5. Coloración de grafos: El Sudoku

5.

Coloraci´

on de grafos: El Sudoku

Un pasatiempo muy famoso en estos d´ıas es el llamado Sudoku. ´Este consiste en un cuadrado 9×9, dividido a su vez en nueve cuadrados 3×3, en el que algunos de las cuadrados unidad est´an rellenos de n´umeros del 1 al 9. El juego consiste en rellenar todos los cuadrados unidad con n´umeros del 1 al 9 de forma que no haya n´umeros repetidos en la misma fila, la misma columna ni en el mismo cuadrado 3×3.

Un Sudoku puede que no tenga soluci´on, si los n´umeros iniciales est´an mal colocados, puede que tenga una ´unica soluci´on o puede que tenga varias soluciones.

1

5 4

No vamos a estudiar este caso, para esto est´an los peri´odicos, sino uno m´as sencillo que nos permitir´a poder variar condiciones a nuestra voluntad.

Planteamos el problema del Sudoku pero con los n´umeros del 1 al 4 en un tablero 4× 4. El problema inicial es:

Problema. 5.1. Resolver el Sudoku

1

2

1

3

Con la condici´on adicional de que las diagonales tambi´en tienen que tener n´umeros distintos.

4 2 1

3

3

1

2 4

2

4 3 1

1

3 4 2

Veamos un m´etodo para resolverlo. Este m´etodo se basa en el uso de colores. Para ello asignamos un color a cada n´umero. Por ejemplo

1

−→ azul

2

−→ verde

3

−→ magenta

4

−→ rojo

Partiendo de la posici´on inicial del Sudoku

1

2

1

3

podemos completar la primera fila (la fila superior) con puntitos azules indicando que en esos cuadros no aparecer´a el n´umero 1.

1

t t t

2

1

3

Lo mismo hacemos para la columna de la izquierda, el cuadrado 2 ×2 superior izquierdo y la diagonal.

1

t t t

2

t t

1

t t

3

Seguimos el mismo proceso con el n´umero 2 y el color verde.

1

t t t t

2

t t t t t t

1

t t t

3

Seguimos con el 1 que ocupa la tercera fila segunda columna.

1

t t t t

2

t t t t t t t

1

t t t t t

3

Y con el 3.

1

t t t tt

2

tt t t t t t t t

1

tt tt t t t tt t

3

En este punto podemos completar all´ı donde tengamos tres colores. Por ejemplo podemos poner 4 en la casilla de la cuarta fila primera columna, y completar con su color las casillas correspon-dientes.

1

t t t tt t

2

tt t t tt t t t t t

1

tt tt t t t4 t t t t t

3

Ahora podemos completar dos m´as con 2 y tres, y marcar las casillas correspondientes.

1

t t t tt t

2

tt t t tt t t t t t

1

tt tt t t t4 t₂ t t t tt

3

1

t t t tt t

2

tt t t tt t t t t t 3

1

t t tt t t t4 t₂ t t t tt

3

Podemos completar la tercera casilla de la cuarta fila con el 1.

1

t t t tt t

2

tt t t tt t t t t t 3

1

t t tt t t t4 t₂ t t1t tt

3

Observa que en la segunda fila el 1 s´olo puede ir en una posici´on, la cuarta.

1

t t t tt t

2

tt t t tt1t t t t t 3

1

t t tt t t t4 t₂ t t1t tt

3

Podemos completar tres casillas, con los n´umeros 4, 3 y 2, m´as ya que estamos a falta de un color y marcar las casillas correspondientes.

1

t tt tt t tt2t

2

tt₄t₃t tt1t t t t t 3

1

t t t tt t t t t4 t₂ t t1t tt

3

Ya podemos completar el Sudoku sin dificultad, obteniendo el que escribimos al principio.

4 2 1 3

3 1 2 4

2 4 3 1

1 3 4 2

Caben muchas preguntas sobre la construcci´on que acabamos de hacer.

(1) Observa que la soluci´on de este Sudoku es ´unica. Sin la condici´on de las diagonales, ¿es tambi´en ´

unica la soluci´on? Ver Ejemplo (??).

(2) ¿Cu´al es el n´umero m´ınimo de casillas que tenemos que fijar para tener soluci´on ´unica? ¿Im-porta qu´e casillas fijemos?

(3) ¿Podemos sustituir la condici´on de las diagonales por la condici´on del que el cuadrado 2×2 central tambi´en tenga sus cuatro elementos distintos?

(4) Plantearse el mismo problema en el caso est´andar (sin imponer la condici´on sobre las diago-nales).

Establecer discusi´on sobre estas y otras preguntas.

Posibles extensiones

La construcci´on que hemos hecho se basa en el uso de colores, y en efecto podemos plantear el Sudoku como un juego de colores prescindiendo de los n´umeros. Esto nos lleva a un problema

cl´asico que es la coloraci´on de grafos. Un grafo se puede colorear si se puede asignar un color a cada uno de sus v´ertices de forma que cada dos v´ertices, unidos por un lado del grafo, tengan siempre colores distintos.

En este caso cada casilla representar´ıa un v´ertice y los lados unir´ıan v´ertices que representan a casillas que est´an en la misma fila, la misma columna, el mismo cuadrado 2×2 o la misma diagonal. ¿Es as´ı m´as f´acil de resolver el problema?

Observa que en el fondo lo que hemos hecho para la resoluci´on del Sudoku ha sido colorear el grafo que antes hemos descrito.

Notas finales

(1) En la discusi´on se habr´a planteado como responder a la pregunta de cu´al es el n´umero m´ınimo de casillas que necesitan ser dadas para que el Sudoku tenga soluci´on ´unica y cu´ales ser´an ´estas.

(2) Problema abierto. En el caso del Sudoku 9 ×9 es un problema abierto el determinar el n´umero m´ınimo de casillas que pueden ser dadas para que el Sudoku tenga soluci´on ´unica. Existen configuraciones con 17 casillas ocupadas que tienen soluci´on ´unica; la conjetura es que se pueden encontrar configuraciones con 16 que tienen soluci´on ´unica. ¿Cu´al es el n´umero m´ınimo que es necesario rellenar inicialmente en un Sudoku 4×4 par que la soluci´on sea ´unica?

(3) Plantear la posibilidad de dar un tratamiento algebraico del problema y analizar las posibles soluciones.

Ejemplo. 5.2.

Vamos a resolver el Sudoku

1

2

1

3

sin la restricci´on de que los elementos de las diagonales sean todos distintos.

1

t t t tt

2

t t t t t t t

1

tt tt t t t tt t

3

Podemos completar las siguientes posiciones:

(4,1) con 4;

1

t t t tt

2

t t t t t t t t

1

tt tt t t t4 t t t t t

3

(3,1) con3 y (4,2) con2;

1

t t t tt

2

t t t t t t t 3 t

1

tt tt t t t4 tt2t t tt

3

(4,3) con 1;

1

t t t tt

2

t t t t t t t t 3 t

1

t t tt t t t4 t₂ t t1t tt

3

Entonces podemos completar

(4,3) con 1;

1

t t t tt

2

t t t t1t t t t 3 t

1

tt tt t t t4 tt2t1t tt

3

En este momento tenemos varias opciones al completar las casillas restantes. Vamos a analizarlas todas ellas. Partimos de la siguiente situaci´on:

1

t t t tt

2

t t t t

1

3

1

tt tt

4 2 1

3

Hay que completar 6 casillas. Comenzamos por la casilla (1,2).

Opci´on 1. Si la completamos con3 tenemos:

1

₃t t tt tt

2

tt t t t

1

3

1

tt tt

4 2 1

3

Podemos seguir completando colando en las casillas que se indican los n´umeros:

(2,2) se completa con 4,

1

₃t t tt tt

2

tt₄t t tt

1

3

1

tt tt

4 2 1

3

(2,3) se completa con 3,

1

₃t t tt tt

2

tt₄t₃t tt

1

3

1

tt tt

4 2 1

3

Observa que tenemos dos posibilidades para el 2 y por tanto dos para el 2. Luego la opci´on 1 se completa con las siguientes:

1

₃t t tt2 tt₄

2

tt₄t₃t tt

1

3

1

tt₄ tt2

4 2 1

3

1

₃t t tt₄ tt2

2

tt₄t₃t tt

1

3

1

tt2 tt₄

4 2 1

3

Opci´on 1.1 Opci´on 1.2

Opci´on 2. Si completamos la casilla (1,2) con 4 tenemos:

1

₄t t t t tt t

2

t tt t t

1

3

1

tt tt

4 2 1

3

Que se puede completar como sigue:

(2,2) con 3;

1

₄t t t t tt t

2

₃t tt tt t

1

3

1

tt tt

4 2 1

3

(2,3) con 4;

1

₄t t t t tt t

2

₃t tt tt₄t

1

3

1

tt t tt

4 2 1

3

(1,4) y (3,3) con 2;

1

₄t t t tt tt2t

2

₃t tt tt₄t

1

3

1

tt2t tt t

4 2 1

3

Finalmente: (1,3) con3 y (3,4) con4;

1

₄t t₃t tt tt2t

2

₃t tt tt₄t

1

3

1

tt2t tt₄t

4 2 1

3

En resumen los posibles Sudokus son:

1

3

2

4

2

4

3

1

3

1

4

2

4

2

1

3

1

3

4

2

2

4

3

1

3

1

2

4

4

2

1

3

1

4

3

2

2

3

4

1

3

1

2

4

4

2

1

3

Opci´on 1.1 Opci´on 1.2 Opci´on 2

De todas ellas la ´unica que cumple la condici´on adicional sobre las diagonales es la que corresponde a la opci´on 1.2.

Ejemplo. 5.3.

Comprueba que los siguientes Sudoku

1

2

4

3

1

2

2

3

tienen soluci´on ´unica (sin la restricci´on de que los elementos de las diagonales sean todos distintos).

Problema. 5.4.

Demuestra que no existe ninguna configuraci´on del Sudoku (sin la restricci´on de que los elementos de las diagonales sean todos distintos), formada por solamente 3 entradas, que tenga soluci´on ´

Soluci´on. Primero observa que si tenemos una entrada, mediante permutaciones de filas y

columnas, por levar esta entrada a la posici´on (1,1). Observa que podemos permutar entre s´ı las filas o columnas 1 y 2 y tambi´en la 3 y la 4, o podemos permutar entre s´ı los pares de filas o columnas 1-2 y 3-4. De la misma forma podemos llevar cualquier entrada en la fila o columna 3 a la fila o columna 4. As´ı pues las posibles entradas estar´an, al menos, en las posiciones marcadas por ∗ en el Sudoku.

*

*

*

*

*

*

*

*

* * *

Como estamos interesados s´olo en tres de estas entradas, ´estas no estar´an en el cuadrado 2×2 superior izquierda, pues en ese caso no tendr´ıamos soluci´on ´unica, por tanto en ´este habr´a co-mo m´aximo 2. El caso de una entrada en este cuadrado no da soluci´on ´unica; comprobarlo con los diversas posibilidades que existen. Tampoco da soluci´on ´unica si tenemos dos entradas en el cuadrado superior izquierda, como se comprueba estudiando las diferentes situaciones que se pueden presentar.

En consecuencia el n´umero m´ınimo de entradas que deben estar completas para que el Sudoku tenga soluci´on ´unica es cuatro, no hay ninguno con tres; la prueba se hace estudiando todos los

casos que se pueden presentar.

Ejemplo. 5.5.

Vamos a resolver el Sudoku

1

2

3

con la restricci´on de que los elementos de las diagonales sean todos distintos.

4 2 1

3

3 1 2 4

2

4 3 1

1

3 4 2

En consecuencia con tres entradas tenemos unicidad en la resoluci´on del Sudoku con la condici´on adicional de que las diagonales tambi´en contengan n´umeros diferentes. La condici´on impuesta sobre las diagonales nos reduce grados de libertad en la soluci´on, y por eso basta con tres entradas

para tener soluci´on ´unica.

Tratamiento algebraico

Podemos dar un tratamiento algebraico al Sudoku y de esta forma analizar sus posibles soluciones. Plantamos el problema de la siguiente forma. Consideramos cada casilla como un v´ertices de un grado; en este caso los v´ertices son:

v1,1, v1,2, . . . , v4,3, v4,4,

en donde el primer ´ındice indica la fila y el segundo la column que ocupa la casilla.

Existe un lado entre el v´ertice vi,j y el v´erticevh,k si:

ambos est´an en la misma fila, ambos est´an en la misma columna,

ambos est´an en el mismo cuadrado 2×2 y

ambos est´an en la misma diagonal(en el caso en el que consideremos las diagonales).

Por lo tanto tenemos un grafo cuyos v´ertices y grafos son los indicados.

Colorear un grafo es asignar un color a cada v´ertice de forma que dos v´ertices unidos por un lado tienen siempre distinto color. Imaginemos que hemos resuelto el Sudoku, entonces cada casilla tiene escrito un n´umero, del 1 al 4, luego cada v´ertice tiene asignado un n´umero, del 1 al 4. Si asociamos a los n´umeros colores, tendremos un grafo con colores, pero no es necesario hacer esta asociaci´on. ¿Es el grafo obtenido un grafo coloreado? La respuesta es S´ı, ya que hemos utilizado los lados del grafo de forma que dos v´ertices (l´ease casillas) que est´an en la misma fila, columna, cuadrado o diagonal tienen asociado un n´umero diferente.

¿C´omo podemos dar un tratamiento algebraico a la coloraci´on del grafo del Sudoku? Vamos a sustituir el conjunto{1,2,3,4} por el conjunto{1,−1, i,−i}. Vamos a considerar indeterminadas

{Xi,j | i, j = 1,2,3,4}. Se trata de asignar a cada indeterminada Xi,j un valor en el conjunto

{1,−1, i,−i}. As´ı pues las indeterminadas verificar´an la relaci´on:

X_ij4 = 1.

Adem´as si existe un lado de vi,j avh,k, entonces Xi,j 6=Xh,k, y por tanto se tiene:

0 = 0−0 = (X_i,j4 −1)−(X_h,k4 −1) =X_i,j4 −X_h,k4 = (Xi,j−Xh,k)(X_i,j3 +X_i,j2 Xh,k+Xi,jX_h,k2 +X_h,k3 ).

Como Xi,j −Xh,k 6= 0, tenemosXi,j3 +Xi,j2 Xh,k+Xi,jXh,k2 +Xh,k3 = 0.

Como consecuencia tendremos una coloraci´on del grafo, esto es, una resoluci´on del Sodoku, cuando tengamos una soluci´on del sistema de ecuaciones polin´omicas:

X4

i,j−1 = 0, _vertices

X_i,j3 +X_i,j2 Xh,k +Xi,jX_h,k2 +X_h,k3 = 0

lados

variando en todos los v´ertices y en todos los lados del grafo.

En este caso tenemos 16 indeterminadas, no es un n´umero excesiva si trabajamos con un programa de Matem´atica Computacional, s´ı lo es si pretendemos calcular la soluci´on manualmente.