Clase 21 – Técnicas combinatorias y muestreo

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PPTC3M048M311-A17V1

Clase

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Contenidos y Objetivos

Para esta sesión es necesario que sepas acerca de:

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Actividades

La combinatoria es una rama de la matemática que estudia la manera de ordenar una cantidad de elementos según determinadas condiciones, es decir, se encarga de enumerar y presentar estas distintas configuraciones. Las siguientes situaciones nos serán de utilidad para comprender estos conceptos de manera intuitiva y, luego, a partir de fundamentos matemáticos. Trabajen siempre guiados por su profesor.

La señora Lorena tiene una pastelería y desea disponer la repostería de su local en una vitrina que esta visible al publico.

La siguiente figura representa el orden en que Lorena colocó sus productos en la vitrina.

1

Es esta la única disposición posible en la vitrina para los productos de Lorena? Si no es _{así, ¿de cuantas maneras diferentes se pueden ordenar estos productos en la vitrina?}

No es la única disposición posible. La señora Lorena tiene 24 posibles opciones: A – B – C – D B – A – C – D C – A – B – D D – A – B – C A – B – D – C B – A – D – C C – A – D – B D – A – C – B A – C – B – D B – C – A – D C – B – A – D D – B – A – C A – C – D – B B – C – D – A C – B – D – A D – B – C – A A – D – B – C B – D – A – C C – D – A – B D – C – A – B A – D – C – B B – D – C – A C – D – B – A D – C – B – A

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Actividades

¿Qué concepto matemático es útil para

responder la pregunta anterior? Discutan y definan con su profesor este concepto, poniendo especial atención para cuando este toma el valor cero.

2

Este caso corresponde a la técnica combinatoria llamada permutación. Discutan acerca de las condiciones necesarias que debe tener un problema para resolverlo utilizando esta técnica.

3

Un concepto matemático útil para este tipo de problemas es el factorial. En el caso anterior se tienen 4! = 4·3·2·1 = 24 casos posibles.

El mínimo valor que puede tener un número factorial es uno, ya que 0! = 1! = 1, por lo que no puede tomar el valor cero.

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Actividades

¿De cuántas maneras distintas podría la señora Lorena colocar 2 de sus productos en la vitrina?

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En una nueva vitrina, la señora Lorena quiere colocar solamente 2 de los productos representados en las figuras adjuntas.

Se pueden ordenar de 30 maneras distintas:

A – B B – A C – A D – A E – A F – A A – C B – C C – B D – B E – B F – B A – D B – D C – D D – C E – C F – C A – E B – E C – E D – E E – D F – D A – F B – F C – F D – F E – F F – E

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Actividades

Supongamos que la señora Lorena, en la situación propuesta, puede colocar uno o mas productos idénticos de los que se presentaron en las figuras. Bajo esta nueva condición, ¿de cuántas maneras distintas podría la señora Lorena disponer 2 de sus productos en la vitrina?

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Se podrían ordenar de 36 maneras diferentes. A lo anterior deberían agregarse los casos de A – A, B – B, C – C, D – D, E – E y F – F.

Estos casos corresponden a la técnica combinatoria llamada variación. Discutan acerca de las condiciones necesarias que debe tener un problema para resolverlo utilizando esta técnica, tomando en cuenta la repetición de elementos.

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En esta técnica combinatoria no se consideran todos los elementos e importa el orden. Pueden ser con o si repetición.

En el caso anterior:

(P4) Sin repetición: 6! ₌

6! ₌ ₃₀ (P5) Con repetición: 62_{= 36}

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Actividades

Supongamos que un cliente viene a la pastelería de Lorena y desea comprar dos productos distintos para compartir con un amigo.

En la situación anterior, ¿es importante el orden en que el cliente compre los productos? Justifiquen.

7

No, debido a que obtiene los mismos productos en caso de comprar, por ejemplo, los productos A y B o comprar B y A. Es decir, no importa el orden.

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Actividades

¿Cuántas parejas de productos distintas podría comprar el cliente, sin que se repita alguno de ellos?

8

El cliente podría comprar 15 parejas de productos distintos: A – B B – C C – D D – E E – F

A – C B – D C – E D – F A – D B – E C – F

A – E B – F A – F

Si el cliente puede llevar dos productos iguales, ¿cuántas parejas de productos distintas podría comprar considerando esta condición?

9

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Actividades

Estos casos corresponden a la técnica combinatoria llamada combinación. Discutan acerca de las condiciones necesarias que debe tener un problema para resolverlo utilizando esta técnica, tomando en cuenta la repetición

de elementos.

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Esta técnica combinatoria no utiliza todos los elementos, no considera el orden y puede ser utilizada con o sin repetición de elementos.

(P8) Sin repetición (P8) con repetición





4!

2!

15 6!

2!

!

2

6 6!

2

6 



























5!

2!

21

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Actividades

Para sintetizar lo aprendido acerca de las técnicas combinatorias, completen la tabla adjunta junto a su profesor. Tengan presente definir el significado de la simbología empleada en las formulas.

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Si Si Si Si Si Si No No No No No No n!

n! , a!·b!·…·r!

n! ,

(n – k)! nk

n! ,

(n – k)!·k!

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Actividades

Con base en lo anterior, identifiquen que tipo de técnica combinatoria es la adecuada para resolver los siguientes casos. Si el tiempo es suficiente, determinen la cantidad de ordenamientos posibles en cada uno de ellos.

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Variación con repetición.

7! ₌_{7·6·5 = 210 formas posibles.} (7 – 3)!

A. En una carrera en la que participan 7 personas, en la que todas tienen las mismas destrezas físicas, ¿de cuántas formas diferentes pueden ordenarse los 3 primeros lugares?

B. En un automóvil viajan 5 personas, de las cuales solo 2 saben conducir. ¿De cuántas formas diferentes pueden disponerse estas personas dentro del automóvil?

Permutación con repetición.

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Actividades

Combinación.

15! ₌_{455 cartones diferentes.} 3! ·12!

C. Los cartones de un juego de azar contienen 12 números diferentes, los cuales están entre el 1 y el 15, ambos valores incluidos. ¿Cuántos cartones diferentes se podrían generar para este juego?

D. Una clave secreta bancaria contiene 4 dígitos del 0 al 9, ambos valores incluidos.

Considerando que estos valores se pueden repetir, ¿cuántas claves secretas diferentes se podrían generar?

Variación con repetición.

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Actividades

Combinación con repetición.

(8 + 2 – 1)! ₌_{36 tipos de barquillos dobles diferentes.} 7! ·2!

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Actividades

Ya hemos recordado los conceptos básicos de combinatoria. Estos se aplican en el muestreo aleatorio simple, que es una técnica en la que cada elemento que pertenece a una población tiene la misma probabilidad de ser escogido para formar una muestra de dicha población. A continuación veremos algunos ejemplos que nos ayudaran a relacionar lo que ya hemos visto con el muestreo.

Por población se entienden todos los elementos que comparten cierta(s) característica(s) en común, mientras que una muestra es un subconjunto de la población.

A partir de las situaciones, y en conjunto con su profesor, definan los conceptos de población y muestra.

Lean atentamente las siguientes situaciones:

En un curso formado por 30 estudiantes se desea formar una comisión compuesta por 5 de ellos. ¿De cuántas formas distintas se podría formar esta comisión?

Una población esta compuesta por 30 elementos diferentes. Se desea extraer muestras de tamaño 5, sin considerar orden ni reposición. ¿Cuántas muestras diferentes de tamaño 5 se podrían extraer de esta población?

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Actividades

Ambas corresponden a una combinatoria:

30! _{= 142.506 formas distintas de formar una comisión o una muestra.}_. 5! ·25!

Matemáticamente, ¿cómo se resuelve cada una de las situaciones? .Es posible establecer alguna similitud entre ellas?

En la segunda situación, ¿cómo afectaría a la cantidad de muestras si la extracción fuese con reposición? ¿Se resolvería matemáticamente de la misma manera?

Si la extracción fuera con reposición existiría la opcion de escoger un elemento repetidas veces, por lo cual correspondería a una variación con repetición, lo cual no re resuelve matemáticamente de la misma manera, ya que en este caso habrían 305_{casos posibles.}

2

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Actividades

Para poder determinar la media poblacional es necesario conocer, como máximo, todas las medias muestrales.

Supongan que se extraen todas las muestras de tamaño 2 de la población

{a, b, c, d, e}, de manera que se conoce el valor de la media para cada una de ellas. ¿Cuántas de las medias asociadas a cada una de estas muestras es necesario

conocer, como máximo, para conocer la media de la población? Justifiquen su respuesta.

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1

En un grupo de siete deportistas, ¿de cuantas formas distintas se puede escoger entre ellos un grupo de cinco para participar en una competencia?

A) 21 B) 25 C) 28 D) 42 E) 462

Modelamiento

¿Cuál es la alternativa

correcta?

Habilidad: Aplicación

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Modelamiento

2

_{Si se forman palabras de cuatro letras, con o sin sentido, usando las letras de}

la palabra IGUALES, .cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) En total, se pueden formar 840 palabras distintas.

II) Se pueden formar 360 palabras distintas que comiencen con una consonante.

III) Las palabras que se pueden formar que comiencen con A y que terminen con L son 20.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

¿Cuál es la alternativa

correcta?

Habilidad: ASE

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3

_{Un restaurante ofrece a sus clientes menús para la hora de almuerzo, de los cuales}

se puede seleccionar como máximo un plato de fondo, un bebestible y un postre, y como máximo dos agregado diferentes, los que se presentan en la tabla adjunta. Con respecto a esta información, es correcto afirmar que si una persona elige

Es (son) verdadera(s)

A) solo II. B) solo I y II. C) solo I y III. D) solo II y III. E) I, II y III.

Modelamiento

¿Cuál es la alternativa

correcta?

Habilidad: ASE

E

I) un plato de fondo, un agregado, un bebestible y un postre, entonces podría hacerlo de 120 maneras diferentes.

II) solo un plato de fondo y un agregado, el cual no puede ser puré picante, entonces podría hacerlo de 16 maneras diferentes.

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En un conjunto de doce elementos pueden extraerse un total de p muestras distintas de tamaño k, sin considerar reposición ni orden. .Cual de los siguientes valores de k esta asociado a un mayor valor de p?

A) 12 B) 8 C) 5 D) 2 E) 4

4 Modelamiento

¿Cuál es la alternativa

correcta?

Habilidad: Aplicación

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Modelamiento

5

_{Se puede determinar la media de una población de números enteros positivos}

M = {a, b, c, d, e}, si se sabe que:

(1) La media de la muestra {a, b, d} es . (2) La media de la muestra {c, e} es 20.