Endomorfismos: Valores y vectores propios. Diagonalizaci´ on

(1)

Endomorfismos: Valores y vectores propios. Diagonalizaci´ on

5.1 Endomorfismos

Un endomorfismo f es una aplicaci´on lineal (también llamada homomorfismo) con el mismo dominio y codominio. Consideraremos en este cap´ıtulo endomorfismos f : IRⁿ7→ IRⁿ.

5.2 Valores y vectores propios

Definici´on 5.1 Se dice que λ∈ IR es valor propio o autovalor del endomorﬁsmo f en IRⁿ, si existe ⃗x̸= ⃗0 ∈ IRⁿ, tal que f (⃗x) = λ⃗x.

Definici´on 5.2 Sea f un endomorﬁsmo en IRⁿ con autovalor λ. Los vectores ⃗x ∈ IRⁿ tales que f (⃗x) = λ⃗x se denominan vectores propios o autovectores de f correspon- dientes al autovalor λ.

λ puede ser nulo

Si ⃗x = ⃗0 ∀λ se cumple que f(⃗0) = λ⃗0, por eso para aceptar λ como autovalor debe existir ⃗x̸= ⃗0 tal que f(⃗x) = λ⃗x.

Ejemplo 5.1 Sea la aplicaci´on lineal f : IR² 7−→ IR², sobre IR , cuya matriz asociada es A =

[10 −18 6 −11 ]

. Determina si los vectores ⃗u = (2, 1) y ⃗v = (3, 2) son vectores propios de A.

A⃗u =

[10 −18 6 −11

] [2 1 ]

= [2

1 ]

A⃗v =

[10 −18 6 −11

] [3 2 ]

= [−6

−4 ]

⃗

u es vector propio porque A⃗u = 1⃗u ⃗v es vector propio porque A⃗v =−2⃗v Ejemplo 5.2 Sea la aplicaci´on lineal f : IR² 7−→ IR², sobre IR , cuya matriz asociada es A =

[ 1 6

5 2

]

. Determina si los vectores ⃗u = (6,−5) y ⃗v = (3, −2) son vectores propios de A.

A⃗u = [1 6

5 2 ] [ 6

−5 ]

= [−24

20 ]

A⃗v = [1 6

5 2 ] [ 3

−2 ]

= [−9

11 ]

⃗

u es vector propio porque A⃗u =−4⃗u ⃗v no es vector propio porque no existe s tal que A⃗v = s⃗v, o lo que es lo mismo,

(−9, 11) no es m´ultiplo de (3, −2).

149

(2)

Ejemplo 5.3 Consideremos la aplicaci´on lineal f : IRⁿ 7−→ IRⁿ, sobre IR , cuya matriz asociada es la matriz identidad I_n. A dicho endomorﬁsmo se le denomina endomorﬁsmo identidad.

f (⃗x) = I⃗x = ⃗x

La aplicaci´on tiene un ´unico valor propio, que es 1. Todos los vectores de IRⁿ son au- tovectores correspondientes a ese autovalor.

Ejemplo 5.4 Consideremos la aplicaci´on lineal f : IRⁿ 7−→ IRⁿ, sobre IR , cuya matriz asociada es la matriz λIn con λ∈ IR.

f (⃗x) = λI⃗x = λ⃗x

La aplicaci´on tiene un ´unico valor propio, que es λ. Todos los vectores de IRⁿ son au- tovectores correspondientes a ese autovalor.

5.3 Obtenci´on de los valores propios: polinomio caracter´ıstico

Teorema 5.1 Sea el endomorﬁsmo f : IRⁿ7−→ IRⁿ, y An su matriz asociada respecto de la base est´andar. λ es valor propio de f ⇔ |A − λI| = 0 ⇔ rg(A − λI) < n.

Demostraci´on: λ valor propio si ∃ ⃗x ̸= ⃗0 tal que f(⃗x) = A⃗x = λ⃗x = λI⃗x, siendo I la matriz identidad de orden n, o lo que es lo mismo, si ∃ ⃗x ̸= ⃗0 tal que (A − λI)⃗x = ⃗0 Por tanto λ es valor propio ⇔ el SL (A − λI)⃗x = ⃗0 es compatible indeterminado ⇔ rg (A− λI) < n ⇔ |A − λI| = 0

Desarrollemos|A − λI| = 0

a₁₁− λ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂− λ . . . a_2n ... ... . .. ... a_n1 a_n2 . . . a_nn− λ

= 0

El primer miembro de esta ecuaci´on es un polinomio en λ de grado n, p(λ), denominado polinomio caracter´ıstico de f o polinomio caracter´ıstico de la matriz A. A la ecuaci´on|A − λI| = 0, desarrollada como p(λ) = 0, se le llama ecuaci´on caracter´ıstica de la matriz A.

N´otese como dependiendo de si n es par o impar, el término en λⁿ del polinomio ser´ıa 1 o −1. Por convenio la definición del polinomio caracter´ıstico es −|A − λI| si n es impar.

p(λ) = λⁿ+ a_n₋₁λⁿ⁻¹+ . . . + a₁λ + a₀

De acuerdo con el Teorema Fundamental del ´Algebra, todo polinomio de grado n≥ 1 con coeﬁcientes reales tiene exactamente n ra´ıces reales o complejas (contando multiplici- dades). Denotamos la multiplicidad de la ra´ız λ como p_λ.

El polinomio (λ− 1)⁵ tiene 5 ra´ıces, todas iguales a 1. El polinomio tiene ra´ız 1 con multiplicidad 5.

El polinomio λ² + 1 tiene dos ra´ıces complejas, +i y −i. (Las ra´ıces complejas siempre forman pares conjugados).

El polinomio (λ²+ 1)(1− λ²) tiene dos ra´ıces complejas, i y−i y dos ra´ıces reales 1 y −1.

El polinomio caracter´ıstico de A, p(λ), tendrá n ra´ıces. Las ra´ıces reales del polinomio son los valores propios del endomorfismo f , tambi´en designados como valores propios de A. La multiplicidad algebraica de un autovalor λ_i se define como su multiplicidad

(3)

como ra´ız del polinomio caracter´ıstico, que hab´ıamos denotado como pλi. Al limitarnos a endomorﬁsmos en IRⁿ, las ra´ıces complejas de p(λ) no pueden considerarse como valores propios de A, ya que si ⃗x∈ IRⁿ y λ∈ C (complejo), f(⃗x) = λ⃗x ∈ Cⁿ (vector complejo), y no a IRⁿ.

Suponiendo s ra´ıces distintas, incluyendo reales y complejas:

p(λ) = (λ− λ1)^p^λ1(λ− λ2)^p^λ2. . . (λ− λr)^p^λs p_λ₁ + p_λ₂+ . . . + p_λ_s = n

Si r es el n´umero de ra´ıces reales y distintas, entonces tenemos r autovalores distintos, y:

p_λ₁ + p_λ₂+ . . . + p_λ_r ≤ n

p_λ₁ + p_λ₂+ . . . + p_λ_r = n⇔ todas las ra´ıces son reales.

Si p(λ) tiene las n ra´ıces reales y distintas (por tanto de multiplicidad algebraica 1), entonces:

p(λ) = (λ− λ1)(λ− λ2) . . . (λ− λn) Obtenci´on de valores propios

• Se calcula p(λ) = |A − λI|.

• Se hallan las ra´ıces λi de p(λ) = 0. Las ra´ıces reales son los valores propios.

Ejemplo 5.5 ¿Es 5 un valor propio de A =



6 −3 1

3 0 5

2 2 6



?

5 es autovalor de A ⇔ |A − 5I| = 0

|A − 5I| =

1 −3 1 3 −5 5

2 2 1

=−30, por tanto 5 no es autovalor.

Ejemplo 5.6 Encuentra los valores propios de A =

[2 3 3 −6 ]

y un autovector distinto de

⃗0 correspondiente a cada uno de los autovalores encontrados.

|A − sI| =2− s 3 3 −6 − s

= (2− s)(−6 − s) − 9 = s²+ 4s− 21

Los autovalores, que son las ra´ıces del polinomio anterior, son s =−7 y s = 3.

[2 3 3 −6

] [x y ]

=−7 [x

y

] {

2x + 3y =−7x 3x− 6y = −7y

{9x + 3y = 0

3x + y = 0 ⇒ y = −3x (1,−3) es autovector correspondiente al autovalor −7

Comprobaci´on:

[2 3 3 −6

] [ 1

−3 ]

= [−7

21 ]

=−7 [ 1

−3 ]

Por el mismo procedimiento se puede calcular un vector propio asociado a λ = 3

(4)

Ejemplo 5.7 Encuentra la ecuaci´on caracter´ıstica de A =







5 −2 6 −1

0 3 −8 0

0 0 5 4

0 0 0 1







p(λ) = (5− λ)(3 − λ)(5 − λ)(1 − λ) = 0

Ejemplo 5.8 El polinomio caracter´ıstico de una matriz 6×6 es λ⁶−4λ⁵−12λ⁴. Encuentra los valores propios y su multiplicidad algebraica.

p(λ) = (λ²− 4λ − 12)λ⁴

Tenemos la ra´ız λ = 0 con multiplicidad 4 y las ra´ıces de λ²− 4λ − 12 = 0. ´Estas ´ultimas son λ =−2 y λ = 6.

5.4 Subespacio propio

El conjunto de los vectores propios de un endomorﬁsmo f de IRⁿ correspondientes a un autovalor λ es un subespacio de IRⁿ, denotado como V_λ. En efecto, considerando la matriz can´onica A asociada a f , tenemos:

V_λ ={⃗x ∈ IRⁿ/ A⃗x = λ⃗x} = {⃗x ∈ IRⁿ / (A− λI)⃗x = ⃗0} = Ker(A − λI)

Definici´on 5.3 Sea f endomorﬁsmo de IRⁿ con matriz can´onica asociada A y sea λi un autovalor de f . Al subespacio vectorial de IRⁿ Ker(A− λiI) ={⃗x ∈ IRⁿ/(A− λiI)⃗x = ⃗0} se le denomina subespacio propio correspondiente al valor propio λ_i. Se denota como Vλi.

Observaci´on: Por ser V_λsubespacio vectorial est´a garantizado que ⃗0 pertenece al conjunto, que la suma de autovectores de λ es cerrada, que el producto por un escalar tambi´en, y que la combinaci´on lineal de autovectores de λ es autovector de λ. A modo de revisi´on presentamos las demostraciones de estos resultados:

• Vλ contiene el vector ⃗0 pues f (⃗0) = ⃗0 = λ⃗0.

• El producto por un escalar es cerrado, pues ⃗x ∈ Vλ⇒ α ⃗x ∈ Vλ

f (⃗x) = λ⃗x, entonces f (α ⃗x) = α f (⃗x) = α λ⃗x = λ α⃗x, por tanto α⃗x∈ Vλ

• La suma es cerrada: ⃗x, ⃗x^′ ∈ Vλ ⇒ ⃗x + ⃗x^′ ∈ Vλ

f (⃗x + ⃗x^′) = f (⃗x) + f (⃗x^′) = λ⃗x + λ⃗x^′ = λ(⃗x + ⃗x^′)

• Toda combinaci´on lineal de autovectores de un valor propio λ de A es tambi´en autovector de ese valor propio.

A⃗x = λ⃗x, A⃗x^′ = λ⃗x^′

A(α⃗x + β ⃗x^′) = αA⃗x + βA⃗x^′ = αλ⃗x + βλ⃗x^′ = λ(α⃗x + β ⃗x^′)

luego α⃗x + β ⃗x^′ es autovector de A correspondiente al autovalor λ.

(5)

5.5 Dimensi´on del subespacio propio

Considerando el endomorﬁsmo A− λI : IRⁿ7−→ IRⁿ dim IRⁿ = dim Ker(A− λI) + dim Im(A − λI) n = dim V_λ + rango (A− λI)

dim V_λ = n − rango (A − λI)

por ser λ autovalor, rango (A− λI) < n ⇒ 1 ≤ dim Vλ ≤ n

dim V_λ = n cuando A− λI sea la matriz nula, es decir, A = λI. En este caso A⃗x = λ⃗x ∀⃗x ∈ IRⁿ, y por tanto Vλ = IRⁿ

Teorema 5.2 dimVλ es menor o igual que la multiplicidad algebraica del valor propio λ.

1 ≤ dim Vλ ≤ pλ ≤ n

Se deﬁne multiplicidad geom´etrica de un autovalor λ como la dimensi´on de V_λ.

5.6 Obtenci´on de los subespacios propios

En primer lugar se calculan los valores propios:

• Se calcula p(λ) = |A − λI|.

• Se hallan las ra´ıces λi de p(λ) = 0. Las ra´ıces reales son los valores propios.

A continuaci´on:

• Se determina Vλi = Ker(A− λiI) para cada valor propio λ_i, que es lo mismo que determinar la soluci´on de cada sistema homog´eneo (A− λiI)⃗x = ⃗0 (un sistema para cada autovalor).

• Es conveniente comprobar que dim Vλi est´e dentro del rango permitido, 1 ≤ dim Vλi ≤ pλi, siendo pλi la multiplicidad algebraica de λi.

5.7 La independencia lineal de los subespacios propios

Teorema 5.3 Si λ₁, λ₂, ..., λ_r son autovalores distintos del endomorﬁsmo dado por la matriz A, entonces los conjuntos {⃗v1, ⃗v2, ..., ⃗vr} con ⃗vi ̸= ⃗0 y ⃗vi ∈ Vλi (un autovector no nulo de cada subespacio propio) son linealmente independientes.

Demostraci´on: Supongamos que el conjunto fuera linealmente dependiente, en- tonces existe un ´ındice m´ınimo k tal que ⃗vk+1 es combinaci´on lineal de los p anteriores, linealmente independientes, es decir,

⃗

v_k+1 = c₁⃗v₁+ c₂⃗v₂+ . . . + c_k⃗v_k, con ⃗v₁, ⃗v₂, . . . , ⃗v_k l.i. [1]

multiplicando por la izquierda por A tenemos:

A ⃗v_k+1= A c1⃗v1+ A c2⃗v2+ . . . + A c_k⃗v_k,

λk+1⃗vk+1= λ1c1⃗v1+ λ2c2⃗v2+ . . . + λkck⃗vk [2]

multiplicando la ecuaci´on [1] por λ_k+1 obtenemos:

λk+1⃗vk+1= λk+1c1⃗v1+ λk+1c2⃗v2+ . . . + λk+1ck⃗vk [3], y restando [3]−[2] se obtiene;

(6)

⃗0 = (λ_k+1− λ1)c1⃗v1+ (λk+1− λ2)c2⃗v2+ . . . + (λk+1− λk)ck⃗vk

Como el conjunto ⃗v1, ⃗v2, . . . , ⃗vk es l.i., los coeﬁcientes de la combinaci´on lineal son nulos, es decir:





(λk+1− λ1)c1 = 0 (λ_k+1− λ2)c2 = 0 (λ_k+1− λk)c_k= 0

Y como hemos supuesto que los λi son todos distintos, ninguno de los (λ_k+1− λi) es nulo, por lo que c_i = 0 ∀i = 1, . . . , k.

⇒ ⃗vk+1 = ⃗0 (ec. [1]), lo cual es una contradicci´on puesto que hab´ıamos partido de que todos los ⃗vi fueran no nulos.

⇒ El conjunto {⃗v1, ⃗v2, . . . , ⃗vr} es linealmente independiente.

Queda por tanto demostrado el teorema por reducci´on al absurdo.

El teorema anterior da lugar a la designaci´on de los subespacios propios de un endomor- ﬁsmo como “subespacios linealmente independientes”.

En el Cap´ıtulo de Espacios Vectoriales vimos que el resultado del teorema anterior era equivalente a decir que la suma de los subespacios propios Vλ1, Vλ2, ..., Vλr es directa, es decir

V_λ₁^⊕V_λ₂^⊕ . . . ^⊕V_λ_r

Por otra parte, la suma es subespacio vectorial de IRⁿ, lo cual expresamos c´omo:

V_λ₁^⊕V_λ₂^⊕ . . . ^⊕V_λ_r ⊆ IRⁿ

En el Cap´ıtulo de Espacios Vectoriales tambi´en vimos que una consecuencia de la suma directa era que la intersecci´on de los subespacios sumados era ⃗0.

Se puede demostrar f´acilmente que la intersecci´on de subespacios propios distintos es el vector nulo. En efecto:

Si ⃗x pertenece a V_λ_i y V_λ_j, entonces A⃗x = λi⃗x = λj⃗x.

De la ´ultima igualdad se deduce (λi− λj)⃗x = ⃗0.

Como por hip´otesis λ_i̸= λj ⇒ ⃗x = ⃗0.

5.8 Existencia o no de base de vectores propios

Teorema 5.4 Existe base de vectores propios de un endomorﬁsmo⇔ Vλ1

⊕V_λ₂^⊕ . . . ^⊕V_λ_r = IRⁿ ⇔ p(λ) tiene n ra´ıces reales contando multiplicidades y dimVλi = p_λ_i

La suma directa de los subespacios es igual a IRⁿ si y s´olo si dimV_λ₁ + dimV_λ₂ + ... + dimV_λ_r = n

Por otra parte, dimV_λ_i ≤ pλi i = 1, ..., r

⇒ dimVλ1 + dimV_λ₂+ ... + dimV_λ_r ≤ pλ1+ p_λ₂ + . . . p_λ_r ≤ n

Para obtener la dimensi´on m´axima igual a n se debe cumplir dimV_λ_i = p_λ_i ∀i = 1, ..., r y que pλ1 + pλ2+ . . . pλr = n, es decir, que todas las ra´ıces sean reales.

(7)

Base de vectores propios de IRⁿ: B ={ ⃗v1¹ , ... , ⃗v ¹_p

λ1 , ⃗v₁² , ... , ⃗v ²_p

λ2 , .... , ⃗v₁^r , ... , ⃗v ^r_p_λr } = B1

∪B2. . .^∪Br, siendo B_i la base de V_λ_i, y siendo el n´umero de vectores de B_i = p_λ_i.

Teorema 5.5 Si la matriz Anasociada a un endomorﬁsmo en IRⁿ tiene n valores propios distintos, entonces en IRⁿse puede obtener una base cuyos vectores sean todos autovectores de f .

Si el grado del polinomio caracter´ıstico es n y se tienen n autovalores distintos, significa que las multiplicidades son todas igual a uno. Por tanto los n V_λ_i tienen dimensión 1. La dimensión de la suma directa ser´a n× 1 = n, por tanto existe base de autovectores.

Matriz asociada a la base de vectores propios

D =







λ₁ . . . 0 . . . . . . 0 . . . 0

... ... ... ...

0 . . . λ₁ . . . . . . 0 . . . 0

... ... ... ...

0 . . . 0 . . . . . . 0 . . . 0

... ... ... ...

0 . . . 0 . . . . . . λr . . . 0

... ... ... ...

0 . . . 0 . . . . . . 0 . . . λ_r







← pλ1 → ← pλr →











f (⃗v₁¹) = λ₁ ⃗v¹₁ ...

f (⃗v_p¹

λ1) = λ₁ ⃗v_p¹ .. λ1

.

f (⃗v₁^r) = λr ⃗v₁^r ...

f (⃗v_p^r_λr) = λr ⃗v_p^r_λr

5.9 Propiedades de autovalores y autovectores

Teorema 5.6 Los valores propios de una matriz triangular son los valores de la diagonal principal.

Demostraci´on: Se demuestra para una matriz triangular superior y n = 3

A− λI =



a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a₃₃



−



λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ



=



a11− λ a12 a13

0 a22− λ a23

0 0 a₃₃− λ





λ es un autovalor ⇐⇒ |A − λI| = p(λ) = (a11− λ)(a22− λ)(a33− λ) = 0 Las ra´ıces de p(λ) son a₁₁, a₂₂, a₃₃

Se obtiene el mismo resultado para una matriz triangular inferior.

Teorema 5.7 Si λ es autovalor de A con autovector asociado ⃗x, entonces λ^k (k = 2, 3, ...) es autovalor de A^k con el mismo autovector asociado ⃗x.

Demostraci´on: A^k ⃗x =

k veces

z }| {

A ... A ⃗x = λ^k ⃗x Teorema 5.8 A_n es inversible ⇐⇒ el escalar 0 no es autovalor de A.

Demostraci´on: A es inversible⇐⇒ |A| ̸= 0 ⇐⇒ |A−0I| ̸= 0 ⇐⇒ 0 no es autovalor de A

(8)

Teorema 5.9 Si A es inversible y λ autovalor de A con autovector asociado ⃗x, entonces λ⁻¹ es autovalor de A⁻¹ con autovector asociado tambi´en ⃗x.

Demostraci´on: A⃗x = λ⃗x, A inversible =⇒ ∃A⁻¹ y λ̸= 0 Multiplicando por A⁻¹ por la izquierda, A⁻¹A⃗x = λA⁻¹⃗x

⃗

x = λA⁻¹⃗x λ⁻¹⃗x = A⁻¹⃗x

Teorema 5.10 A y A^t tienen los mismos autovalores

Demostraci´on: I^t= I =⇒ |A^t− λI| = |A^t− λI^t| = |(A − λI)^t| = |A − λI|

|A^t− λI| = |A − λI| =⇒ A y A^t tienen el mismo polinomio caracter´ıstico y por tanto los mismos autovalores y con la misma multiplicidad.

Ejemplo 5.9 Determina los valores propios de las matrices A y B.

A =



3 6 −8

0 0 6

0 0 2



 B =



 4 0 0

−2 1 0 5 3 4





Son matrices triangulares, y por tanto sus autovalores son los elementos de la diagonal.

Los autovalores de A son 3,0,6 y los autovalores de B 4 (multiplicidad 2) y 1.

RECORDAMOS: Dadas dos matrices A_n y F_n se dice que A es semejante a F si ∃ P inversible tal que A = P F P⁻¹.

Dos matrices A_ny F_nsemejantes corresponden al mismo endomorﬁsmo relativo a distintas bases, con tal de que en cada uno de los casos se utilice la misma base en el espacio inicial y ﬁnal.

Teorema 5.11 Si dos matrices A_n y F_n son semejantes, entonces tienen el mismo poli- nomio caracter´ıstico, y por tanto los mismos autovalores, con las mismas multiplicidades.

Demostraci´on: A y F semejantes =⇒ ∃ P / A = P F P⁻¹ A− λI = P F P⁻¹− λI = P F P⁻¹− P λIP⁻¹ = P (F− λI)P⁻¹

|A − λI| = |P ||F − λI||P⁻¹| = |F − λI| ⇒ |A − λI| = |F − λI|

———————————-

Nota importante: Equivalencia por filas no es lo mismo que semejanza. Si U = E1. . . EpA U no tiene por qué tener los mismos autovalores que A. Incluso si las E_i son matrices elementales de reemplazamiento (ni permutación ni escalamiento), y por tanto |A| = |U|, los polinomios caracter´ısticos |A − λI| y |U − λI| no tienen por qué ser iguales.

Ejemplo 5.10 Calcula el polinomio caracter´ıstico y ra´ıces de A =

[2 3 3 −6 ]

y de una matriz equivalente por ﬁlas a A.

Hab´ıamos calculado el polinomio caracter´ıstico de A en un ejercicio anterior, y ´este era p(s) = s²+ 4s− 21, con ra´ıces s = −7 y s = 3.

Puesto que A es inversible, |A| = −21, A es equivalente por ﬁlas a I2. El polinomio caracter´ıstico de I2 es p(s) = (1− s)² y la ra´ız es s = 1 con multiplicidad 2.

———————————-

(9)

5.10 Los cuatro casos respecto al tipo de ra´ıces de p(λ) en IR²

Ejemplo 5.11 Determinar los valores propios y subespacios propios correspondientes a los endomorﬁsmos con matrices asociadas:

A =

[−2 −2

−5 1

]

, B = [2 0

0 2 ]

, C =

[−3 2 0 −3 ]

, D =

[ 1 1

−1 1 ]

• |A − sI| =−2 − s −2

−5 1− s

= (−2 − s)(1 − s) + 10 = s²+ s− 12 ra´ıces 3,−4

Para calcular V3 hay que resolver el sistema A⃗x = 3⃗x, es decir, (A− 3I) ⃗x = ⃗0 [−5 −2 0

−5 −2 0 ]

∼

[−5 −2 0

0 0 0

]

, soluci´on: 5x + 2y = 0⇒ V3 =< (−2, 5) >

Para calcular V₋₄ hay que resolver el sistema A⃗x =−4⃗x, es decir, (A + 4I) ⃗x = ⃗0 [ 2 −2 0

−5 5 0

]

∼

[1 −1 0

0 0 0

]

, soluci´on: x = y ⇒ V₋₄ =< (1, 1) >

OBSERVACION: El conjunto formado por un vector de V3 y un vector de V₋₄ es linealmente independiente ⇒ B = {(−2, 5), (1, 1)} es base de IR² formada por vec- tores propios⇒ la matriz asociada al endomorﬁsmo respecto de esa base es diagonal y D =

[3 0 0 −4 ]

.

• B = [2 0

0 2 ]

es una matriz diagonal, por tanto sus valores propios son los elementos de la diagonal. p(s) = (2− s)(2 − s) ra´ız 2 doble

Para calcular V₂ hay que resolver el sistema A⃗x = 2⃗x, es decir [2 0

0 2 ]

⃗

x = 2⃗x. La ecuaci´on se veriﬁca para todo (x, y)∈ IR²

En efecto en el sistema homog´eneo [A− 2I | 0] las dos ecuaciones se anulan, por tanto hay cero pivotes y dos par´ametros libres.

OBSERVACION: Todos los vectores de IR² son vectores propios, por tanto cualquier base de IR², por ejemplo B = {(1, 0), (0, 1)}, es base de vectores propios. En cualquier base de IR² la matriz asociada al endomorﬁsmo es D =

[2 0 0 2 ]

.

• C =

[−3 2 0 −3 ]

, es una matriz triangular, por tanto sus valores propios son los elementos de la diagonal. p(s) = (−3 − s)(−3 − s) ra´ız −3 doble

Para calcular V₋₃ hay que resolver el sistema A⃗x =−3⃗x, es decir (A + 3I)⃗x = ⃗0.

[0 2 0 0 0 0 ]

tiene como soluci´on y = 0 (x par´ametro libre). V₋₃ =< (1, 0) >

• D =

[ 1 1

−1 1 ]

, p(s) = (1− s)(1 − s) + 1 = s² − 2s + 2 ra´ıces los complejos conjugados, 1 + i, 1− i. Por tanto no hay autovalores para el endomorﬁsmo real.

(10)

Ra´ıces Auto- Multip. Subespacios Multip. Base de valores algebr. propios geom´et. autovect.

A 3 λ = 3 1 V₃ =< (−2, 5) > 1 s´ı

-4 λ =−4 1 V₋₄=< (1, 1) > 1

B 2 doble λ = 2 2 V2=< (1, 0), (0, 1) > 2 s´ı C -3 doble λ =−3 2 V₋₃=< (1, 0) > 1 no

D 1+i no

1-i

5.11 Ejemplos en IR³

Ejemplo 5.12 Consid´erese la aplicaci´on lineal f : IR³ 7−→ IR³, sobre IR , cuya matriz asociada es A =



4 −1 6

2 1 6

2 −1 8



. Sabiendo que un valor propio de la aplicaci´on es λ = 2, encuentra una base del subespacio propio correspondiente a este valor propio.

Hay que resolver el SL A⃗x = 2⃗x, o lo que es lo mismo, (A− 2I)⃗x = ⃗0, A− 2I =



4 −1 6

2 1 6

2 −1 8



− 2



1 0 0 0 1 0 0 0 1



=



2 −1 6 2 −1 6 2 −1 6





Tenemos que resolver el SL de matriz ampliada:



2 −1 6 | 0 2 −1 6 | 0 2 −1 6 | 0





Las soluciones son los vectores ⃗x = (x1, x2, x3) veriﬁcando 2x1− x2+ 6x3 = 0. Tomando x2 y x3 como par´ametros libres, V2= (^x₂² − 3x3, x2, x3) con x2 ∈ IR, x3 ∈ IR.

V₂ tiene dimensi´on 2 y una posible base de V₂ es B ={(1, 2, 0), (−3, 0, 1)}

Ejemplo 5.13 Determinar los valores propios y subespacios propios correspondientes a los endomorﬁsmos con matrices asociadas:

A =



4 −1 6

2 1 6

2 −1 8



(matriz igual a la del Ejemplo 5.12)

B =



 2 4 3

−4 −6 −3

3 3 1



 , C =



 5 −8 1

0 0 7

0 0 −2



 , D =



 3 −2 0 4 −1 0

2 1 1





Soluci´on para la matriz A 0 =

4− s −1 6

2 1− s 6

2 −1 8− s

=

2− s −2 + s 0

2 1− s 6

2 −1 8− s

= (2− s)

1 −1 0

2 1− s 6

2 −1 8− s

= (2− s)

1 −1 0

0 2− s −2 + s

2 −1 8− s

= (2− s)²

1 −1 0

0 1 −1

2 −1 8 − s

= (2− s)²((8− s) + 2 − 1) = (2− s)²(9− s)

Los autovalores son λ1 = 2 (doble) y λ2 = 9