Universidad Nacional de C
ó
rdoba
Facultad de Matem
á
tica, Astronom
í
a, F
í
sica y Computaci
ó
n
Introducción al estudio de los números
complejos y algunas reflexiones sobre la
evaluación formativa
Trabajo Final de Prácticas Profesionales Docentes
Felipe Ernesto González
Federico Agustín López Coria
Supervisión de práctica profesional e informe final: Lic. Silvina Smith.
Equipo responsable de MyPE: Prof. Marianela Asinari; Prof. Araceli Coirini; Prof. María Mina; Lic. Silvina Smith.
Carrera: Profesorado en Matemática.
Fecha: 21 – 11 – 2019.
Fecha: 21 – 11 – 2019. Introducción al estudio de los números complejos y algunas
reflexiones sobre la evaluación formativa. González, Felipe; López, Federico. Se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0
Clasificación:
97 Mathematical Education
97D Education and instruction in mathematics
Palabras Claves
Práctica profesional. Evaluación formativa. Evaluación sumativa. Números complejos.
Resumen
El presente informe describe las prácticas profesionales de dos alumnos del
Profesorado en Matemática de la Facultad de Matemática, Astronomía, Física y
Computación de la Universidad Nacional de Córdoba, llevadas a cabo en dos cursos de
cuarto año del nivel secundario de un colegio de Córdoba. Se analiza la planificación de las
clases, así como las clases efectivamente dictadas, y finalmente se plantea una reflexión
sobre una problemática relacionada con las evaluaciones formativas.
Abstract
This report describes the professional practices of two pre-service teachers, both
students of the Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación of the National
University of Córdoba. These practices were carried out in two parallel courses
corresponding to the fourth year of education at a secondary level school in Córdoba,
Argentina. The planning of the classes is analyzed, as well as the classes actually taught,
Índice
1. INTRODUCCIÓN 2
1.1LA INSTITUCIÓN 3
1.2CURSOS 4
1.3RECURSOS Y MATERIALES 6
1.4ESTILO DE TRABAJO EN LA CLASE DE MATEMÁTICA 6
1.5LOS CURSOS EN LAS OTRAS MATERIAS 6
2. DISEÑO DE LA PRÁCTICA E IMPLEMENTACIÓN EN EL AULA 8
2.2NUESTRA PROPUESTA INICIAL 10
2.3LAS CLASES EFECTIVAMENTE DICTADAS 12
2.3.1 Actividades y desarrollo de las clases 12
Clase 1 12
Clase 2 17
Clase 3 19
Clase 4 21
Clase 5 22
Clase 6 24
Clase 7 25
Clase 8 28
Clase 9 30
Clase 10 33
Clase 11 34
2.4INSTANCIAS DE EVALUACIÓN 34
2.4.1 Evaluación Parcial 34
2.4.2 Evaluación Final 39
2.4.3 Resultados de las evaluaciones 46
3. ANÁLISIS DE UNA PROBLEMÁTICA 50
3.1ORIGEN DE LA PROBLEMÁTICA 50
3.2MARCO TEÓRICO 51
3.3LA EVALUACIÓN PARCIAL 52
3.4A MODO DE CIERRE 61
4. REFLEXIONES FINALES 63
5. REFERENCIAS 65
6. ANEXOS 66
ANEXO A:EVALUACIONES PARCIALES Y FINALES, AMBOS TEMAS 66
2
1. Introducción
En este trabajo se describe el desarrollo de nuestras prácticas profesionales docentes en
un colegio secundario de la ciudad de Córdoba, Argentina. Dichas prácticas se llevaron a
cabo en el marco de la materia Metodología y Práctica de la Enseñanza (MyPE) de la
Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación (Universidad Nacional de
Córdoba).
Las prácticas fueron llevadas a cabo con la modalidad de par pedagógico, que consiste
en un grupo de trabajo conformado por dos practicantes y una docente supervisora. A cada
uno de los practicantes le correspondió uno de dos cursos, que están a cargo de un mismo
profesor. Además de estar encargado de dictar las clases y llevar adelante la gestión de su
propio curso, cada practicante debía también observar las clases de su compañero y asistirlo
en lo que necesitase, en todo momento bajo la tutela de la docente supervisora y el profesor
del curso, trabajando en conjunto con ambos entre clase y clase para realizar los ajustes o
cambios pertinentes en la planificación de las clases siguientes.
De manera previa a la práctica, y como preparación para la misma, llevamos a cabo un
período de observación de dos semanas que incluyó las clases de matemática al igual que
un día de jornada completa en el que se observó a los dos cursos en cuestión en todas las
asignaturas de un determinado día. Dichas observaciones resultaron de vital importancia
para tener una idea de las características de los alumnos, de las dinámicas de cada curso y
de los funcionamientos internos de la institución.
Posteriormente se realizó la confección de la planificación de las clases, en forma de
guiones conjeturales, atendiendo a los datos recabados sobre los cursos con el fin de crear
una propuesta adaptada a las particularidades de los mismos. Una vez armada la
planificación se procedió a llevar a cabo las prácticas propiamente dichas, en el período
comprendido entre el 25 de Julio y el 12 de septiembre. En este informe se da cuenta de lo
acontecido en este período, a la vez que se analiza desde un punto de vista teórico una
problemática planteada a partir de nuestra experiencia de práctica, con sustento en la
3
1.1 La institución
La escuela en la que realizamos nuestras prácticas profesionales docentes es una
institución pública de gestión privada, ubicada en el barrio de Alta Córdoba. El edificio es
de tamaño mediano, cuenta con una entrada principal sobre una avenida y dos accesos
laterales. Tiene tres pisos; la planta baja está destinada a patios, salón de usos múltiples
(SUM), biblioteca, laboratorio, gimnasio, kiosco, fotocopiadora, gabinete de computación,
dirección y preceptoría general, sala de profesores, baños para alumnos distintos de los
baños para los docentes, sala de artes, oficina de acompañamiento pedagógico (con función
permanente en ambos turnos), aulas de secundario y jardín. En el primer piso se hallan la
dirección y preceptoría del nivel primario, aulas y baños adecuados para niños de este nivel.
En el segundo piso se encuentran la dirección y preceptoría del nivel secundario y cuatro
aulas, también destinadas al nivel secundario.
Objetivos generales del PEI:
● Contribuir al desarrollo global del individuo que aprende, brindándole la posibilidad
de transformar y operar sobre el medio al que pertenece.
● Brindar aprendizajes socialmente significativos.
● Despertar sensibilidad y respeto a la vida humana, y a los seres vivos en general. ● Desarrollar amplitud de pensamiento y pensamiento divergente.
● Incentivar el interés por el uso del razonamiento lógico y creativo para plantear y
resolver problemas del mundo.
● Buscar la trascendencia a partir del interés por descubrir el sentido de la vida, de la
justicia y solidaridad, actitudes de servicio, compromiso en defensa de los derechos
humanos, de los más débiles, de la paz y de la vida.
La escuela posee Nivel Inicial con salas de 3, 4 y 5 años, Nivel Primario EGB 1, EGB
2 y Nivel Medio con CBU (Ciclo Básico Unificado) y Ciclo de Especialización con dos
orientaciones. Una es Economía y Gestión de las Organizaciones, Administración de
Pequeñas y Medianas Organizaciones; la otra es Humanidades, Ciencias Sociales,
Administración de Recursos Humanos.
Los niveles Inicial y Primario funcionan en dos turnos: mañana y tarde, con modalidad
de escolaridad simple. El Nivel Medio se desarrolla en turno mañana con prolongación de
4
1.2 Cursos
Los cursos destinados para la práctica fueron 4to A(E) y 4to B(H), el primero con
orientación en Economía y el segundo con orientación en Humanidades. Las aulas de estos
cursos se ubican en el 2do piso del edificio. Un preceptor está a cargo de ambos cursos y se
encarga de tomar asistencia, entregar las notificaciones y demás tareas administrativas y de
organización de los cursos. Cabe destacar que el preceptor fue muy respetuoso de las horas
de clase, procurando siempre realizar su labor de una manera que no interfiriera con la de
los docentes; y se lo notaba dispuesto a ayudar en todo lo que pudiera. Las aulas cuentan
con capacidad para 40 alumnos por curso, son bien iluminadas, tienen ventanales en un
lateral del aula y bancos individuales dispuestos de a 2 por fila. Cada aula cuenta con una
pizarra blanca con fibrones a base de agua.
Los horarios en los que cada curso tiene matemática se presentan a continuación:
Lunes Miércoles Jueves
4to A 11:00 - 12:30 (Recreo 11:40-11:50)
7:20 - 8:40
4to B 7:20 - 8:40 11:50 - 13:10
Tabla 1: Horarios de Matemática
Los cursos tienen aproximadamente la misma cantidad de alumnos -34 en el caso de
4to A y 37 en 4to B-; en el A hay 19 varones y 15 mujeres mientras que en el B son 15 los
varones y 22 las mujeres; es decir en ambos casos vemos una proporción relativamente
equilibrada de hombres y mujeres. La distribución de los bancos en 4to A es en 3 filas de 5
pares de bancos cada una y una fila contra la pared lateral en la que se sientan 4 alumnos
mirando hacia el centro del aula. Por otro lado, la distribución en 4to B es en 4 filas de 4
pares de bancos cada una y al frente sólo 3 pares de bancos. Esta disposición de los bancos
resulta provechosa para el trabajo de a pares, a la vez que provee pasillos entre cada fila que
5 Figura 1. Esquema del aula de 4to A.
Figura 2. Esquema del aula de 4to B.
Los alumnos están acostumbrados a trabajar de a dos, con el compañero de banco, o
bien en grupos de cuatro, con los compañeros contiguos en la misma fila, así como también
suelen moverse por el curso para algunas actividades. En ambos cursos se puede notar la
particularidad que se dividen en subgrupos internos de los cuales algunos de estos
subgrupos participan activamente, otros participan menos, mientras que otros no participan.
Son alumnos comprometidos tanto con la materia como con proyectos generales de la
institución. En este aspecto cabe destacar la importancia que le da la institución a dichos
proyectos, la cual se ve reflejada en el hecho de que se les permite a los alumnos atender a
los mismos en horario de clases, aunque ello implique salir antes o no entrar a alguna
6
1. 3 Recursos y materiales
La institución cuenta con distintos recursos, tanto analógicos como digitales, tales
como pizarras, proyectores y notebooks, netbooks y elementos de geometría.
Los alumnos tienen un apunte de teórico confeccionado por el docente de matemática,
el cual está disponible en formato digital y también se puede imprimir en la
cantina/fotocopiadora del colegio. Todos los alumnos poseen teléfonos celulares
inteligentes.
1.4 Estilo de trabajo en la clase de matemática
El tema tratado por el profesor de los cursos durante nuestro período de observaciones
en la institución fue números irracionales. La clase de matemática está centrada en la
resolución de situaciones problemáticas y ejercicios de cálculo numérico, en un ambiente
de matemática pura y paradigma del ejercicio. La dinámica que generalmente se emplea
frente a un tema nuevo es brindar la teoría y luego focalizarse en la resolución de ejercicios,
que son copiados en la pizarra al inicio de la clase. Una vez copiados los ejercicios,
distintos alumnos, con ayuda de sus compañeros, los van resolviendo al frente; el profesor
ayuda con indicaciones y permite que los alumnos tomen sus propios caminos en las
resoluciones. Algunos alumnos participan de la clase solo copiando lo de la pizarra, otros
haciendo los cálculos en su carpeta, comparando al final sus resultados con los de la pizarra
y otros sacándole fotos a las resoluciones.
El tema que se estaba trabajando puntualmente al momento de nuestras observaciones
fue el de operatoria con irracionales y el desarrollo de cada clase consistió en resolver
alrededor de 4 ejercicios tipo (generalmente distintas listas de ejercicio para cada curso),
con la participación de los alumnos. La participación no es forzada y pasan tanto los
alumnos que tienen en claro lo que tienen que hacer como los que no. Los temas
matemáticos que surgieron alrededor de los ejercicios fueron retomados de manera oral por
el docente del curso.
1.5 Los cursos en las otras materias
En el día de observación de jornada completa vimos cómo los alumnos trabajaban de a
dos en una evaluación de literatura. El trabajo fue ordenado -como es de esperarse en una
situación de examen- y al parecer los alumnos trabajaban bien en parejas. Algo que resultó
7 desenvolvían en un contexto distinto al que se da en las clases de matemática- fue verlos
trabajar en grupos más grandes durante la hora de historia, en donde se llevó a cabo un
trabajo práctico y una discusión general en el curso sobre una amplia variedad de temas
relacionados con el tema específico que abarcaba el trabajo práctico. En esta clase notamos
una gran predisposición a trabajar en grupos y una participación más generalizada del
8
2. Diseño de la práctica e implementación en el aula
Esta sección está destinada a describir cómo han acontecido nuestras prácticas
profesionales. Haremos un análisis de cada clase mostrando tanto la propuesta que
teníamos pensada y armada antes de inicio de la práctica como así también el análisis de las
clases efectivamente dictadas. Además, presentaremos el contexto en el cual se llevaron a
cabo dichas clases. Posteriormente describiremos los instrumentos evaluativos como así
también objetivos e intenciones de los mismos. Por último mostraremos los resultados de
las evaluaciones.
En el programa anual de la asignatura se describen cinco unidades didácticas que
incluyen los contenidos que se trabajarán durante el ciclo lectivo. A continuación, se
detallan todas las unidades (la unidad resaltada, Números Complejos, es la que
desarrollamos en nuestras prácticas profesionales):
UNIDAD Nº 1: Números Reales.
Representación en la recta numérica del conjunto de números reales. Conjunto denso,
Intervalos en la recta real. Adición, sustracción, multiplicación y división de radicales,
racionalización de denominadores, raíces sucesivas y simplificación de radicales, potencia
y radicación de radicales, desigualdad, operaciones con desigualdades, intervalos,
inecuaciones de primer grado con una incógnita, inecuaciones con dos incógnitas,
inecuaciones racionales, valor absoluto, ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.
UNIDAD Nº 2: Función de segundo grado.
Función cuadrática. Crecimiento decrecimiento y vértice. Desplazamientos de la función
respecto de los ejes cartesianos. Raíces de la función. Intervalos de positividad y de
negatividad. Ecuación cuadrática, fórmula resolvente. Gráficos. Forma canónica.
Discriminante. Problemas de máximos y mínimos. Forma factorizada. Propiedades de las
raíces. Parábola que pasa por tres puntos. Sistemas de dos ecuaciones (lineal y cuadrática).
9
UNIDAD Nº 3: Números Complejos.
Números complejos. Concepto. Par ordenado. Unidad imaginaria. Complejo en forma
binómica. Complejo conjugado. Operaciones con complejos en forma binómica. Complejo
en forma polar y trigonométrica, operaciones con complejos en forma polar, transformar de
binómico a polar y al revés. Representación gráfica. Operaciones combinadas.
UNIDAD Nº 4: Estadística.
Concepto. Recopilación de datos. Tabulación y gráficos. Análisis y medición de datos,
Medidas de posición: media aritmética, mediana y modo. Medidas o parámetros de
dispersión: desviación, desviación media, varianza, desviación estándar o desviación típica.
Medidas de forma asimetría y curtosis. Correlación lineal, recta de regresión
UNIDAD Nº 5: Vectores.
Vectores. Adición y sustracción, Ángulo entre vectores, multiplicación de un vector por un
escalar. Producto escalar de vectores. Producto escalar mediante las componentes de los
vectores. Producto vectorial
Tabla 2.1: Programa de la materia.
Durante nuestras observaciones de los cursos, el tema que se estaba tratando es
números irracionales, dentro del marco de la unidad 1, que abarca los números reales.
Consideramos que dicho tema está fuertemente relacionado con el que nos tocó trabajar a
nosotros en nuestras prácticas, en la medida de que en ambos casos se busca extender los
conjuntos numéricos ya conocidos para dar respuesta a nuevos problemas. En este marco
resulta lógico continuar este proceso analizando un conjunto más general que contiene al de
los números reales. También es importante notar las similitudes que se dan en la operatoria,
por ejemplo, que así como ante una división de números reales se buscaba racionalizar el
denominador, ocurre lo mismo en el conjunto de los complejos cuando se procura buscar
expresiones equivalentes a una dada, sin números imaginarios en el denominador.
Entre nuestro período de observaciones y el comienzo de nuestras prácticas, el
profesor del curso desarrolló la unidad 4, Estadística, la cual no tiene relación directa con
los números complejos.
Como ya hemos adelantado más arriba, durante nuestras prácticas abordamos la
10 relacionadas con la forma polar requieren el manejo de ciertas nociones básicas de
trigonometría, dedicamos el inicio de nuestras prácticas al trabajo con actividades de este
último tema, a fin de realizar tanto un diagnóstico de la situación del curso con respecto al
mismo como así también llevar a cabo un repaso, para garantizar las herramientas
necesarias para tratar los contenidos específicos de la unidad 3.
2.2 Nuestra propuesta inicial
Clase Contenidos Propuesta Objetivos
1° Diagnóstico sobre Trigonometría Circunferencia trigonométrica Definiciones de seno, coseno y tangente
-Actividad de diagnóstico y repaso de relaciones trigonométricas
-Actividad integradora de las nuevas definiciones de trigonometría
-Confección de un afiche para cálculo de
coordenadas
-Determinar el grado de apropiación por parte de los alumnos del tema trigonometría.
-Mostrar las limitaciones de la definición de seno y coseno como cateto opuesto sobre hipotenusa y cateto adyacente sobre hipotenusa
respectivamente.
-Introducir la definición de seno y coseno para ángulos
arbitrarios, como coordenadas del punto intersección entre el lado término de un ángulo y la circunferencia trigonométrica.
-Calcular coordenadas x e y.
2º Unidad imaginaria Conjunto de Números Complejos Definición de número complejo Representación de números en el plano complejo
-Actividad con ecuaciones que involucran distintos conjuntos numéricos para reconocer la insuficiencia de los números reales para resolver ciertas ecuaciones
-Introducir (definir) la unidad imaginaria.
-Resolver algunas ecuaciones que no tienen solución en R y
representarlas
gráficamente en el plano.
-Que los alumnos reconozcan que cada conjunto numérico que se introdujo a lo largo de la escolaridad secundaria (Z, Q, I, R) permitió resolver ecuaciones que no tenían solución en los conjuntos con los que
trabajaban hasta entonces.
-En particular, que reconozcan la necesidad de introducir los complejos para casos que involucren raíces de índice par de números negativos.
11
imaginaria i y el concepto de
número complejo, en su forma binomial.
-Introducir la representación gráfica de números complejos en el plano, a partir de su forma binomial.
3º
Módulo y argumento de un número complejo.
Definición de forma binomial, cartesiana y polar de un número complejo.
-Actividad introductoria a la noción de módulo y argumento relacionada con radares y submarinos.
-Formas de escribir un número complejo.
-Representación gráfica de números complejos.
-Introducir la forma polar con una actividad en la que se plantee una manera distinta de describir un punto en el plano.
-Que los alumnos reconozcan las distintas formas de
representar un número complejo.
4º
Conjuntos en el plano complejo según su módulo y argumento
Parametrización
-Actividad de
representación gráfica de complejos y conjuntos de números complejos en base a sus módulos y/o sus argumentos
-Que los alumnos comprendan las relaciones entre las distintas formas de representación de un número complejo y la
equivalencia entre ellas.
5º
Operatoria: suma (resta) y producto (inverso)
-Evaluación parcial sumativa (con intenciones formativas)
-Plantear la necesidad de volver a definir las operaciones en el nuevo conjunto numérico con el que estamos trabajando.
-Llevar a cabo, mediante una evaluación parcial, un
relevamiento de la apropiación de los contenidos tratados por parte de los alumnos del curso.
-Reconocer que la manera en la que están definidas las
operaciones en este nuevo conjunto es consistente con las definiciones de dichas
operaciones en los conjuntos numéricos conocidos
anteriormente.
6º
Operatoria en forma polar
-Actividad que plantea la trayectoria de la luna en un eclipse para visualizar generalidades del
producto de números
12 complejos
-Actividad para analizar el argumento y el módulo del producto de números complejos.
módulo.
-Reconocer la conveniencia de multiplicar complejos utilizando la forma polar.
7º
Potencia -Actividad que busca
relacionar la
multiplicación con la potencia (tanto en forma binomial como polar) y arribar a una expresión algebraica para la potencia en forma polar.
-Obtener una definición de potencia en forma binomial y polar.
-Que los alumnos encuentren regularidades a partir de lo trabajado con el producto.
8º
Raíz -Actividades de búsqueda
de raíces enésimas de un número complejo.
-Que los alumnos tengan un primer acercamiento a las raíces n-ésimas de un número
complejo.
9º
Repaso -Actividades para repasar
todos los temas tratados durante las prácticas.
-Llevar a cabo un repaso de los contenidos trabajados a fin de que los alumnos estén
preparados para la evaluación final.
10º
Evaluación -Evaluación sumativa de
los temas abordados durante el período de prácticas.
-Tomar la evaluación final.
Tabla 2.2. Nuestra propuesta inicial.
2.3 Las clases efectivamente dictadas
2.3.1 Actividades y desarrollo de las clases
Clase 1
Entramos al aula, les recordamos a los alumnos nuestros nombres (ya nos habíamos
presentado al iniciar el período de observaciones) y les comentamos que íbamos a ser sus
profesores de matemática por aproximadamente cinco semanas. Les explicamos cómo iba a
13 mientras que el otro se dedicaría a asistir al primero y a ayudar a resolver dudas durante las
actividades. Luego dimos inicio a la clase, con una actividad de carácter diagnóstico.
Actividad 1
1) Se desea sujetar un poste con un cable que parte desde la parte superior del mismo y
forma un ángulo de 30º con el suelo. Determinar la altura del poste y a qué distancia
de la base se debe sujetar el cable sabiendo que éste mide 40 m.
2) A determinada hora el sol proyecta sobre el suelo la sombra de una torre de
refrigeración nuclear. Dicha sombra mide 271 metros cuando los rayos solares
14 3) Hallar los lados que faltan:
Nota: Hemos decidido en esta actividad plantear ángulos con decimales porque tanto las
calculadoras como las aplicaciones de calculadora para teléfonos móviles expresan por
defecto los grados de esta manera, en lugar de expresarlos con “minutos” y “segundos”. No
discutimos con los alumnos el sentido de estas expresiones.
Objetivos para actividad 1:
- Analizar el estado de situación de los alumnos de cada curso con respecto al tema
trigonometría.
En el transcurso de la actividad los alumnos nos dijeron que su relación con el tema era
escasa y hasta nula, por lo que detuvimos el trabajo para anotar las relaciones
trigonométricas en la pizarra de la siguiente manera:
sen(𝛼) = 𝑂
𝐻 H= Hipotenusa
cos(𝛼) = 𝐴
𝐻 O=Cateto Opuesto
tg(𝛼) = 𝑂
𝐴 A =Cateto Adyacente
Una vez explicadas las relaciones trigonométricas, procedimos a dejar que los alumnos
trabajaran con la actividad, respondiendo de manera individual a sus dudas según lo
acordado en el guion conjetural. Algunas de las dudas planteadas por los alumnos fueron
15 -Tengo que el seno de 30º es ½, pero ¿qué hago con eso? Ante esto les hacíamos
recordar la definición de seno que estaba en el pizarrón y les preguntábamos cuál era el
cateto opuesto al ángulo considerado, cuál era la hipotenusa y cuál de esos dos valores
tenían.
-¿Cuál es el opuesto? A lo que respondíamos con preguntas del tipo ¿Opuesto a qué?
-¿Cuál es el adyacente? En este caso recordábamos que adyacente hace referencia al
segmento que forma parte del ángulo, mostrando que hay 2 segmentos que satisfacen la
condición, pero que uno de ellos es la hipotenusa; el restante es el cateto adyacente.
Al acompañar a los alumnos en la resolución de esta primera actividad nos dimos
cuenta de que les costaba más de lo que habíamos estimado y de que surgían algunas dudas
que no esperábamos, como por ejemplo cómo despejar x habiendo planteado la igualdad ½
= x/40. Esta situación, que luego se tornó en una cuestión recurrente a lo largo de la
práctica, nos llevó, al cabo de esta primera clase, a plantearnos cómo la íbamos a manejar.
Lo que decidimos, luego de hablarlo entre nosotros, con nuestra profesora supervisora y
con el profesor del curso, fue priorizar que los alumnos comprendieran de la mejor manera
posible los contenidos, adecuando las clases al ritmo que ellos necesitaran, aunque esto
implicara replantearnos los tiempos previstos para las actividades siguientes y no poder dar
cuenta de todas las clases planificadas.
Al cabo de un tiempo prudencial, realizamos una puesta en común de la actividad. De
manera voluntaria, algunos estudiantes pasaron al frente a resolver los diferentes ítems,
para lo cual podían contar con la ayuda de sus compañeros.
Una vez terminada la puesta en común, dibujamos en la pizarra un triángulo
obtusángulo, enfocándonos en su ángulo obtuso, y planteamos al curso:
Figura 2.1. Triángulo obtusángulo.
Para este ángulo, ¿cuál es el seno?, ¿y el coseno?, mostrando así las limitaciones de las
definiciones con las que contaban hasta el momento y generando la necesidad de nuevas
16 ángulo. Las definiciones dadas (entre el final de la clase 1 y el inicio de la clase 2) fueron
las siguientes:
Definición: Una circunferencia trigonométrica es una circunferencia de radio 1 centrada
en el origen del sistema de coordenadas.
Definición: Dado un ángulo 𝜃, con su vértice en el origen del sistema y su lado origen
sobre el semieje positivo de las “x”, llamamos seno de 𝜃 a la coordenada “y” del punto de
intersección entre el lado término del ángulo y la circunferencia trigonométrica. Lo
denotamos sen(𝜃)
Definición: Dado un ángulo 𝜃, con su vértice en el origen del sistema y su lado origen
sobre el semieje positivo de las “x”, llamamos coseno de 𝜃 a la coordenada “x” del punto
de intersección entre el lado término del ángulo y la circunferencia trigonométrica. Lo
denotamos cos(𝜃)
Definición: Dado un ángulo 𝜃, con su vértice en el origen del sistema y su lado origen
sobre el semieje positivo de las “x”, llamamos tangente de 𝜃 al cociente entre el seno de 𝜃
y el coseno de 𝜃. Lo denotamos tg(𝜃).
17
Clase 2
Comenzamos la clase dictando las nuevas definiciones de las relaciones
trigonométricas que habían quedado pendientes, desglosándolas y analizando cada una de
sus partes con los alumnos. Luego dimos ejemplos de ángulos en los distintos cuadrantes,
haciendo hincapié en el signo que tienen el seno y el coseno en cada cuadrante. Al principio
mostraron cierta dificultad a la hora de asimilar la definición, pero después de analizarla y
ver los ejemplos, la mayoría logró comprenderla.
Para poder llevar a cabo la actividad 2, debimos introducir un cambio en nuestra
planificación original, pues al término de la clase 1 el profesor del curso nos informó que
los alumnos no estaban familiarizados con el teorema de Thales ni con la semejanza de
triángulos. Sin conceptualizar formalmente la semejanza de triángulos, mostramos con un
ejemplo que el cociente de lados homólogos es constante (figura 2.3).
Luego de esta breve incursión en la semejanza de triángulos, comenzaron a resolver la
actividad 2.
18
Actividad 2
1) Determinar el valor del seno y coseno para los siguientes ángulos.
2) Decidir en qué cuadrante/s se puede hallar un ángulo 𝛼 si cumple:
a) sen(𝛼)<0
b) sen(𝛼)<0 y cos(𝛼)>0
c) sen(𝛼)>0 y cos(𝛼)<0
3) Considerar los siguientes gráficos:
a) Marcar en cada uno el seno y el coseno.
19 A la hora de hacer el inciso 1, muchos de los alumnos, en un principio, no sabían cómo
“calcular” el seno y el coseno, es decir no se daban cuenta de que la cuadrícula les permitía
hallarlos a simple vista. Con el inciso 2 no hubo mayor problema que intentar nombrar los
cuadrantes empezando desde arriba a la izquierda. En el caso del inciso 3, varios alumnos
no encontraban la relación entre dicho inciso y lo que habíamos visto de semejanza de
triángulos; pero eventualmente lograron hallar la proporcionalidad en los triángulos y
utilizar la razón de proporcionalidad (sin llamarla de esta manera) para obtener el resultado
correcto.
Clase 3
Comenzamos la clase llevando a cabo la puesta en común de la actividad 2, que
consistió en hacer pasar a distintos alumnos al frente a resolver cada inciso con ayuda de
sus compañeros en caso de ser necesario.
Para cerrar el tema, y a modo de síntesis, confeccionamos al frente -haciéndoles
preguntas a los alumnos- un afiche en el que se explicitó la forma de calcular las
coordenadas x e y de un punto cualquiera en el plano conociendo la distancia del mismo al
origen y el ángulo que forma el segmento entre ese punto y el origen con el semieje
positivo de las x. Tomamos la decisión no casual de nombrar a y b a las coordenadas en
lugar de x e y porque sabíamos que más adelante estas coordenadas serían la parte real e
20 Figura 2.4. Afiche confeccionado
Ya trabajados estos temas, estábamos en condiciones de estudiar el conjunto de los
números complejos. Comenzamos repasando los conjuntos numéricos estudiados a lo largo
de la formación de los alumnos (N, Z, Q, I y R) en un diagrama en el que mostramos las
relaciones de inclusión de los mismos. Luego presentamos la actividad que se muestra más
abajo. El objetivo de esta actividad era que los alumnos notaran que cada nuevo conjunto
introducido permite resolver problemas (en este caso en particular, ecuaciones) que en los
conjuntos anteriores no tenían solución y que los alumnos escribieran una ecuación con
números reales que no tuviese solución en R, para que surgiera así la necesidad de
21
Actividad 1:
1) Considerar la ecuación: x+8=5
a) ¿Tiene solución en el conjunto de los números naturales? Justificar respuesta.
b) ¿En qué conjuntos numéricos tiene solución?
2) Considerar la ecuación: 2x+4= 5
a) ¿Tiene solución en el conjunto de los números enteros?
b) ¿Tiene solución sólo en Q?
3) Completar la siguiente tabla con sí o no, según corresponda. Justificar con los cálculos
correspondientes.
Ecuación
Tiene solución en
N Z Q I R
𝑥 − 1 = − 5
3𝑥 + 6 = 1
𝑥2− 8 = −6
4) Plantear una ecuación:
a) Que involucre sólo números enteros y no tenga solución en Z.
b) Que involucre sólo números racionales y no tenga solución en Q.
c) Que involucre sólo números reales y no tenga solución en R.
En un principio los alumnos parecían desconcertados por la aparente facilidad de las
primeras ecuaciones, pero a medida que avanzaba la actividad se fueron dando cuenta de
que lo importante era reconocer y dejar en palabras el alcance de cada conjunto numérico
para dar solución a las distintas ecuaciones. Por falta de tiempo, realizamos la puesta en
común la clase siguiente.
Clase 4
Comenzamos la clase llevando a cabo la puesta en común de la actividad 3. La parte
22 de los cuatro, por cuanto es el único que tiene muchas (potencialmente infinitas) respuestas
correctas posibles. Algunos de los alumnos se equivocaron utilizando números fuera del
conjunto permitido o planteando ecuaciones cuya solución caía en el mismo conjunto, pero
sus propios compañeros les hacían notar sus errores y nosotros alentábamos a los
estudiantes a considerar dichos errores como una parte más del proceso de aprendizaje.
Como era de esperarse, al momento de plantear una ecuación para el inciso 4-c los
alumnos aprovecharon el hecho de que “no existe la raíz cuadrada de un número negativo”
para plantear ecuaciones cuya solución era justamente una raíz cuadrada de un número
negativo. Empleamos estas ecuaciones para contarles que el problema de estas raíces es uno
con el que ya se han topado los matemáticos a lo largo de la historia y que la solución fue
nombrar y definir la raíz cuadrada de -1 precisamente como una de las soluciones de la
ecuación
𝑖
2= −1
Una vez definida la unidad imaginaria procedimos a definir un número complejo en su
forma binomial, así como también definimos la parte real y la parte imaginaria de un
número complejo. Además, dimos algunos ejemplos que incluían números reales e
imaginarios puros y discutimos si estos números eran efectivamente números complejos,
analizándolos por contraste con la definición. También presentamos el plano complejo,
aludiendo a la insuficiencia de la recta real para poder representar números con dos
componentes, y trabajamos con los ejemplos la forma de graficar un número complejo en
dicho plano.
Clase 5
Dimos inicio a la clase con un breve repaso de lo trabajado la clase anterior, y luego
abordamos las definiciones de opuesto y conjugado de un número complejo.
Definición: Sea z=a + bi un número complejo.
Llamamos opuesto de z, y lo denotamos por –z, al número –a –bi:
–z = –a – bi
Llamamos conjugado de z al número complejo a – b𝑖 y lo denotamos por z̅
z̅ = a – b𝑖
Una vez dictadas estas definiciones procedimos a dar ejemplos y graficarlos. Esto
generó en los alumnos inquietudes sobre si estos conceptos se pueden combinar, lo que nos
llevó a realizar cambios sobre la planificación y agregar una sección nueva que respondiera
23
Actividad 2:
1) Completar la siguiente tabla y en cada caso graficar tanto el número como su
opuesto y su conjugado.
Número Parte real Parte
imaginaria
Opuesto Conjugado
3-4 i
1 +1 i
7
4i
2) Resolver y graficar la/s solución/es:
a) 𝑥2+ 1 = 0
b) (𝑥 − 1)2+ 5 = 0
Con el inciso 1 buscábamos ejercitar el uso de las definiciones que acabábamos de dar,
así como también continuar ejercitando la graficación de números complejos y repasar los
conceptos de parte real y parte imaginaria, haciendo hincapié en que esta última no incluye
la unidad imaginaria i. Algunos errores comunes fueron incluir i en la parte imaginaria, o
no saber reconocer el 0 en las partes real o imaginaria de imaginarios puros y reales puros
respectivamente. El inciso 2 consistía en resolver ecuaciones de segundo grado cuya
solución podía obtenerse sin la fórmula de Bhaskara, ya que este tema no había sido
24 Figura 2.5. La resolución de la ecuación del inciso 2-b realizada por un alumno.
Clase 6
Como ya comentamos arriba, en esta clase hicimos un cambio respecto a lo planeado
originalmente, agregando una actividad de repaso de opuesto y conjugado que apuntaba a
dar respuesta entre todos a las inquietudes que habían surgido la clase anterior sobre el
opuesto del opuesto, o el opuesto del conjugado, si éste es lo mismo que el conjugado del
opuesto, etc.
25 Esta actividad consistió en completar una a una las celdas de la tabla de la figura 2.6
junto con los alumnos. Para agilizar los tiempos proyectamos la tabla en la pizarra y la
fuimos llenando con diapositivas de PowerPoint previamente confeccionadas para tal fin.
Además, al final de la clase repartimos a los alumnos una fotocopia con la tabla completa.
Es menester destacar cómo el uso de las tecnologías digitales nos permitió ahorrar
muchísimo tiempo y enfocarnos únicamente en el contenido matemático a desarrollar. Una
vez completada la tabla, procedimos a hacer un repaso general de los temas estudiados
hasta el momento, de cara a la evaluación parcial de la clase siguiente.
Clase 7
Dimos comienzo a la clase tomando la evaluación parcial, la cual será analizada en
detalle en la sección 2.4.1. La evaluación demandó medio módulo y una vez terminada
26
Actividad 3
Una central marítima utiliza un radar para detectar la posición de distintos objetos en el océano, al igual que la de submarinos aliados y enemigos. Los datos que le provee dicho radar son la distancia entre los objetos y la central, y el ángulo en que se encuentran los objetos, medido en sentido antihorario desde el ángulo inicial de 0º que se encuentra hacia el Este.
1) El radar ha detectado movimientos de lo que posiblemente sean submarinos enemigos en ciertas zonas de las inmediaciones de la central. Estas zonas son entonces consideradas zonas peligrosas. Graficar la posición de los submarinos aliados utilizando los datos de la tabla y determinar cuáles están en zonas peligrosas y cuáles no.
Submarino Distancia a la central (km) Ángulo (Grados
sexagesimales)
Sub1 30 65º
Sub2 20 145º
Sub3 15 250º
27
Sub5 50 330º
Sub6 45 280º
2) Un satélite aliado ha tomado imágenes del área en las cuales se pueden ver minas que no son detectables por el radar. Determinar la posición de las minas avistadas por el satélite y expresarlas en los términos que maneja la computadora de la central -es decir, la distancia hasta la central y el ángulo-.
Con esta actividad buscamos acercar a los alumnos a la forma polar de un número
complejo de un modo que resultara “natural”. Sin hablar explícitamente de números
complejos, ni de módulos, ni argumentos, planteamos una situación problemática en la que
se hizo necesario encontrar una manera distinta de representar puntos en el plano. En el
28 que forma la posición de dichos submarinos con la dirección Este (el semieje positivo de
las x) y la distancia entre cada submarino y la central (módulo). En el inciso 2 se buscaba
que hicieran el proceso inverso, es decir, teniendo un punto en el gráfico debían obtener el
ángulo y la distancia a la central. Los alumnos estuvieron, en su mayoría, entusiasmados
con la propuesta y la imagen descriptiva del comienzo de la actividad ayudó a la
compresión de la situación. Pudieron determinar la ubicación de cada submarino, aclarando
si se encontraba en una zona de peligro o no, y también lograron describir por escrito la
posición de las minas a partir del gráfico.
La puesta en común de la actividad quedó para la clase siguiente.
Clase 8
Comenzamos la clase realizando la puesta en común de la actividad de los radares.
Una vez concluida la puesta en común, y a modo de institucionalización de lo trabajado en
la actividad, les comentamos a los alumnos que, como teníamos ahora una nueva forma de
describir puntos en el plano y ya habíamos visto que a cada punto del plano le corresponde
un único número complejo, teníamos entonces una nueva forma de escribir un número
complejo, y sólo quedaba formalizarla.
29
Definición: El argumento de un número complejo z es el ángulo θ que forma el segmento de extremos (0,0) y z con el semieje positivo x, medido en sentido antihorario. Por convención, a los fines de lograr unicidad, 0 ≤ 𝜃 < 360º .
Ejemplos:
Formas de escribir un número complejo
Forma binomial: Forma de par ordenado o cartesiana: z=a + b i z=(a; b)
a es la parte real
b es la parte imaginaria Forma Polar:
( |z|, Ө)
|z| es el módulo de z
Ө es el argumento de z
Figura 2.7. Fotocopia con definiciones de módulo y argumento
A estos efectos repartimos a los alumnos una fotocopia (ver figura 2.7) con las
definiciones de módulo y argumento de un número complejo, así como también la
formalización de la forma binomial (que hasta este momento no había sido nombrada como
tal, pues era la única forma que habíamos trabajado), la forma cartesiana y la forma polar.
Para ayudar a la comprensión de estos conceptos presentamos algunos ejemplos de
números complejos y obtuvimos su módulo y su argumento. En cuanto al módulo,
30 cartesiana): por un lado, utilizar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo cuya
hipotenusa es el segmento entre el origen y el punto correspondiente al complejo en
cuestión y cuyos catetos son los segmentos que van desde el punto hacia los ejes de manera
perpendicular a éstos; por otra parte, usar el compás para medir el largo del segmento entre
el origen y el número complejo y luego utilizar la escala del gráfico para medirlo. En
cuanto al argumento, por el momento les dijimos que podían medirlo con el transportador
-esperábamos poder introducir más adelante en la práctica las funciones trigonométricas
inversas-.
Algo de lo cual nos dimos cuenta a posteriori es que quizás nuestra selección de los
primeros ejemplos no fue la ideal, en tanto y en cuanto al incluir desde el principio números
que se encontraban sobre los ejes, el ejemplo podía conducir a pensar que el módulo
siempre coincide con la coordenada x (o la coordenada y). En retrospectiva, consideramos
que lo mejor hubiera sido dar primero ejemplos de números complejos que se hallen fuera
de los ejes, para asentar la idea de que el módulo es igual a √𝑎2+ 𝑏2 y recién una vez
logrado este objetivo, plantear ejemplos de un números sobre un eje, viéndolos ya como lo
que son, es decir, un caso particular en el que a=0 o b=0 y notando que es sólo por esto que
en esos casos el módulo coincide con la parte real o la parte imaginaria. Más aún, lo
anterior ocurre sólo si la parte no nula (real o imaginaria, según el caso) es positiva.
Clase 9
Comenzamos la clase releyendo las definiciones presentadas la clase anterior y
empezamos a trabajar con la actividad 4.
Actividad 4:
1) Dar el módulo y el argumento de los siguientes números complejos:
a) 4+4i
b) –4
c) i
d) -i
2) Expresar en forma polar utilizando GeoGebra para medir ángulos y módulos
a) 4+ 7i
b) -3i
c) 8-2i
31 Para esta actividad propusimos un movimiento entre las maneras de representar un
número complejo, recibiendo la información en su forma simbólica y pasándola a su forma
gráfica, como así también de manera inversa. En el inciso 1, les recordamos los modos de
obtener el módulo y el argumento que se habían discutido la clase anterior. En el inciso 2,
trabajando desde sus teléfonos inteligentes con la aplicación GeoGebra -la cual cuenta con
funciones específicas de medida- pudieron obtener el módulo y el argumento. En el inciso
3, planteamos hacer el paso del gráfico a lo simbólico. En esta actividad tuvimos en cuenta
la posición de los números complejos en cuestión, para facilitar la obtención de la
respectiva forma binomial. Para completar la forma polar guiamos el trabajo de manera
similar al inciso 1. Luego realizamos la puesta en común, en la que se pidió que explicaran
de qué manera habían encontrado la información pedida.
Continuamos entregando la actividad 5, la cual por falta de tiempo quedó como tarea,
luego de resolver los primeros incisos al frente junto con los alumnos, a fin de aclarar dudas
32
Actividad 5:
1. Graficar en el plano complejo:
a) 2 números complejos cuyo módulo sea 2
b) 3 números complejo cuyo módulo sea ½
c) Todos los números complejos cuyo módulo es 1
d) Todos los números complejos cuyo módulo sea menor a 2
2. Graficar en el plano complejo:
a) 2 números complejos cuyo argumento sea 45°
b) 3 números complejos cuyo argumento sea 80°
c) Todos los números complejos cuyo argumento sea 30°
d) Todos los números complejos cuyo argumento sea mayor que 45° y menor que 90°
3. Graficar en un plano complejo todos los números complejos:
a) Cuyo argumento sea mayor a 45° y menor a 60°
b) Cuyo módulo sea mayor que 2 y menor que 4.
c) Cuyo argumento sea mayor 45° y menor a 60° y su módulo sea mayor a 2 y
menor a 4
A la hora de confeccionar esta actividad nuestro objetivo fue afianzar el concepto de
forma polar y las características de esta manera de describir un número complejo, mediante
un fuerte trabajo de la representación gráfica de distintos números y distintos conjuntos de
números complejos. En una primera instancia se trabajó con el módulo. Empezamos con
algunos números con un módulo determinado, para que los alumnos vieran cómo queda
“libre” el argumento si sólo fijamos el módulo; posteriormente se planteó a los alumnos la
tarea de graficar todos los complejos con un determinado módulo, esperando que arribaran
a la conclusión de que dichos complejos forman una circunferencia cuyo radio es el módulo
en cuestión (ver figura 2.8) Luego se presentó el caso en el que el módulo pertenece a un
intervalo. Hecho esto, se trabajó de manera análoga con el argumento. Finalmente, se
tuvieron en cuenta ambos datos de manera simultánea, graficando así una región del plano
complejo similar a la de las “zonas de peligro” de la actividad de los radares, como se
33 Figura 2.8. Una posible solución del inciso 1 de la actividad 5.
(item a: puntos azules, item b: puntos rojos, item c: circunferencia verde, item d: disco rayado)
Figura 2.9. Solución del inciso 3 de la actividad 5:
(ítem a: rayado rojo, ítem b: rayado verde, ítem c: intersección de ambos)
Clase 10
En ambos cursos tuvimos inconvenientes en lo referido al tiempo: en el caso de 4° B
esperábamos contar con una clase más, por lo cual habíamos planeado un repaso más
extenso y en profundidad, mientras que en cuarto 4° A sólo dispusimos de medio módulo
34 Se realizó la puesta en común de la actividad 5, graficando junto con los alumnos cada
una de las regiones determinadas por las condiciones de cada inciso, haciendo hincapié en
la forma de cada región y en la diferencia entre aquellas determinadas por un único valor y
las que están dadas, en cambio, por un intervalo. Al tratar el tema de la inclusión o no de
los bordes y de qué manera representar esto en el gráfico, nos dimos cuenta de que habría
resultado provechoso incluir algunos casos “mayor/menor o igual” en los intervalos de la
actividad, para así poder contrastarlos con aquellos casos en los cuales hay un mayor/menor
estricto. En la actividad tal como la planteamos sólo hay relaciones de mayor/menor
estricto, razón por la cual no ahondamos en la distinción que acabamos de mencionar.
Por los inconvenientes mencionados anteriormente, nos quedó poco tiempo para el
repaso. El mismo consistió en dar ejemplos y empezar a ver desde la representación gráfica
las distintas maneras de escribir simbólicamente un número complejo, analizando cuál es el
módulo, cuál el argumento y cuál la parte real e imaginaria, como así también en analizar
las maneras de encontrar esos datos. Además, repasamos las nociones de opuesto y
conjugado. Por último, realizamos un repaso de las nociones trigonométricas.
Clase 11
Esta clase fue dedicada en su totalidad a la evaluación final, la cual será comentada en
la sección 2.4.2
2.4 Instancias de evaluación
Para nuestras prácticas consignamos dos instancias evaluativas: Una evaluación
parcial1 o “mini evaluación” (a la cual le asignamos un valor de 2,5 puntos sobre el total de
10 de la nota final) y una evaluación final del tema -esto es, de la parte del tema
desarrollada por nosotros- (la cual valía los otros 7,5 puntos). A continuación analizaremos,
para cada una de ellas, la motivación, los objetivos, los criterios que tuvimos a la hora de
corregir y los resultados de cada curso.
2.4.1 Evaluación Parcial
Desde el momento de la planificación nos resultó sumamente importante el tomar una
evaluación parcial de carácter formativo, pues, como plantean Gvirtz y Palamidessi (1998):
35 La evaluación formativa se orienta a recolectar datos del proceso de
enseñanza y aprendizaje; se realiza con el objetivo de mejorar los
procesos de enseñanza y de aprendizaje, el proyecto educativo de una
escuela o la utilización de algún material didáctico. [...] Se preocupa por
el futuro y sirve para revisar y repensar la planificación. (p. 249)
Los objetivos de dicha evaluación parcial fueron los siguientes:
● Hacer un seguimiento del estado de situación de los alumnos con respecto a los
contenidos tratados hasta el momento, con el fin de saber en qué temas era
necesario hacer hincapié, al igual que hacer las modificaciones que considerásemos
necesarias al resto de la propuesta.
● Que los alumnos pudieran ir reconociendo su propio progreso y su desempeño, y
saber qué les costaba más.
● Que pudieran empezar a tomar conocimiento de los criterios que íbamos a tener a la
hora de evaluar, y acostumbrarse a los mismos
● Al tener también un aspecto sumativo (ya que al asignarle una parte de la nota final
se la está usando, aunque en menor medida, como acreditación) se buscaba que el
solo hecho de tomar esta evaluación contribuyera a fomentar el estudio por parte de
los alumnos.
En cuanto a la selección de los ejercicios, presentaremos los del tema A, ya que las
diferencias entre dicho tema y el B fueron mínimas. De todas formas, las versiones
completas de ambos temas se encuentran en el anexo A.
1) a) Dibujar una circunferencia trigonométrica, algún ángulo en el 4° cuadrante y
marcar su seno y coseno en el gráfico.
36 2) a) Completar la siguiente tabla:
Número Complejo
Parte Real
Parte Imaginaria
Opuesto Conjugado Conjugado del opuesto
b) Graficar los números complejos de la tabla (z, w, k), sus opuestos y sus conjugados.
Nota 1: El seno y coseno del ángulo 𝛼 (un ángulo para el tema A y otro para el tema
B) fueron escritos en la pizarra al comienzo de la evaluación, ya que el uso de la
37 Nota 2: Cabe destacar que el afiche confeccionado en la clase 2 (ver figura 2.4) estuvo
pegado en la pared desde ese momento, a lo largo de toda la práctica, inclusive durante las
evaluaciones.
Nótese que en el caso de w hemos escrito primero la parte imaginaria y después la real.
Esto se debe a que buscábamos determinar si los alumnos habían entendido realmente el
papel que cumple cada parte de un número complejo independientemente del orden. Esto se
podía ver, por ejemplo, analizando cómo llenaban la casilla del conjugado: si respondían
-2i -1 en lugar de 2i +1, muy probablemente estarían “cambiando el signo del medio” en
lugar de cambiar el signo de la parte imaginaria.
Les dijimos a los alumnos de manera oral que era importante dar las respuestas con la
notación correspondiente, y para asegurarnos de que esto quedara claro llenamos
parcialmente dos de los casilleros.
A la hora de corregir las evaluaciones, decidimos primero armar una rúbrica de
corrección, a fin de establecer de manera clara y explícita los criterios que íbamos a tener
en cuenta. En palabras de Gvirtz y Palamidessi (1998):
Las pruebas referidas a criterios nos indican el rendimiento de una
persona en relación con un estándar o patrón. Aquí comparamos los
resultados con un objetivo y no con otra medida; consiste en comparar la
ejecución de un alumno con un estándar deseado y juzgar si alcanzó, no
alcanzó o superó el estándar. (p. 247)
A continuación consignamos la rúbrica de corrección que confeccionamos y utilizamos:
1) a) Dibujar una circunferencia trigonométrica, algún ángulo en el 4° cuadrante y
marcar su seno y coseno en el gráfico.
0,4
1) a) Puntaje: 0,4
38 intersección entre el lado término del ángulo y la circunferencia)
Si marcan bien el seno y el coseno, pero se equivocan de cuadrante 0,2
Si marcan bien la circunferencia trigonométrica pero mal el seno o el coseno
0,2
Si marcan mal la circunferencia trigonométrica, pero ubican “bien” el seno y coseno
0,2
Si no ponen las referencias 1,1,-1 y -1 de la circunferencia unidad 0,2
b) Determinar las coordenadas x e y del punto A
0,6
1) b) Puntaje: 0,6
Coordenada x 0,3
Coordenada y 0,3
Si plantean bien el cálculo para obtener x, pero confunden seno con coseno 0,1
Si plantean bien el cálculo para obtener y, pero confunden seno con coseno 0,1
2) a) Completar la siguiente tabla:
0,75
2) a) Puntaje
0,75
Para cada complejo (z, w, k) vamos a asignar 0,25 si completan de manera correcta la tabla.
0,25 x 3
Parte Real 0,05
Parte Imaginaria 0,05
Opuesto 0,05
Conjugado 0,05
39 b) Graficar los números complejos de la tabla (z, w,k), sus opuestos y sus conjugados.
0,75
2) b) Puntaje: 0,75
Para cada complejo (z, w, k) vamos a asignar 0,25 si grafican de manera correcta
0,25 x 3
Para cada complejo: Graficar el complejo 0,0833
(0,25/3)
Para cada complejo: Graficar el opuesto 0,0833
(0,25/3)
Para cada complejo: Graficar el conjugado 0,0833
(0,25/3)
Si calculan mal algún número complejo en el inciso anterior, pero lo grafican bien
0,03
Si grafican bien número complejo, pero no le ponen el nombre con su correspondiente notación
0,05
2.4.2 Evaluación Final
Uno de los objetivos que tuvimos al pensar esta evaluación sumativa fue, por supuesto,
el de medir la apropiación de los contenidos abordados durante la práctica por parte de los
estudiantes, al igual que acreditar dicha apropiación por medio de una nota, que llegaba a
los 7,5 puntos como máximo, los cuales se sumaban a la nota de la evaluación parcial para
así formar la nota final (en escala de 1 a 10).
Además, buscamos aprovechar los registros que teníamos de la evaluación parcial para
comparar ambas evaluaciones y así analizar el progreso que se pudiera evidenciar en las
producciones de los estudiantes.
40
Criterios de evaluación:
●Razonamiento correcto ●Justificación de los pasos realizados ●Registro de los cálculos parciales ●Claridad a la hora de responder
1) a) Determinar las coordenadas x e y del punto B. (1,5 pts)
b) Escribir el número complejo que representa el punto B.
2) Dado el número complejo 𝑚 = −12 + 9𝑖 (1 pt)
a) Determinar su parte real, su parte imaginaria, y graficar 𝑚.
b) Escribir el opuesto de 𝑚 con su correspondiente notación y graficarlo.
c) Escribir el conjugado de 𝑚 con su correspondiente notación y graficarlo.
d) Determinar el módulo de 𝑚 y su argumento.
3) Graficar los siguientes números complejos: (1 pt)
a)
b)
4) Considerar los números complejos y de los siguientes gráficos: (2 pts)
41 b) Escribir en forma binomial, en forma cartesiana y en forma polar.
5) Graficar en un sistema de coordenadas cartesianas (en una hoja): (2 pts)
a) 2 números complejos cuyo módulo sea 4 (que no estén sobre los ejes) y 2
números complejos cuyo argumento sea 50° (ponerle un nombre distinto a
cada número).
42 c) Todos los números complejos cuyo argumento sea mayor a 80° y menor a
150°.
d) Todos los números complejos que cumplan con la condición del inciso b y la
del inciso c (es decir, todos los números complejos cuyo módulo sea mayor a
2 y menor a 6 y su argumento sea mayor a 80º y menor a 150º)
Siguiendo la misma lógica que con la evaluación parcial, confeccionamos también
para este caso una rúbrica de corrección, a fin de tener un criterio objetivo y unificado para
ambos cursos.
A continuación consignamos la rúbrica de corrección que confeccionamos y
utilizamos:
1) a) Determinar las coordenadas x e y del punto B.
Si calculan x e y de manera correcta usando coseno y seno 1
Uno bien y uno mal 0,5
Si plantean bien el cálculo para obtener x, pero confunden seno con coseno 0,25
Si plantean bien el cálculo para obtener y, pero confunden coseno con seno 0,25
Si lo hacen con el gráfico 0
1 b) Escribir el número complejo que representa el punto B.
Si lo escriben bien, en cualquiera de las tres formas que conocen 0,5
Si calcularon mal las coordenadas en el inciso anterior, pero las usan bien para expresar el número
0,25
2) Dado el número complejo 𝑤 = −9 + 12𝑖
43
Correcto 0,25
de los cuales
gráfico 0,15
parte real 0,05
parte imaginaria 0,05
b) Escribir el opuesto de 𝑤 con su correspondiente notación y graficarlo.
Si lo hacen bien 0,25
De los cuales
Gráfico 0,15
Opuesto 0,10
Si no usan la notación -0,05
c) Escribir el conjugado de 𝑤 con su correspondiente notación y graficarlo.
Si lo hacen bien 0,25
De los cuales
Gráfico 0,15
Conjugado 0,10
Si no usan la notación -0,05
d) Determinar el módulo de 𝑤 y su argumento. (Tolerancia argumento ± 3º) (Tolerancia
módulo ±0,5)
44 De los cuales
Módulo 0,12
Argumento 0,13
3) Graficar los siguientes números complejos:
Si grafican ambos bien 1
de los cuales
Módulo a 0,25
Argumento a 0,25
Módulo b 0,25
Argumento b 0,25
4)
a) Escribir 𝑧1en forma binomial, en forma cartesiana y en forma polar.
Puntaje total 1
de lo cual
Binomial 0,4
Cartesiana 0,2
Polar (tolerancia ±4° 0,4
(0,2 módulo) (0,2 argumento)
b) Escribir 𝑧2en forma binomial, en forma cartesiana y en forma polar.
Puntaje total 1
45
Binomial 0,4
Cartesiana 0,2
Polar (Tolerancia ±4º)
0,4 (0,2 módulo) (0,2 argumento)
5) Graficar en un sistema de coordenadas cartesianas
a) 2 números complejos cuyo módulo sea 3 (que no estén sobre los ejes) y 2 números
complejos cuyo argumento sea 80° (ponerle un nombre distinto a cada número).
Puntaje total 0,5
de lo cual
cada número complejo 0,125
si no le ponen nombre -0,05 c/u
si lo ponen sobre los ejes 0
b) Todos los números complejos cuyo módulo sea mayor a 3 y menor a 5.
Puntaje total 0,5
Si marcan el área sin pintarla 0,3
c) Todos los números complejos cuyo argumento sea mayor a 60° y menor a 130°
Puntaje total 0,5
Si marcan el área sin pintarla 0,3
Si no se entiende que el área se extiende infinitamente 0,3
46 c (es decir, todos los números complejos cuyo módulo sea mayor a 3 y menor a 5 y su
argumento sea mayor a 60º y menor a 130º)
Puntaje total 0,5
Si se equivocan en un dato (Por ej. uno de los extremos de una región) 0,3
Si se equivocan en dos datos 0,1
Si se equivocan en más de dos datos 0
2.4.3 Resultados de las evaluaciones
Resultados Evaluación Parcial 4to A
Entre 0 y 0,5
Entre 0,5 y 1
Entre 1 y 1,5
Entre 1,5 y 2
Entre 2 y 2,5
47
Resultados Evaluación Parcial 4to B
Entre 0 y 0,5
Entre 0,5 y 1
Entre 1 y 1,5
Entre 1,5 y 2
Entre 2 y 2,5
Figura 2.11. Notas de 4to B en la evaluación parcial (de 0 a 2,5)
Resultados Evaluación Final 4to A
Entre 0 y 1
Entre 1 y 2
Entre 2 y 3
Entre 3 y 4
Entre 4 y 5
Entre 5 y 6
Entre 6 y 7
Entre 7 y 7,50
48
Resultados Evaluación Final 4to B
Entre 0 y 1
Entre 1 y 2
Entre 2 y 3
Entre 3 y 4
Entre 4 y 5
Entre 5 y 6
Entre 6 y 7
Entre 7 y 7,50
Figura 2.13. Notas de 4to B en la evaluación final
Resultados finales 4to A
Figura 2.14. Notas finales de 4to A. Eje x: notas
49
Resultados finales 4to B
Figura 2.15. Notas finales de 4to B. Eje x: notas
50
3. Análisis de una problemática
En esta sección procederemos a analizar una problemática cuya motivación y
formulación surgieron a partir de las experiencias vividas a lo largo de la práctica;
llevaremos a cabo el abordaje de dicha problemática sustentándonos en una revisión
bibliográfica y en las evidencias obtenidas en el aula. Si bien al momento de elegir una
problemática nos encontramos con varias opciones interesantes, hubo una que nos resultó
particularmente rica y que nos interpeló de manera más directa, y esa es la que
presentaremos a continuación.
3.1 Origen de la problemática
De acuerdo a lo que habíamos estipulado al momento de realizar la planificación,
tomamos una evaluación parcial que abarcaba una parte de los contenidos a ser trabajados
durante la práctica, en particular aquellos dados aproximadamente hasta la mitad de la
misma. Esta evaluación fue de tipo sumativa, pero con intencionalidad formativa, ya que
apuntábamos a utilizarla para tener un panorama del estado del curso y hacer, en caso de
ser necesario, una modificación sobre nuestras planificaciones. Cuando corregimos las
evaluaciones notamos que un aspecto que particularmente parecía causar dificultad a los
estudiantes era la correcta expresión por escrito de sus producciones. Estas dificultades se
manifestaban, por ejemplo, en errores en la notación de expresiones algebraicas y en
respuestas descontextualizadas de las actividades. Al notar estas dificultades nos dimos
cuenta de que podíamos utilizar esta instancia de evaluación para señalarle a cada alumno
cómo mejorar sus producciones, haciendo foco en la comunicación de los procedimientos y
resultados. Posteriormente contrastamos las evaluaciones parciales con los datos obtenidos
en la evaluación final, que contemplaba todos los contenidos trabajados, con el fin de
analizar el progreso de los estudiantes. Esto nos llevó a plantearnos el siguiente
interrogante:
¿Se puede utilizar la evaluación parcial sumativa como forma de acercamiento hacia
una mirada formativa de la evaluación?
A fin de dar respuesta a esta pregunta, realizaremos primero una revisión bibliográfica
que nos permita enmarcar teóricamente la problemática. Posteriormente analizaremos, a la
