UMA NOVA MATEMÁTICA PARA RESOLVER PROBLEMAS REAIS CONTRIBUINDO PARA A FORMAÇÃO DOS FUTUROS PROFESSORES
Rosana Viomar de Lima UNICENTRO – Guarapuava [email protected]
Valdeni Soliani Franco UEM – Maringá [email protected]
Rodney Carlos Bassanezi UNICAMP – Campinas [email protected]
Resumo: O ensino de matemática, atualmente, tem seu foco na resolução de problemas de maneira determinística. As soluções são, na maioria das vezes, exatas e sem restrições, mesmo quando se considera alguma forma de previsão dada por algum modelo matemático. Assim, no ensino de matemática, o objetivo é quase sempre encontrar uma solução exata e única do problema em análise. Mais do que isto, este objetivo é atingido quase que invariavelmente por meio de métodos provenientes da lógica matemática clássica. Entretanto, na vida real são inúmeras as situações nas quais não se tem um banco de dados amostrais ou os dados existentes são imprecisos ou parciais ou ainda se tem a necessidade de tomar decisões baseadas em conceitos subjetivos ou não rigorosamente definidos, tais como os conceitos de: grande, baixo, forte, bonito, muito etc. Nestes casos, o uso da matemática determinística, da lógica matemática clássica ou mesmo dos processos estocásticos não resultam em soluções exatas, nem tampouco únicas. Por outro lado, tais problemas são, frequentemente, confrontados e “resolvidos” de forma intuitiva por não matemáticos. Na matemática disponível hoje em dia, a Lógica Fuzzy aliada à Modelagem Matemática, é um importante instrumento na resolução destes problemas, bem como de problemas tecnológicos, industriais e em pesquisas de ponta, mas não é abordada nos cursos de Licenciatura em Matemática. Sendo assim, procurou-se investigar as possibilidades e apontar alternativas para o futuro trabalho de sala de aula do licenciando em Matemática, no qual problemas reais, imprecisos e não rigorosamente definidos possam ser trabalhados, modelados e solucionados, aproximadamente e satisfatoriamente, na perspectiva da Lógica Fuzzy. Neste artigo são apresentados resultados parciais da análise das categorias elencadas, que mostram o movimento do pensamento dos em participantes em direção ao raciocínio fuzzy, quando são resolvidos problemas subjetivos, antes e depois de seu contato com a matemática fuzzy.
Palavras-chave: Ensino de Matemática; Modelagem Matemática; Lógica Fuzzy. Introdução
correta. A matemática ensinada na escola é a matemática clássica, do verdadeiro ou falso, pertence ou não pertence. Contudo, na vida real deparamos com muitas situações subjetivas, incertas, de fronteira indefinida. As expressões: grande, próximo, baixo etc. fazem parte das soluções de muitos problemas matemáticos, e a matemática clássica não permite quantificar ou graduar essas incertezas.
Os problemas da vida real raramente possuem soluções exatas e muitos problemas não têm solução. É necessário, então, trabalhar com aproximações que forneçam respostas aceitáveis, suficientes para cada situação proposta. Há, também, casos em que não se dispõe de dados suficientes para resolver determinados problemas ou fazer previsões, mas para os quais basta uma boa aproximação, baseada em dados e opiniões de especialistas da área, o que não poderia ser feito pela matemática usual.
Oliveira Jr. (1999) apresenta um exemplo de subjetividade em um problema real, que traz as seguintes considerações:
Suponhamos que, em determinada cidade, a temperatura varie anualmente entre 15 e 42ºC. Ao questionarmos um grupo de habitantes sobre a sua sensação térmica, escolhida entre as alternativas {FRIA, NEUTRA, QUENTE}, certamente todos concordarão que a de 15ºC é FRIA, a de 42ºC é QUENTE e a de, digamos, 25ºC é NEUTRA. (OLIVEIRA JR, 1999, p. 5).
Então, o autor indaga em qual temperatura a sensação passa de fria a neutra e de neutra a quente. Sabemos que é difícil responder. Pode ser até mesmo que existam respostas, mas certamente seus resultados não serão os mesmos.
Temos utilizado termos subjetivos, segundo Barros e Bassanezi (2010), para atribuir graus de certeza ou verdade às situações do cotidiano, buscando representar qualidades, padrões ou verdades parciais, e as fronteiras entre esses graus são incertas, ou seja, não podem ser delimitadas exatamente.
Segundo esses autores, é justamente na dificuldade de determinar o grau de incerteza que a Lógica Fuzzy tem contribuído. Para Oliveira Jr. (1999), “lógica difusa é um conjunto de métodos baseados no conceito de conjunto difuso (fuzzy set) e operações difusas, que possibilita o modelamento realista e flexível de sistemas” (OLIVEIRA JR, 1999, p5).
biomatemática (SILVA, 2005), na engenharia (SIMÕES, 2007), na medicina (JAFELICE, 2003; CASTANHO, 2005), na educação (SPINA, 2010), entre outras. Contudo, o ensino dessa nova matemática tem sido restrito a cursos de pós-graduação e algumas graduações, como Engenharia e Informática.
Os conceitos iniciais da Lógica Fuzzy são relativamente simples, e poderiam ser aplicados na resolução de problemas do cotidiano para alunos do Ensino Médio e Superior, sobretudo na Licenciatura em Matemática, pois os professores dessa área do conhecimento precisam ter conhecimento das novas tecnologias e metodologias e tendências, principalmente daquilo que possa auxiliar seus alunos na busca por um ensino mais atrativo e ligado a respostas necessárias a serem dadas no dia a dia. Dessa forma, considerou-se relevante uma investigação junto a turmas de Licenciatura em Matemática sobre o trabalho de conceitos iniciais da Lógica Fuzzy e de problemas subjetivos, que possam ser resolvidos por meio dessa nova matemática.
Pressupostos da Pesquisa
Para o desenvolvimento deste trabalho estão sendo considerados três pressupostos básicos que nortearão a pesquisa:
(1) Nos programas da maior parte dos cursos de Licenciatura em Matemática do país não estão contemplados, formalmente, disciplinas ou situações que envolvem a subjetividade distinta da estocástica, o que contribui para justificar a apresentação de uma proposta de conteúdos alternativos com esse fim;
(2) A resolução de problemas e a Modelagem são requisitos básicos para que o futuro professor possa lidar adequadamente com problemas do cotidiano em seu trabalho de sala de aula. Assim, dentro do estudo do processo de resolução de problemas pode se abrir espaço para também se estudar os fenômenos com dados imprecisos ou subjetivos que aparecem com bastante frequência em problemas que envolvem a tomada de decisão;
(3) No âmbito das ciências têm emergido novas tendências de pesquisa, como a Teoria do Caos1, a Nanotecnologia2, a Lógica Fuzzy, entre outras. A Lógica Fuzzy por ser
1Edward Lorenz (1917-2008), na década de 1970, concebeu o modelo da teoria do caos.
nova, útil e relativamente fácil de ser aprendida (em seus conceitos introdutórios), deveria, a nosso ver, vir a ser ensinada pelo futuro professor de matemática para auxiliar seus alunos na solução de problemas nas mais diversas áreas, inclusive aquelas onde os dados disponíveis são imprecisos ou subjetivos.
Objetivos da pesquisa Geral:
Investigar as possíveis contribuições e apontar alternativas metodológicas para o trabalho de sala de aula, com Licenciandos em Matemática, por meio de problemas reais, imprecisos e não rigorosamente definidos, a serem modelados e solucionados, aproximadamente e satisfatoriamente, utilizando-se da Lógica Fuzzy.
Objetivos Específicos
• Elaborar sequências de atividades didáticas, baseadas na Lógica Fuzzy, que
busquem apresentar, modelar e solucionar problemas imprecisos e não rigorosamente definidos;
• Identificar nos participantes da pesquisa o possível "grau de mudança" observado
em seus raciocínios matemáticos na busca das soluções dos problemas propostos;
• Analisar o papel desempenhado pela Lógica Fuzzy, em especial a álgebra dos
números fuzzy e base de regras de variáveis linguísticas, nos processos de modelação e resolução dos problemas a serem aqui propostos.
A pesquisa busca investigar as possibilidades e apontar alternativas para se trabalhar em sala de aula com Licenciandos em Matemática, por meio de problemas reais, imprecisos e não rigorosamente definidos, modelados e solucionados, aproximadamente e satisfatoriamente, utilizando-se da Lógica Fuzzy.
Este artigo tratará de resultados preliminares, analisados até o momento, e que cumprem parte do objetivo.
2Richard Phillips Feynman é considerado o pai da Nanotecnologia, e apresentou suas ideias em
Revisão da Literatura
Considerações sobre Lógica e Incerteza
Filósofos e pesquisadores, desde a Grécia Antiga, sempre estiveram preocupados com questões relacionadas a incertezas e a busca pela verdade (BARROS; BASSANEZI, 2010). Os sofistas eram céticos “em relação a qualquer tipo de conhecimento absoluto, objetivo” (p. 8). Pregavam não existe verdade absoluta, e acreditavam que as coisas dependem de que quem emite juízo a respeito delas, ou seja, tudo é relativo e vinculado aos sentidos.
Além dos sofistas, para os quais a busca não era pela verdade, mas pelo melhor, e Platão e Aristóteles, que acreditavam em caminhos diferentes na busca pela verdade, muitos outros pensadores e estudiosos estiveram, ao longo do tempo, debatendo questões relacionadas à certeza e à incerteza, à objetividade e à subjetividade, à precisão e imprecisão.
Para Villela, por exemplo, a subjetividade é tudo o que é pessoal, individual. É o que pertence apenas a certo individuo e que, por isso, torna-se uma característica do mesmo, inacessível e impossível de ser compartilhada3
. As qualidades subjetivas são aquelas atribuídas aos objetos, ou seja, dependem de cada indivíduo, como: quente, frio, belo, feio.
As questões relacionadas à objetividade e à subjetividade, certeza e incerteza ainda geram muitos debates, mas não é objetivo desta pesquisa o aprofundamento do estudo teórico relacionado a esses conceitos. É, antes, refletir sobre a necessidade de se considerar, no que se refere ao ensino de matemática, além de conteúdos e aplicações embasadas na lógica clássica e na matemática determinística, na inclusão de uma matemática que possa contemplar situações e problemas da realidade e do cotidiano das pessoas ou que possa auxiliar na resolução de problemas não claramente definidos ou de solução não exata. Segundo o que apresenta Waddington (1979), quando são enfatizados o caráter de processo e a importância das relações entre as coisas, as fronteiras devem parecer indefinidas, pois “nada pode existir totalmente por si, sem qualquer relação com qualquer outra coisa” (p. 22). Contudo, o autor observa que a lógica clássica (bem como
3
grande parte da Matemática que deriva desta lógica) baseia-se em entidades claramente definidas, ou seja, de contornos nítidos. Nas palavras de Waddington:
[...] a Lógica clássica, e grande parte da Matemática dela derivada, baseia-se na consideração de entidades claramente definidas, que, por assim dizer, definem contornos nítidos. Atualmente alguns tentam desenvolver uma Matemática de entidades imprecisas (“fuzzy” – de contornos esbatidos), com vistas ás ideias heraclitianas de processo, opostas às leis democritianas, atomísticas. Daí vem uma lógica, e, talvez, mais prático, um sistema de programação de computadores, que trata de noções que não podem ser precisamente definidas (WADDINGTON, 1979, p. 22).
Barros e Bassanezi (2010, p. 10) apresentam, por meio de um exemplo simples, o que chamam de uma aproximação entre as ideias dos sofistas e de Platão-Aristóteles: a proposta de encontro entre duas pessoas às quatro horas. Esta é uma situação comum do cotidiano. Segundo os autores, para marcar esse encontro, as pessoas envolvidas necessitam tanto das verdades abstratas de Platão-Aristóteles quanto dos padrões de melhor dos sofistas. Nesse caso, o conceito “quatro horas” indica uma medida necessária para possibilitar a realização do evento. Os autores apontam que não é possível a sincronização de todos os relógios, e por isso não é possível chegar no horário marcado com precisão de horas, minutos, segundos etc., o que demanda a necessidade de uma aproximação (sofistas). Assim, para os autores, pode-se perceber que a incerteza está presente no mundo sensível.
Para Demo (2000), na perspectiva da discussão pós-moderna do conhecimento, há uma tendência em se reconhecer, por um lado, que a realidade em si é imprecisa, e por outro que a mente capta o complexo pela via da simplificação. O autor aponta que há, então, certa incongruência entre o pensamento e o que é pensado.
Segundo o que apresenta Demo (2000), como a realidade é imprecisa, para conseguir interpretá-la tenta-se encará-la com precisão, ou seja, “procura-se catar referências de ordem” (p.16), buscando perceber o que se repete.
Ainda segundo Demo (2000, p. 9), “no tempo do racionalismo, tinha-se certeza da certeza, tanto que se prometia vencer a incerteza através do método científico e o da racionalidade”. Com o passar do tempo isso não pode ser sustentado, e hoje se tem a certeza da incerteza. Para o autor, a incerteza é incômoda, e nos amparamos na ciência para fugir dela, “mas não nos tornamos mais certos produzindo certeza” (DEMO, 2009, p. 9). Na visão do autor, é preciso conviver com a incerteza de modo inteligente, ser autocrítico e duvidar do próprio conhecimento para que este possa se tornar científico.
Quando se olha para dentro da lógica, percebe-se que ela mesma não traz certezas absolutas, pois é incapaz de se livrar dos próprios postulados (DEMO, 2000). Então, é preciso aprender a conviver com a incerteza e ver que ela pode proporcionar coisas importantes como, por exemplo, o desenvolvimento da criatividade. Segundo Demo (2000), ser criativo só é possível em ambiente de incerteza, pois para criar é preciso correr riscos, confrontar-se com a incerteza e o desconhecido, e as certezas nos fazem ficar estanques (DEMO, 2000, p.10).
Fazer da incerteza nosso trunfo, possivelmente, torna a vida menos rotineira. Viver perigosamente ainda é o que nos motiva, mesmo que a sociedade prefira sempre a mediocridade, porque é certa (DEMO, 2000, p. 11).
Para esse autor, a incerteza presente na ambivalência metodológica pode favorecer o desenvolvimento de estratégias mais criativas de aprendizagem, bem como auxiliar na reconstrução do próprio pensamento.
A incerteza e a subjetividade estão presentes em muitas situações da realidade, e tem sido um desafio superar as dificuldades que surgem quando se percebe que o raciocínio matemático decorrente da lógica clássica, que usualmente é utilizado na solução de problemas, nem sempre fornece respostas.
Entre os conhecimentos que buscam superar as incertezas, estão Estatística e a Probabilidade, que têm sido utilizadas com sucesso. Porém, há casos em que necessita de amostras muito grandes, difíceis de ser obtidas, ou insuficientes e esses tratamentos não podem ser utilizados.
situações do nosso cotidiano, de tudo que nos cerca? Há que se considera-los como situações normais da vida real e olhar com bons olhos os novos estudos que têm oportunizado o desenvolvimento de ferramentas capazes de auxiliar no tratamento dessas incertezas, como, por exemplo, a Lógica Fuzzy. Esta tem demonstrado ser bastante eficaz na resolução de situações e problemas incertos, incompletos ou não totalmente definidos, como é de fato - e naturalmente - a nossa realidade.
Considerações sobre Modelagem Matemática
Ainda hoje a matemática é vista por muitas pessoas como uma forma privilegiada de conhecimento, a qual somente algumas pessoas conseguem realmente aprender. Porém, deve-se considerar que as pessoas possuem maior ou menor habilidade para cada área de conhecimento, e por este motivo precisamos considerar as diferenças individuais. Segundo D’Ambrósio (1986), podemos direcionar o ensino da matemática para conteúdos mais acessíveis, para que fique ao alcance da maioria dos alunos, diminuindo a formalidade e rigorosidade de sua estrutura, evitando, assim, que as possibilidades de aplicações sejam levadas a um nível muito elevado. É preciso que se reflita sobre a metodologia de ensino para que o conhecimento possa ser mais atraente e interessante, ou seja, é necessário “despertar no estudante curiosidade e espírito inquisitivo que, aliado a algum gosto pelo assunto, o motivará a procurar tratamento mais aprofundado e mais rigoroso”. (D’AMBRÓSIO, 1986, p 23).
Na busca por ferramentas que possam auxiliar o professor na melhoria da sua prática docente, muitos autores defendem a utilização da modelagem matemática como uma alternativa onde o professor exerce o papel de mediador entre o conhecimento e o aluno e o conhecimento já estabelecido (BURAK, 1995).
Modelagem matemática é definida por Barbosa (2001) como uma oportunidade para os alunos indagarem situações por meio da matemática sem procedimentos fixados previamente e com possibilidades diversas de encaminhamento.
científico de pesquisa quanto uma estratégia de ensino e aprendizagem, e tem demonstrado ser muito uma ferramenta muito eficaz.
É necessário considerar que a modelagem é um processo dinâmico que “é eficiente a partir do momento que nos conscientizamos que estamos sempre trabalhando com aproximações da realidade” (BASSANEZI, 2004, p. 21). Para o autor, este método tem por objetivo estimular alunos e professores a desenvolverem suas próprias habilidades como modeladores, e pode ser aplicado em diversas situações do ensino Contudo, seu uso tem restrições e “é adequado somente se de fato contribuir para o desenvolvimento e compreensão do fenômeno analisado” (BASSANEZI, 2004, p. 21, p.25).
Barbosa (2003, p 4), aponta que:
[...] se estamos interessados em educar matematicamente os nossos alunos para agir na sociedade e exercer a cidadania - e esse é objetivo da educação básica -, podemos tomar as atividades de Modelagem como uma forma de desafiar a ideologia da certeza e colocar lentes críticas sobre as aplicações da matemática.
Para Bassanezi (2004), a modelagem matemática contempla as seguintes etapas: experimentação, que é a atividade onde se processa a obtenção de dados; a abstração, que é o procedimento que deve levar à formulação dos modelos matemáticos e contempla a seleção das variáveis, a problematização, a formulação de hipóteses e a simplificação; a resolução, onde a linguagem natural das hipóteses é substituída por uma linguagem matemática coerente; validação, etapa em que os modelos e hipóteses devem ser testados em confronto com os dados empíricos para decidir pela aceitação ou não do modelo proposto; a modificação, quando as soluções não conduzem às previsões corretas e definitivas, podendo provocar a rejeição dos modelos e pode ser necessária a reformulação. Segundo o autor, para que se aprofunde a teoria é necessária a reformulação dos modelos, que não podem ser considerados definitivos, ou seja, sempre podem ser melhorados. O bom modelo é aquele que propicia a formulação de novos modelos (p. 31), o que é fundamental no processo de modelagem.
o ensino de Matemática” (BURAK, 2005, p.2). Desde então, a modelagem matemática tem sido cada vez mais considerada como uma importante ferramenta na busca por um ensino melhor.
Na maioria dos modelos ligados a fenômenos biológicos, as informações são subjetivas ou parciais. É comum, também, não se ter bem definidas nem as condições iniciais, nem os parâmetros. Nestes casos, a lógica fuzzy pode auxiliar a desenvolver modelos e obter soluções bastante aproximadas a problemas para os quais a matemática clássica não tem solução, ou se torna muito difícil.
Considerações sobre a Lógica Fuzzy
A seguir são apresentados alguns dos conceitos trabalhados com os participantes dessa pesquisa, relacionados aos subconjuntos e números fuzzy, baseados em: Barros e Bassanezi (2010), Oliveira Junior (1999), Simões e Shaw (2007).
Pela lógica clássica, dados um conjunto U e um subconjunto A de U, um dado elemento x pertence ou não pertence ao conjunto A. Se o elemento pertence ao conjunto, a função característica deste elemento vale um, caso contrário, é nula.
Definição 1: Seja U um conjunto (clássico) e A um subconjunto de U. A função característica de A, representada por μ: U → ሼ0, 1ሽ, é representada por:
μሺxሻ = ቄ 1 se x ϵ A 0 se x ∉ A , para todo x ∈ ℝ.
A função característica indica, então, quais os elementos de U são elementos também do conjunto A (subconjunto de U).
Porém, há casos em que não se consegue definir precisamente se um elemento pertence ou não a um conjunto.
Definição 2: Seja U um conjunto (clássico); um subconjunto fuzzy F de U é caracterizado por uma função:
φ: U → ሾ0,1ሿ, ou seja, φሺxሻ ∈ ሾ0,1ሿ
F = ൛൫x, φሺxሻ൯, com x ∈ Uൟ⊂ U × ℝ
Assim, φሺxሻ = 0 e φሺxሻ = 1 indicam a não pertinência e a pertinência completa do elemento x ao conjunto F.
Como o contradomínio da função característica do conjunto clássico é o conjunto ሼ0,1ሽ, pode-se considerar que este é um caso particular de um subconjunto fuzzy, que tem função de pertinência no intervalo ሾ0,1ሿ.
Definição 3: Seja F um subconjunto fuzzy de U. O suporte de um conjunto fuzzy F é definido por:
supp F = ሼx ϵ U:φሺxሻ > 0ሽ
Definição 4: Sejam A e B subconjuntos fuzzy de U, e sejam φሺxሻ e φሺxሻ as funções de pertinência de A e B, respectivamente. Os subconjuntos A e B são iguais se suas funções de pertinência coincidem. Ou seja:
φሺxሻ = φሺxሻ, ∀ x ∈ U
Definição 5: Dados dois subconjuntos fuzzy A e B de U. Dizemos que A está contido em B (escrevemos A ⊂ B) se φሺxሻ ≤ φሺxሻ, ∀ x ∈ U, onde φሺxሻ e φሺxሻ são os valores das
funções de pertinência de x em A e B respectivamente.
Definição 6: Dados dois subconjuntos fuzzy A e B de U. A união de A e B é o subconjunto fuzzy de U cuja função de pertinência é dada por:
φ∪ሺxሻ = maxሼφሺxሻ, φሺxሻሽ,x ∈ U
Na Figura 1 é apresentado um exemplo de da união de dois subconjuntos fuzzy A e Bde U, a união de A com B é dada por (Figura 1):
Figura 1: Soma de subconjuntos fuzzy
0 U pertinência 0,8 0,4 0,2 0,6 1,0
10 20 30
5 15 25 35
0 U pertinência 0,8 0,4 0,2 0,6 1,0
10 20 30
5 15 25 35
) ( ) (x Bx
Definição 7: Dados dois subconjuntos fuzzy A e B de U. A interseção de A e B é o subconjunto fuzzy de U cuja função de pertinência é dada por:
φ∩ሺxሻ = minሼφሺxሻ, φሺxሻሽ, x ∈ U
Dado um subconjunto fuzzy Ade U, pode-se dizer que um o elemento x de Uestá em uma determinada classe se seu grau de pertinência é maior que um determinado valor ou nível α ∈ ሾ0, 1ሿ. O conjunto clássico desses elementos é um α-nível de A, representado por ሾAሿ∝.
Definição 8: Seja ∝ ∈ ሾ0,1ሿ e A um subconjunto fuzzy de U. O α-nível de A é o subconjunto clássico de U definido por:
ሾAሿ∝ = ሼx ∈ U: φሺxሻ ≥ αሽ, para 0 <∝≤ 1.
Quando ∝= 0 tem-se o menor subconjunto (clássico) fechado de U que contém o conjunto suporte de A, ou seja:ሾAሿ= suppതതതതതതA.
Sejam A e B subconjuntos fuzzy de U. Uma condição necessária e suficiente para que A = B é que ሾAሿ= ሾBሿ, para todo ∝ ∈ ሾ0, 1ሿ.
Definição 9: Um subconjunto fuzzy A é denominado número fuzzy quando o conjunto universo no qual a função de pertinência φ está definida é o conjunto dos números reais e satisfaz as condições (BARROS e BASSANEZI, 2010, p. 43):
Todos os α-níveis de A são não vazios, com 0 ≤ ∝ ≤ 1; Todos os α-níveis de A são intervalos fechados de ℝ; O supp A = ሼx ϵ ℝ:φ ሺxሻ > 0ሽ é limitado.
Os α-níveis de A são denotados por ሾaଵ ∝, a∝ଶሿ, Ou seja, ሾAሿ∝ = ሾaଵ∝, aଶ∝ሿ.
Existem diversas formas de representar os números fuzzy. Os mais comuns são os triangulares, os trapezoidais e os que possuem a forma de sino. Os números fuzzy triangulares podem ser simétricos ou não simétricos.
Na Figura 2 estão representados alguns exemplos de números fuzzy: A (triangular simétrico), B (triangular não simétrico), C (trapezoidal) e D (em forma de sino).
Definição 10: Um número fuzzy é dito triangular se sua função de pertinência é da forma:
φሺxሻ =
ە ۖ ۔ ۖ
ۓx − a0, se x ≤ a u − a , se a < ݔ ≤ ݑ x − b
u − b , se u < ݔ ≤ ܾ 0, se x ≥ b
Os números fuzzy triangulares são os mais simples para se trabalhar, especialmente os simétricos.
Segundo Barros e Bassanezi (2010), as operações aritméticas com números fuzzy estão relacionadas com as operações intervalares.
Considere-se um número real λ os intervalos fechados A e B da reta, sendo A = ሾaଵ, aଶሿ e B = ሾbଵ, bଶሿ.
Definição 11: A soma entre os intervalos A e B é dada por: A + B = ሾaଵ+ bଵ, aଶ+ bଶሿ
Definição 12: A diferença entre os intervalos A e B é dada por: A − B = ሾaଵ− bଶ, aଶ− bଵሿ
Definição 13: A multiplicação de A por um escalar λ é dada por:
λA = ൜ሾλaଵ, λaଶሿse λ ≥ 0
ሾλaଵ, λaଶሿse λ < 0
Definição 14: A multiplicação de A por B é dada por:
A. B = ሾmin P , max Pሿ , onde: P = ൛aଵbଵ, aଵbଶ,aଶbଵ , aଶbଶൟ Definição 15: A divisão de A por B, se 0 ∉ B, é dada por:
A/B = ሾaଵ, aଶሿ. b1 ଵ,
1 bଶ൨
Os α-níveis do conjunto crisp A+B, com função característica χሺାሻ, são dados
por:
ሾA + Bሿ= A + B , para todo α ∈ ሾ0, 1ሿ
0 R
pertinência
1
2 8 14 0
R
pertinência
1
2 7 12 0
R
pertinência
1
2 4 12 0
R
pertinência
1
2 6 10 14
As operações aritméticas para números fuzzy são “casos particulares em que as funções a serem estendidas são as operações tradicionais para números reais” (BARROS, BASSANEZI, 2010, p. 50).
Metodologia da pesquisa
Para a realização desta pesquisa, optou-se pela abordagem qualitativa, na qual o pesquisador está presente no ambiente investigado e tem melhor oportunidade de entender os problemas a que se propõe resolver. Nessa abordagem, os dados podem ser analisados qualitativamente, e não só o resultado é considerado, mas principalmente o processo (BOGDAN, BIKLEN, 1994).
A investigação foi feita junto a turmas do terceiro e quarto anos do curso de Licenciatura em Matemática (noite) da Universidade Estadual do Centro-Oeste (UNICENTRO), Campus CEDETEG, em Guarapuava-PR, durante as aulas das disciplinas de Modelagem Matemática na Educação Matemática e Tópicos em Educação Matemática, que, por possuírem ementa aberta, puderam ser disponibilizadas para o trabalho da pesquisadora.
Foram trabalhadas aproximadamente 24 aulas com dada turma, com um total de 17 alunos. As aulas foram gravadas e transcritas e foi coletado o material escrito pelos alunos durante a investigação. A análise dos dados está sendo feita por meio da Análise de Discurso segundo: Orlandi (2008; 2012); Brandão (2004); Possenti (2001).
Foi solicitado aos participantes que adotassem um código ou apelido em cada material onde constaria seu registro escrito, para que suas identidades não fossem divulgadas, bem como para evitar constrangimento no momento da entrega do material.
Para facilitar a análise, foi feita uma correspondência do código adotado por cada aluno aos números de A1 a A8 (alunos do terceiro ano) e B1 a B9 (alunos do quarto ano) e a pesquisadora foi denominada P.
T1: Sem resposta ou inconclusiva - quando o aluno não responde, nem apresenta um raciocínio resolutivo ao problema proposto;
T2: Clássica - quando a resposta ou raciocínio resolutivo apresentado pelo aluno utiliza apenas argumentos da lógica clássica;
T3: Clássica-Fuzzy - quando a resposta ou raciocínio resolutivo apresentado pelo aluno tem ênfase na lógica clássica, embora também apresente indícios de raciocínio subjetivo (o grau de pertinência dos argumentos clássicos é maior que aquele dos argumentos subjetivos);
T4: Pré-fuzzy - quando a resposta ou raciocínio resolutivo apresentado pelo aluno tem ênfase na lógica fuzzy, embora também apresente indícios de raciocínio clássico (o grau de pertinência dos argumentos fuzzy é maior que aquele dos argumentos clássicos);
T5: Fuzzy - quando a resposta ou raciocínio resolutivo apresentado pelo aluno utiliza-se apenas de argumentos da lógica fuzzy.
Observe-se que as categorias propostas buscam traçar um "caminhar", um "movimento", entre as possíveis respostas ou raciocínio resolutivo desde o nível "Sem resposta" até o nível "Fuzzy".
Análise dos dados
A resolução de problemas matemáticos, imprecisos e subjetivos, e o raciocínio utilizado pelos alunos na resolução desses problemas permearam todo o processo de investigação.
Com a definição dessas categorias, buscou-se identificar as possíveis "mudanças" na forma de raciocinar e solucionar problemas dos alunos envolvidos no trabalho, bem como estabelecer o papel desempenhado pela Lógica Fuzzy, em especial o da álgebra dos números fuzzy e o da base de regras de variáveis linguísticas, nestes processos.
Para a análise dos dados coletados, à luz da AD, primeiramente foram classificadas as respostas emitidas pelos alunos aos dez problemas propostos (cinco iniciais e cinco finais) segundo as categorias definidas. Os quadros 1 e 2 mostram o resultado desta classificação.
ATIVIDADE 1 2 3 4 5
ALUNO INÍCIO FINAL INÍCIO FINAL INÍCIO FINAL INÍCIO FINAL INÍCIO FINAL
A1 T2 T4 T3 T4 T2 T4 T2 T5 T2 T4
A2 T3 T3 T3 T2 T2 T3 T2 T3 T2 T3
A3 T2 T3 T3 T3 T2 T2 T2 T4 T2 T4
A4 T2 T3 T2 T3 T2 T3 T2 T2 T2 T3
A5 T2 T3 T2 T2 T2 T3 T2 T3 T2 T1
A6 T2 T4 T3 T4 T2 T3 T2 T3 T2 T3
A7 T3 T3 T2 T2 T2 T2 T2 T3 T2 T5
A8 - T2 - T2 - T2 - T2 - T2
Fonte: Autora
Quadro 2 – Respostas dos alunos do quarto ano
ATIVIDADE 1 2 3 4 5
ALUNO INÍCIO FINAL INÍCIO FINAL INÍCIO FINAL INÍCIO FINAL INÍCIO FINAL
B1 T2 T4 T3 T3 T2 T3 T3 T1 T5 T3
B2 T3 T4 T3 T4 T3 T4 T3 T3 T2 T4
B3 T2 T3 T3 T3 T3 T4 T2 T3 T3 T3
B4 T3 T4 T3 T4 T2 T3 T2 T2 T3 T3
B5 T2 T4 T3 T4 T3 T4 T3 T3 T3 T4
B6 T2 T4 T2 T5 T3 T3 T4 T4 T3 T5
B7 T2 T4 T3 T4 T2 T3 T2 T3 T2 T4
B8 T2 T4 T3 T5 T2 T4 T2 T4 T3 T4
B9 T2 T4 T3 T4 T2 T3 T3 T4 T3 T4
Fonte: Autora
Buscando exemplificar e, ao mesmo tempo, justificar, por meio da AD, a categorização procedida com as respostas aos problemas de pesquisa, são apresentadas a seguir as partes essenciais de discursos apresentados pelos participantes, em relação a dois dos cinco problemas iniciais e dos cinco finais, os quais foram classificados como característicos das categorias T1 a T5. O primeiro problema proposto aos alunos, no primeiro encontro de pesquisa, foi:
"Em muitas estradas do Brasil o limite de velocidade é de 110 Km/h. Os motoristas são multados se forem flagrados ultrapassando esta velocidade. Considerando que a infração por ultrapassar esse limite pudesse ser classificada em pouco grave, grave e muito grave, que valores, em sua opinião, corresponderiam à velocidade para cada tipo de infração? Justifique.".
O aluno B8 respondeu a esse problema da seguinte maneira:
"120 pouco grave; 121-130 grave; acima de 130 muito grave.".
por diante. Ou seja, para essa pesquisadora, a resposta caracteriza-se inteiramente com a de um discurso legalista e exato de infrações de trânsito. Desta forma, esse discurso foi categorizado como “T2: Clássica - quando a resposta ou raciocínio resolutivo apresentado pelo aluno utiliza apenas argumentos da lógica clássica".
O segundo problema proposto aos alunos, no primeiro encontro de pesquisa, foi: "Maringá e Guarapuava são duas cidades do Paraná. Maringá é considerada cidade de clima quente, e Guarapuava tem fama de cidade onde faz muito frio. Como, em sua opinião, os moradores de Maringá classificariam um dia quente, frio e neutro? E os habitantes de Guarapuava? Justifique.".
O aluno B3 respondeu a esse problema da seguinte maneira:
"Em minha opinião temperaturas abaixo de 12º C seriam frias e um dia neutro seria entre 12 e 20º C, pois os guarapuavanos estão acostumados com temperaturas mais amenas o que já não ocorre com os Maringaenses.".
A resposta do aluno B3 ao problema caracteriza-se como a um cidadão guarapuavano em relação ao clima de sua cidade. Mostra ainda que os sentidos mobilizados pelos guarapuavanos serão diferentes daqueles mobilizados pelos maringaenses ao responderem problemas relacionados às condições climáticas. Em outras palavras, para a pesquisadora, o aluno condiciona sua resposta às "experiências prévias" do respondente sobre as temperaturas habituais de sua cidade. Portanto, para a pesquisadora a resposta do aluno é "clássica" quando fixa valores exatos para o que considera "dia frio ou neutro" e é "fuzzy" quando utiliza argumentos subjetivos como: "experiências prévias" para responder ao problema. Desta forma, a resposta foi categorizada como "T3: Clássica-Fuzzy - quando a resposta ou raciocínio resolutivo apresentado pelo aluno tem ênfase na lógica clássica, embora também apresente indícios de raciocínio subjetivo (o grau de pertinência dos argumentos clássicos é maior que aquele dos argumentos subjetivos).".
A seguir são apresentadas as respostas emitidas por dois alunos em relação aos mesmos problemas, mas durante as atividades finais, ou seja, após a introdução "da álgebra dos números fuzzy e da base de regras de variáveis linguísticas" aos alunos.
O aluno A6 respondeu o primeiro problema, ao final da investigação, da seguinte maneira:
ele estivesse com velocidade de 115 km/h seria mais grave do que 114 km/h. Na lógica fuzzy 115 km/h teria um grau de pertinência maior do que em 114 km/h.”.
Embora a resposta apresentada pelo aluno ao problema tenha estabelecido limites numéricos para os três tipos de infrações, ela foi categorizada como "T4: Pré-fuzzy" devido ao fato do aluno utilizar-se do argumento de que o valor de 115 km/h é “mais grave” do que a velocidade de 114 km/h, remetendo assim a um raciocínio fuzzy, ou seja, o grau de pertinência dos argumentos fuzzy, na análise desta pesquisadora, é mais relevante que aquele dos argumentos clássicos utilizados.
O aluno B6 respondeu o segundo problema, ao final da pesquisa, da seguinte forma:
"[...] o problema não possui uma única solução, e sim diversas, em virtude dos avaliadores serem dos mais distintos locais, e com a sensação térmica também diferente um do outro". Acrescenta ainda:
"Este é um problema propício para iniciar a ideia da lógica Fuzzy com os alunos, pois seria possível e fácil verificar se algum aluno levaria em consideração QUEM estaria classificando o dia pelo clima.".
Analisando a resposta apresentada por B6 à luz da AD e dos conceitos básicos da Lógica Fuzzy, deve-se observar que ambas as teorias levam em consideração a formação discursiva dos solucionadores dos problemas e às condições de produção destas soluções. Ou seja, na perspectiva da Lógica Fuzzy, a resposta a um problema depende da “base de regra” utilizada pelo indivíduo que o está respondendo, assim como na AD considera-se a formação discursiva do indivíduo e as condições estabelecidas para a produção de seu discurso. Logo, o discurso de B6 provém da posição e da opinião de um sujeito guarapuavano sobre o clima de sua cidade, o qual não deve se manifestar a respeito do clima de Maringá, assim como o contrário também não deve ocorrer. Portanto, na opinião desta pesquisadora, a resposta apresentada por B6 deve ser categorizada como "T5: Fuzzy - quando a resposta ou raciocínio resolutivo apresentado pelo aluno utiliza-se apenas de argumentos da lógica fuzzy.".
A análise das demais respostas dos participantes foram feitas de modo similar, tendo por base a Análise de Discurso, e desta forma foram obtidos os dados para o preenchimento dos Quadros 1 e 2 apresentados anteriormente.
Os resultados da primeira fase de análise das respostas dos participantes da pesquisa mostram um significativo movimento dos alunos em direção ao raciocínio fuzzy após o contato com a matemática proveniente da Lógica Fuzzy. Cabe salientar que houve casos em que o movimento foi nulo e até na direção contrária ao raciocínio fuzzy, o que é compreensível tendo em vista que este é uma maneira não trivial de raciocinar quando são resolvidos problemas na escola. Para a segunda fase de análise dos dados será exemplificada e justificada a formação de três grupos de alunos, entre os participantes da pesquisa, caracterizados pelas "mudanças" observadas em suas formas de raciocinar e solucionar problemas matemáticos, estas categorizadas de T1 a T5. Os grupos de alunos a serem formados são:
• Grupo 1 – Alunos influenciados pela Lógica Fuzzy durante a pesquisa;
• Grupo 2 – Alunos pouco influenciados pela Lógica Fuzzy durante a pesquisa;
• Grupo 3 – Alunos não influenciados pela Lógica Fuzzy durante a pesquisa.
Os resultados referentes à segunda fase serão apresentados oportunamente.
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