matricez y determinante

(1)

MATRICES Y DETERMINANTES

Machu Pi

Machu Picchu Pcchu Para el ara el Mundo” Mundo”

CURSO

CURSO : : ÁlgebraÁlgebra

INTEGRANTES

INTEGRANTES : : Gaspar Gaspar Campos Campos JordanJordan

Gutierrez Malpartida David

Huamán T

Huamán Tocas Serocas Sergiogio

Laura T

Laura Torres Abneorres Abnerr

Manani de la Cruz Jose

Rodriguez V

Rodriguez Vilchez ilchez IsraelIsrael

GRADO

GRADO : : 4to 4to de de secundariasecundaria

HUANCAYO-PERÚ

2011

Año del

(2)

DEDICATORIA

El

El presente presente trabajo trabajo lo lo dedicamos dedicamos a a nuestrosnuestros

padres por su apoyo incondicional que nos brindan,

y a Dios que me permite seguir viviendo.

(3)

INTRODUCCI Ó N:

El presente trabajo de matrices y determinante dictado en el colegio “TRILCE INTERNACIONAL” _{en el curso de algebra ,}

donde se da importancia a la enseñanza teórica y pr áctico y as í facilitar el estudio didáctico y la interrelación del grupo de trabajo.

(4)

DEFINICIÓN DE MATRIZ

Se llama matriz de orden mxn a todo conjunto rectangular de elementos a_ijdispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(a

ij), con i =1, 2, ..., m, j

=1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por

ejemplo el elemento a

25será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

(5)

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con

frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente

recordar su nombre.

ATENDIENDO A LA FORMA

MATRIZ FILA

:

Es una matriz que solo tiene una fila, es

decir m =1 y por tanto es de orden 1xn

.

Ejemplo:

A = (

a

11 a 12

...

a 1n

)

MATRIZ COLUMNA:

Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden

m x1

.

(6)

MATRIZ CUADRADA: Es aquella que tiene el mismo

número de filas que de columnas, es decir m = n. En

estos casos se dice que la matriz cuadrada es de

orden n, y no n x n.

Los elementos

a

ij

con i = j, o sea

aii

forman la llamada

diagonal principal de la matriz cuadrada, y los

elementos

a

ij

con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

Ejemplo:

En la matriz la diagonal principal está formada

por (1, 1, 9) y la diagonal secundaria por (0, 1, 3).

(7)

MATRIZ TRASPUESTA: Dada una matriz A, se llama

traspuesta de A, y se representa por A

t

_{, a la matriz que}

se obtiene cambiando filas por columnas. La primera

fila de A es la primera fila de A

t

_{, la segunda fila de A es}

la segunda columna de A

t

_{, etc.}

De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n,

entonces A

t

_{es de orden n x m.}

(8)

MATRIZ SIMÉTRICA: Una matriz cuadrada A es simétrica si

A = A

t

_{, es decir, si}

_a

ij

=

a ji

i, j.

Ejemplo:

MATRIZ ANTISIMÉTRICA: Una matriz cuadrada es

antisimétrica si A = –At, es decir, si

a

ij

= –

a ji

i, j.

Ejemplo:

(9)

ATENDIENDO A LOS ELEMENTOS

MATRIZ NULA: es aquella que todos sus elementos

son 0 y se representa por 0.

Ejemplo:

La matriz es la matriz nula de orden 2x4. La matriz es la matriz nula de orden

(10)

MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD: Es una matriz

escalar con los elementos de la diagonal principal

iguales a 1.

Ejemplo:

MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada, en la que

todos los elementos no pertenecientes a la diagonal

principal son nulos.

(11)

MATRIZ ESCALAR: Es una matriz diagonal con todos los

elementos de la diagonal iguales.

Ejemplo:

MATRIZ TRIANGULAR: Es una matriz cuadrada que

tiene nulos todos los elementos que están a un mismo

lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares

pueden ser de dos tipos:

(12)

TRIANGULAR INFERIOR: Si los elementos que están por

encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir,

a

ij

=0 i<j.

Ejemplo:

matriz triangular inferior.

TRIANGULAR SUPERIOR: Si los elementos que están

por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es

decir,

a

ij

=0 j<i.

Ejemplo:

(13)

OPERACIONMES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES:

Sean las matrices:

y

, ambas del mismo

orden

mxn

.

La matriz suma de A y B es:

La cual también es de orden

mxn.

En otras palabras, para sumar matrices, se suman los

elementos que están situados en la misma fila y en la

misma columna.

Ejemplo

:

(14)

Consecuencia:

Te ser

á

_f

á

_{cil comprobar que el conjunto M(}

m

_x

n

_{) de}

todas las matrices de orden m

´

_{n es, con las operaciones}

anteriores, un espacio vectorial sobre

R

_{. Y si lo tuyo es}

vicio, puedes buscar una base de dicho espacio.

¿

_Cu

á

_l

es su dimensi

ó

_n?

(15)

Solución:

Se puede efectuar la diferencia, ya que las matrices son del mismo orden 3x3 ; luego:

(16)

PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ

COLUMNA

(17)

El producto de éstas:

El resultado

es un número que se le conoce como

producto escalar de A y B.

NOTA: Para que pueda ejecutarse esta operación ambas

matrices den tener la misma cantidad de elementos, la

matriz A tiene n elementos columnas y la matriz B tiene n

elementos filas.

(18)

Hallar AB, si:

(una fila, tres columnas) y (tres

(filas y una columna)

Solución:

PRODUCTO DE DOS MATRICES

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P

cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A

por las columnas de B. De manera más formal, los

(19)

Es evidente que el número de columnas de A debe

coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene

dimensión mxn y B dimensión nxp, la matriz P será de

orden mxp. Es decir:

(20)

CONSECUENCIAS DE LAS PROPIEDADES:

MATRICES INVERSIBLES

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es

inversible o regular; en caso contrario recibe el

(21)

PROPIEDADES DE LA INVERSIÓN DE MATRICES:

OBSERVACIÓN

:

Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A= I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la

izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".

Hay varios

métodos para calcular la matriz inversa

de una matriz dada:

•_Directamente

•_{Usando determinantes}

(22)

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA USANDO DETERMINANTES

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (A_ij).

Ejemplo:

(23)

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los

productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor

del determinante, y que la suma de los productos de los elementos

de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el

desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los

adjuntos de una de ellas).

(24)

M

É

TODO DE GAUSS-JORDAN PARA EL C

Á

LCULO DE LA MATRIZ INVERSA

El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una

dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior

de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

Ejemplos:

1.- Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz

•En primer lugar triangularizamos inferiormente:

(25)

CONCLUSION

Las estrategias presentadas aquí pueden servir de base para generar más

y mejores metodologías de aprendizaje utilizando la Historia de la

Matemática, las aplicaciones y los elementos computaciones como

herramientas pilares en el proceso de enseñanza aprendizaje de la

matemática. Se pueden presentar más variedad de aplicaciones

utilizando mini aplicaciones (resúmenes). Sin embargo creo que vale la

pena comenzar por lo menos con dos aplicaciones bien completas y el

resto con aplicaciones pequeñas. Desde luego que se deben valorar los

objetivos trazados en el estudio y tomar en cuenta también a la

población meta, todo esto nos ayudará a escoger y valorar la mejor

metodología a utilizar.

(26)

BIBLIOGRAFIA

1. Anderson, Sweeney, Williams. Métodos cuantitativos para los negocios.

Séptima edición.

México. Editorial Thomson.1999.

2. Hill Richard. Álgebra lineal elemental con aplicaciones. Prentice Hall.

México. 1997.

3. Kolman Bernard. Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. Prentice

Hall. México. 1999.

4. Lay David. Álgebra lineal y sus aplicaciones. Prentice Hall. México.

2001.

(27)

ÍNDICE

DEFINICIÓN DE MATRIZ………4

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES………..5

ATENDEDIENDO A LA FORMA……….5 Matriz fila……….5 Matriz columna……….5 Matriz cuadrada………6 Matriz traspuesta……….7 Matriz simétrica………...8 Matriz antisimétrica………8

ATENDIENDO A LOS ELEMENTOS………..9

Matriz nula………..9

Matriz diagonal………..10

Matriz identidad o identidad……….10

Matriz escalar………11

Matriz triangular………...11

Triangular inferior………..12

(28)

OPERACIÓN CON MATRICES……….13

Suma de matrices……….13

Multiplicación de una escalar por una matriz………..15

Productos de una matriz fila por una matriz columna……….16

Producto de dos matrices……….18

Matrices inversibles ………...20