Cap´ıtulo III
Combinatoria B´
asica: Conteo
En este cap´ıtulo continuamos determinando la cardinalidad de varios conjuntos interesantes, en particular, permutaciones y combinaciones. Como parte de esto encontramos el teorema binomial.
III.1.
Conjunto de Partes
El conjunto de partes ´o conjunto potencia de un conjunto X, denotado
P(X), es el conjunto de todos los subconjuntos deX:
P(X) ={A : A⊆X} Por ejemplo
P({1, 2, 3}) ={∅,{1},{2},{3},{1, 2},{2, 3},{1, 3},{1, 2, 3}}. Estamos interesados en el tama˜no de P(X):
Teorema 1 Si X es n conjunto finito, entonces
|P(X)|=2|X|.
?Este resultado se puede verificar usando la regla del producto: un subconjunto A deX se puede formar tomando la decisi´on para cada elemento a de X de si a∈A´oa6∈A. Estas decisiones son independientes. Por lo tanto el n´umero de subconjuntos posibles es2|X|.
?Para cada A∈ P(X), la decisi´on para cada elemento de X se puede registrar como una cadena de bits (0’s y1’s) de longitudn en la cual eli-´esimo bit es 1 si eli-´esimo elemento deXpertenece aA´o0si no pertenece. Por ejemplo para
P({1, 2, 3}) en el orden dado arriba, se tienen las cadenas correspondientes: 000, 100, 010, 001, 110, 011, 101, 111.
Se tiene una correspondencia (funci´on biyectiva) entre P(X) y tales cadenas. El n´umero de tales cadenas es 2|X| por la regla del producto.
? Otra correspondencia importante es la de un subconjunto A de X con su
funci´on caracter´ıstica1 χA :X→{0, 1}, definida como χA(x) = 1 si x∈A 0 si x6∈A
Por ejemplo, conX={1, 2, 3} y A={2}, se tiene χA ={(1, 0),(2, 1),(3, 0)}. De nuevo, el n´umero de tales funciones es 2|X|.
? Una forma alternativa es por inducci´on. El caso base con n = 0 es obvio:
P(∅) = {∅}. Para el paso de inducci´on, sea X con |X| = n+1. Tomemos un a ∈ X y sea Y = X−{a}. Por hip´otesis de inducci´on, puesto que |Y| = n, se tiene que P(Y) = 2|Y|. Adem´as, podemos dividir los subconjuntos de Y entre los que no contienen a, que es igual aP(Y)y los que contienen a, que es igual a la uni´on de cada conjunto en P(Y)con {a}:
P(X) = {A : A∈ P(Y)} ∪ {A∪{a} : A∈ P(Y)} (Como ejemplo
P({1, 2, 3}) ={∅,{1},{2},{1, 2}}∪{{3},{1, 3},{2, 3},{1, 2, 3}}.
) Esta es una uni´on disyunta. Adem´as, el segundo conjunto tiene una corres-pondencia uno a uno con el conjunto P(Y):
P(Y) → {A∪{a} : A∈ P(Y)} A 7→ A∪{a}
es una biyecci´on. Por lo tanto
|P(X)| = |P(Y)|+|P(Y)| = 2|Y|+2|Y| = 2|Y|+1 = 2|X|.
1χes la letra griega chi que desafortunadamente ac´a es dif´ıcil de diferenciar de la letra
III.2. PRINCIPIO DE INCLUSI ´ON/EXCLUSI ´ON 3
III.2.
Principio de Inclusi´
on/Exclusi´
on
El principio de inclusi´on/exclusi´on extiende la computaci´on de la uni´on de conjuntos al caso en que estos no sean disyuntos.
Teorema 2 Si A yB son conjuntos finitos, entonces
|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|
Prueba. Podemos escribir A∪Bcomo la uni´on disyunta
A∪B= (A− (A∩B))∪B, lo cual se verifica f´acilmente. De aqu´ı que, usando (i),
|A∪B|=|A− (A∩B)|+|B|. (∗) Similarmente, tenemos la uni´on disyunta
A= (A− (A∩B))∪(A∩B) y la correspondiente igualdad |A|=|A− (A∩B)|+|A∩B| de donde |A− (A∩B)|=|A|−|A∩B|. (∗∗) De (∗) y (∗∗)se obtiene que |A∪B| = |A− (A∩B)|+|B| = (|A|−|A∩B|) +|B| = |A|+|B|−|A∩B|.
Alternativamente, se puede verificar que cada elemento en A∪B contribuye 1 a la suma en la derecha, y que un elemento que no est´a en A∪Bcontribuye 0 (en clase, en lugar de la tabla, se uso un diagrama de Venn):
|A| |B| |A∩B| total
A∩B 1 1 −1 1
A∩B 0 1 0 1
A∩B 1 0 0 1
La generalizaci´on a tres conjuntos (la cual se puede derivar del caso para dos conjuntos) es
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|A∩C|+|A∩B∩C|. y en este caso podemos ver las contribuciones
|A| |B| |C| |A∩B| |B∩C| |A∩C| |A∩B∩C| total A∩B∩C 1 1 1 −1 −1 −1 1 1 A∩B∩C 0 1 1 0 −1 0 0 1 A∩B∩C 1 0 1 0 0 −1 0 1 A∩B∩C 0 0 1 0 0 0 0 1 A∩B∩C 1 1 0 −1 0 0 0 1 A∩B∩C 0 1 0 0 0 0 0 1 A∩B∩C 1 0 0 0 0 0 0 1 A∩B∩C 0 0 0 0 0 0 0 0
Ejemplo. Determine el n´umero de enteros entre 1 y 1000 divisibles por 3 ´o 5
Soluci´on. Los enteros divisibles por 3 y divisibles por 5 son exactamente los
enteros divisibles por 15. Por lo tanto enteros entre 1 y 1000 divisibles por 3 ´o 5 = enteros entre 1 y 1000 divisibles por 3 + enteros entre 1 y 1000 divisibles por 5 − enteros entre 1 y 1000 divisibles por 3 y 5 = 1000 3 + 1000 5 − 1000 15 = 333+200−66 = 467
El principio de inclusi´on/exclusi´on se generaliza a la uni´on de n conjuntos A1, A2, . . . , An de la manera natural: La cardinalidad de la uni´on es igual a la suma de las cardinalidades de las intersecciones de subcolecciones, con signo positivo ´o negativo dependiendo de si el tama˜no de la subcolecci´on es impar ´ o par: [ k∈In Ak = n X i=1 |Ai|− X 1≤i<j≤n |Ai∩Aj|+ X 1≤i<j<k≤n |Ai∩Aj∩Ak| +· · ·+ (−1)n−1|A1∩A2∩ · · · ∩An|.
Esto se puede escribir en forma m´as compacta como se hace en el siguiente teorema.
III.3. CONTEO DE FUNCIONES 5
Teorema 3 Sea In = {1, 2, 3, . . . , n} y Ak, k = 1, . . . , n, una colecci´on de
conjuntos finitos. Entonces (al lado derecho se muestran tres formas diferentes de escribir lo mismo): [ k∈In Ak = n X k=1 X J⊆In,|J|=k \ j∈J Aj = X ∅6=J⊆In (−1)|J|−1 \ j∈J Aj = X ∅6=J⊆In (−1)|J|−1AJ donde AJ = T
j∈JAj (la suma en la izquierda es sobre todos los k en In y la
suma en la derecha es sobre todos los subconjuntos de In no vac´ıos).
Este teorema se puede probar por inducci´on sobre n (ejercicio). Una prueba alternativa que generaliza los argumentos dados antes para el caso 2 y 3 (las tablas) se presentar´a m´as tarde.
III.3.
Conteo de Funciones
Usamos F(A, B), I(A, B), B(A, B) para denotar los conjuntos de funciones f : A → B tal que f es arbitraria, inyectiva, y biyectiva, respectivamente. Como ejercicio en formalidad, en esta secci´on determinamos detalladamente las cardinalidades de estos conjuntos. Las dos pr´oximas secciones reconsideran permutaciones y combinaciones m´as informalmente.
Proposici´on 4 Sean A, B conjuntos finitos con |A|=k y |B|=n. Entonces (i) |F(A, B)|= nk si k6=0 ´o n6=0 1 si k=n=0 (ii) |I(A, B)|= n(n−1)(n−2)· · ·(n−k+1) = n! (n−k)! si k≤n 0 si k > n (iii) |B(A, B)|= n! si n=k 0 si n6=k
Prueba. (i) Si k=0 entonces F(A, B) = {∅} y |F(A, B)|=1; si k6=0, n=0
usamos inducci´on sobre k. Para el paso inductivo, consideramos A con |A| = k > 0; fijamos a∈A y seaA0 =A−{a}. Note que |A0|=k−1. Entonces
F(A, B) = [
b∈B
Fb(A, B)
donde
Fb ={f:A→B : f(a) =b}. Esta uni´on es disyunta y por lo tanto
|F(A, B)|=X b∈B
|Fb(A, B)|. Se tiene la correspondencia (biyecci´on)
gb:Fb(A, B) → F(A0,B) f 7→ f|A0,
y por lo tanto, usando la hip´otesis de inducci´on, |Fb(A, B)|=|F(A0,B)|=nk−1. Reemplazando en la ecuaci´on anterior tenemos
|F(A, B)|=X b∈B |Fb(A, B)|= X b∈B nk−1 =n·nk−1 =nk.
(ii) Sabemos que una funci´on inyectiva s´olo es posibe sik≤n. Vamos a probar que |I(A, B)| = n!
(n−k)! por inducci´on sobre k con n ≥ k. Como caso base, para k =0 y n arbitrario, I(A, B) = {∅} y por lo tanto |I(A, B)|=1. Para el paso inductivo consideramos A, B con k > 0 y n > k arbitrario. Fijando un a∈A, sea A0 =A−{a}y para cada b∈Bsea Bb =B−{b}. Entonces
I(A, B) = [
b∈B
Ib(A, B)
donde
Ib(A, B) ={f∈ I(A, B)|f(a) =b}. Note que la uni´on es disyunta y por lo tanto
|I(A, B)|=X b∈B
III.3. CONTEO DE FUNCIONES 7
Ahora, para cada b∈B la funci´on
gb :Ib(A, B) → I(A0, Bb) f 7→ f|A0
es una biyecci´on. Por lo tanto, usando la hip´otesis de inducci´on, |Ib(A, B)| = I(A0, Bb)|
= (n−1)!
((n−1) − (k−1))!
= (n−1)!
(n−k)!.
As´ı que reemplazando en la ecuaci´on anterior para |I(A, B)|, tenemos que
|I(A, B)| = X b∈B (n−1)! (n−k)! = n· (n−1)! (n−k)! = n! (n−k)!
(iii) Sabemos que en una biyecci´on es posible s´olo si|A|=|B|=n. El resultado deseado|B(A, B)|=n! se obtiene de (ii) con k=n.
UsamosPk(A)para denotar la colecci´on de subconjuntos deAcon cardinalidad k:
Pk(A) ={B⊆A : |B|=k}.
Paran∈N y k∈Z, el coeficiente binomial de “nen k”, denotado nk es n k = n! k! (n−k)!, si0≤k≤n, y es 0en otro caso.
Proposici´on 5 Para B con |B|=n y 0≤k≤n, |Pk(B)|=
n k
.
Prueba. SeaA=Ik={1, 2, . . . , k}y consideremosI(A, B). Paraf∈ I(A, B),
|f(A)|=k. Definimos una relaci´on de equivalencia para f, g∈ I(A, B): f∼g sii f(A) =g(A).
Sea [f]la clase de f. Para cualquier f, |[f]|=k! porque
u:B(A, A) → [f]
σ 7→ f◦σ es una biyecci´on. Ahora
I(A, B) = [ X∈Pk(B) {f∈ I(A, B) : f(A) =X} y por lo tanto |I(A, B)|=|Pk(B)|·k! y |Pk(B)|= |I(A, B)| k! = n! k!(n−k)! = n k .
III.4.
Permutaciones
Una k-permutaci´on de un conjunto X de n elementos es una sucesi´on de k elementos diferentes deX. Formalmente es una funci´on inyectiva (los elementos no se pueden repetir)
f:{1, 2, 3, . . . , k}→X.
Por ejemplo, si X ={a, b, c, d, e} entones bda, deb son 3-permutaciones de X (los escribimos aqu´ı unidos porque no hay ambiguedad; en otros casos puede ser conveniente separar los elementos por comas). En el primer ejemplo, la funci´on f es f(1) = b, f(2) = d y f(3) = a, pero usualmente es suficiente con la lista ordenada.
Estamos interesados en contar el n´umero de k-permutaciones posibles de un conjunto denelementos. Denotamos este n´umero porP(n, k)y para obtenerlo usamos la regla del producto: una k-permutaci´on se puede obtener eligiendo sucesivamente el primer elemento, el segundo elemento, etc, hasta el k-´esimo elemento. Para el primer elemento se tienen n opciones, pare el segundo se tienen n −1 opciones (porque debe ser diferente del primero), y en general para eli-´esimo elemento se tienen n− (i−1) =n−i+1opciones. As´ı que por la regla del producto, el n´umero total de posibles k-permutaciones es
III.5. COMBINACIONES 9
Este n´umero se puede escribir en forma m´as compacta en t´erminos de factoriales multiplicando y dividiendo por (n−k)!:
P(n, k) = n·(n−1)· · · · ·(n−k+1)·(n−k)! (n−k)!
= n!
(n−k)!.
III.5.
Combinaciones
Unak-combinaci´on ´ok-subconjunto (´ok-conjunto) de un conjuntoXes un sub-conjunto deXde tama˜nok. A diferencia de unak-permutaci´on, como conjunto, el ordenamiento no importa. Si|X|=nentonces el n´umero dek-combinaciones se denota por C(n, k).
Por ejemplo, si X={a, b, c, d, e} entonces las posibles 2-combinaciones son: {a, b},{a, c},{a, d},{a, e},{b, c},{b, d},{b, e},{c, d},{c, e},{d, e}
El valor deC(n, k)se puede derivar de la siguiente manera: unak-permutaci´on se puede obtener eligiendo primero unak-combinaci´on y luego una permutaci´on de esta. En el primer paso el n´umero de opciones es C(n, k) y en el segundo es k!. En el ejemplo anterior, las 2-permutaciones se obtienen pemutando las 2-combinaciones, se obtienen 10·2! =20:
{a, b}→ab;ba {a, c}→ac;ca {a, d}→ad;da {a, e}→ae;ea {b, c}→bc;cb {b, d}→bd;db {b, e}→be;eb {c, d}→cd;de {c, e}→ce;ec {d, e}→de;eb
En general, usando la regla del producto se obtiene
P(n, k) =C(n, k)·k! y de aqu´ı que C(n, k) = P(n, k) k! = n! (n−k)! k!
Este valor tambi´en recibe el nombre de coeficiente binomial (por su papel en el teorema binomial que se presenta m´as adelante) y se denota
n k = n! (n−k)! k!
III.6.
Interpretaci´
on Combinatorial
Con frecuencia igualdades entre coeficientes binomiales se pueden verificar in-terpret´andolas como diferentes formas de contar la misma colecci´on de objetos. Sea In={1, 2, 3, . . . , n}. Damos un par de ejemplos:
? k n k =n n−1 k−1
Contamos subconjuntos de In con un elemento “especial”, ´o m´as for-malmente pares (a, X) con a ∈ X y X ⊆ In. Para obtener el conteo de la izquierda de la igualdad, seleccionamos primero el subconjunto de k elementos, y luego el elemento especial del subconjunto entre sus k ele-mentos. Para obtener el conteo de la derecha, seleccionamos primero el elemento especial y luego los k−1 elementos restantes para X entre los n−1 elementos restantes de X. ? n s s k = n k n−k s−k
Contamos pares (X, Y) con X ⊆ Y ⊆In, |Y| =s y |X| =k. Para obtener el conteo de la izquierda, seleccionamos primero Y como subconjunto de In, y luego seleccionamos X como subconjunto de Y. Para obtener el conteo de la derecha, seleccionamos X como subconjunto de In, y luego seleccionamosY−Xcomo subconjunto de In−X.
III.7.
Teorema Binomial
El teorema binomial generaliza las expresiones bien conocidas para el cuadrado y el cubo de una sumaX+Y dondeX y Y son variables:
(X+Y)2 = X2 +2XY+Y2
(X+Y)3 = X3 +3X2Y+3XY2+Y3.
(Para ser precisos, estamos asumiendo queX yY conmutan, es decirXY =YX, y las leyes usuales de exponentes XiXj =Xi+j.) Los coeficientes de la expresi´on
III.7. TEOREMA BINOMIAL 11
general(X+Y)n son los enteros en la n-´esima fila del tri´angulo de Pascal:
k=0 n=0 1 k=1 n=1 1 1 k=2 n=2 1 2 1 k=3 n=3 1 3 3 1 k=4 n=4 1 4 6 4 1 k=5 n=5 1 5 10 10 5 1 k=6 n=6 1 6 15 20 15 6 1 k=7 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1
En cada fila el primer y ´ultimo elementos son 1 y los dem´as se obtienen sumando los dos enteros en la fila anterior inmediatamente antes y despu´es. Mientras que nindexa las filas como se muestra,kindexa las diagonales que corren de arriba a la derecha hacia abajo a la izquierda, como tambi´en se muestra en la figura. El coeficiente con ´ındices n y k es el k-´esimo coeficiente de (X +Y)n. Este coeficiente, para n ≥ 0 y 0≤ k ≤n, lo denotamos con cn,k y de acuerdo con la construcci´on satisface la ecuaci´on de recurrencia para n≥0 y 1≤k≤n:
cn+1,k=cn,k−1+cn,k
con casos basecn,0=cn,n =1para n≥0. Veamos primero que
cn,k =
n k
Para esto es suficiente ver que n0 = nn =1 (el caso base) y probar que nk satisface la misma recurrencia quecn,k. Esta es la llamada relaci´on de Pascal:
Lema 6 Para n≥0 y 1≤k≤n, se tiene que
n+1 k = n k−1 + n k .
Esto se puede verificar algebraicamente, o usando un argumento combinatorial. Este ´ultimo es esencialmente que para un(k+1)-subconjuntoXde{1, 2, . . . , n+ 1}existen dos posibilidades: Xcontiene n+1 y contiene otrosk−1elementos de{1, 2, . . . , n}, ´o Xno contiene n+1 y contiene k elementos de {1, 2, . . . , n}.
Prueba. (Alternativa 1) Tenemos la derivaci´on algebraica: n k−1 + n k = n! (n−k+1)! (k−1)! + n! (n−k)!k! = n! (n−k)! (k−1)! · 1 n−k+1+ 1 k = n! (n−k)! (k−1)! · k+n−k+1 (n−k+1)k = n! (n−k)! (k−1)! · n+1 (n−k+1)k = (n+1)! (n−k+1)! k! = n+1 k .
Prueba. (Alternativa 2) Ahora vamos a dar una prueba biyectiva. Sean
A = {X⊆{1, 2, 3, . . . , n+1} : |X|=k} B = {X⊆{1, 2, 3, . . . , n} : |X|=k−1} C = {X⊆{1, 2, 3, . . . , n} : |X|=k} Sabemos que |A|= n+1 k , |B|= n k−1 , |C|= n k
Definimos la funci´onf:A →B ∪ C como f(X) =
X−{n+1} si n+1∈X X si n+16∈X
En el primer caso la imagen est´a en B y en el segundo en C. Es “f´acil de ver” que fes biyectiva:
Uno a uno: Sean X1, X2 ∈ A con f(X1) = f(X2). Si f(X1) = f(X2) est´a en
B entonces X1 = f(X1)∪{n+1} y X2 = f(X2)∪{n+1} y por lo tanto X1 =X2. Si f(X1) =f(X2) est´a en C entonces X1 =f(X1) y X2 =f(X2) y por lo tantoX1 =X2. En ambos casos X1 =X2 y por lo tanto f es uno a uno.
Sobre:Sea Y ∈ B ∪ C. SiY ∈ B entonces paraX=Y∪{n+1}, se tieneX∈ A
y f(X) = Y. Si Y ∈ C entonces para X =Y, se tiene X ∈ A y f(X) =Y. Por lo tanto fes sobre.
III.7. TEOREMA BINOMIAL 13
Puesto queB y C son disyuntos, se obtiene que |A|=|B|+|C| y de aqu´ı que n+1 k = n k−1 + n k .
En la prueba anterior, la verificaci´on de que f es una biyecci´on es m´as f´acil mostrando la inversa:
g(Y) =
Y∪{n+1} si Y ∈ B
Y si Y ∈ C
Se verifica f´acilmente que f(g(Y)) =Y y g(f(X) =X.
Puesto que cn,k y nk
satisfacen la misma ecuaci´on de recurrencia, entonces deben ser iguales:
cn,k =
n k
(formalmente se verifica por inducci´on). Ahora podemos establecer el teore-ma binomial. La expresi´on para la n-´esima potencia de (X+Y) se llama con frecuencia la f´ormula del binomio de Newton.
Teorema 7 (Teorema Binomial) Para n∈N0, se tiene (X+Y)n= n X k=0 n k XkYn−k.
En este enunciado, X y Y son variables que conmutan (pueden tomar valores por ejemplo enteros, racionales ´o reales). As´ı que (X+Y)n es un polinomio en las dos variablesX y Y.
Prueba. El resultado de (X+Y)n es una suma de t´erminos XkYn−k y es
sufi-ciente identificar el coefisufi-cienteckde cada uno de estos. Afirmamos queck = nk
. Esto es cierto porque en el producto (con nt´erminos)
(X+Y)·(X+Y)·(X+Y)· · · · ·(X+Y)·(X+Y)
despu´es de aplicar distributividad, cada t´ermino equivalente a XkYn−k resulta de “escoger” X en k factores y Y en los n−k factores restantes. As´ı que el coeficiente de XkYn−k es igual al n´umero de formas de escoger k elementos de un total den elementos. Este n´umero es nk
Como ejemplo, si n=5 y k=2, entonces los 52=10 productos que resultan enX2Y3 son:
XXYYY XYXYY XYYXY XYYYX YXXYY YXYXY YXYYX YYXXY YYXYX YYYXX
Alternativamente, se puede dar una prueba por inducci´on que usa la relaci´on de Pascal.
Prueba alternativa. Por inducci´on sobre n. Paran=0,(X+Y)0 =1 y por
otra parte 00 =1 y X0Y0 =1. Para el paso inductivo, consideramos,
(X+Y)n+1 = (X+Y)n·(X+Y) = n X k=0 n k XkYn−k·(X+Y) = n X k=0 n k Xk+1Yn−k+ n X k=0 n k XkYn−k+1 = n X k=0 n k Xk+1Yn+1−(k+1)+ n X k=0 n k XkY(n+1)−k = n+1 X k=1 n k−1 XkY(n+1)−k+ n X k=0 n k XkY(n+1)−k = Xn+1+ n X k=1 n k−1 + n k XkY(n+1)−k+Yn+1 = Xn+1+ n X k=1 n+1 k XkY(n+1)−k+Yn+1 = n+1 X k=0 n+1 k XkY(n+1)−k
donde se ha usado el lema anterior.
III.7.1.
Aplicaciones
Del teorema binomial se puden derivar otras igualdades que aparte de ser in-teresantes por s´ı mismas, tienen interpretaciones combinatoriales (de conteo) tambi´en interesantes. Sea In={1, 2, 3, . . . , n}.
? 2n= n X k=0 n k
III.7. TEOREMA BINOMIAL 15
Derivaci´on: Se obtiene del teorema binomial con X=1y Y=1
Interpretaci´on combinatorial: Se cuentan todos los subconjuntos deIn, es decir P(In). A la izquierda est´a el conteo ya conocido 2n y a la derecha est´a la suma sobre k del n´umero de subconjuntos de tama˜nok.
? 0= n X k=0 (−1)k n k
Derivaci´on: Se obtiene del teorema binomial con X= −1 y Y =1:
(−1+1)n= n X i=0 n k (−1)k.
Interpretaci´on combinatorial: Pasando todos los t´erminos negativos al otro lado, la identidad se puede reescribir como
X kpar n k = X k impar n k .
Esta identidad se puede verificar por medio de una biyecci´on (funci´on biyectiva) entre los subconjuntos de {1, 2, . . . , n} de tama˜no par y los subconjuntos de {1, 2, . . . , n} de tama˜no impar, de la siguiente manera. Sea Ppar(In) = [ k par {A⊆In : |A|=k} Pimpar(In) = [ k impar {A⊆In : |A|=k} Definimos la funci´on f:Ppar(In) → Pimpar(In) como f(A) = A∪{n} sin6∈A A−{n} sin∈A
Claramente, siA∈ Ppar(In) entonces f(A)∈ Pimpar(In). Verificamos que fes una biyecci´on mostrando su inversa:
dada por
g(B) =
B∪{n} si n6∈B B−{n} si n∈B
(f y g son restricciones de la misma funci´on definida en P(In) a sus dominios.) Es claro que f(g(B)) = B y g(f(A)) = A.
? n·2n−1 = n X k=1 k n k
Derivaci´on: Con Y =1 en el teorema binomial se obtiene
(X+1)n = n X k=1 n k Xk. Derivando ambos lados con respecto aX se obtiene
n(X+1)n−1 = n X k=1 n k kXk−1 Reemplazando X=1se obtiene n2n−1 = n X k=1 k n k .
Interpretaci´on combinatorial: Esta igualdad se puede interpretar como dos formas diferentes de contar pares(a, A)dondeA⊆Iny a∈A. Para obtener el t´ermino a la izquierda se escoge primeroa∈Iny luegoA−{a} deIn−{a}. Para obtener el t´ermino a la derecha, primero se escoge k y un subconjuntoA de tama˜no k y luegoa∈A.
? 3n= n X k=0 2k n k
Derivaci´on: En el teorema binomial reemplace X=2 y Y =1.
Interpretaci´on combinatorial: Taller.
? m+n k = k X j=0 m j · n k−j
Derivaci´on: Taller.
III.8. PRINCIPIO DE INCLUSI ´ON-EXCLUSI ´ON 17
III.8.
Principio de Inclusi´
on-Exclusi´
on
Ahora regresamos a la generalizaci´on de la relaci´on|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B| al caso de m´as de 2 conjuntos.
Teorema 8 Sea In ={1, 2, 3, . . . , n} y Ai con i ∈In una familia de conjuntos
finitos. Entonces [ i∈In Ai = X ∅6=J⊆In (−1)|J|−1 T j∈JAj
En la prueba χA denota la funci´on caracter´ıstica de A ⊆ U. Recuerde que χA :U→{0, 1} dada por
χA(x) =
0 six 6∈A 1 six ∈A
Prueba. Una alternativa es inducci´on sobren, la cual se puede encontrar en el
texto de Bloch. Aqu´ı presentamos una prueba basada en funciones caracter´ısti-cas. Por conveniencia, abreviamos las intersecciones en el enunciado como
AJ = \
j∈J Aj.
Sea A=∪i∈InAi. Si x6∈A entoncesχA(x) =0 y χAJ(x) =0para todo J⊆In, y por lo tanto la contribuci´on de x en ambos lados es cero. Si x ∈A, entonces sea
Ix ={i∈In : x∈Ai}
y k = |Ix|. Para ∅ 6= J ⊆ Ix, se tiene χAJ(x) = 1. Entonces mientras que la funci´on caracter´ıstica evaluada en el lado izquierdo es obviamente 1,χA(x) =1, en el lado derecho se tiene que la contribuci´on que no se anula directamente es X ∅6=J⊆Ix (−1)|J|−1 = k X i=1 X |J|=i;J⊆Ix
(−1)i−1 sumando sobre los tama˜nos posiblesi de J
= k X i=1 k i (−1)i−1 porque k i es el n´umero de k-subconjuntos.
Esta suma es exactamente 1 si (cambiando de lado la suma y entrando el 1 a la suma) k X i=0 k i (−1)i =0
lo cual es cierto por el siguiente lema (que es realmente una de las aplicaciones presentadas arriba del teorema binomial). Es decir cadaxcontribuye0´o1en la izquierda y correspondientemente0 ´o1 en la derecha. Por lo tanto la igualdad es v´alida.
Lema 9 Sea k≥0, entonces
k X i=0 k i (−1)i=0.
Prueba. El resultado se puede deducir aplicando el teorema binomial a (X+
Y)k con X= −1 y Y =1 porque entonces
(−1+1)k =0= k X i=0 k i (−1)i.
Ejercicio. Pruebe el principio de inclusi´on-exclusi´on usando inducci´on sobre n.
Aplicaci´
on: N´
umero de Desarreglos
Un desarreglode In={1, . . . , n} es una permutaci´on σ∈Sn tal que para todo i ∈ In, σ(i)6= i. Sea Dn el conjunto de desarreglos. Para i ∈ In, sea Ai ⊆ Sn el conjunto de permutaciones conσ(i) =i. Entonces
Dn= \
i∈In Ai,
donde Ai denota el complemento de Ai. Tenemos entonces que
Dn = \ i∈In Ai= [ i∈In Ai.
As´ı que podemos determinar la cardinalidad de esta uni´on usando el principio de inclusi´on-exclusi´on y luego substraer esa cardinalidad den!Para esto usamos que dado∅ 6=J⊆I con |J|=k,
\ i∈J Ai = (n−k)!
III.8. PRINCIPIO DE INCLUSI ´ON-EXCLUSI ´ON 19
porque si σ∈ T
JAi entonces σ(j) = j para j ∈ J y σ|J es una permutaci´on de I−J. As´ı que [ i∈In Ai = X ∅6=J⊆I (−1)|J|−1 \ i∈J Ai = n X k=1 (−1)k−1 n k (n−k)! = n X k=1 (−1)k−1 n! k! (n−k)!(n−k)! = n!· n X k=1 (−1)k−1 k! Entonces |Dn|=n! −n!· n X k=1 (−1)k−1 k! =n!· n X k=0 (−1)k k!
Note que la suma es la parte inicial de la serie de la funci´on ex evaluada en x= −1. Esto significa que cuandon→ ∞,|Dn|/n!→1/e. (Note que
P k∈In(·) significa lo mismo que Pnk=1(·))
En el siguiente cap´ıtulo usamos este principio para determinar la funci´onφ de Euler.
