Piramide Cono Esfera

(1)

PIRÁMIDE REGULAR

ÁREA LATERAL (AL)

Es igual al semiperímetro de la base por el apotema lateral.

ÁREA TOTAL (AT)

Es igual al área lateral más el área de la base.

VOLUMEN (V)

Es igual a un tercio del área de la base por la altura.

NOTAS:

1. El punto “O” donde concurren las aristas laterales se llama vértice de la pirámide. 2. La altura es perpendicular a la base y cae en

el centro de gravedad de la misma.

3. Las caras laterales son todos triángulos congruentes e isósceles.

DESARROLLO DE UNA PIRÁMIDE

REGULAR.

El desarrollo de la superficie lateral de una pirámide regular resulta una región poligonal.

TRONCO DE PIRÁMIDE 1. Tronco de pirámide regular

SL = (PB1 + PB2)ap ST = SL + B1 + B2



B1 B1B2 B2



3 h V  

ap  apotema del tronco

2. Tronco de pirámide irregular

SL =  (área de caras laterales)

ST = SL + B1 + B2 ₃



B1 B1B2 B2



h

V  

3. Tronco de pirámide de 2da especie.

B1 En planos B2 Paralelos



B1 B1B2 B2



3 h V  

PRACTICA

1. Calcular el área lateral de la pirámide regular.

A D C M B h O E AL = P(BASE) . OM AT = AL + A(BASE) V =

₃

1

A(BASE) . h A B C A O

DESARROLLO

4 4 A C B O

(2)

a) 16 b) 32 c) 12 d) 12 2

e) 16 2

2. Calcular el área total de una pirámide cuadrangular regular si la arista básica es 4 y la altura 2 3.

a) 16 b) 32 c) 12

d) 24 e) 48

3. De acuerdo a la figura. Calcular el volumen del sólido. a) 18 b) 36 c) 12 d) 21 e) 9

4. La base de una pirámide regular es 20m2_{y la}

altura 6m. Calcular el volumen del sólido.

a) 40m3 _{b) 20} _{c) 60}

d) 30 e) N.A.

5. Calcular el área lateral de la pirámide regular. a) 54

b) 6 3

c) 18 3

d) 12 e) 15

6. De acuerdo al problema anterior. Calcular el volumen del sólido.

a) 9 3 b) 6 3 c)

18 3

d) 12 e) 27 3

7. El rectoedro y la pirámide tiene bases y alturas equivalentes. Calcular V1 / V2 .

a) 1/3 b) 3 c) 2 d) 9 e) 6

8. Un rectoedro y una pirámide regular tienen bases equivalentes y sus alturas están en

relación de 1 a 3 respectivamente. Hallar la relación de sus volúmenes.

a) 3 b) 1/3 c) 1

d) 2 e) N.A.

9. Calcular el volumen de un tetraedro regular cuya arista es 3 2.

a) 33 b) 6 c) 9

d) 183 e) 27

10. Calcular el volumen de un tetraedro regular cuya altura es 2 3.

a) 27 b) 18 c) 9

d) 6 e) 3

11. Calcular el área lateral de una pirámide regular, cuya arista básica es 2 y de igual medida al apotema lateral. (base cuadrada).

a) 2 b) 4 c) 8

d) 12 e) 16

12. Calcule el área total de la pirámide cuadrangular regular. a) 16 b) 20 c) 12 d) 15 e) 4 3

13. Calcular el volumen de la siguiente pirámide. A = 12m2_{, h = 5m} f) 60m3 g) 30 h) 15 i) 25 j) 20

14. El volumen de una pirámide regular es 90m3_y

el área de la base es 30m2_{. Halle la altura.}

a) 18m b) 9m c) 3m

d) 3 m e) N.A.

15. El perímetro de la base de una pirámide regular es de 12km, su apotema lateral de 0,5km. ¿Cuál será su área lateral?

a) 6km2 _{b) 60} _{c) 30} d) 3 e) 6 2 3 B 1 h B 2 h 2 2 A h 2 9

(3)

CONO CIRCULAR RECTO

ÁREA LATERAL (A

L

)

El área lateral de un cono de revolución es igual al producto del semiperímetro de la base y la generatriz.

ÁREA TOTAL (A

T

)

El área total de un cono recto es igual a la suma de su área lateral y el área básica.

VOLUMEN

El volumen de un cono de revolución es igual a la tercera parte del producto del área básica y la altura.

NOTA

La sección axial de un cono circular recto es un triángulo isósceles tal como la superficie del ABV. Se llama cono equilátero si la sección axial es un

Equilátero.

DESARROLLO DE LA SUPERFICIE

LATERAL DE UN CONO

Es un sector circular que tiene por radio la generatriz del cono y por arco la longitud de la circunferencia de la base del cono.

Se verifica: 2R =

₃₆₀

θ

º

_º

2g

º

360 g

R

_



Propiedad:

El desarrollo de la superficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo.

PRACTICA

1. Calcular el área lateral de un cono cuyo diámetro de la base es 2 y cuya generatriz es 10.

a) 10 b) 5 c) 15

d) 20 e) 2,5

2. Si el radio de la base de un cono es 1 y su altura 3. Calcular el área lateral del sólido.

a) 4 b) 2 3 c) 2

d) 6 e) 0.5

3. Calcular el área total del cono de revolución mostrado. a) 4 b) 5 c) 3 d) 10 e) 8 AL = Rg AT = AL + ABASE V =

₃

1

r2_g R O g O g g 2R  R R O A B g g V h O 8 1

(4)

4. Calcular el área total del cono de revolución siguiente. a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 3

5. Calcular el radio de la base de un cono de revolución, si la generatriz es igual a 5 y el área lateral es 5.

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

6. Calcular el volumen de un cono de revolución, si la base tiene un área de 5m2_{y la altura mide 6m.}

a) 10m3 _{b) 15} _{c) 20}

d) 80 e) N.A.

7. Calcular el volumen de un cono de revolución. Si el radio mide 4m y la generatriz 5m.

a) 16 b) 162 c) 163

d) 16 π e) 83

8. La siguiente figura representa el desarrollo de un cono de revolución. Calcular el área lateral del sólido. a) 6 b) 12 c) 3 d) 9 e) 8

9. Del problema anterior, calcular el área total.

a) 4 b) 2 c) 5

d) 10 e) N.A.

10. De acuerdo al gráfico, hallar la relación de volúmenes. a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/3 e) 1/9

11. Calcular el área lateral de un cono cuyo radio de la base es 1 y cuya generatriz es 10.

a) 2.5 b) 3.5 c) 10

d) 10 e) N.A.

12. Si el diámetro de la base de un cono es 4 y su altura 2 3 . Halle el área lateral del sólido.

a) 4 b) 2 3 c) 6

d) 10 e) 8

13. Calcule el área lateral del cono de revolución mostrado. a) 60 b) 60 c) 30 d) 30 e) 50

14. Calcular la medida de la generatriz de un cono de revolución, si el radio de la base es igual a 1 y el área lateral 5.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

15. La figura representa el desarrollo de un cono de revolución, calcule el área del sólido.

f) 28 g) 14 h) 7 3 2 3 3h O R R h 6 O 37º 7 4 7 1 O 3

(5)