Clase I. Juego de señales. A. Representaciones alternativas

Economía política Jorge M. Streb Clase 6 31.7.2012

Temas

I. Juego de señales

II. Dominancia en equilibrio y criterio intuitivo III. Las señales como un tipo de información

IV. Un caso particular de juegos con señales: la sanata (cheap talk) V. La sanata (cheap talk) como modelo de comunicación

I. Juego de señales

A. Representaciones alternativas

En el juego de señales del gráfico 1 (tomado del gráfico 4.2.2 en Gibbons) las jugadas son mover a izquierda (I) o a derecha (D). El jugador 1 se denomina emisor E, que puede tener dos tipos, mientras el jugador 2 es el receptor.

Gráfico 1. Juego de señales

I D Et 1 I D Et 2 1 3 I D I D I D D I 2 4 4 0 Receptor 0 1 1₂ 2 1 1 0 0 0 Receptor Naturaleza 1-r = 0,5 r = 0,5 1-q 1-p q p

Los dos tipos de emisor tienen probabilidades dadas exógenamente por r y 1-r. Los juegos con señales son juegos con información asimétrica, ya que el emisor sabe su tipo, pero el receptor no. Este es un juego de información incompleta, pero de información perfecta ya que el receptor sí observa perfectamente las acciones (señales) del emisor.

Este juego se puede representar en la forma usual, pero el problema es que se cruzan los conjuntos de información del receptor en I y en D, como mostramos en el gráfico 2. Por eso la representación alternativa que usa Gibbons es la usual para juegos de señales.

Gráfico 2. Juego de señales con la representación usual de juegos

Naturaleza I D 1 3 I D I D 4 0 0 0 2 1 Receptor Et 2 Et 1 I I D D D I 2 4 1 2 0 1 1 0 r 1-r p q 1-p 1-q Receptor

Esta representación alternativa de Gibbons es útil para considerar los diferentes contextos informativos que vimos la otra semana:

- los juegos de señales son juegos con información incompleta pero perfecta;

- si hubiera además información imperfecta, el segundo jugador no sabría ni tipo ni acción, así que tendría un solo conjunto de información y ya no sería un juego de señales;

- si hubiera información completa y perfecta, habría dos juegos a analizar en forma separada que se pueden resolver por inducción hacia atrás;

- con información imperfecta y completa, nuevamente el juego se puede resolver considerando los dos juegos separados, pero ya el jugador dos no sabe qué hizo el uno, sólo sabe su tipo.

B. Resolución de juegos de señales

Una manera simple de analizar los equilibrios en estrategias puras para los juegos con señales es partir de lo que hace el emisor. Puede haber tanto equilibrios con agrupación (donde no se revela información nueva) como con diferenciación (donde las acciones revelan el tipo). Acá las posibilidades son (D,D), (I,I), (D,I) e (I,D). Los dos primeros son potencialmente equilibrios con agrupación, los dos últimos equilibrios con diferenciación.

En este ejemplo simple se puede seguir el procedimiento de Cournot de tratar de “construir” una solución. Es decir, dado un punto de partido arbitrario, que puede ser cualquiera de las cuatro posibles estrategias puras de los dos tipos de emisores, hay que computar las expectativas del receptor sobre y fuera del sendero de equilibrio.

Además de la probabilidad a priori r =Pr[E=t1], que determina la distribución de tipos de emisor, están las probabilidades a posteriori ( p , q ), que determinan la distribución condicional de tipos de emisor para cada señal posible. Estas probabilidades condicionales se pueden describir usando la regla de Bayes, que computa los casos favorables sobre los casos posibles para cada señal. Por ejemplo, la probabilidad condicional p está dada como sigue, donde s indica estrategia y s(ti) indica la estrategia del tipo i:

[

]

En este ejemplo, en los dos equilibrios con diferenciación nada queda fuera del sendero de equilibrio, así que las expectativas están determinadas por las estrategias del emisor. Dadas estas expectativas, hay que computar las respuestas óptimas del receptor. Si el punto de partida arbitrario a su vez es respuesta óptima del emisores a lo que hace el receptor en cada conjunto de información, estamos en un equilibrio de Nash bayesiano perfecto. Es decir, la solución se puede plantear usando la idea de punto fijo del equilibrio Nash: partir de un punto arbitrario para emisores, encontrar las respuestas óptimas de receptor y luego verificar que el punto de partida inicial efectivamente sea una respuesta óptima también. Hay que usar la regla de Bayes para computar las probabilidades condicionales p y q.

De los dos potenciales equilibrios con diferenciación, uno sólo es un equilibrio de Nash bayesiano perfecto. Está representado en el gráfico 3 y se puede caracterizar como {(D, I ), (I,I ), p = 0, q = 1}.

Gráfico 3. Equilibrio con diferenciación

I D I D 1 3 I D I D I D D I 2 4 4 0 Receptor 0 1 1₂ 2 1 1 0 0 0 Receptor Naturaleza Et1 1-q = 0 1-p = 1 q = 1 p = 0 Et2 r = 0,5 1- r = 0,5

De los dos potenciales equilibrios con agrupación, uno sólo es un equilibrio de Nash bayesiano perfecto. Está representado en el gráfico 4 y se puede caracterizar como {(I, I ), (I,D ), p = 1/2, 0 <= q < = 2/3}.

Gráfico 4. Equilibrio con agrupación I D I D 1 3 I D I D I D D I 2 4 4 0 Receptor 0 1 1₂ 2 1 1 0 0 0 Receptor Naturaleza Et1 1/3<=1-q<=1 1-p =0,5 0<=q<=2/3 p =0,5 Et2 r = 0,5 1- r = 0,5

Ahora discutimos brevemente qué pasa con este equilibrio cuando se aplica un refinamiento al equilibrio de Nash bayesiano perfecto (el criterio intuitivo).

II. Dominancia en equilibrio y criterio intuitivo

Vamos a mencionar brevemente una restricción adicional que se aplica a las creencias fuera del sendero de equilibrio, que no están restringidas en el equilibrio de Nash bayesiano perfecto. Esta idea es ajena a los refinamientos anteriores, que insistían en usar el criterio de Nash en forma cada vez más sistemática, y se suele relacionar con una especie de “inducción hacia adelante”:

Definición: un desvío está “dominado en equilibrio” si la utilidad que el jugador obtiene en

equilibrio es mayor que el máximo pago posible si se desvía con esa jugada.

Definición: el “criterio intuitivo” es que, fuera del sendero de equilibrio, hay que dar

probabilidad cero a aquellos tipos para los cuáles los desvíos están dominados en equilibrio y peso positivo a aquellos tipos para los cuáles los desvíos no están dominados en equilibrio. Este criterio se puede aplicar siempre que el desvío no esté dominado en

Si se aplica al caso de juego de señales del gráfico 1, solo queda el equilibrio con diferenciación {(D, I ), (I, I ), p = 0, q = 1} del gráfico 3, ya que desaparece el equilibrio con agrupación {(I, I ), (I,D), p = 1/2, 0 <= q < = 2/3} del gráfico 4: para el emisor de tipo 2, está dominado en equilibrio la estrategia D por la estrategia I, pero no para el emisor de tipo 2; luego, el emisor de tipo 1 tiene que recibir peso 1 (es decir, q = 1) y el emisor de tipo 2, peso 0.

Este criterio no funciona tan bien cuando hay más de dos tipos, por eso no vamos a hacer hincapié en él.

III. Las señales como un tipo de información

En semiótica los signos se refieren a aquellos medios que sirven para transmitir información. Se puede distinguir, a partir de una idea de Charles S. Peirce, entre tres tipos de signos, en orden decreciente de convencionalidad:

- símbolos que son puramente convencionales, como las palabras;

- íconos que tienen algún parecido con el referente, como caricaturas o ciertas señales de tránsito;

- índices donde el consecuente guarda una relación causal con el antecedente, como el humo con el fuego, o los síntomas médicos con ciertas enfermedades.

Estos conjuntos no son mutuamente excluyentes, ya que pueden haber índices que tienen componentes simbólicos. Discutimos, por ejemplo, como los uniformes se pueden ver como un índice que indica si alguien es un policía, un médico o un bombero. Sin embargo, como tal tienen un componente simbólico; además, como alguien puede copiarlos o robarlos, el uso de un uniforme no se puede tomar como una prueba fehaciente de la identidad de la persona.

Las señales se pueden ver como un tipo particular de índices que son elegidos voluntariamente por el emisor para transmitir algún tipo de información al receptor (por ejemplo, el uso del uniforme). Puede haber por otro lado índices que son completamente involuntarios.

Como hablamos de referente, ayuda a distinguir los siguientes tres elementos en los signos:

- el significante, que es el medio que transmite la información del emisor al receptor; - el significado, que es el concepto al que remite el significante:

- el referente, que es el objeto al que se refiere el significante.

Muchas veces se usa signo para referirse no solo a todo el conjunto sino específicamente al referente.

En el caso de los símbolos lingüísticos, que es particularmente importante, el significante es la palabra misma.

IV. Un caso particular de juegos con señales: la sanata (cheap talk)

A diferencia de las señales, en la “sanata” o “cheap talk” (también están “chamuyo”, “cháchara” o “charlatanería”) las estrategias alternativas no implican ningún costo para el que las envía, por lo que se puede decir cualquier cosa sin costo. De alguna manera modela la comunicación, y la comunicación verbal en particular, pero donde el emisor no enfrenta ningún costo subjetivo por no decir la verdad ni el receptor por descifrar el mensaje verbal.

Consideremos el juego del gráfico 5, donde representamos un equilibrio donde el tipo 1 mueve a la izquierda (I) y el tipo 2 mueve a la derecha (D). Este equilibrio (de Nash) bayesiano perfecto se puede caracterizar como {(I,D), (B,A), p = 1, q = 0}.

Gráfico 5. Juegos con sanata: equilibrio informativo

I D Et 1 I D Et 2 0 1 A B A B A B B A 2 4 2 4 Receptor 0 1 2 4 2 4 Receptor _Naturaleza 1-r = 0,5 r = 0,5 1-q = 1 1-p =0 q =0 p =1

También podría ser al revés, con el consiguiente ajuste de las estrategias del receptor: {(D,I), (A,B), p = 0, q = 1}. Es decir, aunque se produzca comunicación, el significado en muchos equilibrios de estos juegos es relativo al juego e ininteligible fuera de él. Es decir, no constituye un lenguaje en el sentido usual de una convención arbitraria pero socialmente compartida (Streb y Torrens 2011).

Hay además dos equilibrios con agrupación, que siempre son posibles en estos juegos donde el lenguaje es pura sanata: si se espera que los mensajes no comuniquen nada, todos pueden mandar el mismo mensaje, que en consecuencia efectivamente no comunica nada. En estos casos donde la comunicación no se produce, los mensajes no agregan nada a las probabilidades a priori o expectativas previas. En este ejemplo, fuera del sendero de equilibrio el receptor tiene que asignar al misma probabilidad a los dos tipos y jugar estrategia mixta donde arriba y abajo tienen la misma probabilidad, así que sería un equilibrio híbrido: {(I,I), ((

σ

σ

σ

σ

También tenemos el equilibrio no informativo {(D,D), ((

σ

σ

σ

σ

V. La sanata (cheap talk) como modelo de comunicación

En el juego planteado recién, hay equilibrios no informativos: estos siempre existen cuando el lenguaje es sanata. Describimos dos equilibrios agrupadores, donde el emisor dice lo mismo no importa qué haga. Si el emisor jugarar una estrategia mixta que le da la misma probabilidad a todas las acciones posibles, y mandara un mensaje totalmente aleatorio, esto también llevaría a un equilibrio no informativo.

Además, pueden existir equilibrios informativos. Pero si hay un equilibrio informativo, hay un sinnúmero de equilibrios informativos. Farrell (1993) apunta el hecho de que los mensajes de equilibrio se pueden permutar libremente, lo que nos da otro equilibrio. Esto es un problema, ya que entonces el lenguaje usado en equilibrio no queda especificado por el juego en sí.

Es decir, en términos prácticos, con el lenguajes como sanata (cheap talk), no habría ninguna convención compartida por los jugadores y el lenguaje sería vacío, determinándose su significado en cada juego concreto: eso haría al lenguaje inútil para comunicarse, ya que

sería como agregar el lenguaje al problema de coordinación de Schelling (encontrarse en un lugar dado a una hora dada) y además pedir que el significado de las palabras se determinaran en cada instancia concreta: eso complica el problema en vez de simplificarlo. Además, no tiene nada que ver con el uso usual del lenguaje. Esto nos lleva al punto siguiente.

Referencias

Gibbons, Robert (1992), Game theory for applied economists, Princeton, NJ, Princeton University Press (en castellano: Un primer curso de teoría de juegos, Barcelona, Bosch). Streb, Jorge M., y Gustavo Torrens (2011), “Meaningful talk”, Documento de trabajo 443,