INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

TEMA No 1

INTRODUCCION A LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES

De…nición.

Una ecuación diferencial, es una ecuación que establece una relación de una o más varibales dependientes y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes.

Ejemplos.

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones difernciales.

a) dy (xy 1)dx= 0. b) y000 _3x(y00₎2_+y0_{= 1.} c) d 2_u dx2 + 2x du dx+x 2_u=ex_. d) y2dy dx +x 2_=r2 _. e) y000_+xy00 _y0_{+ (senx)y=C . (C=Ctte:)} f ) ad 2_y dx2+b dy dx+cy= cos(x+y). g) @ 2_u @x2 + @2u @y2 =x y. h) @ 2_u @t2 + @u @t @2_v @w2 = @2_v @t@w.

Clasi…cación de las Ecuaciones Diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales se clasi…can de acuerdo, con eltipo, el orden y lalinealidad.

Clasi…cación Según el Tipo.

a). Ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.).

Una ecuación diferencial ordinaria, es una ecuación que solo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

Una ecuación diferencial ordinaria, de variable independiente x y una sola varibale dependientey, simbolicamente podemos escribir

F x; y;dy dx; d2_y dx2; :::; dn_y dxn = 0 ó bien F x; y; y0_{; y}00_{; y}000_{; :::; y}(n) _{= 0,}

dondeF es una función a especi…car.

Ejemplos. a). dy

dx = 3x+ 1 E.D.O. de varibale independientexy dependientey. b). y00_+xy0_{= 3 E.D.O. de variable independientexy dependientey.}

c). d

2_y

dt2 at= 0 E.D.O. de variable independientety dependientey.

d). y{v y0 =C E.D.O. de variable independientex y dependientey, dondeCes una constante.

e). x2 _y2 _{dx xydy= 0,} xydy= x2 _y2 _dx, dy dx = x2 y2 xy .

E.D.O. de variable independientexy dependientey. b). Ecuaciones Diferenciales Parciales (E.D.P.).

Una ecuación diferencial parcial, es una ecuación que contiene derivadas parciales, de una o más variables dependientes respecto de dos o más variables independientes. Ejemplos. a). @u @x @u @y = 0.

E.D.P. , variables independientesx,y; variable dependienteu.

b). x@u @x+y

@v @y =C

E.D.P. , variables independientesx,y; variable dependienteu,v yC es una Ctte. c). @ 2_u @t2 +t 2@2v @w2 =t

E.D.P. , variables independientest,w; variable dependienteu,v.

d). @ 2_w @x2 + @2_w @y2 + @2_w @z2 = 0.

E.D.P. , variables independientes x, y ,y z; variable dependiente w. Es la ecuación deLaplace.

Clasi…cación Según el Orden.

El orden de una ecuación diferencial, es el orden de la derivada más alta, que aparece o que se encuentra en la ecuación.

Una ecuación diferencial ordinaria de ordenn, de variable independientex y variable dependientey, se escribe:

F x; y; y0_{; y}00_{; y}000_{; :::; y}(n) _{= 0.}

Ejemplos.

a). xdy+ydy= 0. E.D.O. de primer orden.

b). d

2_y

dx2 +x

dy dx+x

2_{y= 0. E.D.O. de segundo orden.}

c). (y0₎2

+xy00_{+y= 0. E.D.O. de segundo orden.}

d). @

2_u

@t2

@2y

@w2 =t. E.D.P. de segundo orden.

Clasi…cación Según la Linealidad y No Linealidad. a). Ecuación Diferencial Lineal.

Una E.D.O. lineal, de variable dependiente y y variable independiente x, puede escribirse como sigue:

a0(x)y(n)+a1(x)y(n 1)+ +an 1(x)y0+an(x)y=

Donde g(x) y los coe…cientes a0(x); a1(x); :::; an 1(x); an(x) dependen

solamente de la variablexy no dey.

Ejemplos. a). dy

dx = 3x. E.D.O. lineal de primer orden.

b). d

2_y

dt2 + sen(t+ 1)y =C E.D.O. lineal de segundo orden.

c). y00_+y0_{+ky= 0 E.D.O. lineal de segundo orden, dondekes una}

constante.

d). y{v _y=e x_{. E.D.O. lineal de cuarto orden no lineal.} Ecuación Diferencial No Lineal.

Una ecuación diferencial ordinaria que no es de la forma (1), se llama ecuación diferencial ordinaria no líneal.

Ejemplos.

a). y0 _=ey _{. E.D.O. no lineal de primer orden.}

b). d

3_y

dx3 + cos(y+ 1)y= 0 E.D.O. de tercer orden no lineal.

c). (y0)2+x= 0 E.D.O. de primer orden no lineal.

d). y000 _y0_{= cos(x+y) E.D.O. de tercer orden.}

Ejemplos.

Clasi…car cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales de acuerdo al tipo, orden y linealidad.

a). d

3_t

dy3 +y

2_{=C E.D.O. de tercer orden, no líneal.}

b). (y00)2+d

2_y

dx2 =x

2_{+ senx E.D.O. de segundo orden, no lineal.}

c). @

2_u

@t2 +

@2_v

@w2 =t E.D.P. de segundo orden.

d). exd

2_y

e). yiv+ky = ln (x+y) E.D.O. de cuarto orden, no lineal, k, es una constante.

Solución de Una Ecuación Diferencial.

Unasolución de una ecuación diferencial es cualquier funciónf, de…nida en un intervaloI, tal que, sí sustituida en dicha ecuación la reduce a una identidad en el intervalo especi…cado. El intervalo I puede representar: un intervalo abierto(a; b), cerrado[a; b], o in…nito (0;₁), etc.

Ejemplos.

1. La función y =xex _{es una solución de la ecuación diferencial lineal de} segundo orden

y00_{+ 2y}0_{+y= 0,}

de…nida en el intervalo( ₁;₁). Solución.

Las derivadas de la funcióny=xex _son: y0 _=ex_+xex

y00=ex+ex+xex= 2

e

e

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación dada, tenemos y00 _2y0_{+y= 2e}x_+xex _{2 (e}x_+xex_{) +xe}x

= 2ex_+xex _2ex _2xex_+xex

= 0:

2. La función y = senx

x es una solución de la ecuación lineal de primer orden

xy0_{+y= cosx,}

de…nida en el intervalo de(0;₁): Solución.

La derivada de la funcióny= senx

x es:

y0 ₌xcosx senx

Sustituyendo, en la ecuación inicial, tenemos. xy0_+y=x xcosx senx x2 + senx x = xcosx senx x + senx x =xcosx x senx x + senx x = cosx:

3. Veri…car que la funcióny = 232x2, es una solución de la ecuación defer-encial no lineal,

y0 4 (xy)13 _{= 0,}

de…nida en el intervalo(0;₁). Solución.

La derivada de la funcióny= 232x2es: y0 _{= 2}3

22x= 252x

Sustituyendoy0 en la ecuación inicial, tenemos

y0 _{4 (xy)}13 _{= 2}52x 4 h x 232x2 i1 3 = 252x 4 2 1 2x = 0 = 252x 22 2 1 2x = 0:

4. Veri…car que la función y=x

4

16 es una solución de la ecuación no lineal.

y0 _=xy1 2, de…nida en el intervalo( ₁;₁). Solución. La derivada de la funcióny= x 4 16 es:

y0₌ x3

4 .

Reemplazando la derivada de la función en la encuación dada, tenemos

y0 xy12 =x 3 4 x x4 16 1 2 = x 3 4 x x4 42 1 2 = x 3 4 x x2 4 = x 3 4 x3 4 = 0:

Soluciones Explicitas e Implicitas.

Una ecuación diferencial puede tener como solucionesexplicítaseimplicítas. Soluciones Explícitas.

Se llamasolución explicita de una ecuación diferencial a una función que se puede escribir en la formay=f(x), en el intervaloI.

Ejemplo.

Las funciones de los ejemplos anteriores y =xex_{, y =} senx x , y= 2

3 2x2 son soluciones explícitas de sus correspondientes ecuaciones diferenciales.

Soluciones Implícitas.

Se llamasolución implícita de una ecuación diferencial a la funciónG(x; y), si de…ne una o más soluciones explícitas en el intervaloI.

Ejemplo.

Veri…car que la funciónx2_+y2_{= 16es una solución implicita de la ecuación}

diferencial de primer ordeny0= x

y en el intervalo( 4;4): Solución.

La funciónx2+y2= 16, derivamos implicitamente.

Despejandoy0 tenemos

y0₌ x

y,

que es idéntica a la ecuación inicial. Por otra parte, la funciónx2_+y2_{= 16}

de…ne dos funciones implicítas

y=p16 x2 _{y y=} p_{16 x}2_.

En consecuencia, la función x2_+y2 _{= 16 es una solución implícita de la}

ecuacióny0₌ x

y. Ejemplo.

Muestre quexy+exy= 0 es una solución implicita de la ecuación diferencial

(x+xexy)y0+y+yexy= 0.

Solución.

Derivamos implicitamente la funciónxy+exy_{= 0, tenemos} y+xy0_+yexy_+xy0_exy _{= 0.}

Luego

(x+xexy_)y0_+y+yexy_{= 0.}

Se entiende también por solución implícita, cuando la solución no se puede expresar en la formay=f(x).

Familia de Soluciones.

Una ecuación diferencial tiene generalmente unnúmero in…nitode soluciones es decir unafamilia de solucionescon un parámetro llamadoconstante arbitraria

C.

Ejemplos.

1. La ecuación diferencial de primer orden y0_{= 2}y

Parabolas

1:pdf

tiene por solución la familia de parabolas, y =Cx2_{, donde C, es una}

con-stante. Solución.

Primeramente veri…quemos que la función y = Cx2 _{es una solución de la}

ecuación planteada. La primera derivada es y0 _{= 2Cx. Sustituyendo en la}

ecuación, resulta

y0 2y x = 2Cx

2Cx2

x = 2Cx 2Cx= 0: Dando aC, distintos valores generamos la familia de parábolas.

2. La funcióny = C

x + 1, dondeC es una constante, es una solución de la ecuación lineal de primer orden

xy0_{+y= 1,}

en el intervalo(0;₁). Solución.

Dondey0_{= Cx} 2₌ C

x2, sustituyendo en la ecuación inicial, veri…camos

xy0_+y=x C x2 + C x + 1 = Cx x2 + C x + 1 = C x + C x + 1 = 1.

Hiperbolas

2:pdf

Dando aC distintos valores generamos la falimia de soluciones.

3. Las funciones y1=C1sen 2x y y2 =C2cos 2x, dondeC1 yC2 son dos

constantes, son soluciones de la ecuación diferencial de segundo ordeny00_{+ 4y=} 0:

Solución.

Las derivadas de la funcióny1=C1sen 2xson:

y0

1= 2C1cos 2x

y001 = 4C1sen 2x

Vemos que:

y00_{+ 4y= 4C1sen 2x+ 4C1sen 2x= 0.}

Por otra parte, las derivadas de la funcióny2=C2cos 2xson:

y0

2= 2C2sen 2x

y200= 4C2cos 2x

Así que:

La suma de estas soluciones, y = C1sen 2x+C2cos 2x, también es una

solución de la ecuación dada. La prueba de esta solución es en forma análoga.

La grá…ca de las funcionesy1=C1sen 2x,y2=C2cos 2x. yy=C1sen 2x+

C2cos 2xparaC1=C2= 1, se muestran en las …guras de abajo.

2 1 1 2 3 4 2 1 1 2 Sen 2x 2 1 1 2 3 4 2 1 1 2 cos 2x 2 1 1 2 3 4 2 1 1 2 cos 2x Sen 2x