Espacios de funciones holomorfas en un abierto de C e introducción al estudio de las transformaciones conformes

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA

ESCUELA DE MATEMÁTICA

Espacios de funciones holomorfas en un abierto de

C

e

introducción al estudio de las transformaciones conformes.

Trabajo de grado para optar al titulo de Licenciado en Matemática

Estudiante

Mario Enrique Hernández Carpio

HC09001

Asesor

Dr. Simón Alfredo Peña Aguilar

AUTORIDADES UNIVERSITARIAS PERIODO 2011-2015

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR RECTOR:

ING. MARIO ROBERTO NIETO LOVO VICERRECTORA ACADÉMICA:

MAESTRA ANA MARÍA GLOWER DE ALVARADO VICERRECTOR ADMINISTRATIVO:

MAESTRO ÓSCAR NOÉ NAVARRETE SECRETARIA GENERAL: DRA. ANA LETICIA DE AMAYA

DEFENSORA DE LOS DERECHOS UNIVERSITARIOS: LICDA. CLAUDIA MARÍA MELGAR DE ZAMBRANA

FISCAL:

LIC. FRANCISCO CRUZ LETONA

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA DECANO:

M.SC. MARTÍN ENRIQUE GUERRA CÁCERES VICEDACANO:

LIC. RAMÓN ARÍSTIDES PAZ SÁNCHEZ SECRETARIO:

LIC. CARLOS ANTONIO QUINTANILLA APARICIO

ESCUELA DE MATEMATICA DIRECTOR:

DR. JOSÉ NERYS FUNES TORRES SECRETARIA:

Sonrie

Sonríe porque el cerebro, Con ingeniosa inocencia, Siga forjando en las nubes

Imposibles siluetas. Sonríe porque del caos Y su impetuosa demencia,

Pueda el espíritu humano Concebir belleza. Sonrie que tu sonrisa Con elegancia muestra,

Que el innito cabe En las distancias pequeñas.

...

Sonríe que tu sonrisa Enuncia un lindo teorema:

Existe una curva rosa De curvatura perfecta (M.C.)

Agradecimientos y Dedicatoria Agradezco y dedico este trabajo a: a Dios

por el aire y por los acontecimientos excepcionales que solamente pueden deberse al accionar de un algo superior.

mi madre Concepción y mi abuela María por su ejemplo, apoyo y sacricios.

mi hermano Alex

por su nobleza, coraje y valor. a mi tío Heriberto

por su ejemplo y apoyo. a mi tía Isabel por enseñarme a leer.

al Dr. Simón Alfredo Peña Aguilar por su asesoría en el desarrollo de este trabajo. al profesor Osmaro

por su dedicación, amistad y enseñanzas. al profesor Campos

por sus enseñanzas y motivarme con sus clases a estudiar matemáticas. al todos mis buenos profesores y profesoras

por hacer del aula un lugar agradable. a mis amigas y amigos

Índice general

1. Espacio de funciones holomorfas 5

1.1. Convergencia de una sucesión de funciones holomorfas . . . 5

1.2. Sucesiones exaustivas de compactos de un abierto D deR2, teorema de Stieltjes-Vitali-Montel 8 1.3. Topología del espacio de funciones continuas en un abierto D de C; espacio de funciones holomorfas enD . . . 9

1.4. Series y productos innitos de un conjunto abiertoD de_C. . . 12

1.4.1. Convergencia de una serie de funciones meromorfas . . . 12

1.4.2. Ejemplo . . . 13

1.4.3. Aplicación . . . 14

1.4.4. Teorema de Mittag-Leer enC . . . 15

1.4.5. Productos innitos de funciones holomorfas . . . 16

1.4.6. Ejemplo de producto innito . . . 17

1.4.7. La funciónΓ . . . 19

1.4.8. Teorema de Weierstrass enC . . . 20

2. Aplicaciones holomorfas, transformaciones conformes 21 2.1. Aplicación holomorfa en un vecindario de un punto regular . . . 21

2.2. Aplicación holomorfaw=f(z)en un vecindario dez0 tal quef0(z0) = 0 . . . 23

2.2.1. Caso particular . . . 23

2.2.2. Caso general . . . 23

2.3. Propiedades de las aplicaciones holomorfas . . . 24

2.4. Representación conforme . . . 24

2.4.1. Automorsmos deC . . . 25

2.4.2. Automorsmos deP1. . . 25

2.5. Automorsmos del disco unitario . . . 27

2.6. Automorsmos del semi plano superior . . . 29

2.7. Teorema de la representación conforme para un abierto simplemente conexoD deC . . . 30

1. Espacio de funciones holomorfas

1.1. Convergencia de una sucesión de funciones holomorfas

Teorema 1.1. Fórmula local de Cauchy

Sea D un disco cerrado, y uuna función holomorfa en D. Sea γ el círculo que es frontera de D. Entonces

para cadaz0 enD, abierto y conexo, tenemos

u(z0) = 1 2πi Z γ u(z) z−z0 dz

Nuestro siguiente paso es encontrar una expresión para las derivadas de una función holomorfauen el interior

de un discoD en términos de integrales sobre la frontera deD, para lograrlo primero veremos el siguiente

teorema.

Teorema 1.2. Seauuna función holomorfa sobre un disco cerradoD(z0, R),R >0. SiCR representa la

frontera deD. Entoncesupuede desarollarse como serie de potencias u(z) =Xan(z−z0)n

cuyos coecientesan estan dados por la fórmula:

an= 1 n! = 1 2πi Z CR u(z) z−z0 dz

Demostración. Por el teorema (1.1), para todozdentro deCR, tenemos

u(z) = 1 2πi Z CR u(ς) ς−zdς

Si0< s < R. Sea D(z0, s)el disco de radioscentrado enz0. Veamos queupuede expresarse como serie de

potencias sobre este disco. Escribimos:

1 ς−z = 1 ς−z0−(z−z0) = 1 ς−z0 1 1−z−z0 ς−z0 ! = 1 ς−z0 1 + z−z0 ς−z0 + _z −z0 ς−z0 2 · · · !

Esta serie geométrica converge absoluta y uniformemente para|z−z0|< sdebido a que

z−z0 ς−z0 ≤s/R <1

La función uestá acotada sobre γ. Como las sumas parciales de la serie en el lado derecho de la igualdad

anterior son continuas enD(z0, s), podemos integrar término a término obteniendo

u(z) = ∞ X n=0 1 2πi Z γ f(ς) (ς−z0)n+1 dς·(z−z0)n = ∞ X n=0 an(z−z0)n dondean= R γu(ς)/(ς−z0)

n+1_{dς. Por otra parte}

|an| ≤ 1 2πi Z γ u(ς) (ς−z0)n+1 dς ≤ 1 2π Z γ u(ς) (ς−z0)n+1 dς ≤ 1 2π Z γ kuk_R Rn+1dς =kukR/R n

lo que prueba que la serieu(z)es convergente.

Teorema 1.3. Sea uuna función holomorfa sobre un disco cerrado D(z0, R), R > 0. Si 0 < R1 < R.

Denotemos porkukRal supremo de la normas deusobre el circulo de radioR. Entonces paraz∈D(z0, R1)

tenemos

|un_{(z)| ≤} n!R

(R−R1)n+1

kukR

Demostración. Comoues holomorfa, el teorema (1.2) garantiza que es analítica y puede expresarse como

serie de potencias. La serie de Taylor para ual rededor de un puntoz ∈D(z0, R1) tiene coecientesan =

un_{(z)/n!. Por el teorema (1.2) se tiene quea}

n= 1/(2πi) R γu(ς)/(ς−z) n+1_{dς, entonces} un(z) = n! 2πi Z γ u(ς) (ς−z)n+1dς luego |un_{(z)| ≤} n! 2πi Z γ u(ς) (ς−z)n+1dς ≤ n! 2π Z γ u(ς) (ς−z)n+1 dς ≤ n! 2π Z γ kuk_R (R−R1)n+1 dς= n!R (R−R1)n+1 kukR

Lo que demuestra que la serie paraun(z)es convergente.

Teorema 1.4. SeaDun conjunto abierto deCy denotemos conO(D)al conjunto de funciones holomorfas

enD; para todo subconjunto compactoK deD, para todo subconjunto compacto y acotadoAdeDtal que K⊂A◦, existen constantescj j∈Ntales que, para toda funciónU ∈O(D), se tiene

sup

ζ∈K

|u(j)_{(ζ)| ≤c}

jkukA

dondeu(j)_{representa a laj- ésima derivada deuykuk}

Arepresenta al supremo de la norma de uenA.

Demostración. El teorema se prueba tomandoK=D(z0, R1)yA=D(z0, R), conR1< R, en el teorema

Corolario 1.1. Sea(un)n∈Nuna sucesión de funciones holomorfas enD que converge uniformemente en

todo compacto deD a una funciónu. Entoncesues holomorfa enD; además la sucesión(u0n)n∈N converge

uniformemente au0 _{en todo compacto deD.}

Demostración Como cada un es holomorfa en D entonces es analítica en D de manera que cada un es

continua enD; como una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente lo hace a una función

continua, entonces ues continua. Sea ∆ un triángulo en D. Entonces∆ es compacto; si ∂∆ representa la

frontera de∆, entonces por el teorema de Cauchy

Z ∂∆ u(z)dz= l´ım n→∞ Z ∂∆ un(z)dz= 0

En consecuencia el teorema de Morera implica queu es holomorfa en D. Por el teorema (1.4), existe una

constante positivac1 tal que

|u−u0| ≤c1kukD

dondekukD denota el supremo deusobreD. Como(un)n∈Nconverge uniformemente au, entonces(u0n)n∈N

converge uniformemente au0

Teorema 1.5. SeaDun abierto conexo de_C. Sea(un)n∈Nuna sucesión de funciones holomorfas, sin ceros

enD, que converge uniformemente en todo compacto deD, a la función holomorfau, entonces, o bienu= 0

o bienuno tiene ceros enD.

Demostración. Supungamos queu6= 0y seaz0un cero deu, comoDes conexo,z0es aislado de

multipli-cidadk >0; si B(z0, r)⊂Des sucientemente pequeño, B∗(z0,2r)no contiene ceros deuy

k= 1 2πi Z γ u0(z) u(z)dz

dondeγ=B(z0, r). De acuerdo con el corolario (1.1), la integral anterior es el limite de las integrales

Z

γ

u0_n(z) un(z)

dz

cuandon→ ∞, entoncesk= 0 lo cual es una contradicción.

Corolario 1.2. SeaD un abierto de C. Sea (un)n∈C una sucesión de funciones holomorfas e inyectivas

de D en C que converge uniformemente en todo compacto de D, entonces, o bien la función limite u es

constante, o bien, ella es inyectiva.

Demostración. Seanz1, z2∈Dconz16=z2, tales queu(z1) =u(z2) =a, yuno es constante; seanB1yB2

dos discos abiertos y disjuntos contenidos enDcuyos centros sonz1yz2respectivamente. Entonces la función

u(z)−atiene por ceros az1 en B1 y a z2 enB2. De acuerdo con el teorema (1.5), para nsucientemente

grande,un−atiene un cero enB1 y un cero enB2, lo cual es una contradicción a la hipotesis.

Teorema 1.6. Sea f(z) =

∞

X

n=0

vn una serie de funciones holomorfas en el abiertoD de C. Sif converge

uniformemente (resp. normalmente) en todo compacto deD, entonces f es holomorfa y P_v0

n converge

uni-formemente (resp. normalmente) en todo compacto af0_. Demostración. Por una parte, seaup(z) =

p

X

n=0

vn(z), la conclusión para la convergencia uniforme resulta

Por otra parte si(up(z))p∈Nconverge normalmente en todo compacto deD, entonces converge uniformemente

en todo compacto deDy nuevamenteues holomorfa. Además existen constantes positivasM1, M2, . . .tales

que

1. |up|< Mp,∀z∈K(compacto),∀p∈N.

2. P_M

p converge.

de acuerdo con el teorema (1.4) se tiene

|u0_p| ≤c1kupkD≤c1Mp=Qp, ∀p∈N

para alguna constante positiva c1. ComoPMp converge, entonces PQp también converge, de donde, por

la denición de convergencia normal se deduce queP

v0_n converge normalmente.

Finalmente, por el teorema (1.4) se tiene que|f0_−u0

p| ≤c1kf−upkde donde se concluye quePvn0 converge

af0.

1.2. Sucesiones exaustivas de compactos de un abierto

D

de

_R

,

teorema de Stieltjes-Vitali-Montel

Teorema 1.7. Para todo abiertoD deR2, existe una sucesión creciente de compactos(Kn)n∈N, (es decir

kn⊂Kn+1), deD tales que todo compactoKdeDestá contenido en alguno de losKn, además∪nKn=D.

Demostración. Consideremos los discos cerrados contenidos enD y donde las coordenadas del centro y los

radios son racionales; estos discos forman un conjunto númerable con el cual se forma la sucesión(Bn)n∈N;

para todon, Kn =∪ni=0Bi, es compacto por ser unión nita de compactos yKn⊂Kn+1.

Los interioresBjde los discos forman un recubrimiento de abiertos paraD, entonces todo compactoKdeD

está contenido en una unión nita deBj, y entonces en unKn. para todoz∈D,{z}es compacto, entonces

existen∈Ntal quez∈Kn, de donde la última armación es cierta.

Teorema 1.8. Teorema de Stieltjes-Vitali-Montel Sea(un)n∈Nuna sucesión de funciones holomorfas

en un abiertoDdeCy si esta sucesión está uniformemente acotada en todo compacto deD, entonces existe

una subsucesión(Unj)uniformemente convergente en todo compacto deDa una funciónuque es holomorfa

enD.

Demostración. Por una parte, seaK un compacto deD yA un compacto acotado deD tal queK ⊂A◦; (un)n∈N está uniformente acotada enA, la sucesión ||un||A está acotada. De acuerdo con el teorema (1.4)

la sucesión de primeras derivadas(un)n∈Nestá uniformemente acotada enK; de acuerdo con el teorema del

valor medio resulta que la sucesión(un)n∈Nes equicontinua enK (y entonces para todo >0, existeη >0

tal que para todo n∈Ny para todosz, ζ∈K satisfaciendo que|z−ζ| ≤η, tenemos|un(z)−un(ζ)| ≤);

además para todoz∈K y todon∈N,un(z)está en un disco cerrado de radio nito y entonces compacto,

entonces, de acuerdo con el teorema de Ascoli, el conjunto{un;n∈N}es un conjunto relativamente

compac-to del espacioC0_(K;

C)de funciones continuas deKenCequipado de la norma de convergencia uniforme,

entonces existe una subsucesión de(un)n∈Nuniformemente convergente enK.

Por otra parte, Consideremos una subsucesión de compactos(Kp)deD, como en el teorema (1.7). Entonces,

para q≤p, toda subsucesión de(un)n∈N uniformemente convergente sobreKp converge uniformemente en

Sea(un_lp)una subsucesión uniformemente convergente enKp, la sucesión(un_lp)está uniformemente acotada

enKp+1, entonces existe una subsucesión(unl p+1)que converge uniformemente enKp+1; la sucesión(unlp+1)

está uniformemente acotada enKp+2, entonces existe una subsucesión(un_lp+2)que converge uniformemente

enKp+2; en general, sobre cada compactoKr, conr > p, de la sucesión existe una subsuseción de(un)n∈N

que converge uniformemente sobre Kr. Tomemos la subsucesión (vr) cuyo r-ésimo término es el r-ésimo

término de la sucesión (un_lp+r). La sucesión (vr) converge uniformemente sobre cada compacto Kr, con

r > p. Por el teorema (1.7)(vr)converge uniformemente sobre cada compacto deD.

1.3. Topología del espacio de funciones continuas en un abierto

D

de

C

; espacio de funciones holomorfas en

D

Antes de comenzar el estudio de los espacios de funciones continuas sobre un conjunto propio, abierto y conexo

DdeCes necesario conocer o recordar, según sea el caso, algunos aspectos relativos a los espacios normados.

En cualquier espacio normado X, de normak · k, un conjuntoA enX es abierto cuando para cadax0∈A

se puede encontrar una bola abierta de centrox0 y radior >0 contenida en A. Por tanto, para cualquier

x0∈X, las bolas abiertas de centrox0y radios positivos forman una base de entornos de x0. El manejo de

estos entornos básicos resulta especialmente cómodo; consideremos la bola unidad deX U ={x∈X :kxk<1}

Es claro que la bola abierta de centro x0 y radio r > 0 puede escribirse como x0+rU, luego cualquier

bola abierta se obtiene a partir de la bola unidad mediante una homotecia y una traslación. En resumen, al analizar los abiertos en una topología invariante por traslación es suciente con analizar los entornos de cero.

Ahora damos inicio al estudio de los resultados esenciales de esta sección. El conjuntoC(D) =C0_(D,

C)de

funciones continuas enDes un _C−espacio vectorial. Para todo compactoK deD la aplicación

C(D) → R+

f 7→ ρk(f) = sup z∈K

|f(z)|

es una seminorma y entonces

para f, g∈C(D), ρk(f +g)≤ρk(f) +ρk(g)

para λ∈_C f ∈C(D), ρk(λf) =|λ|ρk(f)

Para todo >0, la seminorma ρk dene la bola cerrada deC(D)centrada en0, de radio

V(K, ) ={f ∈C(D);ρk(f)≤}

Proposición 1.1. Sea K un conjunto compacto y jo, la semi-norma ρk dota al espacio C(D) de la

topologíaτk, invariante por traslación, para la cual la suma de funciones y la multiplicación de una función

Demostración. La seminormaρk dene la diferencia

qk:C(D)×C(D) → R+

(f, g) 7→ ρk(f−g)

qk posee las propiedades de una distancia.

Para todo f ∈C(D)y para todo >0, seanWf

={g ∈C(D);qk(g, f)< }; el conjunto {Wf, ∈R+}es

un sistema fundamental de vecindarios def en una topología bien determinada deC(D), pues dado >0y f ∈C(D),W_/f₂⊂Wf. Para todoh∈C(D), se tieneqk(f+h, g+h) =qk(f, g), entonces, por la traslación

h,W0=V(K, )es transformado enWh, así la topología anterior es invariante por traslación.

La continuidad de la suma y de la multiplicación por un escalar se verican inmediatamente.

Proposición 1.2. SiK describe la familia de conjuntos compactos deD y es un número real positivo,

el espacio C(D) está provisto de una topología únicaτ, invariante por traslación, en la cual los conjuntos V(K, )constituyen un sistema fundamental de entornos de0y para la cual la suma y la multiplicación por

un escalar son continuas.

Demostración. Veamos que la topología τ es la cota superior de las topologías τk cuando K describe la

familia de compactos deD. Consideremos al conjunto∪βk, dondeβk es la base de la topologíaτkvista en la

proposición (1.1);∪βk es una subbase paraτ. Esto es cierto ya que por conocimientos de topología general

siP(X)es el conjunto potencia de un espacioX, yσ⊂ P(X)es tal que∪S⊂σ=X, entoncesσ es subbase

para alguna topología sobreX. Particularmenteτ es la cota superior de las topologíasτk.

Luego, por lo anterior, un sistema fundamental de entornos de0está formado por conjuntos∩j∈JV(Kj, j),

donde (Kj)i∈J es cualquier familia nita de compactos de D, pues V(K1, 1)∩ V(K2, 2) ⊃ V(K1 ∪

K2,´ınf(1, 2)); losV(K, )conKcompacto yen los reales positivos, constituyen un sistema fundamental

de entornos de 0, de esto a su vez, se deduce que τ sea invariante por traslación y que tanto la suma de

funciones continuas como la multiplicación de un función continua por un escalar sean continuas. Proposición 1.3. La toplogíaτ puede ser denida por una distancia invariante por traslación.

Demostración. Sea (Ki)i∈N una sucesión exaustiva de compactos de D, tomamos: ρi = ρki; para toda

funciónf ∈C(D), δ(f) =X i≥1 2−iinf(1, ρi(f)); (δ(f)≤ ∞ X i=1 2−1= 1)

paraf, g∈C(D),d(f, g) =δ(f−g). Se muestra quedes una distancia invariante por traslación que dene

la topologíaτ; este último punto se verica también:

1. Todo V(K, ), con < 1 contiene una bola (centrada en 0) para d. Sea i tal que K ⊂Ki, entonces

d(f,0) =δ(f)≤2−i_{, resulta: ρ}

i(f)≤, entoncesB(0,2−i)⊂V(Ki, )⊂V(K, ).

2. Toda bola B(0, ) para d contiene un V(K, 0): sea i ∈ N tal que 2−i ≤ 2−1, a continuación f ∈

V(Ki,2−1), resulta

δ(f)≤pi(f) + 2−i<

2 + 2

−i_≤

Teorema 1.9. El espacioC(D)provisto de la topologíaτ (llamada topología de la convergencia

compac-ta) es un espacio vectorial topológico (E.V.T.), localmente convexo, metrizable y completo (y entonces, por denición, espacio de Fréchet)

Demostración. Sabiendo que para funciones complejas la suma de funciones continuas es continuas y que la multiplicación de una función continua con un número complejo también es continua se verica queC(D)es

un espacio vectorial sobre el campoC; también se acaba de probar queC(D)está dotado de una topologíaτ.

Por otra parte los conjuntosV(K, )son convexos y dado que τ es invariante por tralación se deduce que

cadaf ∈_C(D)tiene una base local de conjuntos convexos; además se denió una métrica paraC(D)por lo

queC(D)es métrico.

Para vericar queC(D)es completo veamos que se satisface el teorema de Cantor, que dice: El espacio

métrico(X, d)es completo si y sólo si dada cualquier familia numerable de conjuntos{Fn}n∈Ncerrados, no

vacíos y encajados (Fn+1⊂Fn, paran∈N), tales que el ínmo del conjunto de los diámetros de losFnes0,

se tiene que ∩n∈NFn es diferente de vacío. El espacio C(D)satisface el teorema de Cantor pues la función

cotinuaf = 0pertenece a cualquier conjunto cerrado{f ∈C(D);sup|f(z)|z∈K≤}

Teorema 1.10. El sub-espacioO(D)deC(D), y entonces el subespacio vectorial povisto de la topología

inducida porτ, es cerrado enC(D), entonces completo, en particular,O(D)es un espacio de Fréchet.

Demostración. De la teoría de análisis funcional se sabe que, para un conjunto compacto cualquieraK⊂D,

la convergencia en C(K)con la norma kuk =supz∈K|u(z)| equivale a la convergencia uniforme en C(K)

con la distancia usual de funciones, de esto y dada la inclusión deK en D, se deduce la equivalencia de la

convergencia, enC(D), considerando la norma || · ||, con la convergencia uniforme considerando la distancia

usual de funciones. Por otra parte, dado que siu∈O(D)entonces u∈C(D)podemos utilizar lo

anterior-mente expresado, como sigue.

En el primer capítulo se probó que toda sucesión uniformemente convergente de funciones deO(D)converge

a una función en O(D), de manera que O(D) ⊂ C(D) contiene a todos sus puntos de acumulación y en

consecuencia es cerrado en la topología τ. Además, de la teoría de la Topología se sabe que si(X, d) es un

espacio métrico completo y Y ⊂X, conY diferente de vacío, entonces(Y, d)es completo si y solamente si Y es cerrado enX, entonces O(D)es completo.

Proposición 1.4. SiA⊂O(D)es compacto, entoncesAes cerrado y acotado.

Demostración.O(D)es separado, porque es metrizable, entonces el compacto Aes cerrado. ParaK

com-pacto deD, veamos que la aplicación

ϕk :O(D) → R

f 7→ sup

z∈K

|f(z)|

es continua: consideremos al conjunto(a, b)abierto enR+

ϕ−_k1((a, b)) = {f ∈O(D);a < ϕk(f)< b} = {f ∈O(D);a <sup z∈K |f(z)|< b} = {f ∈O(D); sup z∈K |f(z)|< b} − {f ∈O(D); sup z∈K |f(z)| ≤a} = {f ∈O(D); sup z∈K |f(z)|< b} ∩ {f ∈O(D); sup z∈K |f(z)| ≤a}c

Como la intersección de dos conjuntos abiertos es un abierto, entoncesϕ−_k1((a, b))es un abierto en O(D),

Luego, si A es un compacto de O(D), entonces ϕk(A) es compacto, entonces es acotado en R: así las

funcionesf ∈Ason uniformemente acotadas enK, entonces para todo compactoKdeD, existeAtal que

A ⊂ V(K, A), y entonces para todo elemento V(K, ) del sistema fundamental de entornos considerado,

existe λ ∈ R+ tal queA ⊂ V(K, λ) = λV(K, ), esto signica, por denición, que A está acotado; esto

equivale al hecho de queAestá contenido en una bolaB(0, r)para la distanciadenO(D).

Teorema 1.11. Todo conjunto cerrado y acotado deO(D)es compacto.

En la demostración de este teorema utilizaremos el siguiente resultado elemental de topología en espacios métricos:

Lema 1.1. Si un espacio métrico X posee la propiedad siguiente: toda sucesión(un)n∈N de X posee una

subsucesión(unj)que converge, entoncesX es compacto.

Demostración del teorema (1.11). Sea A un conjunto cerrado y acotado de O(D); de acuerdo con la

demostración de la proposición (1.4), el queAesté acotado signica: para todo compactoK deD, las

fun-cioonesf enAson uniformemente acotadas enK.

Sea (un)n∈N una sucesión de elementos de A; ella está uniformemente acotada en todo compacto de D,

entonces, de acuerdo con el teorema de Stieljes -Vitali-Montel existe una subsucesión (unj)uniformemente

convergente, en todo compacto deD, a un limiteu∈O(D);A es cerrado,u∈A; de acuerdo al lema (1.1), Aescompacto.

1.4. Series y productos innitos de un conjunto abierto

D

de

_C

Recordemos que una funciónf que está denida en un conjunto abiertoD excepto en un conjunto discreto

de puntos S de D, es llamada función meromorfa en D. Si z0 es uno de tales puntos, entonces existe

un entero m tal que (z−z0)mf(z)es holomorfa en un vecindario de z0. Entonces f es el cociente de dos

funciones holomorfas en el vecindario dez0.

1.4.1. Convergencia de una serie de funciones meromorfas

Definición 1.1. Diremos que la serie P

fn converge uniformemente (resp. normalmente) sobre un

subconjuntoA deD, si existe un subconjunto nitoJ deNtal que.

1. Para todon∈N\J,fn no tiene polos enA.

2. X

n∈N\J

fn es uniformemente (resp. normalmente) convergente en A. La convergencia normal implica la

convergencia uniforme.

Observación 1.1. De ahora en adelante trabajaremos con series de funciones meromorfas que convergen uniformemente (resp. normalmente) en todo compactoK⊂D.

Para todo abierto U ⊂D, existe un natural n0 =n0(U), tal que para n > n0, fn no tiene polos enU, de

modo que son holomorfas enU, entonces

f = X n≤n0 fn+ X n>n0 fn (1.1)

la suma nita de funciones meromorfas X

n≤n0

fnes meromorfa y

X

n>n0

fn es uniformemente (resp.

el teorema (1.6), X

n>n0

fn es holomorfa enU.

Entoncesf es una función meromorfa enU independientemente de la elección den0.

Teorema 1.12. Sea P

n∈Nfn una serie de funciones meromorfas en D; si ella converge uniformemente

(resp. normalmente) en todo compacto de D, su suma f es meromorfa en D. La serie P

n∈Nf

0

n converge

uniformemente (resp. normalmente) en todo compacto deD y su suma es la funciónf0.

Demostración. De acuerdo con la observación (1.1), f es meromorfa en todo conjunto compacto de D y

entonces en el interior de todo abierto relativamente compacto de D, entonces lo es en un entorno de todo

punto deD, y entonces es meromorfa enD.

Sea U un abierto relativamente compacto de D; sea n0 = n0(U), entonces en la expresión (1.1) de f, la

serie P

n>n0fn es uniformemente (resp. normalmente) convergente en todo compacto de U; de acuerdo al

teorema (1.6) P

n>n0f

0

n converge uniformemente (resp. normalmente) en todo compacto de U, entonces

por la denición (1.1), P_f0

n converge uniformemente (resp. normalmente) en todo compacto de U. Todo

compacto deDestá contenido en un abiertoU ⊂D, de manera que la convergencia ocurre en todo compacto

deD.

Observación 1.2. EL resultado obtenido anteriormente es válido para la sumaP

n∈Zfn de dos series de

funciones meromorfas P

n∈Ngn,

P

n∈N−hn o en otros términos g0 =f0;gn =fn, hn =f−n para n∈N

−_, las seriesP

gn yPhn convergen normalmente en todo compacto deD.

1.4.2. Ejemplo

(z−n)−2 converge en todo compacto deC

Demostración. Sea x = Rez; al ser cerrado y acotado todo compacto K esta contenido en una banda β(x0, x1) : x0 ≤x≤x1 de C; el intervalo[x0, x1] contiene un número nito de enteros; sea z ∈β(x0, x1),

paran < x0,|(z−n)−2|está acotado por(x0−n)−2; paran > x1,|(z−n)−2|está acotado por(x1−n)−2.

Consideremos la serie

X

n∈Z\[x0,x1]

(z−n)−2 (1.3)

de funciones holomorfas enβ(x0, x1) :x0≤x≤x1; segun la observación (1.2) la convergencia de esta serie se

puede obtener de la convergencia de las seriesP

n>x1(x1−n)

−2_yP

n<x0(x1−n)

−2_{, cada una de las cuales}

es la serie p con p= 2 >1, entonces ellas convergen y en consecuenciaP

n∈Z\[x0,x1](z−n)

−2 _converge

normalmente en β(x0, x1). Los términos de (1.2) omitidos en (1.3) son meromorfos con un número nito

de polos en β(x0, x1), entonces la seriePn∈Z(z−n)

−2 _{de funciones meromorfas converge normalmente en}

β(x0, x1)y particularmente enK.

Resultado 1. Propiedades def(z) =X

n∈Z

(z−n)−2

1. De acuerdo con el teorema (1.12), la sumaf(z)es meromorfa en_C; además tiene periodo1:f(z+ 1) = f(z)

2. Los polos son los enteros, son dobles y tienen residuo nulo, en un vecindario de n∈Z,f(z)es igual a

(z−n)−2 _{más la adición de una función holomorfa.}

3. Sea y =Imz, entonces, cuandoy → ∞, f(z) tiende a 0 uniformemente. A causa de la periodicidad

β(x0, x1)consideremos az=x+iy, entonces, para un término cualquiera(z−n)−1 de la serief(z) se tiene: 1 (z−n)2 = 1 [(x−n) +iy]2 = [(x−n)−iy] 2 [(x−n) +iy]2_{[(x−n)−iy]}2 = (x−n) 2_+y2_{−i2(x−n)y} |(x−n) +iy|4

en la última expresión, para x0< x < x1 y njo, cuando y tiende a ∞, el módulo del denominador

crece mucho más rapido que el del numerador, de manera que|(z−n)−2_{|tiende uniformemente a 0y}

en general f(z) =P

z∈Z(z−n)

−2 _{tiende uniformemente a0.}

Proposición 1.5. Se tiene que

f(z) =X

n∈Z

(z−n)−2= π

senπz

2

La demostración de la proposición anterior se presentará después de enunciar y demostrar el siguiente lema. Lema 1.3.g(z) = _senπ_πz2 posee las tres propiedades mencionadas en el resultado (1)

Demostración.

1. Evidentementeg es meromorfa y periódica de periodo1.

2. Debido a la periodicidad es suciente estudiar al polo z= 0; _senπ_πz2∼ 1

z2 en un vecindario de0.

3. Utilizando la igualdadsenπz= eiπz−_2ie−iπz y desarrollando se obtiene que|senπz|2_=sen2_πx+senh2

πy,

entonces, cuandoy tiende a∞,g(z)tiende uniformemente a 0.

Ahora veamos la demostración de la proposición (1.5)

Demostración. Consideremosh=f −g; al expresar af y ag como serie de potencias se observa queh

es una función entera; por otra parte veamos quehestá acotada: es suciente la vericación en una banda β(x0, x1) de anchura 1; sea y0 > 0 para |y| < y0 tenemos que h es una función continua en un conjunto

compacto, entonceshestá acotada; por otra parteh(z)tiende uniformemente a0cuando|y| → ∞de manera

quehtambién está acotada para|y|> y0, , así, por el teorema de Liouville que dice que toda función entera

y acotada es constante, se tiene quehes constante. Además, comoh(z)tiende a0cuando|y| → ∞, entonces h= 0yf =g.

1.4.3. Aplicación

n−2; por otra parte,

π senπz 2 = π2(senπz)−2 = π2 πz−(πz) 3 3! + (πz)5 5! − · · · −2 = π 2 (πz)2 " 1−(πz) 2 3! + (πz)4 5! − · · · −1#2 = π 2 (πz)2 1 + π 2_z2 6 +· · · 2

la última igualdad se obtiene con la serie binomial de Newton. Entonces, en un vecindario de0

π senπz 2 − 1 z2 = π2 π2_z2 1 + π 2_z2 6 +· · · 2 − 1 z2 ∼ π2 3

cuando|z|es innitamente pequeño, entonces k(0) = π 2 3 ; X n∈N n−2= π 2 6

1.4.4. Teorema de Mittag-Leer en

C

Se sabe que para una función meromorfa f no nula en un abierto conexo U de C; los polos de f estan

aislados, además, en cualquier vecindario de todo puntoz0∈U, existe un desarrollo de Laurent paraf

f(z) = ∞ X k=−∞ ak(z−z0)k = 1 X k=p ak(z−z0)−k+g(z−z0)

dondeg es una serie de potencias en el vecindario dez0, entonces una función holomorfa.

El polinomio en(z−z0)−1 sin término constante

p=

1

X

k=p

a−k(z−z0)−k (1.4)

es llamado la parte principal def en z0; todo polinomio de la forma (1.4) será llamado parte principal

de una función meromorfa, de polo z0 .

SeaZun conjunto numerable de puntos enC; los elementos deZse pueden ordenar en una sucesión(zn)n∈N

tal que la sucesión(|zn|)n∈N sea creciente; además siZ es el conjunto de polos de una función f ∈M(C),

entonces (|zn|)n∈N no tiene ningún valor de adherencia enC, porque uno de tales valores correspondería a

un polo no aislado def, entonces siZ es innito,|zn| → ∞cuando ntiende a∞.

Teorema 1.13. Teorema de Mittag-Leer

Sea (zn)n∈N una sucesión tal que la sucesión (|zn|)n∈N sea creciente. Sea (Pn)n∈N una sucesión de partes

principales de los poloszn. Existe una innidad de funciones meromorfas en C, que tienen por polos a los

zn, y para todon∈N, tienen como la parte principal aPn.

Demostración.

Si zn 6= 0, hn(z) = Pn((z−zn)−1) es holomorfa en B(0,|zn|) y además es la suma de una serie entera

uniformemente convergente en el discoB 0,1₂|zn|

de Taylor dehn en 0 tal que |hn(z)−Qn(z)| ≤ 2−n en B 0,1₂|zn|

. Si z0 = 0 se tieneQ0 = 0. Entonces

la serie de funciones meromorfasP

(Pn((z−zn)−1)−Qn(z))converge uniformemente en todo compacto de

C; por el teorema (1.12) su suma es una función meromorfaf, satisfaciendo la conclusión del enunciado. En

general la funciónf tiene la forma

f(z) =g(z) +X

n∈N

(Pn((z−zn)−1)−Qn(z))

dondeg es una función entera, de modo que dos funciones meromorfas que satisfacen la conclusión dieren

en una función entera.

1.4.5. Productos innitos de funciones holomorfas

Definición 1.2. Sea D un abierto de C y (fn)n∈N una sucesión de funciones continuas en D, y A un

subconjunto deD. Se dice que el producto innitoQ

n∈Nfn(z)converge normalmente enA si.

1. La sucesión fn(z)converge a 1, uniformemente en A; lo cual implica que existen0 ∈Ntal que para

n≥n0,|fn−1|<1 enA; entonceslogfn está denida enA.

2. La serieP

n≥n0logfn converge normalmente en A.

Proposición 1.6. Sea(fn)n∈Nuna sucesión de funciones continuas en el conjunto abiertoD deC,Aun

subconjunto deD yfn= 1 +un, entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes:

1. Y n∈N fn converge normalmente enA. 2. La serie X n∈N un converge normalmente en A. Demostración.

Primera implicación: supongamos que Y

n∈N

fn converge normalmente en A. Para n sucientemente grande

logfnes innitesimalmente equivalente aun, es decirlogfn≈un, ya que utilizando el desarollo de Taylor para

logfn se ve que l´ım n→∞

logfn

fn−1

= 1. Como por hipotesis P

n≥n0logfn converge normalmente en A, entonces

P

n≥n0untambién converge normalmente enAy como consecuencia

P

n∈Nunconverge normalmente enA.

Segunda implicación: supongamos que la serieX

n∈N

un converge normalmente enA. De la hipotesis se deduce

que (un)n∈N converge normalmente y uniformemente en A, de modo que existe n0 ∈ N tal que|un| < 1

para n ≥ n0, entonces |fn−1| < 1 para n ≥ n0, y (fn)n∈N converge uniformemente a 1 en A. Por un

argumento análogo al utilizado en la primera implicación se tiene queP

n≥n0logfn converge normalmente

enA y entoces, por denición de convergencia normal de un producto de funciones se concluye que Y

n∈N

fn

converge normalmente enA

Resultado 2. Sea(fn)n∈Nuna sucesión de funciones continuas en el conjunto abiertoDdeCyfn= 1+un,

si Q

n∈Nfn converge normalmente en todo compactoK de D, entonces la sucesión (

Q

n≤pfn)p∈N converge

uniformemente en todo compacto deDa una función f continua enD.

Demostración. Por la denición de convergencia normal del producto de funciones continuas, para todo abiertoU ⊂Drelativamente compacto, existe un número enteron0=n0(U)tal que, paran > n0,|fn−1|<1

enU; consideremosg=Q n≤n0fn yhp= Q n0<n≤pfn Y n≤p fn =g·hp y loghp= X n0<n≤p logfn

Por la denición de convergencia del producto y dado que una serie convergente de funciones continuas converge a una función continua, la serie P

n0<nlogfn converge uniformemente en todo compacto de U a

una funciónlcontinua enU, entonces(Q

n≤pfn)p∈Nconverge uniformemente en todo compacto a la función

g·expl, que es continua enU.

En el siguiente resultado veremos como se comporta un producto innito de funciones holomorfas que converge normalmente; la notaciónZ(f)representará al conjunto de ceros de la funciónf.

Teorema 1.14. Sea(fn)n∈N una sucesión de funciones holomorfas en el conjunto abiertoD ⊂Ctal que

el producto innitoQ

nfnconverge normalmente en todo compacto deD, entoncesf =Qnfn es holomorfa

enD. Además, Z(f) =∪n∈NZ(fn)y si parag ∈O(D),mz(g)designa el orden de multiplicidad del ceroz

deg, se tienemz(f) =Pn∈Nmz(fn)

Demostración. Q

n≤pfn es holomorfa para todo p ∈ N; de acuerdo con el resultado (2), f es el limite

uniforme de (Q

n≤pfn)p∈N en todo compacto de D, como cualquier sucesión de funciones holomorfas

nor-malmente convergente, converge a una función holomorfa, se tiene quef es holomorfa en el interior de cada

conjunto compacto deDy entonces enD.

Para todo abierto relativamente compactoU ⊂D, el conjunto de cerosZ(fn|U)es vacío cuandon≥n0(U),

de donde se tiene la última armación.

Teorema 1.15. Sea(fn)n∈N una sucesión de funciones holomorfas en el conjunto abiertoD ⊂Ctal que

el producto innito Q

n∈Nfn converge normalmente en todo compacto deD, entonces la serie de funciones

meromorfasP

n∈N(f

0

n/fn)converge normalmente en todo compacto deD y su límite esf0/f

Demostración. En todo abiertoU relativamente compacto deD, según la notación empleada en la

demos-tración del resultado (2):f =g·Q

n>n0fn;|fn−1|<1 enU paran > n0. Entonces f0=g0Y n fn+g  fn00+1 Y n6=n0+1 fn+fn00+2 Y n6=n0+2 fn+fn00+3 Y n6=n0+3 fn+· · ·   entonces f0 f = g0Q nfn+g h fn00+1 Q n6=n0+1fn+f 0 n0+2 Q n6=n0+2fn+f 0 n0+3 Q n6=n0+3fn+· · · i gQ nfn = g 0 g + _f0 n0+1 fn0+1 +f 0 n0+2 fn0+2 +f 0 n0+3 fn0+3 +· · · = g 0 g + X n>n0 f0 n fn =X n∈N f0 n fn Además f0 f = g0 g + P n>n0(logfn) 0 ₌ P n≤n0(logfn) 0 ₊P n>n0(logfn)

0_{; por la denición de convergencia} normal la serie del miembro derecho converge normalmente en todo compacto deU ,esto de acuerdo con el

teorema (1.6)

1.4.6. Ejemplo de producto innito

πz es igual a un producto innito.

Proposición 1.7. Y n∈N 1− z 2 n2 =senπz πz

Demostración. La serie P

n∈N(

z2

n2) puede expresarse como z2

P

n∈N(

1

n2), es decir, como el producto de

una constante con una serie de Riemann de exponente2, entonces ella es normalmente convergente en todo

subconjunto compacto deC. De acuerdo con la proposición (1.6), el producto innitof(z) =zQn∈N(1−

z2 n2)

converge normalmente en todo compacto de C. Entonces, de acuerdo con el teorema (1.14)f es holomorfa

enC; sus ceros son los enteros.

Comof(z) =zQ n∈N 1− z2 n2 , entonces f0(z) = Y n∈N 1−z 2 n2 −2z2 ∞ X r=1   1 r2 Y n∈N−{r} 1− z 2 n2   de donde f0_(z) f(z) = Q n∈N 1−z2 n2 −2z2P∞ r=1 h 1 r2 Q n∈N−{r} 1−z2 n2 i zQ n∈N 1− z2 n2 = 1 z −2z " X n∈N 1/n2 (n2_−z2_)/n2 # = z−1+X n∈N 2z(z2−n2)−1

De acuerdo con el teorema (1.15),f0(z)/f(z)es una serie normalmente convergente en todo compacto deC.

Para completar la demostración actual es necesario enunciar y demostrar el siguiente lema. Lema 1.4. El limiteF(z)de la seriez−1+P

n∈N2z(z 2_−n2₎−1 _es π tanπz Demostración. F(z) = 1 z + X n∈N−{0} ₁ z−n+ 1 z+n = 1 z + X n∈Z−{0} ₁ z−n = 1 z + X n∈Z−{0} ₁ z−n+ 1 n = 1 z + X n∈Z−{0} z n(z−n)

Ya se probó que la serie X

n∈Z−{0}

z

n(z−n) converge normalmente en todo compacto deC; de acuerdo con el

teorema (1.12), su suma es una función meromorfa enCy es la misma deF(z). Además, de acuerdo con la

proposición (1.5) F0(z) =−1 z2 − X n∈Z−{0} (z−n)−2=− π senπz 2 pero π senπz 2 = d dz π tanπz entoncesF(z) = _tanπ_πz.

Ahora podemos nalizar la demostración de la proposición (1.7). De acuerdo al lema anterior

f0(z) f(z) =π

cosπz

senπz

entoncesf(z) =csenπzdondec∈C. Comof(z)converge en todo compacto deCyf(z) =zQn∈N

1−z2 n2

, entonces cuandoz→0, f(_zz) tiende a1 y senπz tiende aπ, de dondec=_π1, así

f(z) z = Y n∈N 1− z 2 n2 = senπz πz

1.4.7. La función

Γ

A continuación deniremos una función meromorfaΓ(z)tal que, paran∈N,Γ(n+ 1) =n!.

Paran∈N, sea gn(z) = z(1 +z)(1 + 1 2z)· · ·(1 + 1 nz) 1 nz = 1 n!z(z+ 1)(z+ 2)· · ·(z+n)n −z Paran≥2, sea: fn(z) = gn(z) gn−1(z) =1 + z n 1 nz(n−1) z_{=1 +} z n 1− 1 n z

Para1≤r < ny|z| ≤r, tiene sentido denirlogfn(z)y

logfn(z) = log 1 + z n +zlog 1−1 n

Utilizando el desarrollo de taylor para la funciónlog 1 +z_n, obtenemos|logfn(z)| ≤2

r2

n2. Entonces la serie

P

n≥2logfnconverge normalmente en todo compacto deB(0, r); entonces el producto innitog1Qn≥2

gn

gn−1

converge normamente en todo compacto deC. Su valor es la función holomorfag, límite uniforme sobre todo

compacto de las funcionesgn=g1f2· · ·fn,g tiene por ceros a los enteros negativos con multiplicidad1.

Parazno negativo, g(z) g(z+ 1) = nl´ım→∞ gn(z) gn(z+ 1) = l´ım n→∞ z z+ 1 +n· nz+1 nz = l´ım n→∞ nz z+ 1 +n = z Entonces g(z)

g(z+ 1) =z para todoz∈C, ademásg(1) = l´ımn→∞gn(1) = 1 la función meromorfa 1

g(z) es denotada conΓ(z); ella admite por polos solo a enteros negativos con

multipli-cidad1y satisface:

Γ(z+ 1) =zΓ(z)

y

Teorema 1.16. Formula de complementos

Γ(z)·Γ(1−z) = π

senπz

Demostración. De acuerdo a lo visto anteriormentegn(z) = _n1_!z(z+ 1)(z+ 2)· · ·(z+n)n−z, así

gn(1−z) = (1−z)(1− 1 2z)· · ·(1− 1 nz)(n+ 1−z)n −1+z

también sabemos quegn(z) =z(1 +z)(1 +1₂z)· · ·(1 +_n1z)_n1z, utilizando está expresión degn(z)se obtiene

gn(z)·gn(1−z) = 1 nz(n+ 1−z) n Y k=1 1−z 2 k2

de donde, por la proposición (1.7)

g(z)·g(1−z) = l´ım n→∞gn(z)·gn(1−z) =z· Y k∈N−{0} 1−z 2 k2 =senπz π

1.4.8. Teorema de Weierstrass en

C

Sea Z un conjunto discreto de puntos de _C; consideremos una sucesión (zn)n∈N de los elementos de Z tal

que|(zn)|n∈N sea creciente y que|zn| → ∞ cuandon→ ∞.

Teorema 1.17. Sea(zn)n∈N una sucesión de puntos deCtal que(|zn|)n∈Nsea creciente y que|zn| → ∞

cuando n→ ∞, entonces existe una innidad de funciones enteras cuyos ceros son los puntos zn, la

multi-plicidad del cerozn es igual el número de veces que zn gura en la sucesión.

Demostración. Supongamos quez06= 0. Paraz∈B(0,|zn|),log(1−zn−1z)es holomorfa y su desarrollo de

Taylor−

∞

X

k=1

k−1(zn−1z)k converge uniformemente enB(0,2−1|zn|). SeaPn(z) = kn

X

k=1

k−1(zn−1z)k tal que

|log(1−z−1

n z) +Pn(z)|<2−n enB. Tomemos an(z) = (1−z−n1z) expPn(z). Para todo compactoK deC

existen0 tal que paran≥n0, tengamosK⊂Bn, la seriePn≥n0logan es normalmente convergente enK,

entonces también lo es el producto innito Q

n∈Nan. Entonces por el teorema (1.14), f =

Q

n∈Nan es una

función entera satisfaciendo asi la conclusión.

Siz0= 0aparecekveces en la sucesión, es suciente construir la funciónzkf. Cualquier otra de las innitas

2. Aplicaciones holomorfas,

transformaciones conformes

2.1. Aplicación holomorfa en un vecindario de un punto regular

C. Sea z0 un punto de U y γj : I = [0,1]→

Cconj = 1,2 dos arcos diferenciables de origenz0; sea δj =f◦γj con j= 1,2 dos arcos diferenciables de

origenw0 =f(z0). Designaremos porγj0(0) a la derivada deγj en0 las cuales supondremos no nulas para

j= 1,2;γ_j0(0)∈R2

Por la regla de la cadenaδ_j0(0) =f0(z0)γ0j(0). Identicando aR

2 _con C, entoncesγj0(0)∈Cy Argγ 0 2(0) γ₁0(0) resp. Argδ 0 2(0) δ0₁(0)

es el ángulo orientado entreγ1 yγ2enz0 (resp. el ángulo entreδ1 yδ2 enw0). Una aplicación diferenciable

f de un vecindario de z0 en Cen un vecindario de w0 en C tal qe f(z0) = w0 y, que posee la propiedad

siguiente: para dos arcos diferenciablesγ1 yγ2, de origenz0que se transforman mediantef en dos arcosδ1

yδ2de origenw0 Argγ 0 2(0) γ0 1(0) =Argδ 0 2(0) δ0 1(0)

es llamada una transformación conforme enz0, entonces diremos quef es conforme enz0si conserva los

ángulos enz0. Sif es conforme en todo punto de un abiertoU deCdiremos quef es conforme enU.

Diremos que una transformación conformef es directa si conserva la orientación de los ángulos y diremos

que es indirecta si la invierte.

Proposición 2.1. Toda función f holomorfa en un vecindario de z0 en C tal que f0(z0) 6= 0 es una

transformación conforme directa enz0.

Demostración. Por la regla de la cadenaδ_j0(0) =f0(z0)γj0(0), entonces

γ₂0(0) γ₁0(0) = f0(z0)δ20(0) f0_(z 0)δ10(0) = δ 0 2(0) δ0 1(0)

Proposición 2.2. Toda aplicación linealT :C→Cque conserva los ángulos es bien de la formaf(z) =cz

Demostración. SeaT una transformación lineal que cumple las condiciones dadas y sea c=reiω =T(1).

Consideremos a la aplicación linealS tal que

z7→r−1e−iωz=c−1z

tenemos que (S◦T)(1) = 1. La composición S◦T conserva los ángulos pues S y T lo hacen, de manera

que la imagen dei mediante S◦T esia, con a∈R, esto debido a que el ángulo en posición estandar con

rayos sobre los semiejes positivos se conserva o se reeja respecto del eje real. El punto1 +ise transforma

en1 +ia, se tiene queArg(1 +ia) =±Arg(1 +i)entoncesa=±1. Luego:

Si a= 1,S◦T es la identidad, entoncesT =S−1_{yT(z) =cz}

Si a=−1 S◦T se dene por:z7→z, y entoncesT(z) =cz

A continuación enunciamos dos teoremas que utilizaremos luego en la demostración de una proposición Teorema 2.1. Seaf(T) =a1T+a2T2+· · · una serie de potencias cona16= 0. Entonces existe una única

serie de potenciasg(T)tal quef(g(T)) =T. Esta serie de potencias también satisfaceg(f(T)) =T.

Teorema 2.2. Sif(z) = ∞ X n≥0 anzn yh(z) = ∞ X n≥1

bnzn son series de potencias convergentes, y supongamos

que el termino constante de h(z)es 0. Supongamos también que f(z)es absolutamente convergente para |z| ≤r, conr >0, y ques >0es un número tal que X

n≤1

|bn|sn≤r.

Sig=f(h)es la serie de potencias obtenida mediante la composición, h(z) = ∞ X n≥0 an   ∞ X k≥1 bkTk   n

Entoncesgconverge absolutamente para |z| ≤s, y paraz,g(z) =f(h(z)).

Las demostraciones de los dos teoremas anteriores se encuentran en el capitulo 2 de la cuarta edición del libro Complex Analysis, de Serge Leang.

Proposición 2.3. Seaf(z)una función holomorfa en un vecindario dez0enC, tal quef0(z0)6= 0,

enton-ces, para un vecindario dew0=f(z0), existe una aplicación holomorfag(w)reciproca defyg0(w) =f0(z)−1.

Demostración. Haciendo uso de traslaciones podemos suponer, sin perder generalidad, quez0= 0y

enton-cesf(0) = 0; de modo quef sea analítica en un entorno de0. Lo anterior signica quef tiene una serie de

potencias convergente alrededor de 0, entonces podemos ver a f como denida en el disco de convergencia D de dicha serie, es decirf :D→C.

Como f es analítica, el teorema (2.1) garantiza la existencia de una serie de potencias g (única) tal que f(g(T)) = T y g(f(T)) = T. Sea V0 un disco centrado en 0 tal que g(V0) ⊂ D. Tal entorno de 0 existe

simplemente porque g es continua. Sea U0 =f−1(V0) el conjunto de todos losz ∈D tales que f(z)⊂V0.

Sea

f0:U0→V0

la restricción def a U0. Veremos quef0es un isomorsmo analítico. Notemos queg(V0)⊂U0debido a que,

por el teorema (2.2), paraw∈V0 tenemosf(g(w)) =w, entonces podemos considerar la restriccióng0deg

aV0 como el mapeo

g0:V0→U0

Nuevamente por el teorema (2.2), para z ∈ U0 tenemos g0(f0(z)) = z, lo cual prueba que f0 y g0 son

Definición 2.1. Sif es una función holomorfa en un abiertoU deC, todo puntoz∈U tal quef0(z0)6= 0

ea llamado un punto regular def.

Resultado 3. Seaf(z)una función holomorfa en un vecindario de z0 enC, tal quef0(z0)6= 0, entonces

f es un isomorsmo analítico local (también llamada aplicación biholomorfa)

Demostración. Por denición, f es un isomorsmo analítico local en el punto z0 si existe un abierto U

conteniendo a z0 tal que f es un isomorsmo analítico sobre U, entonce la conclusión se obtiene de la

proposición (2.3).

2.2. Aplicación holomorfa

w

=

f

(

z

)

en un vecindario de

z

tal que

f

(

z

) = 0

2.2.1. Caso particular

f(z) =zp p∈N, p≥2, entoncesf0(0) = 0. Seaz=ρeiθ, entoncesw=ρpeipθ; los ángulos no se conservan

en 0. La aplicación reciproca, en un abierto donde ella está denida es z = w1/p = e1/pLogw para una

determinación del logaritmo. De forma precisa, para las determinaciones principales del argumento y del logaritmo, tenemos:

−π < Argw < π Logw=Log|w|+iArgw

Sea Ω la diferencia del plano complejo con el semieje real negativo; para w ∈ Ω, se obtienen para z, p

funciones distintas

z=w1/p =e1/p[Log(w)+ik2πi]=e1/pLogweik2π/p=e1/plow|w|ei[Argz+k2π/p]; k= 0,1, . . . , p−1

Lo anterior se debe a que dos determinaciones continuas del logaritmo sobre un mismo abierto conexo, dieren en un multiplo de2πi.

2.2.2. Caso general

Por un desplazamiento del origen, el análisis se reduce al caso: z0 = 0; f(z0) =f(0) = 0. Con el desarollo

del Taylor def en0, obtenemos:

f(z) = f(0) +f0(0)x+f 00_(0)x2 2! +· · · = f (p)_(0)xp p! + f(p+1)(0)xp+1 (p+ 1)! · · · = f (p)_(0)xp p! 1 + f (p+1)_(0)x (p+ 1) +· · ·

entonces f = zp_cp_{g(z) donde g es una función holomorfa en un vecindario de z = 0 tal que g(0) = 1 y}

c∈C\{0}; ademásg(z) = 1+g1(z)cong1(0) = 0. Entonces, para|z|sucientemente pequeño,Log(1+g1(z))

tiene sentido, entonces también lo tiene: h(z) = ce1/pLogg(z); de suerte que f = zphp(z) = (zh)p. Como [zh(z)]p es holomorfa en un vecindario de 0, entonces también lo es zh(z). Además [zh(z)]0 evaluada en 0

invertible en un vecindario dez= 0; la aplicación reciproca dew=ςp, paraw∈C\R− esς =w1/p con las

pdeterminaciones

ς =e1/plog|w|ei[Argw+k2π/p], k= 0,1, . . . , p−1

La aplicación reciproca de f es composición de ς =w1/p _{con la aplicación reciproca del isomorsmo local:}

zh(z) =ς.

2.3. Propiedades de las aplicaciones holomorfas

Teorema 2.3. Seaf una función holomorfa no constante, en un abierto conexoD de_C. Entonces f(D)

es un abierto deC

Demostración. Es suciente mostrar que la imagen de un abiertoD sucientemente pequeño es un abierto

deC. Por el resultado (3), en un vecindario dez0 ∈D en el cualf0(z0)6= 0, f es un isomorsmo analítico

local, entonces la inversa def es continua y en consecuenciaf(D)es abierto. Por otra parte, en un vecindario

dez0∈Den el cualf0(z0) = 0, por la sección (2.2),f es composición del isomorsmo localzh(z) =ς con de

la aplicaciónw=ςp_,p∈

N\ {0,1}; la imagen de un abierto mediante el isomorsmozh(z)es un abierto y la

imagen del disco|ς|< r(conjunto abierto) pararsucientemente pequeño es el disco|w|< rp_{, que también}

es un abierto. Finalmente, comof es composición de funciones que llevan conjuntos abiertos en conjuntos

abiertos, entoncesf(D)es abierto.

Corolario 2.1. SeaDun abierto conexo deCyf ∈O(D), una aplicación inyectiva deD enC, entonces

f es un homeomorsmo deD enf(D)yf−1∈O(f(D)).

Demostración. De acuerdo con el teorema (2.3), f es inyectiva, continua y abierta; para todo abierto U

deD,(f−1₎−1_{(U) =f(U)es un abierto de}

C, entoncesf−1 es continua y es un homeomorsmo. Ademásf

es inyectiva, entonces debido a los resultados de las sección (2.2)f0(z0)6= 0en todo punto z0∈D, pues en

caso contrariof no sería inyectiva; luego por la proposición (2.3)(f−1₎0_(f(z

0)) =f0(z0)−1, entonces f−1es

holomorfa enz0, entonces lo es enf(D).

Definición 2.2. Sean D yD0 dos abiertos deC, un homeomorsmo holomorfof : D→D0 con inversa

también holomorfa es llamado isomorsmo.

Corolario 2.2. SeaD un abierto de C yf :D →C una aplicación holomorfa inyectiva, entoncesf es

un isomorsmo deD enf(D).

Demostración. Dado que las componentes conexas de D forman una partición de D, vasta con aplicar el

corolario (2.1) a cada una de ellas.

Observación. Las deniciones y resultados anteriores son validos sifestá denida en un abierto del conjunto

C∪ {∞}(la esfera de Riemman) y toma valores enC∪ {∞}.

2.4. Representación conforme

El principal problema de la representación conforme consiste en que, dados dos abiertos conexosDyD0 en

P1, pueda encontrarse un isomorsmo de D enD0; para responder a este problema podemos tomar como

primer paso el siguiente teorema.

Teorema 2.4.CyB(0,1) ={z∈C;|z|<1} no son isomorfos pero son homeomorfos.

Demostración. Suponga que existe un isomorsmo f : _C→ B(0,1), entonces f es una función entera y

Sea f un isomorsmo dado de D en D0 y g un isomorsmo cualquiera, entonces f−1◦g = sD → D es

un isomorsmo de D en si mismo y entonces un automorsmo. Reciprocamente, para todo automorsmo S:D→D,g=f◦ses un isomorsmo deD0 _enD.

los automorsmos deD forman un grupoΓ(D)y para todo s∈Γ(D), s→s0 =f ◦s◦f−1:D0→D0

es un automorsmo deD0, de donde la siguiente aplicación es un isomorsmo: Γ(D) → Γ(D0)

s 7→ s0

Ahora nuestro principal objetivo, es establecer que todo abierto simplemente conexo distinto deCes isomorfo

al disco unitarioB=B(0,1).

2.4.1. Automorsmos de

C

Todo automorsmof : C→Ces una función entera, inyectiva, no constante; f se prolonga en P1 en una

función que tiene a∞como punto sigular aislado; seaζ=z−1,g(ζ) =f(ζ−1)admite0como punto singular

aislado.

Si ζ = 0 es un punto singular esencial, la imagen del disco |ζ| < 1 por g es densa en _C (Ver Analyse

Complexe de P. Dolbeault, Capitulo 2, teorema 4.3.6), además como f es entera la imagen de |z| < 1

mediante f es abierta, ello contradice la inyectividad de f. Entonces ζ = 0 es un polo de g y f es un

polinomio en z; para que f sea inyectiva, a causa del teorema fundamental de la aritmética, que dice que

todo polinomio de grado mayor que0tiene al menos una raíz compleja, es necesario y suciente que el grado

def sea1, y entonces f =az+b cona,∈_Cya6= 0; lo anterior prueba el siguiente resultado

Teorema 2.5. El grupo de automorsmos deCes

Γ(_C) ={z→az+b;a6= 0}

2.4.2. Automorsmos de

P

Definición 2.3. Una aplicación homograca, también conocida como transformación fraccional lineal o transformación de Möbius, está denida por

z→w=f(z) = az+b cz+d

dondea, b, c, d∈Cy tales quead−bc6= 0;

Observemos que si multiplicamos aa, b, cydpor un mismo número complejoλse tiene λaz+λb

λcz+λd = az+b cz+d

debido a que λse cancela en el lado izquierdo de la igualdad, de manera que una misma aplicación

homo-graca puede representarse de diferetes maneras, de hecho puede representarse de innitas maneras. Ahora veamos que las aplicaciones homogracas son conformes. Derivando tenemos

f0(z) = ad−bc (cz+d)2

la funciónf no está denida enz =−d/c, pero si lo está en cualquier otro punto del plano complejo, y la

formula para su derivada muestra que f0 6= 0 en todo z 6= −d/c. Entonces, por la proposición (2.1), f es

conforme enC\ {−d/c}.

Las homografías tienen inversa: a partir de

w=az+b cz+d

podemos resolver directamente parazen terminos de w, de modo quef tiene por aplicación inversa a z=−dw+b

cw−a

que es de la misma naturaleza quef. Las homografías son isomorsmos analíticos de_P1_en

P1y constituyen,

entonces, un grupoGde automorsmos de_P1_.

Por otra parte observemos que sic6= 0, w= az+b cz+d = a c _z+b/a z+d/c = a c _{z+d/c+ (b/a−d/c)} z+d/c = a c _z+d/c z+d/c+ b/a−d/c z+d/c = a c 1 + b/a−d/c z+d/c = a c 1 + bc−ad ac(z+d/c)

de manera que la homografía es composición de las aplicaciones w1 = z+d/c (traslación); w2 = ac(w1)

(homotopía -rotación y homotecia-); w3 = 1/w2 (inversión); w4 = (bc−ad)w3 (homotopía);w5 = w4+ 1

(traslación) yw6=w5a/c(homotopía)

Sic= 0, se trata de una homotopia seguida de una traslación.

Resultado 4. Por lo anterior es claro que las homografías son composiciones de rotaciones, traslaciones, inversiones y homotecias; entonces las homografías transforman a las rectas en rectas o circunferencias y a las circunferencias en rectas o circunferencias.

En el estudio de las transformacines conformes tiene particular interes la existencia de transformaciones que lleven algunas regiones sencillas de C (como semiplanos o cuadrantes), en el disco unitario, ya que

mediante la composición de ellas con otras transformaciones conformes podemos establecer un isomorsmo entre regiones complicadas y el disco unitario. Consideremos por ejemplo a una homografía que convierta al eje real en el disco unitario, (o viceversa). Por el resultado (4) tenemos seguridad de que una de dicha transformaciones está completamente determinada por su comportamiento en tres puntos. Sea

z=f(w) = aw+b cw+d

tal que1,−1e−itengan por imagenes a∞,0y1respectivamente. Para quef(1) =∞yf(−1) = 0,f debe

tener como factores aw+ 1y(w−1)−1 _{y para quef(−i) = 1,f debe tener a los factores constantes−i−1}

z = w+ 1 w−1 · −i−1 −i+ 1 = −iw−i w−1

es una homografía que transforma el disco unitario en el eje real. Como veremos más adelante, esta aplicación también transforma el disco unidad en el semiplano superior y, su inversa

z−i z+i

transforma el semiplano superior en el disco unidad.

2.5. Automorsmos del disco unitario

Como primer paso para determinar la forma de los automorsmos del disco unidad B(0,1) estudiemos el

enunciado y demostración del siguiente teorema.

Teorema 2.6. Lema de Schwarz Seaf :B(0,1)→B(0,1)una función holomorfa del disco unitario en

si mismo tal quef(0) = 0. Entonces

1. Tenemos que|f(z)| ≤ |z|para todoz∈B(0,1)

2. Si para algún z0 6= 0 tenemos |f(z0)|=|z0|, entonces existe un número complejo α, con |α|= 1, tal

quef(z) =az

Demostración. Comof es holomorfa, puede descomponerse en serie de potencias f =a1z+· · ·

El termino constante es cero debido a que por hipotesisf(0) = 0. Entoncesf(z)/zes holomorfa enB(0,1)y

f(z) z < 1 r para |z|=r <1

Además por el principio del módulo máximo la desigualdad anterior también se cumple para|z| ≤r. Dejando

quertienda a1se prueba la primera parte del teorema. Si además tenemos que

f(z0) z0 = 1

entonces, de nuevo, por el principio del módulo máximo,f(z)/zno puede tener un máximo, salvo quef sea

constante y, entonces existe una constanteαtal quef(z)/z=α, de donde se concluye la segunda parte del

teorema.

Como una aplicación del lema de Schwarz, podemos determinar todos los automorsmos analíticos del disco unitario. Primero veamos algunos ejemplos de tales funciones.

Para comenzar, notemos que siφes un número real, la transformación z→eiφz

puede interpretarse geométricamente como una rotación de centro el origen y ánguloφ. Siz=reiθ_{, entonces}

Así, por ejemplo, la transformaciónz→iz es una rotación anti horaria por un ángulo deπ/2.

Siαes un número complejo con|α|<1, y si

ga(z) =g(z) =

α−z 1−αz

entoncesg es holomorfa en el disco cerrado|z| ≤1. Además si|z|= 1, entoncesz=eiθ _{para algún número}

realθ, y

g(z) = α−e

iθ

eiθ_(e−iθ_−α)

Salvo el número complejoeiθ_{, cuyo módulo es1, el denominador de la expresión anterior es igual al número}

complejo conjugado del numerador, y entonces

si |z|= 1 entonces |g(z)|= 1

por el principio del módulo máximo, podemos agumentar que si|z|<1, entonces|g(z)|<1. Como la imagen

de un conjunto abierto mediante una función holomorfa es también un abierto, se sigue que si|z|<1entonces |g(z)|<1. Ademásg es una homografía, entonces es invertible y se verica facilmente que

ga◦ga=identidad

enoncesga es su propia función inversa en el disco unidad yga da un isomorsmo analítico del disco unidad

con sigo mismo.

Observemos quega(α) = 0. Ahora probaremos que salvo las rotaciones, no hay otros automorsmos analíticos

del disco unidad.

Teorema 2.7. Sea f : B(0,1) → B(0,1) un automorsmo analítico del disco unidad tal que f(α) = 0.

Entonces existe un número realφtal que

f(z) =eiφ α−z 1−αz

Demostración. Seag=gael automorsmo mencionado anteriormente entoncesf◦g−1es un automorsmo

del disco unidad que lleva al cero en si mismo, y entonces tiene un cero en 0. Es suciente probar que la

funciónh(w) =f(g−1_{(w)) =f(z)es de la forma}

h(w) =eiφw

para concluir la prueba del teorema.

La primera parte del lema de Schwarz nos dice que

|h(w)| ≤ |w| si |w|<1

Como la función inversah−1también tiene un cero en el origen, podemos tomar la desiguadad anterior en el

sentido contrario que es|w| ≤ |h(w)|y la segunda parte del lema de Schwarz nos garantiza queh(w) =eiφw,

con lo que se termina la prueba del teorema.

Corolario 2.3. Sif es un automorsmo del disco que deja jo al origen, entoncesf(z) =eiφzpara algún

número realφ, es decirf es una rotación.

2.6. Automorsmos del semi plano superior

Antes de ver los automorsmos del semiplano superior estudiemos un poco de las funciones que lo relacionan con el disco unidad.

Teorema 2.8. SeaH el semiplano superior. La transformación f :z→ z−i

z+i

es un isomorsmo del semiplano superior con el disco unidad. Demostración. Seaw=f(z)yz=x+iy. Entonces

f(z) =x+i(y−1) x+i(y+ 1)

comoz∈H,y >0, y se sigue que(y−1)2<(y+ 1)2, además x2+ (y−1)2 = |z−i|2

< x2+ (y+ 1)2 = |z+ 1|

y entonces

|z−i|<|z+i|

entoncesf convierte el semiplano superior en el disco unidad. Su función inversa z=h(w) =−iw+ 1

w−1

transforma al disco unidad en el semiplano superior.

Ahora encontraremos un isomorsmo del pimer cuadrante con el disco unidad a partir de la transformación

w= (z−i)/(z+i).

Como sabemos que el semiplano superior es isomorfo al disco unidad, es suciente con exhibir un isomorsmo del primer cuadrante con el semiplano superior. La transformaciónz7→z2cumple esto.

Sif :H →B(0,1)es el isomorsmo del semiplano superior con el disco unidad entonces z7→f(z2)

es el isomorsmo deseado del primer cuadrante con el disco unidad. Entonces la función

z7→ z

2_−i

z2_+i

da un isomorsmo del primer cuadrante con el disco unidad.

La existencia de un isomorsmof :H →B(0,1), en algún sentido, determina los automorsmos deH. Del

estudio general de isomorsmos y automorsmos, sabemos que

Aut(H) =f−1Aut(B(0,1))f

lo que signica que cada automorsmo deH es de la formaf−1_{◦φ◦f, conφalgún automorsmo deD. La}

Teorema 2.9. Los automorsmos del semiplano superior son homografías

f(z) = az+b cz+d

tales quea, b, c, d∈Ryad−bc= 1

Demostración. Seaz=x+iy, entonces f(z) = az+b cz+d = az+b cz+d· cz+d cz+d

= [(ax+b) +iay][(cx+d) +icy] |cz+d|2

= [(ax+b) +iay][(cx+d)−icy] |cz+d|2 = [(ax+b)(cx+d)−a 2_y2_{] +i[ay(cx+d)−cy(ax+b)]} |cz+d|2 = [(ax+b)(cx+d) +acy 2_{] +i[y(ad−bc)]} |cz+d|2 entonces Imf(z) =y(ad−bc) |cz+d|2 = y |cz+d|2 ≥0

con lo quef es un automorsmo deH.

Por otra parte, todos los automorsmoshdel semiplano superior son homografías debido a que el conjunto

de homografías tiene estructura de grupo ya que podemos expresarh=f−1◦φ◦f, donde f = z−i

z+i

yφes un automorsmo deB(0,1)y, entonceshtambién es una homografía.

2.7. Teorema de la representación conforme para un abierto

sim-plemente conexo

D

de

_C

Teorema 2.10. Todo abierto simplemente conexoDdel plano complejo, distinto deC, es isomorfo al disco

unitario.

Corolario 2.4. Dos abiertos simplemente conexos D1 yD2 del plano complejo, distintos deC, son

iso-morfos entre si.

Demostración. Por el teorema (2.10) existen isomorsmosf ygde, respectivamente,D1 yD2 en el disco

unitario, entonces la aplicaciónh=f◦g−1_{es un isomorsmo de D}

1 enD2.

Corolario 2.5. Dos abiertos simplemente conexosD1 yD2 del plano complejo, distintos deC, son

ho-meomorfos entre si.

Demostración. Si cada uno de los conjuntos D1 y D2 es igual a C el resultado es cierto. Si ambos, D1

y D2, son diferentes deC el teorema (2.10) garantiza la conclusión y si solamente uno de los conjuntos es

Para demostrar el teorema (2.10) veremos primero otros resultados.

Proposición 2.4. Para todo abierto simplemente conexo D de _C, distinto de _C, existe un abierto D1

relativamente compacto (acotado) deCy un isomorsmo deD enD1.

Demostración. Se sabe que la función logz admite una determinación continua en todo abierto

simple-mente conexoD de_C.

Seaa∈C, tal queano está enD; comoD es simplemente conexo, por lo comentado en el parrafo anterior,

existe una determinación holomorfa g delog(z−a); ademásg es inyectiva, en efecto, para z1, z2∈D tales

queg(z1) =g(z2), tenemoseg(z1)=eg(z2)y entonces z1−a=z2−a, de dondez1=z2.

Sea z0 ∈D, como la imagen de un conjunto abierto mediante una función holomorfa es un abierto, g(D)

contiene un discoBr=B(g(z0), r); entonce el discoBr+ 2πi, no contiene punto alguno deg(D), pues en ese

caso existiríanzyz0enDtales queg(z0) =g(z) + 2πi, entonces tomando la exponencial en ambos miembros

de la igualdad anterior tenemos,z0−a=z−a; esto es imposible debido a queg es una determinación de log(z−a). Entonces para todoz∈D, tenemos: |g(z)−g(z0)−2πi| ≥r >0; la función

h:z7→ 1

g(z)−g(z0)−2πi

es holomorfa, inyectiva y acotada en D, en consecuencia h dene un isomorsmo de D en D1 = h(D),

entoncesD1está contenido en B(0, r−1), con lo cual termina la demostración.

Para demostrar el teorema (2.10), podemos suponer queD esta acotado; más precisamente, utilizando una

homotecia y una traslación conveniente podemos suponer quez0= 0∈DyD⊂B(0,1).

Lema 2.1. SeaA={f ∈O(D);f es inyectiva;f(0) = 0;|f(z)|<1;z∈D}. Entonces las dos condiciones

siguientes son equivalentes.

1. f ∈A;D0 =f(D) =B=B(0,1).

2. f ∈A;|f0_{(0)|es máximo.}

Demostración. (1) ⇒ (2): Seaf ∈ A y D0 =f(D); como f es holomorfa e inyectiva, entonces f es un

isomorsmo deD enD0. Sea g un isomorsmo deD enB tal queg(0) = 0(esto se puede lograr mediante

una traslación); entoncesf =h◦g, dondehes un isomorsmo de B en D0 tal queh(0) = 0. La parte (1)

del lema equivale a decir que hes un automorsmo deB que conserva el0, entonceshes una rotación, de

dondeh0(0) = 1y|f0_(0)|=|g0_(0)|.

¬(1)⇒ ¬(2): Seaf ∈Atal que existea∈C, |a|<1yano esta enf(D).f(z)∈B, entonces

f(z)−a 1−af(z) ∈B f(D)es simplemente conexo, entonces

F(z) =log f(z)−q 1−af(z)

está denida, es holomorfa e inyectiva enD y la parte realRe(F(z)), deF(z)es negativa.

Si u, v ∈_C, con Re(u)<0, Re(v)<0 tenemos |v−u|/|v+u|<1, esto resulta de que |Re(v)−Re(u)|< |Re(v) +Re(u)|.

Entoncesg(z) =F(z)−F(0)

F(z)+F(0) es holomorfa e inyectiva enD,g(0) = 0y|g(z)|<1, entoncesg∈A. Además

g0(z) = F 0_{(z)[F(z) +F(0)]−F}0_{(z)[F(z)−F(0)]} [F(z) +F(0)]2 = F 0_{(z)[F(0) +F(0)]} [F(z) +F(0)]2 entonces g0(0) = F 0_{(0)[F(0) +F(0)]} [F(0) +F(0)]2 = F 0₍₀₎ F(0) +F(0) = F 0₍₀₎ 2Re(F(0)) Además F0(z) = _1−af(z) f(z)−a f0(z)(1−af(z)) +af0(z)(f(z)−a) [1−af(z)]2 ⇒F0(0) = 1 −a _f0_{(0)(1− |a|}2₎ 1 Así g0(0) f0₍₀₎ = 1− |a|2 −2aRe(F(0)) = 1− |a|2

−2alog|a|

de donde se verica que:

g0(0) f0₍₀₎ = 1− |a| 2 2|a|log|1/a|

Finalmente veamos que 1− |a|2

2|a|log|1/a| >1. Seam=|a|, consideremos la funciónt(m) =

1−m2 2mlog 1/m. Entonces param∈(0,1) t0(m) = −2m(2mlogm −1_)−2(1−m2_)(logm−1₋₁₎ (2mlogm−1₎2 = −4m 2_logm−1_−2(1−m2_)(logm−1₋₁₎ (2mlogm−1₎2 < 0

entoces t(m) es decreciente en(0,1). Por otra parte l´ım

m→1t(m) =

0

0, por la regla de L'Hopital ml´ım→1t(m) =

−2m

2(logm−1₋₁₎ = 1. De los últimos dos resultados se deduce que

1− |a|2

2|a|log|1/a| >1, y la prueba termina.

Demostración del teorema (2.10) Supongamos quez0= 0∈D yD ⊂B(0,1). De acuerdo al lema (2.1)

es suciente probar que existef ∈Atal que supg∈A|g0(0)|se consigue para|f0(0)|. Supongamos queO(D)

esta provisto de la topología de la convergencia uniforme sobre todo compacto y consideremos al conjunto