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NOCIONES SOBRE CONJUNTOS

Dentro de la teoría se consideran como primitivos o términos no definidos los conjuntos y los elementos. Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. i Definición: Un conjunto es una colección de objetos.

En general, los conjuntos se simbolizan por letras mayúsculas tales como A , B , C,… 1 Ejemplo

En el conjunto formado por los días de la semana, cada día de la semana es un elemento de ese conjunto.

Relación de pertenencia

La relación que se establece entre un elemento y el conjunto al que pertenece, se puede entender como un concepto primitivo, y se llama relación de pertenencia y se designa por ∈

Es decir, si Adenota un conjunto y x es uno de sus elementos, se escribe:

x∈A

Como una forma abreviada para indicar que xes un elemento de A, o que x pertenece al conjunto A.

Si xes un elemento que no pertenece al conjunto A, se escribe:

x∉A

Conjuntos finitos e infinitos

Se llama conjunto finito a aquel cuyos elementos se pueden contar. Si un conjunto tiene un número finito de elementos se dice que es un conjunto finito2_{. Un conjunto}

infinito es aquel que no es finito.

Si un conjunto es finito, entonces el número de elementos distintos del conjunto se llama cardinalidad del conjunto y se denota card A o |A|.

1 _{La noción de conjunto no implica la existencia previa de una propiedad común a todos sus elementos,}

salvo la pertenencia misma al conjunto. Ejemplo el conjunto formado por la letra a, el número 4 y la palabra lunes.

2 _{Se dice que un conjunto es finito si existe una correspondencia biunívoca entre los elementos del}

Ejemplo:

La cardinalidad de los conjuntos {a, b, c}, {a, o, d}, {1, 2, 3}, { ,{ },{ , { }}} es 3

Definición:

Se dice que un conjunto es infinito contable (o inifito numerable o que la cardinalidad del conjunto es infinita contable), si existe una correspondencia uno a uno entre los elementos del conjunto y los elemento de .

Ejemplos:

El conjunto de los números naturales = {1, 2, 3,...} es un conjunto infinito contable. El conjunto de todos los enteros pares no negativos { 2, 4, 6, ...}es un conjunto infinito contable, pues existe una correspondencia uno a uno entre los enteros pares no negativos y los números naturales, a saber el entero 2n le corresponde el número natural n, para n=1,2,..., es decir:

De manera análoga, el conjunto de todos múltiplos de 7 no negativos {7, 14, 21, ... }es infinitos numerable, es decir:

Cabe señalar que un conjunto es infinito contable si, comenzando con un cierto elemento podemos listar sucesivamente, uno detrás de otro todos los elementos del conjunto, pues esa lista nos permite construir una correspondencia uno a uno entre los elementos del conjunto y los números naturales .

Ejercicio:

Escriba F o I dentro del paréntesis según el conjunto representado sea finito o infinito. 1. ( ) {x/x es un estudiantede Fisioterapia}

4. ( ) {x/x es un animal que habitaen la tierra} Conjunto unitario

Un conjunto A se dice que es unitario si tiene un solo elemento, es decir si su cardinalidad es 1.

Ejemplos

 Es un conjunto unitario el conjunto de números que son el producto de 3 y 5.

 El conjunto de presidentes de la Republica de Colombia. Ejercicio

Escriba x dentro del paréntesis si la expresión que corresponde representa un conjunto unitario.

1. (…){x/x es ladiferenciaentre9y6} 2. (…){x/x es un número par mayor que uno} 3. (…){6}

4. (…){x/x es unaletra delalfabeto español que está entre d y f} 5. (…){x/x es unaletra delalfabeto español que está entre m y n} 6. (…)es el conjunto de Presidentes de la República de Colombia Conjunto Vacío

El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se simboliza como ∅ o {}

Ejemplos:

Son conjuntos vacíos los siguientes:

 El conjunto de los números naturales que están entre 8 y 9.

 El conjunto de los números naturales que se pueden dividir por cero.

 El conjunto de los números naturales impares que resultan de sumar dos números impares.

Ejercicios

Coloque dentro del paréntesis en blan

Sean A₁, A₂,… , A_k y U conjuntos. Si A₁, A₂,… , A_k son subconjuntos de U, entonces el conjunto U se llama conjunto universal.

Ejemplos:

a) A es el conjunto de sentidos del cuerpo humano. A = visión, audición, olfato, tacto, gusto

b) B es el conjunto de figuras geométricas de cuatro lados. B = cuadrado, rectángulo, trapecio, rombo, paralelogramo

c) C es el conjunto de números enteros positivos menores que 5. C = 1, 2, 3, 4

d) D es el conjunto de números enteros mayores que 5. D = 6, 7, 8, 9,…

e) E es el conjunto de números enteros que sumados con el número 1 dan como resultado un entero mayor o igual a 2 y menor o igual a 5.

f) F=

{

}

g) Si V representa el conjunto de las letras vocales, complete correctamente, usando los símbolos ∈y ∉, las siguientes expresiones:

1. i____V

2. n____V 3. r____V4. u____V

h) Si K representa el conjunto de los números menores que 5, escriba Verdadero o Falso (V o F respectivamente) dentro de cada paréntesis según sea el caso.

1. ( ) 4ϵ K

2. ( )7ϵ K 3. ( )5

∉K

4. ( )1∉K 5. ( )2

∈K

6. ( )10∉K

Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de A es también elemento de B, entonces se dice que A está contenido en B, o que B contiene al conjunto A o que A

es subconjunto de B, y se simboliza como:

A⊆B o B⊇A

Si A⊆B y existe un elemento en B que no está en A, se dice que A es subconjunto propio de B.

Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos, se simboliza como A=B.

Determinación de un conjunto:

 Un conjunto se determina por extensión cuando se enuncian o enumeran todos sus elementos. Para representar simbólicamente un conjunto por extensión, se acostumbra a enumerar separar sus elementos por comas y encerrarlos entre llaves, así el conjunto A cuyos elementos son 2, 3, 5, se escribe:

A={2,3,5}

Ejemplo

El conjunto de los números impares menores que 11 y mayores que 1 se representa por extensión así:

 Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia una propiedad que permita seleccionar de un conjunto ya formado, aquellos que verifiquen dicha propiedad, o que caracteriza los elementos Por ejemplo, dentro del conjunto de los números podemos seleccionar el conjunto B de los números pares, en este caso se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe:

B={x/x es par}

que se lee: "B es el conjunto de los números x tales que x es par". Ejercicios

Represente por comprensión los siguientes conjuntos: 1. El conjunto de los países centro americanos.

2. El conjunto de materias del segundo semestre del programa de Fisioterapia.

3. El conjunto de números entre 2 y 11 REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LOS CONJUNTOS

En un diagrama de Venn (o de Euler) los elementos se representan mediante puntos situados en el interior de una curva cerrada

OPERACIONES CON CONJUNTOS

A ∩ B={x:x∈A y x∈B}

b) a) Si A y B son conjuntos, entonces su unión, denotada A∪B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B.

A∪B={x:x∈A o x∈B}

c) a) Si A y B son conjuntos, entonces su diferencia, denotada A−B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B.

A−B={x:x∈A y x∉B}

d) a) Si A y B son conjuntos, entonces su diferencia simétrica, denotada A△B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a la unión de A y B, pero no pertenecen a su intersección.

Ejemplos de problemas sobre Operaciones de conjuntos Problema 1: Conos de helado

Hay conos de dos sabores: chocolate y vainilla.  Usted y sus 24 amigos (25 personas en total), van a comprar conos.  Si 15 personas compran conos de vainilla y 20 conos de chocolate, ¿cuántas personas compraron conos de chocolate y vainilla?

Problema 2: Barras de chocolate

Un grupo de 50 personas va al supermercado a comprar barras de chocolate.  Cada persona compra como mínimo una barra.  El supermercado vende dos tipos de barras de chocolate: con relleno y sin relleno.  Si 45 personas compran de los dos tipos de barras, y 47 compran como mínimo una barra con relleno cada uno, ¿cuántas personas compraron únicamente barras de chocolate sin relleno?

Problema 3: Invasión de extraterrestres

Un grupo de 100 extraterrestres llega en la nave Estrella 2000 para invadir su planeta.  Estos extraterrestres se distinguen por dos características: sus ojos y sus colas.  Algunos de ellos tienen ojos, pero no tienen cola, otros tienen cola pero no tienen ojos, y otros tienen ojos y cola.  Si hay 75 extraterrestres que tienen ojos y 50 que tienen ojos y cola, ¿cuántos de ellos tienen ojos pero no tienen cola?  ¿Cuántos tienen solamente cola?

Problema 4: Paseo al zoológico

Un grupo de 30 estudiantes decide ir de paseo al zoológico. Hay dos exhibiciones principales abiertas para visitas: la pajarera y la cueva del león.  Ocho estudiantes visitan la pajarera, de los cuales seis visitan también la cueva del león.  ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la cueva del león?  ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la pajarera?

Problema 5: Fiesta de disfraz

de disfraz.  Si 30 niños fueron tanto al baile como al concurso de disfraz, y solamente 24 niños fueron únicamente al baile, ¿cuántos niños en total participaron en el concurso de disfraz?  ¿Cuántos fueron únicamente al concurso de disfraz?

Problema 6: Cine

Actualmente se están exhibiendo dos películas en un teatro de la ciudad: Ficción Increíble 3 y Las matemáticas en las estrellas.  Un total de 68 personas asistieron al teatro.  Si 35 personas vieron Las matemáticas en las estrellas, y 10 vieron tanto Ficción Increíble 3 como Las matemáticas en las estrellas, ¿cuántas personas vieron únicamente Ficción Increíble 3?  ¿Cuántos boletas se vendieron en total  en el teatro?

Problema 7: Bebidas

Se anotaron 75 órdenes de bebidas en un restaurante, donde se ofrecen dos tipos de bebidas: jugo de naranja y leche.  Si 59 personas tomaron jugo de naranja y 18 tomaron leche, ¿cuántas personas tomaron tanto leche como jugo de naranja?

Problema 8: Deportes

Hay 100 atletas y tres estaciones diferentes en que se presentan deportes: fútbol en el otoño, basketball en el invierno y baseball en la primavera.  Algunos de los atletas juegan solamente un deporte, otros dos y otros tres.  Cuarenta personas juegan fútbol.  Si 15 juegan los tres deportes, 5 juegan basketball y fútbol, pero no baseball, y 10 juegan solamente fútbol, ¿cuántas personas juegan tanto baseball como fútbol?

Problema 9: Mascotas

Hay 49 personas que tienen mascotas.  15 personas tienen únicamente perros, 10 tienen únicamente gatos, 5 personas tienen perro y gato y 3 tienen gato, perro y serpientes.  ¿Cuántas serpientes hay?

Problema 10: Juegos de computador

de lujo, y 19 tienen únicamente La invasión de los extraterrestres.  En total ¿cuántos juegos de computador hay en su vecindario?

Respuestas:

Respuesta 1: No menos de 10 personas y no más de 15 personas. Respuesta 2: 3 personas

Respuesta 3: 25 extraterrestres tienen ojos pero no tienen cola.  25 tienen solamente cola.

Respuesta 4: Entre 0 y 22 estudiantes visitan únicamente la cueva del león (dependiendo de cuántas personas no visitan ninguna).  2 estudiantes visitan únicamente la pajarera.

Respuesta 5: 46 niños participaron en el concurso.  16 fueron únicamente al concurso.

Respuesta 6: 33 personas han visto únicamente Ficción increíble 3.  En el teatro se vendieron un total de 78 boletas.

Respuesta 7: 2 personas.

Respuesta 8: 25 personas. Respuesta 9: 19 serpientes.