Sobre la conjetura de Hodge en variedades teoricas simplécticas

Texto completo

(1)Sobre La Conjetura de Hodge en Variedades Tóricas Simplécticas por. Germán Andrés Combariza Gonzalez. Una tesis presentada al departamento de Matemáticas como parte de los requisitos para el grado de Magister en Matemáticas. Director: Doctor Andrés Rodríguez. Universidad de los Andes Bogotá, Colombia Julio, 2005.

(2) Índice general 1. Introducción. i. 2. Variedades Algebraicas. 1. 2.1.. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 2.2.. Variedades Tóricas Asociadas a Semigrupos. . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 2.3.. Clasicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.4.. Hélices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.5.. Variedades Tóricas Asociadas a Hélices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 3. Variedades Simplécticas. 12. 3.1.. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 3.2.. Variedades Tóricas Simplécticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 3.3.. Clasicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 3.4.. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 3.5.. Variedades Simplécticas vs Variedades Algebraicas. 25. . . . . . . . . . . . .. 4. Teoría de Morse. 29. 4.1.. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 4.2.. Homología de Morse y El Teorema de Morse-Smale . . . . . . . . . . . .. 31. 4.3.. Homología de las Variedades Tóricas Simplécticas . . . . . . . . . . . . .. 33. Bibliografía. 38.

(3) Capítulo 1. Introducción Este trabajo se escribe como una Tesis para el grado de Maestría en Matemáticas en la Universidad de los Andes en Bogotá-Colombia. El objetivo de estas notas es dar una rápida introducción a las variedades tóricas desde dos puntos de vista: algebraico y simpléctico. El segundo y tercer capítulo está basado en el trabajo de Ana Cannas da Silva [An]. En el segundo capítulo se dene que es una variedad tórica algebraica y se clasican todas las variedades tóricas normales por medio de. hélices.. En el tercer capítulo se da. una breve introducción de variedades simplécticas, y se denen y clasican todas las variedades tóricas simplécticas por medio de su. politopo de momento.. El tercer capítulo está basado en el artículo [Sa]. Se denen los conceptos básicos de Teoría de Morse, y las variedades inestables y estables para puntos críticos, las cuales permiten calcular la homología de una variedad diferencial. Por ultimo se muestra que estas variedades en el caso de una variedad tórica simpléctica corresponde a subvariedades tóricas, y como consecuencia se tiene que la homología está generada por estas, lo que corresponde a la Conjetura de Hodge en este caso..

(4) Capítulo 2. Variedades Algebraicas 2.1. Deniciones Denición 2.1.1. El toro algebraico n-dimensional es el grupo de Lie de los números complejos (C∗ )n bajo la multiplicación. El retículo de alturas de (C∗ )n es el retículo Zn . A cada elemento del retículo de alturas. Zn. le asociamos un morsmo de grupos:. λ = (λ1 , · · · , λn ) ∈ Zn −→ λ : (C∗ )n → C∗ w = (w1 , · · · , wn ) 7→ wλ = w1λ1 · · · wnλn Una acción de un toro algebraico de grupos. ψ:. (C∗ )n. (C∗ )n. sobre una variedad algebraica. X. es un morsmo. → Isom(X).. Denición 2.1.2. Una variedad tórica es una variedad1 X junto con una acción de un toro algebraico que tiene una órbita densa abierta. Dos variedades tóricas se dicen equivalentes si existe un isomorsmo equivariante entre estas. Ejemplos: Sea. A = {λ(1) , · · · , λ(k) } un subconjunto nito de Zn . Considere la acción de (C∗ )n. sobre. Pk−1. asociada a. A. denida por: (1). (k). w.[z1 : · · · : zk ] := [wλ z1 : · · · : wλ zk ], w ∈ (C∗ )n . Sea. XA. la clausura de la. (C∗ )n -órbita. del punto. [1 : · · · : 1].. Entonces. XA. es una. variedad tórica.. 1. A una variedad tórica generalmente se le exige normalidad, sin embargo la primera parte consideramos el caso más en general..

(5) 2.2. 2. A = {λ(1) , · · · , λ(k) }. Sea. k espacio C asociada a. A. un subconjunto nito de. Zn .. La acción de. (C∗ )n. sobre el. de dene por: (1). (k). w.(z1 , · · · , zk ) := (wλ z1 : · · · : wλ zk ), w ∈ (C∗ )n . YA. Sea. la clausura de la. (C∗ )n -órbita. del. (1, · · · , 1).. YA. Entonces. es una variedad. tórica.. 2.2. Variedades Tóricas Asociadas a Semigrupos Sea. S. un semigrupo conmutativo. El álgebra semigrupo. asociada a. C[S]. C-álgebra generada como espacio vectorial por los símbolos z σ , con. σ ∈ S, z. S,. es la. una inde-. terminada, y la regla de multiplicación denida por: 0. 0. z σ · z σ := z σ+σ . En particular si. S. está generada por el conjunto. σ está generada por el conjunto {z i. {σi : i ∈ I}. entonces la. C-álgebra C[S]. : i ∈ I}.. Ejemplos: Si. n S = (Z+ 0 ) entonces C[S] = C[z1 , · · · , zn ], note que el espectro maximal Specm C[S] '. Cn Si. es una variedad tórica.. S = Zn. entonces. C[S] = C[z1 , z1−1 , · · · , zn , zn−1 ],. note que. Specm C[S] ' (C∗ )n ,. es también una variedad tórica, de hecho se tiene el siguiente resultado.. Proposición 2.2.1. Sea S ⊂ Zn un semigrupo nitamente generado. Entonces el espectro maximal Specm C[S] es una variedad tórica afín. Demostración.. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que. grupo. Por tanto se tiene que la dimensión de pos. S ⊂. Zn induce una inclusión de. Specm C[S]. C-álgebras C[S] ⊂. es. n.. S. genera a. Zn. como. La inclusión de semigru-. C[Zn ], tomando sus espectros. maximales se tendría:. (C∗ )n ' Specm C[Z n ] ,→ Specm C[S]. Sea. O. la imagen de esta inclusión. El toro. w · z σ := wσ z σ , Esta acción de. (C∗ )n. sobre. C[S]. por dimensión, se tendría que clausura. O. actúa sobre. O '. C[S]. por:. w ∈ (C∗ )n , σ ∈ S. (C∗ )n. sobre Specm C[S]. Luego, ∗ n (C ) es una órbita densa abierta. Por tanto la. induce otra acción de. debe ser todo el espacio. Ejemplo:. (C∗ )n. Specm C[S]. y por tanto una variedad tórica..

(6) 2.4. 3. La Curva compleja en. C2. con ecuación. y k = xk+1 , (k = 1, 2, · · · ). es una variedad. ∗ tórica afín, con una C -acción dada por:. t · (x, y) = (tk x, tk+1 y). La variedad se obtiene como i.e. el generado por. Specm C[S] para S el semigrupo S = Z+ 0 \{1, 2, · · · , k},. {k, k + 1, · · · , 2k − 1}.. 2.3. Clasicación Teorema 2.3.1 (Clasicación de las Variedades Tóricas Anes). Cualquier variedad tórica afín es equivalente a una de la forma Specm C[S] para algún semigrupo nitamente generado S ⊂ Zn , (n ≥ 0). Demostración. Op = O. X. Sea. una variedad tórica afín con una acción de un toro. una órbita abierta densa para la acción,. p ∈ X.. (C∗ )n .. Sea. Se tiene una biyección. O → (C∗ )n /Stab(p) por tanto este cociente también se puede considerar como un toro. Considérese ahora la misma órbita. X. O. vista como un toro. se tiene una inmersión. (C∗ )n. C[X] ⊂ C[O] =. actuando sobre. invariante con respecto a la acción inducida de. (C∗ )n. sobre. una representación de un toro algebraico, el espacio de altura. 1-dimensionales,. luego el espacio total. X.. Por irreducibilidad de. C[Zn ]. Ahora, el subanillo. C[X] ⊂. (C∗ )n -. C[X] y sobre C[(C∗ )n ]. Como. C[X]. se descompone en espacios. los cuales están generados por monomios como. C[X]. es. C-álgebras,. también está generado por monomios, i.e. es una álgebra. semigrupo. En la construcción hecha en la sección 2.1 de la variedad. A=. {λ(1) , · · ·. subgrupo nitamente generado generado por. YA. a partir del conjunto. , λ(k) } y por el teorema anterior se tiene que S⊂. YA ' Specm C[S] para algún n Z . No es difícil mostrar que este semigrupo S está. A. De hecho, el anillo C[YA ] de funciones regulares sobre YA. está generado. n por las restricciones a YA del anillo de funciones sobre C . En efecto, como. YA. es la. clausura del conjunto (1). (k). {(z λ , · · · , z λ ) : z ∈ (C∗ )n } el anillo. Zn. C[YA ]. está generado por los monomios. (1). (k). zλ , · · · , zλ. , i.e. es el semigrupo en. generado por A.. 2.4. Hélices Denición 2.4.1. Un cono en Rn es un conjunto de la forma C = {a1 v1 + · · · + ar vr ∈ Rn : a1 , · · · , ar ≥ 0}.

(7) 2.4. 4. para algún número nito de vectores v1 , · · · , vr , llamados los generadores de C . El cono se dice racional si admite generadores en Zn . El cono se dice suave si admite generadores que formen parte de una Z-base de Zn . La dimensión de un cono es la dimensión del R-espacio vectorial más pequeño que lo contiene, esto es: dim(C + (−C)). El. dual de un cono C ⊂ Rn es un conjunto de la forma C ∗ = {f ∈ (Rn )∗ : f (x) ≥ 0, ∀x ∈ C}.. Un. hiperplano de Soporte para un cono C ⊂ Rn es un hiperplano de la forma Hf = {x ∈ Rn : f (x) = 0} C. Una cara de un cono. para. f ∈ C ∗ \ {0}.. es el mismo cono o la intersección de. C. con un hiperplano de. soporte. Una cara de un cono es ella misma un cono. El Teorema de Farkas [Fu] muestra que el dual de un cono racional es también racional. Note también que un cono solo puede tener nitas caras y la intersección de 2 caras es de nuevo una cara. Si. C. 0 es una cara de C. no contiene. entonces. C. se dice. R-espacios 1-dimensionales,. fuertemente convexo, esto sucede cuando i.e.. C ∩ (−C) = {0}.. ∗ conexo entonces su dual tiene dimensión n, esto es C. +. (−C ∗ ). =. C. Si. es fuertemente. (Rn )∗ .. Lema 2.4.1. Sea C un cono racional en Rn y sea C ∗ su dual, también racional. Entonces la Intersección SC := C ∗ ∩ (Zn )∗ es un semigrupo nitamente generado. Demostración.. Sean. v1 , · · · , vn ∈ (Zn )∗. compacto. generadores para. C ∗,. y considere el conjunto. r X K={ ti vi |0 ≤ ti ≤ 1}. i=1. Es claro que la intersección. v ∈ SC ,. entonces. v=. es nita. Mostraré que. K ∩ (Zn )∗. ri vi con ri ≥ 0. Sean mi ∈ Z, ti ∈ [0, 1] tales P P mi vi + ti vi , con ti vi y cada vi en K ∩ (Zn )∗ .. entonces. P. K ∩ (Zn )∗. P. v=. genera a que. SC . Sea. ri = mi + ti ,. Ejemplo 1.. Si. C. es el cono del primer octante en. Zn , el semigrupo SC. consiste de los elementos. n ∗ en (Z ) con coordenadas positivas, i.e. de nuevo el primer octante, y está generado por 2.. e∗1 , · · · , e∗n .. Para el cono trivial, (fuertemente convexo), es. SC =. 0 = {0} ⊂ Zn ,. (Zn )∗ el espacio total, y está generado por. el semigrupo asociado. e∗1 , −e∗1 , · · ·. , e∗n , −e∗n ..

(8) 2.4. 3.. 5. Si. C ⊂ Z2. e2. es el cono generado por. y. e1 − e2. O. C. e2. •??? ? e1 − e2 ??????. ??? ?? ?? ?? ??. su semigrupo asociado. •. SC. e∗1 + e∗2 •. •. •. •. •. •. •. •. •. e∗1 está generado por 4.. Si. C ⊂ Zn. e∗1 , e∗1 + e∗3 .. es el cono generado por. generado por. e∗1 , e∗1 + e∗2 ,. O. y. e2. y. 2e1 − e2 ,. su semigrupo asociado está. e∗1 + 2e∗2 .. C. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. SC. e2. •OOOO OO 2e1 − e2 OOOOO. OOO' OOO OOO OOO OOO. e∗1. +. 2e∗2 • e∗1. Corolario 2.4.2. Para un cono racional C ⊂ Rn , la variedad afín Specm C[SC ] es una variedad tórica. Demostración.. Se sigue de 2.4.1 y 2.2.1..

(9) 2.4. 6. Ejemplos: 1.. Si. C. es el cono denido por el primer octante de. Zn , el álgebra semigrupo asociada. es:. C[SC ] ' C[z1 , · · · , zn ]. Y su correspondiente variedad tórica:. Specm C[SC ] ' Cn . 2.. Para el cono trivial. C = {0} ∈ Zn. la. C-álgebra. es:. C[SC ] ' C[z1 , z1−1 , · · · , zn , zn−1 ] con variedad tórica asociada. Specm C[SC ] ' (C∗ )n . 3.. Para el cono. C ⊂ R2. generado por. e2. y. 2e1 − e2. el álgebra semigrupo es:. C[SC ] ' C[z1 , z1 z2 ] ' C[w1 , w2 ] con variedad tórica. Specm C[SC ] ' C2 . 4.. Si. C ⊂2. e2. es el cono generado por. y. 2e1 − e2. el álgebra de semigrupo es. C[SC ] ' C[z1 , z1 z2 , z1 z22 ] ' C[w1 , w2 , w3 ]/hw1 w3 − w22 i y su variedad tóricas es el cono. Specm C[SC ] ' {(w1 , w2 , w3 ) ∈ C3 : w1 w3 = w2 } Una inclusión de conos racionales. 0 ∗ duales (C ). ⊂. C ∗ y por tanto. C ⊂ C0. induce una inclusión (inversa) de sus. C[SC 0 ] es una subálgebra de C[SC ], de donde se tiene una. aplicación. Specm C[SC ] → Specm C[SC 0 ] en efecto, un morsmo de. C − lgebra C[SC ] → C. este caso un ideal maximal de. C[SC ],. está determinado por su núcleo, en. por tanto se tiene la siguiente biyección. Specm C[SC ] ←→ HomC−alg (C[SC ], C) \ {0} luego, por restricción de los morsmos de. C[SC ]. a. C[SC 0 ]. se tiene la aplicación deseada..

(10) 2.5. 7. Lema 2.4.3. Sean C y C 0 conos racionales. Si C es una cara de C 0 . Entonces la aplicación inducida Specm C[SC ] → Specm C[SC 0 ] es una aplicación abierta en la topología de Zarisky. En otras palabras Specm C[SC ] es un subconjunto abierto de Specm C[SC 0 ]. Demostración.. Si. C. C0. es una cara de. entonces existe. v ∈ SC 0 ,. tal que. SC = SC 0 + Z+ 0 (−v) por tanto todo elemento de. z σ−nv para algún. σ ∈ SC 0. C[SC ] puede escribirse como sumas de elementos de la forma. y. n ∈ Z+ 0,. coinciden en todos los elmentos de. z −nv ,. ahora, si dos morsmos de. C[SC 0 ],. C-álgebras: C[SC ] → C. también deben coincidir en los elementos. y asi la aplicación. Specm C[SC ] → Specm C[SC 0 ] es inyectiva. Ahora, para ver que abierta basta mostrar que la imagen de la aplicación consiste de aquellos maximales que no contienen a un morsmo de. g(z v ). Por otro lado, si. tendría que. En efecto, Si. g : C[SC 0 ] → C. C-álgebras con M = Ker(g), hay dos posibilidades. Si M. v elemento z entonces. g(z v )−1 .. zv .. 6= 0 y g. se puede levantar a todo. g(z v ) = 0, g. g(1) = g(z v ).g(z −v ) = 0. es. no contiene al. C[SC ] deniendo g(z −v ) :=. no se puede levantar a. C[SC ],. de lo contrario se. lo que lleva a una contradicción.. Denición 2.4.2. Una Hélice en Rn es una colección nita no vacía racionales fuertemente convexos tales que. F. de conos. 1. Cada cara de cada cono C ∈ F pertenece a F . 2. La intersección de dos conos de F es una cara de ambos. La hélice F se dice suave si todos sus conos son suaves. El soporte de F es la unión |F| de todos los conos de F . La hélice F es completa si |F| es el espacio completo.. 2.5. Variedades Tóricas Asociadas a Hélices Denición 2.5.1. La variedad Tórica XF asociada a la hélice F en Rn es el resultado de pegar las variedades tóricas anes XC := Specm C[SC ], para todo C ∈ F , identicando XC con el correspondiente abierto de zariski en XC 0 si C es una cara de C 0 . Cada carta afín. XC. tiene una acción de un toro natural denida en la prueba de. la proposición 2.2.1. Estas acciones son compatibles bajo las indicaciones dadas por las restricciones de las caras, por tanto, hay una acción bien denida sobre toda la variedad. XF . Más aún, trivial de. F,. XF. contiene una órbita densa abierta de. (C∗ )n. correspondiente al cono. pues por convexidad fuerte el cono cero es una cara de cada cono, su dual.

(11) 2.5. 8. el espacio total maximal. (Rn )∗ , su C-álgebra correspondiente C[z1 , z1−1 , · · · , zn , zn−1 ] y su espectro. (C∗ )n ,. y por el lema 2.4.3 su variedad es un subconjunto denso de cualquier. otro. La variedad. XF. es normal, pues la normalidad es una propiedad local y los anes lo. son. Se puede mostrar que la variedad. XF. es suave si y solo. F. XF. es compacta si y solo si. F. es completo y que. lo es. Como corolario de esta observación, del teorema 2.3.1. de clasicación de variedad anes y del teorema de clasicación de variedades tóricas normales 2.5.1 se tiene que las únicas variedades tóricas anes suaves son productos de la forma. (C∗ )p × Cq .. Además se tiene que si. F. es completo, entonces. ∗ n compacticación del toro (C ) .. Ejemplos: 1.. Considere la hélice. F. que consiste de los tres conos:. C1 = Z+ 0 {e1 }. C0 = {0}. C−1 = Z+ 0 {−e1 }. O e1. • −e1. Cada cono. 1-dimensional. representa la variedad afín. C.. • • e1 O. C1 e∗1. •O. •. •. •. •. −e1 C−1. S C1. −e∗1 • SC−1 • •. C[SC1 ] ' C[z]. C[SC−1 ] ' C[z]. XF. es una.

(12) 2.5. 9. Estas dos variedades anes se pegan por el cono. 0-dimensional. • e∗1 •O • C0. •. C[SC0 ] ' C[z]. −e∗1 • S C0 •. X C1. En. el subconjunto. mientras que en. 0}.. Pegamos. XC−1. X C1. y. X C0. el subconjunto. XC−1. 2.. Considere la hélice tres. F. 1-dimensionales. X C0. a lo largo de. como resultado la variedad. C∗z = {z ∈ C : z 6= 0},. corresponde al conjunto. corresponde a. X C0. C∗z −1 = {z −1 ∈ C : z −1 6=. usando la aplicación. z 7→ z −1 ,. esto da. X F ' P1 .. que consiste de los siguientes siete conos (tres y un cono. 2-dimensionales,. 0-dimensional). C2 ? ? ?O ? C1,2 ? ?? C0,2 ? ? ? ? ? ? ?/ ? o•ooo oooo o o o o ooooo o C0,1 o o o. C1. C0 Mostraremos que la variedad tórica. XF. corresponde a. P2 ,. de hecho cada cono. 2-. 2 dimensional corresponde a una carta afín C . Los duales de los conos 2-dimensionales se ven así:.

(13) 2.5. 10. SC0,1 •??? ?? ∗ ∗ ?? e1 − e∗2 −e2 ?? • •. e1. • o o/ o e0 ooooo oo o o o o o oo o C0,1 o o o. •. O e 2 C0,2 • e0 . •. C[SC0,2 ] = C[z1−1 , z1−1 z2 ]. •. •_???−e∗1 + e∗2. •. •o. e∗2. •. e1 X C1. ∗ corresponde a C z1 z2−1 aplicación. •. ?? ?? ??. z1 =. (z1 , z2 ) 7→ z2 =. SC0,2. •. •. •. •O • SC1,2 • •/ ∗ e1. •. C[SC1,2 ] = C[z1 , z2 ]. •. w1 w2 (z1 , z2 ) = ( w , ) 0 w0. corresponde a. × C∗z −1 . Pegamos 2 (z2−1 , z1 z2−1 ).. Cz1 × C∗z2 XC1,2. En términos de las coordenadas homogéneas. w1 w0 y. 0 w2 (z1−1 , z1−1 z2 ) = ( w w1 , w1 ). −e∗1. ? ? C1,2 O? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?/ ?. Ahora, el conjunto. w0 w1 (z2−1 , z1 z2−1 ) = ( w , ) 2 w2. •. •. e2. C[SC0,1 ] = C[z2−1 , z1 z2−1 ]. a. en. XC0,1. XC1,2. y en la variedad. a lo largo de. [w0 : w1 : w2 ]. X C1. XC0,1. usando la. y bajo la identicación. w2 w0 se tendría que. XC1,2 '{[1 : z1 : z2 ] : (z1 , z2 ) ∈ C2 } XC0,1 '{[z0 : z1 : 1] : (z0 , z1 ) ∈ C2 } XC0,2 '{[z0 : 1 : z2 ] : (z0 , z2 ) ∈ C2 }. Teorema 2.5.1 (Clasicación de las Variedades Tóricas Normales). Cualquier variedad tórica normal X es equivalente a una variedad de la forma XF para alguna hélice F en Rn , donde n es la dimensión del toro que actúa sobre X . Esta hélice está determinada unívocamente módulo GL(n, Z)..

(14) 2.5. 11. Proposición 2.5.2. Sea F una hélice en Rn . Entonces la variedad XF tiene nitas órbitas de la acción del toro (C∗ )n y existe una biyección natural entre los conos en F (no vacíos) y los (C∗ )n -órbitas en XF . {Conos. de F} ↔ {(C∗ )n − órbitas en XF } C 7→ OC. donde la órbita OC tiene dimensión igual a la co-dimensión de C . Más aún, si C, C 0 ∈ F se cumple que OC 0 ⊂ OC ⇔ C ⊂ C 0 . Para las demostraciones del teorema y la proposición anterior vea [Od]..

(15) Capítulo 3. Variedades Simplécticas 3.1. Deniciones Denición 3.1.1. Una forma simpléctica sobre una variedad M es una 2-forma cerrada sobre M que es no-degenerada1 sobre cada punto de M . Una variedad simpléctica es una pareja (M, w) donde M es una variedad y w es una forma simpléctica sobre M . Usando solamente álgebra lineal es fácil ver que la dimensión de la variedad debe ser un número par. Los siguientes ejemplos son fundamentales en las construcciones de los capítulos posteriores.. Ejemplo: Considere la variedad La. M = R2n. con coordenadas lineales. forma estándar simpléctica. x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn .. 2n es sobre R. ω0 =. n X. dxk ∧ dyk .. k=1 Otro ejemplo (esencialmente el mismo) sobre el cual se van a construir todas las variedades tóricas es el siguiente.. Ejemplo: Considere. M = Cn. con coordenadas lineales. z1 , · · · , z n .. La forma. n. ω0 =. iX dzk ∧ dz̄k 2 k=1. es una forma simpléctica sobre. Cn .. n anterior con la identicación C. De hecho, esta forma es igual a la del ejemplo. w R2n. por. zk = xk + iyk .. Ejemplo: 1. Una aplicación bilineal w es no-degenerada si ω(x, y) = 0 para todo y , implica que x = 0..

(16) 3.1. 13. Sea. M = S2. el conjunto de vectores de norma. estándar sobre. 1. R3 .. en. La. forma simpléctica. S 2 es la forma inducida por los productos interno y externo, dada. por. ωp (u, v) :=< p, u × v > . Para y. u, v ∈ Tp S 2 = p⊥ .. −1 < h < 1),. En coordenadas cilíndricas, lejos de los polos (0. ≤ θ < 2π. se puede mostrar que la forma simpléctica estándar está dada por:. ωest = dθ ∧ dh.. Denición 3.1.2. Sean (Mi , ωi ), i = 1, 2, variedades simplécticas 2n-dimensionales, y sea ψ : M1 → M2 un difeomorsmo. Entonces ψ se dice un simplectomorsmo si ψ ∗ ω2 = ω1 .. Denición 3.1.3. Sea (M, ω) una variedad simpléctica. Un campo vectorial X sobre M es simpléctico si la contracción ιX ω es cerrada. Un campo vectorial X sobre M se dice Hamiltoniano si la contracción ιX ω es exacta. Localmente sobre cada abierto contráctil, una campo vectorial simpléctico es hamiltoniano. Si el primer grupo de cohomología de DeRham es trivial, entonces cada campo. 1 (M ) mide la obstrucción HDR. vectorial simpléctico es hamiltoniano; en general, el grupo. de que campos vectoriales simplécticos sean hamiltonianos. Note que el ujo de un campo vectorial simpléctico pues como. ιX ω. y. ω. X. preserva la forma simpléctica,. son cerradas se tiene que:. LX ω = dιX ω + ιX dω = 0.. Denición 3.1.4. Una función hamiltoniana para un campo vectorial hamiltoniano X sobre M es una función suave H : M → R tal que ιX ω = dH . Como. ω. es no degenerada, cualquier función. niana para algún campo vectorial función. X.. H ∈ C ∞ (M ). es una función hamilto-. En este caso, el ujo de. X. preserva también la. H: LX H = ιX dH = ιX ιX ω = ω(X, X) = 0.. Por tanto, cada curva integral de de. X. debe estar contenida en el mismo conjunto de nivel. H.. Ejemplo: Sobre la. X=. 2-esfera con la forma simpléctica estándar (S 2 , dθ ∧dh), el campo vectorial. ∂ ∂θ es hamiltoniano con función hamiltoniana dada por la altura:. ιX (dθ ∧ dh) = dh. En este ejemplo es claro que las curvas integrales de. X. son rotaciones en torno al. eje vertical, sobre las cuales la función altura es constante..

(17) 3.1. 14. Ejemplo: 2-toro. Sobre el. i = 1, 2,. simpléctico. (T, dθ1 ∧ θ2 ),. los campos vectoriales. Xi =. ∂ ∂θi , con. son simplécticos pero no hamiltonianos.. Denición 3.1.5. Una acción de un grupo de Lie G sobre una variedad M es un morsmo de grupos: ψ : G → Dif (M ) g 7→ ψg ,. donde Dif (M ) es el grupo de difeomorsmos de M . La aplicación evaluación asociada a la anterior acción es la dada por ev : M × G → M (p, g) 7→ ψg (p).. La acción se dice suave si la aplicación ev lo es. Todas las acciones que vamos a considerar van a ser suaves.. Denición 3.1.6. La acción ψ es una acción simpléctica si ψg es un simplectomormo para cada g ∈ G. Sea. (M, ω). Dif (M ),. y sea. una variedad simpléctica,. g. el álgebra de Lie de. Denición 3.1.7. La acción µ : M → g∗ que satisface:. ψ. G. G. un grupo de Lie con una acción. ψ :G→. ∗ con espacio vectorial dual g .. es una acción hamiltoniana si existe una aplicación. 1. Para cada X ∈ g, sea µX : M → R la componente de µ a lo largo de X : µX (p) = hµ(p), Xi.. Sea X # el campo vectorial sobre M generado por el subgrupo de 1-parámetro {exptX|t ∈ R}. Entonces dµX = ιX # ω.. 2. La aplicación µ es equivariante con respecto a la acción de G sobre M y la acción coadjunta Ad∗ de G sobre g∗ , esto es: µ ◦ ψg = Ad∗g ◦ µ.. Para todo g ∈ G.. Ejemplo:.

(18) 3.2. 15. Los campos vectoriales simplécticos (Hamiltonianos) sobre. M. están en correspon-. dencia biunívoca con las acciones simplécticas (Hamiltonianas) de. R. M.. sobre. Ejemplo: Sobre la. 2-esfera. simpléctica. difeomorsmos de. (S 2 , dθ ∧ dh). 1-parámetro. ψt (θ, h) = (θ + t, h) (t ∈ R),. en coordenadas cilíndricas, el grupo de. dado por las rotaciones al rededor del eje vertical. generados por el campo vectorial. S1. acción hamiltoniana del grupo. con función de momento. h,. X =. ∂ ∂θ , es una. la altura.. Ejemplo: Sobre el. 2-toro simpléctico (T2 , dθ1 ∧dθ2 ), el grupo de difeomorsmos de 1-parámetro. dado por rotación sobre cada círculo,. ψ1,t (θ1 , θ2 ) = (θ1 + t, θ2 ). 1 denido de manera similar, son acciones simplécticas de S sobre. t ∈ R, y ψ 2 2 T pero no hamilcon. tonianas. El siguiente hecho será utilizado en la construcción de Delzant de la sección. Hecho: Sea G un grupo de Lie compacto y H h. ∗ sus respectivas álgebras de Lie. Sea i. inclusión. i : h → g.. Si la acción de. con función de momento. µ,. G. :. g∗. →. un subgrupo de. G. 2,3.. cerrado, con. g. y. h∗ la proyección, la aplicación dual a la. sobre una variedad simpléctica. M. es hamiltoniana. entonces la restricción de la acción al subgrupo. H. también. es hamiltoniana y su función de momento está dada por:. i∗ ◦ µ : M → h∗ .. 3.2. Variedades Tóricas Simplécticas De ahora en adelante nos vamos a concentrar en acciones del. n-toro, Tn = S 1 ×· · ·×S 1. sobre variedades simplécticas. En este caso la acción coadjunta es trivial y su algebra de Lie y su dual se identicarán con el espacio euclideo:. g = Rn , g∗ = (Rn ) ' Rn .. Una. n aplicación de momento para la acción de un toro T sobre una variedad simpléctica. (M, ω) X ∈. es simplemente una aplicación. Rn , la función. µX. : M → R. µ : M → Rn. que satisface que para cada vector. es una función hamiltoniana para el vector. X#. y. además que es invariante bajo la acción del toro.. Ejemplo: Sobre el espacio complejo. S 1 = {t ∈ C : |t| = 1}. (C, ω0 = 2i dz∧dz̄), considere la acción del círculo unitario. inducida por multiplicación:. ψt (z) := tk z..

(19) 3.2. 16. Para. z ∈ C, t ∈ S 1. y. k. un entero jo. La acción. µ:C→. con aplicación de momento. g∗. wR. ψ : S 1 → Dif (C). es hamiltoniana. dada por:. 1 µ(z) = − k|z|2 . 2 En efecto, en coordenadas polares se tiene que. ω0 = rdr ∧ dθ. el campo vectorial correspondiente a el generador. 1∈g. y. # es X. µ(reiθ ) = − 12 kr2 =. y. ∂ . k ∂θ. Teorema 3.2.1 (Atiyah, Guillemin-Sternberg). Sea (M, ω) una variedad simpléctica compacta, y sea Tm un m-toro. Suponga que ψ : Tm → Dif (M, ω) es una acción hamiltoniana con aplicación de momento µ : M → Rm . Entonces: Los niveles de µ son conexos. La imagen de µ es la envoltura convexa de las imágenes de los puntos jos de la acción. La imagen de la aplicación. µ. es llamada el. politopo de momento y será de vital. importancia en la clasicación de las variedades toricas. Una prueba de este teorema se puede encontrar en [M&S].. Denición 3.2.1. Una variedad Tórica simpléctica es una variedad simpléctica compacta, conexa (M, ω) con una acción efectiva2 hamiltoniana de un toro T de dimensión igual a la mitad de la dimensión de la variedad, con su correspondiente función de momento µ. Ejemplo: Sobre la. 2-esfera (S 2 , ωest = dθ∧dh), considere la acción del círculo S 1 por rotación: eit · (θ, h) := (θ + t, h). con aplicación de momento intervalo. igual a la altura, y politopo de momento el. [−1, 1].. Análogamente el círculo Study. µ = h. ωF S =. S1. actúa sobre. P1 = C2 − 0/ ∼. con la forma de Fubini-. 1 4 ω por. t · [zo : z1 ] = [z0 : tz1 ] esta acción es hamiltoniana con aplicación de momento. µ[z0 : z1 ] = − y politopo de momento. 2. |z1 |2 1 2 |z0 |2 + |z1 |2. [− 12 , 0].. Una acción de un grupo G sobre una variedad M se dice efectiva si es inyectiva como función T G → Dif (M ), i.e., si cada elemento del grupo mueve al menos a un punto, esto es, p∈M Gp = {e}, donde Gp = {g ∈ G : g.p = p} es el estabilizador de p..

(20) 3.3. 17. Falta Dibujo.. Ejemplo: Considere el espacio. 2-dimensional. complejo. (P2 , ωF B ). 2 Fubini-Study (ver:[G&F]). La acción de T sobre. equipado con la forma de. P2 dada por. (eθ1 , eθ2 ) · [z0 : z1 : z2 ] = [z0 : eθ1 z1 : eθ2 z2 ] y aplicación de momento. µ[z0 : z1 , z2 ] = −. 1 2. . |z1 |2 |z2 |2 , |z0 |2 + |z1 |2 + |z2 |2 |z0 |2 + |z1 |2 + |z2 |2. .. O. •??? µ. P2. /. •. ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??. /. •. Este ejemplo lo vimos en el capítulo anterior desde el punto de vista algebraico y será importante parar ilustrar la idea de la veracidad de la conjetura de Hodge para las variedades tóricas. Nótese el siguiente hecho importante: las imágenes de los puntos jos de la acción son:. [1 : 0 : 0] 7→ (0, 0) 1 [0 : 1 : 0] 7→ − , 0 2 1 [0 : 0 : 1] 7→ 0, − 2 los vértices del politopo de momento, mientras que la acción es libre sobre las preimágenes de los puntos interiores a el mismo.. Denición 3.2.2. Dos variedades tóricas simplécticas (Mi , ωi , Ti , µi ), i = 1, 2, se dicen equivalentes si existe un isomorsmo λ : T1 → T2 y un simplectomorsmo λ-equivariante ϕ : M1 → M2 tal que µ1 = µ2 ◦ ϕ..

(21) 3.3. 18. 3.3. Clasicación En esta sección describiremos la clasicación de las clases de equivalencia de las variedades tóricas por sus politopos de momento. Recuerde que una variedad tórica. 2n-dimensional. es una variedad compacta, conexa y simpléctica equipada con una ac-. ción acción Hamiltoniana efectiva de un momento. µ:M →. n-toro Tn. con su correspondiente aplicación de. Rn .. Comenzaremos por denir la clase de politopos que surge de las variedades tóricas. politopo en Rn es la envolvente convexa de un número nito de puntos Poliedro Convexo es un subconjunto de Rn que es la intersección de un. simplécticas. Un en. Rn .. Un. número nito de medios-espacios anes. Es claro que, Politopos coinciden con poliedros acotados.. Denición 3.3.1. Un politopo de Delzant 4 en Rn es un politopo que satisface: Hay n-aristas en cada vértice. Las aristas en cada vértice p son racionales en el sentido que cada arista conectada con p es de la forma p + tui , donde t ≥ 0 y ui ∈ Zn , i = 1, · · · , n. Para cada vértice, los correspondientes vectores u1 · · · , un se pueden escoger de tal manera que formen una Z-base para Zn . Las condiciones anteriores se conocen como Simplicidad, racionalidad y suavidad respectivamente. El teorema de Delzant dice que existe una correspondencia entre los politopos de Delzant y las las variedades tóricas, dada por la aplicación de momento,. T eorema 3.2.1,. pero antes de mostrar la sobreyectividad de esta aplicación necesitamos algunos preliminares para la construcción de Delzant. Sea. ψ : G → Dif (M ). un acción. Recordamos las siguientes deniciones sobre ac-. ciones de grupos y topología cociente.. La órbita de un punto p ∈ M por G es el conjunto {ψg (p)|g ∈ G}. El estabilizador de un punto. p ∈ M (o. subgrupo de isotropía) es. Gp := {g ∈ G|ψg (p) = p}.. transitiva si solo solo hay una órbita, libre si todos los estabilizadores son triviales, y localmente libre si todos los estabilizadores son discretos. La acción se dice. Una acción de un grupo determina una relación de equivalencia sobre el conjunto sobre el cual actúa: dos elementos. p, q ∈ M. en la misma órbita. El conjunto de órbitas. están relacionados. M/G := M/ ∼. Órbitas. La aplicación π :M → M/G p → Op = “La. órbita de. p”. p ∼ q. es llamado. si y solo están. El Espacio de.

(22) 3.3. 19. es la aplicación Dotamos a es. proyección. M/G. con la topología más débil que hace continua la proyección, esto. La topología cociente,. π −1 (U ). ⊂M. es abierto en. donde un subconjunto. U ⊂ M/G. es abierto si y solo si. M.. Ejemplo: Los espacios proyectivos complejos son espacios de órbitas. En efecto, considere la acción. ψ : C − {0} → Dif (Cn − {0}) λ 7→ ψλ donde. ψλ. es simplemente multiplicación por. acción es simplemente el. (n − 1)-espacio. λ.. El espacio de órbitas para esta. proyectivo:. Pn−1 := (Cn − {0})/(C − {0}) = S 2n−1 /S 1 . Donde la topología de. Pn−1. es la inducida por la proyección y. Cn − {0}.. Ahora. n−1 de una forma simpléctica, esto lo podemos hacer gracias al queremos dotar a P siguiente teorema.. Teorema 3.3.1 (Marsden-Weinstein, Meyer). Sea (M, ω) una variedad simpléctica con un acción hamiltoniana ψ : G → Dif (M ), con G un grupo de Lie, y µ su correspondiente aplicación de momento. Suponga que G actúa libremente sobre µ−1 (0). Si i : µ−1 (0) ,→ M es la inclusión entonces: 1. El espacio de Órbitas MR = µ−1 (0)/G es una variedad. 2. La aplicación ρ : µ−1 (0) → MRed es un G-haz principal. 3. Existe una forma simpléctica ωR sobre MR que satisface i∗ ω = ρ∗ ωR .. Denición 3.3.2. La pareja respecto a G y a µ.. (MR , ωR ). se dice la reducción simpléctica de (M, ω) con. Ejemplo: En el ejemplo anterior, la acción. ψ : C − {0} → Dif (Cn − {0}) λ 7→ ψλ es hamiltoniana, con aplicación de momento dada por. µ : C − {0} → R 1 z 7→ − |z|2 + cte. 2.

(23) 3.3. 20. tomando la constante igual a precisamente el Fubini-Study. 1 2 se tiene que la reducción simpléctica. (n − 1)-espacio. µ−1 (0)/S 1. es. proyectivo equipado con la forma simpléctica de. ωR = ωF S .. Utilizando el Teorema 3.3.1 mostraremos la existencia de una variedad simpléctica dado un politopo de Delzant, este proceso se conoce como la construcción de Delzant, para ampliar el tema ver [De] y [Gui]. Sea. 4 ⊂ Rn. primitivos. un politopo de Delzant con. d caras y sean vi ∈ Zn , i = 1, · · · , d, vectores. 3 normales a cada cara del politopo. Sean. λi ∈ R, i = 1, · · · , d. 4 = {x ∈ Rn : hx, vi i ≤ λi , i = 1, · · · , d}.. tales que: (3.1). Considere la aplicación. π :Rd → Rn ei 7→ vi donde. ei. forman la base canónica de. (3.2). Rd .. Lema 3.3.2. La aplicación π es sobreyectiva y lleva todo Zd en Zn . Demostración. un vértice. Basta con mostrar que el conjunto. p∈4. que el conjunto por los vectores. si. u1 , · · · , u n. {u1 , · · · , un }. v1 , · · · , vn genera a Zn . En efecto, para p. son los vectores conectados a. n es una Z-base para Z . Ahora, si. {u1 , · · · , un }. como columna, es claro que. A. {u1 , · · · , un }. A. es la matriz formada. es invertible y su inversa. también tiene solamente entradas enteras. Usando esta matriz base, la base. por denición se tiene. A−1. como un cambio de. pasaría a ser la base estándar, y los vectores normales a las. caras del politopo tendrían como imagen los inversos aditivos de la base estándar, esta imagen forma una. Z-base. y por tanto los vectores originales también.. Como consecuencia del lema anterior se tiene que tiva, también llamada. π,. π. induce una aplicación sobreyec-. entre los toros:. Rd /2πZd → Rn /2πZn . El núcleo. N. de esta aplicación. aplicación de inclusión. π. i:N →. es un grupo de Lie de dimensión. Td . Si. η. es el álgebra de Lie de. d − n de el toro Td. N,. con. la siguiente sucesión. exacta de toros. i. π. 1→N − → Td − → Tn → 1. 3. (3.3). Un vector v ∈ Zn se dice primitivo si el máximo común de sus componentes es 1, i.e. si no existen u ∈ Zn y λ ∈ Z tal que v = λu..

(24) 3.3. 21. induce una sucesión exacta de álgebras de Lie. i. π. 1→η− → Rd − → Rn → 1.. (3.4). con sucesión dual exacta asociada. π∗. i∗. → η ∗ → 1. 1 → (Rn )∗ −→ (Rd )∗ − Considere la variedad simpléctica. Cd. con forma simpléctica. (3.5). ω0 =. i 2. P. dzk ∧ dz̄k. con la. d acción hamiltoniana de T dada por. (eit1 , · · · , eitd ).(z1 , · · · , zd ) = (eit1 z1 , · · · , eitd zd ). con su respectiva aplicación de momento. φ : Cd → (Rd )∗. denida por. 1 φ(z1 , · · · , zd ) = − (|z1 |2 , · · · , |zd |2 ) + (λ1 , · · · , λd ) 2 con los. λ's. (3.6). como en (3.1). Ahora, del hecho enunciado en la sección 3.1 y las ecuaciones. (3.4), (3.5) se tiene que. N. actúa sobre la variedad. Cd. y su acción es hamiltoniana con. aplicación de momento. i∗ ◦ φ : Cd → η ∗ .. Lema 3.3.3. Sea Z = i∗ ◦φ−1 (0). Z ⊂ Cd es un conjunto compacto y N actúa libremente sobre Z . Demostración.. Z. Claramente. es un subconjunto cerrado de. acotado, más aún, mostraremos que. φ,. esto ocurre si y solo si. y. φ(Z) =. 40. π ∗ (4). Sea. =. está en la imagen de. condición por (3.6) es equivalente a es equivalente a la existencia de. hy, ei i ≤ λi. x∈. Cd ,. φ. para. (Rn )∗ tal que. y. basta mostrar que es. en la imagen de. ∗ y además i (y). i = 1, · · · , d y =. = 0.. Z. por. La primera. y la segunda por (3.5). π ∗ (x). Combinando estas dos. ecuaciones se tiene que. hπ ∗ (x), ei i ≤ λi ⇔ hx, π(ei )i ≤ λi ⇔ hx, vi i ≤ λi ⇔ x ∈ 4 de donde se sigue el resultado deseado. Para mostrar que. I = {i1 , · · · , in } que. φ(z) =. N. actúa libremente sobre. el conjunto de índices para las. π ∗ (p), dado que. p. n. Z;. jemos un vértice. caras adyacentes a. está caracterizado por las siguientes. n. p.. p. de. Sea. 4. y sea. z ∈Z. tal. ecuaciones se tiene. que:. hp, vi i = λi ⇔ hp, π(ei )i = λi ⇔ hπ ∗ (p), ei i = λi ⇔ 1 hφ(z), ei i ≤ λi ⇔ − |zi |2 + λi = λi ⇔ zi = 0, i ∈ I. 2.

(25) 3.3. 22. por tanto, las coordenadas son cero para. i ∈ I.. i-ésimas. de las preimágenes de los vértices de politopo. Sin pérdida de generalidad podemos asumir que. entonces el estabilizador de. z. 40. I = {1, · · · , n},. es el subgrupo. (Td )z = {(t1 , · · · , tn , 1, · · · , 1) ∈ Td }. Como la aplicación (3.2) lleva los vectores. e1 , · · · , en. en la. Z-base. de. Zn {v1 , · · · , vn },. la. d restricción de (3.2) al subgrupo (T )z debe ser una biyección. Ahora como N = Ker(π) d se tiene que N ∩ (T )z = {e}, i.e. Nz = {e}, por tanto los estabilizadores para las preimágenes de los vértices deben ser triviales, pero este es el peor de los casos pues cualquier otro estabilizador, para la preimagen de un punto de. 40 ,. está contenido en. uno de estos. Como. i∗. es sobreyectivo,. 0 ∈ η∗. es un valor regular de. d subvariedad compacta de C de dimensión real órbitas. M4 = Z/N. i∗ ◦ φ,. por tanto. 2d − (d − n) = d + n.. es una variedad compacta de dimensión real. Z. es una. El espacio de. dimZ − dimN =. (d + n) − (d − n) = 2n y el teorema 3.3.1 garantiza la existencia de una forma simpléctica ω4. sobre. M4. que satisface. ρ∗ ω 4 = j ∗ ω 0 ,. Dado un politopo de Delzant donde. M4 = Z/N. donde. j : Z ,→ Cd. es la inclusión.. 4, hemos construido una variedad simpléctica (M4 , ω4 ),. es una variedad. 2n-dimensional compacta. En este momento estamos. a solo un paso de mostrar el Teorema de Delzant [De].. Teorema 3.3.4 (Delzant). Existe una correspondencia biunívoca entre las variedades tóricas y los politopos de Delzant dada por la aplicación de momento 1−1. (M, ω) −−→ µ(M ). El teorema 3.2.1 y el teorema 4.3.2 del siguiente capítulo muestran una dirección del teorema de Delzant; asocia a cada variedad tórica simpléctica un politopo de Delzant. Para mostrar la otra dirección del teorema resta mostrar la siguiente proposición.. Proposición 3.3.5. La variedad simpléctica (M4 , ω4 ) tiene una Tn -acción hamiltoniana heredada con aplicación de momento µ4 con imagen µ4 (M4 ) = 4. Demostración. anterior. Sea. Sea. σ:. Tn . Note que σ. p. Tn. un vértice de. →. 4,. y sea. z. tal que. φ(z) = π ∗ (p). como en la prueba. (Td )z una inversa para la biyección antes mostrada. es una transversal para la aplicación. π : (Td )z →. π , por lo tanto la siguiente sucesión. exacta se rompe:. i. π. 1→N − → Td − → Tn → 1 i.e.,. Td ' N × Tn ,. M4 = Z/N .. por tanto, por este isomorsmo la acción de. Falta mostrar que esta acción es hamiltoniana.. Tn. desciende sobre.

(26) 3.4. 23. Considere el diagrama. . Z. j. φ. / Cd. / Rd ' η ∗ ⊕ (Rn )∗. σ∗. / (Rn )∗. ρ. . M4 donde. σ∗. es la proyección sobre la segunda componente. Cómo Las. stantes bajo la aplicación horizontal. . Z ρ. . M4 otra aplicación. j. Z→. ∗. φ. / Cd. / Rd ' η ∗ ⊕ (Rn )∗ σ / (Rn )∗ g3 g g g g g g g g g g g. g g g g g g g g g. µ4 : M4 → (Rn )∗. N -órbitas. (Rn )∗ , esta aplicación desciende a. µ4. que satisface:. µ4 ◦ ρ = σ ∗ ◦ φ ◦ j. Finalmente, la imagen de. µ. es. µ4 (M4 ) = µ4 ◦ ρ(Z) = σ ∗ (φ(j(Z))) = σ ∗ (φ(Z)) = σ ∗ (π ∗ (4)) = 4. pues. φ(Z) = π ∗ (4). y. σ ∗ ◦ π ∗ = (π ◦ σ)∗ = id.. 3.4. Ejemplo Considere el politopo de Delzant. 4. con vértices en. (0, 0), (1, 0). O. o. •??? v2. •. ? ?? v3 ?? ?? ?? ?? ?? ??. •. . v1. /. y. (0, 1).. son con-.

(27) 3.4. 24. Note que el politopo de Delzant se puede escribir. 4 = {~x ∈ R2 : −y ≤ 0, −x ≤ 0, x + y ≤ 1} = {~x ∈ R2 : ~x.vi ≤ λi , i = 1, 2, 3} v1 = (0, −1), v2 = (−1, 0), v3 = (1, 1). y λ1 = 0, λ2 = 0, 2 politopo tiene tres caras y vive en R , tenemos la aplicación (3.2) donde. λ3 = 1.. Dado que el. π : R3 → R 2 denida por. 0. π= con núcleo. N = {(1, 1, 1)t : t ∈ R}. −1. −1 1 0. !. 1. y aplicación inducida:. π : T3 → T2   ! r st−1    t  7→ sr−1 s Así que en este caso la sucesión exacta (3.4) sería:. i. π. 1→R− → R3 − → R2 → 1. con. i = (1, 1, 1).. La sucesión exacta dual (3.5) se ve así:. πt. it. 1 → R2 −→ R3 − → R → 1. Ahora, considere la variedad simpléctica. C3. con la forma simpléctica estandar. ω0. y la. 3 acción del toro T dada por. (eit1 , eit2 , eit3 ) · (z1 , z2 , z3 ) = (eit1 z1 , eit2 z2 , eit3 z3 ) y aplicación de momento asociada. φ : C3 → R3 1 (z1 , z2 , z3 ) 7→ − (|z1 |2 , |z2 |2 , |z3 |2 ) + (0, 0, 1). 2 Del hecho mencionado en la sección 3.1 se tendría que. t de momento i. ◦φ:. C3. → R.. N. actúa sobre. C3. con aplicación. Por tanto,. Z = (it ◦ φ)−1 (0) = {(z1 , z2 , z3 ) ∈ C3 : |z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 = 2} ' S 5 . Entonces en este caso la variedad simpléctica asociada el politopo. Z/N ' S 5 /S 1 ' P2 .. 4. sería:.

(28) 3.5. 25. La clase de equivalencia del punto. (z0 , z1 , z2 ). módulo. N,. 2 Falta mostrar cómo es la acción del grupo de lie T sobre correspondiente. Para esto, sean. ∗ lema 3.3.3, esto es, π (p). p = (0, 1). y. [z0 : z1 : z2 ]. 2 P y la aplicación de momento la notaremos por. z = (−2, 0, 0). = (−1, 0, 1) = φ(z),. como en la construcción del. entonces. (T3 )z = {((1, t, s) ∈ T3 )} y. σ : T2 → T3 (t, s) 7→ (1, st−1 , s) luego la acción de. T2. sobre. P2. está dada por. (t, s) · [z0 : z1 : z2 ] = [z0 : st−1 z1 : sz2 ] y su aplicación de momento. µ4 ([z0 : z1 : z2 ]) = µ4 (ρ(z0 , z1 , z2 )) = σ ∗ (φ(j(z0 , z1 , z2 ))) = σ ∗ (φ(z0 , z1 , z2 )) 1 1 ∗ 2 2 2 = σ − (|z0 | , |z1 | , |z2 | − 2) = − (|z2 |2 + |z3 |2 − 2, −|z2 |2 ) 2 2 1 = (|z1 |2 , |z2 |2 ). 2 Note los siguientes tres hechos importantes:. µ4. no depende de los representantes escogidos, pues. 3 de T , en particular por la acción de La imagen de. µ4 (P2 ) = µ4 (ρ(Z)). Los Puntos jos de la acción de vértices del politopo. T2. φ. es invariante por la acción. T2 .. es precisamente el politopo original sobre. P2. 4.. corresponden a las preimágenes de los. 4.. 3.5. Variedades Simplécticas vs Variedades Algebraicas En el segundo capítulo vimos como las variedades tóricas normales están clasicadas por fans 2.5.1, y en este capítulo como las variedades tóricas simplécticas lo están por sus politopos de momento 3.3.4. En esta sección daremos una idea de cómo se relacionan estas dos clasicaciones. Para más información al respecto vea [An]. Sea. SopP f. P ⊂ Rn. un politopo, y sea. la cara soporte de. su mínimo.. f. en. P,. f : Rn → R. una función lineal. Notaremos por. esto es, el conjunto de puntos en. P. donde. f. alcanza.

(29) 3.5. 26. Denición 3.5.1. Sea F una cara del politopo P ⊂ Rn . El cono asociado a F es la clausura del conjunto CF,P ⊂ (Rn )∗ que consiste de todas las funciones f ∈ (Rn )∗ tales que SopP f = F . Se puede mostrar que todas las caras de. P,. CF,P. es un cono convexo, y q la colección de conos. CF,P. para. forma un fan completo.. Denición 3.5.2. El fan del politopo P es la colección FP de los conos CF,P para todas las caras F de P . Ejemplo: Sea. P. el politopo dibujado a continuación con caras. F1 , · · · , F 6 .. O. F6 = {(0, 1)} •???. F2. • F5 = {(0, 0)}. El fan asociado a. P. ?? ?? ?? ?? ??F3 ?? ?? ?? ?? ?? ??. F1. / • F4 = {(1, 0)}. se compone de los siguientes conos. El cono asociado a todo. el politopo es el origen. Los conos asociados a las caras a medias líneas, y los conos asociados a los vértices. F1 , F 2. F4 , F 5. y. y. F3. F6. corresponden. son regiones. 2-. dimensionales. El Fan se ve así:. CF1 ,P ? ? ?O ? CF5 ,P ? ? CF4 ,P ? ? ? ? ? ? ? ?/ ? o•ooo oooo o o o o ooooo o CF6 ,P o o o. CF2 ,P. CF3 ,P Specm C[S] una variedad tórica afín asociada al semigrupo nitamente generado n Z . Supongamos que S genera como grupo abeliano a Zn . La variedad Specm C[S]. Sea. S⊂.

(30) 3.5. 27. es normal si y solo si. Specm C[S]. S = P ∩ Zn. P. donde. es la envoltura convexa de. es normal, su fan coincide con el fan del poliedro convexo. S. en. Rn .. Cuando. P.. Las variedades tóricas anes normales corresponde a fans que consisten de todas las caras de un cono. n-dimensional.. La compacidad corresponde a la completitud del fan.. 4 La equivarianza proyectiva se tiene si es de la forma. A =. Zk. ∩P. donde. P. XA. para algún conjunto tal que. es un politopo. Como los espacios proyectivos son compactos,. cualquier variedad tórica equivariante proyectiva es compacta. No todas las variedades tóricas equivariantemente proyectivas son normales, basta simplemente con tomar un fan de un politopo racional que no sea suave, por ejemplo el siguiente politopo no es suave en su vértices superior.. •OOOO •. OOO OOO OOO OOO OOO O. •. •. No todas las variedades tóricas compactas normales son equivariantemente proyectivas. Aunque en dimensión. 1. y. 2. este siempre es el caso, en dimensión. 3. no lo es. De. manera equivalente no todos los fans completos vienen de politopos en el sentido de la denición 3.5.2. (Por ejemplo en. R3. la colección de conos sobre la subdivisión de un. tetrahedro no está asociada a un politopo). No todas las variedades tóricas normales son compactas, de hecho ninguna variedad tórica afín es compacta; más general, cualquier fan que no sea completo corresponde a una variedad tórica normal no compacta. Un ga que. politopo reticular es un politopo en Rn cuyos vértices pertenecen a Zn . Supon4. es un politopo. n-dimensional. que es Delzant y reticular. Como politopo de. Delzant, este es politopo de momento de una variedad tórica simpléctica. (M4 , ω4 , Tn , µ4 ). por la construcción de Delzant 3.3.4. Por otro lado, considere el conjunto de puntos integrales en. 4. A := Z ∩ 4 = {λ(1) , · · · , λ(k) }. Claramente la envoltura convexa de. A, X A. 4. es. A.. Considere la variedad tórica asociada a. (como en el ejemplo de las sección 2.1) con una acción de. es suave y compacta pues el fan del politopo. 4. (C∗ )n .. La variedad. es suave y completo, y. XA. XA. es conexa. ∗ n pues es la clausura de una (C ) -órbita. Más aún, por denición equivariante. XA ,→. Pk−1 ; y la restricción de la. XA tiene una inmersión ∗ n (C ) -acción al subgrupo:. Tn = {(t1 , · · · , tn ) ∈ (C∗ )n : |ti | = 1, ∀i} 4. Una variedad tórica X con una acción de un toro (C∗ )n se dice equivariantemente proyectiva si existe una (Cn )∗ -inmersión equivariante X ,→ Pk para algún k y alguna acción de (C∗ )n sobre Pk ..

(31) 3.5. 28. es efectiva, pues la acción de. (C∗ )n. es efectiva.. Recuerde que los espacios proyectivos tienen una estructura simpléctica canónica dad por la forma de Fubini-Study. −2ωF S sobre Pk−1 . Como. XA. ωF S .. Por conveniencia usaremos la forma simpléctica. es una subvariedad compleja de. Pk−1. y. ωF S. es una forma. de Kähler, tenemos que la restricción. ωA := i∗ (−2ωF S ) es no-degenerada, por tanto una forma simpléctica sobre invariante pues. ωF S. lo es. Se puede ver que la. toniana, con aplicación de momento. µ|XA. Tn -acción. XA .. sobre. La forma. XA. ωA. es. Tn -. es una acción hamil-. donde. µ : Pk−1 → Rn es la aplicación de momento para nuevo. (Pk−1 , −2ωF S ).. De hecho, la imagen de. µ|XA. es de. 4, por tanto estas dos construcciones: la construcción de Delzant y la de variedades. tóricas, llegan a variedades tóricas equivalentes. Esta coincidencia de las construcciones permite ver que una variedad tórica simpléctica es Kähler, pues esta hereda una estructura compleja invariante de su inmersión equivariante en un espacio proyectivo. No todas las variedades tóricas admiten formas simplécticas. una variedad tórica normal compacta admite una forma simpléctica si y solo si su fan proviene de algún politopo..

(32) Capítulo 4. Teoría de Morse La Teoría de Morse se debe originalmente a Marston Morse [Mo]. La teoría de Morse nos muestra un método de estudiar la topología de una variedad usando la información de los puntos críticos de cierta función denida sobre la Variedad. Basados en la misma idea, Thom, Smale, Milnor y Witten introdujeron La Homología de Morse de una variedad de varias maneras. En este capítulo explicaremos esta teoría.. 4.1. Deniciones En este capítulo. M. será una variedad. n-dimensional. compacta, y. f :M →R. una. función suave.. Denición 4.1.1. Un punto p ∈ M se dice punto crítico de de f , si la aplicación inducida f∗ : Tp M → Tf (p) R es idénticamente cero. En términos de coordenadas locales. u1 , · · · , u n ,. un punto. p∈M. es un punto crítico. si y solamente si se tiene que. ∂f ∂f ∂f = = ··· = = 0. ∂u1 ∂u2 ∂un. Denición 4.1.2. Un punto crítico p de f se dice no degenerado si la aplicación bilineal H : Tp M × Tp M → R (Xp , Yp ) 7→ Yp (X(f )). es no degenerada, i.e. si H(Xp , Yp ) = 0 para todo Xp entonces Yp = 0, donde X es un campo vectorial que en el punto p vale precisamente Xp . Para un punto no degenerado p el índice de Morse f en p es la dimensión del espacio vectorial más grande sobre el cual H es denida negativa..

(33) 4.1. 30. La buena denición es consecuencia de que. p. es un punto crítico, y por tanto. Xp (Y (f )) − Yp (X(f )) = [Xp , Yp ](f ) = 0. En términos de coordenadas locales u1 , · · · , un , un punto crítico. p∈M. es no degenerado si y solamente si la matriz Hessiana. es invertible, y el índice de Morse de. . ∂2f ∂ui ∂uj. f. en. p. . es el número de valores propios negativos. de la matriz.. Denición 4.1.3. Una función f se dice función de Morse, si todo sus puntos críticos son no degenerados. La forma local de una función de Morse es bastante sencilla, se describe a continuación; mas información en [Mi].. Teorema 4.1.1 (Lema de Morse). Sea p un punto crítico no degenerado de f . Existe una vecindad U y sistema local de coordenadas u1 , · · · , un centrado en p, i.e. ui (p) = 0 con i = 1, · · · , n donde f tiene la forma: f = f (p) − (u1 )2 − · · · − (uλ )2 + (uλ+1 )2 + · · · + (un )2. donde λ es el índice de Morse de f en p. La idea clásica de la Teoría de Morse es el estudio de las subvariedades de la forma. Ma. = {p ∈ M : f (p) ≤ a},. donde. a. es un punto no crítico de. f.. Supongamos que estas. a subvariedades M 's son compactas. Hay dos importantes teoremas concernientes a el tipo de homotopía de. Ma. conforme cambia. a.. Teorema 4.1.2 (Teoremas de Morse). 1. Si f no tiene puntos críticos en el intervalo [a, b], entonces M a es difeomorfo a M b , más aún, M a es un retracto de deformación de M b . 2. Si hay un solo punto crítico de f no degenerado de índice λ en el intervalo [a, b], entonces el tipo de homotopía de M b es obtenido de M a adjuntándole una λ-celda. Estos teoremas dan lugar a la famosas. Desigualdades de Morse,. una cota superior para el número de puntos críticos de. las cuales dan. f.. Teorema 4.1.3 (Desigualdades de Morse). Sea bk el k-ésimo número de Betti de M , i.e. la dimensión de el k -ésimo grupo de cohomología H k (M, R), y sea ck el número de puntos críticos de f de índice k. Si f es una función de Morse entonces se tienen la siguientes desigualdades.

(34) 4.2. 31. 1. bk − bk−1 + bk−2 − · · · + (−1)k b0 ≤ ck − ck−1 + ck−2 − · · · + (−1)k c0. para cada k. 2.. n X. n X. (−1)k bk =. k=0. (−1)k ck .. k=0. Una función de Morse, se dice que es una. función de Morse perfecta. si las de-. sigualdades anteriores son realmente igualdades.. Corolario 4.1.4. Si todos los puntos críticos de una función de Morse f tienen índice par, entonces f es una función de Morse perfecta.. 4.2. Homología de Morse y El Teorema de Morse-Smale Sea. g. una métrica Riemanniana sobre. una función de morse. M.. Considere el ujo gradiente negativo de. f: ϕ:R×M →M ∂ ϕ(t, x) = −∇f (ϕ(t, x)) , ϕ(0, ·) = idM . ∂t. (4.1). Denición 4.2.1. Si p es un punto crítico, se pueden denir las variedades estable e inestable respectivamente así: Wpe = {x ∈ M : lı́m ϕ(t, x) = p} t→∞. Wpi = {x ∈ M : lı́m ϕ(t, x) = p}. t→−∞. Si. p. es un punto crítico no degenerado de. f,. el espacio. Tp Wpi. es el espacio propio. 1 negativo de la matriz Hessiana H(f, p). Thom descubrió que esta descomposición algunas veces forma un CW-complejo del cual se puede calcular los grupos de homología, en general no. Sin embargo, en los 50's. Smale 2 encontró que si ponía una condición adi-. cional sobre la métrica, está descomposición tendría la estructura de un CW-coplejo. La condición sobre la pareja. (f, g) es llamada la. condición de Morse-Smale: que pide, f. sea una función de Morse, y para cada par de puntos críticos de. p Wpi. es transversal a la variedad estable de. q Wqe .. p. hasta. 1 2. q. por una aplicación. γ :R→M. René Thom, Sept 1923 - Oct 2002. Stephen Smale, July 1930.. p. y. q,. se dene una. 0 tal que γ (t). q. Más aún,. esta condición se alcanza para una métrica Riemanniana sobre Para cualquier par de puntos críticos. y. la variedad inestable. Smale. descubrió que. M.. línea de ujo. desde. p. = −∇f (γ(t)), lı́mt→−∞ γ(t) = p.

(35) 4.2. y. 32. lı́mt→∞ γ(t) = q .. de. p. a. q. Existe una acción natural de. R. por pre-composición con traslaciones de. módulos de las líneas de ujo de. p. q,. a. módulo. R.. sobre el conjunto de líneas de ujo. R.. Denote por. M(p, q). el espacio de. De hecho se tiene que. (Wpi ∩ Wqe )/R = M(p, q). Se sabe que. dim(Wpi ) = ind(p). transversalidad, si. p 6= q ,. y. dim(Wqe ) = n − ind(q).. Como consecuencia de la. se puede mostrar que. dim(Wpi ∩ Wqe ) = dim(Wpi ) + dim(Wpi ) − n = ind(p) + (n − ind(q)) − n = ind(p) − ind(q). Cuando. ind(p)−ind(q) = 1, el espacio de módulos tiene dimensión cero. Ahora deseamos. contar cuantos ujos hay desde. p hasta q , antes de debemos hablar sobre las orientaciones. de la variedades inestables. Fija una orientación de la variedad inestable. Wpi. duce una orientación natural sobre cada órbita. En efecto, para. t gradiente dϕ (r) para un. p,. esta in-. r ∈ M(q, p). el ujo. para un punto crítico. t sucientemente grande determina un isomorsmo de espacios. vectoriales:. Tq W i (q) ∩ ∇f (r)⊥ → Tp W i (p). Dena. (r) = ±1,. dependiendo si el isomorsmo preserva o invierte la orientación.. Finalmente podemos denir cos de. f. de índice. k.. El grupo. El Complejo de Morse. Sea Crik (f ) los puntos críti-. Ck (f ). es un grupo libre abeliano generado. Crik (f ):. Ck (f ) = ZCrik (f ), k = 0, · · · , n. El operador frontera. δk : Ck (f ) → Ck−1 (f ). braicos que conectan a. p. y. q,. cuenta el número de líneas de ujos alge-. esto es:.  δk hqi =. X  indf (p)=k−1. si. q ∈ Crik (f ).. Este complejo.  X. (C∗ (f ), δ). (r)hpi. r∈M(q,p). es el complejo de Morse, falta mostrar que. δ. es de hecho un operador frontera y que la homología de este complejo coincide con la homología singular de. M.. Teorema 4.2.1 (Morse, Smale, Witten). Suponga que el ujo (4.1) es un ujo de Morse-Smale. Sean (C∗ (f ), δ) como se denieron antes. Entonces δ ◦ δ = 0 y existe un isomorsmo natural Hk (M, f, Z) =. Ker(δk ) −→ Hk (M, Z). Im(δk+1 ).

(36) 4.3. 33. Geométricamente se puede se pensar que la suma formal. mi W i (xi ). corresponde. P. mi xi ∈ Kerδ , como un ciclo que representa la imagen de la clase de P Morse-Smale [ mi xi ] ∈ H(M, f, Z) bajo el isomorsmo del teorema 4.2.1.. a un elemento homología. P. Para más detalle sobre la prueba puede ver [Fl], [Sa], [Sh].. 4.3. Homología de las Variedades Tóricas Simplécticas Los siguientes dos teoremas describen como son las vecindades estándar de puntos jos, las pruebas se pueden encontrar en [G&S].. Teorema 4.3.1 (Equivarianza de Darboux). Sea (M, ω) una variedad simpléctica 2n-dimensional, equipada con una acción simpléctica de un grupo de Lie G. Sea q un punto jo de la acción. Entonces existe una carta (U, x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn ) G-invariante centrada en q y G-equivariante con respecto a la acción de G sobre R2n tal que ω|U =. n X. dxk ∧ dyk .. k=1. Teorema 4.3.2. Sea (M, ω) una variedad 2n-dimensional simpléctica, con una acción hamiltoniana de un toro Tm y aplicación de momento asociada µ. Sea q un punto jo de la acción. Entonces existe una carta (U, x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn ) centrada en q y alturas λ(1) , · · · , λ(n) ∈ Zm tal que: 1. ω|U =. n X. dxk ∧ dyk .. k=1. 2.. n. µ|U = µ(q) −. 1 X (k) 2 λ (xk + yk2 ). 2 k=1. Este último teorema muestra la existencia de una carta de Darboux centrada sobre un punto jo, donde la aplicación de momento es como la aplicación de momento para. Cn . Desde ahora y durante esta sección. (M, ω). será una variedad tórica. n con acción del grupo de Lie T y aplicación de momento (1) , · · · mostrar que las alturas λ. , λ(n) forman una. Z-base. µ.. para. 2n-dimensional. En este caso, se puede. Zn ,. por tanto el teorema. 4.3.2 muestra la buena denición de una dirección del Teorema de Delzant, pues sobre cada vértice del politopo de Delzant son satisfechas las condiciones de simplicidad, racionalidad y suavidad. Considere la dirección en sean independientes sobre. Q.. Rn. determinada por un vector. Esta condición asegura que:. X ∈ Rn. cuyas componentes.

(37) 4.3. 34. El subgrupo. X. TX. Tn. X,. generado por. es denso en. Tn .. no es paralelo a las caras del politopo de momento. Los vértices de Si. de. 4. 4 := µ(M ). X.. tiene diferentes proyecciones a lo largo de. µX := hµ, Xi : M → R. es la proyección de la aplicación. µ. a lo largo de. X,. por. X es una función hamiltoniana para el campo denición de aplicación de momento, µ vectorial. X#. generado por. X.. Se puede mostrar que los puntos críticos de. µX. son. X y por tanto los puntos jos de la acción precisamente los puntos jos de la acción de T de. Tn. sobre. M.. Ahora, por el teorema 4.3.2, si carta. (U, x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn ). q. es un punto jo de la acción, entonces existe una. centrada en. q. y alturas. λ(1) , · · · , λ(n) ∈ Zn. tal que. n. µ|U. 1 X (k) 2 λ (xk + yk2 ). = µ(q) − 2 k=1. Como las componentes de. X. son independientes sobre. hλ(k) , Xi son distintos de cero, por tanto Más aún, el índice de. −hλ(k) , Xi. <. q. q. Q,. todos los coecientes. es un punto crítico no degenerado de. es precisamente el número de índices. k. tales que el producto. 0, pero estos λ(k) son precisamente las aristas que conectan al punto. Por tanto, geométricamente el índice de. q. µX .. µ(q).. puede ser leído desde el politopo, haciendo el. producto de las aristas que conectan al punto. µ(q). y. X. y mirando cuando este valor es. X es una función de morse perfecta por el corolario 4.1.4. positivo. En particular µ. Teorema 4.3.3 ([An]). Sea (M, ω) una variedad simpléctica 2n-dimensional, con un acción hamiltoniana de un toro Tn . Sea X ∈ Rn cuyas componentes son independientes sobre Q. Entonces el 2k-ésimo grupo de homología de M tiene dimensión igual al número de vértices del politopo 4 = µ(M ) que tienen exactamente k aristas por encima módulo la proyección sobre el vector X . Todos los grupos de homología de orden impar son triviales. Ejemplo: En el caso del espacio proyectivo. P2 ,. si tomamos un vector. −X 3. como se ve en el. siguiente dibujo:. 3. El signo negativo en el vector X , es solo por conveniencia, porque vamos a ilustar el ujo gradiente negativo..

(38) 4.3. 35. J −X •???p1 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??. • p2. p1 , p 2 y 2 la homología de P es simplemente Los índices de los puntos críticos. ( Hn (P2 ) =. • p3. p3. son respectivamente. Z. si. n = 0, 2, 4. 0. si. n 6= 0, 2, 4. 0, 2 y 4, por tanto. Para decir un poco mas sobre la homología de las variedades tóricas necesitamos las siguientes observaciones que nos permitirán ver claramente quienes son las correspondientes variedades inestables de los puntos críticos y con esto mostrar la conjetura de Hodge.. i) El vector. ∇µX , en un punto p de la variedad, apunta en la dirección en la cual µX. crece lo más rápido posible. ii). ∇µX = h∇µ, Xi.. iii) La aplicación de vectorial sobre. ∇µ : T P2 → T4,. lleva el ujo gradiente de. ∇µX ,. en un campo. 4.. Bajo estas observaciones, sobre el campo vectorial inducido sobre la variedad con frontera. 4. se puede decir que:. iv) No hay vectores en los vértices del politopo. 4, pues son las imágenes de los puntos. críticos. v) Si. vp. es un vector en. Tp 4,. y. p. pertenece a una arista, entonces el vector. ser paralelo a la arista. De lo contrario el inverso de este vector. −v. vp. debe. o él mismo,. apuntarían en una dirección no permitida: por fuera de la variedad con frontera. 4.. En general si. p. vive en una cara del politopo, el vector. vp. también debe vivir. sobre la misma cara. vi) Cada vector. vp. proyectando.. debe ser lo más paralelo posible al vector. X. sobre el cual se está.

(39) 4.3. 36. Ejemplo: En el ejemplo anterior de. P2. el campo vectorial sobre el politopo se vería así:. J X •??? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??. •. J X •_?O ?? J ?? O J J _?? J J ?? J ?J ??? J O J _?? / ??/ • / •. /o /o /o /. •. Con el campo vectorial pintado sobre el politopo podemos saber que puntos corresponden en. 4. (y por tanto en la variedad) a las variedades inestables, solo mirando aquellos que. avanzar en sentido contrario al ujo llegan al punto crítico, y tomando su cerradura.. Ejemplo: De esta manera las subvariedades inestables de los tres puntos críticos de la función. µX. en. Para. P2. se verían así:. p1 : • p1. ◦ Para. ◦. p2 : •. • p2 Para. ◦. p3 : •???. ??? ?? ??? ? ??? ?? • •. p3.

(40) 4.3. 37. Así que en general las imágenes de las variedades inestables corresponden a caras del politopo, por tanto a subvariedades algebraicas de la variedad original.. Teorema 4.3.4. Sea (M, ω) una variedad simpléctica 2n-dimensional, con una acción hamiltoniana de un toro Tn y aplicación de momento µ. Sea x ∈ Rn cuyas componentes son independientes sobre Q. Sea z ∈ M un punto crítico de µX . Entonces la variedad inestable Wzi es una subvariedad tórica de M . Demostración. imagen de. z.. ortogonal a. Sea. Sean. X. u1 , · · · , u n. el vértice del politopo. p: u 1 , · · · , u k. µ(M ) = 4. que corresponde a la. las aristas que están conectadas con. clasica los vectores. por debajo de de. p = µ(z). u1 , · · · , u n. en dos grupos:. p.. El hiperplano. u1 , · · · , u k. H. los que están. H , y los que estan por encima, en otras palabras, las aristas que salen y las aristas que llegan a. p: uk+1 , · · · , un ,. como en los argumentos del. teorema 4.3.3. Ahora, la variedad inestable del punto encerrada por las aristas la preimagen de la cara. u1 , · · ·. p. en el politopo, corresponde a la cara. C. , uk y por tanto la variedad inestable Wzi corresponde a. µ−1 (C),. que es una variedad tórica de dimención. 2k .. Corolario 4.3.5. Bajo las hipótesis del teorema 4.3.4. La homología de M está generada por las subvariedades tóricas de M . Demostración.. Se sigue del teorema 4.3.4y el teorema de Morse-Smale-Witten 4.2.1 y. su prueba; con el isomorsmo entre las cases de homología de Morse-Smale y los ciclos:. X X [ mi xi ] 7→ mi W i (xi )..