Propiedades aritm´ eticas de la transformaci´ on adjunta

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Transformaci´ on adjunta a una transformaci´ on lineal

Objetivos. Estudiar la construcción y las propiedades básicas de la transformación lineal adjunta.

Requisitos. Transformaci´on lineal, producto interno, representaci´on de funcionales lineales en un espacio vectorial con producto interno.

En estos apuntos se supone que el producto interno es lineal con respecto al segundo argumento.

1. Proposici´on (criterio del vector cero en un espacio con producto interno, repaso). Sea V un espacio vectorial complejo con producto interno y sea a ∈ V . Entonces las siguientes tres condiciones son equivalentes:

a = 0 ⇐⇒ a ⊥ a ⇐⇒ a ⊥ V.

Demostraci´on. Si a = 0, entonces para todo b ∈ V tenemos que ha, bi = 0, lo que significa que a ⊥ V .

Si a ⊥ V , entonces para todo b ∈ V tenemos que ha, bi = 0, en particular a ⊥ a.

Si a ⊥ a, entonces por la definici´on del producto interno a = 0.

2. Proposici´on (criterio para que dos transformaciones lineales en espacios con productos internos sean iguales). Sean V, W espacios vectoriales con producto interno y sean T, U ∈ L(V, W ). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) T = U .

(b) ∀v ∈ V ∀w ∈ W hT v, wi_W = hU v, wi_W. (c) ∀v ∈ V ∀w ∈ W hw, T vi_W = hw, U vi_W.

Demostraci´on. Demostremos que (b) implica (a). Aplicando propiedades linales escribimos la condici´on (b) de la siguiente manera:

∀v ∈ V ∀w ∈ W h(T − U )v, wi_W = 0.

Esto significa que (T − U )v ⊥ W y por lo tanto (T − U )v = 0_W. Como v ∈ V es arbitrario, T − U = 0.

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3. Definición (transformación adjunta a una transformación lineal en espacios con producto interno). Sean V, W espacios vectoriales (ambos reales o ambos complejos) con producto interno y sea T ∈ L(V, W ). Una transformación lineal S ∈ L(W, V ) se le llama adjunta a T si

∀v ∈ V ∀w ∈ W hw, T vi_W = hSw, vi_V. (1) 4. Ejercicio. Demuestre que la condici´on (1) es equivalente a la siguiente:

∀v ∈ V ∀w ∈ W hT v, wi_W = hv, Swi_V.

5. Teorema (existencia y unicidad de la transformaci´on adjunta). Sean V, W espacios vectoriales (ambos reales o ambos complejos) con producto interno, dim(V ) <

+∞ y sea T ∈ L(V, W ). Entonces existe una ´unica transformaci´on lineal S ∈ L(W, V ) tal que

∀v ∈ V ∀w ∈ W hw, T viW = hSw, viV. (2) Esta transformación S se llama la transformación adjunta a T y se denota por T^∗. Demostración. Unicidad. Supongamos que S y S⁰ ambas son transformaciones lineales adjuntas a T . Entonces

∀v ∈ V ∀w ∈ W hSw, vi_V = hw, T vi_W = hS⁰w, vi_V,

y por el criterio de igualdad de transformaciones lineales en espacios con productos internos concluimos que S = S⁰.

Existencia. Consideramos s´olo el caso compelejo (el caso real es similar). Para todo vector fijo w ∈ W la funci´on ϕ_w: V → C definida mediante la regla

ϕ_w(v) = hw, T vi

es un funcional lineal en V , es decir, ϕ_w ∈ V^∗. Por el de la representación de funcionales lineales en espacios unitarios (teorema de Riesz-Fréchet para el caso de dimensión finita) existe un único vector u ∈ V tal que

∀v ∈ V ϕ_w(v) = hu, vi,

esto es,

∀v ∈ V hw, T vi = hu, vi.

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esto es,

S(λb + µc) − λS(b) − µS(c) = 0_V.

Por el criterio del vector cero en un espacio con producto interno, ser´a suficiente demostrar que S(λb + µc) − λS(b) − µS(c) es ortogonal a todo vector a ∈ V . Vamos a basarnos en la identidad (2) y en la propiedad lineal conjugada del producto interno con respecto al primer argumento.

hS(λb + µc) − λS(b) − µS(c), ai = hS(λb + µc), ai − λhS(b), ai − µhS(c), ai

= hλb + µc, T (a)i − λhb, T (a)i − µhc, T (a)i

= hλb + µc − λb − µc, T (a)i

= h0, T (a)i = 0.

6. Nota. El teorema de Riesz-Fréchet de la representación de funcionales lineales es válido no sólo en espacios de dimensión finita, sino en todo espacio de Hilbert (este concepto generaliza espacios unitarios o euclidianos al caso de dimensión infinita; en pocas palabras, son los espacios con producto interno en los cuales toda sucesión de Cauchy converge). El teorema 5 que acabamos de demostrar también se puede generalizar al caso de espacios de Hilbert.

Operador adjunto

En el caso V = W es común usar el término operador lineal en vez de transformación lineal. El caso particular V = W es el más importante, por eso escribimos una versión del teorema 5 para este caso (por supuesto, ya no necesitamos demostrarlo).

7. Teorema (existencia y unicidad del operador adjunto a un operador lineal en un espacio unitario o euclidiano). Sea V un espacio unitario o euclidiano y sea T ∈ L(V ). Entonces existe un ´unico operador lineal S ∈ L(V ) tal que

∀u, v ∈ V hu, T vi = hSu, vi. (3)

Este operador lineal S se llama el operador adjunto a T y se denota por T^∗.

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Ejemplos de operadores adjuntos

8. Ejemplo (el operador adjunto al operador del desplazamiento en C⁴). Defi- nimos el operador T : Cⁿ → Cⁿ mediante la regla:

(T x)j :=

(x_j+1, j ∈ {1, 2, 3};

0, j = 4.

En otras palabras,

T x =





 x2

x₃ x₄ 0





 .

Es f´acil ver que T ∈ L(Cⁿ). Encuentre T^∗.

9. Ejemplo (el operador adjunto al operador del desplazamiento c´ıclico en C⁴).

Haga la tarea del ejercicio anterior para el operador T : Cⁿ → Cⁿ, (T x)_j :=

(x_j+1, j ∈ {1, 2, 3};

x₁, j = 4.

10. Ejemplo (el operador adjunto al operador de multiplicaci´on en el espacio de las funciones continuas). Consideremos el espacio C([α, β]) = C([α, β], C) con el producto interno

hf, gi :=

β

Z

α

f (x) g(x) dx.

Sea a ∈ C([α, β]) una función fija. La transformación de multiplicación por a se define por la siguiente regla de correspondencia:

∀f ∈ C([α, β]) ∀x ∈ [α, β] (Maf )(x) := a(x)f (x).

Es f´acil ver que M_a^∗ = M_¯_a.

11. Ejercicio (la multiplicaci´on izquierda por una matriz fija y su operador adjunto). En el espacio M_n(C) con el producto interno can´onico

hX, Y i = tr(X^∗Y ) con cada matriz A ∈ M_n(C) podemos asociar el operador

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12. Ejercicio (el adjunto al operador de la derivada en el espacio de las funciones suaves de soporte compacto). Denotemos por C₀^∞(R) al espacio de funciones R → C infinitamente derivables de soporte compacto. Se dice que una funci´on f es de soporte compacto si existe un intervalo finito tal que f se anula en todas los puntos fuera de este intervalo. Definimos en C₀^∞(R) el siguiente producto interno:

hf, gi :=

+∞

Z

−∞

f (x) g(x) dx.

Como f y g son de soporte compacto, en realidad la integral siempre es sobre un intervalo finito (que depende de f y g).

Ahora consideremos en el espacio C₀^∞(R) el operador derivada:

D : C₀^∞(R) → C0^∞(R), Df := f⁰. Calcule su operador adjunto D^∗.

13. Ejercicio (el adjunto al operador integral). Consideremos el espacio de funciones continuas C([a, b]) = C([a, b], C) con el producto interno

hf, gi =

b

Z

a

f (x)g(x) dx.

Sea K ∈ C([a, b] × [a, b]). El operador integral con el n´ucleo integral K en el espacio C([a, b]) se define como

(T f )(x) =

b

Z

a

K(x, t)f (t) dt.

Demuestre que T^∗ es el operador integral con el n´ucleo integral K^∗, donde K^∗(x, t) = K(t, x) ∀x, t ∈ [a, b].

En otras palabras,

(T^∗g)(y) =

b

Z

a

K(u, y) g(u) du.

(6)

Propiedades aritm´ eticas de la transformaci´ on adjunta

Suponemos que V y W son espacios vectoriales con producto interno de dimensiones finitas, ambos complejos o ambos reales.

14. Adjunta de la adjunta. Sea T ∈ L(V, W ). Entonces (T^∗)^∗ = T.

15. Adjunta de la suma. Sean T, U ∈ L(V, W ). Entonces (T + U )^∗ = T^∗+ U^∗.

16. Adjunta del producto por escalar. Sean T ∈ L(V, W ) y λ ∈ C. Entonces (λT )^∗ = λT^∗.

17. Adjunta del producto. Sean V, W, X espacios unitarios (o todos euclidianos) y sean T ∈ L(V, W ), U ∈ L(W, X). Entonces

(U T )^∗ = T^∗U^∗.

18. Adjunta de la identidad. Sea V un espacio unitario o euclidiano. Entonces (IV)^∗ = IV.

19. Inversa de la transformaci´on adjunta. Sean V, W espacios vectoriales con produc- to interno, dim(V ) = dim(W ) < +∞, T ∈ L(V, W ) una transformaci´on lineal invertible.

Entonces T^∗ tambi´en es invertible, y

(T^∗)⁻¹ = (T⁻¹)^∗.

Idea de la demostraci´on. Hay que demostrar que la transformaci´on (T⁻¹)^∗ es inversa a T^∗, esto es, que

(T⁻¹)^∗T^∗ = I y T^∗(T⁻¹)^∗ = I.

20. Corolario (invertibilidad de la transformaci´on adjunta). Sean V, W espacios unitarios (o ambos euclidianos), dim(V ) = dim(W ) < +∞, y sea T ∈ L(V, W ). Entonces

T es invertible ⇐⇒ T^∗ es invertible.

21. Proposici´on (espectro del operador adjunto). Sea V un espacio unitario o euclidiano y sea T ∈ L(V ). Entonces

sp(T^∗) = sp(T ) =z ∈ C: z ∈ sp(T ) .

Demostraci´on. Primero notemos que por las propiedades aritm´eticas de la adjunta, (T^∗− λI)^∗ = (T^∗)^∗− (λI)^∗ = T − λI.

Ahora aplicamos el criterio de invertibilidad de la transformaci´on adjunta a la transfor-