Instituto de Matemáticas Asignatura: Mat 147

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Instituto de Matemáticas Asignatura: Mat 147

Instrucciones:

Lea atentamente las preguntas antes de contestar.

Sea ordenado y claro para responder, indicando el número de la pregunta que está contestando. Utilice lápiz pasta para responder.

No hay preguntas durante el desarrollo de la prueba. 15 puntos cada pregunta. Tiene 90 minutos para responder.

1) Determine si son Verdaderas o Falsas cada una de las siguientes proposiciones. Justifique adecuadamente todas sus respuestas.

a)____ Para todo , se cumple | | | | | | b)____ Para todo , | | | || |

c) ____ Para todo d) ____ Si | | , entonces | |

2) La expresión

determina el total de ventas (en miles de pesos) después de x días de comercialización de un producto. Determine cuánto tiempo deberá comercializarse un producto para que el total de ventas triplique a las ventas luego de una semana.

3) Resuelva la siguiente ecuación

( *√ +)

4) Resuelva la siguiente inecuación para la variable donde p es un parámetro real.

√ ^{| |} Prueba de Cátedra 1

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Instituto de Matemáticas Asignatura: Mat 147

Instrucciones:

Sea ordenado y claro para responder, indicando el número de la pregunta que está contestando. Utilice lápiz pasta para responder.

No hay preguntas durante el desarrollo de la prueba. 15 puntos cada pregunta. Tiene 90 minutos para responder.

1. Demuestre que para todo , y que la igualdad se cumple si y solo si

2. Cierto líquido se realizó con desinfectante a una concentración del 10%, mientras que otro líquido se hizo al 25%, ¿Cuántos litros de cada una de las

mezclas se deben utilizar para obtener 20 litros de líquido al 16% de concentración?

3. Resuelva la siguiente inecuación para la variable ,

√ | |

4. Determine para cuáles , la expresión

√| | , es un número real, con

Prueba de Cátedra 1

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PRUEBA Nº 2

MAT 147: Cálculo 1 Primer semestre 2011

Instrucciones: Lea atentamente las preguntas antes de contestar; utilice lápiz pasta para responder; no hay preguntas durante el desarrollo de la prueba. Tiene 90 minutos para responder.

1. Si , determine las condiciones que debe cumplir c para que se cumpla la desigualdad

2. Demuestre o refute con un contraejemplo las siguientes proposiciones:

3. Sea (√ √ ) i) Determine dominio y recorrido

ii) Suponiendo que existe, determine cuál es la expresión algebraica de su inversa.

4. Si ( ) , entonces determine

( )

5. Considere la fracción continua

i) Determine la sucesión que la define

ii) Determine los valores de k para los cuales la sucesión tiene límite (hint: suponga que existe)

iii) Si k = 1, determine, ¿A qué límite tiende la sucesión?

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PRUEBA Nº 1

1. Demuestre que , con se cumple que

2. Un biólogo realiza cierto número de experimentos idénticos en un tiempo determinado. Si hubiera hecho 10 experimentos menos cada día, hubiera terminado su trabajo de investigación 9 días antes de lo previsto, pero si hubiese hecho 20 experimentos más cada día habría terminado 9 días después de lo previsto ¿Cuántos experimentos hizo y en cuánto tiempo?

3. Resuelva la siguiente inecuación para la variable

√

4. Considere las siguientes funciones definidas como:

{ {√

Defina la función compuesta indicando su dominio

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PRUEBA Nº 1

1. Demuestre que , se cumple que:

2. Víctor, trabajando solo, puede terminar una muralla de ladrillos en 5 días, pero junto a Rodrigo lo pueden hacer en solo 3 días. ¿Cuánto tiempo necesitaría Rodrigo para hacerlo solo?

3. Resolver la ecuación en : _√

( ) 4. El radio de un cilindro disminuye en un 10%

mientras la altura aumenta en un 12%. ¿En qué porcentaje varía el volumen y el área lateral del cilindro? ¿Aumentan o disminuyen?

[V=πr²h ; A = 2πrh]

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MAT 147: Cálculo 1 Segundo Semestre 2007 PRUEBA Nº 1

1. Una población de microorganismos crece diariamente en cierto porcentaje. Si en 10 dias ha crecido al doble, ¿cuántos días necesita para

aumentar su tamaño 5 veces? ¿cuál es el porcentaje diario de crecimiento?

2. Resolver la ecuación:

√ | | 3. resolver el sistema:

| |

4. Un empresario agrícola dispone de 50 ha. de terreno y 20 M de pesos de capital y decide plantar 2 variedades de paltos: la variedad 1 requiere una inversión de 0.3 M por hectárea y deja 1 M por ha.

de ganancia (proyectada). La variedad 2 requiere 0.7 M por ha. y deja 1.8 M de ganancia por ha. ¿cuántas hectáreas de cada variedad dejan la máxima ganancia proyectada?

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PRUEBA Nº 1 (MAT 147) PLAN COMÚN

Primer semestre 2006

1.- En una economía fluctuante, las tasas de interés se alternan en 0.8% y 1.4% mes a mes. Se invierten $2.600.000 en este sistema

¿cuántos meses se necesitan para obtener al menos $3.200.000?

Discuta su respuesta.

2.- Resolver la inecuación en los reales:

√ | |

3.- Resuelva el sistema mixto:

| |

√| |

4.- Sea la función real √

Encontrar dominio (máximo) y recorrido de la función

compuesta

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MAT 147: Cálculo 1 Segundo Semestre 2007 PRUEBA Nº 2

1. Sea . Encuentre, si existen: ̅

2. Sea ( ) la sucesión definida por recurrencia:

√ . Demuestre que esta sucesión es convergente y encuentre su límite.

3. Sea

Demuestre que 0 es punto de acumulación del dominio de la función y que 4. Calcule los siguientes límites, fundamentando su respuesta:

(

)

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PRUEBA Nº 2

1. Sea | | . Encuentre, si existen: ̅

2. Considere la sucesión dada por:

√ √ √ √ √ √ , …

Decida si ( es convergente y, en caso afirmativo, calcule

3. Sea y

Demostrar que:

| |

4. Sea {

Encontrar los números reales tales que sea continua en

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PRUEBA Nº 2

1. Sea . Encuentre ̅

2. Sea la sucesión definida por:

Demuestre que es convergente y encuentre su límite. [Indicación: demuestre que es

decreciente y acotada por usando el principio de inducción]

3. Sea

̅ Demuestre, usando las definiciones, que:

4. Sea

{ () ()

Encuentre de modo que posea una extensión continua en 1.

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Instituto de Matemáticas Asignatura: Mat 147 Prueba de Cátedra 3

Sea ordenado y claro para responder, indicando el número de la pregunta que está contestando. No hay preguntas durante el desarrollo de la prueba.

Tiene 90 minutos para responder.

1) Sea ( ) , , Demuestre utilizando la definición el límite de cuando tiende a . vía “épsilon y delta”

(ayuda: | | | | | |)

15 puntos 2) Considere la sucesión (progresión geométrica). Se define la suma de los primeros k términos como .¿a cuánto tiende la suma de TODOS(infinitos) los términos de la sucesión?

15 puntos 3) Indique si las siguientes afirmaciones son VERDADERAS o FALSAS. Justifique cada una de sus respuestas. (no argumentar implica ausencia de puntaje)

i) sucesión acotada y es convergente, entonces es convergente.

ii) La ecuación

√ ( ) tiene solución en [ ] iii) La función real ( )

| | tiene una discontinuidad reparable.

5 puntos cada una 4) Determine las condiciones para de modo que la función sea continua en todo IR

( ) {

√[ ] ( )

15 puntos

∑

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MAT 147: Cálculo 1 Segundo Semestre 2010 EXAMEN

1. (a) Sea √ | | . Calcule, si existen, ̅ (b) Sea Calcule, si existen, ̅

2. Sea √ Demuestre que la sucesión es convergente y encuentre su límite.

3. Sea

Demuestre que

4. La ecuación real:

| |

√| |

¿Tiene alguna solución en el intervalo [0,2]? ¿Y en el intervalo [-2,0]?

5. Sea

{

(

) Encuentre los números reales tal que sea continua en

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MAT 147: Cálculo 1 Primer Semestre 2012 EXAMEN

1. Se dispone de 15 litros de un desinfectante al 2%, y de un concentrado al 80%.

a)Si se agrega 1 litro de concentrado al tiesto de desinfectante al 2% ¿cuál es la concentración que se obtiene?

b)¿Cuánto concentrado habría que agregarle a los 15 litros al 2% para obtener una concentración del 8%?

2. Sea una sucesión en y Demuestre:

La convergencia de implica la convergencia de (y al mismo límite), pero la convergencia de no implica la convergencia de

3. Sea inyectiva y lineal (es decir:

Demuestre que es continua en

4. a) Sea √ | | . Calcule, si existen, ̅ b) Sea () Calcule, si existen, ̅

5. Encuentre todos los coeficientes tales que la función:

{

(

) √

( √ ) sea continua en su dominio

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EXAMEN EXTRAORDINARIO: CÁLCULO 1 (MAT 147) Primer Semestre 2006

1.- Sean

, √ | |- Calcule ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

2.- Sea

√ .

¿A partir de qué valor de n el número estará a una distancia del cero menor que:

a) 0.01 b) 0.001; c) ε > 0 ? 3.- Sea la sucesión definida por recurrencia:

√

Demuestre que la sucesión es convergente y calcule su límite.

4.- Sea un conjunto acotado inferiormente, λ < 0.

Demuestre que el conjunto

es acotado superiormente y que 5.- Sea ( )

a) Demuestre que 0 es punto de acumulación del dominio de b) Demuestre que si

̅ Entonces

6.- Calcule los siguientes límites, fundamentando sus respuestas:

a)

(√ √ )(√ ) b)

. /