Vigil y los ceros de polinomios ortogonales

Vigil y los ceros de polinomios ortogonales

Mar´ıa Pilar Alfaro

Departamento de Matem´aticas Universidad de Zaragoza

IX E.I.T.A.

Los inicios

Enero de 1967.

Los inicios

Enero de 1967.

Los inicios

Valencia. Inicio tesis a distancia.

Traslado a Zaragoza.

Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad. Estudio del caso C.

Los inicios

Valencia. Inicio tesis a distancia. Traslado a Zaragoza.

Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad. Estudio del caso C.

Los inicios

Valencia. Inicio tesis a distancia. Traslado a Zaragoza.

Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad. Estudio del caso C.

Los casos C y D

Para cadaµmedida de probabilidad no trivial sobre la

circunferencia unidad existe una ´unica {ϕn(z)}∞n=1 verificando

1 ϕ_n(z) =κ_nzn+· · ·, κ_n>0, 2 R2π

0 ϕn(z)ϕm(z)dµ(θ) =δnm,n,m≥0, z =eiθ. {ϕ_n(z)}∞

n=1 base ortonormal de Π(z), espacio de los polinomios en

z con coeficientes enC.

Π(eiθ_)⊆L2_(µ)

“Curioso fen´omeno”(Akhiezer):

Caso C: Π(eiθ_)⊂L2_(µ) Caso D: Π(eiθ_{) =L}2_(µ)

Los casos C y D

Para cadaµmedida de probabilidad no trivial sobre la

circunferencia unidad existe una ´unica {ϕn(z)}∞n=1 verificando

1 ϕ_n(z) =κ_nzn+· · ·, κ_n>0, 2 R2π

0 ϕn(z)ϕm(z)dµ(θ) =δnm,n,m≥0, z =eiθ. {ϕ_n(z)}∞

n=1 base ortonormal de Π(z), espacio de los polinomios en

z con coeficientes enC.

Π(eiθ_)⊆L2_(µ)

“Curioso fen´omeno”(Akhiezer):

Caso C: Π(eiθ_)⊂L2_(µ) Caso D: Π(eiθ_{) =L}2_(µ)

Los casos C y D

Para cadaµmedida de probabilidad no trivial sobre la

circunferencia unidad existe una ´unica {ϕn(z)}∞n=1 verificando

1 ϕ_n(z) =κ_nzn+· · ·, κ_n>0, 2 R2π

0 ϕn(z)ϕm(z)dµ(θ) =δnm,n,m≥0, z =eiθ. {ϕ_n(z)}∞

n=1 base ortonormal de Π(z), espacio de los polinomios en

z con coeficientes enC.

Π(eiθ_)⊆L2_(µ)

“Curioso fen´omeno”(Akhiezer):

Caso C: Π(eiθ_)⊂L2_(µ) Caso D: Π(eiθ_{) =L}2_(µ)

Los casos C y D

Con la notaci´on de Vigil

ϕn(z) = 1 √ en zn+· · · , Φn(z) = √ enϕn(z) =zn+· · ·,

{en} sucesi´on mon´otona no creciente y acotada con l´ımite ≥0.

Caso C: logµ0 ∈L1_{[0,2π)⇐⇒l´ım} n en>0⇐⇒ {Φn(0)} ∈l 2_. Caso D: logµ0 6∈L1_{[0,2π)⇐⇒l´ım} n en= 0⇐⇒ {Φn(0)} 6∈l 2_. en en−1 +|Φn(0)|2= 1 Φn+1(0) =−an

Los casos C y D

Con la notaci´on de Vigil

ϕn(z) = 1 √ en zn+· · · , Φn(z) = √ enϕn(z) =zn+· · ·,

{en} sucesi´on mon´otona no creciente y acotada con l´ımite ≥0.

Caso C: logµ0 ∈L1_{[0,2π)⇐⇒l´ım} n en>0⇐⇒ {Φn(0)} ∈l 2_. Caso D: logµ0 6∈L1[0,2π)⇐⇒l´ım n en= 0⇐⇒ {Φn(0)} 6∈l 2_. en en−1 +|Φn(0)|2= 1 Φn+1(0) =−an

Los casos C y D

Con la notaci´on de Vigil

ϕn(z) = 1 √ en zn+· · · , Φn(z) = √ enϕn(z) =zn+· · ·,

{en} sucesi´on mon´otona no creciente y acotada con l´ımite ≥0.

Caso C: logµ0 ∈L1_{[0,2π)⇐⇒l´ım} n en>0⇐⇒ {Φn(0)} ∈l 2_. Caso D: logµ0 6∈L1[0,2π)⇐⇒l´ım n en= 0⇐⇒ {Φn(0)} 6∈l 2_. en en−1 +|Φn(0)|2= 1 Φn+1(0) =−an

Los casos C y D

Con la notaci´on de Vigil

ϕn(z) = 1 √ en zn+· · · , Φn(z) = √ enϕn(z) =zn+· · ·,

{en} sucesi´on mon´otona no creciente y acotada con l´ımite ≥0.

Caso C: logµ0 ∈L1_{[0,2π)⇐⇒l´ım} n en>0⇐⇒ {Φn(0)} ∈l 2_. Caso D: logµ0 6∈L1[0,2π)⇐⇒l´ım n en= 0⇐⇒ {Φn(0)} 6∈l 2_. en en−1 +|Φn(0)|2= 1 Φn+1(0) =−an

Buscando ceros

1979 Revista de la Universidad de Santander.

1980 Revista de la Universidad Aut´onoma de Barcelona.

1983 I Simposio sobre Polinomios Ortogonales (Logro˜no /

Chicho).

Buscando ceros

•Proceedings of Edinburgh Mathematical Society

- Los polinomios quedan totalmente determinados por

“algunos”de sus ceros.

- Localizaci´on de ceros {zjn} ceros de Φn(z) |Φn(0)|= n Y j=1 |zjn| |Φn(0)|<|zjn|<1 (1≤j ≤n)

Buscando ceros

D0: si n≥n0, todos los ceros de los Φn(z) est´an arbitrariamente

pr´oximos a la circunferencia.

Da:∀ε >0,{z :a−ε <|z|<1}contiene todos los ceros de los

Φn(z) sin ≥n0.

- Otros: ceros de m´odulo m´ınimo y m´aximo, puntos l´ımite del

Buscando ceros

D0: si n≥n0, todos los ceros de los Φn(z) est´an arbitrariamente

pr´oximos a la circunferencia.

Da:∀ε >0,{z :a−ε <|z|<1}contiene todos los ceros de los

Φn(z) sin ≥n0.

- Otros: ceros de m´odulo m´ınimo y m´aximo, puntos l´ımite del

Buscando ceros

D0: si n≥n0, todos los ceros de los Φn(z) est´an arbitrariamente

pr´oximos a la circunferencia.

Da:∀ε >0,{z :a−ε <|z|<1} contiene todos los ceros de los

Φn(z) sin≥n0.

- Otros: ceros de m´odulo m´ınimo y m´aximo, puntos l´ımite del

Buscando ceros

D0: si n≥n0, todos los ceros de los Φn(z) est´an arbitrariamente

pr´oximos a la circunferencia.

Da:∀ε >0,{z :a−ε <|z|<1} contiene todos los ceros de los

Buscando ceros

El problema de Tur´

an

Referees

Charla de P. Nevai en la Escuela de Ingenieros Industriales

El problema de Tur´

an

Referees

Charla de P. Nevai en la Escuela de Ingenieros Industriales

El problema de Tur´

an

JOURNAL OF APPROXIMATION THEORY 53, 195-197 (1988)

Solution of a Problem of P. Tur6n on Zeros of Orthogonal Polynomials on the Unit Circle

M. PILAR ALFARO AND LUIS VIGIL Departamento de Teoria de Funciones, Fact&ad de Ciencias.

Universidad de Zaragoza, 50009 Zaragoza, Spain Communicaied by Paul G. Nevai Received December 12, 1985; revised February 15, 1986 The existence of sequences of orthogonal polynomials on the unit circle whose zeros are everywhere dense in 121 < 1 is proved. 0 1988 Academic Press, Inc. P. Turan asked in [S, p. 68-691 whether there is a system of orthogonal polynomials on the unit circle such that the zeros of the polynomials are everywhere dense in 1.~1 < 1. Szabados in [4, Theorem 7, p. 2091 gave a partial answer. He proved that, given an arbitrary E >O, there exists a weight-function f such that the two-dimensional Lebesgue measure of the set of cluster points of the zeros of the orthonormal polynomials with respect to f is greater than R-E.

The problem raised by Tut-an admits an affirmative answer as we show. We denote D = {z E C: IzI < 1 }; B is the closure of D, and T is the boun- dary of D.

LEMMA 1. Let {4h(Z));l: b e a finite sequence of orthogonal monk polynomials on T and a E C with JaJ < 1. Then there exists only one manic polynomial b,,(z) such that {QlJ.z)}; = ,, is orthogonal on T and +,(a) = 0.

Proof. Let rp,* be defined by q,*(z) =z”rp,(l/z). Because d,,(z) must satisfy the recurrence formula

On(z) = z$n- l(Z) -a,_,&- l(Z), la,- Il < 1,

([2, Formula 8.1, p. 1551) we need only determine a,- 1. Since #,(a)=O, we have

and thus, the recurrence coefficient is obtained. 195

0021-9045/88 $3.00 Copyright 0 1988 by Academic Press. Inc.

El problema de Tur´

an

•El resultado en cuesti´on

Φn+1(z) =zΦn(z)−anΦ∗n(z)

Φ∗_n(z) = Φn(1/z)

Lema

Dadas una familia finita{Φh(z)}nh−1=0 de polinomios m´onicos,

ortogonales sobre la circunferencia unidad yα∈_Ccon |α|<1, existe un ´unico polinomio m´onico Φn(z) tal que {Φh(z)}n_h=0 es ortogonal sobre la circunferencia yΦn(α) = 0.

El problema de Tur´

an

•El resultado en cuesti´on

Φn+1(z) =zΦn(z)−anΦ∗n(z)

Φ∗_n(z) = Φn(1/z)

Lema

Dadas una familia finita{Φh(z)}nh−1=0 de polinomios m´onicos,

ortogonales sobre la circunferencia unidad yα∈Ccon |α|<1,

existe un ´unico polinomio m´onico Φn(z) tal que {Φh(z)}n_h=0 es ortogonal sobre la circunferencia yΦn(α) = 0.

El problema de Tur´

an

n=1 una sucesi´on de n´umeros complejos con|αn|<1, n= 1,2. . . Existe una ´unica familia{Φn(z)}∞n=1 de polinomios

m´onicos ortogonales sobre la circunferencia tal queΦn(α) = 0, n≥1.

El problema de Tur´

an

Sea{αn}∞n=1 una sucesi´on de n´umeros complejos con|αn|<1, n= 1,2. . . Existe una ´unica familia{Φn(z)}∞n=1 de polinomios

m´onicos ortogonales sobre la circunferencia tal queΦn(α) = 0, n≥1.

El problema de Tur´

an

PROBLEMA LXVIII:Do weight functions of third type exist?

1er tipo: Ceros de los polinomios ortogonales todos enz = 0.

Φn(z) =zn.

2o _{tipo: Ceros de los polinomios se aproximan uniformemente}

a|z|= 1,n→ ∞. Φn(z) =zn+ n n+ 1z n−1 +· · ·+ 2 n+ 1z + 1 n+ 1.

3er tipo: Ceros de los polinomios conjunto denso en|z|<1.

Respuesta parcial de Szabados (1979) (Acta Math.Acad.Sci.Hung.)

Teorema

Dadoε >0cualquiera, existe una funci´on peso f , tal que la medida bidimensional de Lebesgue de la clausura de los ceros de los polinomios ortogonales con respecto a f es mayor queΠ−ε.

El problema de Tur´

an

PROBLEMA LXVIII:Do weight functions of third type exist?

1er tipo: Ceros de los polinomios ortogonales todos enz = 0.

Φn(z) =zn.

2o _{tipo: Ceros de los polinomios se aproximan uniformemente}

a|z|= 1,n→ ∞. Φn(z) =zn+ n n+ 1z n−1 +· · ·+ 2 n+ 1z + 1 n+ 1.

3er _{tipo: Ceros de los polinomios conjunto denso en|z|<1.}

Respuesta parcial de Szabados (1979) (Acta Math.Acad.Sci.Hung.)

Teorema

Dadoε >0cualquiera, existe una funci´on peso f , tal que la medida bidimensional de Lebesgue de la clausura de los ceros de los polinomios ortogonales con respecto a f es mayor queΠ−ε.

El problema de Tur´

an

PROBLEMA LXVIII:Do weight functions of third type exist?

1er tipo: Ceros de los polinomios ortogonales todos enz = 0.

Φn(z) =zn.

2o _{tipo: Ceros de los polinomios se aproximan uniformemente}

a|z|= 1,n→ ∞. Φn(z) =zn+ n n+ 1z n−1 +· · ·+ 2 n+ 1z + 1 n+ 1.

3er _{tipo: Ceros de los polinomios conjunto denso en|z|<1.}

Respuesta parcial de Szabados (1979) (Acta Math.Acad.Sci.Hung.)

Teorema

Dadoε >0cualquiera, existe una funci´on peso f , tal que la medida bidimensional de Lebesgue de la clausura de los ceros de los polinomios ortogonales con respecto a f es mayor queΠ−ε.

El problema de Tur´

an

Respuesta afirmativa:{αn}∞n=1 conjunto denso en|z|<1.

Nevai-Totik: “Orthogonal Polinomials and their zeros”. Acta

Scient. Math. (Szeged) 1989.

Los polinomios ortogonales en el caso real quedan igualmente determinados por algunos de sus ceros.

Mhaskar-Saff: “On the distribution of zeros of polynomials

orthogonal on the unit circle”JAT 1990. l´ım sup

n

|Φn(0)|1/n=R

El problema de Tur´

an

Respuesta afirmativa:{αn}∞n=1 conjunto denso en|z|<1.

Nevai-Totik: “Orthogonal Polinomials and their zeros”. Acta

Scient. Math. (Szeged) 1989.

Los polinomios ortogonales en el caso real quedan igualmente determinados por algunos de sus ceros.

Mhaskar-Saff: “On the distribution of zeros of polynomials

orthogonal on the unit circle”JAT 1990. l´ım sup

n

|Φn(0)|1/n=R

El problema de Tur´

an

Respuesta afirmativa:{αn}∞n=1 conjunto denso en|z|<1.

Nevai-Totik: “Orthogonal Polinomials and their zeros”. Acta

Scient. Math. (Szeged) 1989.

Los polinomios ortogonales en el caso real quedan igualmente determinados por algunos de sus ceros.

Mhaskar-Saff: “On the distribution of zeros of polynomials

orthogonal on the unit circle”JAT 1990. l´ım sup

n

|Φn(0)|1/n=R

Tiempos modernos

•Simon-Totik (2004)

Teorema

For1≤n<N, letΦn be a monic polynomial of degree n with zeros in D and let there be given N−n points a1, a2,. . ., aN−n in D. Then there is a measureµ on the unit circle such that

Φn(µ) = Φn and ai, i = 1,2, . . . ,N−n are zeros (with multiplicity) ofΦn(µ).

•Simon (2004): Fine structure of the zeros of orthogonal

polynomials.

I. A tale of two pictures.

II. OPUC with competing exponential decay.

III. Periodic recursion coefficients.

IV. A priori bounds and clock behaviour.

Tiempos modernos

•Simon-Totik (2004)

Teorema

For1≤n<N, letΦn be a monic polynomial of degree n with zeros in D and let there be given N−n points a1, a2,. . ., aN−n in D. Then there is a measureµ on the unit circle such that

Φn(µ) = Φn and ai, i = 1,2, . . . ,N−n are zeros (with multiplicity) ofΦn(µ).

•Simon (2004): Fine structure of the zeros of orthogonal

polynomials.

I. A tale of two pictures.

II. OPUC with competing exponential decay.

III. Periodic recursion coefficients.

Tiempos modernos

•Simon-Totik (2004)

Teorema

For1≤n<N, letΦn be a monic polynomial of degree n with zeros in D and let there be given N−n points a1, a2,. . ., aN−n in D. Then there is a measureµ on the unit circle such that

Φn(µ) = Φn and ai, i = 1,2, . . . ,N−n are zeros (with multiplicity) ofΦn(µ).

•Simon (2004): Fine structure of the zeros of orthogonal

polynomials.

I. A tale of two pictures.

II. OPUC with competing exponential decay.

III. Periodic recursion coefficients.

IV. A priori bounds and clock behaviour.

Tiempos modernos

Extensi´on del teorema.

Condiciones sobre{αn}∞n=1.

•JAT (2005) (con J.L. Varona)

{αn} ⊆ {z :|z| ≤r <1}

l´ım sup

n

|Φn(0)|1/n≤m´ın{1,2r}

Respuesta a una pregunta de Totik (Meeting of Approximation. ´

Tiempos modernos

Extensi´on del teorema.

Condiciones sobre{αn}∞n=1.

•JAT (2005) (con J.L. Varona)

{αn} ⊆ {z :|z| ≤r <1}

l´ım sup

n

|Φn(0)|1/n≤m´ın{1,2r}

Respuesta a una pregunta de Totik (Meeting of Approximation. ´

Tiempos modernos

{αn} tal que αn→z0,|z0|<1.

l´ım sup

n

|Φn(0)|1/n=|z0| ???

No. Velocidad de convergencia.

JAT (2013). Sucesiones {αn}peri´odicas.

Biperi´odicas:α1, α2, α1, α2, . . ..

Tiempos modernos

{αn} tal que αn→z0,|z0|<1.

l´ım sup

n

|Φn(0)|1/n=|z0| ???

No. Velocidad de convergencia.

JAT (2013). Sucesiones{αn}peri´odicas.

Biperi´odicas:α1, α2, α1, α2, . . ..

Tiempos modernos

Tiempos modernos

Tiempos modernos

Tiempos modernos

Tiempos modernos