Sobre La Conjetura de Hodge en Variedades
Tóricas Simplécticas
por
Germán Andrés Combariza Gonzalez
Una tesis
presentada al departamento de Matemáticas
como parte de los requisitos para el grado de Magister en Matemáticas
Director: Doctor Andrés Rodríguez
Universidad de los Andes Bogotá, Colombia
1. Introducción i
2. Variedades Algebraicas 1
2.1. Deniciones . . . 1
2.2. Variedades Tóricas Asociadas a Semigrupos . . . 2
2.3. Clasicación . . . 3
2.4. Hélices . . . 3
2.5. Variedades Tóricas Asociadas a Hélices . . . 7
3. Variedades Simplécticas 12 3.1. Deniciones . . . 12
3.2. Variedades Tóricas Simplécticas . . . 15
3.3. Clasicación . . . 18
3.4. Ejemplo . . . 23
3.5. Variedades Simplécticas vs Variedades Algebraicas . . . 25
4. Teoría de Morse 29 4.1. Deniciones . . . 29
4.2. Homología de Morse y El Teorema de Morse-Smale . . . 31
4.3. Homología de las Variedades Tóricas Simplécticas . . . 33
Capítulo 1
Introducción
Este trabajo se escribe como una Tesis para el grado de Maestría en Matemáticas en la Universidad de los Andes en Bogotá-Colombia.
El objetivo de estas notas es dar una rápida introducción a las variedades tóricas desde dos puntos de vista: algebraico y simpléctico.
El segundo y tercer capítulo está basado en el trabajo de Ana Cannas da Silva [An]. En el segundo capítulo se dene que es una variedad tórica algebraica y se clasican todas las variedades tóricas normales por medio de hélices. En el tercer capítulo se da una breve introducción de variedades simplécticas, y se denen y clasican todas las variedades tóricas simplécticas por medio de su politopo de momento.
El tercer capítulo está basado en el artículo [Sa]. Se denen los conceptos básicos de Teoría de Morse, y las variedades inestables y estables para puntos críticos, las cuales permiten calcular la homología de una variedad diferencial. Por ultimo se muestra que estas variedades en el caso de una variedad tórica simpléctica corresponde a subvar-iedades tóricas, y como consecuencia se tiene que la homología está generada por estas, lo que corresponde a la Conjetura de Hodge en este caso.
Variedades Algebraicas
2.1. Deniciones
Denición 2.1.1. El toro algebraico n-dimensional es el grupo de Lie de los números
complejos (C∗)n bajo la multiplicación. El retículo de alturas de(C∗)n es el retículo Zn. A cada elemento del retículo de alturas Zn le asociamos un morsmo de grupos:
λ= (λ1,· · · , λn)∈Zn−→λ: (C∗)n→C∗
w= (w1,· · · , wn)7→wλ =wλ11· · ·wλnn
Una acción de un toro algebraico(C∗)n sobre una variedad algebraicaX es un morsmo de grupos ψ: (C∗)n→Isom(X).
Denición 2.1.2. Una variedad tórica es una variedad1 X junto con una acción de un toro algebraico que tiene una órbita densa abierta.
Dos variedades tóricas se dicen equivalentes si existe un isomorsmo equivariante entre estas.
Ejemplos:
SeaA={λ(1),· · · , λ(k)}un subconjunto nito de
Zn. Considere la acción de(C∗)n sobre Pk−1 asociada aA denida por:
w.[z1 :· · ·:zk] := [wλ
(1)
z1 :· · ·:wλ
(k)
zk], w∈(C∗)n.
Sea XA la clausura de la(C∗)n-órbita del punto [1 :· · ·: 1]. Entonces XA es una
variedad tórica.
1A una variedad tórica generalmente se le exige normalidad, sin embargo la primera parte
2.2 2 Sea A={λ(1),· · ·, λ(k)}un subconjunto nito deZn. La acción de (C∗)n sobre el espacioCk asociada aA de dene por:
w.(z1,· · ·, zk) := (wλ
(1)
z1:· · ·:wλ
(k)
zk), w∈(C∗)n.
Sea YAla clausura de la(C∗)n-órbita del (1,· · ·,1). EntoncesYAes una variedad
tórica.
2.2. Variedades Tóricas Asociadas a Semigrupos
Sea S un semigrupo conmutativo. El álgebra semigrupo C[S] asociada a S, es la C-álgebra generada como espacio vectorial por los símboloszσ, con σ ∈S,z una inde-terminada, y la regla de multiplicación denida por:
zσ·zσ0 :=zσ+σ0.
En particular si S está generada por el conjunto{σi:i∈I} entonces laC-álgebraC[S] está generada por el conjunto {zσi :i∈I}.
Ejemplos:
SiS = (Z+0)nentoncesC[S] =C[z1,· · · , zn], note que el espectro maximalSpecmC[S]'
Cn es una variedad tórica.
Si S =Zn entonces C[S] = C[z1, z1−1,· · · , zn, z−n1], note que SpecmC[S]'(C∗)n, es también una variedad tórica, de hecho se tiene el siguiente resultado.
Proposición 2.2.1. Sea S ⊂ Zn un semigrupo nitamente generado. Entonces el es-pectro maximal SpecmC[S] es una variedad tórica afín.
Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que S genera a Zn como grupo. Por tanto se tiene que la dimensión deSpecmC[S]esn. La inclusión de semigru-pos S ⊂ Zn induce una inclusión de C-álgebras C[S] ⊂ C[Zn], tomando sus espectros maximales se tendría:
(C∗)n'SpecmC[Zn],→SpecmC[S].
Sea O la imagen de esta inclusión. El toro(C∗)n actúa sobre C[S]por: w·zσ :=wσzσ, w∈(C∗)n, σ∈S.
Esta acción de (C∗)n sobre C[S]induce otra acción de (C∗)n sobre SpecmC[S]. Luego, por dimensión, se tendría que O ' (C∗)n es una órbita densa abierta. Por tanto la clausura O debe ser todo el espacioSpecmC[S]y por tanto una variedad tórica.
La Curva compleja en C2 con ecuaciónyk=xk+1, (k= 1,2,· · ·) es una variedad tórica afín, con unaC∗-acción dada por:
t·(x, y) = (tkx, tk+1y).
La variedad se obtiene comoSpecmC[S]paraSel semigrupoS=Z+0\{1,2,· · ·, k},
i.e. el generado por {k, k+ 1,· · ·,2k−1}.
2.3. Clasicación
Teorema 2.3.1 (Clasicación de las Variedades Tóricas Anes). Cualquier var-iedad tórica afín es equivalente a una de la forma SpecmC[S] para algún semigrupo nitamente generado S ⊂Zn, (n≥0).
Demostración. Sea X una variedad tórica afín con una acción de un toro (C∗)n. Sea
Op =O una órbita abierta densa para la acción, p∈X. Se tiene una biyección
O →(C∗)n/Stab(p)
por tanto este cociente también se puede considerar como un toro. Considérese ahora la misma órbita O vista como un toro(C∗)n actuando sobre X. Por irreducibilidad de X se tiene una inmersión C[X]⊂C[O] =C[Zn]. Ahora, el subanilloC[X]⊂ es (C∗)n -invariante con respecto a la acción inducida de(C∗)nsobreC[X]y sobreC[(C∗)n]. Como una representación de un toro algebraico, el espacio C[X] se descompone en espacios de altura 1-dimensionales, los cuales están generados por monomios como C-álgebras, luego el espacio total C[X] también está generado por monomios, i.e. es una álgebra semigrupo.
En la construcción hecha en la sección 2.1 de la variedad YA a partir del conjunto
A={λ(1),· · · , λ(k)} y por el teorema anterior se tiene queYA'SpecmC[S]para algún subgrupo nitamente generado S⊂Zn. No es difícil mostrar que este semigrupoS está
generado porA. De hecho, el anilloC[YA]de funciones regulares sobreYAestá generado
por las restricciones a YA del anillo de funciones sobre Cn. En efecto, como YA es la
clausura del conjunto
{(zλ(1),· · · , zλ(k)) :z∈(C∗)n} el anillo C[YA]está generado por los monomios zλ
(1)
,· · · , zλ(k), i.e. es el semigrupo en Zn generado por A.
2.4. Hélices
Denición 2.4.1. Un cono en Rn es un conjunto de la forma C={a1v1+· · ·+arvr ∈Rn:a1,· · ·, ar ≥0}
2.4 4 para algún número nito de vectores v1,· · · , vr, llamados los generadores deC. El cono
se dice racional si admite generadores enZn. El cono se dice suave si admite generadores que formen parte de una Z-base de Zn. La dimensión de un cono es la dimensión del R-espacio vectorial más pequeño que lo contiene, esto es: dim(C+ (−C)).
El dual de un conoC ⊂Rn es un conjunto de la forma C∗ ={f ∈(Rn)∗ :f(x)≥0,∀x∈C}.
Un hiperplano de Soporte para un cono C⊂Rn es un hiperplano de la forma Hf ={x∈Rn:f(x) = 0}paraf ∈C∗\ {0}.
Una cara de un cono C es el mismo cono o la intersección de C con un hiperplano de
soporte. Una cara de un cono es ella misma un cono.
El Teorema de Farkas [Fu] muestra que el dual de un cono racional es también racional. Note también que un cono solo puede tener nitas caras y la intersección de 2 caras es de nuevo una cara.
Si0es una cara deC entoncesC se dice fuertemente convexo, esto sucede cuando C no contiene R-espacios 1-dimensionales, i.e. C∩(−C) = {0}. Si C es fuertemente conexo entonces su dual tiene dimensiónn, esto es C∗+ (−C∗) = (Rn)∗.
Lema 2.4.1. SeaC un cono racional enRny seaC∗ su dual, también racional. Entonces la Intersección SC :=C∗∩(Zn)∗ es un semigrupo nitamente generado.
Demostración. Sean v1,· · ·, vn ∈ (Zn)∗ generadores para C∗, y considere el conjunto compacto K={ r X i=1 tivi|0≤ti≤1}.
Es claro que la intersecciónK∩(Zn)∗es nita. Mostraré queK∩(Zn)∗ genera aSC. Sea
v ∈SC, entonces v =Privi con ri ≥0. Seanmi ∈Z,ti ∈[0,1]tales que ri =mi+ti,
entonces v=P
mivi+Ptivi, conPtivi y cadavi en K∩(Zn)∗. Ejemplo
1. SiCes el cono del primer octante enZn, el semigrupoSC consiste de los elementos
en(Zn)∗con coordenadas positivas, i.e. de nuevo el primer octante, y está generado por e∗1,· · ·, e∗n.
2. Para el cono trivial, (fuertemente convexo),0 ={0} ⊂Zn, el semigrupo asociado
3. SiC ⊂Z2 es el cono generado por e2 ye1−e2 • e2 e1−e2 C O O ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? su semigrupo asociado • • • • • • • • • • SC e∗1+e∗2 e∗1
está generado por e∗1,e∗1+e∗3.
4. Si C ⊂ Zn es el cono generado por e
2 y 2e1 −e2, su semigrupo asociado está
generado pore∗1, e∗1+e2∗, ye∗1+ 2e∗2. • • • • • •• • • • • • • C SC • 2e1−e2 e2 e∗1+ 2e∗2 e∗1 O O ' ' O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
Corolario 2.4.2. Para un cono racional C⊂Rn , la variedad afín SpecmC[SC]es una
variedad tórica.
2.4 6 Ejemplos:
1. SiC es el cono denido por el primer octante deZn, el álgebra semigrupo asociada es:
C[SC]'C[z1,· · ·, zn].
Y su correspondiente variedad tórica:
SpecmC[SC]'Cn.
2. Para el cono trivialC ={0} ∈Znla
C-álgebra es: C[SC]'C[z1, z1−1,· · ·, zn, z−n1]
con variedad tórica asociada
SpecmC[SC]'(C∗)n.
3. Para el cono C⊂R2 generado pore
2 y2e1−e2 el álgebra semigrupo es:
C[SC]'C[z1, z1z2]'C[w1, w2]
con variedad tórica
SpecmC[SC]'C2.
4. SiC ⊂2 es el cono generado pore
2 y2e1−e2 el álgebra de semigrupo es
C[SC]'C[z1, z1z2, z1z22]'C[w1, w2, w3]/hw1w3−w22i
y su variedad tóricas es el cono
SpecmC[SC]' {(w1, w2, w3)∈C3 :w1w3 =w2}
Una inclusión de conos racionales C ⊂ C0 induce una inclusión (inversa) de sus
duales(C0)∗ ⊂C∗ y por tantoC[SC0]es una subálgebra deC[SC], de donde se tiene una
aplicación
SpecmC[SC]→SpecmC[SC0]
en efecto, un morsmo de C−lgebra C[SC] → C está determinado por su núcleo, en este caso un ideal maximal de C[SC], por tanto se tiene la siguiente biyección
SpecmC[SC]←→HomC−alg(C[SC],C)\ {0}
Lema 2.4.3. Sean C y C0 conos racionales. Si C es una cara de C0. Entonces la
apli-cación inducida SpecmC[SC] → SpecmC[SC0] es una aplicación abierta en la topología
de Zarisky. En otras palabras SpecmC[SC]es un subconjunto abierto de SpecmC[SC0].
Demostración. Si C es una cara de C0 entonces existe v∈SC0, tal que
SC =SC0+Z+0(−v)
por tanto todo elemento deC[SC]puede escribirse como sumas de elementos de la forma
zσ−nv para algúnσ ∈S
C0 yn∈Z+
0, ahora, si dos morsmos de C-álgebras:C[SC]→C coinciden en todos los elmentos de C[SC0], también deben coincidir en los elementos
z−nv, y asi la aplicación
SpecmC[SC]→SpecmC[SC0]
es inyectiva. Ahora, para ver que abierta basta mostrar que la imagen de la aplicación consiste de aquellos maximales que no contienen a zv. En efecto, Si g: C[SC0]→ Ces
un morsmo deC-álgebras conM =Ker(g), hay dos posibilidades. SiM no contiene al elementozv entoncesg(zv)6= 0ygse puede levantar a todoC[SC]deniendo g(z−v) :=
g(zv)−1. Por otro lado, si g(zv) = 0,g no se puede levantar a
C[SC], de lo contrario se
tendría que g(1) =g(zv).g(z−v) = 0 lo que lleva a una contradicción.
Denición 2.4.2. Una Hélice en Rn es una colección nita no vacía F de conos racionales fuertemente convexos tales que
1. Cada cara de cada cono C∈ F pertenece aF.
2. La intersección de dos conos de F es una cara de ambos.
La hélice F se dice suave si todos sus conos son suaves. El soporte de F es la
unión |F | de todos los conos de F. La hélice F es completa si |F | es el espacio
completo.
2.5. Variedades Tóricas Asociadas a Hélices
Denición 2.5.1. La variedad Tórica XF asociada a la héliceF en Rn es el resultado de pegar las variedades tóricas anesXC :=SpecmC[SC], para todoC ∈ F, identicando
XC con el correspondiente abierto de zariski en XC0 si C es una cara de C0.
Cada carta afín XC tiene una acción de un toro natural denida en la prueba de
la proposición 2.2.1. Estas acciones son compatibles bajo las indicaciones dadas por las restricciones de las caras, por tanto, hay una acción bien denida sobre toda la variedad
XF.
Más aún, XF contiene una órbita densa abierta de (C∗)n correspondiente al cono trivial de F, pues por convexidad fuerte el cono cero es una cara de cada cono, su dual
2.5 8 el espacio total(Rn)∗, suC-álgebra correspondienteC[z1, z1−1,· · ·, zn, z−n1]y su espectro
maximal (C∗)n, y por el lema 2.4.3 su variedad es un subconjunto denso de cualquier otro.
La variedadXF es normal, pues la normalidad es una propiedad local y los anes lo son.
Se puede mostrar que la variedadXF es compacta si y solo si F es completo y que
XF es suave si y solo F lo es. Como corolario de esta observación, del teorema 2.3.1 de clasicación de variedad anes y del teorema de clasicación de variedades tóricas normales 2.5.1 se tiene que las únicas variedades tóricas anes suaves son productos de la forma (C∗)p ×Cq. Además se tiene que si F es completo, entonces XF es una compacticación del toro (C∗)n.
Ejemplos:
1. Considere la hélice F que consiste de los tres conos:
C0 ={0} C1 =Z+0{e1} C−1=Z+0{−e1} • e1 −e1 O O
Cada cono 1-dimensional representa la variedad afínC.
• e1 C1 • e∗1 SC1 • • • C[SC1]'C[z] O O OO • −e1 C−1 • −e∗1 SC−1 • • • C[SC−1]'C[z]
Estas dos variedades anes se pegan por el cono 0-dimensional • C0 e∗1 • −e∗1 SC0 • • • • C[SC0]'C[z] O O
En XC1 el subconjunto XC0 corresponde al conjunto C
∗
z = {z ∈ C : z 6= 0},
mientras que enXC−1 el subconjuntoXC0 corresponde aC
∗
z−1 ={z−1 ∈C:z−16=
0}. PegamosXC1 yXC−1 a lo largo deXC0 usando la aplicaciónz7→z
−1, esto da
como resultado la variedad XF 'P1.
2. Considere la héliceFque consiste de los siguientes siete conos (tres2-dimensionales,
tres 1-dimensionales y un cono0-dimensional)
• C1 C0,2 C1,2 C2 C0 C0,1 / / O O ??? ?? ??? ?? ?? ?? ? o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
Mostraremos que la variedad tórica XF corresponde aP2, de hecho cada cono 2 -dimensional corresponde a una carta afínC2. Los duales de los conos2-dimensionales se ven así:
2.5 10 • C0,1 e1 e0 • • • • • • e∗1−e∗2 −e∗2 C[SC0,1] =C[z −1 2 , z1z−21] (z2−1, z1z2−1) = ( w0 w2, w1 w2) SC0,1 / / ? ? ? ? ? ? ? ? ? o oo oo o o o o o o o o o o o o o o o o • e2 e0 • • • • • • C[SC0,2] =C[z −1 1 , z −1 1 z2] (z1−1, z1−1z2) = (ww01,ww21) C0,2 −e∗1 −e∗1+e∗2 SC0,2 O O o o _ _ ???? ????? • • • • • • • • • • C1,2 e2 e1 e∗1 e∗2 SC1,2 C[SC1,2] =C[z1, z2] (z1, z2) = (ww10,ww20) / / O O / / O O ??? ?? ??? ?? ?? ?? ?
Ahora, el conjunto XC1 corresponde aCz1×C
∗
z2 en XC1,2 y en la variedad XC0,1
corresponde a C∗z
1z−21
×C∗
z−21. PegamosXC1,2 a XC0,1 a lo largo deXC1 usando la
aplicación(z1, z2)7→(z2−1, z1z2−1).
En términos de las coordenadas homogéneas [w0 :w1 :w2]y bajo la identicación z1= ww10 yz2= ww20 se tendría que XC1,2 '{[1 :z1 :z2] : (z1, z2)∈C 2} XC0,1 '{[z0 :z1: 1] : (z0, z1)∈C 2} XC0,2 '{[z0 : 1 :z2] : (z0, z2)∈C 2}
Teorema 2.5.1 (Clasicación de las Variedades Tóricas Normales). Cualquier variedad tórica normal X es equivalente a una variedad de la forma XF para alguna hélice F en Rn, donde n es la dimensión del toro que actúa sobre X. Esta hélice está determinada unívocamente módulo GL(n,Z).
Proposición 2.5.2. Sea F una hélice en Rn. Entonces la variedad XF tiene nitas órbitas de la acción del toro (C∗)n y existe una biyección natural entre los conos en F (no vacíos) y los (C∗)n-órbitas en XF.
{Conos deF } ↔ {(C∗)n−órbitas en XF}
C 7→ OC
donde la órbita OC tiene dimensión igual a la co-dimensión deC. Más aún, siC, C0∈ F se cumple que
OC0 ⊂ OC ⇔C⊂C0.
Capítulo 3
Variedades Simplécticas
3.1. Deniciones
Denición 3.1.1. Una forma simpléctica sobre una variedadM es una2-forma cerrada
sobreM que es no-degenerada1 sobre cada punto deM. Una variedad simpléctica es una
pareja (M, w) donde M es una variedad y w es una forma simpléctica sobreM.
Usando solamente álgebra lineal es fácil ver que la dimensión de la variedad debe ser un número par. Los siguientes ejemplos son fundamentales en las construcciones de los capítulos posteriores.
Ejemplo:
Considere la variedad M = R2n con coordenadas lineales x1,· · · , xn, y1,· · · , yn.
La forma estándar simpléctica sobre R2n es ω0 =
n
X
k=1
dxk∧dyk.
Otro ejemplo (esencialmente el mismo) sobre el cual se van a construir todas las var-iedades tóricas es el siguiente.
Ejemplo:
ConsidereM =Cn con coordenadas linealesz1,· · · , zn. La forma
ω0 = i 2 n X k=1 dzk∧dz¯k
es una forma simpléctica sobre Cn. De hecho, esta forma es igual a la del ejemplo anterior con la identicaciónCnwR2n por zk =xk+iyk.
Ejemplo:
Sea M =S2 el conjunto de vectores de norma 1 en R3. La forma simpléctica
estándar sobreS2es la forma inducida por los productos interno y externo, dada
por
ωp(u, v) :=< p, u×v > .
Para u, v∈TpS2 =p⊥. En coordenadas cilíndricas, lejos de los polos (0≤θ <2π
y−1< h <1), se puede mostrar que la forma simpléctica estándar está dada por: ωest =dθ∧dh.
Denición 3.1.2. Sean (Mi, ωi), i= 1,2, variedades simplécticas 2n-dimensionales, y
sea ψ:M1 →M2 un difeomorsmo. Entonces ψ se dice un simplectomorsmo si ψ∗ω2=ω1.
Denición 3.1.3. Sea(M, ω)una variedad simpléctica. Un campo vectorialX sobreM
es simpléctico si la contracción ιXω es cerrada. Un campo vectorial X sobre M se dice
Hamiltoniano si la contracción ιXω es exacta.
Localmente sobre cada abierto contráctil, una campo vectorial simpléctico es hamil-toniano. Si el primer grupo de cohomología de DeRham es trivial, entonces cada campo vectorial simpléctico es hamiltoniano; en general, el grupoHDR1 (M)mide la obstrucción
de que campos vectoriales simplécticos sean hamiltonianos.
Note que el ujo de un campo vectorial simplécticoX preserva la forma simpléctica,
pues como ιXω yω son cerradas se tiene que:
LXω=dιXω+ιXdω= 0.
Denición 3.1.4. Una función hamiltoniana para un campo vectorial hamiltoniano X
sobre M es una función suave H :M →R tal que ιXω=dH.
Comoω es no degenerada, cualquier función H ∈ C∞(M) es una función
hamilto-niana para algún campo vectorial X. En este caso, el ujo de X preserva también la
función H:
LXH =ιXdH =ιXιXω=ω(X, X) = 0.
Por tanto, cada curva integral deX debe estar contenida en el mismo conjunto de nivel
de H.
Ejemplo:
Sobre la2-esfera con la forma simpléctica estándar(S2, dθ∧dh), el campo vectorial X = ∂θ∂ es hamiltoniano con función hamiltoniana dada por la altura:
ιX(dθ∧dh) =dh.
En este ejemplo es claro que las curvas integrales deX son rotaciones en torno al
3.1 14 Ejemplo:
Sobre el 2-toro simpléctico (T, dθ1 ∧θ2), los campos vectoriales Xi = ∂θ∂i, con
i= 1,2, son simplécticos pero no hamiltonianos.
Denición 3.1.5. Una acción de un grupo de Lie Gsobre una variedad M es un
mor-smo de grupos:
ψ:G → Dif(M) g 7→ ψg,
donde Dif(M) es el grupo de difeomorsmos de M. La aplicación evaluación asociada
a la anterior acción es la dada por
ev:M×G → M
(p, g) 7→ ψg(p).
La acción se dice suave si la aplicación ev lo es.
Todas las acciones que vamos a considerar van a ser suaves.
Denición 3.1.6. La acción ψes una acción simpléctica siψg es un simplectomormo
para cada g∈G.
Sea (M, ω) una variedad simpléctica, G un grupo de Lie con una acción ψ : G →
Dif(M), y seag el álgebra de Lie de Gcon espacio vectorial dualg∗.
Denición 3.1.7. La acción ψ es una acción hamiltoniana si existe una aplicación µ:M →g∗ que satisface:
1. Para cada X∈g, sea µX :M →R la componente de µ a lo largo deX: µX(p) =hµ(p), Xi.
Sea X# el campo vectorial sobre M generado por el subgrupo de 1-parámetro
{exptX|t∈R}. Entonces
dµX =ιX#ω.
2. La aplicación µes equivariante con respecto a la acción de GsobreM y la acción
coadjunta Ad∗ de Gsobre g∗, esto es:
µ◦ψg=Ad∗g◦µ.
Para todo g∈G.
Los campos vectoriales simplécticos (Hamiltonianos) sobreM están en
correspon-dencia biunívoca con las acciones simplécticas (Hamiltonianas) deR sobreM. Ejemplo:
Sobre la 2-esfera simpléctica(S2, dθ∧dh) en coordenadas cilíndricas, el grupo de
difeomorsmos de 1-parámetro dado por las rotaciones al rededor del eje vertical ψt(θ, h) = (θ+t, h) (t ∈ R), generados por el campo vectorial X = ∂θ∂, es una acción hamiltoniana del grupoS1 con función de momento h, la altura.
Ejemplo:
Sobre el2-toro simpléctico(T2, dθ1∧dθ2), el grupo de difeomorsmos de1-parámetro
dado por rotación sobre cada círculo, ψ1,t(θ1, θ2) = (θ1 +t, θ2) con t ∈ R, y ψ2
denido de manera similar, son acciones simplécticas deS1sobreT2pero no hamil-tonianas.
El siguiente hecho será utilizado en la construcción de Delzant de la sección2,3.
Hecho: Sea G un grupo de Lie compacto y H un subgrupo de G cerrado, con g y hsus respectivas álgebras de Lie. Sea i∗ :g∗ →h∗ la proyección, la aplicación dual a la
inclusión i:h→g. Si la acción deGsobre una variedad simpléctica M es hamiltoniana
con función de momento µ, entonces la restricción de la acción al subgrupoH también
es hamiltoniana y su función de momento está dada por:
i∗◦µ:M →h∗.
3.2. Variedades Tóricas Simplécticas
De ahora en adelante nos vamos a concentrar en acciones deln-toro,Tn=S1×· · ·×S1 sobre variedades simplécticas. En este caso la acción coadjunta es trivial y su algebra de Lie y su dual se identicarán con el espacio euclideo: g=Rn,g∗ = (Rn) 'Rn. Una aplicación de momento para la acción de un toro Tn sobre una variedad simpléctica
(M, ω) es simplemente una aplicación µ:M → Rn que satisface que para cada vector X ∈ Rn, la función µX : M →
R es una función hamiltoniana para el vector X# y además que es invariante bajo la acción del toro.
Ejemplo:
Sobre el espacio complejo(C, ω0 = 2idz∧dz¯), considere la acción del círculo unitario S1 ={t∈C:|t|= 1}inducida por multiplicación:
3.2 16 Para z∈C, t∈S1 ykun entero jo. La acción ψ:S1 →Dif(C)es hamiltoniana con aplicación de momento µ:C→g∗wRdada por:
µ(z) =−1
2k|z| 2.
En efecto, en coordenadas polares se tiene queω0 =rdr∧dθ yµ(reiθ) =−12kr2 y
el campo vectorial correspondiente a el generador 1∈g esX#=k∂ ∂θ.
Teorema 3.2.1 (Atiyah, Guillemin-Sternberg). Sea (M, ω) una variedad
simpléc-tica compacta, y sea Tm un m-toro. Suponga que ψ :Tm → Dif(M, ω) es una acción hamiltoniana con aplicación de momento µ:M →Rm. Entonces:
Los niveles de µ son conexos.
La imagen de µ es la envoltura convexa de las imágenes de los puntos jos de la
acción.
La imagen de la aplicaciónµ es llamada el politopo de momento y será de vital
importancia en la clasicación de las variedades toricas. Una prueba de este teorema se puede encontrar en [M&S].
Denición 3.2.1. Una variedad Tórica simpléctica es una variedad simpléctica com-pacta, conexa (M, ω) con una acción efectiva2 hamiltoniana de un toro Tde dimensión igual a la mitad de la dimensión de la variedad, con su correspondiente función de mo-mento µ.
Ejemplo:
Sobre la2-esfera(S2, ωest=dθ∧dh), considere la acción del círculoS1por rotación:
eit·(θ, h) := (θ+t, h)
con aplicación de momento µ = h igual a la altura, y politopo de momento el
intervalo [−1,1].
Análogamente el círculo S1 actúa sobre P1 =C2−0/∼ con la forma de Fubini-Study ωF S= 14ω por
t·[zo :z1] = [z0 :tz1]
esta acción es hamiltoniana con aplicación de momento
µ[z0 :z1] =− 1 2 |z1|2 |z0|2+|z1|2 y politopo de momento [−1 2,0].
2Una acción de un grupo G sobre una variedad M se dice efectiva si es inyectiva como función
G→Dif(M), i.e., si cada elemento del grupo mueve al menos a un punto, esto es, T
p∈MGp={e},
Falta Dibujo.
Ejemplo:
Considere el espacio 2-dimensional complejo(P2, ωF B) equipado con la forma de
Fubini-Study (ver:[G&F]). La acción de T2 sobre P2 dada por
(eθ1, eθ2)·[z 0:z1 :z2] = [z0 :eθ1z1 :eθ2z2] y aplicación de momento µ[z0 :z1, z2] =− 1 2 |z1|2 |z0|2+|z1|2+|z2|2 , |z2| 2 |z0|2+|z1|2+|z2|2 . • • • P2 O O / / ?????? ?????? ????? µ //
Este ejemplo lo vimos en el capítulo anterior desde el punto de vista algebraico y será importante parar ilustrar la idea de la veracidad de la conjetura de Hodge para las variedades tóricas. Nótese el siguiente hecho importante: las imágenes de los puntos jos de la acción son: [1 : 0 : 0]7→(0,0) [0 : 1 : 0]7→ −1 2,0 [0 : 0 : 1]7→ 0,−1 2
los vértices del politopo de momento, mientras que la acción es libre sobre las preimágenes de los puntos interiores a el mismo.
Denición 3.2.2. Dos variedades tóricas simplécticas (Mi, ωi,Ti, µi), i= 1,2, se dicen
equivalentes si existe un isomorsmoλ:T1 →T2y un simplectomorsmoλ-equivariante ϕ:M1→M2 tal que µ1=µ2◦ϕ.
3.3 18
3.3. Clasicación
En esta sección describiremos la clasicación de las clases de equivalencia de las variedades tóricas por sus politopos de momento. Recuerde que una variedad tórica
2n-dimensional es una variedad compacta, conexa y simpléctica equipada con una
ac-ción acac-ción Hamiltoniana efectiva de un n-toro Tncon su correspondiente aplicación de momentoµ:M →Rn.
Comenzaremos por denir la clase de politopos que surge de las variedades tóricas simplécticas. Un politopo enRnes la envolvente convexa de un número nito de puntos en Rn. Un Poliedro Convexo es un subconjunto de Rn que es la intersección de un número nito de medios-espacios anes. Es claro que, Politopos coinciden con poliedros acotados.
Denición 3.3.1. Un politopo de Delzant 4enRn es un politopo que satisface:
Hay n-aristas en cada vértice.
Las aristas en cada vérticep son racionales en el sentido que cada arista conectada
con p es de la forma p+tui, donde t≥0 yui∈Zn, i= 1,· · · , n.
Para cada vértice, los correspondientes vectores u1· · · , un se pueden escoger de tal
manera que formen una Z-base paraZn.
Las condiciones anteriores se conocen como Simplicidad, racionalidad y suavidad respec-tivamente.
El teorema de Delzant dice que existe una correspondencia entre los politopos de Delzant y las las variedades tóricas, dada por la aplicación de momento,T eorema3.2.1,
pero antes de mostrar la sobreyectividad de esta aplicación necesitamos algunos prelim-inares para la construcción de Delzant.
Sea ψ : G → Dif(M) un acción. Recordamos las siguientes deniciones sobre
ac-ciones de grupos y topología cociente.
La órbita de un puntop∈M porGes el conjunto{ψg(p)|g∈G}. El estabilizador
de un punto p∈M(o subgrupo de isotropía) esGp :={g∈G|ψg(p) =p}.
La acción se dice transitiva si solo solo hay una órbita, libre si todos los estabi-lizadores son triviales, y localmente libre si todos los estabiestabi-lizadores son discretos.
Una acción de un grupo determina una relación de equivalencia sobre el conjunto sobre el cual actúa: dos elementos p, q ∈ M están relacionados p ∼ q si y solo están
en la misma órbita. El conjunto de órbitas M/G :=M/ ∼es llamado El Espacio de
Órbitas. La aplicación
π :M →M/G
es la aplicación proyección.
Dotamos a M/G con la topología más débil que hace continua la proyección, esto
es La topología cociente, donde un subconjunto U ⊂ M/G es abierto si y solo si π−1(U)⊂M es abierto en M.
Ejemplo:
Los espacios proyectivos complejos son espacios de órbitas. En efecto, considere la acción
ψ:C− {0} →Dif(Cn− {0}) λ7→ψλ
donde ψλ es simplemente multiplicación por λ. El espacio de órbitas para esta
acción es simplemente el (n−1)-espacio proyectivo:
Pn−1:= (Cn− {0})/(C− {0}) =S2n−1/S1.
Donde la topología de Pn−1 es la inducida por la proyección y Cn− {0}. Ahora queremos dotar aPn−1 de una forma simpléctica, esto lo podemos hacer gracias al siguiente teorema.
Teorema 3.3.1 (Marsden-Weinstein, Meyer). Sea(M, ω) una variedad simpléctica
con un acción hamiltoniana ψ : G → Dif(M), con G un grupo de Lie, y µ su
cor-respondiente aplicación de momento. Suponga que G actúa libremente sobre µ−1(0). Si i:µ−1(0),→M es la inclusión entonces:
1. El espacio de Órbitas MR=µ−1(0)/G es una variedad.
2. La aplicación ρ:µ−1(0)→M
Red es unG-haz principal.
3. Existe una forma simpléctica ωR sobre MR que satisface i∗ω=ρ∗ωR.
Denición 3.3.2. La pareja (MR, ωR) se dice la reducción simpléctica de (M, ω) con
respecto a Gy a µ.
Ejemplo:
En el ejemplo anterior, la acción
ψ:C− {0} →Dif(Cn− {0}) λ7→ψλ
es hamiltoniana, con aplicación de momento dada por
µ:C− {0} →R z7→ −1
2|z|
3.3 20 tomando la constante igual a 1
2 se tiene que la reducción simplécticaµ
−1(0)/S1 es
precisamente el (n−1)-espacio proyectivo equipado con la forma simpléctica de
Fubini-Study ωR=ωF S.
Utilizando el Teorema 3.3.1 mostraremos la existencia de una variedad simpléctica dado un politopo de Delzant, este proceso se conoce como la construcción de Delzant, para ampliar el tema ver [De] y [Gui].
Sea4 ⊂Rnun politopo de Delzant condcaras y seanvi∈Zn,i= 1,· · ·, d, vectores primitivos3 normales a cada cara del politopo. Sean λ
i ∈R,i= 1,· · · , dtales que: 4={x∈Rn:hx, v ii ≤λi, i= 1,· · ·, d}. (3.1) Considere la aplicación π:Rd→Rn ei 7→vi (3.2)
donde ei forman la base canónica de Rd.
Lema 3.3.2. La aplicación π es sobreyectiva y lleva todo Zd enZn.
Demostración. Basta con mostrar que el conjuntov1,· · · , vngenera aZn. En efecto, para un vértice p ∈ 4 si u1,· · · , un son los vectores conectados a p por denición se tiene
que el conjunto {u1,· · ·, un} es unaZ-base para Zn. Ahora, si A es la matriz formada por los vectores {u1,· · ·, un} como columna, es claro que A es invertible y su inversa
también tiene solamente entradas enteras. Usando esta matrizA−1 como un cambio de
base, la base {u1,· · · , un} pasaría a ser la base estándar, y los vectores normales a las
caras del politopo tendrían como imagen los inversos aditivos de la base estándar, esta imagen forma una Z-base y por tanto los vectores originales también.
Como consecuencia del lema anterior se tiene queπ induce una aplicación
sobreyec-tiva, también llamada π, entre los toros:
Rd/2πZd→Rn/2πZn.
El núcleoN de esta aplicaciónπ es un grupo de Lie de dimensiónd−nde el toroTdcon aplicación de inclusión i:N →Td. Siη es el álgebra de Lie deN, la siguiente sucesión
exacta de toros
1→N −→i Td π−→Tn→1. (3.3)
3Un vectorv∈Zn se dice primitivo si el máximo común de sus componentes es 1, i.e. si no existen u∈Znyλ∈Ztal quev=λu.
induce una sucesión exacta de álgebras de Lie
1→η −→i Rd π−→Rn→1. (3.4) con sucesión dual exacta asociada
1→(Rn)∗ π
∗
−→(Rd)∗ i
∗
−→η∗ →1. (3.5)
Considere la variedad simpléctica Cd con forma simpléctica ω0 = 2i Pdzk∧dz¯k con la
acción hamiltoniana deTd dada por
(eit1,· · ·, eitd).(z
1,· · ·, zd) = (eit1z1,· · · , eitdzd).
con su respectiva aplicación de momento φ:Cd→(Rd)∗ denida por φ(z1,· · ·, zd) =−
1 2(|z1|
2,· · · ,|z
d|2) + (λ1,· · · , λd) (3.6)
con losλ's como en (3.1). Ahora, del hecho enunciado en la sección 3.1 y las ecuaciones
(3.4), (3.5) se tiene que N actúa sobre la variedad Cd y su acción es hamiltoniana con aplicación de momento
i∗◦φ:Cd→η∗.
Lema 3.3.3. SeaZ=i∗◦φ−1(0).Z ⊂Cdes un conjunto compacto yN actúa libremente
sobre Z.
Demostración. Claramente Z es un subconjunto cerrado de Cd, basta mostrar que es acotado, más aún, mostraremos que φ(Z) =40 =π∗(4). Seay en la imagen deZ por
φ, esto ocurre si y solo si y está en la imagen de φ y además i∗(y) = 0. La primera
condición por (3.6) es equivalente a hy, eii ≤λi parai= 1,· · · , dy la segunda por (3.5)
es equivalente a la existencia de x ∈ (Rn)∗ tal que y = π∗(x). Combinando estas dos ecuaciones se tiene que
hπ∗(x), eii ≤λi⇔ hx, π(ei)i ≤λi ⇔ hx, vii ≤λi ⇔x∈ 4
de donde se sigue el resultado deseado.
Para mostrar que N actúa libremente sobre Z; jemos un vértice p de 4 y sea
I ={i1,· · · , in} el conjunto de índices para las n caras adyacentes a p. Sea z ∈ Z tal
queφ(z) =π∗(p), dado quep está caracterizado por las siguientesnecuaciones se tiene
que: hp, vii=λi ⇔ hp, π(ei)i=λi ⇔ hπ∗(p), eii=λi ⇔ hφ(z), eii ≤λi⇔ − 1 2|zi| 2+λ i =λi⇔zi= 0, i∈I.
3.3 22 por tanto, las coordenadas i-ésimas de las preimágenes de los vértices de politopo 40
son cero para i ∈ I. Sin pérdida de generalidad podemos asumir que I = {1,· · ·, n},
entonces el estabilizador de z es el subgrupo
(Td)z ={(t1,· · · , tn,1,· · ·,1)∈Td}.
Como la aplicación (3.2) lleva los vectorese1,· · · , enen laZ-base deZn{v1,· · ·, vn}, la
restricción de (3.2) al subgrupo(Td)z debe ser una biyección. Ahora comoN =Ker(π)
se tiene que N∩(Td)z = {e}, i.e. Nz = {e}, por tanto los estabilizadores para las
preimágenes de los vértices deben ser triviales, pero este es el peor de los casos pues cualquier otro estabilizador, para la preimagen de un punto de 40, está contenido en uno de estos.
Como i∗ es sobreyectivo, 0 ∈ η∗ es un valor regular de i∗ ◦φ, por tanto Z es una
subvariedad compacta de Cd de dimensión real 2d−(d−n) = d+n. El espacio de órbitas M4 = Z/N es una variedad compacta de dimensión real dimZ −dimN =
(d+n)−(d−n) = 2ny el teorema 3.3.1 garantiza la existencia de una forma simpléctica ω4 sobre M4 que satisfaceρ∗ω4=j∗ω0, donde j:Z ,→Cd es la inclusión.
Dado un politopo de Delzant4, hemos construido una variedad simpléctica(M4, ω4), dondeM4 =Z/N es una variedad2n-dimensional compacta. En este momento estamos a solo un paso de mostrar el Teorema de Delzant [De].
Teorema 3.3.4 (Delzant). Existe una correspondencia biunívoca entre las variedades tóricas y los politopos de Delzant dada por la aplicación de momento
(M, ω)−−→1−1 µ(M).
El teorema 3.2.1 y el teorema 4.3.2 del siguiente capítulo muestran una dirección del teorema de Delzant; asocia a cada variedad tórica simpléctica un politopo de Delzant. Para mostrar la otra dirección del teorema resta mostrar la siguiente proposición. Proposición 3.3.5. La variedad simpléctica (M4, ω4) tiene una Tn-acción hamiltoni-ana heredada con aplicación de momento µ4 con imagen µ4(M4) =4.
Demostración. Sea p un vértice de 4, y seaz tal que φ(z) = π∗(p) como en la prueba
anterior. Sea σ :Tn →(Td)z una inversa para la biyección antes mostradaπ : (Td)z →
Tn. Note queσ es una transversal para la aplicaciónπ, por lo tanto la siguiente sucesión exacta se rompe:
1→N −→i Td π−→
Tn→1
i.e., Td ' N ×Tn, por tanto, por este isomorsmo la acción de Tn desciende sobre M4 =Z/N. Falta mostrar que esta acción es hamiltoniana.
Considere el diagrama Z Cd Rd'η∗⊕( Rn)∗ (Rn)∗ M4 j // φ // σ∗ / / ρ
donde σ∗ es la proyección sobre la segunda componente. Cómo Las N-órbitas son
con-stantes bajo la aplicación horizontal Z →(Rn)∗, esta aplicación desciende a
Z Cd Rd'η∗⊕( Rn)∗ (Rn)∗ M4 j // φ // σ∗ / / ρ µ4 3 3 g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g
otra aplicaciónµ4:M4 →(Rn)∗ que satisface: µ4◦ρ=σ∗◦φ◦j. Finalmente, la imagen de µes µ4(M4) =µ4◦ρ(Z) =σ∗(φ(j(Z))) =σ∗(φ(Z)) =σ∗(π∗(4)) =4. puesφ(Z) =π∗(4) yσ∗◦π∗ = (π◦σ)∗ =id.
3.4. Ejemplo
Considere el politopo de Delzant4con vértices en(0,0),(1,0)y(0,1).
• • • O O / / ?????? ?????? ????? v3 ? ? v1 v2 o o
3.4 24 Note que el politopo de Delzant se puede escribir
4={~x∈R2 :−y≤0,−x≤0, x+y≤1}
={~x∈R2 :~x.vi≤λi, i= 1,2,3}
donde v1 = (0,−1), v2 = (−1,0), v3 = (1,1) y λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = 1. Dado que el
politopo tiene tres caras y vive enR2, tenemos la aplicación (3.2) π :R3→R2
denida por
π = 0 −1 1
−1 0 1
!
con núcleoN ={(1,1,1)t:t∈R} y aplicación inducida: π :T3 →T2 r t s 7→ st−1 sr−1 !
Así que en este caso la sucesión exacta (3.4) sería:
1→R−→i R3−→π R2 →1.
con i= (1,1,1). La sucesión exacta dual (3.5) se ve así: 1→R2 −→πt R3 −→it R→1.
Ahora, considere la variedad simpléctica C3 con la forma simpléctica estandar ω0 y la
acción del toro T3 dada por
(eit1, eit2, eit3)·(z
1, z2, z3) = (eit1z1, eit2z2, eit3z3)
y aplicación de momento asociada
φ:C3 →R3 (z1, z2, z3)7→ − 1 2(|z1| 2,|z 2|2,|z3|2) + (0,0,1).
Del hecho mencionado en la sección 3.1 se tendría que N actúa sobre C3 con aplicación de momento it◦φ:C3→R. Por tanto,
Z= (it◦φ)−1(0) ={(z1, z2, z3)∈C3:|z1|2+|z2|2+|z3|2 = 2} 'S5.
Entonces en este caso la variedad simpléctica asociada el politopo4sería:
La clase de equivalencia del punto (z0, z1, z2) móduloN, la notaremos por [z0 :z1 :z2].
Falta mostrar cómo es la acción del grupo de lieT2 sobreP2y la aplicación de momento correspondiente. Para esto, sean p= (0,1)yz= (−2,0,0)como en la construcción del
lema 3.3.3, esto es, π∗(p) = (−1,0,1) =φ(z), entonces (T3)z={((1, t, s)∈T3)}
y
σ :T2→T3
(t, s)7→(1, st−1, s)
luego la acción deT2 sobreP2 está dada por
(t, s)·[z0 :z1 :z2] = [z0 :st−1z1 :sz2] y su aplicación de momento µ4([z0 :z1:z2]) =µ4(ρ(z0, z1, z2)) =σ∗(φ(j(z0, z1, z2))) =σ∗(φ(z0, z1, z2)) =σ∗ −1 2(|z0| 2,|z 1|2,|z2|2−2) =−1 2(|z2| 2+|z 3|2−2,−|z2|2) = 1 2(|z1| 2,|z 2|2).
Note los siguientes tres hechos importantes:
µ4 no depende de los representantes escogidos, puesφes invariante por la acción de T3, en particular por la acción deT2.
La imagen de µ4(P2) =µ4(ρ(Z))es precisamente el politopo original4.
Los Puntos jos de la acción deT2 sobreP2 corresponden a las preimágenes de los vértices del politopo4.
3.5. Variedades Simplécticas vs Variedades Algebraicas
En el segundo capítulo vimos como las variedades tóricas normales están clasicadas por fans 2.5.1, y en este capítulo como las variedades tóricas simplécticas lo están por sus politopos de momento 3.3.4. En esta sección daremos una idea de cómo se relacionan estas dos clasicaciones. Para más información al respecto vea [An].
Sea P ⊂ Rn un politopo, y sea f :
Rn → R una función lineal. Notaremos por SopPf la cara soporte de f en P, esto es, el conjunto de puntos en P donde f alcanza
3.5 26 Denición 3.5.1. Sea F una cara del politopo P ⊂ Rn. El cono asociado a F es la clausura del conjunto CF,P ⊂(Rn)∗ que consiste de todas las funciones f ∈(Rn)∗ tales que SopPf =F.
Se puede mostrar queCF,P es un cono convexo, y q la colección de conosCF,P para
todas las caras de P, forma un fan completo.
Denición 3.5.2. El fan del politopoP es la colecciónFP de los conosCF,P para todas
las caras F deP.
Ejemplo:
Sea P el politopo dibujado a continuación con caras F1,· · ·, F6.
• • • F5 ={(0,0)} F1 F4 ={(1,0)} F2 F6 ={(0,1)} F3 O O / / ??? ?????? ??? ?????? ?????? ?
El fan asociado a P se compone de los siguientes conos. El cono asociado a todo
el politopo es el origen. Los conos asociados a las caras F1, F2 yF3 corresponden
a medias líneas, y los conos asociados a los vértices F4, F5 y F6 son regiones 2
-dimensionales. El Fan se ve así:
• CF2,P CF4,P CF5,P CF1,P CF3,P CF6,P / / O O ??? ?? ??? ?? ?? ?? ? o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
SeaSpecmC[S]una variedad tórica afín asociada al semigrupo nitamente generado S ⊂Zn. Supongamos queS genera como grupo abeliano a
es normal si y solo si S =P∩Zn donde P es la envoltura convexa deS en Rn. Cuando SpecmC[S]es normal, su fan coincide con el fan del poliedro convexoP.
Las variedades tóricas anes normales corresponde a fans que consisten de todas las caras de un cono n-dimensional. La compacidad corresponde a la completitud del fan.
La equivarianza proyectiva4 se tiene si es de la forma X
A para algún conjunto tal que
A = Zk ∩P donde P es un politopo. Como los espacios proyectivos son compactos, cualquier variedad tórica equivariante proyectiva es compacta.
No todas las variedades tóricas equivariantemente proyectivas son normales, basta simplemente con tomar un fan de un politopo racional que no sea suave, por ejemplo el siguiente politopo no es suave en su vértices superior.
• • •
•OOOOOO
OOOOOO
OOOOOOOO
No todas las variedades tóricas compactas normales son equivariantemente proyec-tivas. Aunque en dimensión 1 y2 este siempre es el caso, en dimensión 3 no lo es. De
manera equivalente no todos los fans completos vienen de politopos en el sentido de la denición 3.5.2. (Por ejemplo en R3 la colección de conos sobre la subdivisión de un tetrahedro no está asociada a un politopo).
No todas las variedades tóricas normales son compactas, de hecho ninguna variedad tórica afín es compacta; más general, cualquier fan que no sea completo corresponde a una variedad tórica normal no compacta.
Un politopo reticular es un politopo enRncuyos vértices pertenecen aZn. Supon-ga que 4 es un politopo n-dimensional que es Delzant y reticular. Como politopo de
Delzant, este es politopo de momento de una variedad tórica simpléctica(M4, ω4,Tn, µ4) por la construcción de Delzant 3.3.4.
Por otro lado, considere el conjunto de puntos integrales en4
A:=Z∩ 4={λ(1),· · ·, λ(k)}.
Claramente la envoltura convexa de4esA. Considere la variedad tórica asociada a A,XA(como en el ejemplo de las sección 2.1) con una acción de(C∗)n. La variedadXA
es suave y compacta pues el fan del politopo 4 es suave y completo, yXA es conexa
pues es la clausura de una(C∗)n-órbita. Más aún, por deniciónXAtiene una inmersión
equivariante XA,→Pk−1; y la restricción de la (C∗)n-acción al subgrupo: Tn={(t1,· · · , tn)∈(C∗)n:|ti|= 1,∀i}
4Una variedad tórica X con una acción de un toro(
C∗)n se dice equivariantemente proyectiva si
3.5 28 es efectiva, pues la acción de(C∗)n es efectiva.
Recuerde que los espacios proyectivos tienen una estructura simpléctica canónica dad por la forma de Fubini-StudyωF S. Por conveniencia usaremos la forma simpléctica
−2ωF S sobrePk−1. ComoXAes una subvariedad compleja dePk−1 yωF S es una forma
de Kähler, tenemos que la restricción
ωA:=i∗(−2ωF S)
es no-degenerada, por tanto una forma simpléctica sobre XA. La forma ωA es Tn -invariante puesωF S lo es. Se puede ver que laTn-acción sobreXAes una acción
hamil-toniana, con aplicación de momento µ|XA donde µ:Pk−1 →Rn
es la aplicación de momento para (Pk−1,−2ωF S). De hecho, la imagen de µ|XA es de nuevo4, por tanto estas dos construcciones: la construcción de Delzant y la de variedades
tóricas, llegan a variedades tóricas equivalentes.
Esta coincidencia de las construcciones permite ver que una variedad tórica sim-pléctica es Kähler, pues esta hereda una estructura compleja invariante de su inmersión equivariante en un espacio proyectivo.
No todas las variedades tóricas admiten formas simplécticas. una variedad tórica normal compacta admite una forma simpléctica si y solo si su fan proviene de algún politopo.
Teoría de Morse
La Teoría de Morse se debe originalmente a Marston Morse [Mo]. La teoría de Morse nos muestra un método de estudiar la topología de una variedad usando la información de los puntos críticos de cierta función denida sobre la Variedad. Basados en la misma idea, Thom, Smale, Milnor y Witten introdujeron La Homología de Morse de una variedad de varias maneras. En este capítulo explicaremos esta teoría.
4.1. Deniciones
En este capítulo M será una variedad n-dimensional compacta, y f :M → R una
función suave.
Denición 4.1.1. Un punto p ∈ M se dice punto crítico de de f, si la aplicación
inducida f∗ :TpM →Tf(p)Res idénticamente cero.
En términos de coordenadas localesu1,· · ·, un, un punto p∈M es un punto crítico
si y solamente si se tiene que
∂f ∂u1 = ∂f ∂u2 =· · ·= ∂f ∂un = 0.
Denición 4.1.2. Un punto críticopdef se dice no degenerado si la aplicación bilineal H:TpM ×TpM →R
(Xp, Yp)7→Yp(X(f))
es no degenerada, i.e. si H(Xp, Yp) = 0 para todo Xp entonces Yp = 0, donde X es un
campo vectorial que en el punto p vale precisamente Xp.
Para un punto no degeneradopel índice de Morsef enpes la dimensión del espacio
4.1 30 La buena denición es consecuencia de que p es un punto crítico, y por tanto Xp(Y(f))−Yp(X(f)) = [Xp, Yp](f) = 0. En términos de coordenadas localesu1,· · ·, un,
un punto crítico p∈M es no degenerado si y solamente si la matriz Hessiana
∂2f ∂ui∂uj
es invertible, y el índice de Morse de f en p es el número de valores propios negativos
de la matriz.
Denición 4.1.3. Una función f se dice función de Morse, si todo sus puntos críticos
son no degenerados.
La forma local de una función de Morse es bastante sencilla, se describe a contin-uación; mas información en [Mi].
Teorema 4.1.1 (Lema de Morse). Sea pun punto crítico no degenerado def. Existe
una vecindad U y sistema local de coordenadas u1,· · ·, un centrado en p, i.e. ui(p) = 0
con i= 1,· · · , n donde f tiene la forma:
f =f(p)−(u1)2− · · · −(uλ)2+ (uλ+1)2+· · ·+ (un)2
donde λes el índice de Morse def enp.
La idea clásica de la Teoría de Morse es el estudio de las subvariedades de la forma
Ma={p∈M :f(p)≤a}, dondeaes un punto no crítico de f. Supongamos que estas
subvariedades Ma's son compactas. Hay dos importantes teoremas concernientes a el
tipo de homotopía de Ma conforme cambiaa.
Teorema 4.1.2 (Teoremas de Morse).
1. Si f no tiene puntos críticos en el intervalo [a, b], entonces Ma es difeomorfo a
Mb, más aún, Ma es un retracto de deformación de Mb.
2. Si hay un solo punto crítico de f no degenerado de índice λ en el intervalo [a, b],
entonces el tipo de homotopía deMb es obtenido deMa adjuntándole unaλ-celda.
Estos teoremas dan lugar a la famosas Desigualdades de Morse, las cuales dan una cota superior para el número de puntos críticos de f.
Teorema 4.1.3 (Desigualdades de Morse). Sea bk el k-ésimo número de Betti de
M, i.e. la dimensión de el k-ésimo grupo de cohomologíaHk(M,
R), y seack el número
de puntos críticos de f de índice k. Si f es una función de Morse entonces se tienen la
1. bk−bk−1+bk−2− · · ·+ (−1)kb0 ≤ck−ck−1+ck−2− · · ·+ (−1)kc0 para cada k. 2. n X k=0 (−1)kbk = n X k=0 (−1)kck.
Una función de Morse, se dice que es una función de Morse perfecta si las de-sigualdades anteriores son realmente igualdades.
Corolario 4.1.4. Si todos los puntos críticos de una función de Morse f tienen índice
par, entonces f es una función de Morse perfecta.
4.2. Homología de Morse y El Teorema de Morse-Smale
Sea g una métrica Riemanniana sobre M. Considere el ujo gradiente negativo de
una función de morse f:
ϕ:R×M →M ∂
∂tϕ(t, x) =−∇f(ϕ(t, x)), ϕ(0,·) =idM. (4.1)
Denición 4.2.1. Si p es un punto crítico, se pueden denir las variedades estable e
inestable respectivamente así:
Wpe ={x∈M : l´ım
t→∞ϕ(t, x) =p}
Wpi ={x∈M : l´ım
t→−∞ϕ(t, x) =p}.
Si p es un punto crítico no degenerado de f, el espacio TpWpi es el espacio propio
negativo de la matriz Hessiana H(f, p). Thom1 descubrió que esta descomposición
al-gunas veces forma un CW-complejo del cual se puede calcular los grupos de homología, en general no. Sin embargo, en los 50's Smale2 encontró que si ponía una condición adi-cional sobre la métrica, está descomposición tendría la estructura de un CW-coplejo. La condición sobre la pareja(f, g)es llamada la condición de Morse-Smale: que pide,f
sea una función de Morse, y para cada par de puntos críticos pyq la variedad inestable
de p Wpi es transversal a la variedad estable de q Wqe. Más aún, Smale descubrió que
esta condición se alcanza para una métrica Riemanniana sobre M.
Para cualquier par de puntos críticos p y q, se dene una línea de ujo desde p
hasta q por una aplicación γ : R → M tal que γ0(t) = −∇f(γ(t)), l´ımt→−∞γ(t) = p
1René Thom, Sept 1923 - Oct 2002. 2Stephen Smale, July 1930.
4.2 32 y l´ımt→∞γ(t) =q. Existe una acción natural deR sobre el conjunto de líneas de ujo de p a q por pre-composición con traslaciones de R. Denote por M(p, q) el espacio de módulos de las líneas de ujo de pa q, móduloR. De hecho se tiene que
(Wpi∩Wqe)/R=M(p, q).
Se sabe que dim(Wpi) = ind(p) y dim(Wqe) = n−ind(q). Como consecuencia de la
transversalidad, sip6=q, se puede mostrar que
dim(Wpi∩Wqe) =dim(Wpi) +dim(Wpi)−n =ind(p) + (n−ind(q))−n =ind(p)−ind(q).
Cuandoind(p)−ind(q) = 1, el espacio de módulos tiene dimensión cero. Ahora deseamos
contar cuantos ujos hay desdephastaq, antes de debemos hablar sobre las orientaciones
de la variedades inestables.
Fija una orientación de la variedad inestable Wpi para un punto crítico p, esta
in-duce una orientación natural sobre cada órbita. En efecto, para r ∈ M(q, p) el ujo
gradientedϕt(r)para untsucientemente grande determina un isomorsmo de espacios
vectoriales:
TqWi(q)∩ ∇f(r)⊥→TpWi(p).
Dena (r) =±1, dependiendo si el isomorsmo preserva o invierte la orientación.
Finalmente podemos denir El Complejo de Morse. SeaCrik(f)los puntos
críti-cos de f de índice k. El grupo Ck(f) es un grupo libre abeliano generado Crik(f):
Ck(f) =ZCrik(f), k= 0,· · ·, n.
El operador frontera δk : Ck(f) → Ck−1(f) cuenta el número de líneas de ujos
alge-braicos que conectan a p yq, esto es: δkhqi= X indf(p)=k−1 X r∈M(q,p) (r)hpi
si q ∈ Crik(f). Este complejo (C∗(f), δ) es el complejo de Morse, falta mostrar que δ es de hecho un operador frontera y que la homología de este complejo coincide con la homología singular deM.
Teorema 4.2.1 (Morse, Smale, Witten). Suponga que el ujo (4.1) es un ujo de Morse-Smale. Sean (C∗(f), δ) como se denieron antes. Entonces δ◦δ = 0 y existe un isomorsmo natural
Hk(M, f,Z) = Ker(δk) Im(δk+1)
Geométricamente se puede se pensar que la suma formal P
miWi(xi) corresponde
a un elemento P
mixi ∈ Kerδ, como un ciclo que representa la imagen de la clase de
homología Morse-Smale [P
mixi]∈ H(M, f,Z) bajo el isomorsmo del teorema 4.2.1. Para más detalle sobre la prueba puede ver [Fl], [Sa], [Sh].
4.3. Homología de las Variedades Tóricas Simplécticas
Los siguientes dos teoremas describen como son las vecindades estándar de puntos jos, las pruebas se pueden encontrar en [G&S].
Teorema 4.3.1 (Equivarianza de Darboux). Sea (M, ω) una variedad simpléctica 2n-dimensional, equipada con una acción simpléctica de un grupo de Lie G. Sea q un
punto jo de la acción. Entonces existe una carta(U, x1,· · · , xn, y1,· · ·, yn)G-invariante
centrada en q yG-equivariante con respecto a la acción de G sobre R2n tal que ω|U =
n
X
k=1
dxk∧dyk.
Teorema 4.3.2. Sea (M, ω) una variedad 2n-dimensional simpléctica, con una acción
hamiltoniana de un toroTm y aplicación de momento asociadaµ. Seaq un punto jo de la acción. Entonces existe una carta (U, x1,· · · , xn, y1,· · · , yn) centrada en q y alturas
λ(1),· · · , λ(n)∈Zm tal que: 1. ω|U = n X k=1 dxk∧dyk. 2. µ|U =µ(q)− 1 2 n X k=1 λ(k)(x2k+y2k).
Este último teorema muestra la existencia de una carta de Darboux centrada sobre un punto jo, donde la aplicación de momento es como la aplicación de momento para Cn.
Desde ahora y durante esta sección (M, ω) será una variedad tórica 2n-dimensional
con acción del grupo de Lie Tn y aplicación de momento µ. En este caso, se puede mostrar que las alturas λ(1),· · ·, λ(n) forman unaZ-base para Zn, por tanto el teorema 4.3.2 muestra la buena denición de una dirección del Teorema de Delzant, pues so-bre cada vértice del politopo de Delzant son satisfechas las condiciones de simplicidad, racionalidad y suavidad.
Considere la dirección enRndeterminada por un vectorX∈Rncuyas componentes sean independientes sobre Q. Esta condición asegura que:
4.3 34 El subgrupoTX deTn generado porX, es denso enTn.
X no es paralelo a las caras del politopo de momento4:=µ(M).
Los vértices de 4tiene diferentes proyecciones a lo largo de X.
SiµX := hµ, Xi :M → R es la proyección de la aplicación µ a lo largo de X, por
denición de aplicación de momento, µX es una función hamiltoniana para el campo
vectorial X# generado por X. Se puede mostrar que los puntos críticos de µX son
precisamente los puntos jos de la acción deTX y por tanto los puntos jos de la acción de Tn sobreM.
Ahora, por el teorema 4.3.2, siq es un punto jo de la acción, entonces existe una
carta (U, x1,· · · , xn, y1,· · ·, yn) centrada enq y alturas λ(1),· · · , λ(n) ∈Zn tal que µ|U =µ(q)− 1 2 n X k=1 λ(k)(x2k+yk2).
Como las componentes de X son independientes sobre Q, todos los coecientes
hλ(k), Xi son distintos de cero, por tanto q es un punto crítico no degenerado de µX.
Más aún, el índice de q es precisamente el número de índices k tales que el producto
−hλ(k), Xi<0, pero estosλ(k) son precisamente las aristas que conectan al puntoµ(q).
Por tanto, geométricamente el índice deq puede ser leído desde el politopo, haciendo el
producto de las aristas que conectan al punto µ(q) yX y mirando cuando este valor es
positivo. En particular µX es una función de morse perfecta por el corolario 4.1.4.
Teorema 4.3.3 ([An]). Sea (M, ω) una variedad simpléctica 2n-dimensional, con un
acción hamiltoniana de un toro Tn. Sea X∈Rn cuyas componentes son independientes sobreQ. Entonces el2k-ésimo grupo de homología deM tiene dimensión igual al número de vértices del politopo 4=µ(M) que tienen exactamentek aristas por encima módulo
la proyección sobre el vector X. Todos los grupos de homología de orden impar son
triviales. Ejemplo:
En el caso del espacio proyectivo P2, si tomamos un vector−X3 como se ve en el siguiente dibujo:
3El signo negativo en el vectorX, es solo por conveniencia, porque vamos a ilustar el ujo gradiente
• • • p1 p2 p3 ?????? ?????? ????? −X J J
Los índices de los puntos críticosp1, p2yp3son respectivamente0,2y4, por tanto
la homología de P2 es simplemente Hn(P2) =
(
Z si n= 0,2,4
0 si n6= 0,2,4
Para decir un poco mas sobre la homología de las variedades tóricas necesitamos las siguientes observaciones que nos permitirán ver claramente quienes son las correspon-dientes variedades inestables de los puntos críticos y con esto mostrar la conjetura de Hodge.
i) El vector∇µX, en un puntopde la variedad, apunta en la dirección en la cualµX
crece lo más rápido posible. ii) ∇µX =h∇µ, Xi.
iii) La aplicación de ∇µ:TP2 →T4, lleva el ujo gradiente de ∇µX, en un campo vectorial sobre 4.
Bajo estas observaciones, sobre el campo vectorial inducido sobre la variedad con frontera 4se puede decir que:
iv) No hay vectores en los vértices del politopo4, pues son las imágenes de los puntos
críticos.
v) Si vp es un vector en Tp4, y p pertenece a una arista, entonces el vectorvp debe
ser paralelo a la arista. De lo contrario el inverso de este vector −v o él mismo,
apuntarían en una dirección no permitida: por fuera de la variedad con frontera
4. En general sip vive en una cara del politopo, el vector vp también debe vivir
sobre la misma cara.
vi) Cada vectorvp debe ser lo más paralelo posible al vectorX sobre el cual se está
4.3 36 Ejemplo:
En el ejemplo anterior de P2 el campo vectorial sobre el politopo se vería así:
• • • • • • ?????? ?????? ????? X J J / / /o /o /o / / // // O O O O O O _ _ ???? _ _ ???? ???? _ _ ????? X J J J J J J J J JJ J J J J JJJJJJ
Con el campo vectorial pintado sobre el politopo podemos saber que puntos corresponden en 4(y por tanto en la variedad) a las variedades inestables, solo mirando aquellos que
avanzar en sentido contrario al ujo llegan al punto crítico, y tomando su cerradura. Ejemplo:
De esta manera las subvariedades inestables de los tres puntos críticos de la función
µX en P2 se verían así: Para p1: ◦ ◦ • p1 Para p2: • ◦ • p2 Para p3: • • • p3 ?????? ?????? ?????
Así que en general las imágenes de las variedades inestables corresponden a caras del politopo, por tanto a subvariedades algebraicas de la variedad original.
Teorema 4.3.4. Sea (M, ω) una variedad simpléctica 2n-dimensional, con una acción
hamiltoniana de un toroTn y aplicación de momentoµ. Seax∈Rn cuyas componentes son independientes sobre Q. Sea z ∈ M un punto crítico de µX. Entonces la variedad inestable Wzi es una subvariedad tórica deM.
Demostración. Sea p = µ(z) el vértice del politopo µ(M) = 4 que corresponde a la
imagen de z. Sean u1,· · · , un las aristas que están conectadas con p. El hiperplano H
ortogonal a X clasica los vectores u1,· · · , un en dos grupos: u1,· · ·, uk los que están
por debajo deH, y los que estan por encima, en otras palabras, las aristas que salen
de p:u1,· · · , uk y las aristas que llegan ap:uk+1,· · ·, un, como en los argumentos del
teorema 4.3.3.
Ahora, la variedad inestable del punto p en el politopo, corresponde a la cara C
encerrada por las aristas u1,· · · , uk y por tanto la variedad inestableWzi corresponde a
la preimagen de la cara µ−1(C), que es una variedad tórica de dimención2k.
Corolario 4.3.5. Bajo las hipótesis del teorema 4.3.4. La homología deM está generada
por las subvariedades tóricas de M.
Demostración. Se sigue del teorema 4.3.4y el teorema de Morse-Smale-Witten 4.2.1 y su prueba; con el isomorsmo entre las cases de homología de Morse-Smale y los ciclos:
[Xmixi]7→
X
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