Movimiento rectilíneo uniformemente variado. Caída Libre

Unidad de aprendizaje 1

Material de trabajo autónomo

Semana 1 Sesión 2

Movimiento rectilíneo uniformemente variado.

Caída Libre

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Índice

Instrucciones____________________________________________________ 4

I. Matemáticas preliminares ______________________________________ 5 Antiderivación_______________________________________________________________5

II. Movimiento con aceleración constante____________________________ 5

Velocidad instantánea ___________________________________________ 5

Aceleración media y aceleración instantánea_________________________ 6 II. Movimiento rectilíneo uniformemente variado _____________________ 8

III. Aplicación del MRUV: Caída libre________________________________ 11

Material de trabajo autónomo Semana 1 sesión 2

Movimiento rectilíneo uniformemente variado. Caída libre

Material producido por Yuri Milachay, Jorge de la Flor y Soledad Tinoco Física 1. Área de Ciencias

Edición: TICE, UPC Copyright © UPC, 2011

Instrucciones

A continuación, encontrarás una guía de estudios especialmente diseñada para trabajar el libro de texto de Física para la Ciencia y la Tecnología de los Autores Tipler y Mosca, Tomo I, 6° edición, Ed. Reverté.

En este material encontrarás enfoques conceptuales alternativos, así como ejercicios desarrollados y sugeridos que completarán tu preparación para los temas abordados en la semana.

Es importante que intentes resolverlos por ti mismo. De esta manera, podrás reconocer cuánto has aprendido sobre el tema.

Para resolver cada uno de los problemas, puedes apoyarte en el

Libro de texto, el material de clase y tus apuntes de la semana.

Ingresa al foro de la semana para plantear tus dudas sobre los puntos que no hayan quedado claros. El foro te permite interactuar con tus compañeros, tu profesor y el asistente del curso, intercambiando opiniones y profundizando algunos temas.

I. Matemáticas preliminares

La derivada de una función en un punto es el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto. La derivada provee la noción del coeficiente de cambio. Es decir, nos dice lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones.

Fig. 1 Variación derivada de la función f(x) (pendientes de la recta)

En la figura se observa el cambio de la función f(x) respecto a x. Se puede apreciar que la función crece cuando la derivada es positiva y decrece cuando la derivada es negativa.

Antiderivación

Algunas operaciones de antiderivación:

∫

Adt=At+C;

∫

= +C 2 t tdt 2 ;

∫

+ = +bt+C 2 at dt ) b at ( 2

II. Movimiento con aceleración constante

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea se define como la derivada de la posición con respecto al tiempo. Indica la razón de cambio de la posición del móvil por unidad de tiempo. ∆ → ∆ = = ∆ t 0 x dx v lim t dt Tipler Vol. I Pág. 22-24 Ejercicio 12 Pág. 41

Las gráficas posición-tiempo de cinco vehículos vienen dadas por el gráfico que se muestra. A partir de la información del gráfico y del significado de la velocidad como derivada de la posición respecto del tiempo, diga lo siguiente:

a) ¿Qué vehículos tienen velocidad positiva todo el tiempo? b) ¿Qué vehículos tienen velocidad negativa todo el tiempo? c) ¿Qué vehículos están en reposo?

d) ¿Qué vehículos se mueven con velocidad constante?

Solución

Los vehículos que tienen velocidad positiva todo el tiempo son (b), (c) y (d) El vehículo que tiene velocidad negativa todo el tiempo es (a)

El vehículo que está en reposo es (e)

El vehículo que se mueve con velocidad constante es (b)

A

celeración media y aceleración instantánea

La aceleración media es una magnitud vectorial que se define como el cambio de la velocidad por unidad de tiempo.

∆ = ∆ m v a t

La aceleración tiene dimensiones de velocidad entre tiempo;

2 s m s m/s ₌ . ¿Qué significado tiene una aceleración media de + 5,00 m/s2 ?

Este valor significa que la velocidad se está incrementando (+) a razón de 5,00 m/s por cada segundo transcurrido. Si la velocidad inicial del móvil es +3,0 m/s, su evolución en el tiempo sería la que se muestra en la figura.

Fig. 2 La velocidad se incrementa a razón de 5,00 m/s por cada segundo

La aceleración instantánea se define como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a cero.

∆ → ∆ = = ∆ t 0 v dv a lim t dt

Que a su vez se interpreta como la pendiente de la curva velocidad-tiempo.

Ejercicio 13 Pág. 41

Las gráficas velocidad-tiempo de cinco vehículos vienen dadas por el gráfico que se muestra. A partir de la información del gráfico y del significado de la

aceleración como derivada de la velocidad respecto del tiempo, diga lo siguiente: I. ¿Qué vehículos tienen aceleración positiva todo el tiempo?

II. ¿Qué vehículos tienen aceleración negativa todo el tiempo? III. ¿Qué vehículos se mueven con MRU?

IV. ¿Qué vehículos se mueven con aceleración constante?

Solución

I. Los vehículos que tienen aceleración positiva todo el tiempo son (b), (c) y (d)

II. El vehículo que tiene aceleración negativa todo el tiempo es (a) III. El vehículo que se mueve con MRU es (e)

II. Movimiento rectilíneo uniformemente variado

Es aquel movimiento que tiene lugar a aceleración constante se cumple que la aceleración media es igual a la aceleración instantánea, por lo que la expresión

− =vf vi a

t

es válida en todo momento. Así, despejando la velocidad final (vf) se tiene la

primera ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV).

f i

v = +v at

La segunda ecuación de movimiento se obtiene antiderivando la velocidad       ₌ dt dx v :

(

)

C 2 at t v dt at v x 2 i i + = + + =

_∫

Si en t = 0 s, la posición inicial es xi, se tiene: 2 i i at 2 1 t v x x= + +

Despejando el tiempo de la ecuación, se obtiene la tercera ecuación de movimiento = + ∆ 2 2 i v v 2a x Ejercicio

Un coche se acelera desde el reposo con aceleración constante de 8,00 m/s2. (a) ¿Con qué velocidad marchará a los 10,0 s? (b) ¿Cuál es su desplazamiento a los 10,0 s? (c) ¿Cuál es su velocidad media en el intervalo 0 ≤ t ≤ 10,0 s.

Solución Datos: v0 = 0 m/s; a = 8,00 m/s2 (a)

(

)

s m 0 , 80 s m 0 , 10 00 , 8 0 v= + × =+ (b) El desplazamiento es 8,00 10,0 m 400m 2 1 0 , 10 0 x 2_ =+      _{× + × ×} = ∆

(c) La velocidad media se calcula con el desplazamiento y el tiempo:

m 0 , 40 m 400 x v=∆ = =+

La gráfica velocidad-tiempo de la velocidad en el MRUV es una recta cuya pendiente es la aceleración. El “área” de la gráfica respecto al eje del tiempo tiene significado de desplazamiento.

Por ejemplo, en la figura se tiene la gráfica velocidad-tiempo de un móvil que se mueve con MRUV, ¿qué información podemos obtener de la figura?

De la figura, se concluye que>

a) la velocidad inicial es +50 m/s y que la aceleración es negativa e igual a

− −

=( 50) (50) m / s= − m₂

a 10

10 s s ,

b) el desplazamiento es positivo en los primeros 5 segundos (“área” positiva) e igual a 50 x 5/2 = +125 m,

c) el desplazamiento es negativo entre los segundos 5 y 10 (“área” negativa) e igual a -50 x 5/2 = -125 m,

d) el desplazamiento total es cero; 125 m – 125 m = 0 m, y e) la distancia recorrida es 250 metros.

Prob. 64 Pág. 44

Un auto acelera con la tercera marcha de +43,0 km/h a +80,5 km/h en 3,7 s. ¿Cuál será su aceleración media?

Solución

Las velocidades en m/s son:

s m 9 , 11 s m 600 3 000 1 h km 0 , 43 v_i = × =+ ; s m 4 , 22 s m 600 3 000 1 h km 5 , 80 v_i = × =+

La aceleración media es: m ₂

s m 2,8 s m s 3,7 11,9) (22,4 a = − =+ Prob. 67 Pág. 45

Una partícula se mueve con velocidad =_ _ −

 2 

m m

v 8,0 t 7,0

s s , en donde v se expresa en metros por segundos y t en segundos. (a) Determine la aceleración media en el intervalo de t = 3,0 s y t = 4,0 s . (b) Represente v en función de t. ¿Cuál es la aceleración instantánea en cualquier momento?

Solución (a) s m 17 s m ) 0 , 7 0 , 3 0 , 8 ( ) 0 , 3 ( v = × − =+ ; s m 25 s m ) 0 , 7 0 , 4 0 , 8 ( ) 0 , 4 ( v = × − =+ 2 2 m s m 0 , 8 s m 0 , 1 17 25 v  =+      − = (b) La gráfica v-t es:

(c) La aceleración instantánea es: a=dv=8,0m₂

dt s

Prob. 71 Pág. 44

Un coche parado en la posición x = 50 m acelera con aceleración constante de +8,0 m/s2. (a) Transcurridos 10,0 s, ¿cuál es su velocidad? (b) ¿Qué desplazamiento ha recorrido? (c) ¿Cuál es su velocidad media en el intervalo 0 ≤ t ≤ 10,0 s?

Solución

v (m/s)

t (s)

(b) ∆ = +x v t_i 1at2 2 ⇒ 2 8,00 10,0 m 400m 1 0 x 2 =+      _{+ × ×} = ∆ (c) s m 0 , 40 s 0 , 10 m 400 t x v_m = =+ ∆ ∆ =

III. Aplicación del MRUV: Caída libre

La ley de que los cuerpos caen en el vacío con una aceleración que es la misma para todos ellos e independiente de sus pesos respectivos fue establecida por Galileo Galilei. Él dedujo que, en ausencia de un medio resistente como el aire, es decir en el vacío, el movimiento de caída es de aceleración constante, siendo dicha aceleración la misma para todos los cuerpos, independientemente de su forma y su peso.

La aceleración conocida como aceleración de la gravedad, se representa por la letra g y toma un valor aproximado de 9,81 m/s2. Así, cuando el eje positivo está dirigido hacia arriba el vector aceleración de la gravedad se escribe de la siguiente manera:

→ ∧

= − m₂

g 9,81 j

s

Como el movimiento de caída libre es un MRUV, las ecuaciones que la gobiernan son las mismas, con la diferencia de que la aceleración es constante y el movimiento se realiza en la dirección vertical. En ese sentido, se puede establecer una correspondencia entre las ecuaciones del MRUV y la caída libre de la manera como se muestra:

Problema

Una pelota de baloncesto se deja caer desde una altura de 3,00 m . (a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota justo antes de alcanzar el suelo? (b) ¿Cuánto tiempo ha permanecido en el aire?

Solución

(a) Utilizando la tercera ecuación de movimiento, v2 = − ×2 9,81× −

(

3,00

)

, obtenemos una solución que tiene dos valores: uno positivo (+7,67 m/s) y otro negativo (-7,67 m/s). La respuesta que nos interesa es la negativa, puesto que el cuerpo está cayendo.

2 0 0 1 9, 81 2 y−y =v t− t 0 9,81 v= −v t

(

)

2 2 0 2 9,81 ( 0) v =v − y−y 2 0 0 1 2 x−x =v t+ a t 0 v= +v a t 2 2 0 2 ( 0) v =v + a x−x

(b) El tiempo de caída se puede calcular con la segunda ecuación de movimiento, −7,67= −9,81 t× ; de donde se obtiene t = 0,782 segundos.

Problema

Una grúa sostiene una carga a 6,00 m del suelo cuando se desprende la carga. (a) Describir el movimiento de la carga haciendo un esquema v(t) (b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar la suelo? (c) ¿Cuál es su velocidad al momento de chocar con el suelo? Solución (a) (b) ∆ =y v t_i −19,81t2 2 ⇒ − = − 2 1 6,0 9,81t 2 ⇒ t 1,1 s = (c)

(

)

s m 0 , 11 s m 10 , 1 81 , 9 0 v_f = − × =− Prob. 77 Pág. 45

Una grúa levanta una carga de ladrillos a la velocidad constante de 5,00 m/s, cuando está a 6,00 m del suelo se desprende un ladrillo de la carga. (a) Describir el movimiento del ladrillo desprendido haciendo un esquema v(t) (b) ¿Cuál es la altura máxima respecto al suelo que alcanza el ladrillo? (c) ¿Cuál es su velocidad al momento de chocar con el suelo?

Solución (a) v (m/s) t (s) Eje y vi=5,0 m/s Eje y yi=6,0 m yf=0 m vi=0 m/s vf=¿? v (m/s) t (s) 5,0

(b) La altura máxima que alcanzará mientras se eleva. Este desplazamiento se calcula tomando en cuenta que la velocidad final en dicho tramo es cero.

(

)

= 2− × − 0 5,0 2 9,81 y 6,00 ; y=7,3 m (c) De v2= + ∆v2_i 2a x, se obtiene s m 12 v 6,00) 9,81)( ( 2 5,0 v2 = 2 + × − − → =−

Balotario para la práctica calificada

MRUV

Revisar los temas de las páginas 35-42. Resolver, de la página 57, los ejercicios

58-63, 65, 67, 77, 83, 90.

Caída libre

Revisar los temas de las páginas 43-44. Resolver, de las páginas 58-59, los ejercicios

69, 71, 73, 75, 80, 87.

Integración y ecuación de movimiento

Resolver, de las páginas 60-61, los ejercicios 103 -112.

Foro de dudas

No olvides que si tienes dudas sobre la solución de los ejercicios, puedes plantear tus preguntas en el foro de discusión del Aula Virtual.