Introducción al control moderno

Ingeniería en Control y Automatización

TEORÍA DEL CONTROL III

5 de agosto de 2015

Autor: M. en C. Rubén Velázquez Cuevas

Introducción al control moderno

Ecuaciones en variables de Estado

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5

Introducción al control moderno

Ecuaciones en variables de Estado

En la teoría del control clásica se diseñan sistemas de control de lazos simples. Es decir, que si se presenta la necesidad de controlas dos o más variables dentro de un proceso, desde el punto de vista clásico se diseñan entonces dos o más lazos de control (uno para cada variable) para satisfacer un objetivo principal de diseño. También se tienen algunos casos en que aunque solo se trate de controlar una variable, dentro del algoritmo aparece un esquema modificado donde aparecen uno o dos lazos internos (por ejemplo los esquemas modificados del PID: PI-D e I-PD). Otra de las características es la representación del sistema a controlar ya que en control clásico la planta se representa mediante la función de transferencia que relaciona el comportamiento entre una variable de entrada y una variable de salida (SISO)

Por otro lado, en la teoría del control moderno se establece un enfoque más amplio en el que se incluye la representación de la planta mediante ecuaciones en espacio de estados y en consecuencia el diseño de algoritmos basados en esta representación. El concepto o idea que se tenía de retroalimentación de la salida se modifica para introducir el concepto de retroalimentación de estados. Con lo anterior, se tienen la capacidad de manejar problemas de control con múltiples variables tanto en la entrada como en la salida (MIMO) con un solo algoritmo, teniendo una sola retroalimentación (vectorial) de los estados que es equivalente a tener múltiples lazos internos de control.

A finales del siglo XIX, Henri Poincaré introdujo el concepto de espacio de estado con su trabajo pionero sobre nuevos métodos de la mecánica celeste, donde intuyó la profunda necesidad de formular una teoría general de los

sistemas dinámicos en función de conjuntos de ecuaciones diferenciales de primer orden e introdujo la idea de considerar el conjunto relevante de variables del sistema como la trayectoria de un punto en un espacio n-dimensional. Hacia mediados de los 50s los trabajos de Pontryagin y Bellman (entre otros) dejaron en claro la gran

utilidad del concepto de estado en la formulación y solución de diversos problemas de decisión y control.

Posteriormente, la creciente importancia de los métodos de espacio de estados lleva a R. E. Kalman a investigar la relación entre las representaciones en espacio de estados y la función de transferencia que motivó la introducción de dos conceptos estructurales fundamentales para la comprensión de los sistemas dinámicos: Controlabilidad y

Observabilidad. La teoría de control en espacio de estados permite resolver problemas para diferentes tipos de

sistemas tales como: multivariables, no lineales, con parámetros variantes en el tiempo, estocásticos y de optimización.

Definición: El estado de un sistema se define como la cantidad mínima de información necesaria en un instante

determinado para que, conociendo la entrada, a partir de ese instante se puedan determinar cualesquiera variables del sistema en cualquier instante posterior.

En general, la cantidad mínima de información que define el estado de un sistema está compuesta por un conjunto de

n – variables llamadas variables de estado

x

_i con

(

_i

=

1,

…

, )

_n

_{. Por lo tanto, al conjunto o arreglo que agrupa} todas las variables de estado ordenadamente recibe el nombre de vector de estados y se denota como:

[

1 2

]

( )

=

( )

( )

⋯

( )

T

n

t

x t

x t

x t

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5

Adicionalmente, si se toma en cuenta que el sistema no es autónomo, las variables de entrada también afectan el cambio en las variables de estado por lo que también se representa al conjunto de variables de entrada mediante el vector de entradas con r – componentes:

[

1 2

]

( )

=

( )

( )

⋯

( )

T

r

t

u t

u t

u t

u

Finalmente, la expresión matemática general que define el cambio o evolución del estado en un sistema de control está representada mediante:

(

)

( )

t

=

f t

, ( ), ( )

t

t

x

ɺ

x

u

También llamada ecuación de estados. Finalmente, el vector de estados

x

( )

t

está definido como un elemento dentro del espacio vectorial denominado espacio de estados. Dentro del espacio de estados se encuentran todos los posibles valores que pueden adquirir cada uno de los componentes del vector de estados solución.

Definición: El espacio de estado es un espacio vectorial donde el número de componentes del vector de estados

coincide con la dimensión del espacio de estados y por lo tanto cualquier elemento del espacio (vector) se puede representar mediante los n–componentes que lo conforman.

Propiedades de las variables de estado.

1. Unicidad. Para todo estado inicial

x

( )

t

₀

=

x

₀ y toda señal de entrada conocida

u t

( )

, la trayectoria resultante es única y está descrita por la integral:

(

)

0 0

( )

, ( ), ( )

t t

t

=

+

∫



_

f

τ τ

τ



_

d

τ

x

x

x

u

2. Continuidad. Las trayectorias en el espacio de estado son funciones continuas:

0

0

lim ( )

t→t

x

t

=

x

3. Transitividad. Considérese dos instantes de tiempo

{ }

t t

₁

,

₂

∈

t

a lo largo de una trayectoria

x

( )

⋅

, por lo que se tienen correspondientemente dos valores de estados

x

( ) ( )

t

₁

,

x

t

₂ . Para conocer el valor del estado

x

( )

t

₃ da lo mismo conocer el estado en

t

₁ y la entrada entre

t

₁ y

t

₃ o bien conocer el estado en

2

t

y la entrada entre

t

₂ y

t

₃ (ver figura 31); es decir:

(

)

(

)

3 3 1 2 3 1 2

( )

( )

, ( ), ( )

( )

, ( ), ( )

t t t t

t

=

t

+

∫

_



f

τ τ

τ

_



d

τ

=

t

+

∫



_

f

τ τ

τ



_

d

τ

x

x

x

u

x

x

u

In tr o d u c ci ó n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 / 2 0 1 5

Figura 31. Ejemplo de trayectoria para visualizar la propiedad de transitividad

El estudio de los sistemas en que se centrará el modelo en espacio de estado es el de sistemas físicos que por naturaleza se rigen por la ley de la causalidad. Dentro de estos sistemas, el análisis se centrará en los sistemas determinísticos, para los cuales siempre es posible dada una entrada, determinar la salida en forma unívoca.

Definición: El modelo de un sistema determinístico es una relación matemática entre dos conjuntos de variables:

las de entrada y las de salida:

( )

t

→

( )

t

u

y

Donde

u

( ),

y

y

( )

t

son vectores de dimensiones

r

y

m

respectivamente.

Como ya se mencionó, en la teoría de control moderno se ha añade un tercer conjunto de variables llamadas internas o de estado. Por lo tanto es posible definir una relación de la salida con el estado y con la entrada mediante la ecuación:

(

)

( )

t

=

g t

, ( ), ( )

t

t

y

x

u

Donde se observa que la salida en el instante

t

solo depende del tiempo, del estado y de la entrada en ese instante, no del estado y de la entrada en instantes anteriores. Esto se debe a que toda esta información se encuentra por definición en el estado. Por lo tanto, los sistemas dinámicos se caracterizan mediante el conjunto de ecuaciones en variables de estado:

(

)

(

)

( )

, ( ), ( )

( )

, ( ), ( )

=

=

ɺ

_t

_{f t}

_t

_t

t

g t

t

t

x

x

u

y

x

u

Donde la primera ecuación es llamada ecuación de estados y la segunda ecuación de salidas. A esta representación se le conoce como realización en el espacio de estado. Así mismo, el número de componentes del estado (variables de estado) o la dimensión del espacio de estado determina el orden del sistema. Como el estado es la representación suficiente del sistema, para determinar su dinámica también basta el conocimiento de las variables de estado y de la ecuación de estado. De esta forma aspectos como la estabilidad del sistema y sus posibles estados de equilibrio se estudian a partir de la ecuación de estados.

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5

Sistemas dinámicos lineales en el espacio de estados

Un sistema dinámico se dice lineal si satisface el principio de superposición. Es decir:

Definición: Sea un sistema descrito por la realización en el espacio de estado para un estado inicial

x

( )

t

₀

=

x

₀ y sean dos salidas

y

₁

( ),

t

y

₂

( )

t

producidas por

u

₁

( )

t

y

u

₂

( )

t

respectivamente. Se dice que el sistema es lineal si y solo si para constantes

α β

,

∈

R

, las funciones

f t

( )

, ,

⋅ ⋅

y

g t

( )

, ,

⋅ ⋅

satisfacen las siguientes igualdades:

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

1 2 3 1 2 3

( )

, ( ),

( )

, ( ),

( )

, ( ),

( )

( )

, ( ),

( )

, ( ),

( )

, ( ),

( )

t

f t

t

t

f t

t

t

f t

t

t

t

g t

t

t

g t

t

t

g t

t

t

α

β

α

β

=

+

=

=

+

=

x

x

u

x

u

x

u

y

x

u

x

u

x

u

ɺ

Donde:

u

₃

( )

t

=

α

u

₁

( )

t

+

β

u

₂

( )

t

Es decir, el estado y la salida son resultantes de la combinación lineal en las entradas.

Si

f t

( )

, ,

⋅ ⋅

y

g t

( )

, ,

⋅ ⋅

son funciones vectoriales lineales, entonces el conjunto de ecuaciones de estado se redefinen mediante:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

=

+

=

+

ɺ

_t

_t

_t

_t

_t

t

t

t

t

t

x

A

x

B

u

y

C

x

D

u

Donde:

•

x

( )

t

es el vector de estado, de dimensión

n

•

u

( )

t

es el vector de entradas, de dimensión

r

•

y

( )

t

es el vector de salidas, de dimensión

m

•

A

( )

t

es la matriz del sistema, de dimensiones

n n

×

•

B

( )

t

es la matriz de entradas, de dimensiones

n r

×

•

C

( )

t

es la matriz de salidas, de dimensiones

m n

×

•

D

( )

t

es una matriz de dimensiones

m r

×

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5

Por otro lado, para estudiar los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) se define la propiedad de invarianza.

Definición: Un sistema, con un estado inicial dado por

x

₀

=

x t

( )

₀ sometido a una entrada

u

₁

( )

τ

,

t

₀

< ≤

τ

t

y que produce como salida la señal

y t

₁

( )

, se dice que es invariante si

∀

T

partiendo del mismo estado

0

x

pero en el instante

t

₀

+

T

, excitado con una entrada

u

₂

(

τ

+

T

)

=

u

₁

( )

τ

,

t

₀

< ≤

τ

t

; responde con una salida

y t

₂

( )

=

y t T

₁

(

+

)

.

Así pues, un sistema en espacio de estado LTI se representa mediante las ecuaciones de estado:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

t

t

t

t

t

t

=

+

=

+

x

Ax

Bu

y

Cx

Du

ɺ

Donde:

•

x

( )

t

es el vector de estado, de dimensión

n

•

u

( )

t

es el vector de entradas, de dimensión

r

•

y

( )

t

es el vector de salidas, de dimensión

m

•

A

es la matriz constante del sistema, de dimensiones

n n

×

•

B

es la matriz constante de entradas, de dimensiones

n r

×

•

C

es la matriz constante de salidas, de dimensiones

m n

×

•

D

es una matriz constante de dimensiones

m r

×

Finalmente, para el caso en que las funciones

f x u

( )

,

y

g x u

( )

,

sean no lineales, es posible determinar su aproximación lineal alrededor de un punto de operación

( *, *)

x u

utilizando el método de Taylor; de manera que las matrices

A B C D

, , ,

de las ecuaciones de estado se determinan mediante:

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2

( *, *)

( *, *)

( *, *)

( *, *)

( *, *)

( *, *)

(

( *, *)

( *, *)

( *, *)

;

( *, *)

( *, *)

( *, *)

r n r n n n n n

f

f

f

f

f

u

u

x

x

x

f

f

f

f

f

u

u

x

x

x

f

f

f

x

x

x

∂

∂

∂

∂

∂





∂

∂



_∂

_∂

_∂







_∂

_∂

∂

∂

∂





∂

∂



_∂

_∂

_∂



=

_

_

=









∂

∂

∂







_∂

_∂

_∂







x u

x u

x u

x u

x u

x u

x

x u

x u

x u

A

B

x u

x u

x u

⋯

⋯

⋯

⋯

⋮

⋮

⋱

⋮

⋯

1

*, *)

( *, *)

( *, *)

n n r

f

f

u

u







































_∂

_∂







∂

∂





u

x u

x u

⋮

⋱

⋮

⋯

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2

( *, *)

( *, *)

( *, *)

( *, *)

( *, *)

( *, *)

(

( *, *)

( *, *)

( *, *)

;

( *, *)

( *, *)

( *, *)

r n r n m m m n

g

g

g

g

g

u

u

x

x

x

g

g

g

g

g

u

u

x

x

x

g

g

g

x

x

x

∂

∂

∂

∂

∂





∂

∂



_∂

_∂

_∂







_∂

_∂

∂

∂

∂





∂

∂



_∂

_∂

_∂



=

_

_

=









∂

∂

∂







_∂

_∂

_∂







x u

x u

x u

x u

x u

x u

x

x u

x u

x u

C

D

x u

x u

x u

⋯

⋯

⋯

⋯

⋮

⋮

⋱

⋮

⋯

1

*, *)

( *, *)

( *, *)

m m r

g

g

u

u







































_∂

_∂







∂

∂





u

x u

x u

⋮

⋱

⋮

⋯

Relación entre las ecuaciones de estado y la función de transferencia.

Como ya se mencionó, la limitación más importante que presenta la función de transferencia es la representación de un sistema entre una entrada y una salida, teniendo entonces que para un sistema con múltiples entradas y salidas es necesario utilizar una función de transferencia por cada relación entrada-salida que se tenga, resultando impráctico si el número de entradas y salidas es considerablemente grande. Para el caso de las ecuaciones de estado, incluso cuando en el sistema se tiene solo una entrada y una salida, su representación se muestra como una alternativa que en muchos de los casos facilita el planteamiento y solución de diversos problemas en la ingeniería del control.

Para el caso de sistemas LTI, la representación en variables de estado está estrechamente relacionada con la función de transferencia, dividiendo esta relación en dos casos:

Caso 1: Función de transferencia con numerador constante

Para este caso, la función de transferencia es:

1 2 2 1 2 2 1

( )

( )

n n n _{n n n}

Y s

k

U s

=

s

+

a s

−

+

a s

−

+ +

⋯

a

₋

s

+

a

₋

s

+

a

Despejando los numeradores en ambos lados de la igualdad de modo que los denominadores pasan multiplicando, se obtiene: 1 2 2 1 2 2 1

( )

n n n _{n n n}

( )

Y s

_



s

+

a s

−

+

a s

−

+ +

⋯

a

₋

s

+

a

₋

s

+

a



_

=

kU s

1 2 2 1 2 2 1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n n n n n n

s Y s

+

a s

−

Y s

+

a s

−

Y s

+ +

⋯

a

₋

s Y s

+

a

₋

sY s

+

a Y s

=

kU s

Aplicando transformada inversa de Laplace y despejando la derivada de orden más alto se tiene:

1 2 2 1 1 2 2 2 2 1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n n n n n n n n n

d

d

d

d

d

y t

a

y t

a

y t

a

y t

a

y t

a y t

ku t

dt

dt

dt

dt

dt

− − − − − −

+

+

+ +

⋯

+

+

=

1 2 2 1 1 2 2 2 2 1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n n n n n n n n n

d

d

d

d

d

y t

a

y t

a

y t

a

y t

a

y t

a y t

ku t

dt

dt

dt

dt

dt

− − − − − −

= −

−

− −

⋯

−

−

+

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5

Obsérvese que cada uno de los coeficientes de la ecuación anterior están acompañados por diferentes señales que en modo general representan las variables internas del sistema (con excepción de

u

( )

⋅

y

y

( )

⋅

). La base para la obtención de las ecuaciones de estado es poder escribir la o las ecuaciones diferenciales del sistema como una sola ecuación diferencial de primer orden. El precio que se paga es la obtención de una ecuación diferencial matricial

de primer orden. En este caso, la clave consiste en definir las variables internas como los estados del sistema. Por lo

tanto, definiendo: 1

( )

( )

x t

=

y t

2

( )

( )

d

x t

y t

dt

=

2 3

( )

2

( )

d

x t

y t

dt

=

⋮

2 1

( )

2

( )

n n n

d

x

t

y t

dt

− −

=

− 1 1

( )

( )

n n n

d

x t

y t

dt

− −

=

Se tiene que la ecuación diferencial de orden “n” se puede reescribir mediante “n” ecuaciones diferenciales de primer orden. Es decir:

1

( )

2

( )

x t

ɺ

=

x t

2

( )

3

( )

x t

ɺ

=

x t

⋮

2

( )

1

( )

n n

x

ɺ

₋

t

=

x

₋

t

1

( )

( )

n n

x

ɺ

₋

t

=

x t

1 2 1 2 3 1 2 1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n n n n n n n n

d

x t

y t

a x t

a x

t

a

x t

a

x t

a x t

ku t

dt

− − −

=

= −

−

− −

−

−

+

ɺ

⋯

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5

En general, se observa que cada una de las “n” ecuaciones diferenciales de primer orden dependen tanto de las “n” variables

x t

_i

( )

definidas (i = 1,…,n), como de la entrada

u t

( )

. De hecho la dependencia citada no es otra cosa más que la combinación lineal de todas las variables involucradas de la siguiente forma:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

1

( )

0

1

( )

1

2

( )

0

3

( )

0

n 1

( )

0

n

( )

0

( )

x t

ɺ

=

x t

+

x t

+

x t

+ +

⋯

x

₋

t

+

x t

+

u t

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2

( )

0

1

( )

0

2

( )

1

3

( )

0

n1

( )

0

n

( )

0

( )

x t

ɺ

=

x t

+

x t

+

x t

+ +

⋯

x

₋

t

+

x t

+

u t

⋮

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2

( )

0

1

( )

0

2

( )

0

3

( )

1

1

( )

0

( )

0

( )

n n n

x

ɺ

₋

t

=

x t

+

x t

+

x t

+ +

⋯

x

₋

t

+

x t

+

u t

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

1

( )

0

1

( )

0

2

( )

0

3

( )

0

1

( )

1

( )

0

( )

n n n

x

ɺ

₋

t

=

x t

+

x t

+

x t

+ +

⋯

x

₋

t

+

x t

+

u t

[ ]

1

[

1

]

2

[

2

]

3

[ ]

2 1

[ ]

1

[ ]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n n n n n n

x t

ɺ

= −

a x t

+ −

a

₋

x t

+ −

a

₋

x t

+ + −

⋯

a x

₋

t

+ −

a x t

+

k u t

Finalmente, las “n” ecuaciones diferenciales anteriores se pueden agrupar mediante la expresión matricial:

1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1

( )

0

1

0

0

0

( )

0

( )

0

0

1

0

0

( )

0

( )

0

0

0

1

0

( )

0

( )

0

0

0

0

1

( )

0

( )

( )

n n n n n n n n n

x t

x t

x t

x t

x

t

x

t

x

t

x

t

x t

a

a

a

a

a

x t

k

− − − − − −







 

  







 

  







 

  







 

  

=

+







 

  







 

  







 

  







 

 

−

−

−

−

−







 

_{  }







 



ɺ

⋯

ɺ

⋯

⋮

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

⋮

⋮

⋮

ɺ

⋯

ɺ

⋯

ɺ

⋯

( )

u t



O bien:

( )

t

=

( )

t

+

u t

( )

x

ɺ

Ax

B

Dónde: 1 2 2 1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

;

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

n n n

a

a

₋

a

₋

a

a

k





 





 





 





 

=





=

 





 





 





 

−

−

−

−

−





_{ }





A

B

⋯

⋯

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

⋮

⋮

⋯

⋯

⋯

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5

Adicionalmente, la variable de salida

y t

( )

también se representa mediante la combinación lineal de las “n” variables

x t

_i

( )

(i = 1,…,n) y de la entrada

u t

( )

de modo siguiente:

[ ]

1

[ ]

2

[ ]

3

[ ]

1

[ ]

[ ]

( )

1

( )

0

( )

0

( )

0

_n

( )

0

_n

( )

0

( )

y t

=

x t

+

x t

+

x t

+ +

⋯

x

₋

t

+

x t

+

u t

Es decir:

[

]

[ ]

1 2 2 1

( )

( )

( )

1 0

0

0

0

0

( )

( )

( )

( )

n n n

x t

x t

y t

u t

x

t

x

t

x t

− −

















=





+





















⋮

⋯

Por lo tanto:

( )

( )

( )

y t

=

Cx

t

+

D

u t

Dónde:

[

1 0 0

0 0 ;

]

[ ]

0

=

=

C

⋯

D

Al conjunto de matrices

(

A B C D

, , ,

)

se le conoce también como realización en espacio de estados.

Ejemplo 1:

Determinar la realización

(

A B C D

, , ,

)

para los sistemas descritos por la función de transferencia correspondiente: a) 3 2 1 2 3

( )

k

F s

s

a s

a s

a

=

+

+

+

b)

( )

₂

10

2

6

4

G s

s

s

=

+ +

SOLUCIÓN:

Para el inciso (a), se tiene que:

3 2 1 2 3

( )

( )

Y s



_

s

+

a s

+

a s

+

a



_

=

kU s

3 2 1 2 3

( )

( )

( )

( )

( )

s Y s

+

a s Y s

+

a sY s

+

a Y s

=

kU s

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5

Aplicando transformada inversa y despejando la derivada de orden más alto se tiene:

3 2 1 2 3 3

( )

2

( )

( )

( )

( )

d

d

d

y t

a

y t

a

y t

a y t

ku t

dt

+

dt

+

dt

+

=

3 2 1 2 3 3

( )

2

( )

( )

( )

( )

d

d

d

y t

a

y t

a

y t

a y t

ku t

dt

= −

dt

−

dt

−

+

Definiendo los estados:

1

( )

( )

x t

=

y t

2

( )

( )

d

x t

y t

dt

=

2 3

( )

2

( )

d

x t

y t

dt

=

Se tiene que: 1

( )

2

( )

x t

ɺ

=

x t

2

( )

3

( )

x t

ɺ

=

x t

3 3 3 1 2 2 1 3 3

( )

( )

( )

( )

( )

( )

d

y t

x t

a x t

a x t

a x t

ku t

dt

=

= −

−

−

+

ɺ

1

( )

( )

y t

=

x t

Por lo tanto: 1 1 2 2 3 3 2 1 3

( )

0

1

0

( )

0

( )

0

0

1

( )

0

( )

( )

( )

x t

x t

x t

x t

u t

x t

a

a

a

x t

k







 

  





₌



 

  

₊







 

  







₋

₋

₋

 

  







 

  

ɺ

ɺ

ɺ

[

]

12

[ ]

3

( )

( )

1 0

0

( )

0

( )

( )

x t

y t

x t

u t

x t









=

_

_

+









Para el inciso (b) se tiene que la función de transferencia se puede reescribir como:

(

)

2 2 2 2 1 2

10

10

5

( )

2

6

4

2

3

2

3

2

k

G s

s

s

s

s

s

s

s

a s

a

=

=

=

=

+ +

+ +

+ +

+

+

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5

Por lo tanto, como el sistema es de segundo orden se tiene que la realización

(

A B C D

, , ,

)

está dada por:

[

]

[ ]

2 1

0

1

0

;

;

1 0 ;

0

a

a

k





 

=



₋

₋



=

 

=

=

 





A

B

C

D

Es decir:

[

]

[ ]

0

1

0

;

;

1 0 ;

0

2

3

5





 

=



₋

₋



=

 

=

=





 

A

B

C

D

Caso 2: Función de transferencia con polinomio en el numerador

Para este caso, la función de transferencia es:

1 2 2 0 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1

( )

( )

n n n n n n n n n n n n

b s

b s

b s

b

s

b s b

Y s

U s

s

a s

a s

a

s

a s

a

− − − − − − − −

+

+

+ +

+

+

=

+

+

+ +

+

+

⋯

⋯

Nuevamente, se sigue el mismo procedimiento hasta obtener la ecuación diferencial despejada:

1 1 1 1 1 0 1 1 1 n n n n n n n n n n n n

d

d

d

d

d

d

y

a

y

a

y

a y

b

u

b

u

b

u

b u

dt

dt

dt

dt

dt

dt

− − − − − −

= −

− −

⋯

−

+

+

+ +

⋯

+

En este caso no es posible definir los estados de la misma forma que en el primer caso debido a que dicha definición podría no conducir a una solución única. Por lo tanto se selecciona una definición de estados, de modo que se eliminen las “n” derivadas de la entrada y que además la estructura de las matrices A y C que dependen de los estados se mantengan igual que en el caso anterior. Para ello, se selecciona la siguiente definición de las “n” variables de estado: 1 0

x

= −

y

β

u

2 0 1 1 1

d

d

x

y

u

u

x

u

dt

β

dt

β

β

=

−

−

= −

ɺ

2 2 3 2 0 2 1 2 2 2

d

d

d

x

y

u

u

u

x

u

dt

β

dt

β

dt

β

β

=

−

−

−

= −

ɺ

⋮

1 1 2 0 1 2 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n n n n

d

d

d

d

x

y

u

u

u

u

x

u

dt

β

dt

β

dt

β

dt

β

β

− − − − − − − − − −

=

−

−

− −

⋯

−

=

ɺ

−

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5

En dónde

{

β β β

₀

,

₁

,

₂

,

…

,

β

_n

}

se determinan a partir de:

0 0 1 1 1 0 2 2 1 1 2 0 3 3 1 2 2 1 3 0 1 1 2 2 1 1 0 n n n n n n

b

b

a

b

a

a

b

a

a

a

b

a

a

a

a

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

−

β

− −

β

β

=

= −

= −

−

= −

−

−

= −

−

− −

−

⋮

⋯

Con esta definición de variables de estado se garantiza la existencia y unicidad de la solución de las ecuaciones de estado. La elección actual de variables de estado permite obtener:

1 2 1

x

ɺ

= +

x

β

u

2 3 2

x

ɺ

= +

x

β

u

⋮

2 1 2 n n n

x

ɺ

₋

=

x

₋

+

β

₋

u

1 1 n n n

x

ɺ

₋

= +

x

β

₋

u

1 2 1 2 3 1 2 1 n n n n n n n

x

ɺ

= −

a x

−

a x

₋

− −

⋯

a

₋

x

−

a

₋

x

−

a x

+

β

u

1 0

y

= +

x

β

u

O bien, expresando “n” ecuaciones diferenciales como la combinación lineal de las variables involucradas:

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

1

0

1

1

2

0

3

0

n1

0

n 1

x

ɺ

=

x

+

x

+

x

+ +

⋯

x

₋

+

x

+

β

u

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

2

0

1

0

2

1

3

0

n 1

0

n 2

x

ɺ

=

x

+

x

+

x

+ +

⋯

x

₋

+

x

+

β

u

⋮

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

2

0

1

0

2

0

3

1

1

0

2 n n n n

x

ɺ

₋

=

x

+

x

+

x

+ +

⋯

x

₋

+

x

+

β

₋

u

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

1

0

1

0

2

0

3

0

1

( )

1

1 n n n n

x

ɺ

₋

=

x

+

x

+

x

+ +

⋯

x

₋

t

+

x

+

β

₋

u

[ ] [

1 1

] [

2 2

]

3

[ ]

2 1

[ ]

1

[ ]

n n n n n n n

x

ɺ

= −

a x

+ −

a

₋

x

+ −

a

₋

x

+ + −

⋯

a x

₋

+ −

a x

+

β

u

[ ] [ ] [ ]

1

1

0

2

0

3

[ ]

0

n 1

[ ]

0

n

[ ]

0

y

=

x

+

x

+

x

+ +

⋯

x

₋

+

x

+

β

u

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5 Por lo tanto: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1

( )

0

1

0

0

0

( )

( )

0

0

1

0

0

( )

( )

0

0

0

1

0

( )

( )

0

0

0

0

1

( )

( )

( )

n n n n n n n n n n n n

x t

x t

x t

x t

x

t

x

t

x

t

x

t

x t

a

a

a

a

a

x t

β

β

β

β

β

− − − − − − − −







 

 







 

 







 

 







 

 

=

+







 

 







 

 







 

 







 



−

−

−

−

−







 









 

 

ɺ

⋯

ɺ

⋯

⋮

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

⋮

⋮

⋮

ɺ

⋯

ɺ

⋯

ɺ

⋯

( )

u t





















_

[

]

[ ]

1 2 0 2 1

( )

( )

( )

1 0

0

0

0

( )

( )

( )

( )

n n n

x t

x t

y t

u t

x

t

x

t

x t

β

− −

















=





+





















⋮

⋯

O bien:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

t

t

u t

y t

t

u t

=

+

=

+

x

Ax

B

Cx

D

ɺ

Dónde:

[

]

[ ]

1 2 0 2 1 1 2 2 1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

;

;

1 0

0

0

0 ;

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

n n n n n n

a

a

a

a

a

β

β

β

β

β

β

− − − −

































=





=





=

=

























−

−

−

−

−

















A

B

C

D

⋯

⋯

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

⋮

⋮

⋯

⋯

⋯

⋯

Ejemplo 2:

Determinar la realización

(

A B C D

, , ,

)

para los sistemas descritos por la función de transferencia correspondiente: a) 3 2 0 1 2 3 3 2 1 2 3

( )

b s

b s

b s b

F s

s

a s

a s

a

+

+

+

=

+

+

+

b)

( )

₂

10

2

6

4

s

G s

s

s

+

=

+ +

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5 SOLUCIÓN:

Para el inciso (a), se tiene que:

0 0 1 1 1 0 2 2 1 1 2 0 3 3 1 2 2 1 3 0

b

b

a

b

a

a

b

a

a

a

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

=

= −

= −

−

= −

−

−

Por lo tanto se tiene:

1 1 1 2 2 2 3 3 2 1 3 3

( )

0

1

0

( )

( )

0

0

1

( )

( )

( )

( )

x t

x t

x t

x t

u t

x t

a

a

a

x t

β

β

β







 

 







₌



 

 

₊









 

 









₋

₋

₋

 

 









 

 



ɺ

ɺ

ɺ

[

]

12

[ ]

0 3

( )

( )

1 0

0

( )

( )

( )

x t

y t

x t

u t

x t

β









=

_

_

+









Para el inciso (b) se tiene que la función de transferencia se puede reescribir como:

(

)

(

)

2 0 1 2 2 2 2 2 1 2

2 0.5

5

10

0.5

5

( )

2

6

4

2

3

2

3

2

s

b s

b s b

s

s

G s

s

s

s

s

s

s

s

a s

a

+

+

+

+

+

=

=

=

=

+ +

+ +

+ +

+

+

Por lo tanto, como el sistema es de segundo orden se tiene que la realización

(

A B C D

, , ,

)

está dada por:

[

]

[ ]

1 0 2 1 2

0

1

;

;

1 0 ;

a

a

β

β

β









=



₋

₋



=





=

=









A

B

C

D

Es decir, para: 0

0;

1

0.5;

2

5;

1

3;

2

2

b

=

b

=

b

=

a

=

a

=

0 1 2

0

0.5

5 1.5

3.5

β

β

β

=

=

= −

=

Se tiene:

[

]

[ ]

0

1

0.5

;

;

1 0 ;

0

2

3

3.5









=



₋

₋



=





=

=









A

B

C

D

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5

Matriz de transferencia

(Matriz función de transferencia)

El cambio entre las representaciones de sistemas LTI y en particular entre la función de transferencia y las ecuaciones en variables de estado es reciproco. Es decir, que si bien es posible determinar las ecuaciones de estado a partir de la función de transferencia, entonces también es posible determinar la función de transferencia a partir de las ecuaciones de estado en el caso particular de que se tiene un sistema SISO. Sin embargo, para el caso de que se trate de un sistema MIMO, la relación matemática entre el vector de entradas y el vector de salidas se conoce como

matriz de transferencia; la cual se calcula del siguiente modo:

Dado que las ecuaciones de estado para un sistema LTI son:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

t

t

t

t

t

t

=

+

=

+

x

Ax

Bu

y

Cx

Du

ɺ

Al aplicar transformada de Laplace a ambas ecuaciones se obtiene:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

s

s

s

s

s

s

s

=

+

=

+

X

AX

BU

Y

CX

DU

Por lo tanto:

( )

( )

( )

s

X

s

−

AX

s

=

BU

s

[

s

I

−

A X

]

( )

s

=

BU

( )

s

[

]

1

( )

s

=

s

−

−

( )

s

X

I

A

BU

Sustituyendo en la ecuación de salidas:

[

]

1

( )

s

=

s

−

−

( )

s

+

( )

s

Y

C I

A

BU

DU

[

]

(

1

)

( )

s

=

s

−

−

+

( )

s

Y

C I

A

B D U

Finalmente:

( )

s

=

( ) ( )

s

s

Y

G

U

Donde:

[

]

(

1

)

( )

s

=

s

−

−

+

G

C I

A

B

D

Se define como la matriz de transferencia. Evidentemente, para el caso SISO

G

( )

s

coincide con la función de transferencia.

In tr o d u c c ió n a l c o n tr o l m o d e rn o | 0 5 / 0 8 /2 0 1 5 Ejemplo 3:

Determinar la matriz de transferencia o la función de transferencia según sea el caso:

a)

[ ]

[ ]

1 1 2 2 1 2

( )

5

4

( )

0.95

( )

( )

3

2

( )

0.15

( )

( )

1 3

0

( )

( )

x t

x t

u t

x t

x t

x t

y t

u t

x t









₋

₋











=

+















₋



























₌

₊







_

_



ɺ

ɺ

b)

[

]

[

]

1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 2 2 3

( )

0

1

0

( )

0

0

( )

( )

0

0

1

( )

0

0.5

( )

( )

6

11

6

( )

1

0

( )

( )

( )

1 0

0

( )

0

0

( )

( )

x t

x t

u t

x t

x t

u t

x t

x t

x t

u t

y t

x t

u t

x t







 

 











₌



 

 

₊

₋













 

 













₋

₋

₋

 

 









 

 





















₌

₊

_

_







_

_













ɺ

ɺ

ɺ

SOLUCIÓN:

Para ambos casos se tiene que:

[

]

(

1

)

( )

s

=

s

−

−

+

G

C I

A

B

D

En cada caso se tiene:

(a)

1

0

5

4

0

5

4

5

4

0 1

3

2

0

3

2

3

2

s

s

s

s

s

s

−

−

−

−

+



 





 







− =



 

−



=



 

−



=



₋

₋





 





 







I

A

[

]

1

1

Adj(

)

det(

)

s

s

s

−

−

=

−

−

I

A

I

A

I

A

:

(

)(

)

2

5

4

det(

)

5

2

12

3

2

3

2

s

s

s

s

s

s

s

+

−

=

= +

− + = + +

−

−

I

A

2

3

2

4

Adj(

)

4

5

3

5

T

s

s

s

s

s

−

−

−









−

=



₋

₊



=



₊











I

A