Aplicaciones Integrales dobles en coordenadas polares

C

F

C

Integrales dobles en coordenadas polares

Aplicaciones

Objetivos

 Calcular la integral doble mediante coordenadas polares.

 Aplicar la integral doble a diferentes problemas de

contexto real.

Integrales dobles en coordenadas polares Caso I

Si 𝑓 es una función continua en un rectángulo polar dado por:

𝑅 = 𝑟; 𝜃 ; 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽 ; 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏 con 0 ≤ 𝛽 − 𝛼 ≤ 2𝜋 entonces:

𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 =

𝐷^∗

𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝒓𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑏

𝑎 𝛽

𝛼

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥

+ 𝑦

= 𝑟

Relación entre coordenadas cartesianas y polares

Rectángulo polar

Ejemplo

Caso I

1

Calcule la integral

(3𝑥 + 4𝑦

)𝑑𝐴

𝑥² + 𝑦² = 1 y 𝑥² + 𝑦² = 4

(3𝑥 + 4𝑦²)𝑑𝐴 =

𝑅

3𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 4𝑟²𝑠𝑒𝑛²𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

2

1 𝜋

0

Solución

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

→ 𝑥² + 𝑦² = 𝑟²

𝑅 = 𝑟; 𝜃 ; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, 1 ≤ 𝑟 ≤ 2 ,

= 7𝑐𝑜𝑠𝜃 + 15𝑠𝑒𝑛²𝜃 𝑑𝜃

𝜋

0

= 15𝜋 2

Ejercicio 1

Calcule el valor de la integral

𝑒^{−(𝑥2+𝑦2)}𝑑𝐴

𝐷

donde 𝐷 es la región en el primer cuadrante acotada por la circunferencia 𝑥² + 𝑦² = 𝑎²

Solución

Ejercicio 2

Modele la integral doble que permita calcular el volumen del sólido limitado por el plano 𝑧 = 0 y el paraboloide

𝑧 = 1 − 𝑥² − 𝑦²

Solución

Integral doble en coordenadas polares Caso II

Si 𝑓 es una función continua en una región polar dado por:

𝐷 = 𝑟; 𝜃 ; 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽 ; 𝑕₁(𝜃) ≤ 𝑟 ≤ 𝑕₂(𝜃) entonces:

𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 =

𝐷

𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝒓𝑑𝑟𝑑𝜃

ℎ₂(𝜃)

ℎ₁(𝜃) 𝛽

𝛼

Si 𝑓 es una función continua en una región polar cerrada 𝐷, y 𝑓 𝑟; 𝜃 ≥ 0 ∀(𝑟; 𝜃) ∈ 𝐷. Entonces el volumen del sólido 𝑆 limitado superiormente por 𝑧 = 𝑓(𝑟; 𝜃) e inferiormente por la región 𝐷, esta dado por:

𝑽 𝑺 = 𝒇 𝒓; 𝜽 𝒓𝒅𝑨

𝑫

Observación

Ejemplo

Caso II

1

Modele la integral doble que permita calcular el volumen del sólido limitado superiormente por el paraboloide 𝑧 = 𝑥² + 𝑦², lateralmente por el cilindro 𝑥² + 𝑦² = 2𝑥 e inferiormente por el plano 𝑧 = 0. Calcule tal volumen.

𝑉 𝑆 = (𝑥² + 𝑦²)𝑑𝐴 =

𝐷

𝑟²𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

2𝑐𝑜𝑠𝜃

0 𝜋2

−𝜋2

Solución

𝐷 = 𝑟; 𝜃 ; −𝜋

2 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 2, 0 ≤ 𝑟 ≤ 2𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑉 𝑆 = 4 𝑐𝑜𝑠⁴𝜃𝑑𝜃

𝜋2

−𝜋2

= 3𝜋 2 𝑢³

Ejercicio 1

Calcule el valor de la integral

𝑥² + 𝑦²𝑑𝐴

𝐷

donde 𝐷 = 𝑥; 𝑦 , 1 ≤ 𝑥² + 𝑦² ≤ 9; 𝑦 ≥ 0

Solución

Ejercicio 2

Modele la integral doble que permita calcular el volumen del sólido limitado superiormente por la superficie de ecuación 𝑧 = 4 − 𝑥² − 𝑦², e inferiormente por la región limitada por la gráfica de la circunferencia 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃. Calcule tal volumen.

Solución

Ejercicio 3

Calcule el valor de la integral 𝑥²

(𝑥² + 𝑦²)² 𝑑𝐴

𝐷

𝐷 es la región en el primer cuadrante limitada por las circunferencias 𝑥² + 𝑦² = 𝑎² y 𝑥² + 𝑦² = 𝑎², 0 < 𝑎 < 𝑏

Solución

Ejercicio 4

Modele la integral doble que permita calcular el volumen del sólido limitado superiormente por la superficie esférica

𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 4, inferiormente por el plano 𝑋𝑌 y lateralmente por el cilindro 𝑥² + 𝑦² = 1.

Solución

Área de una región plana

Sea 𝐷 ⊂ ℝ³ una región plana en ℝ². El área de 𝐷 esta dada por la integral doble

𝑨𝒓𝒆𝒂 𝑫 = 𝒅𝑨

𝑦 𝑫

𝐷

Área de una región plana:

Casos particulares

Si 𝐷 es una región definida por

𝑫 = 𝒙; 𝒚 ∈ 𝑹^𝟐; 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 ; 𝒈_𝟏(𝒙) ≤ 𝒚 ≤ 𝒈_𝟐(𝒙)

donde 𝑔₁ y 𝑔₂ son continuas en 𝑎; 𝑏 entonces el área de 𝐷 es:

𝒙

Descripción de 𝐷:

𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃

𝒈_𝟏 𝒙 ≤ 𝒚 ≤ 𝒈_𝟐(𝒙)

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷 = 𝑑𝐴

𝐷

= 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑔₂(𝑥)

𝑔₁(𝑥) 𝑏

𝑎

Orden: 𝒅𝒚𝒅𝒙

Área de una región plana:

Casos particulares

Si 𝐷 es una región definida por

𝐷 = 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑅²; 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 ; 𝑕₁(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑕₂(𝑦)

donde 𝑕₁ y 𝑕₂ son continuas en 𝑐: 𝑑 , entonces el área de 𝐷 es:

𝐴𝑟𝑒𝑎(𝐷) = 𝑑𝐴

𝐷

= 𝑑𝑥𝑑𝑦

ℎ₂(𝑦)

ℎ₁(𝑦) 𝑑

𝑐

𝒚 Descripción de 𝐷:

𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅

𝒉_𝟏 𝒙 ≤ 𝒚 ≤ 𝒉_𝟐(𝒙)

Orden: 𝒅𝒙𝒅𝒚

Ejemplo

Área de una región plana

1

Si 𝑅 es la región limitada por las cuatro rectas 𝑦 = 3; 𝑦 = 1 y 𝑥 = 7; 𝑦 = ^𝑥+1

2 y la función 𝑓 definida por 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2𝑦.

a.- Grafique la región 𝑅

b.- Modele dos integrales dobles iteradas que permitan calcular el área de la región 𝑅.

c.- Utilizando una de las integrales modeladas en el ítem

anterior (la más conveniente), determine el valor del área de la región 𝑅.

Solución

Volumen

Si 𝑓 es una función integrable sobre una región 𝑅 en el plano y 𝑓(𝑥; 𝑦) ≥ 0 para todo 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑅 , entonces el volumen del sólido

𝑬 = (𝒙; 𝒚; 𝒛) 𝒙; 𝒚 ∈ 𝑹 ∧ 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒇(𝒙; 𝒚)

que se encuentra sobre la región 𝑅 y bajo la gráfica de 𝑓 se define como

𝑽 = 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨.

𝑹

𝒙 𝒚 𝒛

Ejemplo

Volumen

1

Calcule, mediante una integral doble, el volumen del sólido limitado por las superficies 𝑦 = 4 − 𝑥², 𝑧 = 4 − 𝑥².

Solución

consideramos el primer octante:

𝑉𝑜𝑙 = 2 4 − 𝑥² 𝑑𝐴

𝐸_𝑋𝑌

𝒙 𝒚

𝒛

𝒙 𝒚

𝒛

Ejemplo

Volumen

1

Proyectamos sobre el plano 𝑋𝑌:

𝐸_𝑋𝑌: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2; 0 ≤ 𝑦 ≤ 4 − 𝑥²

𝒙

𝒚 = 𝟒 − 𝒙^𝟐

Tenemos entonces que:

𝑉𝑜𝑙 = 2 (4 − 𝑥²𝑑𝑦𝑑𝑥)

4−𝑥²

0 0

0

= 2 4 − 𝑥^{2 2}𝑑𝑥

2

0

= 512 15

𝒙 𝒚

Ejercicio 1

Calcule el volumen de la región interior al cilindro 𝑥² + 𝑦 − 𝑎 ² = 𝑎², entre el plano 𝑧 = 0 y el paraboloide 𝑥² + 4𝑦² = 4𝑎𝑧, con 𝑎 > 0

Solución

Masa de una lámina plana

Considere una delgada placa que tiene la forma dada por la región 𝐷 del plano y cuya densidad está dada por la

función continua 𝜌(𝑥; 𝑦), entonces la masa 𝒎 de la lámina está dada por

𝒎 = 𝝆 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝑫

Región 𝐷

𝑦

𝑥

Ejemplo

Masa

1

Determine el centro de masa de la lámina acotada por las

curvas 𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 4, 𝑦 = 0, sabiendo que su densidad está dada por 𝛿 𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑥𝑦

Solución

𝒙 𝒚

La región de integración es:

𝐷: 0 ≤ 𝑥 ≤ 4; 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥

𝐷

𝒙 𝒚 = 𝒙

𝑚𝑎𝑠𝑎 = 𝛿 𝑥; 𝑦 𝑑𝐴

𝐷

= 𝑘𝑥𝑦𝑑𝑦

𝑥

0

𝑑𝑥

4

0

= 𝑘𝑥² 2 𝑑𝑥

4

0

= 32𝑘 3

Momento y centro de masa

Considere una delgada placa que tiene la forma dada por la región 𝐷 del plano y cuya densidad está dada por la función continua 𝜌(𝑥; 𝑦), entonces los momentos de masa respecto a los ejes 𝑋 e 𝑌 son

𝒙 = 𝟏

𝒎 𝒙𝝆 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝑫

Luego, si 𝑚 es la masa de la lámina, las coordenadas del centro de masa están dadas por (𝑥 ; 𝑦 ) donde:

𝑴

= 𝒚𝝆 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝑫

𝑴

= 𝒙𝝆 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝑫

𝒚 = 𝟏

𝒎 𝒚𝝆 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝑫

Ejemplo

Centro de masa

1

Determine la masa y el centro de masa de una lámina triangular cuyos vértices son 0; 0 , (1; 0) y (0; 2), cuya densidad está dada por 𝜌 𝑥; 𝑦 = 1 + 3𝑥 + 𝑦

Solución

Ejercicio 2

Determine el centro de masa de una lámina semicircular de radio 𝑎, si la densidad de la lámina en cualquier punto 𝑃(𝑥; 𝑦) es proporcional a la distancia del punto P al centro del círculo

Solución

Área de una superficie

Si 𝑓 y sus primeras derivada parciales son continuas en una región cerrada 𝑅 del plano 𝑋𝑌, entonces el área de la superficie

𝑆 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) está dada por:

𝑨 𝑺 = 𝟏 + 𝝏𝒇

𝝏𝒙

𝟐

+ 𝝏𝒇

𝝏𝒚

𝟐

𝒅𝑨

𝑹

Gráfica de 𝑓

𝑅 ^𝒙

𝒚 𝒛

Área de una superficie OBSERVACIONES

Si la región cerrada 𝑹 está en el plano 𝑿𝒁, entonces el área de la superficie 𝑺, dada por 𝑦 = 𝑓 𝑥; 𝑧 , sobre 𝑅 es

𝑨 𝑺 = 𝟏 + 𝝏𝒇

𝝏𝒙

𝟐

+ 𝝏𝒇

𝝏𝒛

𝟐

𝒅𝑨

𝑹 Gráfica de 𝑓

𝒙 𝑅

𝒚 𝒛

Área de una superficie OBSERVACIONES

Si la región cerrada 𝑹 está en el plano 𝒀𝒁, entonces el área de la superficie 𝑺, dada por 𝑥 = 𝑓 𝑦; 𝑧 , sobre 𝑅 es

𝑨 𝑺 = 𝟏 + 𝝏𝒇

𝝏𝒚

𝟐

+ 𝝏𝒇

𝝏𝒛

𝟐

𝒅𝑨

𝑹

Gráfica de 𝑓

𝑅

𝒙

𝒚 𝒛

Ejemplo

Área de una superficie

1

Calcule el área de la porción del paraboloide 𝑧 = 𝑥² + 𝑦² que está comprendida entre los planos 𝑧 = 0 y 𝑧 = 1

Solución

BIBLIOGRAFÍA

• [1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010)

Cálculo Esencial 1ª ed. México: Cengage Learning

• [2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning

• [3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México:

Limusa Wiley.

• [4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes tempranas. 7ª ed. México: Pearson Educación.

• [5] Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. 11ª ed.

México: Pearson