Ne w Je rs e y Ce nte r for Te aching and Le arning Iniciativa de Mate mática Progre s iva NJCTL JCTL NJEA NJCTL

(1)

Ne w Je rs e y Ce nte r for Te aching and Le arning Iniciativa de Mate mática Progre s iva®

Es te ma te ria l e s tá dis ponible gra tuita me nte e n

ww.njctl.org y e s tá pe ns a do pa ra e l us o no come rcia l de e s tudia nte s y profe s ore s . No pue de s e r utiliza do pa ra

cua lquie r propós ito come rcia l s in e l cons e ntimie nto por e s crito de s us propie ta rios .

NJCTL ma ntie ne s u s itio we b por la convicción de

profe s ore s que de s e a n ha ce r dis ponible s u tra ba jo pa ra otros profe s ore s , pa rticipa r e n una comunida d de a pre ndiza je profe s iona l virtua l, y /o pe rmitir a

pa dre s , e s tudia nte s y otra s pe rs ona s e l a cce s o a los ma te ria le s de los curs os .

Nos otros , e n la As ocia ción de Educa ción de Nue va J e rs e y (NJEA) s omos funda dore s orgullos os y a poyo de NJCTL y la orga niza ción inde pe ndie nte s in fine s de lucro.

NJEA a dopta la mis ión de NJCTL de ca pa cita r a profe s ore s pa ra dirigir e l me jora mie nto e s cola r pa ra e l be ne ficio de todos los e s tudia nte s .

(2)

7mo Grado Matemática

Sistema Numérico

www.njctl.org 2013-01-28

(3)

Sistema Numérico- Tabla de contenidos

· Sistema Numérico, Opuestos y Valor Absoluto

· Comparar y Ordenar Números Racionales

· Sumar Números Racionales

· Convertir la Sustracción en Adición

· Sumar y Restar Números Racionales - Revisión

· Multiplicar Números Racionales

· Dividir Números Racionales

· Operaciones con Números Racionales

· Convertir Números Racionales a Decimales

Common Core Standards: 7.NS.1, 7.NS.2, 7.NS.3

Click en el tema para ir a esa sección

(4)

Vínculos a las preguntas de muestra

PARCC

Final del año

Performance en base a las evaluaciones Calculadora N° 5 Sin calculadora N° 4 Sin calculadora N° 6 Sin calculadora N° 10 Sin calculadora N° 12 Sin calculadora N° 14

(5)

Algunas veces, cuando restas fracciones, encuentras que no puedes hacerlo porque el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar para formar un número entero.

¿Cuántos tercios es en un entero?

¿Cuántos quintos hay en un entero?

¿Cuántos novenos hay en un entero?

Las palabras del vocabulario están

indentificadas con un subrayado de guiones.

El subrayado está vinculado al glosario al final de la presentación. Estas palabras pueden ser impresas para

armar una "pared de palabras".

(Haz click sobre el subrayado.)

(6)

Volver al tema

Factor

Un número entero que puede dividir a

otro número sin dejar resto 15 3 5 3 es un factor de 15 3 x 5 = 15 3 y 5 son factores de 15 16 3 5 .1 R 3 no es un factor de 16

4

Un número entero que multiplicado con otro número forma un tercer

número

El cuadro tiene 4 partes

Vocabulario

1 Su significado

2 Ejemplos/

Contraejemplos

Vínculo para volver a la

página del tema.

(Cómo se utiliza en esta lección)

(7)

Sistema Numérico,

Opuestos y Valor

Absoluto

Volver a la tabla de contenidos

(8)

¿Sabes lo que es un número entero?

Sí No

(9)

0.22 Enteros positivos o Naturales 1,2,3... Cero 0 Enteros negativos ...-4, -3, -2, -1 Racionales 1/5 5/2 8.3 -2.756 -3/4 1/3 -1/11 Reales Irracionales

(10)

{...-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

Definición de Entero:

Es el conjunto de números naturales

positivos, sus opuestos y el cero.

(11)

Definición de Racional:

Un número que puede ser escrito como una fracción

simple.

(Conjunto de números enteros y decimales que se repiten

o finalizan)

0, -5, 8, 0.44, -0.23,

Ejemplos de números racionales:

(12)

(13)

entero

racional

irracional

sea posible:

Entero, Racional o Irracional

5

-6 0 -21 -65 1 3.2 -6.32

9

2.34437 x 103

½

¾

3¾ π 5

(14)

-1

0 -2

-3

-4

-5

_{1 2 3 4 5}

Números Racionales en una Recta Numérica

Números

Negativos

Números

Positivos

Los números a la izquierda de cero son más chicos que cero

Los números a la

derecha del cero

son más grandes

que el cero

El cero no es ni

negativo nipositivo

`

Cero

(15)

-5

₀

-3.2

12

1

2

4 5 -106 192 5.9 -1.1 2.9 1 6

¿Cuáles de los siguientes son ejemplos de enteros?

(16)

¿Cuales son ejemplos de números racionales?

A B

_-3

C

₁₀

D

_0.25

E

_75%

(17)

(18)

Puedes escuchar "Y el mariscal de campos es tacleado por

una

pérdida de 5 yardas

."

Esto puede ser representado por un número entero:

-5

O, "El total de nieve caída este año ha sido

6 pulgadas más

que lo normal."

Esto puede ser representado por un número entero:

+6 o 6

representar situaciones

cotidianas

(19)

¿Puedes pensar alguna más? ganado incremento arriba más depósito menos perder debajo abajo disminución retirar

(20)

La abuela de Nico le depositó 20

dólares en su cuenta bancaria.

¿Como representaríamos a ese

entero?

Un tiburón nada a 30 pies por debajo

del nivel del mar. ¿Cómo

representaríamos a ese entero?

20 -30

click

(21)

1. Gastos $6.75

2. Ganancia de 11 libras

3. Depósito de $700

4. 10 grados bajo cero

5. pies sobre el nivel del

mar

cada situación:

R esp ue st a

(22)

¿Cuál de los siguientes números representa mejor la

siguiente situación?

El efecto en tu billetera cuando gastas $10.25.

A

_-10.25

B

_10.25

C

₀

(23)

siguiente situación?

Ganas $50 sacando nieve con la pala.

A

_-50

B

₅₀

C

₀

(24)

¿Cuál de los siguientes números representa

mejor la siguiente situación?

Te sumerges para explorar un barco

hundido.

A B C

₀

D

(25)

Las fracciones y el signo negativo

Cuando tenemos una fracción negativa, el signo negativo puede estar en diferentes lugares.

Todos los siguientes tienen negativa una mitad.

(26)

Las fracciones y el signo negativo

Estas dos fracciones son positivas.

(27)

(28)

(29)

(30)

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Los números -4 y 4 son mostrados en la recta

numérica.

Los dos números están 4 unidades del 0,

pero 4 está a la derecha del 0 y -4 está ala izquierda.

Los números -4 y 4 son opuestos.

Los

opuestos

son los números que están a la misma

distancia del cero.

(31)

(32)

(33)

(34)

Veamos...

Un número y su opuesto tiene como resultado cero. Los números y sus opuestos son llamados sumatoria inversa

Mueve para ver la respuesta

(35)

Jeopardy

Los números enteros son usados en programas de

juegos.

En el juego Jeopardy tú:

· ganas puntos por una respuesta correcta

· pierdes puntos por una respuesta incorrecta

(36)

correcta:

Puntaje = $100

Luego responde de manera incorrecta una pregunta de

$50:

Puntaje = $50

Luego responde de manera incorrecta una pregunta de

$200:

Puntaje = -$150

¿Cómo se convierte el puntaje en negativo?

(37)

Cuando un participante obtiene 100 $ pregunta correcta

Luego $50 pregunta incorrecta

Preguntas Respondidas Representación Números Enteros Nuevo Puntaje 100 Correcta 50 Incorrecta

200 Incorrecta

-50

100

50 -150

-200

(38)

Pregunta

Respondida Representación _{Número Entero} Nuevo Puntaje

150 Incorrecta

50 Incorrecta 200 Correcta

-50

-150

-200

0

200

Cuando un participante obtiene 150 $ pregunta correcta

(39)

Preguntas Respondidas Representación Números Enteros Nuevo Puntaje

Cuando un participante obtiene $ 50 pregunta incorrecta

Luego $ 150 pregunta correcta

(40)

puntaje obtenido por el participante?

$100 incorrecta

$200 correcta

$50 incorrecta

(41)

Después de las 3 respuestas siguientes ¿cuál sería el

puntaje obtenido por el participante?

$200 correcta

$50 correcta

$300 incorrecta

(42)

Después de las 3 respuestas siguientes ¿cuál sería

el puntaje obtenido por el participante?

$150 incorrecta

$50 correcta

$100 correcta

(43)

Después de las 3 respuestas siguientes ¿cuál sería el

puntaje obtenido por el participante?

$50 incorrecta

$100 incorrecta

(44)

Después de las 3 respuestas siguientes ¿cuál sería el

puntaje obtenido por el participante?

$200 correcta

$50 correcta

$100 incorrecta

(45)

· Los números enteros son los positivos, el cero y

sus opuestos.

· Un

número racional

es un número que puede ser

escrito como una fracción simple.

· Un

número irracional

es un número que no puede

ser escrito como una fracción simple.

· Una recta numérica tiene números negativos a la

izquierda y positivos a la derecha.

· El cero no es ni negativo ni positivo

· Los números pueden representar situaciones

cotidianas

(46)

Valor Absoluto de los Números

El valor absoluto es la distancia de un número del

cero, sin importar su dirección.

La distancia y el valor absoluto son siempre no

negativos (positivo o cero)

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

¿Cuál es la distancia desde 0 a 5?

1 0 2 _{3 4} _{5 6} _{7 8} 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

(47)

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

El valor absoluto se simboliza con dos

barras verticales

4 ¿Cuál es el 4 ?

(48)

Recuerda

1 2 3 4 5 0 -1 -2 -3 -4 -5

La suma de un número y su opuesto es igual a cero. De manera que ....

En la recta numérica, un número y su opuesto están a igual distancia de cero. (Los números opuestos están en

los lados opuestos de cero)

1 2 3 4 1 2 3 4

-4 es 4 "saltos" desde 0 4 es 4 "saltos" desde cero Tanto -4 como 4 están a la misma distancia de cero

(49)

-4

₌

4 -9

₌

9

=

9.6 |9.6|

Usa la recta numérica para encontrar el valor

absoluto.

1

0

2 _{3 4 5 6 7 8 9}

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Mue ve pa ra Ve rifica r Mue ve pa ra ve rifica r Mue ve pa ra Ve rifica r

(50)

(51)

-8

(52)

(53)

¿Cuál es el ?

R esp ue st a

(54)

(55)

¿Cuál es el valor absoluto del número que aparece

en el generador?

(56)

¿Cuál de estos números tienen al 15 como su

valor absoluto?

A

-30

B

-15

C

0

D

15

E

30

(57)

¿Cuál de estos números tienen al 100 como su valor

absoluto?

A

-100

B

-50

C

0

D

50

E

100

(58)

Comparar y Ordenar

Números Racionales

(59)

Para comparar números racionales, traza los

puntos sobre la recta numérica.

Los números que se encuentra a mayor

distancia a la derecha son mayores .

Los números que se encuentra a mayor

distancia a la izquierda son los más pequeños .

1

0

2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

(60)

Coloca los números en el lugar correcto de la

recta numérica.

4 -4 5 -3 -2 3 0 2 -5 -1 1

(61)

4

-4 -3 -2 0 2 ₃ 5

-5 -1 ₁

¿Cuál es el número entero más grande?

¿Cuál es el número entero más pequeño?

(62)

4

-4 -3 -2 0 2 3 5

-5 -1 1

numérica?

Pasa a la pizarra y escribe los siguientes números en

la recta numérica:

(63)

Ubica estos números en la recta numérica.

-3

(64)

Comparar Números Positivos

Los números pueden ser igual a; menos que; o más que otro número.

Los símbolos que usamos:

Igual a "=" menos que "<" más grande que ">" Por ejemplo:

4 = 4 4 < 6 4 > 2

Cuando usamos < o >, recuerda que la parte más pequeña señala al número más pequeño

(65)

10.5 es ______ 15.2.

A

₌

B

_<

C

_>

(66)

7.5 es ______ 7.5

A

₌

B

_<

C

_>

(67)

3.2 es ______ 5.7

A

₌

B

_<

C

_>

(68)

Comparar Números Negativos

Mientras más grande es el valor absoluto de un número negativo, más pequeño es el número. Esto es debido a que está más lejos del cero, pero en una dirección negativa.

Por ejemplo: -4 = -4 -4 > -6 -4 < -2

1

0

2 _{3 4 5 6 7 8 9}

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Recuerda que el número que se encuentra más lejos a la derecha de una recta numérica es el más grande.

(69)

Comparar Números Negativos

Una forma de pensar en ellos es en término de dinero

Prefieres tener $20 que $10.

Pero prefieres deberle a alguien $10 y no $20.

Deber dinero puede ser pensado como tener una cantidad negativa de dinero, ya que necesitas tener ese dinero de vuelta para estar en cero. Por lo tanto deber $10 puede ser representado como -$10.

(70)

-4.75 ______ -4.75

A

₌

B

_<

C

_>

(71)

-4 ______ -5

A

=

B

<

C >

1

0

2 _{3 4 5 6 7 8 9}

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

(72)

A

=

B

<

C >

(73)

-14.75 es ______ -6.2

A

₌

B

_<

C

_>

(74)

-14.2 es ______ -14.3

A

₌

B

_<

C

_>

(75)

Comparar todos los números

Cualquier número positivo es mayor que cero o cualquier número negativo.

Cualquier número negativo es menor que cero o cualquier número positivo.

1

0

2 _{3 4 5 6 7 8 9}

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

(76)

pares de números:

1) -3.2 5.8

3) 63 36

5) -6.7 -3.9

7) -24 -17

9) -8.75

-8.25

2) -237 -259

4) -10.2 -15.4

6) 127 172

8)

10) -10

-7

(77)

(78)

(79)

A

=

B

<

C >

(80)

A

=

B

<

C >

(81)

A

=

B

<

C >

(82)

(83)

Un termómetro puede ser

visto como una recta

numérica vertical. Los

números positivos están

sobre el cero y los

(84)

0

A

nsw

er

Si la temperatura leída en un termómetro es 9

, ¿cuál

será la nueva lectura si la temperatura:

desciende 3 grados?

aumenta 2 grados?

desciende 9 grados?

(85)

Si la temperatura que se lee en el termómetro es

10 ℃

, ¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura

si la temperatura desciende 5 grados?

(86)

Si la temperatura que se lee en el termómetro es

10 ℃

, ¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura

si desciende 12 grados?

(87)

Si la temperatura que se lee en el termómetro es -3

℃

,

¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura si

(88)

Si la temperatura que se lee en el termómetro es -3

℃

,

¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura si

(89)

Si la temperatura que se lee en el termómetro es -3

℃

,

¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura si

(90)

Sumar Números

Racionales

(91)

Símbolos

Usaremos "+" para indicar adición y "-" para sustracción. Los paréntesis son usados para mostrar las cosas más claramente. Por ejemplo, si queremos sumar -3 a 4

escribiremos:

4 + (-3), lo cual es más claro que 4 + -3.

O si queremos restar -4 de -5 escribiremos: -5 - (-4), lo cual es más claro que -5 - -4.

(92)

Mientras que el título de esta sección es "Adición"

vamos a aprender aquí como sumar y restar usando la recta numérica.

La adición y la sustracción son operaciones inversas (tienen el efecto opuesto). Si sumas un número y luego le restas el mismo número no has cambiado nada.

La adición deshace a la sustracción y viceversa.

(93)

1. Comienza en el cero

2. Anda el número de pasos indicado para el primer número. 3. Anda el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

Reglas para la dirección

· Ir a la derecha para números positivos. · Ir a la derecha para números negativos.

· Ir en la dirección opuesta cuando resta, en vez de

sumar, al segundo número.

· Restar un número negativo significa que te desplazas a

la derecha: ya que es el opuesto de moverse a la izquierda.

(94)

Marquemos 3 + 4 sobre la recta numérica.

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

2. Anda el número de pasos indicado para el primer número. 3. Toma el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

(95)

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

· Ve a la derecha por números positivos

2. Anda el número de pasos indicado para el primer número. 3. Toma el número de pasos indicado para el segundo

número.

(96)

Marquemos 3 + 4 sobre la recta numérica.

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

2. Anda el número de pasos indicado para el primer número. 3. Toma el número de pasos indicado para el segundo

número.

(97)

Marquemos -4 + (-5) sobre la recta numérica.

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

2. Anda el número de pasos indicado para el primer número. 3. Toma el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

(98)

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

· Ve a la izquierda por números negativos

2. Anda el número de pasos indicado para el primer número. 3.Toma el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

(99)

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

2. Anda el número de pasos indicado para el primer número. 3.Toma el número de pasos indicado para el segundo

número.

(100)

Marquemos 5 + -7 sobre la recta numérica

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

2. Anda el número de pasos indicado para el primer número. 3.Toma el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

(101)

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

número.

(102)

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

2. Camina el número de pasos indicado para el primer número. 3. Toma el número de pasos indicado para el segundo

número.

(103)

Marquemos -4 + 9.5 sobre la recta numérica

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

número.

(104)

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

número.

(105)

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Marquemos -4 + 9.5 sobre la recta numérica

2. Camina el número de pasos indicado para el primer número. 3. Toma el número de pasos indicado para el segundo

número.

(106)

Adición: Usando el Valor Absoluto

Puedes sumar siempre usando la recta

numérica.

Pero si analizamos nuestros resultados,

podemos ver como llegamos al mismo

resultado sin tener que dibujar la recta

numérica.

Logramos las mismas respuestas, pero más

fácil.

(107)

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

3 + 4 = 7

-4 + 9.5 = 5.5

5 + (-7) = -2

-4 + (-5) = -9

-10-9-8-7-6 -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Podemos ver algunos patrones que nos permite crear reglas para llegar a este resultado sin tener que graficar.

(108)

Para sumar enteros con el mismo signo

1. Suma el valor absoluto de los números racionales.

2. El signo permanece igual.

(Igual signo, calcula el resultado)

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

3 + 4 = 7

-4 + (-5) = -9

-10-9-8-7-6 -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 + 4 = 7; los dos signos son positivos; por lo tanto 3 + 4 = 7

4 + 5 = 9; los dos signos son negativos; por lo tanto -4 + (-5) = -9

(109)

Interpretando la estrategia del Valor Absoluto

La razón por la que la estrategia del valor absoluto

funciona, si los signos de los números enteros son

iguales es:

El valor positivo es la distancia que caminas en una

dirección, positiva o negativa.

Si los dos números tienes el mismo signo, las

distancias se sumarán, ya que los dos te están

pidiendo que viajes por la misma dirección.

Si caminas un kilómetros al oeste y luego dos

kilómetros más, estarás a tres kilómetros al oeste de

donde comenzaste.

(110)

Para sumar dos números enteros con diferentes signos 1. Encuentra la diferencia del valor absoluto de los números enteros

2. Mantiene el signo del número entero que tenga el mayor valor absoluto.

(Diferente signos, encuentra la diferencia)

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

-4 + 9.5 = 5.5

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

5 + (-7) = -2

9.5 - 4 = 5.5; 9.5 > 4, y 9.5 es positivo; por lo tanto -4 + 9.5 =

5.5

(111)

Si los signos de los números enteros son diferentes:

Para el 2do tramo de tu viaje viajarás en la dirección opuesta que en el 1er tramo, deshaciendo alguna parte del viaje original. La distancia total en la que te encuentras del punto del partida será la diferencia entre las dos distancias.

El signo de la respuesta debe ser el mismo que el del número mayor, ya que es la dirección por donde has viajado más.

Si caminas un kilómetro al oeste y luego dos kilómetros al este, estarás una kilómetro al este del punto de partida.

(112)

Sumar Números Racionales:

Para sumar números enteros con el mismo signo: 1. Suma el valor absoluto.

2. El signo permanece igual.

(Mismo signo, calcula la suma)

Para sumar números enteros con diferente signo: 1. Encuentra la diferencia del valor absoluto de los números enteros.

2. Mantén el signo del número entero con el valor absoluto mayor. (Diferentes signos, calcula la diferencia)

(113)

(114)

(115)

(116)

(117)

(118)

(119)

(120)

(121)

(122)

R

esp

ue

st

(123)

R

esp

ue

st

(124)

R

esp

ue

st

(125)

Convirtiendo la

Sustracción en

Adición

(126)

Restando Números

Restar un número es lo mismo que sumar su

opuesto.

(Suma en una recta,

(127)

Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto. Podemos ver esto en la recta numérica, recordando nuestra reglas de direcciones. Compara estos dos problemas: 8 - 5 y 8 + (-5).

Para "8 - 5" nos movemos 8 pasos a la derecha y luego 5 a la izquierda, ya que el signo negativo nos dice que nos movamos en la dirección opuesta que sería para +5.

Para "8 - 5" nos movemos 8 pasos a la derecha y luego 5 a la izquierda, ya que estamos sumando -5.

De cualquier manera terminamos con un resultado de +3.

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

(128)

Restando Números

Compara estos dos problemas: 8 - (-2) y 8 + 2.

Para "8 - (-2)" nos movemos 8 pasos a la derecha, luego 2 a la derecha, ya que el signo negativo nos dice que nos movamos en la dirección opuesta que sería de -2.

Para "(8 + 2)" nos movemos 8 pasos a la derecha, luego 2 a la derecha, ya que estamos sumando 2.

De cualquier manera terminamos con un resultado de +10. 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

(129)

Cualquier sustracción puede ser transformada en adición:

· Cambiando el signo de sustracción a adición.

· Cambiando el número entero después del signo de

sustracción a su opuesto

EJEMPLOS:

5 - (-3) es lo mismo que 5 + 3

(130)

Convierte el problema de sustracción en

uno de adición.

8 – 4

A

_{-8 + 4}

B

_{8 + (-4)}

C

_{-8 + (-4)}

D

_{8 + 4}

(131)

Convierte el problema de sustracción en uno de

adición.

-3.7 - (-10.1)

A _{-3.7 + 10.1} B _{3.7 + (-10.1)} C _{-3.7 + (-10.1)} D _{3.7 + 10.1}

(132)

Convierte el problema de sustracción en uno

de adición.

A

B

C

D

(133)

Convierte el problema de sustracción en uno

de adición.

A

B

C

D

(134)

Convierte el problema de sustracción en uno

de adición.

1 - 9

A

_{-1 + 9}

B

_{1 + (-9)}

C

_{-1 + (-9)}

D

1 + 9

(135)

A

B

C

D

E

F

(136)

Revisión

Sumar y Restar Números

Racionales

(137)

62

_Calcula.

(138)

63

_Calcula.

(139)

64

_Calcula.

(140)

65

_Calcula.

(141)

Calcula.

R esp ue st a

B

(142)

(143)

(144)

69

_Calcula.

(145)

Calcula.

(146)

71

_Calcula.

(147)

72

_Calcula.

(148)

Calcula.

(149)

Calcula.

R esp ue st a

(150)

que se muestra abajo

Los números n-p, n+p y p-n se graficarán sobre la recta.

Selecciona una expresión de cada grupo para hacer esta

declaración cierta.

El número con el menor valor absoluto es__________

El número con el mayor valor absoluto es__________

A

n - p

B

n + p

C

p - n

D

n - p

E

n + p

_F

_{p - n}

(151)

Multiplicando

Números Racionales

(152)

Símbolos

En el pasado, se usaba "x" para indicar

multiplicación. Por ejemplo, "3 veces 4" se escribía 3 x 4.

Sin embargo, esto será un problema en el futuro ya que la letra "x" se usa en álgebra

como una variable

variable.

Hay dos formas para indicar multiplicación: 3 veces 4 será escrito como 3∙4 o 3(4).

(153)

Paréntesis

El segundo método para mostrar multiplicación, 3(4), es poner al segundo número en paréntesis.

Los paréntesis son usados también para otros

propósitos. Si queremos sumar -3 a 4 lo escribiremos como 4 + (-3), el cual es más claro que 4 + -3.

Además, cualquier operación que esté en un paréntesis se hace primero. La forma de escribir que queremos restar 4 de 6 y luego dividirlo por 2 sería (6 - 4) ÷ 2 = 1.

Sacando el paréntesis quedaría

(154)

La multiplicación es solo una forma rápida de

escribir adiciones repetidas.

Estas formas son equivalentes:

3

·

4 3 +3 + 3 + 3

4 + 4 + 4

(155)

Sabemos como sumar en una recta numérica.

Hagamos lo mismo con la multiplicación solo

agregando adiciones repetidas.

Para hacer eso, comenzaremos en cero y luego

seguir sumando: 3+3+3+3 o 4+4+4.

Deberíamos obtener el mismo resultado de

cualquiera de las dos maneras, 12.

(156)

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

11 13

12 14 16 17

15 Lo haremos como

3+3+3+3

y como

4+4+4

(157)

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

11 13

12 14 16 17

15

(158)

Usemos la misma estrategia para determinar las

reglas para multiplicar números negativos.

Si tenemos 4 x (-3) lo podemos pensar como (-3)

sumado a si mismo 4 veces. Pero no sabemos

que pensar de sumar 4 a si mismo -3 veces, por lo

tanto lleguemos a una respuesta de este modo:

(159)

1

0 2 3

-17-16 -14-15 -13-12-11-10

_-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2 -1

4 x (-3) = (-3)(-3)(-3)(-3)(-3)

(160)

4∙3 4 + 4 + 4 12 4(-3) (-3) + (-3) + (-3) -12

Multiplicar números positivos tiene un valor positivo.

Multiplicar un número negativo y uno positivo tiene un valor negativo.

¿Qué sucede si multiplicamos dos números negativos?, ¿cuál es el signo de (-4)(-3)?

Números Racionales

(161)

No podemos sumarle algo a si mismo un número negativo de veces; no sabríamos lo que significa.

Pero podemos pensar en nuestra regla, en donde un signo (-) nos dice que invirtamos la dirección.

Si pensamos en (-4)(-3) como -(4)(-3) podemos ver que la respuesta será el positivo de (-12):12

Cada signo negativo nos hace invertir la dirección una vez, por lo tanto dos multiplicados negativos nos hace volver a la dirección positiva.

(162)

4∙3 4 + 4 + 4 12 4(-3) (-4) + (-4) + (-4) -12

Multiplicar números positivos nos da un resultado positivo.

Multiplicar un número negativo y uno positivo nos da un resultado negativo

Multiplicar dos números negativos nos da un resultado positivo.

(-4)(-3)

-((-4) + (-4) + (-4)) -(-12)

12

(163)

Cada vez que multiplicas por un número negativo cambias el signo.

Multiplicar por un número negativo hace que la respuesta sea negativa.

Multiplicar dos números negativos vuelve la respuesta positiva.

1(-3) = -3 -3(-4) = 12

(164)

Cuando multiplicamos dos números con el mismo signo (+ ó -), el producto es positivo.

Cuando multiplicamos dos números con diferente signo, el producto es negativo.

Cuando multiplicamos varios números con diferentes signos, cuenta el número de negativos.

Una cantidad par de números negativos = producto positivo Una cantidad impar de números negativos = producto negativo

(165)

Podemos ver también estas reglas si observamos los siguientes patrones: 3(3) = 9 -5(3) = -15 3(2) = 6 -5(2) = -10 3(1) = 3 -5(1) = -5 3(0) = 0 -5(0) = 0 3(-1) = -3 -5(-1) = 5 3(-2) = -6 -5(-2) = 10 3(-3) = -9 -5(-3) = 15 2.5(3) = 7.5 -3.1(3)(-2) = 18.3 2.5(2) = 5 -3.1(2)(-2) = 12.4 2.5(1) = 2.5 -3.1(1)(-2) = 6.2 2.5(0) = 0 -3.1(0)(-2) = 0 2.5(-1) = -2.5 -3.1(-1)(-2) = -6.2 2.5(-2) = -5 -3.1(-2)(-2) = -12.4 2.5(-3) = -7.5 -3.1(-3)(-2) = -18.3

(166)

(167)

(168)

(169)

(170)

(171)

81

_Calcula

R esp ue st a

(172)

(173)

de harina para hacer un rollo de canela. ¿Cuántas onzas

de harina necesita para hacer 7 rollos de canela?

(174)

6.3 libras. Si por cada libra de envío paga 5.20 . ¿Cuánto

tiene que gastar?

(175)

Dividiendo Números

Racionales

(176)

Símbolos de la División

Quizás la mayoría de las veces has usado el símbolo"÷ " para mostrar una división.

También representaremos a la división como fracción.

Recuerda:

9 9÷ 3 = 3

3

son dos maneras de representar la división.

= 3

(177)

Dividir Números Racionales

La división es el opuesto de la multiplicación, como la sustracción de la adición.

Cuando divides un número, por otro número, estás tratando de averiguar cuántos tendrías que sumar del segundo

número para obtener al primer número.

Por ejemplo, 5∙2 = 10, significa que podría dividir 10 en 5 grupos de 2, o 2 grupos de 5.

Estos es lo que hacemos en la recta numérica con la multiplicación, pero para atrás.

(178)

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

11 13

12 14 16 17

15 Hagamos 10

÷

2 sobre la recta numérica

Esto significa cuántas largos de 2 se necesitarían para sumar 10.

La respuesta es 5: el número de flechas rojas de 2 de largo, de punta a punta, nos da un largo total de 10.

(179)

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

11 13

12 14 16 17

15 Hagamos 10

÷

5 sobre la recta numérica

Esto significa cuántos largos de 5 se necesitarían para sumar 10.

La respuesta es 2: el número de flechas

verde de 5 de largo, de punta a punta, da un total de 10.

(180)

1

0 2 3

-17-16 -14-15 -13-12-11-10

_-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2 -1

Esto se puede leer como cuántos pasos de 3 necesitaríamos para llegar a -12.

Cada flecha roja representa un paso de 3,

entonces podemos ver que -12

÷

3 = -4

(la

respuesta es negativa por que los pasos están a la

izquierda)

(181)

-15 ÷ 3 = -5

Sabemos que -5(3) = -15,

por lo tanto tiene sentido que -15 ÷ 3 = -5.

También sabemos que 3(-5) = -15.

Entonces, cuál es el valor de -15 ÷ -5

El valor debe ser 3 positivo, por que 3(-5) = -15

-15

3 = -5

(182)

El cociente de dos números positivos es positivo.

El cociente de un número positivo y uno negativo es negativo. El cociente de dos números negativos es positivo.

Cuando dividimos varios números con diferentes signos, cuenta el número de negativos.

Una cantidad par de números negativos = cociente positivo Una cantidad impar de números negativos = cociente negativo

(183)

(184)

(185)

(186)

(187)

(188)

Encuentra el resultado de:

R esp ue st a

(189)

(190)

(191)

mide 16.4 metros de longitud, ¿cuál es la longitud de

cada autito?

(192)

esta cantidad de jugo en 6 tazas. ¿Cuántos galones

caben en cada taza?

(193)

para responder la pregunta?

A La temperatura de una sustancia disminuye a

razón de 24 grados por minuto durante 3 minutos, ¿cuál fue el cambio total de temperatura de la

sustancia?

B Un equipo de fútbol pierde 24 yardas en un juego, luego gana 3 yardas en el siguiente juego,

¿cuántas yardas en total ganó el equipo en los dos juegos?

C Julia retiro $24 de su cuenta bancaria durante 3 días. Si retiró la misma cantidad cada día, ¿en cuánto cambio la cantidad de dinero en su cuenta bancaria cada día?

D Un frasco tiene 24 galletitas. Cada chico recibe 3 galletitas. ¿Cuántos chicos hay?

(194)

Operaciones con

Números Racionales

(195)

Cuando simplificas expresiones con números

racionales, debes seguir el orden de las

operaciones mientras recuerdas las reglas para

los números positivos y negativos!

(196)

Orden de las Operaciones

P

aréntesis

E

xponentes

M

ultiplicación

D

ivisión

A

dición

S

ustracción

Completar al mismo

tiempo...cualquiera que sea

primeros...de izquierda a derecha

(TODOS los símbolos para agrupar)

(197)

¿Qué harías primero? 5 - (-2) = 5 + 2 = 7

¿Qué harías primero después? (-3)(7) = -21

¿Cuál es el último paso? -7 + (-21) = -28

(198)

¿Qué harías primero? ¿Qué harías primero luego?

¿Qué harías en tercer lugar? ¿Qué harías al final?

Click para revelar Click para revelar Click para revelar Click para revelar

(199)

(200)