GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

GEOMETRÍA ANALÍTICA

EN EL PLANO

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1- VECTORES EN EL PLANO DEFINICIONES

Consideramos π un plano cualquiera. A los puntos de π Los representaremos por letras mayúsculas, A, B, P, Q etc.

Un vector fijo en π, es un segmento orientado. Queda determinado por dos puntos distintos. El vector AB⃗⃗⃗⃗⃗ es el vector de origen A y extremo B.

Elementos de un vector fijo:

i) Módulo: |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=longitud (AB̅̅̅̅)

ii) Dirección: Es la de la recta en la que se encuentra y la de todas sus paralelas.

iii) Sentido: Es el orden en que están dados A y B.

Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo la misma dirección y el mismo sentido.

Al conjunto de vectores fijos equipolentes entre sí se le llama vector libre.

A cada vector fijo de un vector libre se le llama representante del vector libre.

Elementos de un vector libre:

i) Módulo: |a⃗ |= |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD⃗⃗⃗⃗⃗ | = |EF⃗⃗⃗⃗ |=….

ii) Dirección: Es la de cualquiera de sus representantes

iii) Sentido: Es la de cualquiera de sus representantes.

Definimos el vector nulo como:

0⃗ ={AA⃗⃗⃗⃗⃗ }={BB⃗⃗⃗⃗⃗ }={CC⃗⃗⃗⃗ }……

|0⃗ |=0 y no tiene ni dirección ni sentido

Escribimos a⃗ ∥ b⃗ para indicar que a⃗ y b⃗ tienen la misma dirección, y a⃗ ↑ b⃗ para indicar que tienen el mismo sentido.

Observa que para que dos vectores tengan o no el mismo sentido, han de tener la misma dirección.

Dados dos vectores libres a⃗ y b⃗ 𝐚⃗ = 𝐛 ⟺ {

|a⃗ | = |b⃗ | a⃗ ∥ b⃗ a⃗ ↑ b⃗ Proposición

Sean AB⃗⃗⃗⃗⃗ y CD⃗⃗⃗⃗⃗ dos vectores fijos que no están en la misma recta, entonces: AB⃗⃗⃗⃗⃗ y CD⃗⃗⃗⃗⃗ son equipolentes ⟺ ABDC son los vértices consecutivos de un paralelogramo.

2 OPERACIONES

SUMA DE VECTORES.

Ley del paralelogramo Suma de vectores consecutivos

a⃗ + b⃗ = {AB⃗⃗⃗⃗⃗ } + {AC⃗⃗⃗⃗⃗ } = {AD⃗⃗⃗⃗⃗ } a⃗ + b⃗ = {OP⃗⃗⃗⃗⃗ } + {PQ⃗⃗⃗⃗⃗ } = {OQ⃗⃗⃗⃗⃗ }

Vector opuesto Diferencia de vectores

Si a⃗ = {OP⃗⃗⃗⃗⃗ } −a⃗ = {PO⃗⃗⃗⃗⃗ } (a⃗ y − a⃗ se diferencian en el sentido)

a⃗ − b⃗ = {AB⃗⃗⃗⃗⃗ } − {AC⃗⃗⃗⃗⃗ } = {CB⃗⃗⃗⃗⃗ }

Propiedades

S-1. Conmutativa: 𝐚⃗ + 𝐛 = 𝐛 + 𝐚⃗ S-2. Asociativa:(𝐚⃗ + 𝐛 ) + 𝐜 = 𝐚⃗ + (𝐛 + 𝐜 )=

𝐚⃗ + 𝐛 + 𝐜

a⃗ + b⃗ ={AB⃗⃗⃗⃗⃗ } + {BD⃗⃗⃗⃗⃗ } = {AD⃗⃗⃗⃗⃗ } = {AC⃗⃗⃗⃗⃗ } + {CD⃗⃗⃗⃗⃗ } = b⃗ + a⃗

(a⃗ + b⃗ ) + c ={AD⃗⃗⃗⃗⃗ } + {DE⃗⃗⃗⃗⃗ }={AD⃗⃗⃗⃗⃗ }=

{AB⃗⃗⃗⃗⃗ } + {BE⃗⃗⃗⃗⃗ }=a⃗ + (b⃗ + c ) S-3 Existencia del elemento neutro S-4 Existencia del elemento opuesto

a⃗ +0⃗ ={AB⃗⃗⃗⃗⃗ } + {BB⃗⃗⃗⃗⃗ }={AB⃗⃗⃗⃗⃗ }=a⃗ a⃗ +(−a⃗ )=0⃗

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PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR.

Sea a⃗ un vector y λ un número real distinto de cero, definimos el vector producto del número real λ por a⃗ , por su módulo, dirección y sentido:

λ a⃗ →{

|λ a⃗ | = |λ||a⃗ | λ a⃗ ∥ a⃗

λ a⃗ ↑ { a⃗ si λ > 0

≠ a⃗ si λ < 0 Si λ=0 0·a⃗ =0⃗

Propiedades:

Dados dos vectores a⃗ y b⃗ y dos números reales:

P-1 Asociativa: λ(𝛍𝐚⃗ )=(𝛌𝛍)𝐚⃗ =λμ𝐚⃗ P-2 Elemento neutro: 1· 𝐚⃗ = 𝐚⃗

P-3 Distributiva(1): (λ+μ) 𝐚⃗ = λ 𝐚⃗ +μ 𝐚⃗ P-3 Distributiva(2): λ(𝐚⃗ + 𝐛 )= λ 𝐚⃗ + λ 𝐛

Si llamamos 𝕍_𝟐 al conjunto de los vectores libres del plano más el vector 0⃗ , se tiene que 𝕍₂ con la suma de vectores cumpliendo S-1, 2, 3,4 y el producto por números reales cumpliendo P-1, 2, 3,4 tiene estructura de espacio vectorial

4 PROPIEDADES

I-vectores con la misma dirección.

Si a⃗ y b⃗ son distintos de cero, entonces:

a⃗ ∥ b⃗ ⟺Son proporcionales⟺ existe un número real λ tal que a⃗ =λb⃗

Demostración.

“⟹”

Supongamos que a⃗ ∥ b⃗ y que a⃗ ↑ b⃗ , probamos que b⃗ = ^{|b⃗⃗ |}

|a⃗ | a⃗ :

Evidentemente b⃗ ∥ ^{|b⃗⃗ |}

|a⃗ | a⃗ y b⃗ ↑ ^{|b⃗⃗ |}

|a⃗ | a⃗ , por otra parte |^|b

⃗⃗ |

|a⃗⃗ | a⃗ | = ^{|b⃗⃗ |}

|a⃗ |

|

|

Si a⃗ ∥ b⃗ y que a⃗ ≠↑ b⃗ , tenemos que b⃗ = − ^{|b⃗⃗ |}

|a⃗ | a⃗ :

b⃗ ∥ ^{|b⃗⃗ |}

|a⃗ | a⃗ y b⃗ ↑ − ^{|b⃗⃗ |}

|a⃗ | a⃗ , por otra parte |−^|b

⃗⃗ |

|a⃗⃗ | a⃗ | = ^{|b⃗⃗ |}

|a⃗ |

|

|

“⟸”

Es evidente por definición.

II- Vectores unitarios

Un vector 𝐮⃗⃗ es unitario si |u⃗ |=1.

Todo vector a⃗ tiene dos vectores unitarios con la misma dirección de a⃗ .

Estos vectores son u⃗ = ±_|a¹

⃗ | a⃗

III- Bases.

Si a⃗ y b⃗ son vectores de distinta dirección, se dice que el par {a⃗ , b⃗ } forma una base de 𝕍₂. Si x⃗ es un vector cualquiera, entonces existen números reales x, y tales que: 𝐱⃗ =x𝐚⃗ +y𝐛 .

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Se dice entonces que x⃗ es combinación lineal de a⃗ y de b⃗ y que (x, y) son las coordenadas de x⃗ en la base {a⃗ , b⃗ } . También escribimos x⃗ = (x, y).

La construcción es como sigue.

1- Elegimos representantes de a⃗ , b⃗ , x⃗ con el mismo origen O.

2- Por el extremo de x⃗ trazamos rectas paralelas a las rectas que contienen a a⃗ y a b⃗ .

3- Estas rectas se cortan en e Y.

4- Por la regla del paralelogramo x⃗ ={OX⃗⃗⃗⃗⃗ }+{OY⃗⃗⃗⃗⃗ }

5- {a⃗ ∥ OX⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ existe un número real x talque {OX⃗⃗⃗⃗⃗ } = xa⃗

b⃗ ∥ OY⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ existe un número real y talque {OY⃗⃗⃗⃗⃗ } = yb⃗

6- De los apartados anteriores se tiene que x⃗ = xa⃗ + yb⃗ Observa que esta construcción nos asegura que dos vectores son iguales si y solo si tienen las mismas coordenadas.

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos es combinación lineal de los otros. En caso contrario diremos que son linealmente dependientes.

Observa que en 𝕍_𝟐 tres vectores o mas son linealmente dependientes.

Sean 𝒾 ={OI⃗⃗⃗⃗ } y 𝒿 ={OJ⃗⃗⃗⃗ } tales que

{

|𝒾 | = | 𝒿 | = 1 OI⃗⃗⃗⃗ ⊥ OJ⃗⃗⃗⃗

El sentido del arco que va deOI⃗⃗⃗⃗ a OJ⃗⃗⃗⃗

es contrario a las agujas del reloj.

.

La base ℬ_c= { 𝒾 , 𝒿 } se llama base cartesiana o base ortonormal .

Si no se dice otra cosa nos referiremos a una de estas bases.

IV- Operaciones y coordenadas.

Sea ℬ={a⃗ , b⃗ } una base cualquiera, x⃗ = x₁ a⃗ + x₂b⃗ y⃗ = y₁ a⃗ + y₂b⃗ dos vectores y λ un número real, entonces:

x⃗ + y⃗ =(x₁ a⃗ + x₂b⃗ ) + (y₁ a⃗ + y₂b⃗ )=(x₁ a⃗ + y₁ a⃗ )+(x₂b⃗ + y₂b⃗ )=

(x₁ + y₁ ) a⃗ + (x₂+ y₂)b⃗

Dos vectores son iguales ⟺ Tienen les mismas coordenadas

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λx⃗ = λ(x₁ a⃗ + x₂b⃗ ) =λ(x₁ a)⃗⃗⃗ + λ(x₂b⃗ )=(λx₁ )a⃗ +(λx₂)b⃗ Es decir:

(x₁, x₂) + (y₁, y₂) =(x₁+ y₁ , x₂ + y₂) λ(x₁, x₂) =( λx₁, λx₂)

V-Coordenadas de vectores con la misma dirección.

x⃗ ∥y⃗ ⟺ λ existe un número real λ tal que y⃗ =λx⃗ ⟺ (y₁, y₂)= λ(x₁, x₂) =( λx₁, λx₂)

⟺{y₁ = λx₁ y₂ = λx₂ ⟺^x1

x₂ = ^y1

y₂

⟺

y₁ = ^x2

y₂

⟺

x₁ = ^y2 y₁

2-PUNTOS Y COORDENADAS.

Para localizar un punto en un plano, necesitamos fijar un punto en él y dos direcciones distintas, es decir un punto y dos vectores linealmente independientes.

Sea ℬ = { a⃗ , b⃗ } una base y O un punto cualquiera, la terna ℛ={O; a⃗ , b⃗ } se llama referencia afín, al punto O origen de coordenadas, y a ℬ = { a⃗ , b⃗ } base asociada.

Dado un punto X cualquiera del plano, llamamos coordenadas de X a las coordenadas del vector x⃗ ={OX⃗⃗⃗⃗⃗ } (ver construcción en III).

El vectorOX⃗⃗⃗⃗⃗ se llama vector de posición del punto X.

En el caso de puntos las coordenadas las escribimos así: X(x,y).

La referencia ℛ_c={O, 𝒾 , 𝒿 } se llama referencia ortonormal o cartesiana, que no es más que nuestros ejes cartesianos.

Suponemos fijada una referencia cualquiera ℛ . I- Coordenadas de un vector conociendo sus extremos.

Sea A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂) , entonces, {AB⃗⃗⃗⃗⃗ }={OB⃗⃗⃗⃗⃗ } − {OA⃗⃗⃗⃗⃗ }= (b₁, b₂) −(a₁, a₂)=

( b₁ − a₁, b₂ − a₂).(Es decir: “extremo”−“origen”)

Sea A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂) , entonces, {AB⃗⃗⃗⃗⃗ }={OB⃗⃗⃗⃗⃗ } − {OA⃗⃗⃗⃗⃗ }= (b₁, b₂) −(a₁, a₂)=

( b₁ − a₁, b₂ − a₂) (Es decir: “extremo”−“origen”)

7 II- Puntos alineados:

Tres puntos A(a₁, a₂) B(b₁, b₂) C(c₁, c₂) están alineados ⟺ AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⟺ ( b₁ − a₁, b₂ − a₂) =λ ( c₁− a₁, c₂− a₂) ⟺{b₁− a₁ = λ ( c₁− a₁)

c₁− a₁ = λ(c₂− a₂)⟺ b₁−a₁

c₁−a₁ = ^b2−a2 c₂−a₂

Tres puntos A(a₁, a₂) B(b₁, b₂) C(c₁, c₂) están alineados ⟺ AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⟺

( b₁ − a₁, b₂ − a₂) =λ ( c₁− a₁, c₂− a₂)

⟺{b₁− a₁ = λ ( c₁− a₁) c₁− a₁ = λ(c₂− a₂)⟺ b₁−a₁

c₁−a₁ = ^c1−a1 c₂−a₂

III- Punto medio de un segmento.

Sea M (m₁, m₂)el punto medio del segmento AB̅̅̅̅ , entonces se tiene que:

AB⃗⃗⃗⃗⃗ = 2AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟺ ( b₁− a₁, b₂− a₂)=2( m₁− a₁, m₂− a₂)⟺{b₁− a₁ = 2(m₁− a₁)

b₂− a₂ = 2(m₂− a₂) ⟺ {m₁ = ^b1+a1

2

m₂ = ^b2+a2

2

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EJERCICIOS

1.1-Dados los vectores de la figura, usa papel cuadriculado para calcular gráficamente

a⃗ + b⃗ , a⃗ − b⃗ , −2a⃗ ,⁴

3b⃗ , 2a⃗ − b,⃗⃗

a⃗ + b⃗ + c , −a⃗ + 2b⃗ −¹

2c .

1.2- Usa papel cuadriculado y representa los vectores u,⃗⃗ v⃗ , w⃗⃗⃗

x⃗ de coordenadas u⃗ = (0, 2), v⃗ = (0, −3), w

⃗⃗⃗ = (2,3), x⃗ =(−1,2) en la base {a⃗ , b⃗ }

1.3- Sean f ₁ , f ₂ y f tres fuerzas tales que |f ₁| = |f ₂|=2N,

∢(f ₁ , f ₂ )=90° y f como en la figura.

Suponiendo que el sistema está en equilibrio:

a) Calcula |f |

b) Expresa f como combinación lineal de {f ₁, f ₂}

1.4-Un perro que busca un hueso camina 3,5 metros hacia el sur, después 8,2 metros en un

ángulo de 300 al Nor-Este y finalmente 15 metros al Oeste. Encuentra el vector de desplazamiento resultante del perro.

9 1.5- En el hexágono regular de la figura,

consideramos el sistema de referencia ℛ= {A; {AB⃗⃗⃗⃗⃗ }, {AG⃗⃗⃗⃗⃗ }}.

a) Calcular las coordenadas de los vértices en esta referencia.

b) Calcula las coordenadas de{BE⃗⃗⃗⃗⃗ } en la base asociada.

En los ejercicios que siguen las coordenadas están referidas a una referencia cualquiera del plano.

1.6-Dados los puntos A (3,-2), B (1,3), C (-6,0).

a) Halla el punto D de modo que ABCD sea un paralelogramo:

b) Calcula las coordenadas del punto donde se cortan las diagonales.

El punto donde se cortan las diagonales es el punto medio de cualquiera de ellas c) Prueba que si M, N, P, Q son los puntos medios de los lados AB, BC, CD, DA

respectivamente también forman un paralelogramo.

1.7-Hallar el simétrico del punto A(3, −2) respecto de M(−2, 5).

1.8- Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.

1.9-Si M1 (2, 1), M2 (3, 3) y M3 (6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo,

¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

1.10- Dados los vectores a⃗ =(-3/4, 2), b⃗ =(-2, 2), c =(4, -1):

a) calcula las coordenadas de a⃗ −¹

2b⃗ y de −2c + b⃗ . b) Expresa el vector c como combinación lineal de a⃗ y b⃗ .

Las coordenadas del baricentro de un triángulo son la suma de las coordenadas de los vértices dividas entre tres

10 1.11- Cambio de sistema de referencia.

a) Observa la figura. Si las coordenadas de P en el sistema de referencia {O; i , j } son (2,3) ¿Cuáles serán sus coordenadas en el sistema de referencia {O; i , j }

b) Sea ahora las referencias {O; i , j } y

{O; a⃗ , b⃗ } de la figura. Calcula las coordenadas de a⃗ y de b⃗ en {i , j } y aplica el resultado para calcular las coordenadas de P(2,3) en el sistema de referencia {O; a⃗ , b⃗ }.

2-RECTAS EN EL PLANO

En este capítulo se supone fijada una referencia cualquiera en el plano, ℛ={O; a⃗ , b⃗ }.

Una recta r en el plano queda totalmente determinada por un punto A y una dirección. La dirección puede ser determinada por un vector distinto de cero, d⃗

La recta entonces contiene al punto A y es paralela o contiene al vector d⃗ .

Todo vector contenido en o paralelo a r se llama vector de dirección y escribimos r={A, d⃗ } para designar a la recta que pasa por A y tiene la dirección d⃗

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Una recta en el plano puede estar determinada por distintos puntos (Cualquier punto de la recta) y distintos vectores (todos de la misma dirección). En la figura de más arriba tenemos la recta r queda determinada por cualquier punto de los dibujados y por cualquier vector de los dibujados.

En la resolución de un problema, podemos cambiar un vector de dirección por otro que nos resulte más cómodo, por ejemplo:

• La dirección (10,15) la puedo sustituir por (2,3). (¿?)

• La dirección (−²

3,⁵

2) la puedo sustituir por(4, −15). (¿?) ECUACIONES

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Sea r la recta que pasa por A y tiene la dirección d⃗ . Sea X un punto cualquiera de la recta, se tienen entonces las siguientes equivalencias:

X∈r ⟺ x⃗ =a⃗ + {AX⃗⃗⃗⃗⃗ }^{AX⃗⃗⃗⃗⃗ ∥d}⇔ Existe un número real λ tal que x⃗ =a⃗ + λd^⃗⃗ ⃗ (¿?) (1) Sean ahora A(a₁, a₂) d⃗ =(d₁, d₂) y X(x, y)

Como a⃗ = (a₁, a₂) y x⃗ =(x, y)(¿?) sustituyendo en (1) obtenemos:

X∈r ⟺ (𝐱, 𝐲) = (𝐚_𝟏, 𝐚_𝟐) + 𝛌(𝐝_𝟏𝐝_𝟐) ECUACIÓN VECTORIAL

Si operamos coordenada a coordenada, tenemos:

(x, y)=(a₁, a₂)+λ(d₁, d₂) ⟺ (x, y)=(a₁, a₂)+(λd₁, λd₂) ⟺(x, y)=(a₁+ λd₁, a₂ + λd₂)

⟺{x = a₁+ λd₁

y = a₂ + λd₂ Luego:

X∈r⟺ {𝐱 = 𝐚_𝟏+ 𝛌𝐝_𝟏 𝐲 = 𝐚_𝟐+ 𝛌𝐝_𝟐

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Despejando λ (siempre que sea posible) e igualando, obtenemos:

{x = a₁+ λd₁

y = a₂+ λd₂ ⟺{x − a₁ = λd₁ y − a₂ = λd₂⟺ {

x−a1 d₁ = λ

y−a2

d2 = λ ⟺^x−a1

d₁ =^y−a2

d₂ Por lo tanto:

X∈r⟺ ^{𝐱−𝐚𝟏}

𝐝_𝟏

=

𝐝_𝟐 ECUACION CONTINUA

Quitando denominadores y pasándolo todo al primer miembro obtenemos:

x−a₁

d₁ =^y−a2

d₂ ⟺ d₂(x − a₁)=d₁(y − a₂)⟺d₂x − d₁y + d₁a₂− d₂a₁=0

Que podemos escribir Ax+By+C=0, siendo {

A = d₂ B = −d₁ C = d₁a₂− d₂a₁

X∈r⟺ Ax+By+C=0 ECUACION GENERAL (o IMPLÍCITA)

Observa que si conocemos la ecuación general de una recta r≡Ax+By+C=0, un vector de dirección de r es d⃗ =(B, −A). (¿?)

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POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO

Dos rectas en el plano pueden mantener tres posiciones relativas:

COINCIDENTES: r≡r´ PARALELAS: r∥r´ SECANTES: r∩r´={P}

Proposición.

Sean dos rectas r≡Ax+By+C=0 y r´≡A´x+Bý+C´=0. Se tiene que:

i) ^A

A´≠ ^B

B´ ⟺ r∩r´= {P}

ii) ^A

A´= ^B

B´≠ ^C

C´ ⟺ r∥r´

iii) ^A

A´= ^B

B´= ^C

C´ ⟺ r≡r´

Demostración:

Basta con demostrar dos apartados, demostramos i) y ii) i) ^A

A´≠ ^B

B´⟺ d⃗ ∦d´⃗⃗⃗ ⟺ r∩r´= {P}

iii) ^A

A´= ^B

B´= ^C

C´ ⟺ A=λA´ , B=λB´ y C=λC´ ⟺ el sistema {Ax + By + C = 0

A´x + Bý + C´ = 0es equivalente a {λA´x + λB´y + λC´ = 0

A´x + Bý + C´ = 0 y este a {A´x + Bý + C´ = 0

A´x + Bý + C´ = 0 que tiene infinitas soluciones ⟺ r≡r´.

EJERCICIOS 2.1- Determina las ecuaciones de las rectas:

a) {A(1, −2); d⃗ = (3, −1)}

b) {A(0,5); d⃗ = (−2,1)}

c) Ejes de coordenadas.

d) Bisectriz del 1º y 3º cuadrante.

e) Bisectriz del2º y 4º cuadrante.

14 f) Recta paralela al eje {O, a⃗ } = OX (eje de abscisas)

g) Recta paralela al eje {O, b⃗ } = OY (eje de ordenadas)

Observa que r={A, B}={A; d⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ } Teniendo en cuenta esto resuelve el siguiente ejercicio

2.2- Determina las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos entre llaves:

a) {A(3,4), B(2, −3)}

c) {A(1, −1), B(5,7)}

b) {O, B(5, −1)}

d) {A(3,0), B(0, −3)}

e) {A(3, −2), M} M el punto medio del segmento de extremos P(3,2) Q(-5,7) 2.3- Calcula tres puntos y tres vectores de dirección de las siguientes rectas:

a) {x = 2 − 3λ y = 2λ b) ^x+3

2 = ^y−2

−6

c) 2x−5y+2=0

d) {x = −3λ y = 2 e) ^2x+3

2 =y+3 f)3x=5

2.4- Determina si los puntos A, B, C pertenecen a la recta r.

a) A(3,2), B(−1,1), C(¹

2,⁷

2) r≡ {x = 1 − 2λ

y = 3 + λ b) A(7, −2), B(4,2) C(1,0) r≡2x−5y+2=0

Calculo directo de la ecuación general de una recta.

Recuerda que si r≡Ax+By+C=0 se tiene que un vector de dirección es d⃗ = (−B, A) .

Ejemplo: Ecuación de la recta que pasa por el punto A(5, −1) y tiene la dirección d⃗ = (3,2) La ecuación general de la recta será de la forma: −2x+3y+C=0.

Si pasa por A sus coordenadas deben satisfacer la ecuación general, por lo tanto:

−2(5)+3(−1)+C=0 ⟺ −13+C=0 ⟺ C=13 y la ecuación general será

−2x+3y+C=0 Teniendo esto en cuenta resuelve el siguiente ejercicio.

2.5- Ecuación general de las rectas:

a) {A(6, −3); d⃗ = (4,5)}

b) {A(3,4, ); d⃗ = (0 − 7)}

15 c) {A(0,5); d⃗ = (4, 0)}

d) {A(3, −1), B(2,5)}

Ecuación de una recta paralela a otra: Bastará con determinar un vector de dirección teniendo en cuenta que si r∥s han de tener los mismos vectores de dirección:

a) Ecuación de la recta s que pasa por el punto A(3, −2) y es paralela a la recta r≡{x = 2 − 3λ

y = 1 + λ

En este caso d⃗ _s = d⃗ _r = (−3,1) Luego r={A(3, −2); d⃗ _r = (−3,1)}……

b) Ecuación de la recta que pasa por P(0,3) y es paralele a r≡4x−3y=0 En este caso d⃗ _s = d⃗ _r= (3,4).

Entonces r={P(0,3); d⃗ _r = (3,4)}………

Teniendo esto en cuenta resuelve el siguiente ejercicio.

2.6- Ecuación de la recta s que:

a) Es paralela a r≡5x−2y+3=0 y pasa por el punto P(2, −6).

b) Es paralela a la recta que pasa por los puntos A(5, −3) y B(2,9) y pasa por el unto C(2, −3)

c) Es paralela a la recta r≡{ x = λ

y = −λ y pasa por el punto de corte de las rectas de ecuaciones x−3y−5=0 y 3x+7y+1=0

2.7- Calcula las coordenadas del punto de corte de las rectas r≡{x = 2 − 3λ

y = 1 + λ y s≡4x−3y=0.

(Resuelve el ejercicio sin pasar r a forma general.

2.8-Determinar los vértices del paralelogramo ABCD, sabiendo que la ecuación del lado AB es x−2y=0, la ecuación del lado AD es 3x+y=0 y las coordenadas del punto C son (3,5).

2.9- Determinar el valor de m para que las rectas mx+y=12 y 4x−3y=m+1 sean paralelas.

2.10- Dado el triángulo de vértices A(8,5), B(−2,7) y C(0, −3). Sean M, N, P los puntos medios de los lados AB, BC y CA respectivamente

a) Calcula las ecuaciones de las medianas y comprueba que se cortan en un punto G (el baricentro).

b) Comprueba que ^AG

GN= ^BG

GP= ^CG

GM= 2

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2.11- Del paralelogramo de vértices consecutivos ABCD sabemos que las ecuaciones de dos de sus lados son r_AB ≡ 4x − 7y − 6 = 0 y r_AD ≡ {x = −4 + 2λ

y = −1 − λ y que C(1,4). Calcular las coordenadas de los otros vértices.

2.12- Estudiar la posición relativa de las rectas r≡(m − 1)x − 3y + 1 = 0 y s≡(m + 3)x − (2m + 3)y + m = 0 .

En los siguientes ejercicios, utiliza los vectores de dirección y ten en cuenta que:

r y s tienen la misma dirección (son paralelas o coincidentes)⟺ d⃗ _r ∥ d´⃗⃗⃗ _s⟺ ^d1

d´₁ = ^d2

d´₂

2.13- Estudia la posición relativa de las rectas:

a) r≡{x = 3 − t

y = −5 + 2t y s≡ ^x−1

2 =^y+3

−1 b) r≡{x = 2 − t

y = 3 + 2t y s≡ ^x−1

2 =^y+3

−4

c) r≡(x, y) = (3, −1) + λ(−3,1) s={P(3, −1), d⃗ = (6, −2)}

3- DISTANCIAS, ÁNGULOS Y ÁREAS.

En todo este apartado fijaremos una referencia cartesiana {𝐎; 𝐢 , 𝐣 }.

3.1MÓDULO DE UN VECTOR.

Sea x⃗ =x₁i + x₂j

El triángulo OAB es rectángulo, entonces:

OB² = OA² + AB² O en forma vectorial:

|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |² = |OA⃗⃗⃗⃗⃗ |²+ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |²

|x⃗ |² = |x₁i |²+ |x₂j |²

|x⃗ |² = |x₁|²|i |²+ |x₂|²|j |²=x₁²+ x₂² Luego:

|𝐱⃗ | = √𝐱_𝟏^𝟐+ 𝐱_𝟐^𝟐

17 3.2 ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES

Definimos el ángulo entre los vectores u⃗ ={PQ⃗⃗⃗⃗⃗ } y v⃗ = {PR⃗⃗⃗⃗⃗ } distintos del vector nulo, como el menor ángulo que forman PQ⃗⃗⃗⃗⃗ y PR⃗⃗⃗⃗⃗ . Al ángulo que forman dos vectores lo denotamos por ∢(u⃗ , v⃗ ) o por letras griegas si no hay ambigüedad.

Dos vectores son ortogonales (𝐮⃗⃗ ⊥ 𝐯⃗ ) si el ángulo que forman es recto.

Observa que:

u⃗ ∥ v⃗ ⟺{

∢(u⃗ , v⃗ ) = 0° (mismo sentido) o

∢u⃗ , v⃗ = 180° (distinto sentido) Y también que 0°≤∢(u⃗ , v⃗ ) ≤180°

Sean dos vectores u⃗ ={PQ⃗⃗⃗⃗⃗ } y v⃗ = {PR⃗⃗⃗⃗⃗ } , por el teorema del coseno se tiene que

|u⃗ − v⃗ |² = |u⃗ |²+ |v⃗ |² − 2|u⃗ ||v⃗ |cosα y despejando el coseno:

cosα= ^{|u⃗⃗ |}

2+|v⃗⃗ |²−|u⃗⃗ −v⃗⃗ |²

2|u⃗⃗ ||v⃗⃗ | Introduciendo coordenadas:

cosα= ^u1

2+u₂²+v₁²+v₂¹−(u₁−v₁)²−(u₂−v₂)² 2(√u₁²+u₂²)(√v₁²+v₂¹)

=…¿?...= ^u1v1+u2v2 (√u₁²+u₂²)(√v₁²+v₂²)

Si quitamos el denominador, obtenemos:

(√u₁²+ u₂²) (√v₁²+ v₂²) cosα=u₁v₁+ u₂v₂ o |u⃗ ||v⃗ |cosα=u₁v₁ + u₂v₂ (*) 3.3 PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores u⃗ y v⃗ , definimos el producto escalar de u⃗ por v⃗ como:

u

⃗ · v⃗ ={|u⃗ ||v⃗ |cos∢(u⃗ , v⃗ ) si u⃗ y v⃗ son distintos de 0⃗ . 0 en otro caso.

Propiedades.

E-1 Conmutativa: u⃗ · v⃗ =v⃗ · u⃗

E-2 Homogenea: λ(u⃗ · v⃗ )=(λu⃗ ) · v⃗ = u⃗ · (λv⃗⃗⃗⃗ ) E-3 Distributiva: u⃗ · (v⃗ + w⃗⃗⃗ )= u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗⃗⃗

E-4 Definido positivo. Si u⃗ es distinto de 0⃗ , entonces u⃗ · u⃗ >0. Además u⃗ · u⃗ = |u⃗ |²

18 Consecuencias. Sean u⃗ y v⃗ dos vectores no nulos.

i) ∢(u⃗ , v⃗ )=0°⟺u⃗ ∥ v⃗ y u⃗ ↑ v⃗ ⟺u⃗ · v⃗ =|u⃗ ||v⃗ | ii) 0°<∢(u⃗ , v⃗ ) < 90° ⟺ u⃗ · v⃗ >0

iii) u⃗ y v⃗ son ortogonales⟺∢(u⃗ , v⃗ ) = 90°⟺ u⃗ · v⃗ = 0 iv) 90°<∢(u⃗ , v⃗ ) < 180° ⟺ u⃗ · v⃗ <0

v) ∢(u⃗ , v⃗ )=180°⟺u⃗ ∥ v⃗ y u⃗ ⅂↑ v⃗ ⟺u⃗ · v⃗ =−|u⃗ ||v⃗ | vi) El producto escalar de u⃗ por v⃗ es igual al producto escalar de u⃗ por la proyeccion ortogonal del otro sobre él.

Sea u⃗ = {AB⃗⃗⃗⃗⃗ } ,v⃗ = {AC⃗⃗⃗⃗⃗ } y p⃗ = {AP⃗⃗⃗⃗⃗ } tal que P es la proyeccion ortogonal de C sobre la recta AB, entonces:

u

⃗ · v⃗ =u⃗ · p⃗

Observa que :

0°<∢(u⃗ , v⃗ ) < 90° u⃗ · v⃗ =|u⃗ | · |p⃗ | y que:

90°<∢(u⃗ , v⃗ ) < 180° u⃗ · v⃗ =−|u⃗ | · |p⃗ | vi) Sean u⃗ = u₁i + u₂j y v⃗ = v₁i + v₂j

∎Expresión analitica del producto escalar:𝐮⃗⃗ · 𝐯⃗ =𝐮_𝟏𝐯_𝟏+ 𝐮_𝟐𝐯_𝟐

∎Expresión analitica de módulo de un vector: |𝐮⃗⃗ | = √𝐮_𝟏^𝟐+ 𝐮_𝟐^𝟐

∎ Expresión analitica del coseno del ángulo entre dos vectores:

cosα= ^{𝐮𝟏𝐯𝟏+𝐮𝟐𝐯𝟐}

(√𝐮_𝟏^𝟐+𝐮_𝟐^𝟐)(√𝐯_𝟏^𝟐+𝐯_𝟐^𝟐)

3.4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

Sea A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂):

d(A,B)= |𝐀𝐁⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝐛_𝟏− 𝐚_𝟏)^𝟐+ (𝐛_𝟐− 𝐚_𝟐)^𝟐

19

3.5 ÁREA DE UN TRIÁNGULO CONOCIDOS SUS VÉRTICES.

Sean A, B y C los vértices de un triángulo.

Área(∆ABC)= ¹

2 |AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||HC⃗⃗⃗⃗⃗ | =¹₂ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |senα=¹₂

|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |√1 − cos²α=¹

2|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |√1 − ( ^{AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗}

|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)

2

=…=¹

2

|(b₁− a₁)(c₂− a₂) − (b₂− a₂)(c₁− a₁)|

La fórmula de más arriba es difícil de recordar, por lo que introducimos el concepto de determinante de orden dos:

Definimos: |a b

c d| =ad−bc

Entonces la fórmula queda como:

Área(∆ABC)=|^𝟏

𝟐|𝐛_𝟏− 𝐚_𝟏 𝐛_𝟐− 𝐚_𝟐 𝐜_𝟏− 𝐚_𝟏 𝐜_𝟐− 𝐚_𝟐||

3.5- VECORES ORTOGONALES A UNO DADO.

Sea u⃗ = u₁i + u₂j

∎ Todos los vectores con la direccion de u⃗ _⊥=u₂i − u₁j son ortogonales a u⃗ (compruébalo).

EJERCICIOS

3.1- Dados los vectores u⃗ = (3, −1) , v⃗ = (2, −1) y w⃗⃗⃗ =(2,3), calcula:

u

⃗ · v⃗ , v⃗ · w⃗⃗⃗ , v⃗ · (2u⃗ − 3w⃗⃗⃗ ), (v⃗ + w⃗⃗⃗ ) · (v⃗ − w⃗⃗⃗ ), (v⃗ + w⃗⃗⃗ )², (v⃗ − w⃗⃗⃗ )² |u⃗ |, |v⃗ |, |w⃗⃗⃗ | , |u⃗ + v⃗ − w⃗⃗⃗ |,

∢(u⃗ , v⃗ ), ∢(u⃗ , w⃗⃗⃗ ), ∢(v⃗ , w⃗⃗⃗ )

3.2- Sean u⃗ y v⃗ dos vectores tales que | u⃗ | = 2 |v⃗ | = 3 y ∢( u⃗ , v⃗ )=60°.

20 a) Calcula u⃗ · v⃗ .

b) Si x⃗ = 2 u⃗ − 3v⃗ e y⃗ =− u⃗ +v⃗ , calcula: |x⃗ |, |y⃗ | y x⃗ · y⃗ .

3.3- Dados los vectores u⃗ =(2, −3) y v⃗ =(m, −1). Calcula m para que:

a) Tengan la misma direccion.

b) Sean ortogonales.

c) Formen un ángulo de 45°.

3.4- Demuestra que el triángulo de vértices A(4, −2), B(−2,6) y C(−8,2) es isosceles.

Cacula su perímetro y su área.

3.5- Calcula m sabiendo que la distancia entre los puntos A(-2, -2) y B(6, m) es de 10 unidades.

3.6- Dado el punto A(3,2) halla las coordenadas de otro punto B, sabiendo que está sobre el eje de ordenadas y que dista 5 unidades del punto A

3.7- Los vectores u⃗ = (t, t + 2) y v⃗ =(2t − 4, −t) tienen el mismo módulo. Calcula t.

3.8- Calcula un vector u⃗ ortogonal a v⃗ = (6, −2) y de módulo √10.

3.9- Demuestra que el triángulo de vértices A(3,2), B(6,3) y C(1,8) es rectángulo en A.

3.10- Calcula t, para que los vectores u⃗ = (4,3) y v⃗ = (t, 1) formen un ángulo de 45°.

3.11- Calcula a, para que los vectores u⃗ = (1, √3) y v⃗ = (2√3, a) formen un ángulo de 30°.

3.12- Calcula a, para que los vectores u⃗ = (1, √3) y v⃗ = (2√3, a) formen un ángulo de 60°.

3.13- Dados los vectores u⃗ = (1,2) y v⃗ = (−3,1) y los vectores a⃗ = u⃗ + v⃗ y b⃗ =xu⃗ + v⃗

calcula x para que sean ortogonales.

Utiliza las propiedades del producto escalar

21

4- ECUACIONES MÉTRICAS DE LA RECTA Y OTROS PROBLEMAS MÉTRICOS.

4.1 ECUACIONES MÉTRICAS DE LA RECTA.

Definimos la pendiente de una recta como la tangente del ánulo que forma la recta con la parte positiva del eje de abscisas.

Sea d⃗ =(d₁, d₂) un vector de dirección de la recta r, entonces la pendiente es:

p= ^d2 d₁

Observa la pendiente de una recta horizontal es 0¿Cuál es la pendiente de una recta vertical?

Partiendo de la ecuación continua de la recta y si ésta no es vertical(¿?), tenemos:

x−a₁

d₁

=

d₂ ⟺ y−a₂= ^d2

d₁(x − a₂) ⟺ y−a₂= p(x − a₂) por lo tanto:

X∈r⟺ y−𝐚_𝟐= p (𝐱 − 𝐚_𝟐) ECUACION PUNTO-PENDIENTE Si partimos ahora de la ecuación general de la recta y si ésta no es vertical(¿?), tenemos:

Ax+By+C=0 ⟺ y=−^A

Bx −^C

B ⟺ y= px+q donde p es la pendiente (¿?) y a q se le llama ordenada en el origen, ya que el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas es (0, q).

X∈r⟺ y= px+q ECUACION EXPLÍCITA 4.2 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS POR SUS PENDIENTES.

Forma explícita r≡y=px+q r´≡y=p´x+q´

r y s secantes p≠p´

r y s paralelas p=p´ y q≠q´

p y s coincidentes p=p´ y q=q´

4.3 VECTOR NORMAL A UNA RECTA.

22 Si u⃗ = (u₁, u₂) el vector

u_⊥

⃗⃗⃗⃗ =(−u₂, u₁) es ortogonal a u

⃗ (¿?).

Decimos que n⃗ es un vector normal a la recta r si es ortogonal a un vector de direccion de r.

4.5 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS.

Se llama ángulo que forman dos rectas secantes, al menor de los ángulos que determinan dichas rectas .

Observa entonces que 0°<∢(r,r´)<90°.

Como cosα=−cos(180°−α), tenemos el siguiente cuadro:

EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS cos(∢(r,r´))= ^{|𝐝 ·𝐝´⃗⃗⃗ |}

|𝐝 ||𝐝´⃗⃗⃗ |= ^{|𝐝𝟏𝐝´𝟏+𝐝𝟐𝐝´𝟐|}

(√𝐝_𝟏^𝟐+𝐝_𝟐^𝟐)(√𝐝´_𝟏^𝟐+𝐝´_𝟐^𝟐) VECTORES DE DIRECCIÓN cos(∢(r,r´))= (¿?)= ^{|𝐧𝟏𝐧´𝟏+𝐧𝟐𝐧𝟐|}

(√𝐧_𝟏^𝟐+𝐧_𝟐^𝟐)(√𝐧´_𝟏^𝟐+𝐧´_𝟐^𝟐) VECTORES NORMALES Si r≡Ax+By+C=0 r´≡A´x+B´y+C´=0

cos(∢(r,r´))= (¿?)= ^{|𝐀𝐀´+𝐁𝐁|}

(√𝐀^𝟐+𝐁^𝟐)(√𝐀´^𝟐+𝐁´^𝟐)

ECUACIÓN GENERAL DE LAS RECTAS

Si r≡y=px+q r´≡p´x+q´

tg((∢(r,r´))=(¿?)= ^{|𝐩−𝐩´|}

𝟏+𝐩·𝐩´ PENDIENTES

Observa que:

r⊥r´⟺𝐝 · 𝐝´⃗⃗⃗ =0⟺ 𝐧⃗⃗ ⊥ 𝐧´⃗⃗⃗ ⟺ p= −_𝐩´^𝟏 4.6 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

Supongamos que queremos calcular la mínima distancia de un punto P(p₁p₂) a una recta r≡Ax+By+C=0.

Debe de estar claro que la distancia mínima es la d(P,Q) siendo Q el punto de corte de r con la recta perpendicular a r que pasa por P.

23 Con un poco de trabajo se obtiene lo siguiente:

|PQ⃗⃗⃗⃗⃗ · n⃗ |=|PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n⃗ | , entonces |PQ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ^{|PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n⃗⃗ |}

|n⃗⃗ | = …(¿?)… = ^|Ap1+Bp2+C|

√A²+B² Es decir:

d(P,r)= ^{|𝐀𝐩𝟏+𝐁𝐩𝟐+𝐂|}

√𝐀^𝟐+𝐁^𝟐 EJERCICIOS

4.1 Determina la ecuación de la recta en los siguientes casos:

a) Pasa por A(-1,3) tiene como vector director v(-3,2) b) Pasa por A(3,1) y B(-2,4)

c) Es incidente con M(2,-5) y tiene como vector perpendicular n⃗ = (-1,3) d) Es incidente con P(3,-2) y su pendiente es –3/2

e) Pasa por el punto P(-1,1) y su ordenada en el origen es –5.

f) Su pendiente es 3 y su ordenada en el origen es 2.

4.2 Dada la recta de ecuación y = -3x + 5, obtén un punto de la recta y la pendiente. Escribe todas sus otras ecuaciones.

4.3 De entre los siguientes pares de rectas, indica cuáles son paralelas, cuáles son coincidentes y cuáles son secantes. Indica el ángulo formado por las rectas en cada caso.

a) r: 2x + 3y = 0

s: 4x + 6y + 8 = 0 b)r: x − y = 0

s: 2x + y − 1 = 0 c) r: 3x + 2y − 5 = 0 s: 2x − 3y + 4 = 0 d)r: x − 2y + 1 = 0

s: 4x + 2y = 3 e) r: y = x − 2 s:^x

3+^y

2= 1 f)

r: {x = 4 + 3t y = −1 + t s: {x = 2 + 6t

y = 3 + 2t

4.4 Determina analíticamente el ángulo que forman:

a) el eje de abscisas con la recta x - 2y + 4 = 0 b) el eje de ordenadas con la recta 2x + y + 4 = 0 c) las rectas x + 2y –3 = 0 y 3x -5y + 4 = 0

d) las rectas y = x - 3 e y = -x + 8

e) las rectas 2y - x + 4 = 0 y x -3y + 1 = 0

4.5 Dada la recta de ecuación y = x + 2 calcula la ecuación de la recta paralela a esta que pasa por el punto (1,1). ¿Qué ángulo forman con el semieje positivo de abscisas estas rectas?

24

4.6 Halla la ecuación de la recta, perpendicular a la recta 3x – y +2 = 0 y que pasa por el punto de corte de las rectas: x = 1; 2x+y = 0.

4.7 Halla la ecuación de la recta que corta a 2x –3y = 6 en el punto de abscisa 6, y forma con ella un ángulo de 45⁰.

4.8 Dadas las rectas ^x−3

a =^y+1

2 y {x = 3 − t

y = 2 + 7t Determina el valor de “a” para que las rectas sean:

a) paralelas b) secantes c) Coincidente

4.9 Dadas las rectas r:ax+(a−1)y+1=0 y s:2ax+ay−2=0 Determina el valor de “a” para que las rectas sean:

a) Paralelas.

b) Perpendiculares.

c) Formen un ángulo de 45°.

d) Formen un ángulo de 30°.

4.10 Halla la distancia del punto (-2,0) a la recta 3x + 2y +2 = 0.

4.11 Halla los valores de “a” y “b” en las rectas: r: ax – y + 1 = 0; s: 7x – by + 7 = 0 sabiendo que son paralelas y que r pasa por el punto (1,2). Halla la

distancia entre r y s.

4.12 Halla la ecuación de la recta mediatriz del segmento de extremos A(4,3) y B(-5,7)

4.13 Halla la ecuación de la recta mediatriz del segmento de extremos A(-2,3) y B(6,-5)

4.14 Halla el simétrico del punto A(2,3) respecto de P(5,4).

4.15 Calcular el simétrico del punto P(1,1) respecto de la recta y = 3x-7.

4.16 Calcular el simétrico del punto T(1,5) respecto a la bisectriz del primer cuadrante. ¿cuál será el simétrico de Q(6,2)? ¿y en general, cuál será el simétrico de L(a,b)?

4.17 Las coordenadas de dos vértices consecutivos de un hexágono regular son A(2,4) y B(3,4+ 3). Hallar las coordenadas del centro del hexágono, sabiendo que éste se encuentra en la bisectriz del primer cuadrante.

25

5- LUGARES GEOMÉTRICOS

Un lugar geométrico en el plano es un subconjunto de éste determinado por una o varias propiedades.Estos lugares suelen ser en general rectas o curvas y al igual que para las rectas en general, se tratará de encontrar su ecuación. Algunos son los siguientes:

5.1 LA MEDIATRIZ.

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos.

Sea el segmento AB la mediatriz es:

m_AB={X ∶ d(A, X) = d(B, X)}

Entonces tenemos que:

√(x − a₁)²+ (y − a₂)² = √(x − b₁)²+ (y − b₂)² Elevando al cuadrado y simplificando, obtenemos:

2(b₁− a₁)x+(b₂− a₂)y + a₁² + a₂²− b₁²+ b₂² = 0 Que es la ecuación de una recta perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio.(¿?)

5. LAS BISECTRICES.

La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados.

Sean r y r´ las ecuaciones de los lados la bisectriz es:

b={X ∶ d(X, r) = d(X, r´)}

26 Tenemos que:

D(X,r)=d(X,r´) ⟺ ^|Ax+By+C|

√A²+B² = |A´x+B´y+C´|

√A´²+B´²

Observa que al quitar los valores absolutos obtenemos las ecuaciones de dos rectas que corresponden a las dos bisectrices la del ángulo α y su suplementario.

Las dos bisectrices de un ángulo son perpendiculares. (¿?) 6. LA CIRCUNFERENCIA.

Una circunferencia de centro A y radio R es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a A es constante e igual a R.

Γ={X: d(X, A) = R}

d(X, A) = R ⟺√(x − a₁)²+ (y − a₂)² = R ⟺(𝐱 − 𝐚_𝟏)^𝟐+ (𝐲 − 𝐚_𝟐)^𝟐=𝐑^𝟐 Desarrollando esta expresión obtenemos:

𝐱^𝟐+ 𝐲^𝟐+ 𝐀𝐱 + 𝐁𝐲 + 𝐂 = 𝟎 Con {

a¹ =^−A

2 a₂ = ^−B

2 R = √A²+ B²− C I-Líneas y ángulos notables en la circunferencia

27

𝛂≡Ángulo central β, γ≡ Ángulos inscritos

II-Algunos resultados importantes.

γ=β= ^α 2

d² = r² + t²

EJERCICIOS

5.1 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A (1,-2) y B (3,0). Hallar, también, el ángulo que forma esta mediatriz con el eje de abscisas.

5.2 Hallar las ecuaciones de las bisectrices de las rectas:

r≡ 3x + 4y – 10 = 0 y s≡8x – 6y + 5 = 0

5.3 Halla la ecuación de la circunferencia que tiene por centro y radio:

a)C(0, 1), r = 4 b) C(-1, 0), r = 3 c) C(2, -2), r = 1 d) C(-7, -5), r = 2 5.4 Halla el centro y radio de las circunferencias:

a) x² +y² + 2x – 4 y − 9 = 0 b) x² +y²+ 2y – 8 = 0

c) x² +y²– 6x + 9 = 0

28 d) x² +y²– 4y = 0

e) x² +y²+ 2x – 4 y + 9 = 0 f) x² +y²+3x−5y+2=0

5.5 Calcula la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo cuyos lados están sobre las rectas:

r≡3x−4y+12=0, s≡4x−3y−12=0, t≡4x+3y−24=0

PROBLEMAS

Si no se especifica lo contrario todos los vectores estarán referidos a una base ortonormal.

1- Sean los vectores u⃗ =(2,1), v⃗ =(−3,4) y w⃗⃗⃗ =(−12,7).

a) Demostrar que ℬ= {u⃗ , v⃗ } es una base de 𝕍₂. b) Calcular las coordenadas dew⃗⃗⃗ en la base ℬ.

2-Dado el vector u⃗ =(6, –8), determina:

a) Los vectores unitarios de la misma dirección queu⃗ .

b) Los vectores ortogonales a que tengan el mismo módulo queu⃗ . c) Los vectores unitarios y ortogonales a u⃗ .

3-Halla las coordenadas de un vector v⃗ , ortogonal au⃗ =(3, 4) y que mida doble que u

⃗ .

4-Siendo u⃗ =(5, –b) y v⃗ =(a, 2), halla a y b, sabiendo que u⃗ y v⃗ son ortogonales y que |v⃗ | = √13.

5-De los vectores u⃗ y v⃗ sabemos que |u⃗ | = 3 y |v⃗ | = 5 y que forman un ángulo de 120°. Calcula |u⃗ − v⃗ |.

6- Calcula x para que u⃗ = (3, x) y v⃗ =(5, 2) formen un ángulo de 60°.

7- Determina un vector u⃗ que forme con v⃗ =(–1, –2) un ángulo de 30° y tal que

|u⃗ | = √3|v⃗ |.

29

8-La recta 4x-3y=12 es la mediatriz del segmento AB. Halla las coordenadas del punto B, sabiendo que las del punto A son (1,0).

9-Los puntos B (-1,3) y C (3,-3) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en la recta x+2y=15, siendo AB y AC los lados iguales. Calcular las coordenadas de A y las ecuaciones y las longitudes de las tres alturas del triángulo.

10-Hallar las ecuaciones de todas las rectas que pasen por el punto P (2,-3) y formen un ángulo de 45º con la recta 3x-4y+7=0.

11-Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forma la recta 5x+12y-60=0 con el eje de ordenadas.

12-Hallar las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A (1,-2) distan 2 unidades del punto B (3,1).

13-Un rayo de luz r pasa por el punto de coordenadas (1,2) e incide sobre el eje de abscisas formando con éste un ángulo de 135º. Suponiendo que sobre el eje de abscisas se encuentra un espejo, hallar la ecuación del rayo r y del rayo reflejado en el espejo.

14-Determinar las coordenadas del circuncentro del triángulo ABC, sabiendo que A = (2,-7), B = (5,9) y C = (-2,-7). Hallar también la ecuación de la circunferencia circunscrita y comprobar que dicha circunferencia pasa por los puntos A, B y C.

15-Dados los puntos A (0,-1) y B (1,2), hallar las coordenadas de todos los puntos P situados sobre la recta x+y=2 tales que las rectas PA y PB sean perpendiculares.

16-Los puntos A (3,-2) y C (7,4) son vértices opuestos de un rectángulo ABCD, el cual tiene un lado paralelo a la recta 6x-y+2=0. Hallar las coordenadas de los otros dos vértices del rectángulo y las ecuaciones de sus lados.

17- Hallar las coordenadas del simétrico del punto P (0,6) respecto de la recta y=2x-3.

18- Hallar los puntos de la recta 7x-y-28=0 que distan 5 unidades de longitud de la recta 3x-4y-12=0.

20-Un cuadrado tiene un vértice en el punto (0,7) y una de sus diagonales sobre la recta de ecuación 3x-2y-6=0. Hallar el área.

No es necesario calcular las coordenadas de los otros vértices

21-Hallar la ecuación de una recta que forma un ángulo de 120º con el semieje de abscisas positivo y que dista 2 unidades del origen

30

22- Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 3x+4y+2=0 que distan 1 unidad de ella.

23-Hallar las coordenadas de un punto P situado sobre la recta x+y-15=0 que equidiste de las rectas y-2=0, 3y=4x-6.

24-Las rectas de ecuaciones 3x+4y-5=0 y px+7y+2=0 forman un ángulo cuyo seno vale 3/5. Hallar p.

25- Un hexágono regular tiene su centro en el origen de coordenadas y uno de sus vértices es (6,0). Hallar las coordenadas de los demás vértices y las ecuaciones de sus lados.

26-¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias a los puntos M (6, 0) y N (–2, 0) es 3?

27-Estudia la posición relativa de la circunferencia C: x² + y² – 6x – 4y – 12 = 0 respecto a las rectas:

s1: 3x – 4y – 26 = 0 s2: 5x – 8y + 60=0 s3: 3x – 4y – 1 = 0 y s4: x = 5.

Halla los puntos de corte y de tangencia, si los hubiera.

28- ¿Para qué valores de b la recta y = x + b es tangente a la circunferencia x² + y² = 9?

29-Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta 4x – 3y + 11 = 0 es 6.

30-Escribe las ecuaciones de las siguientes circunferencias:

a) Centro en C(–2, 1) y pasa por el punto P(0, –4).

b) Uno de sus diámetros es el segmento AB̅̅̅̅ donde A(1, 2) y B(3, 6).

c) Centro en C (–1, –5) y es tangente a la recta x – 4 = 0.

d) Centro en C (3, 5) y es tangente a la recta 4x + 3y – 2 = 0.

31-Estudia la posición relativa de la circunferencia x² + y² – 6x – 4y + 9 = 0

respecto de cada una de las siguientes rectas:

r1: 2x – y – 2 = 0 r2: x + y – 1 = 0 r3: 3x – 4y + 9 = 0

32- Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a P(–4, 0) y Q (4, 0) es 10.

33- Halla el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a F'(–4, 0) y F (4, 0) es 6.

34-Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto (3, 0) y de la recta y = –3