Observacions: Mai es pot saber el valor exacte d una variable aleatòria contínua.

31  Descargar (0)

Texto completo

(1)

3. VARIABLES ALEATÒRIES CONTÍNUES O GENERALS

3.1 Introducció a la Variable aleatòria contínua.

Una variable aleatòria contínua (VAC) sobre un espai probabilitzat (Ω, ℘(Ω), P) amb Ω no numerable, és una funció χχ : ΩΩ →→ ℜℜ tal que assigna a tot succés

ω

∈ Ω un valor χ (

ω

), de manera que per tot nombre real x el succés

{

ω χ(ω) ≤x

}

⊂Ω .

Observacions: è

è Mai es pot saber el valor exacte d’una variable aleatòria contínua. è

è Les variables aleatòries contínues, com les VAD’s, es caracteritzen per la seva funció de distribució

(F (x))

X , però no tenen una funció de probabilitat

p

x

( )

x

(ja que mai es pot saber el valor exacte). En comptes d’aquesta tenim una funció de densitat de probabilitat f X (x) , que és la derivada de la

funció de distribució. è

è En v.a.d. teníem que la funció de distribució representava la noció de probabilitat acumulada, en contínua és el mateix concepte i per definició,

[

]

(

)

−∞< < +∞

= P X x x

(x)

(2)

è

è La funció densitat de probabilitat de X VAC (fdp) és la derivada respecte la variable de la funció de distribució de probabilitat, és a dir,

dx

dF

f

(x)

X

(x)

X

=

x

De manera que la funció de distribució avaluada al punt real x pot determinar-se com la integral definida entre −∞ i x de la funció densitat de probabilitat (fdp):

∞ = x -X X(x) (t)dt F f

x

è

(3)

Comparança gràfica de les lleis discretes i contínues

Variable aleatòria discreta. Variable aleatòria contínua.

(4)

è

è Les funcions de probabilitat i de distribució de les VAC compleixen les següents propietats:

(5)

3.2 Moments en V.A.C.

(6)

è è è

è Propietats dels moments en VAD segueixen essent vàlides: è è

[

X

Y

] [ ] [ ]

E

X

E

Y

E

±

=

±

[

aX

b

]

aE

[ ]

X

b

E

±

=

±

[ ]

[ ]

2

[ ]

2

X

E

X

E

X

VAR

=

[

X

Y

]

VAR

[ ]

X

VAR

[ ]

Y

COV

(

X

Y

)

VAR

±

=

+

±

2

,

[

aX

b

]

a

VAR

[ ]

X

VAR

±

=

2

(

X

Y

)

E

[

X

Y

] [ ] [ ]

E

X

E

Y

(7)

Exemple:

X: Temps requerit per la complertació d’un projecte de software (en anys)

(

)

=

altrament

x

x

kx

f

0

1

0

1

(x)

X

1. Calcular k perquè

f

X

(x)

sigui una fdp ben definida.

2. Determinar la probabilitat del succés A: Un projecte es complerti en menys de 4 mesos. 3. Determinar la probabilitat del succés B: Un projecte tingui una durada entre 4 i 8 mesos. 4. Quina és l’esperança de la VAC X?

5. Quina és la variança de la VAC X?

(8)

3.3 Vectors aleatoris continus: Distribució conjunta de dues variables contínues

Siguin X i Y dues variables aleatòries contínues. è

è La funció de distribució de probabilitat conjunta

F (x,y)

XY compleix que :

)

a

,

(a

F

)

b

,

(a

F

)

a

,

(b

F

)

b

,

(b

F

)

b

Y

a

,

b

X

(a

P

2 1 XY 2 1 XY 2 1 XY 2 1 XY 2 2 1 1

+

=

=

è

è La funció densitat conjunta de X i Y ,

f

XY

(x,

y)

, satisfà:

∫ ∫

−∞ −∞

=

x y

f

F

XY

(x,

y)

XY

(u,

v)

du

dv

è

è La funció de distribució de probabilitat marginal de X,

F (x)

X és:

(9)

è

è La funció de densitat de probabilitat marginal de X és:

f

X

(x)

=

f

XY

(x, y) dy

−∞ ∞

è

è Dues variables aleatòries contínues són independents si i només si

F (x,y)

XY

=

F (x) F (y) x,y

X

Y

è

è Dues variables aleatòries absolutament contínues són independents si i només si,

y

x,

(y)

f

(x)

f

y)

(x,

f

XY

=

X

Y

è è Propietats de

F

XY

(x,

y)

: 1.

F

XY

(x,

y)

és no decreixent.

2. Està definida

F

XY

:

2

,

per tot parell de valors reals.

3. Els límits quan ambdues variables tendeixen a -∞ és igual a 0 i quan tendeixen a +∞ igual a 1:

(10)

3.4 Algunes variables aleatòries contínues

3.4.1 Llei uniforme U[a,b]:

Entre els diferents models (distribucions típiques) de variables aleatòries contínues n´hi ha un de molt senzill, l’uniforme a l’interval tancat

[ ]

a,b S’expressa com X

U

[ ]

a

,

b

la funció de densitat de probabilitat és:

[ ]

=

altrament

0

b

a,

x

si

(x)

b a 1 X

f

La funció de distribució és 0 fins a a, recta amb pendent

1

b a− en l’interval

[ ]

a, b i 1 a partir de b. Gràficament, les dues funcions són:

(11)
(12)

3.4.2 Llei exponencial de paràmetre

λ

:

Exp(

λ

)

La distribució exponencial de paràmetre λ és una funció definida pels reals positius. S’expressa com

X

Exp( )

λ

i gràficament es representa:

( )

=

altrament

x

e

x

f

x X

0

0

λ

λ

X x eλ − 1 1 X x

e

λ

λ

funció de distribució funció de densitat de

(13)

La funció de distribució de probabilitat de la variable X, FX , és: è è

( )

(

[

]

)

( )

   − ≥ = ⋅ = ≤ = − ∞ −

altrament x e dt t f x X P x F x x X X 0 0 1 λ

{

}

(

)

x

e

x

X

P

>

0

=

λ . è

è L’esperança matemàtica de la variable aleatòria X és,

[ ]

+∞

( )

+∞

(

)

∞ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = = 0 1 λ λ λ L dt e t dt t f t X E X t è

è La variança de la variable aleatòria X és,

(14)

Propietat 1:

La funció densitat de probabilitat d’una variable aleatòria X, exponencial de paràmetre λ,

f

X

( )

x

és una funció estrictament decreixent en x.

X

x

e

λ

(15)

Propietat 2:

La distribució de probabilitat exponencial gaudeix de la propietat d’absència de memòria que pot formular-se en termes matemàtics com,

[

]

[

]

P

(

[

X

x

]

)

x

X

x

x

X

P



+



=

per

x

,

x

0

, I és fàcil de verificar,

[

]

[

]

(

[

(

[

] [

]

)

]

)

(

[

(

[

]

)

]

)

( ) e P

(

[

X x

]

)

e e x X P x x X P x X P x X x x X P x X x x X P x x x x ∆ ≥ = = = ≥ ∆ + ≥ = ≥ ≥ ∩ ∆ + ≥ =     ≥ ∆ + ≥ − ∆ − ∆ + − λ λ λ è

è La propietat d'absència de memòria és una característica exclusiva de la distribució exponencial: cap altre distribució de probabilitats per una variable aleatòria contínua gaudeix d'aquesta

característica. è

(16)

Propietat 3:

Si la funció densitat de probabilitat de la variable aleatòria T, temps entre incidents (arribades o sortides d’un sistema) és exponencial de paràmetre α, aleshores la variable aleatòria

X

definida com el nombre d’incidents en un interval fix

[ ]

0,t segueix una distribució de Poisson de paràmetre

λ

=

α

t

.

És a dir,

X

(

λ

=

α

t

)

on

( )

( )

t n n X e n t e n n f = λλ = α ⋅ −α⋅ ! ! i

E

[ ]

X

=

Var

[ ]

X

=

λ

=

α

t

. è

è La interpretació del paràmetre α és la taxa mitjana d’incidents per unitat de temps .

Sigui el succés A definit com que no arribi cap incident en el interval

[ ]

0,t , calculem la seva

probabilitat a partir de la definició de la variable X,

( )

(

{

}

)

( ) ( )

t t t X

e

e

e

t

f

X

P

A

P

=

=

=

=

α

α

=

α

=

α

1

1

!

0

0

0

0

(17)

Propietat 4:

La variable aleatòria U definida com el mínim d’un conjunt de n variables aleatòries independents i exponencials T1,L,Tn, de paràmetres respectius

α

1

,

L

,

α

n, segueix una llei exponencial de paràmetre

= = n i i 1 α α .

è És a dir,

U

=

Min

{

T

1

,

K

,

T

n

}

i per tant la funció de distribució de

U

pot expressar-se com,

(18)

3.4.3 La distribució k-Erlang

è Exemple: Una estació de servei té un únic servidor on una operació de servei consistent en una sèrie de k etapes consecutives i fins que no ha finalitzat amb la última etapa de les k etapes pel client amb el que està ocupat no passa a ocupar-se del següent client de la cua.

è A més a més que el temps Ti de cada etapa de servei i és una variable aleatòria que és independent dels

altres temps de servei de la resta d'etapes i es distribueix exponencialment amb paràmetre o taxa de

servei µ . k comú per totes les etapes de servei.

è El temps total de servei T serà doncs una variable aleatòria i pot expressar-se com la suma dels temps de servei de les k etapes:

=

= k i i

T

T

1

En aquestes condicions la variable aleatòria T es distribueix segons la llei de probabilitats k-Erlang (o Erlang de paràmetres k, µ) que presenta la següent funció de distribució:

(19)

i la funció densitat de probabilitat:

( )

(

( )

)

(

( )

)

per 0 ! 1 1 ≥ − = = − tt k k e t F dt d t f k k t k T T µ µ . è

è L’esperança matemàtica i la variança de la variable aleatòria T d’Erlang de paràmetres µ i k són:

(20)

Així doncs la relació entre la desviació tipus i l'esperança matemàtica θ és sempre inferior a la unitat per k > 1 :

[ ]

(

)

[ ]

1

1

si

1

2 / 1 2 / 1

>

<

=

=

k

k

T

E

T

Var

θ

è

è Una representació gràfica de la funció de densitat de probabilitat per la distribució k-Erlang per diferents valors dels paràmetres k, µ però mantenint-se µ = 1, ve donada en la següent figura:

(21)

Exemple: Relació Poisson-Exponencial

La taxa mitjana de comandes d’impressió enviades en un Centre de Càlcul és de 0.1 comandes per segon. Es suposa vàlida una distribució poissoniana del nombre de comandes per interval de temps. Quina és la probabilitat del succés A: que no s’enviï cap comanda en 10 segons? Resoldre doblement la qüestió, a partir del càlcul de probabilitats sobre els valors de les variables:

1. X: Nombre de comandes enviades en 10 segons

(22)

3.4.4 Llei Normal de paràmetres

µ

i

σ

2

Notat

X

N

(

µ

,

σ

2

)

, X VAC que pot pendre qualsevol valor real amb una funció densitat de probabilitat,

(23)

è

è La funció de distribució de

X

N

(

µ

,

σ

2

)

no té una expressió analítica:

=

x -X X

(x)

(t)

dt

F

f

x

Per tant està tabulada pel cas particular µ =0 i σ2 =1, coneguda com la llei normal

(

=

0

,

2

=

1

)

N

µ

σ

Z

estàndard.

è

è Les taules faciliten la informació per poder calcular si

X

N

(

µ

,

σ

2

)

:

[

]

(

X

x

)

F

( )

x

(24)

Propietats de

X

N

(

µ

,

σ

2

)

: è

è

E

[ ]

X

=

µ

è

è

VAR

[ ]

X

=

σ

2 .

σ

és el punt d’inflexió de la fdp. è

è Funció densitat de probabilitat simètrica:

[ ]

X

=

µ

E

= Mediana, el que implica

(25)

è è Percentils:

[

]

(

µ

σ

X

µ

+

σ

)

0

.

68

P

[

]

(

µ

2

σ

X

µ

+

2

σ

)

0

.

95

P

[

]

(

µ

3

σ

X

µ

+

3

σ

)

0

.

997

P

Distribució estàndard

Z

N

(

µ

=

0

,

σ

2

=

1

)

è

è Tabulada la seva funció de distribució de probabilitat per valors z >0:

( )

=

<

<

+∞

∞ − −

z

dt

e

z

F

Z z t 2 2 1

2

1

π

è

è Per la propietat de simetria es poden calcular probabilitats acumulades de valors negatius, si δ >0:

[

]

(

Z

δ

)

=

F

( )

δ

=

1

F

( )

δ

=

1

P

(

[

Z

δ

]

)

δ

>

0

(26)

è è Si

X

N

(

µ

,

σ

2

)

llavors la variable σ µ − = X

Z està distribuïda com una normal estàndard,

(

=

0

,

2

=

1

)

N

µ

σ

Z

.

[

]

(

)

 −

=





=





=

σ

µ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

x

F

x

Z

P

x

X

P

x

X

P

Z

(27)

è Exemple.

Un senyal es mesura en mV i pot modelitzar-se com una gaussiana

X

N(200,256).

• Quina és la probabilitat que el senyal superi els 240 mV?

0'0062

0'9938

1

2'5)

P(Z

1

)

P(Z

1

)

P(Z

1

240)

P(X

1

240)

>

P(X

16 40 256 200 240

=

=

=

=

=

=

=

(28)

3.4.5 Transformacions lineals de v.a. normals

Siguin

X

1

,

X

2

,

K

,

X

n v.a. normals mútuament independents i amb distribucions respectives

(

2

)

,

i

i i

N

X

µ

σ

i=1,…n, llavors la variable S definida com,

=

+

=

n i i i

X

b

a

S

1

està distribuïda

S

N

( )

µ

,

σ

2 amb

= + = n i i i b a 1 µ µ i 2 1 2 2 i n i i b σ σ

= = .

Si

X

1

,

X

2

,

K

,

X

n no són mútuament independents llavors

( )

(29)
(30)

3.5 Desigualtat de Txebitxev:

Sigui X una VAC d’esperança matemàtica

µ

i variança σ llavors,2

(31)

3.6 Teorema Central del Límit:

Siguin

X

1

,

X

2

,

K

,

X

n v.a. mútuament independents i amb distribucions d’esperança comuna

µ

i

variança comuna

σ

2 llavors la variable

Z

n , suma de les anteriors centrada i reduïda, convergeix per

n gran a una distribució

N

(

µ

=

0

,

σ

2

=

1

)

,

( )

0,1 1 N n n X Z n n i i n  → − =

= σ µ

Alternativament, la variable

S

n, suma de les anteriors, convergeix per n gran a una distribució

(

2

)

, σ

µ n n

N .

En general, si

X

1

,

X

2

,

K

,

X

n són v.a. mútuament independents de llei qualsevol d’esperança

respectiva µi i variança respectiva

2

i

σ , la variable

S

n , suma de les anteriors, convergeix per n gran a una distribució

N

( )

µ

,

σ

2 amb

Figure

Actualización...

Referencias

Related subjects :