Problemas sobre Perímetros y Áreas Sombreadas

Resolución No 1

cada uno _ll

.,¡: "f, i

\

.rirrr',lii Analizando un triángulo

se$$tbado.,,tr

_ii

,

ili:ril

¿.a.¿

7.r,

\

-+

Perírnetro _{= 3(4)}

₌

12 m

4

:r:'r"

:i :ir

t

Del gráfico, observarrsts'en total'11,.{iiángulos:i_r L ir. n: .:: if

equiláteros sombreados

{gi12

m de,,p¡i1¡q-l¡.g:

Pelmsf os v Areas Sombreadas

Resolución No 3 Del gráfico

^

10h

A6eco=-:"=5h

z

.

lro*20.'}n=rsn

A8neco=[-o

r

/

:,..,.,i'ii...,,,,",i.r¡. i:.. .:.:riri¡t .tt :t:

pidnn -4it.t

=

5h

=

1

Ar.¡r*io 15h

3 :: r::i ,i:,

t

\'

'¡lr'"':''1r¡

2&

_:rr

[{étodo

.,,iiil

':.:¡

Trazadgo

h

r$gjiar6 del tríángulo ABD

10

10

4-s.;¡ S

1

ÁIil.=3s=5

Resolución

lf

2

1er Máodo

Identificando la altura del trapecio, observamos que es también altura del triángulo BCD

Bloc

Chve

D

2Am

tru

Del gráfico DH e-s altura, luego en

el

N'DHB DH2 =52

-42

-+

DH=3

Trazando

AH y

analizando

las

regiones hiangulares En

el

AAHB

Del gráfico

AQ=QD=AD=12

m<ADQ=60o

¡

m{QDC=30"

Además

r^^

-%{L2JQ?"\

- rn

360"

Por simetría se observa que

(.q¿=eca=úRD

_=los

_=4se

_{=lnp =f,pa=f,ea}

...

(

Parmeno de

h

'l = 8{2n)=16n lregión sombreada/

AAeHo

1 -+

AAor¡a

5

A6nsp

= k AADHB = 5k

::

AderrÉs

A\,oHe=5k=9

-+ k=*

.iii'

2

IO

i

il ll'..

i:,1

&l.et,.AABC

'

A¿leHe =

AAnnc

= 6k

.''

Resolución N" 4

:il

Clave N.A.

;l

Trazando

los

radios

de

los

cuadrantes obliene un triángulo equilátero, es decir

o

AE=ED=DA=6

r

m{EDA

=

m{EAD

=

600

o

m{BAE

=

m{CDE = 30"

Entonces

Aso*b =

Aúou"o

_-(O*.o

+2A4asE)

Resolución N" 5

Aso,u =

u,

-l

t

tJlt-

*zi'to=']!g=o"l

ll

L4

[360"

))

Asomb =

go-sJs

-a"

,'.

Aso'b = 3(12

4$

-21tt m2 R*olución N" 7 En el grálico

o

ABCD es un paralelogramo

o

M es punto medio de BC Resolución N" 9 Por dato

. cF=s

->

AD=4cF

4

Trazando GH, se obtiene regiones equivalentes

F

k

-¡-3k---{

G

4.,5

---f

En

el

AABC

cr*0=30o

Clar¡e D o E

aT

: t 4a I I

DI

T

k

+

I 3k I I l_

hiangulares proporcionaléd..,¡b su base

.¡

,l

.

Asomu _

srirrj

_{4. '\,ji}

_i..

At""t**

-

12k

-3

Chr¡¿ C

Resolución No

8

.'

Trazando las dos diagonales del cuadrddo y traslaciando regiones eq uiva lentes, fenemos

L--- !1 ---J

.

d"tsr*j* ,,.:"'\

r:i: i\ e

t

.ii

efi¡,

i'=

5¡'z t...

Ai*u

= 11k2 .,ur,t ',:rr.- l::r':'ir:r' .,.i: ,.rr, .ijit. . _i::

,.: As.-1,

'1,1k'

11

'':'._

ANosoru

5kz

5

i. '\' \

li

Chve

B ..

::

)i Rescilución Nc 10

Trazando lqg:'rtiüios de la semicircunlerencia, se obdierié un sector circular cuyo ángulo es x

2a

*

( ñ"" l-

Aflneco

-

(4a)2

¡-2

[rcmLrada/

4

4

Clave

A

reF

@ittt4!tili'ti:::,.::t:::.:t

trc"emrUt@gPdfllE$¡$

En la figura

2a+28

*x=

1800

2(30")+x=1800

x

-

l2O" Del gráfico Finalmente

Asomb =

A4coo

-AAcoo

_

A

-

.

_

xeJlf

$zo"t

_zlieJl)

"nn

ro"

Asomb =

_---¡60"

--

_z

.'.

Aso*b = (4r

-

316) cmz

Chve

C Resolución N" 11 ¡ir :il:l i it:i¡'i ,ii ,i 'i

Aso*u =

Ail¿eco

+24¡or'ro

o**o

=f.9)'

_\2)

*rl¡u'.2121

_"L

₄

J

^2

nu2 ñSomb _

?_

g I

.'.

Aso.b=}-(r+2t

Clave A t: Rasolución

N'

13

Trazladando

adecuadamnete

regiones

eo titca le nte$;rqilsrrlos

WI

*2+*2=(4f¡2 _>'x=r¡ '

:'

t

,-

'

,.'

.r,, ...

(

eaimeto an

u

)=

74x _{=14&i) =} s6 u (región

rcmbreada,/

_j

..j

.

""n€hve D:i

,,rt,ri:, ¡i:r:,

i.

n\úxü

l

' t ('

'

_:.

'(

,qrnu

,{,nu

_l-

Aflneco

_-

122

)=

1n*"o

-

t2'

=72"^t

. tsombreada) 2

2 irrrr¡ii,i:|¡'ri::iii}' Cbr¡g B Resolución N" 12

T*

al2

I

al2

Io

Resolución I''1" 14

Trazando

radios

auxiliares

y

trasladando regiones equivalentes, observamos

que

se forma un secto¡ círcular

N

r9dn9-q.l&g*rp,9Q11

" 'l.'*ffi

Realizando trazos auxiliares, observame que

( ñnu ) ftG)2(60")

¡'R2

"'

_[**t,nua.

_J=

360"

=

6 _A5o^brnu¿u = 95 AH*asono ABCDee

=245

p=

4somurea¿a

"1664

4..

' 'Hffinono

P=

95

_"

100Vo=37.5Va 245

Cbve

E Resolución N" 15

TA

I 8

l"

Chve

A H

t-4---+-4-1

A*o.o = 40

-

4' jit',,¡::" .,, 't...1:i ti

j.

Asonb = 4(10

-

¡) cm? Resolución No 16

e4.$fÍí

1\

'Pé$nt¡o

= é.rr ¡"Jg1 +BE ': i'¡r': '

zneJz)$s")

.

2neJl)Fao)

.

.

6

3600

360"

=8"

₆₆

*oJ?"

*rJl

sJz"

.

_^

r;

=

_+

¿\l¿

_

5,{ln+12,{l

6

/

Per¡meho de

la

\ Jt

...

|

^"....""_.-_..

l=#(s¡+12)

cm [región

ombreada/

6 Clave E -

19-Del

gráfico

fYlfi = Qft =

a n

QH =

Err

el \.QTR

(por relaciones métricas

hiángulo rectángulo) QTz

=QHxQR

62

_=bxa

-)

.

m{QCR

=

m<QRC =

45'

(A

isósceles)

Deahí

m{RQC = 90" Entonc¿s

Aso.b =

Aboq.

_-Agnqc

^

n{2)2

2Q)

ASomb=

4

-

2 ... Aso*b

=(n-2)cmz

Clave E

.

Asoru _75_7

Apataldogramo

20S

20 T

.(

Ánu

l=uo=99=18o-'

fsombreadal

2

2 Resolución No 19

Se hazan los radios auxiliares y se observa qu¿ el _{triángulo QRC} es isósceles (QR

₌

_QC) Ademas

o

mAQ =

90"

(ángulo central)

o

_{m{QCA =}

45"

(ángulo inscrito)

20

-.

Sea'2-OS

el

área

de la

región cuadrangular

,,'.,ffD*.eotqn*:

t!

b

jii' 'ili:i:Rootu"tun

*

Uo :ili ii en

un

_:¡ j, .:?ot _dato

$

i

¡i*f'¡,,ry

so.¡,,,,¡1ntos medios de BC y CD ii

i | !i¡\ i.':ü A¡ .

D

A

:

l. :

#"*=+

'$'

iq*

Resolución N" 21 Recuerda

-4

<-b

_l"

\

.

t-.---h

f

.,,::

ü}

.'=[+)'

Entonces

A{coo

=

I

_"-}

I$-=e -e

₂

_,':'

x=6

_..:

'i¡...," t t

':l'.-

:: ¡l l'r

I

ii': rii:r

Además

': -,,

:,:

A

_$

eeco =

A{eoe - Adcoo

'

Io+ro),_

10(3+r)

_n

\2 )

2

8r=15+5r-9

3r=6 -)

r=2

,

j

Asomb

=(u*]o)r=tu.

,

F__

5

_l

Tomando tangentes A

*

.

tg{c¿}

+;-a \ ':r:::::! :j :ir

r

tafc¿ + 45ql

''

,'

' 4

1

^ axt

.5=-2

t'\

_{l'ii,,.,,ir(o*+s")}

:-

-3T+

De

donde

_j

tgg + ts 45"

-

x + 4

,1-'tgcr.tgp

5 '. I j.. tt. _a

;*1

x+4

Reemplazando

_-e-r-

=

-r-1o

5 t" ,,1r,.¡,.,;¡¡'.,..,¡i:r

\

5

s=**4 -+

x=41

,,,\. \

:t: ii::r' :¡. .ill

^

x(5)

41(5)

.'.

Ac^-r

₂₂

=1O2,5 cm2 R¿solución N" 23

A---_-F

Trazando

PM y

analizando triangulares

Chve

E C R¿solución No 22 Recue¡da tolo+B)

_

tgcr+tgP '

'

1-

tgcr .tgp C|clve B

las

regiones

1 tr,r-

elff

ryp,!.!ffi

8á,q#&9'l.r

.

AABC (BO es mediana)

AAoeo=AAaoNa=S

.

AAPM (PO es mediana)

AAsop=AAom¡=k

r

ABPC (PM es med¡ana)

A^epNt = AA¡¡pc

=S+k

.

ABAC (AM es mediana)

AAg¡M

=AAr'aec

-+

2S=S+3k

S=3k

o

m{CAB

=

30"

(ángulo inscri{o)

r

N

ABC (teorema de Pitágoras)

AC2 +22

=42

_-¡

Finalmente

Ac=zJl

Finalmente expresando

todas

las

rcgiones triangulares en función de K,

tenemos

_j,:

.,r,t'i;. .,,,,iijl

B

t: "'t

ii

.

Asomb

=

8k

=Z

" AAoo

12k

3 R¿solución N" 24 '2 6V

,\a

Asomu =

A\,¡ce

-(

A4eao

*

A4oec

)

.

z$Ql

(*ef

_@o"t

n{2)2(60")) Asomb

= , -l

360.

-

360.

_J

iiiAs.*u

=rJU-(t.+)

l .;:

Ai*o

=d2J3-nlmz

,i

r'l:

\'::'

..,::jr ir.L r, ::it ,ll l:*s

I

,:

'i,,

',t,..,j,.' ,Lir,

i

Reso'h$ión No ¿S$' 'ii

,

Sea x

_$do

d4,'gua¡$rado ABCD poi:,¿atáii _BD

--1r{"

i

't: _lj rii iu:

.

N

BAD (teol¿'W-á; pilágoras)

Clave B

.,"

Bh2

+

ADz

=BD?,

-+

x2 +x2 =L2

oL2

2

F-

4

---"----"--Como el arco CO ha sido trazado tomando B como centro, enlonces BO

=

BC

=

&

=

2 es decir forman un tríángulo equilátero

Además

.

mCB ₌

60"

(ángulo cenhal)

-22-Trazando CR

Y

BS, observamos

que en

el

centro se forrnan cuatro cuadriláteros. siendo uno

de

ellos (ONTM)

h

veínteava parte del área del cuadrado ABCD, además el triángulo OCD es la cuarta pade del área del cuadrado ABCD.

¿Qde:C"rVs¡p.3Q11 Entonc¿s

( x."

₎₌

Ano*o

_

Atrooo

[sombreada./ 4

20

*2*212

4205

7lL'1

Elzl

(*n^)L2

\*mbreadaJ

10 Resolución I.{" 26 Resolución N" 27 Por dato

. BP-5 -)

BP=

rc3

r

A6unR

=8cm2 Del gráfico

(

tu*

_)=rnu*rn

Isombreada/ l\

5a^

PC=3a

24k=ffi

o

N, MDC (teorema de Piiágo. ras) '

,

- ,2

l'"

[s*!]

+L2

=toz

'

\

2)

t2

25+5L+f;-+

L"

= 100 ct2

"-

+5L-75=0

4

i

Ll*riiü"

BM

v".ffi

nara analizat las regiones

L:

hiangillare

li

tli

,i

_{r i}

*..i*'-'

e ABPC

(fP

es:ce.viana) I .lj:

_'a6t

.1

"'=

Sf n

A75pq6 = 3k ...l

.

::]' L

AMÉp

(Rt\l es mediana)

,'AÁr*=Aa^nc=8cm2

.

,,r

AMBC

(BN es mediana)

..t.

,:.

A4smi=AAenc=8k

i .,r.i,:*r,,¡ ii:::"''

i

-En.¿t$iánsulo BMC (MP es ceviana) i.uii,.,,:"r''i'i"" _13k _

16+3k

_{_)}

_39k=g0+15k

53

L2

+4L-60=A

(L*6)(L+10)=0

-+

L=

6

Chve

B -

23-(

tu."

'l=or=so*

(sombreada J Clav¿ C

=80+24

=1A4 cmz

Por

dato

Aflneco

= 20

20k=2Q

_-)

k=1

'

(

tu*

. l=

3k= 3(1)= 3 mz t.smbr€ada/ R¿soh¡ción I.,1" 3O

i-llsffi*rb,4ffi,?!fl

#9ll*

Clave D

OB

10

---{

@).9

9)l-zJll

z))

\2)

Clave B Trasladando regiones equivalentes observamos

que se obtiene un cr¡adrante

( ñ.u ) AO

*L2

[ombreada/ 4

4

T¡azando

EB y

analizando triangulares

.

AAn¡c

=lffz

-)

¡dl|z

.

ABEC (EN es nredíana)

AAee¡, =

AAnc

=k

.

Al*laeco

' AAcnv

-)

A466v

= 5k

"'

AAeENa = 3k

.

ABEA (EM es mediana)

A¿eerur:A¡n¡re=3k

-24-A

&

Pertmetf1É

--{#

eÉ

&

á_

z'd

g á:

ffi

n(r+212

_-n¡2

=16n

4¡n- 4n =

!6n

,gfut.-.V¡¡xto.fr\t

Deahí

OB =

5 -)

OP=R=sJt

(-.ffi*)=9 ffi

.@

:,,,

rj

it

Entonces sí el radio menor mide r, se deduce

_':

que

i

_..

t,,

=xgJll2

-to2

+L6n

= (66n -100) u2

Rcsolución ltlo 32

Recuerda (En un triángulo equilátero)

Rcsolución N" 33 En el trapecio BEDC AAerE

=AAcro

*k

r rl.

ii. .,fi\,

"n\ot".ioti$F..$,

ta

ie&plucióri'l.ss,e¡iüuentra en el problema 14

::

. .

,:

ii;

r:i!

Clave A

\

j

n..,:.,,i,,-l.'.¡$-Como S, + _{So =} 10

m2

_-)

.:

",,.. ,.

W ,.-,

,irr¡rt\..

i¡

,i.r:¡..trr .,,1t li.

ri J .r;

li,,

i:, i:)li.

.¡

-:lt:i,

¡-','ü

Del gráfico Clave A Clave E

53+k=Sr+51+k

Ss

=Sr

+Sz

Ss=10m2

Clave

A o

D

Trasladado los arcos MN, NP, pQ y QM según

indica la figura, se deduce que el contorno de

la región sombreada está conformada por dos círcunferencias y un cuadrado, es decir

2e Perímebo =

2@+

Tl

\--l

I

I = 2(2nR)+4(2R) = 4ztR+8R

=

4R(¡t+21 Clave A

-

25-Como el radio mayor mide

3r-12

-)

..(

An"u

)=ao..,=a

[sombreada]

v

Recuerda

N-'-Z

l^\

,l

I

-)

S=A+B

rywn*iÉ4*¡L'r,il,r,,'.,r ',', '

r[¡cr'*qdg.s*lrqQls:m¡!-Resoh¡ción No 36 A Del gráfico 14 1O+L2+t4

p=--_z--'

|

*::

dni

l=

uu = 120

*2

\rectángulorl R¿sohrción No 38 Sabemos que Reemplazando

(a+b\z =a2 +bz +2ab

232

=!72 +2ab

248 _=Zab 120 = ab Chr¡e A Clave C

P=18

Sabemos

AAaec

=1lnb-10Xn- tZl(p-Ml,

A6aec

= {88(8X6X4)

AAo""

=24J6

".'..

(0

AdenÉs A6aec

=

Pxr

A6aec

= 18R Igualando (l) y (ll) Resolucién I.{" 37 B Por dato Perimetuo== 46

2b +a\

= q6 a

*b =23

...(l)

En eltriángulo ADC (leorena de Pitágoras)

x el lado del cada cuadrado

xxx

-

e.7.> at¿

x=31

T_*z =g1z =g61 cm2

Como la diagonal menor es igual a uno de sr,rs

lados, entonces el triángulo ABD es equilátero

(l+nu

_{) ^í.'Jd)}

u'Jl

., I t=-l-

l=-'fombreadaf

[ 4 )

2

e;m

a2 +b2

=fiz

...,..

(lI\

Clave B

,'Q&€.-.1hrp80:$1

Resolución No 4O

r0

9ea2r el lado del cuadrado

Pordaio

An=36*'

(2r\2

_{=36 ->}

2r--6

+ t=3

.

¡i

...

I

.o***o

\=

q

(A=+[¡(s)l= rz'

,n \de la

figura/

.

i lL r.t

:lt

:ii j:,it¡x,t.,,,'. Cla.-v¡ C

'.i

l.\

Resolución No

41

_.jt

.,,.t'

,¡i

Del

enunciando

,ii,$iiri,i,¡i

.¡j f

Del gráfico

( arn \ ¡R2a

n 2o I l=

\ombreadaJ

360"

360"

_

¡ut{Rz

-

t2\ 360"

Por lo tanto, para calcular el átea de la región sombreada es necesario conoc€r [a longitud de los radios y el ángulo que comprenden el sector

A'OB'-Clave B jrii rir

irlt

lR"ouol

_r.iónIt"

₄₃

,

Seá r el mdio inicial

i , t\

\l,.Á ii\ini.iut = nt2

i

9r¿*.¿" su ra¡lio d¡¡rrenta en 1 cm

I

\

Arüá'fi'ñ!t-

nk+r)z

i

li ii

,¡isrri'*

i

D"l enünciar¡$q,. _..;:ii

ni

_{..lf*,,,.$.}!-} nrz

_=7*

-t r=3

Chve

B En eltriángulo AED

A6oeo=A¿peq=AAqro=S

En el triángulo AMQ (AE es mediana)

AAr*=AAeao=25

Por dato Reolrción N" 42

.'

Perímetroa *.,,.¡'r Ii,l 2(3a) = x

Er

s+#@¡wít&:i*:|,t,...:,,i.,,.

: .,.

_{i"ljq;Flmgb,.llfiEpqmqüCe.]L}

En eltriángulo DNP (DE es medi^na)

AAoNe=AAEop=2S

/Ñ--

A¡asgP

= 12s

Además

A¡r.ABcD = 6A s2

12S=60

-)

S=5

. (

Á'"u

)=ut=

s$t=Z|uz

Isombreada J Resolución

If

46 B

T

10

1

D

iil. En el triángulo BAD (teorema de Piiágoras)

[

=

rrf"-+W+10J2

+10 BD2 =LO2 +102

BD=1OJ'

+BD+BC

Chve

C Perímetro

: f^+M+Bc+ED

\_-/

=

¡(10)+2¡(10)+20+10 = 302¡ + 30 = 30(¡+1) cm Cbve N.A. - 28-Por dato

e. Del gráfico Debido a que

PQ=QB

Resolución No 49 Trasladando áreas siguiente figura

l1

DP m<ADQ

=

m<ADQ:

m{QDC = 30" 2r(6)(30')

Ad€rnas

úpq=--860.-=n

Po¡ simetría s¿ observa que

(.p¿=(qc=24pq=2x

equivalentes se obliene la Por lo tanlo Resolución N" ¿18 B

AG

r

En eltrapecio GBCF

Aaco*

=

Aapoc

o En el paralelograrno ABCG

A6nec=AAecc

=9+S

Por propiedad del hapecio (hapecio GBCF)

s

=,',6(4)

-)

s

=

6

!&^)=o^,=e

-Aa¡ca

,rQ\2

4(2\

tt

-4

..21 u2

Chve

C

dePubliaciona

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