Capítulo 3: Leyes de la conservación. Trabajo de una fuerza constante

Capítulo 3:

Leyes de la conservación

En este capítulo, trataremos varias magnitudes nuevas como el trabajo, la energía, el impulso y la cantidad de movimiento, y fundamentalmente las leyes de la conservación que tienen una importancia fundamental en el desarrollo de toda la física.

Trabajo de una fuerza constante

Esta magnitud aparece como consecuencia de la invención de la máquina de vapor y permite relacionar la fuerza aplicada a un cuerpo con el desplazamiento sufrido por el mismo.

Supongamos que sobre un cuerpo como el de la figura se aplica una fuerza constante en módulo y dirección ( F ) a lo largo de un camino ( Δx ), desde el punto cero del sistema de referencias

hasta el punto uno.

Definición:

El trabajo de una fuerza constante es una magnitud escalar cuyo valor se obtiene como el producto del módulo de la fuerza aplicada a un cuerpo, por el módulo del desplazamiento que experimentó el mismo durante la acción de la fuerza y por el coseno del ángulo formado por la dirección de la fuerza con la del desplazamiento.

L = F

⋅

Δ

x cos

⋅

α

Observaciones:

a) Si el ángulo α es 0º ≤ α < 90º, el coseno es positivo y por lo tanto el trabajo también lo será, mas adelante veremos que esto significa que se le está entregando energía al sistema.

b) Si el ángulo α = 90º, el coseno es cero y por lo tanto el trabajo también lo será, es decir, cuando la fuerza que se aplica un cuerpo en normal a su desplazamiento, no realiza trabajo.

c) Si el ángulo α es 90º <α ≤ 180º, el coseno es negativo y por lo tanto el trabajo también lo será, también veremos que esto significa que se le está quitando energía al sistema.

Unidades: Sistema técnico [L] = [F].[x] = kgf.m = kgm ( kilográmetro) Sistema MKS [L] = [F].[x] = N.m = J ( Joule )

1 J = 1

s

2

kg.m

2 Equivalencia:

Como lo único que se hizo fue multiplicar al kgf por m y al N por m, la equivalencia entre kgm y J será la misma que entre kgf y N

1kgm = 9,8 J

Definición de trabajo para cualquier fuerza

Como dijimos, la definición que hemos dado para el trabajo de una fuerza es imperfecta ya que solo es válida para fuerzas constantes. Para calcular el trabajo a lo largo de una trayectoria cualquiera realizado por una fuerza que puede variar, hay que dividir la trayectoria en infinitos desplazamientos infinitamente pequeños, calcular los infinitos trabajos en cada uno de ellos y por último sumarlos. Esto, en análisis matemático es una integral. Por lo tanto la definición general de trabajo de una fuerza vendrá dada por la integral de un producto escalar:

2 1

L= F d

∫

l

G

⋅

JJG

Potencia

Desde luego que no es lo mismo realizar iguales trabajos en distintos tiempos, por esta razón se hace necesario definir una magnitud que distinga un caso de otro, esta es la potencia:

Definición:

La potencia media es una magnitud escalar cuyo valor se obtiene como el cociente entre el trabajo realizado por una fuerza y el intervalo de tiempo empleado.

t

=

Pot

Δ

L

Relación entre potencia media y velocidad media:

Existe una sencilla relación entre la potencia desarrollada y la velocidad media del cuerpo al que se le realiza el trabajo, veamos:

Pot =

L

t

=

F

x cos

t

Δ

α

⋅

⋅

Δ

Δ

Pero el cociente entre el desplazamiento y el tiempo no es otra cosa que la velocidad media, por lo tanto:

Pot = F v

⋅

_m

⋅

cos

α

Unidades:

Sistema Técnico Sistema MKS

[ ] [ ]

_{[ ]}

s

kgm

=

t

L

=

Pot

_{Pot =}

L

t

=

J

s

= W (Watt)

1 W = 1

kg m

s

2 3

⋅

Equivalencias:

Es evidente que la equivalencia es la misma que para la unidad de fuerza y la de trabajo pues lo único que se ha hecho es dividir por segundo.

1 kgm/s = 9,8 W

Otras unidades de potencia:

Existen otras unidades de potencia que no pertenecen a ninguno de los sistemas anteriores, estas son el caballo vapor (CV) y el Caballo de fuerza (HP), Sus equivalencias son:

1 CV = 75 kgm/s = 735 W

1 HP = 76 kgm/s = 744,8 W

Ejemplo 1:

Sobre un cuerpo apoyado en una mesa horizontal se aplica una fuerza de 400 N en una dirección de 37º a lo largo de 20 m en 25 segundos. Calcular el trabajo realizado y la potencia empleada.

Solución:

Aplicamos la definición de trabajo:

L = F x cos

⋅

Δ

⋅

α

= 400N 20m cos 37º = 6400 J

⋅

⋅

Calculamos ahora la potencia:

Pot =

L

t

=

6400 J

25 s

= 256

W

Δ

Teorema del trabajo y la energía

Supongamos que sobre el cuerpo de la figura, la fuerza F (que puede ser la resultante de otras muchas fuerzas aplicadas), realiza un trabajo a lo largo de la trayectoria Δx. Inicialmente, el

cuerpo tenía una velocidad v0 y luego de realizado el trabajo su velocidad es vf. Entre estas

velocidades transcurrió un tiempo t .

El trabajo será:

L = F

⋅

Δ

x = m a

⋅

⋅

Δ

x

Como se trata de un MRUV, podemos calcular la aceleración y el desplazamiento de la siguiente manera:

a =

t

x = v t + a t

₀ 1 2 2

Δ

⋅

⋅

⋅

v - v

_{f 0}

Ponemos la ecuación del desplazamiento en función de las velocidades relacionando las dos ecuaciones:

Δ

x = v t +

v - v

t

t

0 f 0 2 0 1 2 1

⋅

⋅

/

⋅

⋅

/

Δ

x = v t + (v - v ) t

_{0 f} 2

⋅

⋅

Aplicamos distributiva en el segundo término y simplificamos:

Δ

x = v t + v t - v t

₀ 1 _{f 0} 2 1 2 1 1

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

Δ

Δ

x = v t + v t

x = t ( v + v )

f 0 f 0 2 2 1 2

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅

L = m a x = m

v - v

t

t ( v + v )

f 0 f 0 1 2

⋅

⋅

⋅

/

⋅

⋅ / ⋅

Δ

Ordenando llegamos a una diferencia de cuadrados, por lo tanto:

L = m ( v + v ) ( v - v )

L = m ( v - v )

1 2 1 2 f 0 f 0 f 2 0 2

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

Si aplicamos nuevamente distributiva nos queda:

L = m v - m v

1 2 1 2 f 2 0 2

⋅

⋅

⋅

⋅

Si analizamos esta expresión, notaremos su extraordinaria importancia, en efecto, ella nos dice que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actuaron sobre un cuerpo puede calcularse aunque se desconozca: cuales fueron estas, en que dirección actuaron y a lo largo de que distancia fueron aplicadas. Solo es necesario conocer la masa del cuerpo y sus estados de velocidad inicial y final. Este hecho nos indica que la expresión 1

2

2

m v

⋅

⋅

puede ser de mucha utilidad y nos indica, de alguna forma, un estado del cuerpo. Por esta razón la llamaremos energía cinética ( Ec ) del cuerpo. Por lo tanto el trabajo realizado por todas las fuerzas que actuaron sobre un cuerpo puede calcularse como la diferencia entre las energías cinéticas inicial y final del mismo.

Conclusión:

El trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistema de cuerpos es igual a la variación de la energía cinética que el cuerpo o sistema experimenta.

L = E - E

L = E

c c c f 0

Δ

Energía cinética:

Es la energía que posee un cuerpo o un sistema de cuerpos por encontrarse en movimiento respecto de un sistema de referencias y su valor se calcula con la siguiente expresión:

E

_c

= m v

1

2

2

⋅

⋅

Obsérvese que si un cuerpo disminuye su energía cinética significa que sobre el se ha realizado un trabajo negativo, mientras que si la aumenta quiere decir que el trabajo que realizaron sobre el fue positivo. Es decir, si el cuerpo realiza trabajo contra otros su energía cinética disminuye mientras que si otros cuerpos realizan trabajo positivo sobre el su energía cinética aumenta. De esta observación podemos llegar a una generalización para el concepto de energía.

Energía

Diremos que la energía de un cuerpo o sistema de cuerpos es la capacidad que tienen para realizar trabajo.

Esta definición es imperfecta pero nos alcanza para hacer una primera aproximación al concepto de energía.

Además de la energía cinética existen otros tipos de energía, y están relacionadas con algún tipo de trabajo, por ejemplo el trabajo de la fuerza peso dará origen a la energía potencial gravitatoria y el trabajo de una fuerza elástica dará origen a la energía potencial elástica.

Ejemplo 2:

Sobre un cuerpo de 20 kg. que se desplaza a una velocidad de 10 m/s sobre una superficie horizontal se aplica una fuerza constante de 50N en la misma dirección y sentido del desplazamiento a lo largo de 30 m . Calcular cuál es la velocidad que alcanza.

Solución:

Este problema podría resolverse aplicando las leyes de la cinemática y la segunda ecuación de Newton, sin embargo, la cosa se simplifica muchísimo si utilizamos el teorema del trabajo y la energía:

L = E

Δ

_c

L = E - E

_{cf c0}

F

x =

1 _f2 1

m v

0 2

⋅

Δ

m v -

⋅

⋅

⋅

⋅

2 2

50N 30

1 _f2 1

100

m

2 2

⋅

m = 20kg v - 20kg

⋅

⋅

⋅

⋅

s

2 2 2 2 2 2 f 2

v =

= 250

10kg

s

m

1500Nm + 1000kg

_m

s

2 f 2

m

m

v = 250

= 15,81

s

s

Energía potencial gravitatoria

Supongamos que un cuerpo se encuentra a una cierta altura h0 respecto de un sistema de referencias dentro del campo gravitatorio de la tierra y por acción de una fuerza igual al peso pero de sentido contrario se lo desplaza hasta otra altura hf. Calcularemos el trabajo realizado por esta fuerza.

L = F

_F

⋅

Δ

y cos

⋅

α

Teniendo en cuenta que, la fuerza F tiene el mismo módulo que el peso, Δy es hf - h0 y el ángulo α = 0, podemos escribir:

L

_F

= P (h - h )

⋅

_{f 0}

⋅

cos

0º

L = P (h - h )

_F

⋅

_{f 0}

L = m g

_F

⋅

⋅

(h - h )

_{f 0}

L

_F

= m g h - m g

⋅ ⋅

_f

⋅ ⋅

h

₀

Nuevamente nos encontramos con que el trabajo puede hallarse realizando la diferencia entre dos expresiones correspondientes a los estados inicial y final del cuerpo que en este caso tienen que ver con la posición. Por esta razón a cada uno de estos términos los llamaremos energía potencial gravitatoria del cuerpo.

E

_PG

= m g h

⋅ ⋅

Esto significa que el trabajo realizado por la fuerza F para subir al cuerpo de masa m con velocidad constante es igual a la variación de la energía potencial gravitatoria.

L

_F

=

Δ

E

_PG

Por último, teniendo en cuenta que el trabajo realizado por la fuerza F es igual al realizado por la fuerza peso pero de signo contrario, podemos concluir que:

-L

_P

=

Δ

E

_PG

La variación de la energía potencial gravitatoria es igual al trabajo de la fuerza peso cambiado de signo.

Conclusión:

La energía potencial gravitatoria es la que posee todo cuerpo que se encuentra a una cierta altura respecto de un nivel de referencias dentro de un campo gravitatorio. Obsérvese que el cero de energía potencial es arbitrario pues corresponde al cero de altura. Para fines prácticos, suele asignarse altura cero al punto mas bajo por el que el móvil pasa en el problema en cuestión.

El trabajo de la fuerza peso y la trayectoria:

Desplazamos un cuerpo desde el punto A hasta el punto B por dos caminos distintos. Primero por el camino AB y luego por el camino ACB y calculamos en cada caso el trabajo.

Camino AB:

L

_AB

= P AB cos 0º

⋅

⋅

L

_AB

= P

⋅

(h - h )

_{f 0}

Camino ACB:

L

_ACB

=

P AC cos 90º + P CB

⋅

⋅

⋅

cos

⋅

α

Pero cos 90º = 0 y cos α:

cos =

α

AB

CB

Remplazando en el cálculo del trabajo:

L

_ACB

= 0 + P CB

⋅

⋅

AB

CB

Simplificando:

L

= P AB

L

= P

(h - h )

ACB ACB

⋅

f 0

⋅

Como podemos ver el trabajo realizado por la fuerza peso es igual en ambos casos y puede demostrarse, utilizando cálculo infinitesimal, que será el mismo para cualquier camino siempre que el punto de partida sea el A y el de llegada el B.

En matemática, a las funciones que cumplen con esta propiedad se las llama potenciales, y de aquí el nombre de energía potencial.

Cuando el trabajo que realiza una fuerza solo depende del punto de partida y del de llegada sin importar la trayectoria, se dice que la fuerza es conservativa. Particularmente nosotros estudiaremos dos tipos de fuerzas conservativas: La fuerza peso y las fuerzas elásticas.

Energía potencial elástica

Cuando se comprime o se estira un resorte con velocidad constante, hay que aplicarle una fuerza externa igual y contraria a la fuerza elástica. Esta fuerza hará trabajo y entonces se acumulará energía en el resorte que podrá ser devuelta en forma de trabajo de la fuerza elástica cuando se deje el resorte en libertad. Para hallar la expresión de la energía acumulada por el resorte, Calcularemos el trabajo de la fuerza externa.

Estiramos un resorte desde el punto A hasta el punto B.

Como sabemos, la fuerza elástica no permanece constante, por el contrario su módulo crece en forma directamente proporcional al estiramiento del resorte. Si consideramos que en el punto “A” el resorte se encuentra en posición de equilibrio el módulo de la fuerza que hace viene dado por:

F = k X

⋅

El trabajo entonces no puede calcularse como lo hacemos siempre. Sin embargo sabemos que existe una fuerza media, cuando el resorte se encuentra en el medio del segmento AB. Antes de este punto el resorte ejerce una fuerza menor y después una mayor, pero siempre en forma proporcional. Esto nos permite asegurar que el trabajo realizado por la fuerza media en el segmento

AB será igual al realizado por la fuerza elástica en el mismo trayecto pero de signo contrario.:

L = F (X - X ) cos 0º

_m

⋅

_{B A}

⋅

La fuerza media la calcularemos con la posición media que es igual a:

X =

X + X

2

m B A Por lo tanto:

F = k X = k

(

X +

X

2

m

⋅

m

⋅

B A

)

Remplazando en la ecuación de trabajo:

L = k

(

X +

X

2

(X - X )

B A

B A

⋅

)

⋅

Observemos que tenemos una diferencia de cuadrados, por lo tanto:

L =

2

⋅ ⋅

k (X - X )

B A

1

2 2 Aplicando distributiva:

L =

2

⋅ ⋅

k X -

B

2

⋅ ⋅

k X

A

1

₂

1

₂

Cada uno de estos términos representa un estado de energía del resorte que llamaremos energía potencial elástica, pues como la gravitatoria tampoco depende de la trayectoria seguida. Por lo tanto :

E =

2

k X

PE

⋅ ⋅

2

1

Si tenemos en cuenta como dijimos, que el trabajo realizado por la fuerza media para estirar el resorte es igual al realizado por la fuerza elástica pero de signo contrario, nos queda:

-L = E

_FE

Δ

_PE

En la mayoría de los casos prácticos haremos coincidir el valor de energía potencial elástica cero con la posición en que el resorte no se encuentra estirado, por lo tanto X será directamente el estiramiento ΔX del resorte.

Energía Mecánica

Se denomina energía mecánica de un cuerpo o de un sistema de cuerpos a la suma de las energías cinética, potencial gravitatoria y potencial elástica del mismo.

E = E + E + E

_{m C PG PE}

Para que un cuerpo posea energía mecánica bastará con que tenga al menos una de las tres que la conforman.

Principio de conservación de la energía mecánica

Cuando sobre un cuerpo o sistema de cuerpos solo realizan trabajo fuerzas conservativas la energía mecánica del mismo permanece constante.

Es decir la energía mecánica será siempre la misma, podrá cambiar de cinética a potencial pero la suma de todas siempre dará el mismo resultado.

E = 0

_m

E = E

_{m m}

0 f

Δ

⇒

Fuerzas no conservativas:

Se denominan fuerzas no conservativas a aquellas que al realizar trabajo hacen que varíe la energía mecánica del sistema. Por ejemplo la fuerza de rozamiento, que transforma la energía mecánica de un móvil en otro tipo de energía llamada calor.

Cuando se empuja con la mano un carro que se encontraba detenido y se lo pone en movimiento, la fuerza que aplicamos también es no conservativa, pues está modificando la energía mecánica del carro. Estamos transformando la energía que tiene nuestro cuerpo en movimiento del carro.

Es evidente entonces que el trabajo realizado por estas fuerzas será igual a la variación que experimente la energía mecánica del sistema sobre el cuál han actuado:

L

_f

= E

_m

nc

Δ

Ejemplo 3:

La longitud libre de un resorte es 60 cm y está comprimido de modo que su longitud es 20 cm. Un cuerpo de masa m = 10kg está apoyado contra uno de los extremos del resorte, estando fijo el otro extremo del mismo. Se libera el resorte y la masa recorre el camino ABCD mostrado en el esquema. Si la constante del resorte es 20000 N/m y se desprecian los rozamientos, calcular:

a- La velocidad en A b- La energía cinética en B

c- La altura que la masa alcanza sobre la rampa CD

d- Si se deja retornar el cuerpo por el mismo camino; ¿hasta dónde se comprimirá el resorte? e- Repetir el punto c) si en la rampa CD actúa una fuerza de rozamiento constante fr= 25N

Solución:

Como en las preguntas a, b, c y d se desprecia la acción de las fuerzas de rozamiento y no hay ninguna otra fuerza no conservativa que realice trabajo, puesto que la normal es perpendicular a la trayectoria en todo momento, podemos aplicar el principio de conservación de la energía. Tomamos como altura cero el nivel del piso:

a- Cálculo de la velocidad en el punto A:

E = 0

E = E

_m

Δ

⇒

/

/

/

/

E

+ E

+ E

= E

+ E

+ E

A m m0 A

Cancelamos las energías inexistentes en cada punto y las potenciales gravitatorias de cada miembro por ser iguales:

C0 PG0 PE0 CA PGA PE Por lo tanto: 2 A 2

₌

_m

_v

X

k

2 2

⋅

⋅

⋅

⋅

1 1

m/s

17,89

=

kg

10

(0,4m)

20000N/m

=

m

X

k

=

v

_A 2 2

_⋅

⋅

/

/

/

E

+ E

+ E

= E

+ E

+ E

B

b- Cálculo de la energía cinética en b:

Nuevamente consideramos las energías entre el punto inicial y el B: C0 PG0 PE0 CB PGB PE 0 2 m

k

X

+

m

g

h

2

1

=

E

B

⋅

⋅

⋅

⋅

E

=

2

20000N / m (0, 4m) + 10 kg 10

s

10 m = 2600 J

mB

⋅

⋅

2

⋅

2

⋅

1

m

/

/

/

E

+ E

+ E

= E

+ E

+ E

D

c- Calculo de la altura sobre la rampa:

Cuando el cuerpo llega a la máxima altura toda la energía mecánica se habrá transformado en potencial gravitatoria:

C0 PG0 PE0 CD PGD PE max D 0 2

₊

_m

_g

_h

₌

_m

_g

_h

X

k

2

1

_⋅

_⋅

_⋅

_⋅

_⋅

_⋅

m

26

=

s

m

10

kg

10

m

10

s

m

10

kg

10

+

m

0,16

20000N/m

2

1

=

=

g

m

h

g

m

+

X

k

2

1

=

h

2 2 2 0 2 Dmax

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

d- Como no hay trabajo de las fuerzas no conservativas el resorte se comprimirá hasta el punto inicial y el movimiento comenzara nuevamente continuando eternamente.

e- Ahora calculamos la nueva altura pero considerando que la energía mecánica no se conserva pues realiza trabajo la fuerza de rozamiento. Llamaremos d a la distancia recorrida por el móvil sobre el plano: m f

=

E

L

nc

Δ

L = E - E

_{f m} r f m0 0

L = (E

_fr

/

_CD

+ E

_PGD

+ E

/

_PED

) - (E

/

_C0

+ E

_PG0

+ E

_PE

)

)

h

g

m

+

X

k

2

1

(

-h

g

m

=

180º

cos

d

f

2 ₀ D r

⋅

⋅

⋅

⋅

max

⋅

⋅

⋅

⋅

Pero d está relacionado con hDmáx según la siguiente ecuación:

sen 30º =

h

d

d =

h

sen 30º

DMax

⇒

DMax Remplazando:

)

h

g

m

+

X

k

2

1

(

-h

g

m

=

30º

sen

h

f

-

2 ₀ D D r max Max

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

Agrupando y sacando factor común:

30º

sen

f

+

g

m

h

g

m

+

X

k

2

1

=

h

r 0 2 Dmax

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

m

17,33

=

0,5

25N

+

s

m

10

kg

10

10m

s

m

10

10kg

+

0,16m

20000N/m

2

1

=

h

2 D_max

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

Impulso y cantidad de movimiento

Sistema de cuerpos:

A lo largo de las explicaciones hemos utilizado frecuentemente la palabra sistema de cuerpos, pongamos en claro que significa este concepto: “Un sistema de cuerpos es un conjunto finito de objetos que se distinguen de los demás para ser estudiados”.

Fuerzas interiores y exteriores:

Se denominan fuerzas interiores de un sistema a aquellas que se ejercen entre los cuerpos pertenecientes al sistema, mientras que las fuerzas exteriores son las que aparecen como consecuencia de la interacción entre los cuerpos pertenecientes al sistema y los que no pertenecen al mismo.

Por ejemplo, las fuerzas que se puedan ejercer los cuerpos A, B y C entre si son interiores mientras que las que el cuerpo D pueda aplicar sobre ellos son exteriores:

Impulso de una fuerza constante

Así como hemos relacionado la fuerza aplicada a un cuerpo con el desplazamiento a través de una magnitud que llamamos trabajo, ahora relacionaremos la fuerza aplicada con el intervalo de tiempo que actuó. Esta relación da origen a una magnitud vectorial denominada impulso de la fuerza. Como siempre, debido a nuestro poco conocimiento de análisis matemático haremos una definición para una fuerza constante.

Definición:

El impulso de una fuerza constante es una magnitud vectorial que se obtiene como el producto entre la fuerza aplicada y el intervalo de tiempo en que actuó.

t

F

=

G

⋅

Δ

G

I

Es evidente que el vector impulso tiene la misma dirección y sentido que la fuerza aplicada.

Unidades:

[ ]

[ ]

[ ]

s

m

Kg

F

=

G

G

I

⋅

t

=

N

⋅

s

=

⋅

Impulso de cualquier fuerza:

Como ocurrió en el caso de la definición de trabajo, para definir correctamente la magnitud impulso para cualquier fuerza, sea o no constante habrá que dividir el intervalo de tiempo en infinitos intervalos infinitamente pequeños y calcular el impulso para cada uno de ellos para luego sumarlos y obtener el impulso total. Entonces será:

2 1

=

t

F d

t

⋅

t

∫

G

G

I

Cantidad de movimiento

Así como de la definición de trabajo surgió el concepto de energía, de la definición del impulso surgirá otra magnitud denominada cantidad de movimiento.

Supongamos que una fuerza constante actúa durante un cierto intervalo de tiempo sobre un cuerpo, como indica la figura:

El cuerpo cambiará su velocidad desde un cierto estado que llamaremos inicial hasta otro que llamaremos final. El impulso de esta fuerza vendrá dado por la siguiente expresión:

t

F

=

G

⋅

Δ

G

I

t

a

m

=

⋅

⋅

Δ

Pero de acuerdo con el segundo principio de Newton podemos escribir:

G

G

I

Aplicando cinemática para el cálculo de la aceleración nos queda:

)

v

-v

(

m

=

t

t

m

=

v

f

-

v

0 _{f 0}

G

G

G

G

G

v

m

-v

m

=

⋅

⋅

⋅

Δ

Δ

I

Haciendo distributiva nos queda:

G

_G

_G

0

f

⋅

⋅

I

A cada término del segundo miembro de esta expresión se lo denomina respectivamente cantidad de movimiento inicial y final del móvil.

Definición:

La cantidad de movimiento (

p

G

) de un móvil es una magnitud vectorial que se obtiene como el producto de la masa del cuerpo por su velocidad.

v

m

=

p

G

⋅

G

Conclusión:

El impulso que una fuerza ejerce sobre un cuerpo puede calcularse como la variación de la cantidad de movimiento que experimenta.

G

0 f

-

p

p

=

G

G

I

p

=

G

G

Δ

I

Principio de conservación de la cantidad de movimiento

Cuando sobre un sistema de cuerpos no se aplica un impulso de fuerzas exteriores, su cantidad de movimiento permanece constante.

⇒

⇒

G

_G

_G

_G

f

Si I

= 0

ext F

Δp = 0

p = p

0

Es importante tener en cuenta que tanto el impulso como la cantidad de movimiento son magnitudes vectoriales y por lo tanto en los problemas deben tratarse como tales.

Choques

Es frecuente que en la naturaleza dos o mas cuerpos choquen entre si, para el tratamiento de estos fenómenos deben utilizarse los conceptos de energía y cantidad de movimiento ya tratados.

Los choques se clasifican en tres tipos:

a- Choque plástico:

Se denomina de esta manera cuando los cuerpos que en cuestión permanecen unidos después del choque, por ejemplo dos bolas de plastilina que chocan. La particularidad de este choque es que no se conserva la energía cinética del sistema, es decir, que después del choque es menor a la que tenía antes de chocar. Este hecho puede entenderse si pensamos que se consumió parte de la energía en la deformación de los cuerpos; la energía cinética se transforma en calor que se disipa en la atmósfera.

Sin embargo, si se considera como sistema a los dos cuerpos que chocan, puede afirmarse que no hay impulso de las fuerzas exteriores. Analicemos: sobre los cuerpos actúa la fuerza peso, pero dado que la interacción en la mayoría de los choques dura muy poco tiempo, el impulso de estas fuerzas es despreciable, también actúa el impulso de las fuerzas de interacción entre los cuerpos que chocan, pero estas son interiores dado que el sistema está compuesto por los dos cuerpos. Podemos llegar entonces a la conclusión, aplicando el principio de conservación, que la cantidad de movimiento del sistema antes del choque será igual a la cantidad de movimiento después del choque. Por lo tanto:

f 0 C C

p

p

E

E

f 0

G

G

=

≠

Ejemplo 4:

Un cuerpo de masa m1 se desplaza con una velocidad de módulo v01 en dirección y sentido de las X positivas y choca con otro cuerpo de masa m2 que se desplaza en la misma dirección pero en sentido contrario con una velocidad de módulo v02. Calcular la velocidad con que se desplazarán los cuerpos después de chocar plásticamente.

Solución:

Los pesos y las normales se anulan entre si y por lo tanto no provocan impulso y si consideramos un sistema formado por los dos cuerpos, las fuerzas que aparezcan en el choque serán interiores, por lo tanto la cantidad de movimiento de este sistema permanecerá constante:

f 0 C C

p

p

E

E

f 0

G

G

=

≠

La cantidad de movimiento inicial ( antes del choque ) del sistema vendrá dada por la suma de las cantidades de movimiento iniciales de cada móvil, mientras que la cantidad de movimiento final ( después del choque) vendrá dada por la de un cuerpo conformado por ambos, pues quedan pegados. Por lo tanto:

1,2 2 1 0 f 0

+

p

p

p

G

G

=

G

1,2 2 1 2 0 1 2 f 0 1

v

+

m

v

=

(m

+

m

)

v

m

⋅

G

⋅

G

⋅

G

Tengamos en cuenta que:

)

i

(-v

=

v

i

v

=

v

G

_{01 01}

ˆ

G

_{02 02}

ˆ

Remplazando: 1,2 2 1 2 0 1 2 f 0 1

v

i

+

m

v

(-

i

)

=

(m

+

m

)

v

m

⋅

ˆ

⋅

ˆ

⋅

G

Despejando el vector velocidad:

)

m

+

(m

i

)

v

m

-v

(m

=

v

2 1 0 2 0 1 f 2 1 1,2

ˆ

⋅

⋅

G

b- Choque elástico:

Se denomina de esta manera cuando los cuerpos en cuestión no permanecen unidos después del choque y ninguno presenta deformación permanente, por ejemplo dos bolas de billar que chocan. En este caso se conserva la energía cinética del sistema, es decir, que después del choque es la misma que tenía antes de chocar. Como no hay deformación permanente, no hay consumo de energía.

Al igual que en el choque plástico, si se considera como sistema a los dos cuerpos que chocan y además sucede en un lapso de tiempo muy pequeño, puede afirmarse que no hay impulso de las fuerzas exteriores. Por lo tanto, aplicando el principio de conservación, la cantidad de movimiento del sistema antes del choque será igual a la cantidad de movimiento después del choque:

f 0 C C

p

p

E

E

_{0 f}

G

G

=

=

Ejemplo 5:

Supongamos dos cuerpos de masa m1 y m2 que se mueven antes de chocar con

velocidades v01 y v02 y después del choque se mueven con velocidades vf1 y vf2 como indica la figura.

El problema consiste en averiguar las velocidades que tienen los cuerpos después de chocar. Estas incógnitas se pueden calcular

empleando las ecuaciones que resultan de la conservación de la cantidad de movimiento y de la energía cinética: f 0

p

p

G

=

G

C C

E

E

f 0

=

Trabajamos con la primera planteando la energía cinética del sistema antes y después del choque.

2 f 2 2 f 1 2 0 2 2 0 1

v

1

+

m

v

2

=

m

v

1

+

m

v

2

m

2 1 2 1 2 1 2 1

G

G

G

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 0 2 2 f 2 2 f 1 2 0 1

v

1

-

m

v

1

=

m

v

2

-

m

v

2

m

G

Simplificamos y agrupamos los términos que contienen la misma masa para sacarla como factor común:

G

G

G

G

⋅

⋅

⋅

⋅

)

v

-v

(

m

=

)

v

-v

(

m

2 0 2 f 2 2 f 2 0 1 1 1 2 2

G

G

G

G

⋅

⋅

(1)

Ahora planteamos la ecuación para la cantidad de movimiento:

2 1 2 1 2 0 1 f 2 f 0 1

v

+

m

v

=

m

v

+

m

v

m

⋅

G

⋅

G

⋅

G

G

)

v

-v

(

m

=

)

v

-v

(

m

2 2 1 1 f 2 f 0 0 1

⋅

Nuevamente agrupamos y sacamos factor común:

G

G

G

G

⋅

⋅

(2)

Dividiendo miembro a miembro la ecuación (1) con la (2):

)

v

-v

(

m

)

v

-v

(

m

_{1 01 f1 2 f2 02}

)

v

-v

(

m

=

)

v

-v

(

m

_{1 1 2} 2₂ 0 2 f 2 2 f 2 0 1

G

G

G

G

G

G

G

G

⋅

⋅

⋅

⋅

)

v

-v

(

)

v

+

v

(

)

v

-v

(

)

v

+

v

(

)

v

G

⋅

G

G

G

G

⋅

G

=

)

v

-v

(

-v

(

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 f 0 f 0 f f 0 f 0 f 0

G

G

G

G

G

G

2 2 1 1 f f 0 0

+

v

=

v

+

v

v

G

G

G

G

Esta ecuación junto con la de la conservación de la cantidad de movimiento, conforman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que permite resolver el problema de choque elástico.

2 1 2 1 2 2 1 1 f 2 f 1 0 2 0 1 0 f f 0

v

m

+

v

m

=

v

m

+

v

m

v

+

v

=

v

+

v

G

G

G

G

G

G

G

G

⋅

⋅

⋅

⋅

c- Choque inelástico:

Puede ocurrir que un choque no sea elástico ni tampoco plástico: Los cuerpos, aunque deformados, no permanecen unidos después del choque. El grado de elasticidad de un choque viene dado por un número que recibe el nombre de coeficiente de restitución que indicaremos con la letra “η”.

Utilizando la misma nomenclatura que en el choque elástico, se define el coeficiente de restitución de la siguiente manera:

1 2 1 2 0 0 f f

v

-v

-=

G

v

-

v

G

G

G

η

• Si η = 0, se deduce que vf1 = vf2. Los dos cuerpos después del choque poseen la misma

velocidad: El choque es plástico. • Si η = 1, se deduce que

v

2 2 1 1 f f 0 0

G

v

+

v

=

v

+

G

G

G

. Se conserva la energía cinética: El choque es elástico.

Problemas

Trabajo y energía

99.-Calcular el trabajo realizado por una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se mueve 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y el desplazamiento es: a-0º ; b-60º ; c-90º ; d-145º ; e- 180º.

Resp: 84J ; 42J ; 0J ; -68,8J ; -84J

100.-Un cuerpo de masa 5 kg. se eleva con velocidad constante a una altura de 10 m, mediante una fuerza vertical F. Calcular el trabajo realizado:

a- Por la fuerza F b- Por la fuerza peso. Resp: 500J ; -500J

101.-Una caja de 10 kg. descansa sobre una mesa horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre la caja y la mesa es 0,4. Una fuerza F mueve a la caja con velocidad constante a lo largo de 5 m. Calcular el trabajo realizado: a- Por la fuerza; b- Por la fuerza de rozamiento.

Resp: 200J ; -200J

102.-Un bloque de hielo de 445 N resbala por un plano inclinado de 1,5 m de largo y 0,9 m de alto. Un hombre sostiene el hielo paralelamente al plano de modo que lo hace deslizar hacia arriba con velocidad constante. El coeficiente de rozamiento entre el plano y el bloque es 0,1. Calcular:

a- La fuerza ejercida por el hombre sobre el bloque.

b- El trabajo realizado por dicha fuerza cuando el bloque recorre todo el plano. c- El trabajo realizado por la fuerza peso en el mismo trayecto.

d- El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. f- El trabajo neto realizado.

Resp: 302,6N ; 453,9J ; -401,7 J ; -52,2J ; 0J .

103.-Un bloque de 10 kg. sube a lo largo de un plano inclinado de 5 m de largo y 3 m de alto.

a- Calcular el trabajo realizado por una fuerza paralela al plano inclinado que hace subir al bloque con velocidad constante.

b- Si el bloque se levantara verticalmente hasta la misma altura, calcular el trabajo de la fuerza que lo haría subir con velocidad constante.

c- Comparar los resultados anteriores y sacar una conclusión. Resp: 300J ; 300J

104.-Un automóvil de 1200 kg. sube por una colina sin rozamiento, de 5º de inclinación, con velocidad constante de 36 km/h. Calcular:

a- El trabajo realizado por la fuerza que ejerce el motor en 5 minutos. b- La potencia desarrollada por el motor.

Resp: 3,1 . 106_{J ; 1,05 . 10}4_W

105.-Un automóvil de 1500 kg., que se mueve sobre un plano horizontal, se acelera uniformemente a partir del reposo, alcanzando una velocidad de 8 m/s en un tiempo de 6 seg. ¿Cuál es la potencia media desarrollada por el motor?

Resp: 8 kw

106.-Una fuerza horizontal de 4N empuja un bloque que pesa 80N sobre una superficie horizontal sin rozamiento, una distancia de 6 m. El bloque parte del reposo.

a- Calcule el trabajo de la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque. b- ¿En qué se convierte este trabajo?

c- Verifique la respuesta al punto (b) calculando la aceleración del bloque, su velocidad final y la variación de la energía cinética.

Resp: 24J ; 0,5 m/s2 _{; 2,5 m/s ; 24J}

107.-Una caja de 2 kg. está inicialmente en reposo sobre una mesa horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre la mesa y la caja es 0,4. La caja es acelerada a lo largo de la mesa por acción de una fuerza horizontal de 10 N y recorre una distancia de 3 m. Calcular:

a- El trabajo realizado por la fuerza aplicada. b- El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. c- El trabajo realizado por la fuerza peso.

d- El trabajo realizado por la normal.

e- La variación de la energía cinética de la caja. f- La velocidad de la caja después de recorrer 3 m. Resp: 30J ; -24J ; 0J ; 0J ; 6J ; 2,45 m/s

108.-Un péndulo constituido por una masa de 2 kg. colgada de una cuerda de 1m, se desplaza 30º de la vertical y se suelta. Hallar:

a- La velocidad de la masa cuando la cuerda forma un ángulo de 10º con la vertical, tanto de un lado como del otro de la posición de equilibrio.

b- La velocidad al pasar por la posición de equilibrio.

Nota: despreciar la resistencia del aire y resolver el problema usando el teorema del trabajo y la energía cinética.

Resp: 1,54 m/s ; 1,67 m/s

109.-Un automóvil cuya masa es 908 kg. avanza con una velocidad de 9,1 m/s; súbitamente se le aplican los frenos y se detiene en 6,1 m (suponer desaceleración constante). Si ahora se supone que la velocidad es 18,3 m/s, calcular la distancia a la cual se detendrá y la fuerza desaceleradora que actúa sobre el vehículo. Nota: resuelva este problema primero aplicando los principios de la dinámica y luego utilizando el concepto de energía, compare ambos procedimientos.

Resp: 24,68 m ; 6154,4 N

110.-¿Qué potencia debe tener un motor para hacer subir un móvil de masa m= 500kg con velocidad constante, de manera tal que recorra 10m en 1 minuto a lo largo de un plano inclinado que forma un ángulo de 37º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinemático es 0,25.

Resp: 666,7 w

111.-Despreciando las fuerzas de rozamiento calcular desde qué altura debe caer un trineo para alcanzar una energía cinética equivalente a la que posee cuando su velocidad es 72km/h. Considere g= 10m/s2

Resp: 20 m

112.- Un automóvil de 1450 kg. de masa tiene una velocidad de 98,6 km/h. Calcular su energía cinética y la altura desde la cual tendría que precipitarse por un abismo, a partir del reposo, para adquirir esa energía cinética. Despreciar la resistencia del aire.

Resp: 5,44 . 105 _{J ; 38,30 m.}

113.- Un móvil de masa m=20kg se desliza por un camino horizontal con una velocidad de 10m/s. Al llegar al punto A entra en un camino de cuestas y pendientes de forma y alturas indicadas en la figura donde h1 = 10m, h2= 3m h3= 7m h4= 5m . Suponga despreciable la fuerza de rozamiento en todo el camino y considere g= 10m/s2_.

Calcular:

a- La energía potencial, la energía cinética y la velocidad del cuerpo en los puntos A, B, C, D y E b- ¿Con qué velocidad deberá pasar por el punto B para llegar al punto C con velocidad nula?

c- ¿Qué velocidad tendría en el punto C si en el tramo AC hubiera actuado una fuerza de rozamiento constante de 10N?

El tramo AC tiene una longitud de 10m.

Resp: 2000J, 1000J, 10m/s ; 600J, 2400J, 15,48m/s ; 1400J, 1600J, 12,65m/s ; 0J, 3000J, 17,32m/s ; 1000J, 2000J, 14,14 m/s ; 8,94 m/s ; 12,25 m/s

114.-Un automóvil de masa 1 tonelada tiene, al pasar por el punto A, una velocidad de 108 km/h y continúa según la figura por la pista ABC.

a- Calcular con qué velocidad pasará por el punto B, suponiendo despreciable el rozamiento.

b- Si entre A y B actuara la fuerza impulsora supuesta constante suministrada por el motor de tal manera que la velocidad en B fuera de 40m/s, calcular el trabajo de dicha fuerza en el tramo AB c--Si al pasar por B deja de actuar la fuerza impulsora, calcular la energía cinética en el punto C. d- Calcular la altura máxima alcanzada por el móvil respecto del plano horizontal que pasa por A

Resp: 27,93 m/s ; 410000J ; 740000J ; 86 m

115.-La longitud libre de un resorte es 12,5 cm y está comprimido de modo que su longitud es 4/5 de su longitud libre. Un cuerpo de masa m= 1kg está apoyado contra uno de los extremos del resorte, estando fijo el otro extremo del mismo. Se libera el resorte y la masa recorre el camino ABCD mostrado en el esquema. Si la constante del resorte es 200 N/cm y se desprecian los rozamientos, calcular: a- La energía cinética en A

b- La energía cinética en B

c- La altura que la masa alcanza sobre la rampa CD

d- Si se deja retornar el cuerpo por el mismo camino; ¿hasta dónde se comprimirá el resorte?

e- Calcular la altura desde la cual habría que soltar la masa sin velocidad inicial sobre la rampa CD para que el resorte se comprima a la mitad de su longitud libre.

Resp: 6,25J ; 8,25J ; 82,5 cm ; el mismo acortamiento ; 0,24 m ; 0,59 m

116.- El péndulo de la figura tiene longitud l = 1m. Cuando se lo deja oscilar libremente la masa describe arcos de circunferencia. Calcular el módulo de la velocidad con que la masa cruza la vertical que pasa por 0, si se lo separó un ángulo α =90º respecto de la vertical y no se tienen en cuenta los rozamientos.

Resp: 4,47 m/s

117.- Un bloque de 2kg choca contra el extremo libre de un resorte de constante elástica k= 2N/m El bloque deforma el resorte produciéndole un acortamiento máximo de 2 m. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el piso es 0,3. Calcular el módulo de la velocidad del bloque en el instante del choque. Considerar g= 10 m/s2_.

Resp: 4 m/s

118.- Un resorte de constante elástica k =400 N/m tiene un extremo fijo al final de un plano inclinado que forma un ángulo de 45º con la horizontal, como indica la figura. Un bloque de masa m=0,5 kg. que parte del reposo, resbala 3m sobre el plano muy liso, hasta chocar contra el extremo libre del resorte. Calcular la máxima deformación.

Impulso y cantidad de movimiento

119.- a)¿Cuál es el módulo de la cantidad de movimiento de un barco de 100.000 kg. cuya velocidad es 36 km/h?

b)¿ A qué velocidad tendrá la misma cantidad de movimiento otro barco cuya masa sea cuatro veces mayor?

Resp: 106 kg.m/s 9 km/h

120.- A un carrito que puede deslizarse libremente sobre una pista horizontal se fija un rifle. La masa del rifle y el carrito es m₁ = 10 kg. Se dispara horizontalmente el rifle hacia la derecha. La trayectoria de la bala es paralela a la pista. La bala de masa m2 = 0,005 kg., recorre una distancia de 50 m en 0,2s a partir del punto de partida. Calcular qué distancia habrá recorrido el carrito (con el rifle unido a él) durante los 0,2 s, y en qué sentido.

Resp: 0,025 m

121.- Un proyectil de 100g que se mueve con una velocidad de 500m/s se dirige horizontalmente y choca contra un bloque de 100 kg. que se movía en la misma dirección y sentido contrario con una velocidad de 5 m/s. Si se desprecia el rozamiento y teniendo en cuenta que el proyectil queda alojado en el bloque, determinar la velocidad final del sistema bloque-proyectil.

Resp: 4,49 m/s

122.-Una partícula de masa m_a = 100 g recorre el semieje positivo de las "x" con una velocidad de 20 cm/s. Choca con otra partícula de masa m_b = 20 g que se mueve con velocidad de 50 cm/s en dirección que forma un ángulo de 53º con el semieje positivo de la "x". Después del choque ambas partículas se desplazan juntas. Calcular el módulo, dirección y sentido de la velocidad de las dos partículas unidas, después del choque.

Resp: 22,67 cm/s , 17º

123.-Una piedra A de masa m_a = 1 kg. desliza sobre una superficie lisa de hielo a una velocidad constante de 16 m/s hacia el este. Choca con otra piedra B de masa m_b = 4 kg., inicialmente en reposo. Después del choque, A se mueve perpendicularmente a su dirección inicial hacia el norte con una velocidad de 12 m/s. Calcular el módulo y la dirección de la velocidad de la piedra B después del choque.

Resp: 5 m/s , -37º

124.- Un bloque de madera de masa m2 se halla en reposo sobre una superficie horizontal según muestra la figura. El coeficiente de rozamiento cinemático es m. El extremo libre de un resorte se fija al bloque y el otro extremo a una pared. El resorte se encuentra inicialmente sin deformación. Una bala de masa m1 que se desplaza horizontalmente alcanza el bloque y se incrusta en él. Hallar la velocidad inicial v0 de la bala en función del máximo acortamiento del resorte, m1 m2, k y m .

125.-Cuando un proyectil de masa 10 g choca contra un péndulo balístico de masa 2 kg., se observa que el centro de gravedad del péndulo se eleva una altura vertical de 10 cm. La bala queda incrustada en el péndulo. Calcular la velocidad del proyectil.

Resp: 284 m/s

126.- Un proyectil de masa 2 g, que se mueve horizontalmente a la velocidad de 500 m/s, es disparado contra un bloque de madera de masa 1 kg., inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. El proyectil atraviesa el bloque y sale de él con su velocidad reducida a 100 m/s. El bloque desliza una distancia de 20 cm sobre la superficie a partir de su posición inicial. a)¿Cuál es el coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y la superficie? b)¿Cuál ha sido la disminución de

energía cinética del proyectil? c)¿Cuál era la energía cinética del bloque un instante después de ser atravesado por el proyectil?

Resp: 0,16 , 240 J , 0,32 J Problemas especiales:

E1. Suponga que está de visita en el polo norte en el iglú de unos simpáticos esquimales. Uno de los

niños apoya un trocito de hielo en la superficie del iglú (que puede considerarse como una semiesfera perfecta sin roce) y luego lo suelta para verlo resbalar. Se observa que cuanto mayor es la altura inicial respecto del suelo, mayor es la altura en la que el trocito pierde contacto con la superficie,

describiendo luego una parábola por el aire. ¿Serán esas alturas proporcionales? ¿Será la altura final (donde despega) un factor único por la altura

inicial? ¿Cuál será ese factor?

E2. Un péndulo formado por un pequeño objeto de peso P y una cuerda inextensible de masa

despreciable oscila en un plano vertical. Se ha medido que la tensión máxima de la cuerda es siete veces mayor que la mínima. Halle esos valores extremos de la tensión como función del peso. No se ha medido la longitud de la cuerda.

E3. Se dispara una granada con velocidad inicial v0 y ángulo inicial α respecto de un terreno horizontal. En el punto más alto de su trayectoria explota y se divide en dos fragmentos de igual masa. Uno de los fragmentos posee la componente horizontal del vector velocidad igual a la que tenía la granada justo antes de la explosión y la componente vertical (hacia arriba) igual a un valor v1.

a) Determine la ubicación de los puntos de impacto de los fragmentos con el suelo, respecto del punto de lanzamiento de la granada.

b) Determine la ubicación de los puntos de impacto de los fragmentos con el suelo, respecto del punto donde hubiera impactado la granada sin explotar.

Datos: g = 10 m/s2_{, α = 37°, v0 = 40 m/s, v1 = 100 m/s.}

Considere que la granada se dispara desde el nivel del terreno.

E4. Un pequeño objeto cae, sin velocidad inicial, desde la terraza de un edificio de altura H. Cuando

se encuentra a una altura αH (0 < α < 1) choca contra una saliente del edificio y se observa que inmediatamente después se mueve en dirección horizontal (perpendicular a la pared) con la misma

rapidez que tenía justo antes del choque. a) Determine a qué distancia del edificio impacta contra el suelo, como función de α y H.

b) Halle el tiempo que demora desde la terraza hasta el suelo, como función de α, H y g.

E5. Un péndulo ideal oscila a ambos lados de la vertical de modo que la altura máxima del objeto

respecto del punto más bajo de su trayectoria es h0.

Determine qué altura posee el objeto cuando su peso coincide con el valor de la tensión de la cuerda.

Unico dato: h0.

E6. Un péndulo ideal oscila a ambos lados de la vertical de modo que el ángulo máximo que llega a

formar la cuerda con la vertical es α0.

Determine para qué ángulo α el vector aceleración del objeto es horizontal. Unico dato: α0.

E7. Una partícula choca elásticamente contra otra en reposo de igual masa.

Demuestre rigurosamente que si ambas partículas se mueven después del choque, sus trayectorias forman un ángulo recto con vértice en el punto del impacto.

E8. Un resorte de constante elástica k está en posición vertical con uno de sus extremos fijo al piso y el

otro libre. Puede ser útil imaginar que en este último extremo se suelda una placa horizontal de masa despreciable.

1) Se lo apoya con cuidado en el extremo libre y se permite que baje lentamente guiándolo con la mano hasta que el resorte se comprima una longitud d1 y se observe que el objeto permanece en reposo.

2) Se lo apoya en el extremo libre e, inmediatamente, se lo suelta. En este caso se observa que el resorte alcanza una compresión MAXIMA d2.

3) Se lo ubica sobre la línea vertical que contiene los dos extremos del resorte a una altura H del extremo libre y se lo suelta. Se observa que, después de chocar con el extremo libre, comprime al resorte hasta una longitud MAXIMA d3.

a) Determine d1, d2 y d3. Calcule d2/d1 y d3/d1. Realice un comentario sobre estos resultados. b) Halle el valor de la altura H para que d3/d1 sea igual a N (algún valor prefijado como dato).

Datos: la aceleración de la gravedad g, la constante elástica k, la masa del objeto m y, para el tercer experimento, la altura H.

Para la pregunta (b) N es dato y H es la incógnita.

E9. Un pequeño objeto se mueve en una trayectoria circular, contenida en un plano vertical, unido al

extremo de una cuerda cuyo otro extremo está fijo. Se observa que la cuerda está siempre tensa y se ha medido su tensión TC, cuando el objeto pasa por el punto C, el más alto de su trayectoria.

a) Halle TA, la tensión de la cuerda cuando el objeto pasa por el punto A, el más bajo de su trayectoria.

b) Halle TB, la tensión de la cuerda cuando el objeto pasa por el punto B, donde la cuerda está en

dirección horizontal.

Datos: g = 10 m/s2_{, m = 0,2 kg, TC = 5 N. La longitud R de la cuerda no es dato.}

E10. El movimiento que se va a describir es unidimensional, es decir, las partículas se mueven a lo

largo de la misma recta. Tres partículas se numeran de izquierda a derecha. La partícula 1 se mueve inicialmente hacia la derecha con velocidad v0 mientras las otras permanecen en reposo.

Realizará un choque elástico con la partícula 2 y, más tarde, la 2 chocará de manera totalmente inelástica (plástica) con la 3. Si se sabe que m1 = 2 kg y m2 = 0,5 kg, halle el valor mínimo que debe tener m3 para que se observe un nuevo choque. No se conoce v0 y la superficie sobre la que se desarrolla el experimento es horizontal y no presenta roce alguno a las partículas.

E11. Para un péndulo ideal que oscila pruebe que el cambio de la tensión de la cuerda, entre dos

posiciones arbitrarias, es proporcional a la variación de la energía potencial correspondiente a esas mismas posiciones.

Halle la constante de proporcionalidad. Tenga en cuenta que será un número negativo debido a que la tensión disminuye con la altura.

E12. Un pequeño objeto desliza hacia arriba sobre una superficie plana con roce, inclinada un

ángulo α respecto de la horizontal.

Cuando pasa por cierto punto su velocidad es v0.

¿Cuál será su velocidad cuando pase nuevamente por ese punto?

Considere como datos la aceleración de la gravedad, el ángulo α, la velocidad v0 y el coeficiente de roce cinético. Suponga que el coeficiente de roce estático es menor que la tangente del ángulo α.