Fundamentos de Matematicas Financieras

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Fundamentos generales de matemáticas fnancieras ©Andrés Felipe Álvarez Benítez

ISBN 978-958-8599-69-4

Centro Editorial Esumer, 2014

Rector

John Romeiro Serna Peláez

Decano Facultad de Estudios Internacionales

José Albán Londoño Arias

Editora

Diana Alejandra Londoño Pulgarín [email protected]

Entidad Editora

Centro Editorial Esumer

Portada

Anderson Echavarría Severino

Diagramación

Facultad de Estudios Internacionales

Impresión

Editorial L.Vieco S.A.S. [email protected]

Publicado y hecho en Colombia Printed in Colombia

Institución Universitaria Esumer

Calle 76 No. 80-26, Carretera al Mar Teléfono: (57) (4) 4038130

www.esumer.edu.co Medellín, Colombia

ISBN 978-958-8599-69-4

1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 2. MERCADO DE CAPITALES 3. MERCADO DE VALORES 4. INVERSIONES DE CAPITAL 5. MULTIPLICADOR (ECONOMIA) 6. INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER

SCDD 332.04 Biblioteca Esumer

Consejo Superior

Luis Alfonso Quintero Arbeláez Presidente de los Consejos

Ricardo Sierra Caro Vicepresidente Consejo Superior

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Consejo Directivo

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Representante de los Docentes Juan Carlos Vélez Madrid Representante de los Egresados Omar Andrés Bermúdez Mazo

Representante de los Estudiantes Álvaro González Vélez

Secretario General John Romeiro Serna Peláez

Rector

Reservados todos los derechos.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso escrito de la Facultad de Estudios Internacionales de la Institución Universitaria Esumer Las opiniones expresadas en esta publicación son responsabilidad directa de los autores y no necesariamente representan los puntos de vista de la Institución Universitaria Esumer.

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1. INTRODUCCIÓN 11

1.1 Glosario 13

1.2 Tipos de Inversión 15

1.2.1 Activos reales 15

1.2.2 Activos ﬁnancieros 15

1.3 Tipos de Mercados Financieros 15

1.3.1 Mercado primario 15

1.3.2 Mercado secundario 15

1.3.3 Mercado monetario 16

1.3.4 Mercado de capitales 16

1.3.5 Mercado de divisas 16

1.4 Preocupaciones Clave del Inversionista 16

1.4.1 Rentabilidad 16

1.4.2 Riesgo 16

1.4.3 Liquidez 17

2. RENTABILIDAD 19

2.1 Tasa de Interés 20

2.2 Tasa Mínima de Rentabilidad Requerida (TMRR) 21

2.3 Interés Simple 22

2.4 Interés Compuesto: 24

2.4.1 Cálculo de Valor Futuro a partir de Valor Actual 24 2.4.2 Cálculo de Valor Actual a partir de Valor Futuro 26 2.4.3 Cálculo de Valor Futuro a partir de Anualidad 27 2.4.4 Cálculo de Anualidad a partir de Valor Futuro 29 2.4.5 Cálculo de Anualidad a partir de Valor Actual 30 2.4.6 Cálculo de Valor Actual a partir de Anualidad 31

2.5 Conversión de Tasas de Interés 32

2.5.1 Interés nominal – interés efectivo 34

2.6 Interés Anticipado 38

2.7 Conversión de Tasas de Interés – Los 5 Pasos 40

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3.3 Rentabilidad en Moneda Extranjera 50

3.3.1 Tipo de transacciones 53

4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS 59

4.1 Cuotas Iguales de Capital e Intereses. 59

4.2 Cuota Creciente de Capital e Intereses en una Suma Constante

- Gradiente Aritmético 60

4.3 Cuota Creciente de Capital e Intereses en Porcentaje - Gradiente Geométrico. 62 4.4 Amortización Mediante el Sistema de Unidad de Valor Real 64

5. EJERCICIOS PRÁCTICOS 67

5.1 Ejercicios Valor del Dinero en el Tiempo 67

5.2 Ejercicios de Conversión de Tasas de Interés 77 5.3 Ejercicios de Interés Real o Interés Deﬂactado 79 5.4 Ejercicios de Rentabilidad en Moneda Extranjera 81

6. BIBLIOGRAFÍA 87

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quietudes en los esfuerzos que me han permitido formarme y seguirme formando. En especial al profesor Jaime López, quien me instruyó en los temas abordados en

este texto. Sea esta una forma de extender su legado. A mis estudiantes, fuente de inspiración constante para mi ejercicio docente. A Esumer, sus colaboradores y directivas, quienes me permitieron hacerme docen-te y me alientan a continuar el camino. A todos, gracias!

Este texto es un primer intento por reunir los temas abordados en la asignatura Matemáticas Financieras en un escrito de fácil lectura para estudiantes e interesados en el tema. Cualquier comentario, sugerencia o aporte por mejorar este esfuerzo se agradece y es recibido de la mejor manera. En futuras ediciones se irán incluyendo tales aportes, así como otros temas relevantes para la asignatura.

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La teoría económica enseña que la satisfacción de la necesidades huma-nas se logra a través del consumo de bienes y servicios. Así mismo expo-ne que para lograr la producción de tales bieexpo-nes y servicios se requiere de un espacio físico, donde transformar insumos y materias primas en productos; se requiere capacidad de trabajo para llevar a cabo tal trans-formación; se requieren máquinas, herramientas, insumos y materias primas que transformar y ﬁnalmente, se requiere de conocimiento para saber cómo llevar a cabo la transformación de todos estos elementos en productos y servicios. La teoría económica le da nombre propio a estos recursos: tierra, mano de obra, capital y conocimiento, respectivamen-te. Y concluye que para producir es imperativo el uso de estos cuatro recursos productivos o factores productivos. En ausencia de cualquiera de ellos, es imposible producir un bien o servicio.

La teoría económica añade que por el uso de cada factor productivo debe pagarse una remuneración. Así, por el uso de la tierra se paga arriendo; por el uso de mano de obra se paga salario; por el uso de ca-pital, entendido no solo como maquinaria y materia prima, sino más generalmente como el dinero representada en ellas, se paga interés. Fi-nalmente, el conocimiento, entendido como la capacidad de articular los demás factores en una empresa que produzca, se remunera con uti-lidad o ganancia.

En virtud que los factores productivos son escasos y su disponibilidad es limitada, se debe hacer un uso óptimo de los mismos para asegurar la producción de bienes y servicios con los cuales satisfacer las necesidades humanas. A tal sentido, es obvio que un recurso dedicado a la produc-ción de determinado bien, se agota con el uso y no puede usarse para producir nada más.

El ﬁn último de la ciencia económica es precisamente garantizar la sa-tisfacción de las necesidades humanas a través de la administración de los recursos productivos, con los que se obtienen bienes y servicios con cuyo consumo se satisfacen tales necesidades.

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Ahora bien, está claro que para producir debe usarse una combinación de los cuatro factores productivos. No obstante, visto desde la óptica del acceso a los factores necesarios para la producción podría reﬂexionar-se a cerca de ¿cúal factor productivo es más importante para lograr la producción? Es decir, dejando claro que se requiere el uso de los cuatro factores productivos, si solo se dispusiera de uno de ellos ¿cúal sería el factor productivo primordial para la producción?

En esta discusión habría quienes propusieran al factor tierra, puesto que con éste se asegura donde producir, y para acceder a los demás factores necesarios para llevar a cabo la producción, parte de la tierra podría arrendarse y con ello recibir dinero en forma de arriendo con el cual pagar mano de obra, adquirir maquinaria y materia prima, y contratar el conocimiento con un experto que sepa cómo producir. También ha-brá quienes propongan la mano de obra como el factor principal para lograr la producción, puesto que es una capacidad inherente a cada individuo y por la cual, se recibe dinero en forma de salario. Dinero que podría usarse para pagar un arriendo, acceder a la maquinaria y materias primas necesarias e igualmente contratar a un experto para que asegure la producción. La propuesta del conocimiento como el factor más importante para la producción tendría la misma lógica expuesta. En general, de un factor productivo permitir su uso por parte de otros actores de la economía y como remuneración percibir un dinero con el cual acceder a los demás factores productivos, y así teniendo acceso a los cuatros factores productivos poder iniciar la producción. No obs-tante, obsérvese que si el factor productivo propuesto es el capital o en términos más amplios, el dinero, no tendría que esperarse a recibir la remuneración por permitir su uso, sino que inmediatamente con dine-ro podría accederse a los demás factores pdine-roductivos. Garantizando de manera expedita las condiciones necesarias para la producción.

En este entendido, el capital es el factor productivo más importante para la producción, pues es el que en términos más efectivos permite el acceso a los demás factores necesarios para llevarla a cabo.

En cuanto al uso económico que puede dársele al dinero, la teoría inclu-ye tres usos: gasto, ahorro e inversión/especulación. El gasto es el acto por el cual una persona adquiere los bienes y servicios necesarios para

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satisfacer sus necesidades. El ahorro es el uso del dinero que permite su disponibilidad para en el futuro poder gastar o para aprovechar oportu-nidades de inversión que no serían posibles de no contar con el dinero ahorrado. La inversión/especulación es el uso del dinero que tiene por objeto acrecentarlo. Si bien inversión y especulación se incluyen dentro del mismo uso en virtud que ambos buscan el mismo propósito, éstos se diferecian en la metodología con la que se toman las decisiones. Las decisiones de inversión se entienden en este texto como resultado de un acto riguroso de análisis entre las alternativas de inversión y sus posibles ventajas y desventajas que lleva a seleccionar una alternativa o un conjunto de ellas. Entre tanto, por decisiones de especulación se entienden

aquellas que se toman a partir de información injustiﬁcada, la simple intuición o el afán de tomar cualquier decisión de forma presipitada. En este sentido es pertinente aclarar que si bien el rigor seguido para tomar decisiones de inversión procura tomar mejores decisiones en el sentido de aumentar la rentabilidad y disminuir el riesgo de las mismas, el mismo no es garantía de un buen desempeño. Incluso puede darse el caso en el cual decisiones de especualción obtengan resultados superio-res a las de inversión.

Este texto se concentra en la administración del factor productivo capi-tal y particularmente en su uso de inversión. El texto está orientado al buen uso del dinero, bien en caso de superávit de capital, situaciones en las que se hablará de inversión, o en caso de déﬁcit de capital, situacio-nes en las que se hablará de ﬁnanciación.

El área del conocimiento que se encarga de estudiar estos propósitos es la matemática ﬁnanciera.

Antes de empezar a abordar el tema de matemáticas ﬁnancieras es per-tinente entender los conceptos incluidos en el glosario.

1.1 Glosario

Cambio en indicadores de desempeño: con las nuevas alternativas de inversión/financiación obtenidadas a partir de la innovación financiera (definida abajo) no solo se incrementan las opciones, sino que también

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cambian el riesgo y la rentabilidad en el mercado. Algunos opciones pueden incrementar el riesgo o la rentabilidad, mientras otros los dis-minuyen.

Desintermediación: consiste en resolver los problemas de financiación o inversión de manera directa, sin acudir a intermediarios financieros. De esta manera se trata de lograr mejores términos de negociación, quienes necesitan financiación pueden obtener una tasa de interés in-ferior a la cobrada por las instituciones financieras y quienes desean invertir pueden obtener una tasa de interés superior a las ofrecidas por tales instituciones. A esto se llama financiación directa.

Globalización de los mercados ﬁnancieros: con la globalización de las economías se abre el libre tránsito no solo de mercancías, sino igual-mente de capitales. Así, tanto las operaciones de inversión como las de ﬁnanciación pueden resolverse bien en el mercado local o en mercados internacionales.

Innovación financiera: el constante cambio de las dinámicas económi-cas abre la oportunidad de creación y acceso a nuevas formas de inver-sión y financiación, debido entre otros a la apertura de nuevos merca-dos foráneos y creación de nuevos productos financieros.

Alternativas de inversión: la globalización de los mercados ha amplia-do el abanico de oportunidades para invertir y administrar el dinero, tanto a nivel nacional como internacional. Entre las alternativas de in-versión disponible se tiene: desde metales y piedras preciosas, estampi-llas y obras de arte, hasta monedas extranjeras, acciones de compañías nacionales o foráneas, bonos corporativos, acciones y emisiones de go-biernos de cualquier país del mundo. Cada alternativa lleva consigo su propio riesgo y rentabilidad. No todas las alternativas de inversión satisfacen las necesidades de cada inversionista. El desempeño de las diferentes alternativas de inversión varía de acuerdo a las condiciones económicas.

La amplia gama de oportunidades permite al inversionista poder optar por las alternativas que cumplan con sus intenciones frente al riesgo y a la rentabilidad. De esta manera, el inversionista conservador puede

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elegir alternativas de bajo riesgo y baja rentabilidad, y el inversionista arriesgado puede elegir alternativas que le proporcionen altos rendi-mientos, asumiendo, desde luego, un mayor riesgo.

Volatilidad: cambio constante en indicadores macroeconómicos y va-riables que afectan el desempeño de las inversiones, tales como: tasas de interés, tasas de cambio de monedas extranjeras, nivel de empleo, tasa de inﬂación, entre otras. Tales cambios enfrentan al inversionista a un mayor riesgo, pero también le ofrecen un mayor número de oportuni-dades de inversión.

1.2 Tipos de Inversión

1.2.1 Activos reales

Son aquellas inversiones tangibles que se pueden mantener por tiempo indeﬁnido o se pueden vender con una utilidad cuando ellos se han apreciado suﬁcientemente. Entre ellos se tiene: metales preciosos, pie-dras preciosas (diamantes, rubíes, esmeraldas), coleccionables (antigüe-dades, arte), metales comunes, petróleo, gas natural.

1.2.2 Activos ﬁnancieros

Se trata de inversiones intangibles. Representan la propiedad sobre una compañía, o sirven de evidencia que alguien debe al inversionista. Aquí se incluyen acciones, bonos, papeles comerciales, letras de cambio, fon-dos mutuos, certiﬁcafon-dos de depósito y futuros ﬁnancieros entre otros.

1.3 Tipos de Mercados Financieros

1.3.1 Mercado primario

Mercado en el cual se negocian valores por primera vez.

1.3.2 Mercado secundario

Mercado en el cual se negocian valores por segunda o más veces, los cuales se han emitido previamente en el mercado primario.

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1.3.3 Mercado monetario

Mercado en el cual se negocian valores con vencimientos menores a un año; papeles comerciales, acciones, etc.

1.3.4 Mercado de capitales

Mercado en el cual se negocian valores con vencimientos mayores a un año; bonos, acciones, etc.

1.3.5 Mercado de divisas

Mercado en el cual se negocian monedas de otros países. Generalmente son monedas llamadas “duras” o “fuertes”, debido a la menor percep-ción de riesgo asociada a éstas y por su facilidad de transacpercep-ción.

1.4 Preocupaciones Clave del Inversionista

El inversionista tienen tres preocupaciones clave al seleccionar alterna-tivas de inversión: Rentabilidad, Riesgo y Liquidez.

1.4.1 Rentabilidad

La rentabilidad es la ganancia sobre la inversión. Consta de ingresos periódicos por concepto de intereses o dividendos, llamados ingresos corrientes, y por la variación en el precio del activo, llamado ganancia de capital. La rentabilidad de la inversión es un aspecto fundamental para el inversionista. Todo lo demás siendo igual, el inversionista busca aquellos instrumentos que le proporcionen la mayor rentabilidad.

1.4.2 Riesgo

El riesgo es la posibilidad de perder dinero en una inversión. Mien-tras mayor el riesgo, mayor debe ser la rentabilidad. Los inversionistas asumen diferentes posiciones frente al riesgo. Algunos tomarán mayor riesgo si el potencial de rentabilidad es mayor, mientras otros preferirán un menor riesgo aún cuando la rentabilidad sea menor. Todo lo demás siendo igual, el inversionista busca aquellos instrumentos con menor riesgo. El riesgo se puede clasiﬁcar de las siguientes formas:

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Riesgo sistemático: riesgo NO diversiﬁcable, o no controlable, el cual

resulta de fuerzas externas. En este tipo de riesgo se encuentran:

• Riesgo de mercado: cambios en el precio de las acciones, debido a

cambios en el mercado accionario por incertidumbre política y/o económica.

• Riesgo en tasa de interés: cambios en la tasa de interés.

Riesgo no sistemático: riesgo que puede ser controlado con la

diversi-ﬁcación. Puede ser:

• Riesgo de Insolvencia: el riesgo de que el emisor no pueda pagar los

intereses o abonos a capital.

• Riesgo de Reinversión: el pago periódico de intereses o abonos

parcia-les a capital corren el riesgo de no poder ser reinvertidos a la tasa de rentabilidad esperada.

• Riesgo de Tipo de Cambio: inversiones en monedas extranjeras

ex-ponen al inversionista al riesgo de devaluación/revaluación de las mismas.

1.4.3 Liquidez

El inversionista desea comprar o vender los instrumentos de inversión rápidamente y a costos de transacción bajos. Todo lo demás siendo igual, el inversionista busca aquellos instrumentos de mayor liquidez. Este texto se centra en los aspectos de rentabilidad como principal pre-ocupación del inversionista.

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Esta es sin duda la preocupación principal del inversionista. Una vez satisfecha esta necesidad el inversionista se preocupará por el riesgo y la liquidez.

Rentabilidad es el ingreso de una inversión expresada como porcentaje de dicha inversión; en otras palabras es la ganancia obtenida en una inversión, dividida por la suma invertida y multiplicada por 100.

Donde,

VF = Valor Final o Valor Futuro. También se le denota como VF

VA = Valor Actual, Presente o Valor Presente. También se le denota como P o VP.

La rentabilidad desde el punto de vista del inversionista es una medida de ganancia y desde el punto de vista del deudor es una medida de costo.

Ejemplo: Si se invierte $1.000.000 durante un año, al ﬁnal del cual se recibe $1.380.000.00. ¿Cuál fue la rentabilidad?

VA = $1.000.000.00 VF = $1.380.000.00 VF = 1'380.000,00 VA = 1'000.000,00 RENTABILIDAD = 1.380.000,00 - 1.000.000,00 * 100 1.000.000.00

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RENTABILIDAD = 38,00%

Ejemplo:Por un préstamo de $5.000.000,00 se debe pagar $7.400.000 al cabo de un año. ¿Cuál fue el costo del préstamo?

VA = 5.000.000,00 VF = 7.400.000.00

VA= 5'000.000,00

VF= 7'400.000,00

COSTO DEL PRÉSTAMO = 7.400.000,00 - 5.000.000,00 * 100 5.000.000,00

COSTO DEL PRÉSTAMO = 48,00%

NOTA: La anterior fórmula permite calcular la rentabilidad efectiva, o el costo efectivo, de cualquier inversión, o préstamo, durante el período que se mantiene. En los ejemplos analizados dicho período es de un año, por consiguiente la rentabilidad del 38,00% es efectiva anual y el costo de 48,00% es efectivo anual.

Si el período es de un día, entonces la rentabilidad es efectiva diaria, si es un mes sería efectiva mensual y así sucesivamente.

2.1 Tasa de Interés

La tasa de interés no es otra cosa que la rentabilidad de la inversión de un activo ﬁnanciero, o el costo de una ﬁnanciación.

También se dice que es el pago que se concede al ahorrador por dejar de consumir hoy y prestar su dinero a otra persona o institución que lo

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necesita. Es el precio que se paga por usar el dinero, expresado como una tasa periódica, generalmente anual.

Para maximizar su valor el inversionista debe tomar prestado cuando la tasa de rentabilidad en sus inversiones es mayor que la tasa de interés que le cobran. En las entidades ﬁnancieras se ve muy claro el anterior principio: la tasa de interés que pagan al ahorrador es siempre menor que la que cobran al prestatario.

La tasa que se paga al ahorrador es llamada tasa pasiva o tasa de capta-ción y la tasa que se cobra al prestatario es llamada tasa activa o tasa de colocación, la diferencia entre la tasa activa y la tasa pasiva es el llamado margen de intermediación ﬁnanciero.

o

Para entender el concepto de margen de intermediación, piénsese en los mercados financieros, donde el intermediario financiero capta dinero de los ahorradores por un período de tiempo determinado pagándoles una tasa de interés pactada (tasa de captación). El intermediario finan-ciero recibe el dinero y a su vez entrega al ahorrador el documento que le garantiza la devolución del dinero y el pago del interés en el plazo convenido. Este documento es el que se constituye en activo financiero (certificados de depósito).

A su vez el intermediario ﬁnanciero presta dinero a quienes lo necesi-tan cobrándoles una tasa de interés determinada (tasa de colocación) y exige un documento que le garantiza la recuperación del dinero y el pago del interés en el plazo convenido. Este documento también se constituye en activo ﬁnanciero (letras de cambio, aceptaciones banca-rias, hipotecas, etc.)

2.2 Tasa Mínima de Rentabilidad Requerida (TMRR)

Al invertir se pueden tener múltiples alternativas de inversión y por consiguiente se debe decidir dónde invertir.

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Supóngase que se tiene $1.000.000.00 el cual se puede invertir en una cuenta de ahorro, o en un Certiﬁcado de Depósito a Término (C.D.T.), o en un Bono, o en un Fondo Común de inversión, o en acciones, o en propiedad raíz, o en un computador, etc. ¿Cuál de ellos elegir?

Es acá donde se debe tener muy claro la necesidad de rentabilidad, riesgo y liquidez. Es decir, debe darse respuesta a las siguientes pregun-tas: ¿qué rentabilidad se espera obtener? ¿qué riesgo se está dispuesto a asumir? y ¿cuánto tiempo se desea mantener la inversion?

Si se decide obtener la tasa mínima de rentabilidad, durante 6 meses con el menor riesgo posible, podría invertirse en un C.D.T. en una entidad ﬁnanciera que ofrezca, por ejemplo 3% mensual (esta tasa difí-cilmente la ofrecerá un C.D.T., solo se usa con ﬁnes ilustrativos).

En este caso se asume que la Tasa Mínima de Retorno Requerida (TMRR) es la tasa que ofrece una entidad ﬁnanciera en una inversión segura y líquida.

Una vez tomada la decisión vendría la pregunta: ¿cuánto dinero se habrá acumulado al cabo de los 6 meses?

Para responder a esta pregunta se debe comprender el concepto de inte-rés simple e inteinte-rés compuesto.

2.3 Interés Simple

Aplica cuando en el cálculo de los intereses no se tiene en cuenta el pago de intereses causados en períodos anteriores; es decir, que los intereses causados no se reinvierten.

Para el ejemplo expuesto, en el que se invierte $1.000.000 a una tasa de 3% mensual, durante 6 meses, se tienen los siguientes datos:

VF = ?

VA = $1.000.000,00 I% = 3% mensual N = 6 meses

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El gráﬁco sería así:

TOTAL = $1'180.000,00

6 meses

CAPITAL = $1'000.000,00

Durante cada uno de los seis meses la inversión generó $30.000 por concepto de intereses, así: 3% de $1.000.000 = 3% x 1.000.000. Ya que 3% = 3/100 = 0.03. La expresión quedaría: 0.03 x $ 1.000.000 = $30.000. Al ﬁnal del mes seis la entidad ﬁnanciera entregaría:

INTERESES = $180.000 = ($30.000/mes x 6 meses)

CAPITAL = $1.000.000

TOTAL = $1.180.000

La siguiente fórmula permite calcular el valor futuro de una inversión, bajo el concepto de interés simple.

Donde,

VF: Valor Futuro VA: Valor Actual

i%: tasa de interés por período n: número de períodos

Así, el Valor Futuro en el mes 6 -VF(6)- será: VF(6) = 1.000.000 + (1.000.000 x 0,03 x 6) VF(6) = $1.180.000

$1.180.000 es la suma que se recibiría al ﬁnal del mes seis si la entidad ﬁnanciera pagara interés simple.

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2.4 Interés Compuesto:

Cuando en el cálculo de los intereses se tiene en cuenta el pago de intereses sobre intereses. Los intereses recibidos se reinvierten, y pasan a convertirse en un nuevo capital sobre el cual cobrar intereses para el siguiente período.

2.4.1 Cálculo de Valor Futuro a partir de Valor Actual

Si se aplica interés compuesto, la suma acumulada al ﬁnalizar el mes seis sería: VF(1) = 1.000.000 + (1.000.000 x 0,03) = 1.030.000 VF(2) = 1.030.000 + (1.030.000 x 0,03) = 1.060.900 VF(3) = 1.060.900 + (1.060.900 x 0,03) = 1.092.727 VF(4) = 1.092.727+ (1.092.727 x 0.03) = 1.125.508.81 VF(5) = 1.125.508,81 + (1.125.508.81 x 0.03) = 1.159.274.07 VF(6) = 1.159.274,07 + (1.159.274,07 x 0.03) = 1.194.052,30

Si se reemplazamos los valores en las ecuaciones anteriores en términos de VA y VF, se llega a la fórmula general de interés compuesto, así:

VF(1)= VA+(VA.i%) Factor común: VA

VF(1)= VA(1+i%)

VF(2)= VA(1+i%)+ VA(1+i%)i% Factor común: VA(1 + i%)

VF(2)= VA(1+i%)2

VF(3)= VA(1+i%)2_{+ P(1+i%)}2 _i% _{Factor Común: VA(1+ i%)}2

VF(3)= VA(1+i%)3

En términos generales: VF(n)= VA(1+i%)n

Donde,

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VA: Valor Actual

i%: tasa de interés por período n: número de períodos

Esta es la fórmula básica de interés compuesto y permite calcular en una forma rápida la suma que se acumularía a los 6 meses.

VF(6) = 1.000.000 (1 + 0,03)6

VF(6) = 1.194.052,30

Se puede observar claramente que si se utiliza el interés simple, la suma acumulada durante los seis meses es menor que la suma acumulada al utilizar el interés compuesto.

$1.180.000 < $1.194.000

Dado que según se concluyó en la introducción, el factor productivo más valioso para lograr la producción es el capital, entendiendo que el interés es el precio que se paga por usar tal recurso y que el interés compuesto hace que el capital se acrecenté más rápidamente; es decir, que valora de mejor manera al capital, en lo sucesivo se asume que el interés es compuesto. Esto además es ﬁel a las dinámicas de los merca-dos ﬁnancieros.

Si bien el proceso de toma de decisiones no arroja decisiones infalibles, siempre es bueno soportar éstas en criterios objetivos. Para el propósito de este texto tales criterios objetivos son los cálculos que sirven de so-porte a las decisiones de inversión /ﬁnanciación.

Supóngase que se está planeando la compra de un activo por valor de $3.000.000. Si se tiene el dinero se podría comprar de contado y em-pezar a disfrutarlo de inmediato. No obstante, supóngase que no se dispone del dinero, pero se conciben planes para adquirirlo. Una al-ternativa es solicitar ﬁnanciación al proveedor, otra es pedir prestado los tres millones a una entidad ﬁnanciera, una tercera alternativa sería simplemente comenzar a ahorrar para comprarlo en el futuro.

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De optar por comprarlo dentro de un año se podría preguntar: ¿Cuán-to cobrará el distribuidor por el bien dentro de un año si hoy cuesta $3.000.000? Supóngase que la tasa mínima de rentabilidad requerida del distribuidor es del 40% efectiva anual. El cálculo del valor futuro del bien sería así:

VA = $3.000.000,00 i% = 40% n = 1 año VF = ? VF = VA*(1+I%)n VF = 3.000.000 * (1 + 0,40)1 VF = $4.200,000

Luego se tendría que ahorrar $4.200.000,00 para poder comprar el computador al ﬁnal del año.

2.4.2 Cálculo de Valor Actual a partir de Valor Futuro

Supóngase que se acude a otro proveedor y éste garantiza un precio de $3.900.000.00 dentro de un año; luego se necesitaría saber cuánto habría que depositar hoy en una entidad ﬁnanciera que por ejemplo pagara un interés de 3.5% mensual compuesto (de nuevo, una tasa tan alta no sería ofrecida por una institución ﬁnanciera, se asume solo como ilustración).

VF = $3.900.000,00 i% = 3.5% mensual n = 12 meses

VA = ?

De la anterior fórmula se puede despejar VA : Así,

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Como se puede ver, se debe constituir una inversión por la suma de $2.580.954,86 durante 12 meses al 3.5% mensual para poder acumu-lar los $3.900.000 necesarios para la compra del bien.

Un siguiente caso hipotético sería aquel en el cual no se disponga de $2.580.954,86 para invertir. En cambio se determina que se podría ahorrar una cantidad igual mensualmente durante los siguientes doce meses, supóngase $250.000 mensuales. A partir de este monto se quiere conocer cuanto dinero se tendrá al cabo de los doce meses con la misma tasa de interés (3.5% mensual).

Un ﬂujo de dinero que cumple con estas características, mismo monto en perídos iguales y de manera continua, sin interrupciones, se le llama Anualidad, pago, cuota ﬁja o serie uniforme y se denota con (A).

2.4.3 Cálculo de Valor Futuro a partir de Anualidad

El diagrama de ﬂujo para el ejemplo expuesto sería así:

i % VF=?

$250,000

Y los datos son: A = $250,000

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n = 12 meses VF = ?

A partir de la fórmula de Valor Futuro de un Valor Actual se puede calcular el Valor Futuro para cada mes hasta el mes doce, así:

VF(1) = 250.000(1+0.035%)1_{= $258.750} VF(2) = (258.750+250.000)(1+0.035%)1_{= $526.556,25} VF(3) = (526.556,25+250.000)(1+0.035%)1_{= $803.735,72} VF(4) = (803.735,72+250.000)(1+0.035%)1_{= $1.090.616,47} VF(5) = (1.090.616,47+250.000)(1+0.035%)1_{= $1.387.538,05} VF(6) = (1.387.538,05+250.000)(1+0.035%)1_{= $1.694.851,88} VF(7) = (1.694.851,88+250.000)(1+0.035%)1_{= $2.012.921,69} VF(8) = (2.012.921,69+250.000)(1+0.035%)1_{= $2.342.123,95} VF(9) = (2.342.123,95+250.000)(1+0.035%)1_{= $2.682.848,29} VF(10) = (2.682.848,29+250.000)(1+0.035%)1_{= $3.035.497,98} VF(11) = (3.035.497,98+250.000)(1+0.035%)1_{= $3.400.490,41} VF(12) = 3.400.490,41+250.000 = $3.650.490,41

Con el ﬁn de agilizar los cálculos se desarrolló una fórmula que permite calcular el valor futuro de una anualidad.

Donde,       _{ }  VF: valor futuro A: anualidad

i%: tasa de interés

n: número de períodos

Con esta fórmula puede calcularse el valor futuro de la anualidad, así:

    

 _{ }

(30)

Así, se puede concluir que ahorrando $250,000 mensuales durante doce meses a una tasa de 3.5% mensual se puede obtener $3.650.490,41 al ﬁnal de los doce meses; suma inferior a los $3.900.000 que se necesitan para comprar el bien.

Aquí surge la siguiente inquietud ¿Qué suma mensual uniforme se debe invertir a un interés de 3.5% mensual durante 12 meses para lograr acumular $3.900.000 al ﬁnal de este plazo?

2.4.4 Cálculo de Anualidad a partir de Valor Futuro

i % VF=3'900.000

A = ?

Y los datos de cálculo son: VF = $3.900.000

n = 12 meses

i% = 3.5% mensual A = ?

De la anterior Fórmula se puede despejar la A, obteniendo:

   

   _{ }

Donde,

A: anualidad VF: valor futuro i%: tasa de interés

(31)

Con esta fórmula se puede calcular el valor de la anualidad fácilmente, así:

   

      

Es decir que se deben invertir $267.087,40 mensualmente a una tasa de interés de 3.5% mensual para lograr obtener los $3.900.000 necesarios para la compra del bien.

Surge entonces una nueva pregunta: ¿qué otra cosa se podría hacer si no se dispone del dinero actualmente?

En este caso se podría solicitar ﬁnanciación a una entidad ﬁnanciera o al distribuidor.

Supóngase que el computador hoy vale $3.000.000,00 y que una en-tidad ﬁnanciera presta dicha suma para que se le cancele en 12 cuotas mensuales iguales a una tasa de interés del 4% mensual (de nuevo, la tasa difícilmente se acerca a la realidad, pero se tomo solo con ﬁnes ilustrativos).

2.4.5 Cálculo de Anualidad a partir de Valor Actual

VA=3'000.000 i %

A = ?

Y los datos son: VA = $3.000.000 i% = 4% mensual n = 12 meses

(32)

A partir de combinar las siguientes fórmulas:    

 y     



se puede llegar a la expresión:

     



   _{ }

Donde,

A: anualidad VA: valor actual i%: tasa de interés

Así, se puede calcular fácilmente la anualidad:

    



      

Ahora, supóngase que el proveedor ofrece ﬁnanciar el bien a 12 meses pagándole una cuota uniforme mensual de $350.000 con un interés mensual del 3,5%, ¿cuál sería el valor actual del bien?

2.4.6 Cálculo de Valor Actual a partir de Anualidad

VA=? i %

$350,000

(33)

A = $350.000,00 I% = 3.5% mensual N = 12 meses

VA = ?

Para obtener el resultado puede despejarse VA de la formula anterior, así:

Donde,

VA: valor actual A: anualidad

i%: tasa de interés

Al despejar los valores en la fórmula se obtiene:

Así, el valor actual del bien bajo las condiciones expuestas sería de $3.382.167,02.

2.5 Conversión de Tasas de Interés

Al decidir donde invertir o financiarse se debe acudir al mercado finan-ciero; es decir, a una institución financiera o a un prestamista particular que ofrezca el dinero en préstamo. La realidad es que pueden existir tan-tas tan-tasas de interés como oferentes haya y éstos expresarlas en diversas formas, no siempre comparables entre sí en primera instancia

Las diferentes tasas de interés que ofrece el mercado ﬁnanciero exigen su conversión a una tasa equivalente, la cual permita tomar una correcta decisión en la elección de los instrumentos de inversión o de los medios de ﬁnanciación.

(34)

Para convertir tasas de interés se debe comprender primero el formato en que estas son expresadas, así:

# % Período de Comparación - Período de Capitalización - Forma de Capitalización

Donde,

#: es el valor numérico de la tasa de interés.

%: signo porcentual, indica que el valor numérico es un porcentaje. Período de Comparación: expresión que indica una equivalencia no-minal, resultado de multiplicar el valor numérico por el número de veces que el período de capitalización compone el período de compara-ción. El Período de Comparación siempre es mayor que el Período de Capitalización

Período de Capitalización: lapso en el cual se causan los intereses. Siempre es menor que el Período de Comparación.

Forma de Capitalización: si los intereses se causan al principio del pe-ríodo de capitalización se denominan anticipados, si se causan al ﬁnal del período de capitalización se llaman vencidos. Por defecto los inte-reses son vencidos.

Estos conceptos son más fácil entenderlos a través de ejemplos. Ejemplo 1: 24% Anual Trimestre Anticipado = 24% ATA

El valor numérico de esta tasa es 24%, el Período de Comparación es anual, el Período de Capitalización es trimestral, y la Forma de Capita-lización es anticipada.

Esta tasa indica una equivalencia del 24% en un año, donde los inte-reses se cobran cada trimestre por anticipado; es decir, al inicio de cada trimestre. En otras palabras es una tasa que se causa al principio de cada trimestre y que su equivalencia anual es de 24%.

Si la tasa anual equivale al 24%, y esta se compone de pagos trimes-trales; esto signiﬁca que el interés trimestral equivale a la cuarta parte

(35)

del interés anual, ya que hay 4 trimestres en un año; es decir, a 24% ÷ 4 = 6% trimestral anticipado, o 6% TA. A esto se le llama Eliminar el Período de Comparación, ya que la tasa 6% TA no posee un Período de Comparación.

Podemos entonces decir que una tasa del 24% ATA y una tasa del 6% TA son equivalentes.

Ahora, el formato (# % P. Comparación - P. Capitalización - Forma Ca-pitalización) es la forma más extensa como se pueden expresar tasas de interés. De hecho no todas las expresiones de tasas de interés tienen un Período de Comparación y al no expresar una forma de capitalización, esta se entiende como vencida.

Ejemplo 2: 1.5 % mensual

En esta tasa se observa que no hay Período de Comparación y no se indica la Forma de Capitalización, la cual se entiende como vencida por defecto.

Si se quisiera hallar un Período de Comparación anual, según lo expues-to en el ejemplo anterior, simplemente se multiplica la tasa mensual (1.5%) por el número de meses que hay en un año, así:

1.5% Mes * 12 = 18% Anual Mes Vencido, o 18% AMV

Así, se puede concluir que el 1.5% MV es equivalente al 18% AMV

2.5.1 Interés nominal – interés efectivo

Las tasas de interés pueden ser nominales o efectivas. Según el dicciona-rio de la Real Academia de la Lengua Española:

• Nominal: 2. adj. Que tiene nombre de algo y le falta la realidad de

ello en todo o en parte.

• Efectivo: 1. adj. Real y verdadero, en oposición a quimérico, dudoso

(36)

Según esta deﬁnición, interés nominal es una expresión de interés que no representa la realidad en su totalidad, mientras que el interés efectivo es la representación real y verdadera del interés.

Para efectos de convertir tasas de interés se hará uso de dos connotacio-nes de los términos nominal y efectivo:

(i) Al leer una tasa de interés de forma aislada; es decir, sin comparala con otra:

• Nominal: tasa de interés que contiene un período de

compara-ción y/o su forma de capitalización es anticipada.

• Efectiva: tasa de interés que no contiene un período de

compara-ción y su forma de capitalización es vencida. (ii) Al comparar dos tasas de interés:

• Nominal: tasa de interés de menor período • Efectiva: tasa de interés de mayor período

En el ejemplo 1 las expresiones: 24 % ATA y 6% TA son equivalentes. Y, según la connotación (i) la tasa 24 % ATA es nominal, pues tiene

Período de Comparación (Año). Por su parte la tasa 6% TA también es nominal, pues aunque no tiene Período de Comparación, es una tasa Anticipada (A).

Por otro lado, en el ejemplo 2 la tasa 1.5% MV es equivalente a 18% AMV, y en este caso según la misma connotación (i) la expresión 1.5%

MV es una tasa efectiva, pues no tiene Período de Comparación y su Forma de Capitalización es Vencida; mientras que 18% AMV es una tasa de interés nominal ya que pese a ser una tasa vencida, tiene Período de Comparación.

Ejemplo 3:

Según la Connotación (ii), si se compara una tasa mensual con una tasa trimestral; la mensual al ser de menor período es una tasa nominal con respecto de la trimestral. A su vez, la tasa trimestral al ser de mayor período es efectiva con respecto de la mensual.

(37)

Ejemplo 4:

Si se desea calcular una equivalencia anual de una tasa del 3% bimestral, se debe calcular la tasa de mayor período (anual) partiendo de una tasa conocida de un período menor (bimestral). Es decir, se debe calcular una tasa efectiva partiendo de una tasa nominal.

Ejemplo 5:

Si se quiere calcular una equivalencia mensual de una tasa del 20% Anual Trimestre Vencido, se debe calcular la tasa de menor período

(mes) partiendo de una tasa conocida de una período mayor (trimes-tre). Es decir, se debe calcular una tasa nominal partiendo de una tasa efectiva.

Para resolver los ejemplos 4 y 5 se debe hacer uso de las fórmulas de conversión de tasas de interés efectivo y nominal, así:

Donde,

i% ef = Interés Efectivo i% nom = Interés nominal

n = número de veces que el período menor cabe en el período mayor, o número de períodos nominales que equivalen a un período efectivo Cabe anotar que para hacer uso de estas fórmulas SOLO se pueden ingresar tasas sin Período de Comparación y Vencidas, e igualmente el resultado es una expresión sin Período de Comparación y Vencida. En caso de que la tasa que se desea convertir posea Período de Compara-ción, éste se puede eliminar mediante la división del valor numérico por el número de veces que el Período de Capitalización compone al Período de Comparación. Como en el ejemplo 1.

Solución ejemplo 4: para hallar la equivalencia anual de una tasa del 3% bimestral se debe usar la fórmula de interés efectivo, ya que se

(38)

co-noce la tasa bimestral y se desea hallar la tasa anual; es decir, se coco-noce la tasa de menor período (nominal) y se quiere calcular la de mayor período (efectivo), así:

donde n es el número de bimestres que hay en un año

Reemplazando los valores se tiene que:

Obsérvese que la tasa 3% se ingresa como 0.03, ya que 3% = 3/100 = 0.03.

El resultado se redondea a 4 dígitos decimales Nótese que 0.1941 = 19.41/100 = 19.41%

* Se ingresan tasas sin Período de Comparación y vencidas, y el resulta-do es igualmente una tasa sin Períoresulta-do de Comparación y Venciresulta-do.

Ahora, una expresión de interés Anual Vencido es lo que comúnmente se conoce como una tasa Efectiva Anual o E.A.

De este ejercicio se puede aﬁrmar que una tasa del 3% Bimestral equi-vale a una tasa del 19.41% E.A. y viceversa.

Obsérvese nuevamente que tanto la expresión que se ingresa en la fór-mula (3% Bimestral) como el resultado que ésta arroja (19.41% E.A.) son expresiones sin Período de Comparación y Vencidas

Solución ejemplo 5: hallar la equivalencia mensual de una tasa de 20% ATV. Inicialmente se debe eliminar el Período de Comparación antes

de hacer uso de las fórmulas de interés efectivo y nominal.

Donde 4 es el número de trimestres que componen 1 año.

(39)

A partir del resultado anterior, se desea convertir una tasa del 5% TV en su equivalencia mensual. Para esto se debe usar la fórmula para hallar el interés de un período menor; es decir la fórmula de interés nominal, así: donde n es el número de meses que hay en un trimestre

Recuérdese que 5% = 5/100 = 0.05 Se redondea a 4 dígitos decimales

Recuérdese que 0.0164 = 1.64/100 = 1.64%

De los cálculos anteriores se puede decir que un interés del 20% ATV, una tasa del 5% TV y el 1.64% Mensual son equivalentes. La primera expresión al poseer un Período de Comparación es una tasa nominal, mientras que la segunda y la tercera son tasas efectivas al ser vencidas y sin Período de comparación.

2.6 Interés Anticipado

De tomarse un crédito por valor de $1.000.000 a una tasa de interés de 36% anual anticipado (i%ant), ¿Cuál sería la tasa de interés vencido (i%ven) equivalente?

Al ser interés anual anticipado, habría que pagar el año por adelantado, así: Intereses = Deuda x Tasa de interés

Intereses = $1.000.000 x 0.36 Intereses = $360.000

Al pagarse por anticipado, interés anticipado (i%ant) = $360.000

En consecuencia el dinero neto que se recibe por el crédito es $640.000 ($1.000.000 - $360.000, o VA – i%ant), pese a que el valor adeudado es $1.000.000. En otras palabras, el Valor Actual del crédito es $640.000. Al ﬁnal del año se debe devolver el monto prestado; $1.000.000.

(40)

VA = $640.000,00 = VA * (1 - i%ant) VF = $1.000.000 = VA

n = 1 año i% = ?

Con la fórmula de rentabilidad puede calcularse el costo del crédito así:

Con base en esto se puede concluir que una tasa de 36% anual antici-pada es equivalente a una tasa del 56.25% anual efectiva.

Si se utiliza la fórmula de rentabilidad, que calcula el interés vencido, y se reemplaza VA y VF para este caso; donde VF = VA y VA = VA * (1 - i%ant), se tiene que:

Despejando se obtiene:

Cancelando VA en la primera parte y VA(1 – i%ant) en la segunda, se tiene:

(41)

Cancelando el 1 a cada lado de la ecuación, sacando factor común i%-ven y llevando i%ant al lado derecho de la expresión, se tiene que:

De donde se conluye que la fórmula para calcular el interés vencido es:

Expresión que puede despejarse para calcular el interés anticipado para llegar a la siguiente fórmula:

Si se aplica la fórmula de interés vencido al ejemplo expuesto, se tiene que:

Dado que la tasa 36% es anual anticipada y se convirtió a vencida, el resultado es una tasa igualmente anual pero vencida; es decir, efectiva anual. Así: 56.25% es una tasa efectiva anual.

Ejemplo 6: Calcular la equivalencia anticipada de una tasa de 2% men-sual vencido.

Ejemplo 7: Calcular la equivalencia vencida de una tasa de 5% bimes-tral anticipado.

Ahora, si se combinan los pasos anteriores se puede desarrollar un mé-todo para convertir tasas de interés.

2.7 Conversión de Tasas de Interés – Los 5 Pasos

Paso 1 - Eliminar Período de Comparación: si la tasa de interés tiene Período de Comparación se divide el valor numérico por (n), el número

(42)

de Períodos de Capitalización que conforman el Período de Compa-ración. Eliminando así el Período de Comparación (período mayor ÷ período menor).

Paso 2 - Calcular la tasa vencida : (sólo si la tasa es anticipada) hacien-do uso de la fórmula (2) abajo.

Paso 3 - Calcular i% efectivo o i% nominal: para hallar períodos ma-yores se usa la fórmula para caclular i% efectivo, para hallar períodos menores se usa la fórmula para caclular i% nominal según las fórmulas en (3) abajo (en estas fórmulas se debe ingresar solo tasas sin período de comparación y vencidas, el resultado igualmente será una tasa sin período de comparación y vencida).

Paso 4 - Calcular la tasa anticipada : (sólo si la tasa deseada es antici-pada) haciendo uso de la fórmula (4) de abajo.

Paso 5 - Crear Período de Comparación: si la tasa deseada contiene Período de Comparación se debe crear éste multiplicando por (n), el número de Períodos de Capitalización que conforman el período de-seado.

** Nota: independiente del cálculo a realizar, (n) siempre es igual a el pe-ríodo mayor divido el pepe-ríodo menor. **

La Gráﬁca 1 resume el método de los cinco pasos para convertir tasas de interés.

Método de los cinco pasos para convertir tasas de interés

(43)

Ejemplo 8

Ejemplo 8: Convertir la tasa 36 % AMA (Año Mes Anticipado) en su: Convertir la tasa 36 % AMA (Año Mes Anticipado) en su

equivalencia SBA

equivalencia SBA (Semestral Bimestre Anticipado):(Semestral Bimestre Anticipado):

Paso 1 - Eliminar Período de Comparación: dado que la expresión

36% ATA tiene un Período de Comparación, Año y el Período de

Capitaliz

Capitalización es Mensual, se divide el valor numérico por el número deación es Mensual, se divide el valor numérico por el número de

Períodos de Capitalización que conforman el Período de Comparación;

es decir por 12, así:

36% AMA ÷ 12 =

36% AMA ÷ 12 = 3% Mes Anticipado = 3% MA 3% Mes Anticipado = 3% MA

Paso 2 - Calcular la tasa vencida: ya que la tasa resultante, 3% MA, es

anticipada, se calcula su

anticipada, se calcula su equivalencia vencida:equivalencia vencida:

P

Paso 3 - aso 3 - Calcular i% efectivo ó i% nominal: como se desea calcular unaCalcular i% efectivo ó i% nominal: como se desea calcular una

tasa de capitalización bimestral partiendo de una capitalización

men-sual, se requiere calcular una tasa de mayor período; es decir una tasa

sual, se requiere calcular una tasa de mayor período; es decir una tasa

efectiva:

Paso 4 - Calcular la tasa anticipada: dado que la tasa deseada es

antici-pada se hace el cálculo, así:

pada se hace el cálculo, así:

Paso 5 - Crear Período de Comparación: al requerir una tasa con

Perío-do de Comparación Semestral se procede a crear éste multiplicanPerío-do por

do de Comparación Semestral se procede a crear éste multiplicando por

el número de Períodos de Capitalización (bimestres) que conforman el

período deseado (Semestre

período deseado (Semestre); es decir ); es decir 33

Obsérvese que según estos

(44)

3% MA = 3.0928% MV = 6.2813% BV = 5.910

3% MA = 3.0928% MV = 6.2813% BV = 5.9100% BA = 17.7302% SBA 0% BA = 17.7302% SBA Ejemplo 9

Ejemplo 9: Convertir la tasa 6 % TV (Trimestre Vencido) en su equi-: Convertir la tasa 6 % TV (Trimestre Vencido) en su

equi-valencia QA (Quincena Anticipada):

valencia QA (Quincena Anticipada):

Paso 1 - Eliminar Período de Comparación: dado que la expresión 6%

TV no tiene un Período de Comparación se procede con el paso 2; es

decir, el paso 1 no aplica.

P

Paso 2 - Calcular la tasa vencida: ya aso 2 - Calcular la tasa vencida: ya que la tasa 6% TV es una tasa ven-que la tasa 6% TV es una tasa

ven-cida se procede con el paso 3. El paso 2 tampoco aplica.

cida se procede con el paso 3. El paso 2 tampoco aplica.

Paso 3 - Calcular i% efectivo ó i% nominal: como se desea calcular

una tasa de capitalización Quincenal partiendo de una capitalización

Trimestral, se requiere calcular una tasa de menor período; es decir una

tasa nominal:

Recuérdese que n es igual a el número

Recuérdese que n es igual a el número de veces que el período menor esde veces que el período menor está entá en

el período mayor. 6 (número de quincenas de un trimestre).

Paso 4 - Calcular la tasa anticipada: dado que la tasa deseada es

antici-pada se hace el cálculo, así:

pada se hace el cálculo, así:

Paso 5 - Crear Período de Comparación: al no requerir una tasa con

Período de Comparación se omite este paso.

Se puede concluir entonces que: 6% TV = 0.9759% QV = 0.9665% QA

2.8 Interés Real o

Interés Deﬂactado

El alza de precios hace que se requiera más dinero para adquirir los

mis-mos productos o servicios. A un

mos productos o servicios. A un alza de precios generalizada y alza de precios generalizada y sostenidasostenida

se le llama

(45)

afecta un número considerable de bienes y

afecta un número considerable de bienes y servicios. Poservicios. Por alza de r alza de preciosprecios

sostenida se entiende que ésta permanece en el

sostenida se entiende que ésta permanece en el tiempo. Es decir; el pre-tiempo. Es decir; el

pre-cio sube y continúa estable a ese nuevo nivel, no baja.

cio sube y continúa estable a ese nuevo nivel, no baja.

Inﬂación = Alza de precios generalizada y sostenida

En Colombia, el Departamento Administrativo Nacional de

Estadísti-ca (DANE) es el enEstadísti-cargado de monitorear el nivel de los precios. Para

ca (DANE) es el encargado de monitorear el nivel de los precios. Para

esto se establece un conjunto de bienes y servicios que se consideran

necesarios para satisfacer las necesidades de las personas de una manera

digna. A este conjunto de

digna. A este conjunto de bienes y servicios se bienes y servicios se le conoce comole conoce como canastacanasta

familiar

familiar. En ésta se incluyen diversos productos y servicios básicos de. En ésta se incluyen diversos productos y servicios básicos de

alimentación, vestuario, transporte, salud, educación e incluso

recrea-ción; de los

ción; de los cuales se monitorea su comportamiento de precios, los quecuales se monitorea su comportamiento de precios, los que

son ponderados de acuerdo a su importancia en la

son ponderados de acuerdo a su importancia en la satisfacciósatisfacción de las n de las ne-

ne-cesidades básicas. Con tal información se construye el

cesidades básicas. Con tal información se construye el Índice de PreciosÍndice de Precios

al Consumidor (IPC). De hecho, la forma en la que el DANE calcula la

inﬂación es a partir de la variación de este índice; así:

Si bien el objetivo de una inversión es acrecentar el monto invertido, en

última instancia ese dinero se utilizará para comprar bienes y/o servicios

con los cuales el

con los cuales el inversionista pueda satisfacer sus necesidades. Es decir;inversionista pueda satisfacer sus necesidades. Es decir;

en última instancia el dinero invertido termina siendo usado

en última instancia el dinero invertido termina siendo usado en gasto.en gasto.

Para el inversionista conocer en términos de capacidad adquisitiva cual

es el desempeño de una inversión, debe sustraer de la rentabilidad

co-rriente el efecto de la inﬂación. A esta tasa se le conoce como

rriente el efecto de la inﬂación. A esta tasa se le conoce como InterésInterés

Real

Real, entendida como la rentabilidad que queda de una inversión una, entendida como la rentabilidad que queda de una inversión una

vez deducida la pérdida de poder adquisitivo producto de la inﬂación

ocurrida durante el tiempo de la

ocurrida durante el tiempo de la inversión.inversión.

Así,

Así, entre entre más más alta alta sea sea la la tasa tasa de de inﬂación, mayor inﬂación, mayor será será su su efecto efecto en en lala

disminución de la rentabilidad de las inversiones.

La expresión “Real” en el área económico-administrativa se entiende

como aquella de la cual se ha deducido el

(46)

ejem-plo el crecimiento Real del PIB es el crecimiento en pesos corrientes del PIB menos el efecto de la inﬂación.

En este caso, la rentabilidad real es la rentabilidad en pesos corrientes menos el efecto inﬂacionario.

Conceptualmente, para obtener el interés real (i% Real) se debe restar al porcentaje de rentabilidad corriente o interés corriente (i% corr.) la tasa de inﬂación (IF). No obstante la resta de tasas no se calcula de manera aritmética.

Para entender este concepto supóngase una inversión de $100 durante un año, a un interés corriente del 40% efectivo anual. El gráﬁco sería así:

Además supóngase que en -n=0- el precio de la canasta familiar (C.F.) es de $1.00/C.F., y en -n=1- este ha subido a $1.25/C.F.

Entonces, en -n=0- con los $100 se podrían comprar ($100÷$1.00/C.F.)= 100 canastas familiares, y en -n=1- se podrían comprar ($140÷$1.25/C.F.) = 112 canastas familiares, de lo que se concluye que el poder de compra aumentó en (112-100) = 12 unidades, o en (112-100)/100 = 0.12 = 12%. Esto debido al alza de precios (Inﬂación) ocurrida durante el año, igual a (1.25-1.00)/1.00 = 0.25 = 25%.

Nótese que en términos reales: Donde,

(47)

Sí se hace uso de la fórmula de rentabilidad,

usando los términos reales, se obtiene que:

despejando se tiene:

simpliﬁcando quedaría:

cancelando V.A. se obtiene:

Donde,

i%: Interés corriente o interés efectivo

IF: Inﬂación

También expresado así:

En caso de querer calcular i% corriente o Inﬂación, se pueden despejar de las fórmulas anteriores, así:

(48)

Nota: para usar cualquiera de estas fórmulas se deben usar tasas sin períodos de comparación, vencidas y expresadas en el mismo período de capitaliza-ción. El resultado estará expresado en ese mismo período de capitalizacapitaliza-ción. Igualmente, como el interés corriente es el porcentaje de variación entre el monto invertido (Valor Actual o VA) y el monto realizado de una inversión (Valor Futuro o VF), y la inflación es la variación porcentual del nivel general de los precios al consumidor, medido a partir de un Índice de Precios al Consumidor inicial (IPC_inicial) y un Índice de Pre-cios al Consumidor final (IPC_final); es decir, como ambas son variaciones porcentuales, éstas se podrían calcular a partir de la fórmula de la ren-tabilidad, reemplazando así:

Nota:

i% corriente: es la tasa de interés que modiﬁca los valores invertidos en pesos; es decir que ésta es la tasa de interés con la que se calcula el Valor Actual de la Inversión (V.A.) y el Valor Futuro de la inversión (V.F.).

Inflación: es la tasa de interés que modifica el Índice de Precios al Con-sumidor (IPC); es decir que ésta es la tasa de interés con la que se cal-cula el IPC_inicial y el IPC_final.

Visitar el siguiente v ínculo para ver un video en el que se deduce la fórmula de interés real o buscarlo en youtube como: interés real Andrés

Ál-varez. http://www.youtube.com/watch?v=t_ZTpERD7xQ Si se aplica esta fórmula al ejemplo en mecnión se tiene que:

(49)

En este caso, obsérvese que tanto el interés efectivo como la inﬂación son tasas anuales, con lo que el resultado es igualmente una tasa anual.

(50)

3.1 Deﬁnición

El mercado de divisas no es otra cosa que la interconexión existente entre los mercados monetarios de diferentes países.

En realidad no existe un lugar físico en el cual se intercambien las di-ferentes monedas del mundo. El mercado de intercambio de monedas es en realidad una red virtual que mantiene conectados a inversionistas, personas naturales o jurídicas, alrededor del mundo, donde las divisas son comercializadas.

La principal función del mercado de monedas es transferir fondos o poder de compra de un país a otro, y es el mercado base de todos los demás mercados ﬁnancieros internacionales.

El mercado de divisas funciona 24 horas al día de lunes a viernes y es uno de los más perfectos, por cuanto todas las demandas y ofertas son conocidas por todos los participantes.

Algunos términos básicos usados en este mercado son:

Divisa Depósito de moneda extranjera en una institución ﬁnanciera. Documentos que dan derecho a disponer de esos depósitos (cheques, tarjetas de crédito, etc.)

Tasa de cambio Es el precio local de una moneda extranjera..

Devaluación Disminución del valor de la moneda local frente a una moneda extranjera.

Revaluación Aumento del valor de la moneda local frente a una mo-neda extranjera.

3.2 Participantes

1. Las corporaciones que realizan comercio internacional; importado-ras, exportadoras e inversionistas.

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2. Bancos comerciales quienes actúan como intermediarios de las com-pañías multinacionales o simplemente compran y venden divisas para su propia posición que le permita liquidez para las transaccio-nes comerciales.

3. Bancos centrales, para mantener el valor de la moneda de acuerdo a las políticas económicas ﬁjadas.

4. Especuladores quienes buscan un lucro particular. Todos los partici-pantes pueden ser especuladores.

3.3 Rentabilidad en Moneda Extranjera

Para el cálculo de la rentabilidad de una inversión o del costo en un préstamo en moneda extranjera, simplemente se debe tener en cuenta el efecto de la devaluación o revaluación de la moneda local frente a la moneda con la que se negocia.

En virtud que el ánimo de la inversión es obtener un beneﬁcio mone-tario expresado en obtener de una inversión mayor dinero al invertido inicialmente y que como se deducirá más adelante, la devaluación de la moneda local con respecto a la moneda extranjera brinda rentabilidad al inversionista; en este texto se abordará prinicipalmente el término devaluación. En este sentido, se entenderá como revaluación el aumen-to de valor de la moneda local frente a una extranjera; pero se denotará como una devaluación negativa de la misma magnitud. Por ejemplo: si la revaluación del peso colombiano (COP) frente al dólar estadou-nidense (USD) es 5% efectivo anual, esto para efectos del cálculo de la rentabilidad de una inversión en USD se entenderá como una devalua-ción de -5% efectiva anual.

Mediante el siguiente ejemplo se puede ver claramente el cálculo de la rentabilidad en moneda extranjera.

Supóngase una inversión en un certiﬁcado de depósito a término por USD $100.000 (cien mil dólares americanos), por un período de un año, el cual paga un interés del 6% efectivo anual. De esta inversión se desea calcular la rentabilidad en pesos colombianos.

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VA = 100.000 i% = 6% anual n = 1 año VF = ? VF = 100.000 * (1 + 0,06)1 VF = 106.000

La inversión retornará USD 106.000 al ﬁnal del año.

Para el cálculo de dicha rentabilidad en pesos colombianos se debe cono-cer el valor del dólar al momento inicial de la inversión y al momento ﬁ-nal. Supóngase que al momento de realizar la inversión la tasa de cambio es de $1,850 pesos colombianos por un dólar (COP 1,850/USD 1) y la devaluación proyectada del peso con respecto del dólar es del 14% anual. Con la devaluación se puede calcular el valor futuro del dólar frente al peso colombiano, usando como valor actual la tasa de cambio al mo-mento de la inversión. En este caso se considera la devaluación como una tasa de interés efectiva, así:

VA = 1,850 COP/USD i% = 14% anual n = 1 año VF = ? VF = 1,850 * (1 + 0,14)1 VF = 2,109 COP/USD

Se tiene que al ﬁnal del año un dólar americano valdría COP $2,109. Con estos datos se puede calcular el equivalente del valor actual y del valor ﬁnal en pesos colombianos para así calcular la rentabilidad.

VA = USD 100.000,00 * 1,850 COP/USD = COP 185,000,000 VF = USD 106.000 * 2,109 COP/USD = COP 223,554,000 n = 1 año

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Dado que el período en el cual se logro la rentabilidad es de un año, la rentabilidad es efectiva anual.

Es decir que el rendimiento de dicha inversión en pesos colombianos es del 20.84% efectivo anual. En otras palabras, la rentabilidad en mo-neda (RME) extranjera para tal inversión es de 20.84% efectivo anual. Del anterior procedimiento para el cálculo de la rentabilidad en mone-da extranjera y mediante reemplazos con la fórmula de interés real se desarrolla la siguiente fórmula:

Donde,

RME: rentabilidad en moneda extranjera o divisa I%Div: intéres en divisa

DEV: devaluación de la moneda local con respecto a la extranjera Si se usa esta fórmula con los datos expuestos, se tiene que:

Nótese que tanto i%Div como DEV son tasas anuales, e igualmente el re-sultado es una tasa anual.

En general, para usar la f órmula RME, tanto i%Div como DEV de-ben expresarse como tasas efectivas del mismo período; es decir, como tasas sin período de comparación, vencidas y del mismo período. Es resultado es igualmente una tasa sin período de comparación, vencida y del mismo período. Ejemplo: si se toma i%Div mensual y DEV mensual, el resultado

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será una tasa RME mensual. Si, i%Div y DEV son tasas bimestrales, el resultado será una RME bimestral y así sucesivamente. En el caso que i%-Div y DEV estén expresadas de formas diferentes, habrá que hacer uso de la conversión de tasas de interés.

3.3.1 Tipo de transacciones

Arbitraje en monedas

Se reﬁere a la compra de una moneda en aquellos lugares donde su precio es bajo y se vende donde el precio es alto. En estas transacciones son muy utilizados los términos “BID” Y “ASK”. El beneﬁcio de estas operaciones es que son virtualmente libres de riesgo.

BID: (Oferta) Posición compradora. Precio que pagará el intermediario ﬁnanciero por determinada moneda.

ASK: (Pedir) Posición vendedora. Precio que habría que pagarle al in-termediario ﬁnanciero para comprarle determinada moneda.

EJEMPLO: La tasa de cambio entre el dólar americano y el euro se reﬁere al número de dólares necesarios para comprar un euro, o dólar / euro. Si la tasa es de 1.99 dólares en Londres y 2.01 en New York, el experto en arbitraje compraría euros en Londres y los vendería en New York, realizando una utilidad de 2 centavos de dólar en cada euro. Al ocurrir esto, el precio del euro en términos de dólares aumentará en Londres y disminuirá en New York hasta el momento en que se iguale, por ejemplo en 2 dólares/euro en ambas ciudades. En este momento la posibilidad de realizar utilidades desaparece y el arbitraje termina. Si al transcurrir el tiempo, la tasa de cambio aumenta de 2 USD/Euro a 2.10 USD/Euro, tanto en New York como en Londres, se podría decir que el dólar se ha depreciado con respecto al euro porque se necesitarían más dólares para comprar cada euro. Lo contrario ocurre cuando la tasa de cambio disminuye, el dólar se valoriza.

Hedging

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Ejemplo: Supóngase que una empresa colombiana debe 1.000 libras esterlinas a uno de sus proveedores británicos, los cuales debe pagar en tres meses. La tasa de cambio hoy o spot exchange rate es de 2 dóla-res por 1 libra, entonces la empdóla-resa colombiana debe un equivalente de 2.000 dólares. Si dentro de tres meses, la tasa de cambio aumenta a 2.10 dólares por libra esterlina, la empresa colombiana tendrá que pagar 2.100 dólares; es decir 100 más. Pero si la tasa futura para tres meses es de 2.01 USD/Libra, la empresa colombiana puede comprar un futuro de 1.000 libras esterlinas a 2.01 dólares cada una para recibirlos en tres meses y así evitar riesgo en el tipo de cambio. Después de tres meses, cuando deba pagar la deuda, la empresa colombiana recibe las 1.000 libras que necesita por 2.010 dólares, no importando el tipo de cambio vigente en ese momento.

Spot exchange rate : (Divisas al contado) Cuando se compra una moneda

extranjera al precio de hoy, se recibe la entrega de la moneda dos días la-borales después, en promedio. Esta tasa es determinada por la oferta y la demanda de acuerdo con el ﬂujo de comercio e inversiones, tendencias económicas, eventos políticos, sicología del mercado, actividades de los bancos centrales, especulación, etc.

Foward exchange rate : (Tasa de cambio futura) Es la tasa de cambio de

una moneda por otra fijada con uno, tres o seis meses de anticipación. Se acuerda hoy con un intermediario financiero una tasa de cambio que se hará efectiva en una fecha futura. El inversionista y el banco están obligados a comprar o vender la cantidad de moneda extranjera a la tasa de cambio acordada en la fecha fijada en el contrato. Las tasas de cambio futuras están determinadas básicamente por la diferencia en las tasas de interés que este pagando cada país.

El siguiente ejemplo muestra como se ﬁja la tasa de cambio futura. Su-póngase que una compañía ha comprado maquinaria en Suiza y debe pagar 1.000.000 de euros dentro de seis meses. Se exponen dos opciones: 1. Comprar los euros hoy e invertirlos en un certiﬁcado de depósito

(CDT) a seis meses.