ESPACIOS MUESTRALES

ESPACIOS MUESTRALES ESPACIOS MUESTRALES

1.- Una moneda se lanza una vez, indique el espacio muestral para este experimento 1.- Una moneda se lanza una vez, indique el espacio muestral para este experimento aleatorio. aleatorio. Solución: Solución: Ω Ω= = {c, {c, a} a} c c = = caracara S = sello S = sello Donde: 2 Donde: 2ΩΩ = {{c}, {s},= {{c}, {s}, ΩΩ,, ф}ф} 2.- Una moneda se lanza

2.- Una moneda se lanza dos veces. ¿Cual es su espacio muestral?dos veces. ¿Cual es su espacio muestral? Solución:

Solución:

Ω

Ω= {cc, cs, sc, ss}= {cc, cs, sc, ss}

Nota: Lanzar la moneda dos veces es equivalente a lanzar dos monedas una sola vez. Nota: Lanzar la moneda dos veces es equivalente a lanzar dos monedas una sola vez. En general si una moneda se tira

En general si una moneda se tira nn veces, entonces el espacio muestral tendráveces, entonces el espacio muestral tendrá 22nn eventos elementales.

eventos elementales.

3.- Un dado tiene el numero 1 en tres de sus caras, el numero 2, en dos de ellas, y el numero 3.- Un dado tiene el numero 1 en tres de sus caras, el numero 2, en dos de ellas, y el numero 3 en la cara

3 en la cara restante. Se hace un lanzamiento del dado ¿Crestante. Se hace un lanzamiento del dado ¿C uál es el espacio muestral?uál es el espacio muestral? Solución:

Solución:

Ω

Ω= {1, 2, 3}= {1, 2, 3}

4.- Se hizo un lanzamiento de tres monedas no sesgadas, escribe el espacio muestral para 4.- Se hizo un lanzamiento de tres monedas no sesgadas, escribe el espacio muestral para este experimento. este experimento. Solución: Solución: Ω Ω= {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss}= {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss} 5.- Se va a seleccionar un comité

5.- Se va a seleccionar un comité de tres miembros, a partir de un grupo de cinco personas A,de tres miembros, a partir de un grupo de cinco personas A, B, C, D y

B, C, D y E. Defina un espacio muestral para este experimento.E. Defina un espacio muestral para este experimento. Solución:

Solución: 1)

1) Usando la teoría combinatoria veamos ¿Cuántos eventos elementales tendrá elUsando la teoría combinatoria veamos ¿Cuántos eventos elementales tendrá el espacio muestral?

espacio muestral?

Como existen 5 personas y el comité deberá estar integrado por 3 miembros, Como existen 5 personas y el comité deberá estar integrado por 3 miembros, entonces: entonces: n( n(ΩΩ) = C) = C3355==        ==            = 10= 10 2)

2) El número de elementos que tendrá el espacio muestral es 10 y el espacioEl número de elementos que tendrá el espacio muestral es 10 y el espacio muestral será:

muestral será: Ω

6.- Dos objetos A y B se distribuyen al azar en tres celdas numeradas. Defina un espacio muestral adecuado para este experimento.

Solución: OBJETOS CELDAS

Combinando adecuadamente los objetos A y B con los números 1, 2 y 3 como subíndices, obtenemos:

Ω = {A1B2, A1B3, B1A2, B1A3, A2B1, A2B3, B2A1, B2A3, A3B1, A3B2, B3A1, B3A2}

Como vemos, el espacio muestral tiene 12 eventos elementales. Donde:

A1B2significa: A esta en la celda 1 y B en la celda 2.

B3A2significa: B esta en la celda 3 y A en la celda 2, etc.

7.- Los artículos provenientes de la línea de producción se clasifican en defectuosos (D) o no defectuosos (N). Se observan los artículos y se anota su condición. Este proceso se continua hasta que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos o se hayan verificado cuatro artículos, cualesquiera ocurra primero. Describir un espacio muestral para este experimento. Solución:

Ω= {DD, NDD, DNDD, DNDN, DNND, DNNN, NDND, NDNN, NNDD, NNDN, NNND, NNNN}

8.- Una caja con N bombillas tiene r(r<N) unidades con filamentos rotos. Estas se prueban una por una, hasta que se encuentra una defectuosa. Describir un espacio m uestral para este experimento.

Solución:

Tenemos: r bombillas con filamentos rotos (defectuosos) N – r bombillas con filamentos sanos.

Supongamos que A es el evento que al probar una bombilla resulta ser con filamento sano, entonces A’ será el evento que al probar una bombilla resulta ser defectuoso, entonces el espacio muestral será:

Ω = {A’, AA’, AAA’, AAAA’,… , AAA … AA’} A B 1 2 3 N - r

9.- Supongamos que las bombillas anteriores se prueban una por una, hasta que se prueban todas las defectuosas. Describir el espacio muestral para este experimento.

Solución:

Ω = {A’A’A’ … A’, A A’A’A’ … A’, A’A A’A’… A’ … ETC }

10.- En el periodo de 24 horas, en un momento X, un interruptor se pone en la posición “encendido”. Posteriormente, en un momento Y (todavía en el mismo periodo de 24 horas) el interruptor se pone en la posición de “apagado”. Supóngase que X y Y se miden e n horas en el eje tiempo con el comienzo del periodo como origen. El resultado del experimento consta del par de números (X, Y).

(a) Describa el espacio muestral.

(b) Describa y dibuje los siguientes sucesos en el plano XY. i. El circuito funciona durante una hora o menos.

ii. El circuito funciona en el tiempo Z en donde Z es algún intervalo durante el periodo dado de 24 horas.

iii. El circuito empieza a funcionar antes del tiempo t1 y deja de funcionar después del

tiempo t2 (en donde otra vez t1 < t2 son dos intervalos de tiempo durante el periodo

especificado).

iv. El circuito funciona el doble de lo que será interrumpido. Solución:

(a) Ω = {(x, y)/ 0 <= x <=24}, aquí estamos suponiendo que “x” horas de encendido es menor que “y” horas de apagado.

11.- Sean A, B, y C tres sucesos asociados con un experimento. Exprese las siguientes proporciones verbales en notación de conjuntos.

(a) Al menos uno de los sucesos ocurre. (b) Exactamente uno de los sucesos ocurre. (c) Exactamente dos de los sucesos ocurren.

(d) No ocurren más de dos sucesos simultáneamente. Solución:

(a) A U B U C

(b) AB’C’ + BA’C’ + CA’B’

Nota: El signo + significa unión de conjuntos disjuntos y la multiplicación de dos conjuntos significara la intersección de eventos.

(c) ABC’ + ACB’ + BCA’

(d) A’B’C’ + AB’C’ + BA’C’ + CA’B’ + ABC’ + ACB’ + BCA’ Del ejercicio 12 al 14 son demostraciones aritméticas.

15.- Cierto tipo de motos eléctrico falla por obstrucción de los cojinetes, por combustión del embobinado o por desgaste de las escobillas. Supóngase que la probabilidad de la obstrucción es el doble de la combustión, la cual es 4 veces más probable que la inutilización de las escobillas. ¿Cuál es la probabilidad de que el fallo sea por cada uno de esos tres mecanismos?

Solución:

Sean los eventos:

A= falla por obstrucción, donde P(A) = x B= falla por combustión, donde P(B) = y

C= falla por desgaste de las escobillas, donde P(C) = z Las relaciones entre las probabilidades A, B y C son:

P(A) = 2P(B) y P(B) = 4P(C) … (1) Se pide hallar P(A), P(B) y P(C)

Veamos:

De las relaciones en (1) obtenemos: x = 2y ᶺ y = 4z => x = 2(4z) = 8z Pero: P(A) + P(B) + P(C) = 1

 8z + 4z + z = 1

 13z = 1 => z = 

En consecuencia x = 

; y =  

16.- En una habitación se encuentra el siguiente grupo de personas: 5 hombres mayores de 21, 4 hombres menores de 21, 6 mujeres mayores de 21 y 3 mujeres menores de 21. Se elige a una persona al azar, se definen los sucesos siguientes: A = {la persona es mayor de 21}; B = {la persona es menor de 21}; C = {la persona es hombre}; D = {la persona es mujer}. Evaluar las siguientes:

(a) P(BUD) (b) P(AUC) Solución:

Tenemos: 5 hombres mayores de 21 4 hombres menores de 21 6 hombres mayores de 21 3 hombres menores de 21

Al elegir una persona, esta puede ser un hombre o una mujer: Si resulta hombre, la probabilidad es P(H) = 

=  

Si resulta mujer, la probabilidad es P(M) = 

=   Además: P(A) =  =   , P(C) =  =   P(B) =  =   , P(C) =  =   Luego: (a) P(BUD) = P(B) + P(D) – P(B∩D) H M 21 4 3 6 5