UNIDAD I Números Reales CONJUNTOS

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UNSa – Facultad de Ingeniería

Cartilla de Ingreso Página 1

UNIDAD I Números Reales

CONJUNTOS

Definición: Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas A, B, C, etc. Los objetos que componen el conjunto reciben el nombre de elementos o miembros del conjunto y los denotaremos por letras minúsculas a, b, c, etc.

Un conjunto puede expresarse:

z Por extensión por la que podemos determinar el conjunto listando todos sus elementos.

z Por comprensión por la que podemos determinar un conjunto, identificando sus elementos mediante

una propiedad común de ellos.

Para escribir un conjunto por extensión, listamos todos sus elementos separados por comas, y finalmente, encerrados entre llaves. Por ejemplo A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}.

Para escribir un conjunto por comprensión elegimos un elemento arbitrario x y señalamos que cumple una determinada propiedad P(x). Finalmente, encerramos toda la expresión entre llaves: A= {x: P(x)} y en el lenguaje natural se lee “A es el conjunto de todos los elementos x tales que cumplen la propiedad P(x)”.

Nota “:” es una manera simbólica de escribir tal que”). Ejemplos:

1. El conjunto A = {a, e, i, o, u} está expresado por extensión. Si deseamos expresar el conjunto A por comprensión debemos buscar una propiedad ó característica en común que contengan cada uno de sus elementos, en este caso sabemos que los elementos son vocales, por lo tanto el conjunto A se puede expresar por comprensión como sigue:

A = {x: x es una vocal}.

2. Sea B = {x: x es un número entero positivo menor que cinco}, este conjunto está expresado por comprensión, para expresar B por extensión debemos determinar el conjunto listando todos sus elementos, es decir B = {1,2,3,4}.

Conjunto Vacío

Si C es un conjunto que carece de elementos, entonces es llamado conjunto vacío. El conjunto vacío se denota por C = { } o C= Φ.

Dado el conjunto C = {x: x es un profesor de matemática con más de trescientos años de edad}, expresado por comprensión, se desea expresar el conjunto por extensión, entonces debemos encontrar todos los elementos del conjunto; es evidente que C carece de elementos, debido a que no existe actualmente un profesor con dicha característica. Por lo tanto, En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos pertenecen usualmente a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal (U). Por ejemplo si trabajamos en el conjunto de números reales, denotado por ℜ, el universo son todos los números.

Conjunto Unitario

Un conjunto unitario es aquel que está formado por un solo elemento. Por ejemplo A= {a}= {x / x=a}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: entre dos conjuntos se establecen las siguientes relaciones:

¾ Igualdad de Conjuntos

Decimos que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos. Para denotar que A y B son iguales, escribimos: A = B

¾ Inclusión de conjuntos

Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Se dice también que A está contenido en B o que B contiene a A. La relación de subconjunto viene dada por: A

⊂

_B

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Ejemplo:

Consideremos los siguientes conjuntos A={1,3,4,5,8,9}, B={1,2,3,5,7} y C={1,5}. Podemos observar que todos los elementos del conjunto C están en el conjunto A, por tanto C

⊂

A. De la misma manera podemos observar que C

⊂

B. Sin embargo, no todos los elementos del conjunto B están en A, por lo que podemos decir que B no está incluido en A.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

¾ Unión de Conjuntos

Ejemplo: Dados los conjuntos: A= {x/ x es un estudiante que practica natación} y B = {x/ x es un estudiante que juega al fútbol} El Conjunto que resulta de la Unión entre A y B cumplirá con la propiedad

P(x) = estudiantes que practican natación o juegan al futbol

Por lo tanto AUB = { x : x es un estudiante que practica natación o juega al fútbol} Notación: C = A ∪ B

En este caso decimos que C es la unión de los conjuntosA y B, y para describir sus elementos:

{

x

A

x

B

}

B

A

∪

=

/

∈

∨

∈

Y se lee A unión B es el conjunto de elementos x tales que x pertenece a alguno de los dos conjuntos, es decir, x pertenece a A o x pertenece a B.

Notemos que en la unión se encuentran todos los elementos de A y todos los elementos de B. Es decir: A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B

Gráficamente se representa mediante diagrama de Venn:

Observaciones:

• Si A ⊂ B entonces A ∪ B = B. • Si A = B entonces A ∪ B = A = B.

• Si x ∈ A ∪ B entonces x pertenece a A, x pertenece a B o x pertenece a ambos.

Ejemplo: Si A ={3,4,5,6} y B ={3,6}, encontrar A ∪ B.

Solución: Como todos los elementos de B pertenecen al conjunto A (B⊂A) entonces la unión será el conjunto A. A ∪ B = {3, 4, 5, 6}

Propiedades: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera se cumple siempre: 1. Φ

⊂

A

⊂

U (el conjunto vacío está contenido en el conjunto A ) 2. A

⊂

A (cualquier conjunto está incluido en sí mismo)

3. Si A

⊂

B y B

⊂

C, entonces A

⊂

C 4. A=B si y solo si A

⊂

B y B

⊂

A

Propiedades de la Unión: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera se verifica que: 1. Idempotencia: A∪A=A

2. Asociatividad: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)

3. Conmutatividad: A∪B=B∪A 4. Elemento neutro: A∪Φ=Φ∪A=A

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¾ Intersección de Conjuntos

Dados los conjuntos: A= {x/ x es un estudiante que practica natación} y B = {x/ x es un estudiante que juega al fútbol} El Conjunto que resulta de la Intersección entre A y B cumplirá con la propiedad P(x) = estudiantes que practican natación y juegan al futbol Por lo tanto el conjunto que resulta de la intersección entre ambos conjuntos se expresa

; en el ejemplo C = { x : x es un estudiante que practica natación y juega al fútbol}

En general, cuando deseamos obtener los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B, lo denotamos : C =

En este caso decimos que C es la intersección de los conjuntosA y B, y se define formalmente como:

Y se lee A intersección B es el conjunto de elementos x tales que x pertenece a A y x pertenece a B a la vez. De acuerdo con la definición, cualquier elemento de A ∩ B es un elemento de A y también de B, es decir:

(A ∩ B) ⊂ A y (A ∩ B) ⊂ B. Gráficamente se representa mediante diagrama de Venn:

:

A ∩ B

Cuando no hay elementos que pertenezcan a ambos conjuntos A y B, decimos que la intersección es vacía o que el conjunto obtenido es el conjunto vacío.

Observaciones:

• Si A ⊂ B entonces A ∩ B =A. • Si A = B entonces A ∩ B =A =B.

¾ Diferencia entre Conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.

La diferencia de conjuntos se denota C = A−B y se define formalmente como:

Y se lee, los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos A−B son aquellos elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

Propiedades de la Intersección. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera se cumple que: 1. Idempotencia:

A

∩

A

=

A

2. Asociatividad: (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 3. Conmutatividad:

A

∩

B

=

B

∩

A

4. Elemento neutro:

A

∩

U

=

U

∩

A

=

A

{

x

A

x

B

}

B

A

∩

=

/

∈

∧

∈

{

x

A

x

B

}

B

A

−

=

/

∈

∧

∉

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UNSa – Facult Cartilla de Ing Dados los co 9 El C 9 El C Propied Complemen Dado un conj El compleme Los números enteros posit N = {1, 2, 3, Propiedad 1. El 2. Ti 3. To ∀ 4. To ∀ 5. En N tad de Ingenier greso onjuntos: Conjunto que r Conjunto que r dades i. ii. iii. iv. v. vi. nto de un conj njunto A, su co entario de A e s que se emp tivos). Lo simb 4,….} Nota: En para la su tiene solu conjunto N des de N: l conjunto N e iene primer el odo número n n ∈ N, ∃ n+ odo número n n ∈ N ∧ n ≠ ntre dos núme N es discreto ría A= {x/ x e y B = {x/ x resulta de la D P(x) o bien P(x) resulta de la D P(x) o bien P(x) = A – A = A− = − A A− B = A ∩ A B A A− (A−B) =A A∩ (B−C) = junto omplemento e es otro conjun Conj

plean para con bolizamos con este conjunto l uma), pero no o ución en este c N, de allí la nec es infinito lemento (el 1 natural tiene un +1 ∈ N, dond natural tiene un ≠ 1 ∃ n –1 ∈ eros naturales es un estudian es un estudian Diferencia ent x) = estudiante ) = estudiante Diferencia ent = estudiantes = estudiantes A = A BC − B = A∩B = (A∩B) −(A∩ s el conjunto f nto A∁_{cuyos e} junto de los N ntar, 1, 2, 3, n N y podemo la suma de dos ocurre lo mismo conjunto, por l cesidad de intro ) y no tiene úl n sucesor: de n + 1 es el n antecesor ex ∈ N, donde n hay un núme

{

x

A

C

₌

nte que practic nte que juega tre A y B cum es que practic es que sólo pr tre B y A cum s que juegan a

que sólo jueg

∩C) formado por l elementos son Números Nat 4,… constituy os escribirlo co s números natur o para la difere lo tanto ecuaci oducir un nuevo ltimo element sucesor de n xcepto el 1: – 1 es el antec ero finito de nú

x

A

x

_∈

C

_∧

/

ca natación} al fútbol} mplirá con la p can natación y ractican natac mplirá con la p al futbol y no egan al fútbol. los elementos n todos aquello turales ( N ) yen el conjun omo: rales da como r encia (no vale la iones del tipo 5 o conjunto de n to cesor de n úmeros natura

}

A

x

∉

propiedad y no juegan a ción. propiedad o practican na . que no perten os que no está nto de los Nú resultado otro a ley de cierre) 5 + x = 3 no números. ales. Se dice q Pá al futbol, atación. necen a A: án en A: úmeros Natura natural (Ley de , por ejemplo 3 tienen solución que ágina 4 ales (o e cierre 3 – 5 no n en el

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Conjunto de los Números Enteros ( Z )

Si al conjunto N se agrega el número 0 y los enteros negativos se obtiene un nuevo conjunto llamado Enteros. Lo simbolizamos con Z.

Z = {……– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4,…..}

Nota: La suma y diferencia de dos números enteros es otro entero (valen las leyes de cierre para suma, diferencia y producto) pero no ocurre lo mismo con la división de dos números enteros, por ejemplo 2:5 no tiene solución en este conjunto (no vale la ley de cierre para la división), por lo tanto ecuaciones del tipo 4 x + 1 = 6 no tienen solución en Z, de allí la necesidad de introducir un nuevo conjunto de números.

Conjunto de los Números Racionales ( Q )

Es el conjunto de números formado por aquellos números que pueden expresarse como cociente de dos números enteros, como una fracción. Es decir:

_con_b_y_c _Z _c ₀ c b a si Q a ∈ = ∈ ∧ ≠

A este conjunto lo simbolizamos con Q, donde Q = Z ∪ Fraccionarios Los números naturales y enteros son racionales con denominador 1.

Transformación de una Fracción en una Expresión Decimal: Se divide numerador por denominador. Si el resto es 0, la expresión será decimal exacta (por ejemplo 2/5 = 0,4), caso contrario, la expresión será periódica, en la cual se repiten indefinidamente alguna o algunas cifras decimales llamadas “período”(por ejemplo 1/3 = 0,3333…, se expresa

0,3

)

Nota: El conjunto de los números racionales puede definirse también como el conjunto de los números decimales periódicos.

Existen dos tipos de expresiones decimales periódicas:

- Expresión decimal periódica pura: el período aparece inmediatamente después de la coma.

- Ejemplo: 2,33333... 2, 3= )

- Expresión decimal periódica mixta: el período aparece luego de una parte no periódica que también está detrás de la coma. Ej: 1,34666666... 1,346= )

-

Transformación de una Expresión Decimal en una Fracción

A continuación se presenta algunos ejemplos del procedimiento que se realiza para determinar la fracción correspondiente a una expresión decimal:

1) Sea x=0,6) x=0,666... Multiplicando por 10⇒10x=6, 666.... restando x=0,666...

Propiedades de Q:

1. Q es infinito

2. El conjunto Q no tiene ni primero ni último elemento

3. Entre dos números racionales existen infinitos números racionales, entonces se dice que Q es denso.

Propiedades de Z:

1. El conjunto Z es infinito

2. El conjunto Z no tiene ni primero ni último elemento 3. Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor

4. Entre dos números enteros hay un número finito de números enteros. Se dice que Z es discreto

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UNSa – Facultad de Ingeniería Cartilla de Ingreso Página 6 ₃2 9 6

6

9 x

=

⇒

x

=

⇒

x

=

2) Sea 3,128 y=3,128282828.... multiplicando por 1000 1000 3128, 28 restando 10 31, 28 990 3097

Para facilitar esta transformación podemos ocupar la siguiente regla:

Ejemplo: 2, 3 4, 36 Ejemplos: 3,54 = 4,13678 413678 4136 99000 409542 99000

Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número, por ejemplo 1_{, y}2 5

4 8 20 son equivalentes porque todas representan el número 0,25.

Para pasar de la primera a la segunda se multiplica numerador y denominador por 2, o por el contrario si se quiere reducir la segunda fracción a la primera se divide numerador y denominador por 2.

Operaciones en Q: ¾ Suma o Resta: bd c b d a d c b a . . . ± = ± Ejemplos:

a) Fracciones de igual denominador: se pone el mismo denominador y se suman o restan numeradores. 3 4 7

5+ =5 5

b) Fracciones de distinto denominador: se obtienen fracciones equivalentes de igual denominador antes de sumar o restar 3 5 3.3 5.2 9 10 1 2 3 2.3 3.2 6− = − = − 6 = −6 6 1 6 10 9 3 . 2 5 . 2 3 . 3 3 5 2 3 − = − = − = − ⇔ equivalentes

Regla Toda expresión decimal periódica mixta se puede transformar en una fracción tal que:

• El numerador se obtiene restando al número decimal sin la coma la parte entera seguida de la parte no periódica.

• El denominador se obtiene con tantos nueves como cifras tenga el periodo seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.

Regla Toda expresión decimal periódica pura se puede transformar en una fracción tal que: • El numerador se obtiene restando al número sin la coma la parte entera.

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UNSa – Facultad de Ingeniería Cartilla de Ingreso Página 7 ¾ Producto: d b c a d c x b a . . =

Es conveniente simplificar las fracciones a su mínima expresión y recién realizar el producto. La simplificación se hace entre numerador y denominador

Ejemplos: 7 2 7 . 1 . 1 1 . 2 . 1 7 1 1 2 1 1 7 5 5 6 3 1 1 1 2 1 = = × × = / × / / × / 25 6 5 . 1 . 5 2 . 3 . 1 5 2 1 3 5 1 5 8 4 3 5 2 5 2 1 5 1 = = × × = / × / × / / / ¾ Cociente: c b d a d c b a d c b a . . : = =

En este caso la simplificación se hace entre numeradores o bien entre denominadores.

Ejemplos: 6 5 2 . 3 5 . 1 5 4 : 3 2 5 4 : 3 2 1 2 = = / / = 3 10 1 . 1 . 3 5 . 1 . 2 1 5 : 1 1 : 3 2 3 5 1 : 3 4 : 9 8 1 3 1 1 3 2 = = = / / / / / / /

Nota: El conjunto de los números racionales no es cerrado para la radicación, por ejemplo 2= 1,414213.. no es un número racional porque es un número decimal no periódico, no se puede expresar como una fracción, por lo tanto ecuaciones del tipo x 2_{– 2 = 0 no tienen solución en Q. De allí la} necesidad de introducir un nuevo conjunto de números.

Conjunto de los Números Irracionales ( I )

Es el conjunto formado por los números que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Lo simbolizamos con I.

Ejemplos: 2 1, 414213... ;= π=3,14... ; 3 1,7320508...=

Conjunto de los Números Reales ( R )

Es el conjunto formado por la unión de los racionales y los irracionales: R = Q ∪ I Resumiendo:

N∪{0}∪Z – _{Enteros Z}

∪ Racionales Q

Fraccionarios ∪ Reales R Irracionales I

Representación Gráfica de R: Los números reales se pueden representar sobre una recta, llamada recta real, de modo que a todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta le corresponde un número real.

Propiedades de I:

1. I es infinito

2. El conjunto I no tiene ni primero ni último elemento

3. Entre dos números irracionales existen infinitos números irracionales, entonces se dice que I es denso

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Ley de Tricotomía: Llamamos P al conjunto de números reales mayores que cero: P = {x/x∈ R ∧ x > 0}.

Dado un número a ∈ R y un conjunto P llamado positivo, tal que P⊂ R y P cerrado para la suma y el producto, es válida solo una de las proposiciones siguientes:

i) a∈P ii) a = 0 iii) -a ∈P

Orden en Reales: Si a y b ∈ R, a es menor que b si se cumple que b – a es positivo. a < b ⇔ b – a ∈ P

Operaciones en los Reales. Propiedades

Las operaciones binarias usuales en R son la adición, producto, diferencia y división

Todo conjunto que cumple con las propiedades anteriores se denomina “Campo”, por lo tanto el conjunto de los Reales con las operaciones de suma y producto usuales constituye un campo numérico. Otros campos numéricos son los Racionales y los Complejos.

Observación: Si el producto de dos números reales es cero entonces uno de los dos números es cero. a, b ∈ R, si a . b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0

Reglas para la resolución de ejercicios

• Reglas de Supresión de Paréntesis:

a + (b + c) = a + b + c a – (b + c) = a – b – c a – (b – c) = a – b + c

• Regla de los Signos para: el Producto y la División:

+ . + = + + ÷ + = + + . – = – + ÷ – = – – . + = – – ÷ + = – – . – = + – ÷ – =

Propiedades de la Adición (Suma): Sean a, b, c ∈ R 1. Ley de Cierre: ∀ a, b ∈ R se cumple que a+b ∈ R 2. Ley Conmutativa: ∀ a, b ∈ R se cumple que a+b = b+a

3. Ley Asociativa: ∀ a, b, c ∈ R se cumple que a+ (b+c) = (a+b)+c 4. Existencia del elemento neutro para la suma:

∀ a ∈ R, ∃ 0 ∈ R; a + 0 = 0 + a = a 5. Existencia del elemento opuesto (inverso aditivo)

∀ a ∈ R, ∃ - a ∈ R; a + (- a) = (- a) + a = 0

Propiedades del Producto: Sean a, b, c ∈ R

1. Ley de Cierre: ∀ a, b ∈ R se cumple que a .b ∈ R 2. Ley Conmutativa: C a, b ∈ R se cumple que a .b = b.a 3. Ley Asociativa: ∀ a, b, c ∈ R se cumple que a . (b.c) = (a .b) .c 4. Existencia del elemento neutro para el producto:

∀ a ∈ R, ∃ 1 ∈ R; a . 1 = 1. a = a 5. Existencia del elemento inverso

∀ a ∈ R, a ≠ 0 ∃ a -1_{∈ R; a . a}-1_{= a}-1_{. a = 1}

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• Leyes Cancelativas y Uniformes:

1) De la Adición: a + b = c + b

⇒

a = c (cancelativa) a = c ⇒ a + b = c + b (uniforme) 2) Del Producto: a .c = b . c ⇒ a = b , c ≠0 (cancelativa) a = b ⇒ a . c = b . c (uniforme) • Potencia en R

Sean a ∈ R, n entero positivo, definimos a n_{= a . a . a . a . a . ... . a = c}

n veces

donde a: base de la potencia

∈

ℜ

n: exponente

∈

Z

c: se denomina potencia

∈

ℜ

7 7 n -1 0 4 1 ) 4 ( : 1 a y 1 , 1 0⇒ = = = = ≠ − _Ejemplo − a a a a a Si _n Observación • Radicación en R

La raíz enésima de un número real “a” es otro número “b”cuya potencia enésima es “a ”. n_a ₌_b_⇔_bn ₌_{a, n N}_∈

a: se denomina radicando n: se denomina índice del radical

- Si a > 0 ∧ n es par ⇒ n_{a 0}_〉 _{(resultado positivo). Ej:}4_{16 2}₌

- Si a < 0 ∧ n es par ⇒ n_a_{⇒ ∃/}_{(no existe solución real) Ej:}

4 R

− ∉ - Si a > 0 ∧ n es impar ⇒ n

_{a 0}

_〉

_{(resultado positivo) Ej:}3_{8 2}₌ - Si a < 0 ∧ n es impar ⇒ n

_{a 0}

_〈

_{(resultado negativo) Ej:}5_{− =}_{32 -2} - La radicación puede expresarse como potencia de exponente fraccionario:

1 n_{a = a}n La potenciación no es distributiva respecto a la suma o la diferencia. Es decir

₍_a_±_b₎n_≠_an_±_bn Propiedades de la Potencia

1. Producto de potencias de igual base: an _{. a}m_{= a}n+m _{Ejemplo: 2}3 _{. 2}5_{= 2}7 2. Cociente de potencias de igual base: an _{: a}m_{= a}n-m_{si a ≠ 0}

Ejemplo: 29_:25_{= 2}4 3. Potencia de potencia: (an₎m _{= a}n.m _{Ejemplo: (2}9 ₎5_{= 2}45

4. Distributiva de la potencia respecto del producto: (a . b)n _{= a}n_{. b}n Ejemplo: ( 2 . 3 )5_{= 2}5_.35

5. Distributiva de la potencia respecto del cociente: (a : b)n _{= a}n_{: b}n_{si b≠0} Ejemplo: 7 7 7 3 3 5 5 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

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La radicación no es distributiva respecto a la suma o la diferencia. Es decir:

n n n _a_±_b _≠ _a_± _b ¡Cuidado al simplificar!

Si tenemos una potencia, como radicando en una raíz de índice par, podemos escribir: (₋2)2 ₌(₋2)2.1/2₌₋2 que es equivalente a simplificar índice con exponente y esto no es correcto porque si operamos sin simplificar, el resultado obtenido es 2 (positivo)

• Operaciones con Radicales:

1. Extracción de Factores fuera del Radical: Para extraer un factor fuera del radical se divide el exponente del factor por el índice, el resultado es el exponente del factor fuera del radical y el resto de la división es el exponente del factor que queda dentro del radical.

Ejemplo: 3_{p .q = q .p}10 9 3 3 3_p ; 5_{a .b = a}16 3 3 5_a.b3

Nota: Si se quiere introducir un factor dentro del radical se realiza el proceso inverso: se multiplica el exponente del factor por el índice, el resultado es el exponente del factor dentro del radical

2. Racionalización de Denominadores: Dada una fracción cuyo denominador sea un radical, racionalizar dicho denominador es transformar la fracción dada en otra equivalente a la primera, en cuyo denominador no figuren radicales.

1º Caso: Cuando figura un solo radical en el denominador, se multiplica y divide por una raíz con el mismo índice, y el exponente del radicando es la diferencia entre el índice y el exponente del radical original. Ejemplos:

( )

2 x ₌ x . 2 ₌x . 2₌x . 2 2 2 2 . 2 ₂ 8 3 8 3 8 3 8 3 8 5 8 3 8 5 3 8 8 x x. m x. m x. m x. m = = = = m m m m .m m

2º Caso: Cuando se tiene un binomio con radicales en el denominador de la fracción, se multiplica y divide por el binomio conjugado (cambia el signo)

Ejemplos: a)

(

)

(

) (

)

_{( )}

(

2

)

₂

(

2

)

5. 3 5. 3 5. 3 5 3 3 3 . 3 3 a a a a a a a a + + + = = = − − − + ₋ Propiedades de la Radicación:

1. Raíz de un producto es igual al producto de sus raíces: n_{a . b = a . b}n n 2. Raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces: n

n n

a a

=

b b

3. Raíz de raíz es igual a la raíz del número cuyo índice es el producto de los índices dados: m n_{a = a}n.m _o 1 1 1 1 1 . n.m n m n m

a

= a

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

Ej: 5 3_{a = a}15 4.

( )

1 m 1 m m. m m n

_{a =}

n

_a

_{o a}

n

_=a

n

_=a

n

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UNSa Cartill • • ⎟ • • - - - Int ( a, ∞ [a, ∞ – Facultad de I la de Ingreso Relación d Valor Abs a⎟ = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ s a -si 0 si a Propiedad x ) 7 a ) 5 . a ) 3 a ) 1 + Intervalos recta real. - Interval Intervalo Ab Intervalo Se tervalos sin C ) = {x/x ∈ R ) = {x/x ∈ R ∧ Ingeniería 3 ) 6 2 b = − de Menor:

∀

1. En la adi 2. En el pro 3. En el coc soluto: Se def 〈 = 〉 0 a si 0 a 0 a

des del Valor

x a -a x b a b b . a b . 0 ≤ ⇒ ≤ + ≤ + = ≥ s Reales: Un Sean a , b ∈ o Cerrado [a bierto (a, b): emiabiertos o Cota Inferior ∧ x > a} ∧ x ≥ a}

(

) (

3. 6 6 2 . + = −

ℜ

∈

∀

a

,

b

,

c

ición: a < b ⇒ oducto: a < b a < b ciente: a < b a <

fine valor abso

Ejemplo: r Absoluto: 8) a x a ) 6 b b a ) 4 2) ≤ intervalo real R, tal que a < a, b]: [ (a, b) = {x/ o Semicerrado o Superior

)

) (

2 ₃ 6 2 + = +

ℜ

⇒ a + c < b + c b ∧ c > 0 ⇒ a b ∧ c < 0 ⇒ a b ∧ c > 0 ⇒ c a b ∧ c < 0 ⇒ oluto de un nú ⎟ 4⎟ = 4 y x a x b a b -a b a b a a a ≤ ⇒ ≥ − ≥ = − = l es un subcon < b, se define: a, b] = {x/x ∈ /x ∈ R ∧ a < x os: i) [a, b ) = ii) (a , b ]

) ( )

2 2 3. 6 3. 2 6 2 + ₌ − c a . c < b . c a . c > b . c ( c a _< c b c a _> c b₍ úmero real a: y ⎟– 4 ⎟ = 4 a x a -b ≥ ∨ njunto de R y R ∧ a ≤ x ≤ b x < b} = {x/x ∈ R ∧ ] = {x/x ∈ R ∧ (-∞, a] = {x (-∞, a) = {x 3. 6 3. 2 6 2 + = = − se invierte la ( se invierte la y se represent b } a ≤ x < b} ∧ a < x ≤ b} x/x ∈ R ∧ x ≤ a x/x ∈ R ∧ x < a 3_{. 6} 3_{. 2} 4 4 = + desigualdad) a desigualdad) ta como un se a} a} Página 11 2 ) egmento de la a

(12)

UNSa – Facult Cartilla de Ing Se llama exp entre sí por radicación. Ejemplos: Expresiones sometidas ún natural). Expresiones operación de Monomio: E El número qu Monomios S Grado de un Suma de Mo Es inmediato La suma de caso particul Nota: Un bino algebraica de Multiplicaci El producto producto, cu literal se obt exponente ig Ejemplo: Respuesta: tad de Ingenier greso presión algeb medio de las s Algebraicas nicamente a l s Algebraicas e la división. Es la expresión ue multiplica Semejantes: D n Monomio: E onomios o sumar o resta monomios n ar, la suma no omio es la sum un número fini ión de Monom de dos o mas uyo coeficiente tiene escribien gual a la suma ⎜ ⎝ ⎛ _a 5 2 2 2 ₂ )x + xy a ría Ex E braica a todo siguientes op s Enteras: S las operacion Ejemplo: s Racionales Ejempl n algebraica e Ejemplo a las letras se Dos monomio Ejemplo Es la suma de Ejempl ar monomios o semejantes, os da un binom a de dos mono ito de monomio mios: s monomios e e numérico es ndo una sola de todos los e

(

)

⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ _a_b m . 5. . 3. 3 3_. _. _. 5 1 m x b a 2 ) x b y UN xpresiones Al EXPRESION conjunto de peraciones: ad Se llaman así es de suma, : x 3_{– 2 x + y} o Fracciona los: 1 2 3 − − x x _; entera en la qu o: 2 x 2 _y4 llama “coefic s son semejan o: 6x2 _y4_{es s} e los exponent lo: 8 x4_y3_t semejantes: , por ejemplo mio. omios no semeja s no semejantes es otro monom s el producto

vez cada una exponentes co = ⎟ ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − .x.m 10 1 3 4 m 3 2 +y x x NIDAD II lgebraicas. Po ES ALGEBR términos repr dición, sustrac í a las expre resta y multi y 4 arias: Son la t p r − 2 ue no intervien ciente numéric ntes cuando tie semejante con tes de la parte tiene grado 7 o: antes, un trinom s (en particular

mio cuyo sign de los coefic a de las letras on que dicha le + _m a . . 10 1 . 5 . 5 2 21 2 1 2 . ) + − x x y x c olinomios RAICAS resentados po cción, multipl siones alge plicación (inc as expresione nen ni la suma co” y las letras enen la misma n 2x 2 _y4 literal. nunca es o mio, de tres y e r, un monomio t no resulta de ientes numéri s que figuran etra figura en = + _b _x m13. 3. 3 2 ) x+a d or letras y núm licación, divis ebraicas en q cluye la poten es algebraicas a ni la resta. s se llaman “p a parte literal. otro monomio en general, un p también es un p aplicar la reg icos de los fa en los monom los factores.

(

)

2 1 3− a Pág meros, relacio sión, potencia

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polinomio es l polinomio).

gla de los sign ctores, y cuya mios dados, c gina 12 onados ación y s están onente cran la do este la suma nos del a parte con un

(13)

División de dos Monomios: El resultado es otro monomio cuyo signo resulta de aplicar la regla de los signos de la división, cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes de los monomios y cuya parte literal se obtiene escribiendo una vez todas las letras que figuren en los monomios dados, con un exponente igual a la diferencia entre el exponente de la letra del dividendo y el que tiene la misma en el divisor.

Ejemplo: x z x z x z x z 4 4 1 2 5 9 4 5 3 2 9 12 ⎟_⎠⎞÷⎜_⎝⎛ ⎟⎞_⎠=− − − =− ⎜ ⎝ ⎛− Respuesta: POLINOMIO

Polinomio: Es la suma algebraica de monomios, llamados términos del polinomio. Un polinomio con dos términos se llama binomio

Un polinomio con tres términos se llama trinomio Un polinomio con cuatro términos se llama cuadrinomio

Grado de un Polinomio: El grado del polinomio es igual al del término de mayor grado

Ejemplo: El siguiente polinomio es de grado 13

2 5 4 8

8 x y − 3 z x y + 2 x y z

“Un polinomio de grado cero es una constante no nula”. Por lo tanto cualquier número real distinto de cero se puede considerar como un polinomio de grado cero.

Polinomio Nulo: Se llama así al polinomio que tiene todos los coeficientes numéricos nulos y se dice que carece de grado.

Polinomio Homogéneo: Es aquel polinomio que tiene todos los términos de igual grado.

Ejemplo: 2 x 3_{y + 4 x}2_y2 _{- 5 z}3_x

Polinomios Ordenados: Un polinomio se dice ordenado con respecto a las potencias decrecientes de una de sus letras, cuando esta figura en cada término elevada a una potencia menor o igual que en el término anterior.

Ejemplo: 3 a 5_{z - 2 a}3_{+ 1/3 a}3 _z5_{– 2 a está ordenado con respecto a las potencias decrecientes de a.} Nota: Puede ordenarse el polinomio en forma creciente con respecto a una de sus letras.

Ejemplo: – 2 a + 1/3 a 3 _z5_{- 2 a}3_{+3 a}5_{z está ordenado con respecto a las potencias crecientes de a.} Polinomio Completo: Un polinomio en x (o en una indeterminada cualquiera) se dice completo cuando figuran todas las potencias menores de esa letra que la de más alto grado con que esa letra figura en el polinomio. En caso contrario el polinomio se dice incompleto.

Ejemplos: 3 x 5_{- 2 x}3_{+ 1/3 x}2 _{– 2 x - 8 (incompleto en x porque falta x}4₎ 6 x 4_{- 7 x}3_{+ 8 x}2 _{– x + 5 (completo)}

Para “completar” un polinomio se deben agregar los términos que faltan pero con coeficiente numérico “cero” para no alterar el polinomio original.

Ejemplo: Completar el polinomio 5 z 4_{- 7 z} ⇒ 5 z 4_{+0 z}3_{+ 0 z}2_{– 7 z + 0 (completo)}

Igualdad de Polinomios: Dos polinomios son iguales si todos sus términos son iguales z

x4 4 −

(14)

OPERACIONES CON POLINOMIOS

1) Suma de Polinomios: Se realiza agrupando los términos semejantes y sumando sus coeficientes. El grado del polinomio resultante será igual o menor al mayor grado de los polinomios dados.

Ejemplo: Sumar los polinomios siguientes:

3 y 2_{+ 7 x}3_{y – 2 x}4 _{, – 6 y x}3_{+ 4 y}2_{– x}4 _{, 2 y}2_{– 3 x}3_y y x y x y x x y x y 3 3 2 2 4 3 6 2 y 4 4 2 3 7 2 3 − − − + − + 9y2−2x3 y−3x4 Respuesta:

2) Diferencia de Polinomios: Se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo (el opuesto de un polinomio se obtiene cambiando el signo de todos sus términos).

Ejemplo: Restar – 2 x 5_{+ 5 x y – y del polinomio 8 x}2_{– 10 x y + y}

8 x 2_{– 10 x y + y – (– 2 x}5_{+ 5 x y – y) = 8 x}2_{– 10 x y + y + 2 x}5_{– 5 x y + y =} =10 x 2_{- 15 x y + 2 y}

Respuesta:

3) Multiplicación de Polinomios:

I) Multiplicación de un Monomio por un Polinomio: Se realiza multiplicando cada término del polinomio por el monomio Ejemplo:

₃

x

2

y

_.

(

₅

zx

2

y

2

−

₃

xy

+

₈

x

3

yz

)

=

y z x y x z y x4 3 9 3 2 24 5 15 − + Respuesta:

II) Multiplicación de dos Polinomios: Se obtiene multiplicando cada término del polinomio por cada término del otro polinomio. O sea que se aplica la propiedad distributiva. El grado del polinomio resultado es igual a la suma de los grados de los polinomios dados.

Ejemplo:

(

2 2

)

2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 1 1 1 1 2 5 . 2. . 2 5. . 5 2 2 2 2 5 1 9 11 9 11 2 5 2 2 2 2 2 2 a a b b a b a a b a b a b b a b a a b a b a b b a b a a b a b b a a b ab b + + + + ⎛ ⎞ − + _⎜ − _⎟= − − + + − = ⎝ ⎠ − − + + = − = − + − = − + −

Otra Forma de Multiplicar: Se colocan los polinomios como si fuera producto de dos números y se realiza los productos entre los términos de uno con término del otro, esos resultados se colocan de manera que queden en columnas los términos semejantes para poder sumarlos. En el ejemplo anterior:

b a b ab a − × + − 2 1 2 5 2 2 ______________________________ 3 5 2 1 2 2 2 a − a b + a b – 2 a 2 _{b + 5 a b}2_{– b}3 _____________________________ 3 2 2 3 2 11 2 9 b b a b a a − + − 9 y 2_{– 2 y x}3_{– 3 x}4 y z x y x z y x4 3 9 3 2 24 5 15 − +

+

10 x 2_{– 15 x y + 2 y}

(15)

4) División de Polinomios:

División de Polinomios: Para efectuar la división de polinomios el grado del dividendo debe ser mayor o igual que el grado del divisor. Deben ordenarse en forma decreciente, y el polinomio dividendo debe estar completo. Regla: Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se lo resta del dividendo, obteniéndose un resto de grado menor que el dividendo. Se repite el procedimiento entre el resto y el divisor hasta llegar a obtener un resto de menor grado que el divisor.

Ejemplo: Dividendo → 3 ₄ 2 ₅ 2 5 4 4 3 ₋ ₊ ₋ ₊ x x x x x2 −x 2 1 _→_Divisor – _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ 3 2 3 4 4 3 x x 2 4 2 3_x2₋ _x₊ → Cociente _____________________ ₋_x3₊4_x2₋_x₊5 – _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛₋_x3₊₂_x2 ____________________ 2 x 2_{– x + 5} – (2 x 2_{– 4 x )} ______________ 3 x + 5 → Resto

Polinomios en una Variable: Un polinomio de grado “n” en una variable (o indeterminada) “x” se expresa: P (x) = a n. x n + a n – 1. x n-1 + a n – 2. x n-2 +………+ a 2. x 2 + a 1. x + a 0

donden es entero no negativo y los coeficientes aipertenecen a un campo numérico (en nuestro caso R)

y se lee “P de x”.

Si a n

≠

0

, a n se denomina coeficiente principal. Si a n = 1 diremos que el polinomio es mónico y n es el grado del polinomio.

Si todos los coeficientes del polinomio son ceros, entonces se denomina polinomio nulo el cual no posee grado. Si P(x) es igual a una constante, el grado es nulo.

- Llamamos Z[x] al conjunto de polinomios cuyos coeficientes son números enteros. - Llamamos Q[x] al conjunto de polinomios cuyos coeficientes son números racionales. - Llamamos R[x] al conjunto de polinomios cuyos coeficientes son números reales.

Algoritmo de la División de Polinomios en R[x]:

Dados P(x), Q(x) ∈ R[x], con Q(x) ≠ 0, existen C(x) y R(x) ∈ R[x] que verifican: i) P(x) = Q(x).C(x) + R(x)

ii) R(x) = 0 ∨ grado R(x) < grado Q(x)

P(x) Q(x) donde: - P(x) es el dividendo R(x) C(x) - Q(x) es el divisor - C(x) es el cociente - R(x) es el resto

Regla de Ruffini: Se aplica en el caso especial de división de un polinomio en x por un binomio de la forma x ± a. El resultado se obtiene mediante una disposición práctica llamada “Regla de Ruffini”:

• En la primera fila se escriben los coeficientes del dividendo completo y ordenado decrecientemente. • En la segunda fila se escribe hacia la izquierda el opuesto del número a.

(16)

- El primer coeficiente es igual al primer coeficiente del dividendo

- El segundo coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por a (cambiado de signo) y sumando a este producto el coeficiente del segundo término del dividendo, luego se repite este procedimiento para obtener los siguientes coeficientes; el último corresponde al resto de la división y todos los anteriores son los coeficientes del polinomio resultado quien tiene un grado menor que el dividendo.

Ejemplo: x5 _{+ 4 x}3 _{+ 5 x}2 _{– x + 12 x+2} C(x) 1 0 4 5 – 1 12 + –2 –2 4 –16 22 – 42 1 –2 8 – 11 21 – 30 ⇒ C(x) = x4 _{- 2 x}3 _{+ 8 x}2 _{– 11 x + 21} R= - 30

Cero o Raíz de un Polinomio:

Se dice que un número “a” es un cero o raíz del polinomio P(x) cuando este se anula para x = a.

Ejemplo: P(x) = x5 _{- 3 x}4 _{+ 2 x}2 _{+ x – 1}

P(1) = 1 – 3 + 2 + 1 – 1 ⇒ P(1) = 0 ⇒ 1 es raíz de P(x)

Teorema Fundamental del Álgebra: Todo polinomio de grado “n” tiene exactamente “n” raíces. Por ejemplo un polinomio de grado 2 tiene 2 raíces, uno de grado 3 tiene 3 raíces, etc.

Teorema del Resto: El resto R(x) de la división de un polinomio P(x) por un binomio (x+a) es el valor numérico que toma dicho polinomio cuando en él se sustituye x por –a.

Demostración: Por algoritmo de la división entre P(x) y (x+a) se tiene: P(x) = (x+a). C(x) + R

Evaluando el polinomio en -a → P (-a) = (-a+a). C (-a) + R

0 ⇒

Ejemplo: Calcular el resto de la siguiente división:

( 4 x3 _{+ 5 x}2 _{- x + 12 ) ÷ (x+2) ⇒ Resto = P (-2) = 4(-8)+5.4 –(-2) +12} ⇒ R = 2

Nota: - Si el resto de la división es cero, la división es exacta - Si el cociente ( )

( )

P x

Q x es exacto, se dice que P(x) es divisible por Q(x) y Q(x)

es factor de P(x)

Cálculo de los Ceros de un Polinomio

Ceros Enteros: Sea P(x) ∈ Z[x] el polinomio de la forma:

P(x)= a n. x n + a n-1. x n-1 +a n-2. x n-2 +………+a 2. x 2 +a 1. x +a 0 con coeficientes enteros y a n≠ 0 Supongamos que el entero p es un cero del polinomio P(x), es decir:

a n. pn + a n-1. pn-1 +a n-2.p n-2 +………+a 2. p2 +a 1.p +a 0 = 0 Despejando a0 y sacando factor común p:

(17)

a 0 = p (-a n. pn-1 -a n-1pn-2.-+a 1 ) lo que significa que p divide a a 0 , ya que el paréntesis es un número entero, por lo tanto se puede concluir que:

“Los únicos ceros enteros posibles son los divisores del término independiente”

Ejemplo: Dado el polinomio P(x) = x3 _{+ 2 x}2 _{+3x +2, los únicos ceros enteros posibles de este polinomio son los} divisores enteros de 2, es decir ± 1 y ± 2

Aplicando Ruffini se tiene 1 2 3 2 -1 -1 -1 -2

1 1 2 0 ⇒ -1 es raíz

⇒ P(x) = (x + 1) (x2 _{+x +2) → 1, 2 y -2 no son ceros del polinomio porque no verifican el polinomio (x}2 _+x +2), por lo tanto los otros ceros seguro que no son enteros.

Ceros Fraccionarios: Dado un polinomio P(x), si p/q (con p y q primos entre si) es un cero del polinomio necesariamente debe ser p divisor del término independiente y q divisor del coeficiente principal.

Ejemplo: Hallar los ceros enteros y fraccionarios de P (x) = 12 x4_{+44 x}3_{+21 x}2_{-11 x – 6}

Posibles ceros enteros: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 se verifica por Ruffini hasta que se obtiene resto cero solo con -3 12 44 21 -11 -6

- 3 -36 -24 9 6

12 8 -3 -2 0 → C(x)=12 x3_{+8 x}2_-3x-2 Posibles ceros fraccionarios: los divisores del término independiente son ± 1, ± 2

divisores del coeficiente principal son ± 1 , ± 2, ± 3, ± 4 , ± 6, ± 12

entonces los posibles ceros fraccionarios son: ±1/2,±1/3, ± 1/4 ±1/6 , ±1/12 ± 2/3 Mediante Ruffini se obtiene que:

12 8 -3 -2 1/2 6 7 2 12 14 4 0 x2= 1/2 -1/2 -6 -4 12 8 0 x3= -1/2 -2/3 -8 12 0 x4 = -2/3 Los ceros buscados son {-3, 1/2, -1/2, -2/3}

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Hay números que se pueden factorear; es decir expresar como producto de números primos llamados factores, por ejemplo 15 = 3. 5 donde 3 y 5 son los divisores (factores) de 15, o bien se dice que 15 es divisible por 3 y por 5. Algo análogo ocurre con los polinomios. Algunos polinomios se pueden expresar como el producto de otros polinomios primos, por cada uno de los cuales es divisible.

Definición: Factorear un polinomio es transformarlo en un producto de otros polinomios primos, llamados factores.

(18)

Cuando un polinomio no se puede factorear se dice que el polinomio es irreducible o primo.

Ejemplo: Factorizar el polinomio x2 _{– 1 ⇒ x}2 _{– 1 = (x-1). (x+1)}

Polinomios primos

Un polinomio P(x)= a n. x n + a n-1. x n-1 +a n-2. x n-2 +………+a 2. x 2 +a 1. x +a 0 de grado n tiene n raíces (indicadas por xi), entonces se puede expresar factorizado como:

Si algún valor de x I se repite k veces se dice que esa raíz es un cero con orden de multiplicidad k. Si no se repite se dice que es un cero simple.

Por ejemplo en el polinomio P(x) = 3. ( x + 2 ) 3_{.( x -1)}2_{. ( x + 5 ) el -2 es una raíz de multiplicidad 3, el 1 es} raíz de multiplicidad 2 y el -5 es un cero simple.

CASOS DE FACTOREO

1) Factor Común: Un número o una expresión algebraica es factor común de todos los términos de un polinomio cuando figura en todos ellos como factor.

Regla: Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor común por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.

Ejemplo:

4 x3 _{+ 2 x}2 _{– 6 x = 2 x . (2 x}2 _{+ x – 3)}

Observación: El polinomio que resulta al sacar factor común debe tener igual número de términos que el polinomio dado

2) Factor Común por Grupos:

Regla: Si los términos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual número de términos, con un factor común en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los paréntesis, se lo saca a su vez como factor común, quedando el polinomio como un producto de factores comunes.

Ejemplo: P(x) = 2.m.x + n 3_{.x - 2.m.y - n}3_.y P(x) = (2.m.x - 2.m.y) + (n 3_{.x - n}3_.y)

P(x) = 2.m (x – y) + n 3 _{(x – y) ⇒ P(x) = (2.m + n}3 _{) ( x – y )}

Nota: Puede ocurrir que existan factores comunes entre algunos términos pero no en todos.

Ejemplo: _P(_x)₌_x6₊2_x4₊_x2₋2₌

(

_x6₋2_x4

) (

₊ _x2₋2

)

₌_x4

(

_x2₋2

) (

₊ _x2₋2

) (

₌ _x2₋2

)(

_x4₊1

)

3) Trinomio Cuadrado Perfecto:

Definición: Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Al trinomio cuadrado perfecto se lo puede escribir como el cuadrado de un binomio formado por la suma o diferencia de sus bases.

P(x) = a n. (x – x1). (x – x2) (x – x3)…. (x – xn)

(19)

El Trinomio Cuadrado Perfecto equivale al desarrollo del Cuadrado de un Binomio

Ejemplos: a) ₄_x2₊₁₂_x₊₉₌₍₂_x₎2₊₂_⋅₂_x_⋅₃₊₍₃₎2 ₌₍₂_x₊₃₎2 b) 3

₍

_{) (}

₎

2 3 2 2 3 2 2 4 6 ₃ 5 1 3 3 5 1 2 5 1 9 5 6 25 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − x y x y x x xy xy x xy x

4) Cuatrinomio Cubo Perfecto:

Definición: Todo cuatrinomio de la forma _a3₊₃_{a b}2 ₊₃_ab2₊_b3_{en el que dos términos son cubos} perfectos ( a 3 _{y b}3_),_{otro término es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo}

cubo (3 a 2 _{b )}_{y el otro término es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo por la base del primer cubo}

(3a b2₎_{se llama “cuatrinomio cubo perfecto” y se lo puede escribir como el cubo de un binomio, formado por la}

suma de las bases de los cubos, con sus respectivos signos.

El Cuatrinomio Cubo Perfecto equivale al desarrollo del Cubo de un Binomio.

Ejemplo: 1 ₉ 3 ₃ ₆ 1 3

_{( )}

₃ 3 1 2

_{( )}

₃ 1

_{( )}

₃ 2 1 ₃ 3 8 6 2 3 2 3. 2 2 8 m 2m m 2 m 2 m 2 m 2 m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + =_{⎜ ⎟} + + _{⎜ ⎟} + =_⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5º) Diferencia de Cuadrados:

Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la diferencia de sus bases.

Ejemplos: 1) _x2 ₋9₌(_x₋3)_⋅(_x₊3) 2)

( )

_⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − y x y x y x y x 2 9 1 2 9 1 2 9 1 4 81 1 2 3 3 2 3 2 6

6º) Suma o Diferencia de Potencias de Igual Grado:

Para factorizar los polinomios de la forma (x n_{± a}n_{) se debe recordar que binomios lo dividen exactamente. De} esa manera al hacer la división se encuentra el otro factor.

Recordar:

9 Suma de Potencias de Igual Grado

1. La suma de dos potencias de igual grado par no es divisible por la suma de las bases de dichas potencias ni por su diferencia. Consecuencia: Tales binomios no son factorizables.

2. La suma de dos potencias de igual grado impar solamente es divisible por la suma de las bases de dichas potencias.

Ejemplo:

2 : 2 2 4 8 16

Luego la suma de potencias de igual grado impar quedará factorizada de la siguiente manera:

2 2 . 2 4 8 16

(

) (

)

2 2 _. a −b = a b+ a b−

(

)

3 3 2 2 3 3 3 a + a b+ ab +b = a b+

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2. . 2. . a a b b a b a a b b a b + + = + − + = −

(20)

9 Diferencia de Potencias de Igual Grado

1. La diferencia de potencias de igual grado par es divisible tanto por la suma de las bases de dichas potencias como por la diferencia de las mismas.

Ejemplos:

a) El binomio 3 es divisible por 3

3 : 3 3 9 27

Luego la diferencia de potencias de igual grado par quedará factorizada de la siguiente manera:

3 3 . 3 9 27

b) El binomio 3 es divisible por 3

3 : 3 3 9 27

Luego la diferencia de potencias de igual grado par quedará factorizada de la siguiente manera:

3 3 . 3 9 27

2. La diferencia de dos potencias de igual grado impar solamente es divisible por la diferencia de las bases de dichas potencias.

Ejemplo:

El binomio 32 es divisible por 2

32 : 2 2 4 8 16

Luego la diferencia de potencias de igual grado impar quedará factorizada de la siguiente manera:

32 2 . 2 4 8 16

Ejemplo aplicando Ruffini: y 3_{+ 27 = y} 3_{+ 3} 3_{es divisible por y + 3, entonces hacemos la división} aplicando la Regla de Ruffini y obtenemos el otro factor

1 0 0 27 -3 -3 9 -27

1 -3 9 0 ⇒ y 3_{+ 27 = ( y + 3 )}_{.( y} 2_{– 3 y + 9 )}

Nota: Para factorizar un polinomio debemos fijarnos primero que forma tiene para aplicar el caso correspondiente. Muchas veces a un mismo polinomio se le aplican varios casos de factores para llegar a la expresión factorizada. Ejemplo: 2 2 3 3 2 2 4 4 4 2 2 3 3 2 2 4 4 2 2 3 3 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ordenando: 2 2 agrupando: ( ) (2 2 ) ( )

factor por grupos: x ( ) 2 ( ) ( )

(x 2 ).( ) y x y x yx x y y x x x y y x yx y x y x x y y x yx y x y x y yx x y y x y yx y x y + − − − + = − + − + − − + − + − − − − + − ⇒ − + −

Binomio al cuadrado Diferencia de cuadrados 2 3 ( ) .( ).( ) ( ) .( ) x y x y x y x y x y ⇒ − − + ⇒ − +

MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS (MCD)

El MCD de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado y mayor coeficiente numérico que es factor o divisor de los polinomios dados.

(21)

Para hallar el MCD:

1) Se factorizan los polinomios

2) El MCD es el producto de los factores comunes elevados a la menor potencia con que figuran.

Ejemplo: Hallar el MCD de 8 x 2 _{- 16 x y +8 y}2_{y 4 x}2 _{– 4 y}2

1) 8 x 2 _{- 16 x y +8 y}2 _{= 8 ( x}2 _{- 2 x y + y}2_{) = 8 ( x – y )}2 _{4 x}2 _{– 4 y}2 _{= 4 (x}2 _{– y}2 _{) = 4 (x – y ) (x + y )}

2) MCD = 4 (x – y)

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS (mcm)

El mcm de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y coeficiente numérico que es múltiplo de todos los polinomios dados.

Para hallar el mcm:

1) Se factorizan los polinomios

2) El mcm es el producto de todos los factores, comunes y no comunes, con el mayor exponente con que figuran.

Ejemplo: Hallar el mcm de:

5ma + 5mb – 5na -5nb y m 2_a2 _{– m}2_b2_-2nma2 _+2nmb2 _{+ n}2_a2 _{– n}2_b2

1) 5ma + 5mb – 5na -5nb = 5m (a +b) – 5n (a + b) = (5m-5n)(a+b) = 5 (m – n ) ( a + b ) m2_a2_{– m}2_b2_-2nma2 _+2nmb2 _{+ n}2_a2_–n2_b2_{= m}2_(a2 _{– b}2_)-2nm(a2 _-b2)_{+ n}2_(a2_{– b}2_{) =}

= (m2_-2nm_{+ n}2_{) (a}2_–b2_{) = (m – n)}2_{(a –b) (a + b)} 2) El mcm = 5 (m – n) 2_{(a –b) (a + b)}

Ejercicio: Hallar el MCD y mcm de los siguientes polinomios: 9 a 2 _{– x}2_{9 a}2 _{+ 6 a x + x}2_{3 a z + x z} 1) 9 a 2 _{– x}2_{= ( 3 a – x) ( 3 a + x) 2)}_{MCD = ( 3 a + x)}

9 a 2 _{+ 6 a x + x}2_{= (3 a + x)}2_{mcm = (3 a + x)}2 _{( 3 a – x) z}

3 a z + x z = z (3 a + x)

Relación entre Ceros y Coeficientes de un Polinomio

1º) Polinomio de 2º Grado: P (x) = a x2_{+ bx + c = a (x}2_{+ b/a x + c/a)}

sean α, β sus ceros, entonces la descomposición factorial del polinomio es:

P (x) = a (x-α).(x-β) distribuyendo se obtiene: P (x) = a [x2_{– ( α + β ) x + αβ ] debe ser el mismo P(x) dado}

⇒ por igualdad de polinomios se tiene:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − = + a c a b β α β α .

2º) Polinomio de 3º Grado: P (x) = a x3_{+ b x}2_{+ c x + d = a [x}3_{+ b/a x}2_{+ c/a x + d/a]} sean α, β, γ sus ceros, entonces la descomposición factorial del polinomio es: P (x) = a (x-α).(x-β).(x-γ) distribuyendo se obtiene:

(22)

P(x) = a [ x3_{– ( α + β + γ ) x}2_{+ ( αβ +αγ + βγ ) x -αβγ ] debe ser el mismo P(x) dado}

⇒ por igualdad de polinomios se tiene:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = = + + − = + + a d a c a b γ β α γ β γ α β α γ β α . . . . .

Estas relaciones son útiles cuando se conoce alguna relación adicional sobre los ceros, por ejemplo se quiere hallar los ceros del polinomio P (x) = x3_{+9 x}2_{+23 x +15 sabiendo que sus ceros están en progresión aritmética.} Solución: usando el dato adicional, sabemos que los ceros se pueden escribir así:

α - r , α, α + r ( progresión aritmética de razón r)

La suma de los ceros es: α - r + α + α + r = - 9 ⇒ 3 α = - 9 ⇒ α = - 3 por lo tanto ya tenemos un cero Verificamos por Ruffini: 1 9 23 15

-3 -3 -18 -15

1 6 5 0 → -3 es raiz

Los otros ceros son los ceros del polinomio x2_{+6 x +5. Aplicando fórmula de 2º grado se obtienen -1 y -5,} entonces los ceros buscados son -1, -3, - 5 y están en progresión aritmética de razón igual a -2.

EXPRESIONES ALGEBRÁICAS FRACCIONARIAS O RACIONALES

Dados dos polinomios P(x) y Q(x), tal que Q(x) ≠ 0 se denomina expresión algebráica racional a toda expresión de la forma

)

(

)

(

x

Q

x

P

Ejemplos: x a x 5 2 + _{∀x ≠ 0} 2 3 8 2 3 + − + x x x _{∀ x: x ≠ 1 ∧ x ≠ 2}

Definición: Una expresión algebráica racional ) ( ) ( x Q x

P _{, con}_Q(x)_{≠ 0, se dice que es irreducible si}_P(x)_y_Q(x)_no tienen factores en común.

Simplificación de Expresiones Algebráicas Racionales: Para convertir una expresión algebráica racional en irreducible se debe simplificar, es decir se deben factorear numerador y denominador y luego suprimir todos los factores comunes a ambos.

Ejemplo: Simplificar 1 1 2 3 − − x x _{∀ x: x ≠ 1 ∧ x ≠ -1} 2 1₁ 3 − − x x ₌ 1 ) 1 ( ) 1 ).( 1 ( ) 1 ).( 1 ( 2 2 + + + = + − + + − x x x x x x x x

Común Denominador: Para reducir dos o más expresiones racionales a un mínimo común denominador, se trabaja de la misma forma que en la suma de fracciones, es decir se toma el mcm de los denominadores, y los numeradores se obtienen dividiendo el mcm por el denominador correspondiente y el resultado se lo multiplica por el respectivo numerador.

Ejemplo: Reducir las siguientes expresiones racionales a mínimo común denominador

2 2 2 b a xy − ; 2 ₂ 2 ) ( 3 b ab a b a + − + _; b a+5

(23)

1º) Factorear los denominadores:

a b a b b a b ab a b a b a b a + = + − = + − + − = − 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ).( (

2º) El mcm de los denominadores es el producto de todos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente con que figuran, por lo tanto:

El mcm es : ₍_a₊_b_).(_a₋_b₎2 3º) Obtener los respectivos numeradores:

Para ₂2 ₂ b a xy − = ( ).( ) 2 b a b a xy + − → ( ) .( ) ) ( 2 2 _a _b b a b a xy + − − Para 2 2 2 ) ( 3 b ab a b a + − + ₌ 2 ) ( ) ( 3 b a b a − + _→ ) .( ) ( ) ( 3 ) .( ) ( ) )( ( 3 2 2 2 _a _b _a _b b a b a b a b a b a + − + = + − + + Para b a+ 5 _→ ) ( ) ( ) ( 5 2 2 b a b a b a + − −

Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionales 1) Suma:

a) Primer Caso: Cuando las fracciones tienen igual denominador, la suma es otra fracción de igual denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores dados.

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x C x B x A x C x B x C x A ₊ ₌ + Ejemplo: y x xy x y x y x xy y x x 2 2 2 2 ₂ 1 5 3 2 1 2 5 2 3 + + = + +

b) Segundo Caso: Cuando los denominadores son distintos, las fracciones deben reducirse previamente a un mínimo común denominador y luego se procede como en el caso anterior.

Ejemplo: 1 3 ) 1 ( 2 4 1 2 2 2 − + + + − x x x x x

- Primero hallamos el mcm de los denominadores: x-1

2(x+1) ⇒ mcm = 2(x-1)(x+1) x2_{-1= (x-1).(x+1)}

- Hallamos los nuevos numeradores:

1 2 − x → 2( 1)( 1) ) 1 ( 4 ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 2 . 2 + − + = + − + x x x x x x 2( 1) 4 + x x _→ ) 1 )( 1 ( 2 4 4 ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 4 2 + + − = + + + x x x x x x x x 1 3 2 2 − x x _→ ) 1 )( 1 .( 2 6 ) 1 )( 1 .( 2 2 . 3 2 2 + − = + − x x x x x x - Realizamos la suma: 2( 1)( 1) ) 2 5 ( 2 ) 1 )( 1 ( 2 4 10 ) 1 )( 1 ( 2 6 4 4 4 4 ) 1 )( 1 ( 2 6 ) 1 )( 1 ( 2 4 4 ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 4 2 2 2 2 2 2 + − / + / = + − + = = + − + − + + = + − + + − − + + − + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

2) Diferencia: Se procede igual que en la suma

1 2 5 2 2 − + = x x