Clase06(AutomatasPila)

Ciencias de la Computación I - Filminas de Clase – Facultad Cs. Exactas – UNCPBA – 2014

Autómatas de Pila y

Lenguajes Libres del Contexto

Ciencias de la Computación I

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Motivación

-¿Es posible diseñar un AF que reconozca el lenguaje L1?

L1= { anbn/ n > 0 }

-¿Es posible diseñar un AF que reconozca el lenguaje L₂?

L₂= { x / x ∈{ (, )}*_{y x es una cadena con paréntesis balanceados }}

( ( ( ( ) ) ) ) ( ) ( ( ) )

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Es necesario agregar algo a los AF para incrementar su poder computacional

Memoria auxiliar que funciona como una Pila

tope

Símbolo de pila vacía

B A

A

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Autómatas de Pila

Dado un lenguaje L, libre del contexto, definido sobre un alfabeto A y una cadena x arbitraria, determinar si x ∈L o x ∉L.

AUTOMATA DE PILA

Cadena x SI

NO

Lenguaje Libre del Contexto

• Dos puntos de vista:

Como dispositivo reconocedorreconocedor de la pertenencia de

una cadena a un lenguaje libre del contexto.

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Autómatas de Pila Reconocedores

Estados del AP:

Cantidad finita.

Un estado inicial.

Al menos un estado final o de aceptación.

Dada una cadena x en la cinta de entrada, si el AP:

termina en unestado finalestado final

→cadena aceptadacadena aceptada

termina en unestado no finalestado no final

→cadena rechazadacadena rechazada e0

e1

e2

e3

e4

e5

mecanismo de control

cinta de entrada (contiene cadena a ser leída)

cabeza lectora (se mueve a derecha o no se mueve) indicador de estado

a b c d …

Z0 B A

PILA: permite “recordar” lo leído en la cinta

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Uso de la pila

L

= { a

_b

_{/ n > 0 }}

a a b b …

Z0

1)

Z0 A a a b b …

2)

Z0 A A a a b b …

3)

Z0 A a a b b …

4)

Z0 a a b b …

5)

Si la cantidad de a´s es igual

a la cantidad de b´s se llega al final de

la cadena con Z

en la pila

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Formalmente, un AP reconocedor determinístico (APD) se define como una 7-upla

APD = <E, A, P, δ, e_i, F, Z₀>

E es un conjunto finito de estados; E ≠ ∅

A es el alfabeto de entrada

δes la función de transición de estados

δ: E x ( A ∪{

ε

e_ies el estado inicial; e_i ∈E

F es el conjunto de estados finales o de aceptación; F ⊆E

P es el alfabeto de la pila

Z₀símbolo distinguido de la Pila Z₀ ∈P

A

∩

P =

∅

e

e

e

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Autómatas de Pila Reconocedores

δes la función de transición de estados

δ: E x ( A ∪{

ε

1)

δ

(e

, a, X) = (e

,

α)

2) δ

(e

,

ε

, X) = (e

,

α)

donde a ∈A; X ∈P;

α

Si existe transición de tipo (2), sólo se garantiza que AP es determinístico si

∀s: s∈A, δ( e_i, s, X) no está definida

e

e

a, X /

α

e

e

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Autómatas de Pila Reconocedores

Transición de Tipo 1

δ

(e

, a, X) = (e

,

α)

_e

j

e

a, X /

α

Estado actual

Símbolo por leer en cinta de entrada Tope de la Pila

Nuevo estado Acción sobre la Pila

Si α = ZYX deja X, apila Y, apila Z (Nuevo tope Z) Si α = XX deja X, apila X (Nuevo tope X) Si α = X deja X (No altera la Pila) Si α = ε elimina X (Desapila)

Z0 Y X Z Z0 X Z0 X X Z0 X Z0 X Z0 X Z0 Z0 X Ejemplo Antes Después

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Autómatas de Pila Reconocedores

Descripción instantánea

Una configuración de un AP es una tripla

<

e

,a

ω

ω

ω

ω ,,,,

x

ββββ

con (1)lee el símbolo ay reemplaza el tope X por

α

donde a∈A; ω ∈A*; X ∈P;α, β ∈P*; e_i ,e_j∈E

con (2),no lee el símbolo ay reemplaza el tope X por

α

<

e

,

aω

,

Xβ >

<

e

,

aω,

X

β >

estado actual

a símbolo a leer, w resto cadena cinta X tope, βcadena debajo tope

ei

ej

a, X /

α

(1)

ei

ej

ε

, X /

α

(2)

(1)

|



_{< e}

j

,

ω

,

αβ >

< e

, a

ω

,

αβ >

Ciencias de la Computación I - Filminas de Clase – Facultad Cs. Exactas – UNCPBA – 2014 Cadena aceptada por AP

Una cadena ω ∈A* _{es aceptada por AP = <E, A , P,} δ,_e

0, Z0, F> sí y sólo sí

< e

,

ω

, Z

>

|



< e

,

ε, α >

El AP, comienza en el estado e₀, con pila vacía, y luego de leer toda la cadena

ω

α

Los lenguajes aceptados por los AutAutóómatas de Pilamatas de Pilase denominan Lenguajes Libres (Independientes) del Contexto

Lenguajes Libres (Independientes) del Contexto o deTipo 2Tipo 2. Luego, el lenguaje aceptado por un AP = <E, A , P, δ,e₀, Z₀, F> es: L(AP) = {

ω

< e

,

ω

, Z

>

|



< e

,

ε, α >

y

ω

α

*

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L = { a

_b

_{/ n > 0 }}

e

a,Z

/ AZ

e

a,A / AA

e

b,A /

ε

b,A /

ε

e

ε

, Z

/ Z

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L = { a

_b

_{/ n > 0 }}

e

a,Z

/ AZ

e

a,A / AA

e

b,A / A

e

ε

, Z

/ Z

APD=<{e₀,e₁,e₂,e_3,e₄}, {a,b}, {A,Z₀}, δ, e₀, Z₀, {e₄}>

e

b,A /

ε

b,A / A

e

a,Z

/ AAZ

e

a,A / AAA

e

b,A /

ε

APD=<{e

,e

,e

,e

}, {a, b}, {A, Z

},

δ

, e

, Z

, {e

}>

b,A /

ε

e

ε

, Z

/ Z

Otra forma

Ejemplos

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Autómatas de Pila

Teorema:

Los APND tienen mayor poder de reconocimiento que los APD.

Es decir, hay lenguajes libres del contexto que pueden ser

reconocidos por un APND pero no por un APD.

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Autómata de pila no determinístico

APND= <E, A , P, δ, e₀, Z₀, F>, donde las componentes E, A, P, e₀, Z₀, F se definen como antes, y la función de transición δse define como

δ: E x (A∪{ε}) x P →P_f( E x P*) P_f denota los subconjuntos finitos de E x P*

1) δ( e_i,a, X) = {(e_j,α₁), (e_k, α₂), .... } 2) δ( e_i,ε, X) = {(e_j,α₁), (e_k, α₂), .... }

donde a ∈A, X ∈P,

α₁, α₂∈P*, e_i, ej, ek ∈E

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Autómata de Pila de No Determinístico

APND= <E, A , P, δ, e₀, Z₀, F>, siendo δno determinística definida como:

δ: E x (A∪{ε}) x P →P_f( E x P *) P_f denota los subconjuntos finitos de E x P*

1) δ( e_i,a, X) = {(e_j,α₁), (e_k, α₂), .... }

2) δ( e_i,ε, X) = {(e_n,β₁), (e_m, β₂),… }

donde a ∈A, X ∈P, α₁, α₂, β₁, β₂∈P* y e_i, ej, ek, en, em ∈E e_i

e_j

a, X / α₁ a, X / α₂ ek

3) Combinadas (1) y (2)

Si lee a, con tope X dos caminos

Si no lee cinta con tope X dos caminos

Si lee a, y tope X un camino Si no lee a, y tope X otro camino

CASOS DE NO DETERMINISMO

e_i

e_n ε, X / β₁

ε, X / β₂

e_m

e_i

e_j

a, X / α₁

ε, X / β₁

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Ejemplo: Lenguaje libre del contexto determinístico

L = { w c w

_{/ w}

∈

_{{a,b}* }}

e

a,A / AA

b,B/

ε

e

ε

, Z

/ Z

Ejemplos de

cadenas

c

abcba

abbcbba

…

e

a,Z

/ AZ

b,Z

/ BZ

b,A / BA

a,B / AB

b,B / BB

e

c,A / A

c,B / B

a,A /

ε

APD=<{e

,e

,e

,e

}, {a,b,c}, {A,B, Z

},

δ

, e

, Z

, {e

}>

c,Z

/ Z

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Ejemplo: Lenguaje libre del contexto no determinístico

L = { w w

_{/ w}

∈

_{{a,b}* }}

a,A / AA

_b,B/

_ε

e

ε

, Z

/ Z

Ejemplos de

cadenas

ε

abba

abbbba

…

e

a,Z

/ AZ

b,Z

/ BZ

b,A / BA

a,B / AB

b,B / BB

e

a,A /

ε

b,B /

ε

a,A /

ε

APND = <{e

,e

,e

,e

}, {a, b}, {A, B, Z

},

δ

, e

, Z

, {e

,

e

}>

Para este lenguaje no existe una solución con AP determinístico

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• Si el lenguaje es libre del contexto no

determinístico hacer APND

• Si el lenguaje es libre del contexto

determinístico hacer APD (fijarse si agregaron

transiciones que generan no determinismo y

corregirlas)

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Uso de la pila (CASO MENOR

n < i

)

L = { a

_b

_{/ n}

_≥

_{0 y n < i}}

Z0 A A A

n

_i

i>n

e

a,Z

/ AZ

e

a,A / AA

e

b,A /

ε

e

b, Z

/ Z

b,A /

ε

b,Z

/ Z

b,Z

/ Z

APD = <{e₀,e₁,e₂,e₃}, {a, b}, {A, Z₀}, δ, e₀, Z₀, {e₃} >

Ej. de cadenas

bbb

aabbb

abb

…

δ:

Desapila igual cantidad

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Uso de la pila (CASO MENOR IGUAL n

_≤

i)

L = { a

_b

_{/ n}

_≥

_{0 y n}

_≤

_i}

Z0 A A A

n

_i

i

≥

n

e

a,Z

/ AZ

a,A / AA

e

b,A /

ε

e

ε

, Z

/ Z

b,A /

ε

b,Z

/ Z

b,Z

/ Z

e

APD = <{e0,e1,e2,e3}, {a, b}, {A, Z0}, δ, e0, Z0, {e0,e3} >

Ej. de cadenas

ε

bbbb

aabb

aabbb

…

δ:

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Uso de la pila (CASO MAYOR n>i)

L = { a

_b

_{/ i}

_≥

_{0 y n > i}}

Si n>i tiene que llegar

a leer toda la cadena

y quedar A´s en la pila

Z0 A A A

n

i

e

a,Z

/ AZ

e

a,A / AA

e

b,A /

ε

e

ε

, A / A

b, A /

ε

APD = <{e0,e1,e2,e3}, {a, b}, {A, Z0}, δ, e0, Z0, {e1,e3}>

Ej. de cadenas

a

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L = { a

_b

_{/ i}

_≥

_{0 y n}

_≥

_i}

e

a,Z

/ AZ

e

b,A /

ε

e

a,A / AA

_{b,A /}

_ε

Ej. de cadenas

ε

aaa

aab

aabb

aaaabb

…

A A

Z0 A

n

i

=

<

APD = <{e₀,e₁,e₂}, {a, b}, {A, Z₀}, δ, e₀, Z₀, {e₀,e₁,e₂} >

δ:

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Autómatas de Pila Traductores

Formalmente, un AP traductor (APT) se define como una 9-tupla

AP

=

γ

, S>

S es el alfabeto de salida

γ

es la función de traducción;

γ

: E x ( A

∪

{

ε

}) x P

→

S

donde E, A , P, δ, e₀, Z₀, F se definen como antes y se agregan dos componentes

γestá definida siempre que δestá definida.

Si existe δ(e_j, a, X) =( e_k,α) y además γ(e_j, a, X) = t

donde e_j, e_k∈E; a ∈A; X ∈P; α∈P*; t ∈S*

e

e

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Autómatas de Pila Traductores

Función de traducción para cadenas

El autómata sólo define la traducción, si el autómata AP subyacente “acepta” la cadena.

Es decir, la traducción T(

ω

): A*

→

S* asociada a AP

está

definida como:

T(

ω

) es válida

⇔

< e

,

ω

, Z

>

|



< e

,

ε, α >

donde

ω ∈

A*

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Ejemplo

L = { a

_b

_{/ n > 0 }}

e

a,Z0/ AZ0,111

e

a,A / AA,

111

e

b,A /

ε

,

ε

b,A /

ε

,

ε

e

ε, Z

/ Z

,ε