar

• Al pasar una integral triple de coordenadas cartesianas a cilíndricas, debes incluir el Jacobiano

𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 𝑑𝑉 Coord. CILINDRICAS 𝒓 𝑓 𝑟 cos 𝜃 ; 𝑟 sin 𝜃 ; 𝑧 𝑑𝑉

• La elección del orden de integración en una integral triple, depende fundamentalmente de dos cosas:

1. Facilidad para el cálculo de la integral iterada

2. Facilidad en la descripción de la proyección del sólido en alguno de los planos cartesianos

sin(2𝑧) 4 − 𝑧² 𝑑𝑧

4−𝑥²

0

𝑑𝑦

𝑥

0

𝑑𝑥

2

0

Dificultad al calcular la integral más interior

La proyección en el plano 𝑿𝒀 seria complicada de

describir

𝒙 𝒚

𝒛

Responde las siguientes interrogantes:

Para reflexionar

 ¿Qué conocimientos que ya tenía pude profundizar con este capítulo?

 ¿Qué dificultades se me presentaron al

representar solidos en coordenadas cilíndricas?

 ¿Cómo superé estas dificultades?

 ¿El trabajar con coordenadas cilíndricas me

facilitó el cálculo de algunas integrales triples?

BIBLIOGRAFÍA

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Cálculo Esencial 1ª ed. México: Cengage Learning

• [2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning

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Limusa Wiley.

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• [5] Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. 11ª ed.

México: Pearson