5.4.4.- EJEMPLOS DE APLICACIÓN.-
5.4.4.1.- Dimensionar las armaduras de una sección rectangular de 30x50 cm., sometida a un momento de 5 mxT , con fck=25N/mm2≅250Kg/cm2 , B400S, control reducido, d1≅d2≅5cm..
fyd=fyk/γs=3565 Kg/cm2; fcd=10N/mm2≅100Kg/cm; d=50-5=45cm.
Md = M· γf = 3· 1,6 = 4,8 mxT ; Uc = bdfcd = 30· 45· 100 = 135000 Kg = 135 T.
Ucd = 135000· 45 = 60,75· 105 Kg/cm = 60,75 mxT ; Mlim = 0,333 Ucd ; veamos en que caso estamos del cuadro-resumen: Md/Udd=4,8/60,75=0,079 ⇒ Md=0,079 Ucd<Mlim ; por tanto A2=0 y estamos en el caso de: 0<x<0,16d. Siguiendo el cuadro-resumen:
3,1875Ucx4-12,75Ucdx3+(4,25Ucd-Md)dx2+2d2Mdx-d3Md=0 430,3125x4-774,5625x3+114,024375x2+1,944x-0,4374=0
x4-1,8x3+0,265x2+0,004518x-0,001016=0; si queremos a x en cm en vez de en m.:
x4-180x3+2649,8x2+4517,65x-101647=0 ⇒ x=6,97cm.
ecuación
ρ≥3,3% ⇒ U1≥0,0033· 30· 50· 3565=17650Kg=17,65T.; 0,04Uc=5,4T U2=0 2∅12 (armadura de montaje) U1=17,65 3∅16 (armadura resistente)
5.4.4.2.- Dimensionar la sección de 30x50 cm. para una solicitación a flexión simple de 5,5 mxT..
fyd=fyk/γs=3565 Kg/cm2; fcd=10N/mm2≅100Kg/cm ; d=50-5=45 cm.
Md=M· γf=5,5· 1,6=8,8mxT; Uc=bdfcd=30· 45· 100=135000Kg=135T.
Ucd=135000· 45=60,75· 105Kgxcm=60,75mxT; Mlim=0,333Ucd; veamos en que caso estamos del cuadro- resumen:
Md/Udd=8,8/60,75=0,1449
Md=0,1449Ucd<Mlim; por tanto A2=0 y estamos en el caso de: 0,16d<x≤0,259d. Siguiendo el cuadro resumen:
ecuación
ρ≥3,3% ⇒ U1≥17,65T.; 0,04Uc=5,4T
Sin embargo por el método clásico era necesaria armadura de compresión.
U2=0 2∅12 (armadura de montaje) U1=21,68 T. 4∅16 (armadura resistente)
5.4.4.3.- Dimensionar la sección de 30x50 cm. para una solicitación a flexión simple de 17,5mxT..
fyd=fyk/γs=3565 Kg/cm2; fcd=10N/mm2≅100Kg/cm ; d=50-5=45 cm.
Md=M· γf=17,5· 1,6=28mxT; Uc=bdfcd=30· 45· 100=135000Kg=135T.
Ucd=135000· 45=60,75· 105Kgxcm=60,75mxT; Mlim=0,333Ucd; veamos en que caso estamos del cuadro- resumen:
Md/Udd=28/60,75=0,461
Md=0,461Ucd>Mlim; por tanto A2≠0 y estamos en el caso de armadura A2 desconocida, por tanto:
U2=(Md-Mlim)/(d-d2)=19426Kg ⇒ 3∅16 ⇒ U2=21,50T
U1=0,643Uc+U2=0,463· 135000+19426=81931Kg ⇒ 8∅20 ⇒ U1=89,60T Si hubiesemos querido resolverlo de una forma más exacta, haríamos lo siguiente:
Una vez hallado el valor teórico de la armadura de compresión pasamos a ver que barras debemos colocar, resultando en nuestro caso: 3∅16, lo que supone una capacidad mecánica de 21,50T.. Luego, en realidad, a partir de este momento el problema pasa de ser armadura desconocida a ser armadura A2
conocida y por tanto si queremos calcular A1, nos corresponderá ir al cuadro-resumen de flexión simple con armadura de compresión teniendo en cuenta que:
Mlim+U2(d-d2)=0,333· 60,75· 105+21500(45-5)=28,82975· 105Kgxcm, por tanto, como Md=28mxT, resulta:
Mlim+U2(d-d2)>Md ⇒ U2>(Md-Mlim)/ (d-d2); en consecuencia veamos que sucede con el valor de Md/(d- d2):
Md/(d-d2)=70000Kg>U2=21500Kg.
0,159Ucd+U2(d-d2)=0,159· 60,75· 105+21500· 40=18,25925· 105Kgxcm<Md⇒ 0,159Ucd+U2(d-d2)<Md≤Mlim+U2(d-d2); en consecuencia la fórmula a aplicar será:
ecuación
ρ≥3,30/00⇒ U1≥17,65T.; 0,04Uc=5,4T
U2=21,5T. 3∅16 (armadura resistente) U1=79,88T. 8∅20 (armadura resistente)
5.4.4.4.- Dimensionar la sección de 30x50, sabiendo que está sometida a una carga axil de 10 Tm.
Que actúa con una excentricidad de 78cm., referida al centro de gravedad de la sección de hormigón.
e1=e0+(d-d2)/2=78+20=98cm.; Nd=16T.; Nde1=15,68mT.
Aplicando el método de Ehlers tendremos:
Md/Ucd=15,68/60,75=0,258 ; Por tanto estamos en el caso de:
0,159Ucd≤Md=0,258 Ucd≤Mlim=0,333 Ucd ⇒ U2=0; y en consecuencia:
ecuación
U1=U3-Nd=43,21-16=27,21T.>0; quiere decir que efectivamente estamos en flexión compuesta.
ρ≥3,30/00⇒ U1≥17,65T.; 0,04Uc=5,4T; 0,05Nd=0,8T.
U2=0 2∅12 (armadura de montaje) U1=27,21T. 4∅16 (armadura resistente)
5.4.4.5.- Dimensionar la sección anterior, sometida a una carga normal de 50T. Con excentricidad referida al centro de gravedad de la sección de hormigón de 18 cm..Resto de datos igual que en los casos anteriores.
Supongamos que estamos en flexión compuesta:
e1=e0+(d-d2)/2=18+20=38cm.; Nd=80T.; Nde1=30,4mT Aplicando el método de Ehlers tendremos:
Md/Ucd=30,4/60,75=0,5004 ;
Por tanto estamos en el caso de: Md=0,5004Ucd>Mlim=0,333Ucd ⇒ U2≠0; y en consecuencia:
U2=(Md-Mlim)/(d-d2)=25425Kg.;
U3=0,463Uc+U2=0,463· 135· 103+25425=87930Kg ⇒ U1=U3-Nd=87930-80000=7930Kg>0; quiere decir que efectivamente estamos en flexión compuesta.
ρ≥3,30/00⇒ U1≥17,65T.; 0,04Uc=5,4T; 0,05Nd=4T.
U2=25,43T. 4∅16 (armadura resistente) U1=17,65T. 3∅16 (armadura resistente)
5.4.4.6.- Dimensionar la sección anterior sometida a una carga normal de 70 T. con excentricidad referida al centro de gravedad de la sección de hormigón de 5cm.. Resto de datos igual que en los casos anteriores.
Supongamos flexión compuesta:
e1=e0+(d-d2)/2=5+20=25cm.; Nd=112T.; Nde1=28mT Aplicando el método de Ehlers tendremos:
Md/Ucd=28/60,75=0,461 ;
Por tanto estamos en el caso de: Md=0,461Ucd>Mlim=0,333Ucd ⇒ U2≠0; y en consecuencia:
U2=(Md-Mlim)/(d-d2)=19425Kg.;
U3=0,463Uc+U2=0,463· 135· 103+19425=81930Kg ⇒ U1=U3-Nd=81930-112000=-30070Kg<0; quiere decir que debemos estar en el dominio 4a ó 5 (compresión con pequeñas excentricidades), en consecuencia si replanteamos el problema:
e2=e0-(d-d2)/2=5-20=-15=|15|cm.; Nd=112T.; Nde2=16,8mT
Uct=bhfcd=30x50x100=150000Kg=150T., veamos en que caso nos encontramos:
0,286Uctd/h(d-2,40404d2)=12,73mT.
0,286Uct(h-2,40404d2)=0,286· 150· 103(50-2,40404· 5)=16,29· 105cmxKg=16,29mT.
0,85Uct(h/2-d2)=0,85· 150· 103(25-5)=25,5· 105cmKg=25,5mT.
Esto quiere decir que estamos en el caso:
0,286Uct(h-2,40404d2)<Nde2<0,85Uct(h/2-d2); por tanto: A1=0; el valor de x será:
K= Nde2/41,65Uct=0,2689 Ecuación
Sustituyendo valores saldría:
x=50,85cm., vemos que nos encontramos en el dominio 5; si diseñamos armadura simétrica Ecuación
Ecuación
ρ≥40/00 ⇒ U1 y U2 ≥ 10,7T.; 0,04Uc=5,4T; 0,05Nd=5,6T.
U2=10,7T. 2∅16 (armadura resistente) U1=10,7T. 2∅16 (armadura resistente)
5.4.4.7.- Dimensionar las armaduras de la sección para una carga de 175 T. con excentricidad de 10 cm..Resto de datos igual que en los casos anteriores.
e2=e0-(d-d2)/2=10-20=-10=|10|cm.; Nd=280T.; Nde1=28mT
Uct=bhfcd=30x50x100=150000Kg=150T., veamos en que caso nos encontramos:
Nde2<0,85Uct(h/2-d2); por tanto A1≠0 ecuación
Vamos a reslver el problema con armadura simétrica; al agotarse el hormigón, este trabaja a compresión simple, por tanto:
fyk/γs =3565Kg/cm2 fc,yd≤
4200Kg/cm2
En consecuencia tomaremos como resistencia de cálculo al hormigón 3565Kg/cm2 ecuación
ρ≥40/00⇒ U1 y U2≥ 10,7T.; 0,04Uc=5,4T; 0,05Nd=5,6T.
pero: 0,5fcdbh=75T.≥U1 y U2≥10,7 ⇒ 0,5 fcdbh<U1; luego la sección, con este tipo de control no es admisible. A la vista de los resultados tendríamos al menos que emplear un control normal para que:
fcd=250/1,5=166,6Kg/cm2
