Taller 7 – Matem´
aticas Discretas
1. Pruebe que para todo enteron≥1, alguno de los n´umeros π, 2π, 3π, . . . , nπest´a dentro de 1/n de un entero. M´as precisamente, existe entero J,1 ≤J≤n, y un entero Ntal que|Jπ−N|≤1/n. Sugerencia: Use el principio del palomar con los intervalos [i/n,(i+1)/n),i=0, . . . , n−1, como cajas y la parte fraccionaria de los n´umeros jπ,j=1, . . . , n, como bolas.
Soluci´on. Por conveniencia de notaci´on, denotamos la parte fraccional dexpor medio de fr(x), es decir fr(x) =x−bxc. Si alguno de las partes fraccionarias fr(Jπ) est´a en el primer intervalo, entonces |Jπ−bJπc| < 1/n, y de aqu´ı que Jπ est´a dentro de1/n del enteroN=bJπc. De lo contrario tenemos losn n´umeros fr(jπ) en los restantes n−1 intervalos y por lo tanto hay dos, digamos fr(kπ) y fr(`π) conk > `, en el mismo intervalo [i/n,(i+1)/n). Por lo tanto
0≤|fr(kπ) −fr(`π)|< 1 n Entonces 0≤|(kπ−bkπc) − (`π−b`πc)|< 1 n y 0≤|(k−`)π− (bkπc−b`πc)|< 1 n
Por lo tanto JπconJ=k−` est´a dentro de1/ndel enteroN=bkπc−b`πc. Note que Jes un entero entre 1yn−1.
2. Pruebe el principio de inclusi´on-exclusi´on para tres conjuntos
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|, usando el caso de dos conjuntos.
Soluci´on. Tenemos que |A∪B∪C| = |(A∪B)∪C|
= |A∪B|+|C|−|(A∪B)∩C| usando el principio de IE con los conjuntos A∪ByC = |A|+|B|−|A∩B|−|(A∩C)∪(B∩C)|
= |A|+|B|−|A∩B|− (|A∩C|+|B∩C|−|(A∩C)∩(B∩C)|) usando el principio de IE con los conjuntos A∩C yB∩C = |A|+|B|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|
3. Determine el n´umero de enteros entre 1 y 1000 divisibles por2 ´o3 ´o 5.
Soluci´on. Usando el principio de inclusi´on exclusi´on con conjuntos A, B, Cigual a los enteros entre 1 y 1000 divisibles por 2, 3 y 5 respectivamente, y que las intersecciones de estos es el conjunto de los enteros divisibles por los respectivos productos, obtenemos 1000 2 + 1000 3 + 1000 5 − 1000 2·3 − 1000 2·5 − 1000 3·5 + 1000 2·3·5 = 500+333+200−166−100−66+33=734
4. (a) Cu´antos n´umeros telef´onicos de 7 d´ıgitos (cada d´ıgito es 0, 1, 2, . . . , 9) son posibles ? Cu´antos n´umeros de estos tienen al menos un d´ıgito repetido ?
Soluci´on. El n´umero que se quiere se puede obtener como todas los n´umeros−n´umeros sin d´ıgitos repetidos
El n´umero de n´umeros telef´onicos posibles es 107 y el n´umero de estos sin d´ıgitos repetidos es
10·9·8·7·6·5·4. Por lo tanto, el n´umero deseado es
107−10·9·8·7·6·5·4
(b) Cu´antas cadenas de 6 letras con las letras a, b, c contienen al menos un par de letras consecutivas iguales ? (por ejemplo, la cadena ababac no tiene letras consecutivas iguales, pero abccbatiene la repetici´on consecutivacc).
Soluci´on. El n´umero que se quiere se puede obtener como
todas las cadenas−cadenas sin letras consecutivas iguales
El n´umero de todas las cadenas es36 (cada letra en la cadena puede ser una cualquiera de las tres), y el n´umero de cadenas sin letras consecutivas iguales es 3·25 porque la primera letra puede ser una cualquiera de las tres y las otras letras puden ser una de las dos letras diferentes de la letra anterior. Por lo tanto, el n´umero deseado es
36−3·25.
5. Cu´antas permutaciones hay de abcdeen las cuales la primera letra esa,b´oc, y la ´ultima letra esc,d´o e?
Soluci´on. Podemos obtener estas permutaciomes como uni´on disyunta de (1) permutaciones que comienzan con a,b ´o c y terminan con d ´o e y (2) permuta-ciones que comienzan con a ´o by terminan con c. Los n´umeros son respectiva-mente 3·2·(3·2·1) y2·(3·2·1). (Note que3·2·1 es el n´umero de selecciones posibles para las otras tres posiciones.)
6. Un comit´e compuesto porA, B, C, D, E, Fva a seleccionar entre ellos un presidente, un secretario y un tesorero.
(a) Cu´antas selecciones excluyen C?
Soluci´on. 5·4·3
(b) Cu´antas selecciones excluyen ByF?
Soluci´on. 4·3·2
(c) Cu´antas selecciones incluyen By F?
Soluci´on. Primero se selecciona el cargo deBy deF, y luego la persona con el otro cargo: (3·2)·4
(d) Cu´antas selecciones incluyen Dy excluyen F ?
Soluci´on. Primero se selecciona el cargo deDy luego las personas para los otros dos cargos: 3·(4·3)
(e) Cu´anas selecciones incluyenDcomo presidente ´o no lo incluyen ?
Soluci´on. Las selecciones que tienen aDcomo presidente y las selecciones que no lo incluyen son conjuntos disyuntos: 5·4+5·4·3
(f) Cu´antas selecciones incluyen Bcomo presidente o tesorero ?
Soluci´on. Primero se selecciona el cargo de B y luego las personas en los otros dos cargos: 2·(5·4)
(g) Cu´antas selecciones tienen Bcomo presidente ´oAcomo secretario ?
Soluci´on. Usando el principio de inclusi´on/exclusi´on: 5·4+5·4−4=36
(h) Cu´antas selecciones tienen Ccomo presidente ´oAen un cargo ?
Soluci´on. Usando el principio de inclusi´on/exclusi´on: 5·4+3·(5·4) −2·4=72
7. (a) (Ejemplo 6.1.16, JB 6a ed) Sea X un conjunto de n elementos. De cu´antas formas se puede selecionar pares (A, B) que satisfacenA⊆B⊆X ?
Soluci´on. Cada elemento deXpuede estar en A, en B−A´o en X−B. La selecci´on entre estas tres posibilidad para cadax∈Xresulta en un par(A, B) diferente, y cualquier par (A, B) se obtiene de esta manera. Por lo tanto el n´umero de tales pares es3n.
(b) (Esquina de soluci´on de problemas, sec 6.1, JB 6a ed) Sea Xun conjunto de n elementos. De cuantas formas se puede seleccionar una tripleta ordenada de conjuntos X1, X2, X3 subconjuntos de Xtal que
Soluci´on. Los tres conjuntosX1, X2, X3 determinan 8 subconjuntos disyun-tos deX: X1∩X2∩X3,X1∩X2∩X3,. . .,X1∩X2∩X3 cuya uni´on esX(forman una partici´on). La ´unicas restricciones sobreX1, X2, X3es queX1∩X2∩X3=∅ y X1∩X2 ∩X3 = ∅. Por lo tanto cada elemento de X puede estar en seis de los ocho conjuntos de la partici´on. Por lo tanto, el n´umero de selecciones posibles es
6·6· · · · ·6
| {z }
nveces
=6n.
8. (Ejs. 71,72, sec 6.1, JB 6a ed)
(a) Cu´antos operadores binarios existen sobre el conjunto X = {1, 2, 3, . . . , n} ? En otras palabras, cu´antas funcionesf:X×X→Xexisten ?
(b) Cu´antos de estos operadores son conmutativos ? (es decir, tales quef(x, y) = f(y, x))
Soluci´on. Existennposibilidades para el valor def(x, y), para cada uno de los n2 posibles pares (x, y). Por lo tanto, el n´umero de operadores binarios es
n·n· · · ·n
| {z }
n2 veces
=nn2.
Para un operador conmutativo y un parx, yconx < y, se tiene quef(x, y) = f(y, x) y por lo tanto para x 6= y s´olo se necesita especificar f(x, y) para x < y. Adem´as es necesario especificar los valoresf(x, x) (en la “diagonal”). El n´umero de paresx≤yes
1
2n(n+1).
(Esto se puede obtener como la mitad de pares que no est´an en la diagonal, m´as los pares en la diagonal: 12(n2 −n) +n.) Por lo tanto, el n´umero de operadores conmutativos es
n·n· · · ·n
| {z }
n(n+1)/2 veces
=n12n(n+1).
9. (Ejs. 10-17, sec 6.2, JB 6a ed) Determine cu´antas cadenas se pueden formar ordenando las letras ABCDE sujetas a las condiciones dadas.
(a) Contiene la subcadena ACE(por ejemploBDACE;ACEdebe aparecer con-secutivemente)
Soluci´on. ACE se puede considerar como una sola letra compuesta. Asi que el resultado es 3! =6.
(b) Contiene las letrasACE consecutivas pero en cualquier orden.
Soluci´on. En cada una de las cadenas del caso anterior, se puede realizar cualquiera de las permutaciones deACE. Por lo tanto el resultado es3!·3! = 36
(c) Contiene las subcadenas DB yAE.
Soluci´on. Equivalente a la permutaci´on de 3 elementos: 3! =6. (d) Contiene la subcadena AE´o la subcadenaEA.
Soluci´on. Para cada una de AE y EA se tiene una permutaci´on de 4 ele-mentos: 2·4! =48.
(e) Aaparece antes de D. Por ejemplo, BCAED,BCADE.
Soluci´on. Cada una de las 5! permutaciones de ABCDE con A antes que D tiene una permutaci´on correspondiente con D antes que A(simplemente intercambie A y D). Por lo tanto el n´umero deseado es 1/2 de 5!. Esto es
5!/2 = 60. Soluci´on alternativa: Comenzando con AD, la letra B se puede
colocar en 3 posiciones, luego la letra C se puede colocar en 4 posiciones, y finalmente la letraEse puede colocar en5posiciones. Se obtiene3·4·5=60.
(f) No contiene ni la subcadenaAB, ni la subcadena BE.
Soluci´on. Contamos el n´umeroNde cadenas conAB ´o con BEy restamos esto de 5!. Para determinar N usamos el principio de inclusi´on/exclusi´on: cadenas con AB m´as cadenas conBEmenos cadenas con ABE (si se tiene la subcadena ABy la subcadena BEentonces se tiene la subcadenaABE). Por lo tanto N=4! +4! −3! =42. Y el reultado final es5! −42=78.
(g) Aaparece antes de CyCaparece antes deE
Soluci´on. Para las letras A, C y E existen 3! = 6 permutaciones posibles y una de ellas es la que interesa con A, C, y E en ese orden. Por lo tanto el n´umero de cadenas con A, C y E en ese orden es el n´umero total de permutaciones 5! dividido por 3!. Esto es 5!/3! = 5 ·4 = 20. Soluci´on
alternativa: conA,CyEfijas en ese orden,Ase puede colocar en 4 posiciones
diferentes, y Ben 5 posiciones diferentes.
10. (Ejs. 31-36, sec 6.2, JB 6a ed) Se tiene un club de 6 hombres distintos y 7 mujeres distintas. De cu´antas maneras se puede formar un comit´e con la restricci´on especi-ficada. Nota: Aqu´ıC(n, k)denota el n´umero dek-combinaciones ´ok-subconjuntos connelementos: SiP(n, k)denota el n´umero dek-permutaciones denelementos, entonces P(n, k) =n(n−1)(n−1)· · ·(n−k+1) = n! (n−k)! y C(n, k) = P(n, k) k! = n! (n−k)!k! Esto tambi´en se escribe con la notaci´on
n k = n! (n−k)!k!. (a) De 5 personas ?
Soluci´on. No importa la distinci´on entre hombres y mujeres: C(13, 5) (b) De 3 hombres y 4 mujeres ?
Soluci´on. C(6, 3)·C(7, 4)
(c) De 4 personas con al menos una mujer ?
Soluci´on. ————————————————————————————–Se escoge primero una mujer, y luego 3 personas entre los restantes: —————-7·C(12, 3)
Alternativa 1: Contamos los comit´es con 1, 2, 3 y 4 mujeres exactamente.
Estos son conjuntos disyuntos y por lo tanto podemos usar la regla de la suma. Adem´as si se escogenimujeres entonces se deben escoger4−ihombres. Entonces el n´umero de posibilidades es
C(7, 1)·C(6, 3) +C(7, 2)·C(6, 2) +C(7, 3)·C(6, 1) +C(7, 4)·C(6, 0)
Alternativa 2: Contamos los comit´es sin mujeres y restamos esto de todos
los posibles comit´es:
C(13, 4) −C(6, 4). Los dos n´umeros obtenidos deben ser iguales:
C(13, 4)−C(6, 4) =C(7, 1)·C(6, 3)+C(7, 2)·C(6, 2)+C(7, 3)·C(6, 1)+C(7, 4)·C(6, 0) ´
o, usando C(7, 0) =1:
C(13, 4) = C(7, 0)·C(6, 4) +C(7, 1)·C(6, 3) +C(7, 2)·C(6, 2) + C(7, 3)·C(6, 1) +C(7, 4)·C(6, 0). Esto es cierto porque el n´umero de formas de seleccionar4personas es igual a la suma sobre ide los casos en que se escogen i mujeres y 4−ihombres, para i=0, 1, 2, 3, 4. Esta igualdad es un caso particular de
C(n, k) = k X i=0 C(n1, i)·C(n2, k−i) para n1, n2 conn=n1+n2 yk≤n1,k≤n2.
Por qu´e est´a mal la soluci´on original (cruzada arriba) ? Porque al seleccionar una de las 7 mujeres como una primera mujer en el comit´e, se est´a poniendo un orden entre las mujeres seleccionadas (cuando no debe haberlo).
(d) De 4 personas con a lo m´as un hombre ?
Soluci´on. Sin hombres ´o con un hombre: C(7, 4) +6·C(7, 3) (e) De 4 personas con al menos un hombre y con al menos una mujer ?
Soluci´on. Todas menos aquellas con s´olo hombres ´o s´olo mujeres: C(13, 4)− C(6, 4) −C(7, 4)
(f) De 4 personas de tal forma que Mabel y Roberto (que son incompatibles) no son elegidos al mismo tiempo ?
Soluci´on. Todas las posibilidades menos aquellas con Mabel y Roberto: C(13, 4) −C(11, 2)
