Tema 4. Espacio Proyectivo.

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Tema 4. Espacio Proyectivo.

Definici´

on y modelos.

*) El origen de lageometr´ıa proyectivaest´a relacionado con el estudio de laperspectiva, para conseguir cuadros o planos realistas del mundo 3-dimensional; cada punto representa una linea visual.

Definici´on.- El espacio proyectivo n-dimensional es el conjunto de las rectas vectoriales deRn+1, esto es,

RPn ={0∨P / P ∈Rn+1− {0}}.

En particular, se tiene la recta proyectiva

RP1 ={0∨P / P ∈R2− {0}}

y elplano proyectivo RP2_{, cuyos elementos o}_{puntos proyectivos} _{son las rectas 0}_∨_P _⊂_R3 que pasan por el origen 0 y otro puntoP ∈R3. Adem´as, se puede decir que los planos vectoriales Π0 deR3 son las rectas proyectivas deRP2_{, ya que Π0} _≡_R2

.

*) Hay distintos modelos para estudiarlo. Por un lado,

f :Rn+1− {0} −→RPn

P 7−→0∨P

es una aplicaci´on sobreyectiva, con

f(P) =f(Q)⇐⇒0∨P = 0∨Q⇐⇒Q∈0∨P ⇐⇒ ∃λ∈R− {0} / Q=λP.

Esto define una relaci´on de equivalenciaenRn+1− {0}, por

P ∼Q⇐⇒ ∃λ∈R− {0} / Q=λP y un conjunto cociente Rn+1− {0} ∼ ={[P] / P ∈R n+1_{− {} 0}},

con clases de equivalencia

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Asi, identificando [P] con 0∨P, se tiene el modelo cociente

Rn+1 − {0} ∼ ≡RP

n ,

donde cada punto proyectivo, 0∨P ∈ RPn_{, es una recta vectorial de} _Rn+1

, que se representa por cualquiera de sus puntos, ya que

[Q] = [λP] = [P]≡0∨P, ∀Q∈(0∨P)− {0} ⊂ Rn+1− {0}.

Por este camino, se obtieneRPn _≡ Sn

∼, con [P] = [±P/|P|], y en particularRP

1 _≡ S1

∼ ≡ S

1_, pero RP2 ≡ S2

∼ no se puede identificar con la esfera S

2 _⊂ R3.

*) Por otro lado, si r y r0 = 0∨P0 ≡[P0] son rectas paralelas enR2, entonces

f :r⊂R2− {0} −→RP1−[P0]

P 7−→0∨P ≡[P]

es una aplicaci´on biyectiva, ya que cada recta vectorial de R2, distinta de r0, corta a r en un ´

unico punto.

Por tanto, se puede identificarrconf(r) =RP1₋_[_P_{0] y se obtiene el}_{modelo af´}_{ın ampliado}

RP1 =f(r)∪[P0]≡r∪[P0],

donde cada punto P de la recta af´ınr se identifica con el punto proyectivo f(P) = 0∨P ≡[P]. Como

[P]≡P = (0∨P)∩r, ∀P ∈r,

se interpreta [P0] ∈ RP1 como el punto del infinito donde se cortan las rectas paralelas

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Consecuencia.- La recta proyectiva menos un punto proyectivo cualquiera es una recta af´ın.

Teorema.- El plano proyectivo menos una recta proyectiva cualquiera es un plano af´ın. Demostraci´on.- Si [Π0] ⊂ RP2 es una recta proyectiva y Π1 ⊂ R3 es un plano paralelo al plano vectorial Π0 ⊂R3, Π1 6= Π0, entonces

f : Π1 ⊂R3− {0} −→RP2−[Π0]

P 7−→0∨P ≡[P]

es una aplicación biyectiva, ya que cada recta vectorial de R3, no contenida en Π0, corta a Π1 en un único punto, que será su preimagen mediante f.

Por tanto, se puede identificar Π1 con f(Π1) y se concluye que RP2−[Π0] =f(Π1)≡Π1

[P]≡0∨P ≡P.

*) En este modelo af´ın ampliado del plano proyectivo, RP2 ≡ Π1∪[Π0],

cada punto proyectivo es una recta vectorial de R3, que se representa por su punto de corte con el plano af´ın Π1, salvo que sea paralela a este plano, por estar contenida en Π0.

Analogamente, lasrectas proyectivas[Π]⊂RP2, con Π plano vectorial deR3, son larecta del infinito

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y las rectas afines r = Π∩Π1 ⊂ Π1, para Π 6= Π0, extendidas con su punto del infinito [r0]∈r∞, donder0 = Π∩Π0 ⊂Π0 es la ´unica recta vectorial de Π que no corta a r, esto es,

[Π]≡r∪[r0]⊂Π1∪[Π0]≡RP2,

con r y r0 paralelas.

*) Como r y r0 tienen la misma direcci´on, cualquier recta r0 ⊂ Π1 paralela a r = Π∩Π1 tiene el mismo punto del infinito [r0] ∈r∞, con r0 = Π∩Π0 = Π0∩Π0 = Π∩Π0, para el plano vectorial Π0_{= 0}_∨_r0_{. Asi, [Π]}_≡_r_∪_[_r_{0] y [Π}0_]_≡_r0_∪_[_r_{0] son rectas paralelas extendidas, que se}

cortan en su punto del infinito.

Comentarios sobre los modelos del plano proyectivo R3− {0}

∼ ≡RP

2 _≡

Π1∪[Π0].

*) Se puede considerar el plano proyectivo RP2 como el plano af´ın R2 ≡ Π1, ampliado con los puntos del infinito, donde se cortan las rectas paralelas. Pero estos puntos y rectas no son especiales en RP2_{, que es} _homog´_eneo _{por definici´}_on.

*) Dos planos vectoriales distintos de R3 se cortan en una recta vectorial, por tanto, dos rectas proyectivas distintas siempre se cortan en un punto proyectivo,

[Π]∩[Π0] = [Π∩Π0]∈RP2 ≡ R 3_{− {} 0} ∼ . *) Cualquier recta [Π00] de RP 2

se convierte en recta del infinito, tomando un plano Π01 paralelo al plano vectorial Π0

0. Esto es,

Π1∪[Π0]≡RP2 ≡Π01∪[Π

0

0]

y dependiendo de la recta del infinito que quitemos, veremos un corte Π1 o Π0

1 de RP 2_.

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En consecuencia, cada situaci´on proyectiva tendrá distintas versiones afines equivalentes. Por ejemplo, las rectas proyectivas anteriores se ven paralelas en Π1 y secantes en Π0₁, ya que su intersección está en r∞= [Π0] y no en r∞0 = [Π

0

0].

*) Dos rectas vectoriales distintas de R3 están contenidas en un único plano vectorial. Por tanto, dos puntos distintos P, Q∈RP2 _{determinan una ´}_{unica recta proyectiva} _P _∨_Q_{, que pasa} por ellos. Notación.- Escribimos P en lugar de [P]≡0∨P.

*)Usando las identificaciones anteriores se puede demostrar un resultado proyectivo probando una de sus versiones afines, y adem´as se tendr´a demostrado para el resto de versiones.

Ejemplo.- Un cuadriv´ertice completoen RP2 _{(o en} _R2

) est´a formado por cuatro puntos

P, Q, R, S,vértices, no alineados tres a tres. Determinan seis rectas distintas,lados, que tienen un vértice en común o se cortan en un punto diagonal, A, B o C.

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Pero, en el plano af´ın RP2₋_A_∨_C_{, todas las versiones se reducen a un paralelogramo, ya} que las rectas que se cortan en A o C, ahora se ven paralelas:

Entonces, como las diagonales de un paralelogramo siempre se cortan, se deduce que B no está en la rectaA∨C, es decir, los puntos diagonales de un cuadrivértice completo nunca están alineados, Teorema de Fano.

*) Finalmente, si se quiere trabajar con coordenadas se tiene:

Definici´on.- Para cada (a, b, c) ∈ R3− {0}, se dice que [a, b, c] son las coordenadas ho-mog´eneasdel punto proyectivo 0∨(a, b, c)∈RP2.

*) Como la recta vectorial 0∨(a, b, c) = 0∨λ(a, b, c), para λ ∈R− {0}, se deduce que

[a, b, c] = [λa, λb, λc].

*) Si Π0 = {(x, y, z) ∈ R3 / z = 0} y Π1 = {(x, y, z) ∈ R3 / z = 1} son planos paralelos, como en el modelo af´ın ampliado, entonces ∀(a, b, c) ∈/ Π0, se tiene un ´unico (a/c, b/c,1) ∈ Π1 con

[a, b, c] = [a/c, b/c,1],

esto es, para cada punto de RP2−[Π0] hay un ´unico representante en Π1.

Pero, si (a, b, c)∈Π0, entonces [a, b,0] = [λa, λb,0], paraλ∈R− {0}, no tiene representante (finito) en Π1.

Asi, la geometr´ıa af´ın es un caso particular de la geometr´ıa proyectiva, con identificaciones del tipo

R2 ←→RP2−[Π0] (x, y)←→[x, y,1] (a/c, b/c)←→[a, b, c],

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Ejercicio.

1. Determinar los puntos de la recta P ∨Q⊂RP2_{, para} _P _{= [1}_/₂_,₀_,₁_/_{2] y}_Q_{= [1}_,₂_,_3].

2. Obtener P ∨Q en Π1∪[Π0].

3. Calcular la recta r0_⊂_R_P2_{, tal que} _r0_∩_P _∨_Q_∈_{[Π0] y pasa por [3}_,₂_,_1].

4. Dibujar las rectas afines asociadas a r0 y P ∨Q en Π1 ≡z= 1 y Π5 ≡y= 5.

Teoremas cl´

asicos.

Teorema de Desargues.- Sean ABC,A0_B0_C0_{dos tri´}_{angulos en}_R_P2_{, con v´}_{ertices distintos} y tales que los pares de lados homólogos se cortan en tres puntos alineados, esto es,A∨B∩A0_∨_B0_, A∨C ∩A0∨C0 y B ∨C∩B0∨C0 están sobre una recta r. Entonces las rectas que unen los vértices homólogos son concurrentes (en un punto P).

*) Dibujo de una versi´on af´ın en R2 ≡ RP2 ₋_r∞_{, para} _r ₆₌ _r∞_{, (se ve} _r_{). En este caso,}

P /∈r; pero tambi´en se puede hacer con P ∈r.

Demostraci´on.- Este teorema proyectivo es cierto por ser equivalente al siguiente resultado en el plano af´ın RP2₋_r_{, (demostrado en el Tema 1).}

Versión af´ın del Teorema de Desargues.- Si ABC,A0_B0_C0_{son dos tri´}_{angulos en} _R2 , con vértices distintos y lados homólogos paralelos, entonces las rectas que unen los vértices homólogos son concurrentes o paralelas.

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*) Dibujos de la versi´on af´ın enRP2₋_r_{, (no se ve}_r_{), con} _{P /}_∈_r _y _P _∈_r _{respectivamente.}

Definici´on.- Unhex´agonoenRP2 _est´_{a formado por 6 puntos distintos} _P

1, ..., P6,v´ertices, que determinan 6 rectas distintas P1∨P2, ..., P6∨P1, lados.

Tiene tres pares dev´ertices opuestos (P1, P4), ...,(P3, P6) y tres pares delados opuestos (P1∨P2, P4∨P5), ...,(P3∨P4, P6∨P1).

Teorema de Pappus.- Si los v´ertices de un hex´agono enRP2 _est´_{an alternativamente sobre} dos rectasr, r0_{, entonces los 3 pares de lados opuestos se cortan en 3 puntos alineados (sobre} _r00_).

Demostraci´on.- Es equivalente a su versi´on en el plano af´ınRP2₋_r00_.

Versión af´ın del Teorema de Pappus.- Si los v´ertices de un hexágono en R2 están alter-nativamente sobre dos rectasr, r0_{; y dos pares de lados opuestos son paralelos, entonces el tercer}

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Demostraci´on.- Consideramos P1 ∨P2//P4 ∨P5 y P2∨P3//P5 ∨P6 con P1, P3, P5 ∈ r y

P2, P4, P6 ∈r0.

1. Si r y r0 se cortan en P, entonces existen homotecias h, h0 de centro P, con h(P1) = P5,

h(P2) = P4, h0₍_P

2) = P6 y h0(P3) = P5, esto es, consevan r, r0 y aplican rectas en rectas paralelas.

Como son conmutativas, se tiene quef =h◦h0−1 ₌_h0−1_◦_h _{es otra homotecia de centro}

P con f(P1) =P3 y f(P6) = P4. Por tanto, P1∨P6//P3 ∨P4. 2. Si r y r0 son paralelas, entonces se usan traslaciones.

Dualidad.

En RP2 se puede intercambiar el papel de puntos (alineados) y rectas (concurrentes): Ejemplo de resultados duales.

1. Dos puntos distintos de RP2 _{determinan una ´}_{unica recta, que pasa por ellos, (esto es,} siempre est´an alineados).

2. Dos rectas distintas de RP2 siempre se cortan en un ´unico punto. (En R2 pueden ser concurrentes o paralelas).

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Definici´on.- El plano proyectivo dual RP2∗ _{es el conjunto de las rectas proyectivas de}

RP2, esto es

RP2∗ ={Q∨R / Q6=R∈RP2}.

*) Como cada plano vectorial Q∨R ⊂R3 es ortogonal a una ´unica recta vectorial P ⊂R3, y viceversa, se puede denotar

P∗ =Q∨R ⇐⇒P ⊥Q, R.

Entonces

RP2∗ ={P∗ / P ∈RP2}

y la dualizaci´on

∗:RP2 −→RP2∗,

∗(P) =P∗, es una aplicaci´on biyectiva.

Adem´as, lleva puntos alineados en rectas concurrentes, ya que

S ∈P∗ ⇐⇒S ⊥P ⇐⇒P ∈S∗

y los puntos S de la recta proyectiva P∗ _{se aplican en rectas} _S∗ _{que concurren en} _P_{. Es decir,}

(P∗)∗ ={S∗ / S ∈P∗}={S∗ / P ∈S∗}

es el haz de rectas que pasan por P.

*) IdentificandoRP2∗∗_con_R_P2_{, mediante la biyecci´}_on_P∗∗_≡ _P_{, se tiene que}_{∗ ≡ ∗}−1_tambi´_en lleva rectas concurrentes en (haces de rectas que pasan por) puntos alineados.

RP2 −→ RP2∗ −→ RP2∗∗≡RP2

Consecuencia.- La aplicaci´on ∗ : RP2 −→ RP2∗ intercambia puntos alineados y rectas concurrentes.

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Ejemplo de figuras duales.

1. Un tri´angulo en RP2 _est´_{a formado por tres puntos no alineados, que determinan tres} rectas no concurrentes.

2. Untri´angulo dualenRP2 est´a formado por tres rectas no concurrentes, que determinan tres puntos no alineados.

*) El dual de un tri´angulo es otro tri´angulo, y se dice que es una figura autodual.

Ejemplo de definiciones duales.

1. Dos triángulos en RP2 están en perspectiva central si las tres rectas que unen los vértices homólogos son concurrentes (en un punto P, centro).

2. Dos tri´angulos en RP2 _est´_an _{en perspectiva axial} _{si los pares de lados hom´}_{ologos se} cortan en tres puntos alineados (sobre una recta P∗, eje).

(P ∈A∨A0=Q∗ ⇐⇒Q=A∗∩A0∗∈P∗)

Ejemplo de teoremas duales.

1. Teorema de Desargues.- Si dos tri´angulos en RP2 _est´_{an en perspectiva axial, entonces} est´an en perspectiva central.

2. Teorema dual de Desargues.- Si dos tri´angulos T y T0 _en _R_P2 _est´_{an en perspectiva} central, entonces est´an en perspectiva axial.

Demostraci´on.- Aplicando dualizaci´on, T y T0 _est´_{an en perspectiva central} _{⇐⇒ T}∗ _y _T0∗

est´an en perspectiva axial. Entonces, por el Teorema de Desargues,T∗yT0∗est´an en perspectiva central⇐⇒ T y T0 _est´_{an en perspectiva axial.}

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*) Al dualizar no siempre se obtiene la misma figura y el teorema rec´ıproco. En particular, para un cuadrivértice completo, formado por 4 puntos que determinan 6 rectas, se obtiene un cuadrilátero completo, con 4 rectas que se cortan en 6 puntos. No es una figura autodual como el triángulo o el hexágono, que tiene 6 puntos ordenados y las 6 rectas que unen los vértices consecutivos.

Teorema dual de Fano.- Las 3 rectas diagonales de un cuadril´atero completo nunca son concurrentes.

Teorema dual de Pappus.- Si los lados de un hex´agono en RP2 pasan alternativamente por dos puntos distintos, entonces los tres pares de v´ertices opuestos determinan tres rectas concurrentes.

*) Hay una versi´on dual enRP2 _{y distintas versiones afines en}_R2 _≡

RP2₋_r∞_{, dependiendo} de la recta proyectiva que se quite. En el resultado anterior, tomando r∞ =A∨B se tiene:

Versi´on af´ın del Teorema dual de Pappus.- Si los lados alternos de un hex´agono en R2 son dos ternas de rectas paralelas, entonces las diagonales son concurrentes o paralelas.

(13)

*) Dibujo con C ∈r∞=A∨B :

Cuaternas arm´onicas.

Se prob´o que el punto medio de un segmento AB ⊂ R2 ≡ RP2 ₋_r∞_{, se puede construir} usando cualquier recta r paralela a A∨B:

Entonces, pasando al plano proyectivo, aparece

C=A∨B ∩r =A∨B∩r0∈r∞,

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Definici´on.- Una cuaterna arm´onica en RP2 _est´_{a dada por cuatro puntos alineados}

A, B, C, D, tales que D es el punto medio del segmento AB en el plano af´ın RP2 − r, para cualquier recta r que pasa por C.

En tal caso, se dice queD es el conjugado arm´onico deC respecto de A y B.

Ejercicio.- Comprobar que el conjugado arm´onico de C = [λ, µ,0], respecto de A= [1,0,0] y B = [0,1,0], es D = [λ,−µ,0].

Definici´on.- Laraz´on doblede cuatro puntos alineadosA, B, C =λA+µByD =αA+βB

est´a dada por

(A, B, C, D) = (µ/λ)/(β/α).

*) Se puede comprobar que no depende de los vectores que representen a los puntos proyec-tivos, ni de los factores de proporcionalidad.

Ejercicio.- Probar que cuatro puntos alineados A, B, C, Dforman una cuaterna armónica si y solo si (A, B, C, D) = −1. En este sentido, siABC es un triángulo en R2, con triángulo medio

A0_B0_C0 _{y baricentro}_G_{, entonces} _{A, G, A}0_{, A}00 _{es una cuaterna arm´}_onica.

Aplicaciones en el plano proyectivo

RP2 ≡ R

3_{− {} 0} ∼ .

Definici´on.- Una proyectividadde RP2 _{es una aplicaci´}_on _f _:_R_P2 _−→_R_P2 _{dada por}

f([P]) = [ ˜f(P)],

∀P ∈R3 − {0}, con ˜f :R3 −→R3 isomorfismo vectorial, ˜f(P) =AP,A ∈Gl(3,R).

*) Est´a bien definida, ya que ˜f aplica la recta vectorial 0∨P ={λP / λ∈R} ≡[P],

con P 6= 0, en la recta 0∨f˜(P), con ˜f(P)6= 0, por ser lineal y Kerf˜={0}.

*) Se deduce que ˜f y µf˜inducen la misma proyectividad f, ∀µ ∈ R− {0}. Adem´as, f es biyectiva, con f−1 asociada a ˜f−1, y conserva puntos alineados, esto es, lleva rectas proyectivas en rectas, ya que ˜f conserva planos vectoriales.

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Ejercicio.- Probar que la ´unica proyectividad deRP2 _{que fija los puntos [1}_,₀_,_0]_,_[0_,₁_,_0]_,_[0_,₀_,_1] y [1,1,1] es la identidad. Encontrar proyectividades que fijen los tres primeros puntos.

Definici´on.- Un sistema de referencia en RP2 _{es un subconjunto} _R ₌ _{_P

1, P2, P3, U} formado por cuatro puntos no alineados 3 a 3, (esto es, un cuadriv´ertice).

Teorema.- Si R y R0 _{son sistemas de referencia en} _R_P2_{, entonces existe una ´}_unica proyec-tividad que aplica uno en otro.

Demostraci´on.- Sean Pi~ ∈ R3 tal que Pi = [Pi~], i = 1,2,3. Como no est´an alineados,

{P~1, ~P2, ~P3} forman una base deR3 y existenαi ∈R− {0} tal que

~

U =α1P~1+α2P~2+α3P~3.

Entonces, para la base {α1P~1, α2P~2, α3P~3} existe un ´unico isomorfismo ˜f :R3 −→R3 tal que ˜

f(ei) =α ~Pi, i= 1,2,3.

Asi ˜f(e1+e2 +e3) = U~ y la proyectividad f([P~]) = [ ˜f(P~)] aplica el sistema de referencia usual

Ru ={[e1],[e2],[e3],[e1+e2+e3]} enR ={P1, P2, P3, U}.

Es ´unica, ya que si g es otra proyectividad con g(Ru) =R, entonces f−1◦g fija Ru y tiene

que ser la identidad, esto es, g =f.

Analogamente, para R0 _{existe una ´}_{unica proyectividad} _f0 _con _f0₍_R

u) =R0 y se deduce que f0◦f−1 es la ´unica proyectividad que aplica R enR0.

Consecuencia.- Todos los cuadriv´ertices de RP2 _{tienen las mismas} _propiedades proyec-tivas, esto es, propiedades invariantes por proyectividades.

Ejemplos de propiedades proyectivas.

1. Los puntos diagonales de un cuadrivértice completo nunca están alineados. Por tanto, es suficiente comprobar el Teorema de Fano para el cuadrivértice usual.

2. Las proyectividades conservan cuaternas arm´onicas, ya que se pueden determinar con cuadriv´ertices.

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Relaci´on entre afinidades y proyectividades. Si f :RP2 _−→_R_P2 _{es una proyectividad y} _R_P2 _≡_R2_∪

r∞, entonces

f(R2)≡R2 ⇐⇒f(r∞) =r∞,

ya que f es biyectiva. En particular, si r∞ = [Π0], con Π0 ≡z= 0 ≡L{e1, e2}, entonces ˜

f(e1),f˜(e2)∈Π0 y f˜(e3)∈/ Π0,

para ˜f :R3 −→R3 isomorfismo asociado a una proyectividad f, con f(r∞) =r∞.

Usando el factor de proporcionalidad, se puede tomar ˜f(e3)∈Π1 ≡z = 1, y se tiene

˜ f    x y z   =    a c α b d β 0 0 1       x y z   , con ad−bc 6= 0. Asi f([x, y,1]) = [ ˜f(x, y,1)] = [ax+cy+α, bx+dy+β,1] da la afinidad f :R2 −→R2, f x y ! = a c b d ! x y ! + α β ! , ∀(x, y)∈R2 ≡Π1.

Consecuencia.- Una afinidad es una proyectividad que fija la recta del infinito. *)Los puntos de la recta fija no tienen que ser fijos. En particular, si

a c b d ! = λ1 0 0 λ2 !

con λ1λ2 6= 0, entonces ˜f(e1) = λ1e1, f˜(e2) = λ2e2, da que f([e1]) = [e1] y f([e2]) = [e2] son puntos fijos, pero

f([e1 +e2]) = [λ1e1+λ2e2]

es punto fijo si y solo si λ1 =λ2 y la afinidad es una homotecia o una traslaci´on. Solo en este caso, Π0 es un plano de vectores propios para

˜ f ≡    λ1 0 α 0 λ2 β 0 0 1   

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y r∞= [Π0] es una recta de puntos fijos para la proyectividad f. Adem´as, si λ6= 1, entonces se puede comprobar quef tiene otro punto fijo, asociado al centro de la homotecia.

Definici´on.- Una homolog´ıa de RP2 _{es una proyectividad, distinta de la identidad, con} una recta r de puntos fijos, (eje). Se llama general si tiene otro punto fijo P /∈r, (centro), y especialsi no hay m´as puntos fijos.

*) Por lo anterior, se deduce que si una proyectividad fija tres puntos de una rectar, entonces es una homolog´ıa de eje r y en RP2 ₋_r_{, se tiene una homotecia de centro} _P _{o una traslaci´}_on (de centroP∞):

Las rectas A∨B y h(A)∨h(B) son paralelas en RP2 −r, por tanto se cortan en Q ∈ r y

h(Q) =Q. Adem´as,∀C∈A∨B se tiene que P, C y h(C) est´an alineados o en perspectiva.

Definici´on.- Una perspectividad con centro P entre dos rectas proyectivas r y r0 _{es una}

aplicaci´on f :r −→r0_{, tal que} _{P, C} _y _f₍_C_{) est´}_{an alineados} _∀_C_∈_r_.

Ejercicio.- Sif :RP2 _−→_R_P2 _{es una proyectividad, con un punto fijo} _Q_∈_A_∨_B_{, entonces} induce una perspectividad de A∨B en f(A∨B) con centro P =A∨f(A)∩B∨f(B).