Cap6_2010.pdf

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Chapter 6 Competencia Imperfecta

En este Cap´ıtulo estudiamos la competencia —imperfecta— entre empresas. Se revisan los modelos tradicionales de competencia est´atica: Cournot, Bertrand, Bertrand con produc-tos diferenciados, Stackelberg y liderazgo en precios.

6.1 Competencia Imperfecta con Productos Homog´

eneos:

Corto Plazo.

6.1.1 Modelo de Competencia por Cantidades: Cournot.

Supongamos un mercado representado por una demanda x=X(p), con demanda inversa

p = P(x). Existen 2 empresas i = 1,2 (generalizable a n empresas), que compiten eligiendo cantidades, con estructura de costosCi(xi) (una funci´on convexa en la cantidad

producida) donde ixi =x. Se supone que el ingreso marginal de la empresa i decrece

con xj. Los beneficios individuales son

πi(xi, xj) =P(xi+xj)xi−Ci(xi) (6.1)

estrictamente c´oncava en xi. Cada empresa maximiza sus propios beneficios eligiendo su

cantidad y tomando la otra cantidad como dada, de modo que la condici´on de primer orden es πi

i(Ri(xj), xj) = 0, es decir,

M´as simple,

(2)

De esta condición se obtiene la función de reacción de la empresai

xi =Ri(xj) (6.3)

Comoπi

ii <0 (por concavidad) y πiij <0 (porque el ingreso marginal de la empresa i

decrece con xj), entonces,

Ri(xj) = −

πi

ij(Ri(xj), xj)

πi

ii(Ri(xj), xj)

<0 (6.4)

Entonces,

Resultado 28 En un modelo de competencia a la Cournot, la pendiente de la función de reacción de una empresa es negativa. Las estrategias de las empresas (elección de cantidades) son sustitutos estratégicos (en el sentido de Bulow, Geanakoplos y Klemperer).

Por otro lado, la función de reacción R1 tiene mayor pendiente (en valor absoluto) que la función de reacción R2 cuando se re-escriben como x2 en términos de x1. Ver la Figura 6.1. En particular, debe notarse que

Resultado 29 Dado que la demanda tiene pendiente negativa (P (x) <0) y la funci´on de costos es convexa (Ci(xi)≥0), entonces,

|Ri(xj)|<1

Pf: Dada la definición de función de reacción (6.4), debe verificarse que πii(xj) <

πij(xj), esto es

∂ ∂xi

(p+P (x)xi−Ci(xi)) <

∂ ∂xj

(p+P (x)xi−Ci(xi))

2P (x) +P (x)xi−Ci(xi) < P (x) +P (x)xi

P (x)₋C_i(xi) < 0

(3)

Figure 6.1: Equilibrio de Cournot

x

2

R

1

(x

2

)

x

2C

R

2

(x

1

)

x

1C

x

1

El equilibrio de Cournot es un par (xC

i , xCj) tal que las empresas maximizan beneficios,

y ambas cantidades satisfacen xC

i =Ri(xCj ) y xCj =Rj(xCi ). Ver Figura 6.1.1

Ejercicio 43 Suponga que las condiciones son tales que las funciones de reacci´on se intersectan una vez y que la pendiente de R1 es mayor —en valor absoluto— que la de R2

en el plano (x1, x2) (como en la Figura 6.1). Qu´e sucede si aumenta C1?2

El aumento en C₁ deplaza R1 a la izquierda. Por qué? Al igual que en el caso de monopolio, en el caso de competencia por cantidades, dado x2 el precio aumenta y la cantidadx1 disminuye (más precisamente, no aumenta) ante un aumento en el costo mar-ginal. El resultado del nuevo equilibrio, entonces, es un aumento enx2 y una disminución

1_{En la Figura se presenta el caso de un ´}_{unico equilibrio. Para estructuras de demanda y costos las}

funciones de reacción se pueden intersectar más de una vez, de modo de existir múltiples equilibrios.

2 _{El resultado es general para curvas de reacci´}_{on con pendiente negativa (sustitutos estrat´}_{egicos) que}

(4)

Figure 6.2: Efecto de un Aumento en C1 sobre el Equilibrio de Cournot

x

2

R

1

R

2

(x

1

)

x

1

en x1. Ver Figura 6.2.

Nótese que los dos primeros términos de (6.2) son el ingreso marginal de la empresa (que depende de su propia cantidad) y el tercer término es el costo marginal. En otras palabras, la empresa elige una cantidad tal que se igualan el ignreso marginal con el costo marginal.

Nótese también que el precio depende de la cantidad del mercado y no de la cantidad individual. Por lo tanto, en su elección de cantidad, la empresa i genera una reducción en el precio para todas sus competidoras, que no lo internaliza en sus beneficios. Esta

externalidad negativa sobre la industria se manifestará en equlibrio como una producción mayor a la de monopolio (quien justamente internaliza totalmente el efecto de su elección de cantidad sobre el precio). En resumen,

(5)

a nivel de industria no son m´aximos. La consecuencia en el mercado es un precio menor y una cantidad mayor que los correspondientes a la soluci´on de monopolio.

Pf: Usando la condici´on (6.2) y sumandoxjP (x) en ambos lados se obtiene que

P(x) +P (x)(xi+xj) = Ci(xi) +P (x)xj < Ci(xi)

Por otro lado la empresa que maximiza los beneficios de la industria elige xi tal que

P(x) +P (x)x = C_i(xi) (Por qu´e? Son sustitutos perfectos por el lado de la demanda,

el ingreso marginal es el mismo independientemente de donde se produce.) Entonces, la sobreprovisi´on de cantidad en el equilibrio de Cournot es evidente. Q.E.D.

Otro resultado interesante es que

Resultado 31 En un modelo de competencia a la Cournot, los costos de la industria no son m´ınimos, excepto que las empresas sean sim´etricas (con respecto a sus costos marginales).

Pf: De acuerdo con la prueba del Resultado 30, los costos se minimizan cuando

Ci(xi) = Cj(xj). Pero de la condici´on (6.2) se obtiene que ello puede ocurrir solamente si

Ci(.) =Cj(.). Q.E.D.

Busquemos ahora el ´ındice de Lerner para una empresai. De (6.2)

Li =

p₋Ci

p =

αi

η

donde αi =xi/x es la participaci´on (en cantidades) de la empresai, yη es la

elasticidad-precio de la demanda (del mercado). Debe notarse queαi/ηes la inversa de la

elasticidad-precio de la demanda individual. Claramente,

Resultado 32 El mark up entre el precio de mercado y el costo marginal de una empresa bajo competencia por cantidades es proporcional al fijado por un monopolista (en relaci´on a la elasticidad-precio de la demanda), con una proporci´on α =xi/x.

y directamente surge que

(6)

Ejercicio 44 Computar el equilibrio de Cournot para x=a₋p, n= 2, Ci(xi) = cixi.

Primero, encontrar que la funci´on de reacci´on es

xi =Ri(xj) =

a₋xj−ci

2 y que las cantidades de equilibrio son

xCi =

a₋2ci+cj

3 de modo que el mix cantidad-precio de equilibrio es

xC = 2a−c1−c2

3 ; p=

a+c1+c2 3 y los beneficios individuales

πi = (a−2ci+cj) 2

9

Ejercicio 45 Generalizar el equilibrio de Cournot anempresas sim´etricas, esto esCi(xi) =

cxi. Suponer x=a−p. En particular muestre que las empresas fijar´an

pC ₋c

pC =

1

nη

donde debe recordarse que si la demanda es lineal, η no es constante cuando aumenta el n´umero de empresas. Las cantidades de equilibrio son

xC_i = a−c

n+ 1 (6.5)

de modo que el mix cantidad-precio de equilibrio es

xC = n(a−c)

n+ 1 ; p

C

=c+ a−c

n+ 1 y los beneficios individuales

πi = (a−c) 2

(n+ 1)2 (6.6)

(7)

•Cuando aumenta el n´umero de empresas, el precio de mercado, las cantidades indi-viduales, los beneficios individuales y los beneficios de la industria disminuyen, mientras que la cantidad de mercado aumenta.

•Cuandon→ ∞, el precio de mercado tiende al de competencia perfecta. El equilibrio de Cournot converge al equilibrio competitivo.

Por qu´e se da este resultado? Alfin y al cabo las empresas individuales siempre enfrentan una demanda con pendiente negativa, que no se condice con el supuesto de “tomadores de precios”. Recordemos la funci´on del ´ındice de Lerner igual a αi/η. Esta es la inversa

de la elasticidad-precio de la demanda individual: al aumentar ndisminuyeαi. Es esto, y

no que la demanda se haga horizontal para la empresa, lo que hace tender a la elasticidad individual a _∞.

6.1.2 Competencia por Cantidades con Entrada.

Hasta ahora supusimos un número fijo de empresas. Como resultado, para un número finito de empresas los beneficios son positivos. Dado que existen incentivos para que las empresas entren al mercado, hasta qué punto se producirá la entrada? Una interpretación natural es que el númerofijo de empresas es aplicable a un análisis de corto plazo, el caso de entrada corresponde a un análisis de largo plazo.

En particular, en la medida que no existan barreras a la entrada (supuesto realizado aqu´ı), las empresas entrarán si es rentable, es decir, siempre que πi >0. El freno natural lo pondrá la existencia de costos fijos. Para ello simplificamos el análisis suponiendo una estructura de costos tal que

Ci(xi) =F +cxi (6.7)

esto es, empresas simétricas con costo marginal constante, que enfrentan un costo fijo para entrar. Suponiendo adicionalmente una demanda p = a₋bx, los beneficios de las empresas netos de costo fijo, dado un númeron de ellas, vendrá dado por (6.6).

Entonces, de la comparación entre (6.6) yF surgirá el número de empresas de equilibrio

nC_{, que debe satisfacer la siguiente condici´}_on:

πi(nC, F)_≥0_≥πi(nC + 1, F)

(8)

Figure 6.3: Condiciones de Equilibrio: Cournot con Entrada.

p

pC

IMai P(xi|x-i)

xiC xi F/xi+c c

Resultado 33 Para el modelo de competencia a la Cournot con entrada, las condiciones de equilibrio se resumen en

• Condici´on de maximizaci´on de beneficios: dado n, la empresa iguala ∂πi(xi,nC)

∂xi = 0.

• Condici´on de beneficios normales: πi₍_nC_{, F}_{) = 0}_.

La siguiente Figura muestra que las dos condiciones se deben estar cumpliendo para el caso de una estructura de costos como en (6.7).

Ejercicio 46 A partir del Ejercicio 45 muestre que el n´umero de empresas de equilibrio es

nC = a√−c

bF −1

(9)

N´umero Eficiente de Competidores.

A partir del resultado anterior cabe preguntarse si el número de empresas en el equilibrio competitivo es eficiente. De la teor´ıa de competencia perfecta sabemos que la competencia y la libre entrada son deseables desde el punto de vista social. Sin embargo, cuando existen econom´ıas de escala (como es el caso de la ecuación (6.7)), no necesariamente es el caso. En particular, las empresas entrarán siempre que sus beneficios (post entrada) superen el costofijo. En cambio, un planificador social desear´ıa que exista solo una empresa (por qué?) y que se fije un precio igual al costo marginalc(por qué?). La entrada produce un

trade-off. Por un lado, el precio de mercado disminuye. Por otro lado, hay más empresas produciendo de modo que se replican costos fijos, por lo que el costo medio aumenta, y dicho aumento implica que el excedente total y el bienestar disminuyen (sujeto a que las empresas no sufran pérdidas).

Supongamos que el planificador puede controlar el número de empresas pero no su conducta. Entonces, el número deseable de empresas será el resultado de evaluar si el aumento en el bienestar producto de un competidor más (ganancia de eficiencia asignativa derivada de una mayor competencia, manifestada en un menor precio) supera el costofijo de dicha entrada. En otras palabras, dado el excedente total ET(x) =S(x)₋cx (donde

S(.) es el excedente bruto del consumidor para la cantidad x y recordando que cx es el costo variable de producirx unidades, dado que el costo marginal es el mismo para todas las empresas), el n´umero eficiente n∗ _{de empresas es}

n∗ = arg max

n ET(x(n))−nF

y suponiendo que existe tal n´umero entero (para simplificar), debe satisfacer

(p(n∗)₋c)∂x

∂n =F (6.8)

mientras que en el equilibrio de competencia imperfecta con entrada deben satisfacerse las condiciones del Resultado 33, esto es

p+P (x(nc))xi(nc) = c

(p₋c)xi(nc) = F

(10)

Proposici´on 14 La entrada de equilibrio bajo competencia a la Cournot es excesiva, es decir, nC > n∗.

Pf: Esto se puede ver a partir de que, para cualquiern

ET(n) = ET(x(n))₋nF =S(x(n))₋cx(n)₋nF

derivando con respecto a n se obtiene que ∂ET(n)

∂n =p(x)x(n)−cx(n)−F

y evaluando la derivada ennC _{(recordando que los bene}_fi_{cios individuales —y totales— son}

nulos)

∂ET(n)

∂n |nC = (p−c) (xi+nxi)−F

= (p₋c)nxi <0

donde se hizo uso de x(n) = xi(n) +nxi (con xi igual para todo i) y de x(n) = nxi(n),

y teniendo en cuenta que la producci´on individual disminuye con el n´umero de empresas (ver, por ejemplo, (6.5)). De este modo, desde el punto de vista social conviene reducir

el n´umero de empresas. Q.E.D.

A qué se debe este resultado de entrada excesiva? Una empresa particular, al no tener en cuenta el beneficios de las otras empresas, elige la cantidad producida para maximizar sus beneficios. Como consecuencia, parte de la cantidad producida por las otras empresas ahora es producida por la entrante. En la literatura, este efecto se llama “business-stealing effect”. En otras palabras, este efecto existe siempre que exista un margen positivo sobre los costos y la entrada reduzca la producción de las empresas competidoras (que es el caso de Cournot, donde las empresas son sustitutos desde el punto de vista de los demandantes). En la condición de primer orden de maximización de bienestar (6.8)

(p(n)₋c) (x_i(n) +nxi) = F

(11)

Ejercicio 47 A partir de los Ejercicios 45 y 46 verifique que el efecto “business-stealing” está presente. Encuentre el número de empresas eficiente (n∗) y compárelo con el de equilibrio (nC). Considere el caso de F suficientemente bajo, esto es

F < (a−c)

2

8

Ejercicio 48 Continuando con la misma informaci´on suponga que

(a₋c)2

4 > F >

(a₋c)2 8

Cuál es el número eficiente de empresas? Cuál es el número de equilibrio de empresas? A qué se debe este resultado?

Este ejercicio está diseñado para pensar en “enteros”. Mankiw y Whinston (1986) y Perry (1984) discuten la relación entre no-apropiación del excedente y el efecto “business-stealing” que lleva a una entrada insuficiente de empresas.

6.2 Modelo de Competencia por Precios: Bertrand.

En esta Sección se utiliza la misma información que en la Sección sobre competencia a la Cournot (Sección 6.1.1) con 2 empresas. Los resultados son generalizables a nempresas. En particular, se suponen empresas simétricas con costos Ci(xi) = cxi. La demanda de

mercado es x=X(p).

Las empresas compiten —simultánea y no-cooperativamente— por la provisión de un producto homogéneo eligiendo precios p1 y p2, respectivamente, de modo que los con-sumidores compran al proveedor que ofrece el menor precio. La demanda que enfrenta la empresa ise determina de la siguiente manera:

xi(pi, pj) =

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

x(pi) sipi < pj

1

2x(pi) sipi =pj 0 sipi > pj

(6.9)

donde se supone que, en caso defijar el mismo precio, las empresas se reparten el mercado en partes iguales. Con esta demanda, los beneficios de la empresai son

(12)

Figure 6.4: Beneficios de la Empresa i bajo Competencia a la Bertrand.

Caso 1: p2<pM Caso 2: p2>pM

πi

c p2 p1 c p2 p1

que tiene la forma presentada en la Figura 6.4 para un pj > c (donde i= 1 yj = 2).

Cu´al es el equilibrio de la competencia en precios? Al momento de elegir el precio a cobrar por el bien, la empresa i no conoce pj pero lo puede anticipar. Supongamos que

pj > c, esto es, que la otra empresa fija un precio que no implica beneficios negativos. La

empresa i tiene incentivos a cobrar pi = pj − con → 0 si pj < pM (donde pM es el

precio que se cobra bajo monopolio) o pi =pM si pj > pM.3 De esa manera atiende todo

el mercado desplazando a la empresa j. Esta es su “reacción” frente a una estrategia de la empresa j. Revirtiendo roles, la empresa j anticipa la reacción de la empresa i y fija un precio pj = pi− (solo el Caso 1 de la Figura 6.4 es válido a partir de entonces). Y

as´ı sucesivamente. El equilibrio de Bertrand es

Resultado 34 Cuando las empresas compiten por un producto homog´eneo eligiendo pre-cios (competencia a la Bertrand) el equilibrio de Nash es

pB₁ = pB₂ =c π1B = π2B = 0

3_N´_{otese en el primer caso, que siempre existe un} _>_{0 tal que 1}_/₂₍_p

2−c)x(p2)<(p2− −c)x(p2− ).

El lado izquierdo de la desigualdad surge defijarp1 =p2, dado unp2< pM, y el lado derecho surge de

(13)

La paradoja de Bertrand es que, si la competencia es por precios, entonces basta con dos empresas sim´etricas compitiendo para restaurar el resultado competitivo.

Asimismo, las predicciones del modelo de oligopolio con productos homog´eneos son muy diferentes si la competencia es por precios a si la competencia es por cantidades.

Esta paradoja se resuelve en varias direcciones, como se ve a continuaci´on.

6.2.1 Resoluci´

on I: Costos Asim´

etricos.

En primer lugar, es suficiente una asimentr´ıa en el modelo para obtener un resultado no-competitivo. En el caso que las estructuras de costos sean asim´etricas, por ejemplo

c1 < c2, el Resultado 34 no es v´alido. En particular,

Resultado 35 Si los costos de las empresas son tal quec1 < c2 entonces la ´unica empresa

operativa es la empresa 1. i. Si pM₍_c

1)< c2 entonces se obtiene la soluci´on de monopolio.

ii. Si pM₍_c

1)> c2, entonces pB1 =c2, xB1 =x(c2) y π1B = (c2−c1)x(c2).

Ejercicio 49 Probar el Resultado 35 i. y ii.

6.2.2 Resoluci´

on II: Elecci´

on de Capacidad

ex ante

y

Compe-tencia por Precios

ex post

(Kreps y Scheinkman, 1983).

En ciertos mercados, el supuesto de capacidadflexible puede inaplicable, sobre todo si las empresas tienen que realizar inversiones en plantas de una determinada capacidad. En este caso, cambia sustancialmente la competencia. En particular, supongamos que la capaci-dad de la empresa i esKi < x(c). Es un equilibrio el par de precios (pB1, pB2) = (c, c)? La respuesta es negativa: si la empresa 2 aumenta p2 > c, la demanda intentará trasladarse a la empresa 1, quien solamente podrá atenderKi de la demanda. El resto está dispuesto

a comprar a la empresa 2 por un precio mayor. El desarrollo de este punto puede seguirse en Tirole (1988). A continuaci´on se desarrolla el modelo de Kreps y Scheinkman (1983).

(14)

equilibra los mercados. El modelo de Bertrand ha sido criticado por las razones anterior-mente expuestas, en especial, el resultado de precio igual a costo marginal, aún con dos empresas. Kreps y Scheinkman (1983) idearon un juego en dos etapas, donde las empresas eligen simultáneamente una capacidad ¯xien la primer etapa, y compiten simultáneamente

eligiendo precios en la segunda etapa, conociendo la elecci´on de capacidad de sus com-petidoras.

El principal resultado es que si la demanda es cóncava y la regla de racionamiento es eficiente (ver más abajo), para cualquier costo unitario de inversión en capacidad, las empresas eligen una capacidad igual a la cantidad de Cournot. En esta sección se desarrolla la intuición del resultado, y se relega el desarrollo formal al Anexo (que toma prestado, por ahora, el desarrollo de Kreps y Scheinkman simplificado por Tirole).

El modelo es el siguiente. Existen 2 empresas i = 1,2. La empresa i tiene una capacidad de producci´on r´ıgida ¯xi, esto es, puede producir cualquier cantidad sujeto a

xi x¯i. El costo marginal de producci´on esc= 0. El costo unitario de instalar capacidad

es c0. La demanda de mercado p=P(x) es c´onvaca (P 0).

El sistema de racionamiento es el llamado “racionamiento eficiente”. Supongamos que la empresa 1 es la m´as eficiente (da lo mismo si son iguales). Si ¯x1 < x(p1), de modo que la empresa 1 no puede atender toda su demanda, la demanda residual de la empresa 2 es

˜

X2(p2) = ⎧ ⎨ ⎩

X(p2)−x¯1 si X(p2)>x¯1 0 si X(p2) x¯1

es decir, los consumidores con mayor disposici´on a pagar compran a la empresa 1 (que tiene un costo unitario menor), de modo que la empresa 2 (con mayor costo unitario) enfrenta una demanda con igual pendiente pero transladada en funci´on a ¯x1. Una vez que elige un precio p2 la demanda atendida esx2 + ¯x1 (ver Figura 6.5).4

El timing es el siguiente: en el primer per´ıodo las empresas eligen simult´aneamente y no cooperativamente las capacidades (¯x1,x¯2). Dadas las capacidades, r´ıgidas en el per´ıodo siguiente, las empresas compiten simlult´aneamente y no cooperativamente eligiendo pre-cios.

4_{Esta regla de racionamiento es e}_fi_{ciente porque maximiza el excedente del consumidor. Cuando}

X(pj) > x¯i el consumidor marginal paga p2 que es el “costo marginal” de obtener el bien para los

(15)

Figure 6.5: Regla de Racionamiento Eficiente

x2 x1 x

x1 + x₂

p

p2

p1

La soluci´on del juego consiste en buscar el equilibrio en subjuego perfecto, tal que en el primer per´ıodo se eligen capacidades (¯x1,x¯2) y en el segundo per´ıodo, dadas esas capacidades, las empresas compiten por precios.

El Lema 1 (que es el Lema ?? en el Anexo) contiene la base de la intuici´on para el resultado de los autores:

Lema 1 En un equilibrio en estrategias puras, p1 = p2 = P(¯x1 + ¯x2). Las empresas

venden hasta su capacidad.

Es decir, que en la fase de competencia por precios, las empresas utilizan toda la capacidad. Esto sugiere que, anticipando el resultado de la competencia por precios, en la fase de elecci´on de capacidad, las empresas perciben que el precio a cobrar es el precio que surge de elegir las capacidades (esto es, el precio de Cournot).

(16)

Primero, estos resultados dependen fuertemente de la regla de racionamiento eficiente. Davidson y Deneckeree (1986) muestran que cualquier regla general de racionamiento lleva a una demanda residual mayor que la obtenida bajo la regla eficiente. La razón es que esta regla asigna a los consumidores de mayor valoración a la empresa 1, y a los de menor valoración a las restantes. Reglas alternativas dan chances de atender consumidores de mayor valoración a las otras empresas, lo que llevará a que estas últimas puedan responder aumentando el precio apartándose del equilibrio descripto aqu´ı. Asimismo, los resultados dependen de la ausencia de competencia en el tiempo y de la posibilidad de diferenciar productos.

Segundo, el timing elegido por Kreps y Scheinkman (1983) parece ajustarse a la eviden-cia que “precios ajustan más rápidamente que las cantidades”. Los resultados dependen de poder observar la capacidad de las empresas competidoras, lo que permite a una empresa particular inferir hasta dónde las competidoras tendrán incentivos a reducir el precio. En el caso de capacidades no observadas, esta propiedad desaparece. En particular, Gertner (1985) analizó el caso de inversión en capacidad y competencia por precios simultáneas. Bajo rendimientos constantes a escala, no existe un equilibrio en estrategias puras. La razón es que, si existe un equilibrio, debe ser el de Bertrand (si no, las empresas encon-trarán beneficioso recortar precios). Pero dado que p = c, una empresa tiene incentivos a subir el precio (ya que la otra estar´ıa ofreciendo xj < X(c), si no tendr´ıa pérdidas)

y atender una demanda marginal. La diferencia con el modelo de Kreps y Scheinkman es que en este caso la empresa no se puede comprometer a no ajustar la capacidad si le resultare conveniente ex post. Esto pone presi´on competitiva a las empresas y genera menores beneficios.

6.2.3 Resoluci´

on III: Diferenciaci´

on de Productos.

En esta Sección mostramos que con una m´ınima heterogeneidad (diferenciación de pro-ductos) es suficiente para que los beneficios no se eliminen. En esta Sección se extiende el análisis de Bertrand al suponer que las empresas enfrentan una demanda individual que tiene la siguiente forma

xi =xi(pi, pj) ;

∂xi

∂pi

<0 ; ∂xi

∂pj

>0

(17)

sustitución no es perfecta como en la Sección 6.2.5 También suponemos que

Supuesto 5 La demanda individual es tal que

∂2_x

i

∂pi∂pj ≥

0

esto es, la pendiente de la funci´on de demanda individual no disminuye con el precio del otro bien.

Existen 2 empresas i = 1,2 (generalizable a n empresas), que compiten eligiendo precios, con estructura de costos Ci(xi) (una funci´on convexa en la cantidad producida).

Los beneficios individuales son

πi(pi, pj) =pixi(pi, pj)−Ci(xi(pi, pj)) (6.10)

estrictamente c´oncava en pi. Cada empresa maximiza sus propios beneficios eligiendo su

precio y tomando el otro precio como dado, de modo que la funci´on de reacci´on de la empresa ies

pi =Ri(pj) (6.11)

resuelve la condici´on de primer orden πi

i(Ri(pj), pj) = 0, esto es,

πi_i =xi+ [pi −Ci(xi(pi, pj))]

∂xi(pi, pj)

∂pi

= 0 (6.12)

Debe notarse que comoπi

ii<0 (por concavidad) yπiij >0 (dada la forma de la funci´on

de demanda y el Supuesto 5), entonces,

R_i(pj) =−

πi

ij(Ri(pj), pj)

πi

ii(Ri(pj), pj)

>0

El siguiente lema resume la informaci´on sobre las funciones de reacci´on.

Lema 2 En un modelo de competencia a la Bertrand con productos diferenciados, la pendiente de la función de reacción de una empresa es positiva. Las estrategias de las empresas (elección de precios) son complementarios estratégicos.

(18)

Figure 6.6: Equilibrio de Bertrand con Precios Diferenciados.

R1(p2)

R2(p1) p2

p2B

p1B p1

A continuaci´on definimos el equilibrio de competencia por precios con productos difer-enciados.

Proposici´on 15 El equilibrio de Bertrand con productos diferenciados es un par (pB i , pBj )

tal que ambos precios pB

i =Ri(pBj ) y pBj =Rj(pBi ).

Ver Figura 6.6 para costos marginales constantes c.6

El siguiente ejercicio tiene como prop´osito explorar las caracter´ısticas del equilibrio:

Ejercicio 51 Suponga demandas tales que

x1 = α−p1−γ(p1−p2)

x2 = α−p2−γ(p2−p1)

5_{La caracterizaci´}_{on del grado de sustituci´}_{on, esto es, el an´}_{alisis general sobre productos diferenciados,}

se realiza en el Cap´ıtulo 7.

6_{En la Figura se presenta el caso de un ´}_{unico equilibrio. Para estructuras de demanda y costos las}

(19)

El costo total de producci´on es CTi =cixi, para i= 1,2.

i. Comente cómo se captura el grado de diferenciación con el parámetro γ.

ii. Encuentre la funci´on de reacci´on de la empresa i suponiendo costo marginal c.

iii. Encuentre los precios y cantidades de equilibrio, como as´ı tambi´en los beneficios.

iv. Qu´e sucede con los precios, cantidades producidas y beneficios cuando

1. Aumenta el costo de producci´on de una empresa.

2. Aumenta el costo de producci´on de ambas empresas en la misma proporci´on (puede suponer c1 =c2 =c.

3. Aumenta el grado de diferenciaci´on (disminuye γ).

Provea una intuici´on a todos sus resultados.

6.3 Liderazgo con Productos Homog´

eneos: Corto Plazo.

6.3.1 Liderazgo en Cantidades: Stackelberg.

En las secciones anteriores se analizó el caso de competencia por precios o cantidades en un entorno estático, con decisiones simultáneas (con excepción del modelo de elección de capacidad, aunque las decisiones de capacidad, por un lado, y de precios, por otro, se tomaban simultáneamente).

En algunas circunstancias una empresa tiene una ventaja respecto de sus competidoras en cuanto a las variables de elección. En esta Sección consideramos el caso de elección de cantidades (competencia L´ıder-Seguidor de Stackelberg (1934)), y en la Sección 6.3.2 consideramos el caso de elección de precios.

Aqu´ı no analizamos las razones por las cuales existe un liderazgo en el mercado (es-tudiaremos varias razones m´as adelante), sino que tomamos como dada la estructura de mercado, en la cual existe (para simplificar) una empresa l´ıder y una seguidora. El problema que nos interesa es un juego en dos etapas.

• En t= 1 la empresa l´ıder L elige una cantidad xL (decisi´on irreversible)

(20)

En primer lugar desarrollaremos el equilibrio en subjuego perfecto. En la pr´oxima subsecci´on analizaremos este equilibrio en el entorno de equilibrios de Nash.

En particular, nos interesan dos cosas. Por un lado, cómo capitaliza la empresa l´ıder su ventaja de elegir cantidades primero (elección que luego es irreversible). Por otro lado, la comparación de precios, cantidades, beneficios y excedente del consumidor con la alternativa del equilibrio de Cournot.

Utilizando la información de la Sección 6.1.1, podemos resolver el equilibrio que in-volucra dos etapas, por inducción regresiva (dada la estructura del juego e información, este concepto de equilibrio es equivalente al de equilibrio en subjuego perfecto).

En la segunda etapa, y dado que la empresa L ya eligi´o la cantidad producida, la empresaF maximizar´a sus beneficios tomando xL como dada (espec´ıficamente, esta

can-tidad es observada por la empresa seguidora, cualquiera sea la elecci´on de L). Pero esta elecci´on es exactamente (6.3), esto es

xF =RF(xL) (6.13)

La diferencia con el caso de Cournot, es que la cantidad de la competidora (conjetura) se toma como dada, y se verifica que es exactamente la cantidad producida en equilibrio. En este caso, simplemente se observa dicha cantidad, de modo que cualitativamente la conducta de la empresa F es la misma.

En la primera etapa, la empresa l´ıder anticipar´a el comportamiento de F. En otras palabras, sabe que dada una cantidad xL elegida, la seguidora responder´a eligiendo la

cantidad producida sobre su función de reacción (6.13). Nótese la ventaja de la l´ıder:

Por un lado, la empresa seguidora observará la cantidad producida y responerá eligiendo una cantidad sobre su función de reacción, y por otro lado, la empresa l´ıder antici-pará dicha respuesta (esto es, toma como dada la función de reacción de la empresa seguidora en lugar de una conjetura sobre la cantidad producida). La empresa l´ıder capitalizará esta ventaja. Entonces, elegirá xL maximizando

πL(xL, xF) =P (xL+RF(xL))xL−CL(xL) (6.14)

de modo que la cantidad producida ser´a la que satisface la condici´on de primer orden

(21)

Esta condici´on resuelvexSL y (6.13) resuelvexSF. De comparar (6.15) con (6.2), y dado

que RF(xL)<0,

Proposici´on 16 En un equilibrio de Stackelberg las cantidades elegidas son tales que

• xS L> xCL

• xS F < xCF

• xS ₌_xS

L+xSF > xCL +xCF =xC

Pf: Los dos primeros resultados surgen de la explicación anterior. La Figura 6.7 muestra que, dado que la empresa F opera sobre su función de reacción, la empresa L, partiendo dexC

L prefiere desviarse aumentando la cantidad producida de modo de obtener

πL(xSL, xSF).7

El tercer resultado surge del Resultado 29. En particular, dado que la función de reacción de la empresaF es en valor absoluto menor a 1, el aumento en la producciónxL

es menos que compensado por la disminuci´on en xF. Q.E.D.

De la Proposici´on 16 se desprende r´apidamente el siguiente

Corolario 7 En un equilibrio de Stackelberg

• pS < pC

• V(pS)> V(pC) • πLS >πLC

• πS F <πFC

• πS

L+πFS <πCL +πFC

Pf: Los dos primeros resultados son consecuencia de que xS _{> x}C_{. El tercer resultado}

surge de un argumento de preferencia revelada (la empresa l´ıder podr´ıa elegir la cantidad de Cournot y asegurarse el beneficio de Cournot). El cuarto resultado es una consecuencia 7 _{Debe recordarse que la funci´}_{on de isobene}_fi_{cio para una empresa, dadas las cantidades de la otra}

(22)

Figure 6.7: Equilibrio de Stackelberg

xLC xLS xL

xS

xFC

xFS

πLC RF(xL)

πLS

πFC

πFS

de la elección de la empresa l´ıder. El último resultado es consecuencia de la reducción en

precios y aumento de la cantidad en el mercado. Q.E.D.

El equilibrio de Stackelberg está ubicado entre el equilibrio competitivo y el de Cournot. Al elegir el nivel de producción la empresa l´ıder evalúa el trade-off entre una reducción en el precio y el aumento de su participación en el mercado. En el equilibrio de Stackelberg, los beneficios derivados de la mayor participación en el mercado más que compensan la pérdida de beneficios por la reducción en el precio.

Ejercicio 52 Suponga 2 empresas con igual costo c, enfrentando una demanda inversa p=a₋x.

i. Encuentre el equilibrio de Stackelberg (precios, cantidades, beneficios y excedente del consumidor de equilibrio. Repita la Figura 6.7 para este ejemplo.

(23)

El resultado es

xSL=

a₋c

2 =

3 2x

C

L ; x

S F =

a₋c

4 =

3 4x

C F

pS = a+ 3c 4 <

a+ 2c

3 =p

C

; xS = 3(a−c) 4 >

2(a₋c)

3 =x

C

π_LS = (a−c) 2

8 >

(a₋c)2

9 π

C

L ; π

S F =

(a₋c)2 16 <

(a₋c)2

9 π

C

S (6.16)

VS = 9(a−c) 2

32 >

2(a₋c)2

9 =V

C

6.3.2 Liderazgo en Precios con productos diferenciados.

Como en la Secci´on de Stackelberg, aqu´ı no analizamos las razones por las cuales existe un liderazgo en el mercado (estudiaremos varias razones m´as adelante), sino que tomamos como dada la estructura de mercado, en la cual existe (para simplificar) una empresa l´ıder y una seguidora. El problema que nos interesa es un juego en dos etapas.

• En t= 1 la empresa l´ıder L elige un precio pL (decisi´on irreversible)

• En t= 2 la empresa seguidoraF, habiendo observadopL, elige un precio pF

y buscaremos el equilibrio en subjuego perfecto.

Al igual que antes, nos interesan dos cosas. Por un lado, c´omo capitaliza la empresa l´ıder su ventaja de elegir precios primero, o la empresa seguidora su ventaja de elegir precios luego de haber observado el precio fijado por la otra empresa. Por otro lado, la comparaci´on de precios, cantidades, beneficios y excedente del consumidor con la alter-nativa del equilibrio de Bertrand con productos diferenciados.

Utilizando la información de la Sección 6.2.3, podemos resolver el equilibrio que in-volucra dos etapas, por inducción regresiva (dada la estructura del juego e información, este concepto de equilibrio es equivalente al de equilibrio en subjuego perfecto).

En la segunda etapa, y dado que la empresaLya eligi´o su precio, la empresaF maxi-mizar´a sus beneficios tomandopL como dado (pL es observado por la empresa seguidora,

cualquiera sea la elecci´on de L). Pero esta elecci´on es exactamente (6.11), esto es

(24)

La diferencia con el caso de Bertrand es que el precio de la competidora (conjetura) se toma como dado, y se verifica que es exactamente el precio elegido en equilibrio. En este caso, simplemente se observa dicho precio, de modo que cualitativamente la conducta de la empresa F es la misma.

En la primera etapa, la empresa l´ıder anticipar´a el comportamiento de F. En otras palabras, sabe que dado un precio pL, la seguidora responder´a eligiendo un precio sobre

su función de reacción (6.17). Nótese la ventaja de la seguidora: Por mover segunda, observará el precio de L y responderá ajustando su precio para posicionarse mejor en el mercado. La empresa seguidora capitalizará esta ventaja.

La empresa l´ıder elegir´apL maximizando

πL(pL, pF) =pLxL(pL, RF(pL))−CL(xL(pL, RF(pL)) (6.18)

de modo que el precio elegido ser´a el que satisface la condici´on de primer orden

xL+ pL−CL(xL)

∂xL

∂pL

+∂xL ∂pF

RF(pL) = 0 (6.19)

Esta condici´on resuelvepLPL y (6.17) resuelve pLPF .

Supongamos simetr´ıa en las funciones de demanda (∂xL/∂pL=∂xF/∂pF,∂xL/∂pF =

∂xF/∂pL) y costos (CL(.) =CF(.)). De comparar (6.19) con (6.12), y dado queRF(pL)>

0, se obtiene que

Proposici´on 17 En un equilibrio de liderazgo en precios

• pLP

L > pLPF

• πLP L >πLB

• πLP F >πFB

• πLLP −πBL <πFLP −πBF

Pf: Dado el supuesto de simetr´ıa, si la elecci´on de precios fuese simult´anea, los precios ser´ıanpB

L =pBF. Ahora, la empresa l´ıder elige precios de acuerdo con (6.19), esto es

pL−CL

pL

= 1 ηL −

∂xL

∂pFRF(pL)

pL∂_∂x_pL L

(25)

Figure 6.8: Equilibrio de Liderazgo en Precios

p

F

FR

L

FR

F

p

L

Equilibrio de

Bertrand con

Equilibrio de

Liderazgo en

Precios

de modo que aumentar´a su precio respecto de pB

L. La empresa seguidora, dado que

su funci´on de reacci´on tiene pendiente positiva y menor a 1 en _{pB

L, pBF}, ajustar´a su

precio menos que proporcionalmente, esto es pLP

L > pLPF . Consecuentemente, aumenta el

beneficio de ambas empresas. Esto se debe a que la empresaLpodr´ıa haberfijadopB L y lo

aument´o. La empresaF podr´ıa haber mantenido su precio frente al nuevopLP

L (y obtener

una participación mayor en el mercado), y sin embargo lo aumentó (en otras palabras, estaban compitiendo, y ahora aumentan sus precios). El cuarto resultado (ver Figura 6.8) se debe a que, a partir del resultado simétrico, la empresa seguidora fija un precio menor que la l´ıder y se queda con una participación “mayor” del mercado. Q.E.D. El equilibrio de liderazgo en precios está ubicado entre la solución de monopolio y el equilibrio de Bertrand con productos diferenciados. La razón es que la empresaLanticipa que laF fijará un precio inferior cuando observe el preciopLy as´ıapropiarse de una mayor

participaci´on del mercado. Esto le pone presi´on a L a fijar un precio alto para que F

(26)

queda en desventaja y tiene beneficios menores que los de la seguidora (partiendo de una situaci´on sim´etrica).

Ejercicio 53 Suponga 2 empresas con igual costo unitario c, enfrentando una demanda individual como en el Ejercicio 51, esto es,

x1 = α−p1−γ(p1−p2)

x2 = α−p2−γ(p2−p1)

i. Encuentre el equilibrio de Liderazgo en Precios (precios, cantidades, beneficios y excedente del consumidor.

(27)

6.4 Anexo: Resoluci´

on del modelo de Kreps y Scheinkman

(Secci´

on 6.2.2)

La soluci´on del juego planteado en la secci´on 6.2.2 consiste en buscar el equilibrio en subjuego

perfecto. En el segundo per´ıodo, dadas las capacidades (¯x1,x¯2) las empresas compiten por

precios. Vamos a ver que un equilibrio en estrategias puras existe si las capacidades no son muy grandes. El equilibrio es tal que ambas empresas eligen un precio al que utilizan toda su

capacidad (“firms dump their quantities in the market”). En cambio, cuando las capacidades son muy grandes, el equilibrio en precios involucra estrategias mixtas. Luego se obtiene la forma

reducida de los beneficios, y se resuelve el equilibrio de elección de capacidades: las empresas eligen una capacidad igual a la cantidad de Cournot. A continuación se detalla la construcción del equilibrio.

Lema 3 En un equilibrio en estrategias puras, p1 = p2 = P(¯x1 + ¯x2). Las empresas venden

hasta su capacidad.

Pf: Supongamos primero que p1 =p2 =p > P(¯x1+ ¯x2). El precio es muy alto y alguna de

las empresas no vende toda su capacidad, esto es, xi < x¯i. Si la empresa cobra pi =p− , la demanda se vuelca a la empresa i, quien vendexi = ¯xi, esto es (p− )¯xi > pxi (ver que para

cualquier xi, siempre existe un >0 que satisface dicha desigualdad).

Por otro lado, sip1 =p2 =p < P(¯x1+ ¯x2), el precio es muy bajo y ambas empresas racionan

a sus consumidores. Al aumentar el precio a p+ a´un venden toda su capacidad y obtienen

m´as beneficios.

Finalmente, no puede ocurrir quepi < pj. Si es as´ı, a la empresaile conviene aumentarpi dado que sigue vendiendo toda su capacidad. En el ´unico caso que no le conviene aumentar pi

es que dicho precio sea el de monopolio libre, lo que significa que la empresa i atiende toda la demanda a ese precio. En este caso, a la empresaj le conviene reducir su precio apj =pi− y

obtener beneficios estrictamente positivos. Q.E.D.

Debe notarse que al menos una de las dos empresas tiene que estar vendiendo toda su capacidad, si no alguna encontrar´a rentable reducir el precio (ver Lema 3).

Recordemos que la función de reacción de Cournot de la ecuación (6.3). El siguiente Lema muestra la relación con la competencia a la Cournot. En particular, debe recordarse queRi(xj)

maximizaxiP(xi+xj). Dado que la demanda es c´oncava,Ri es single-valued y decreciente.

Lema 4 En el subjuego de competencia en precios con capacidad restringida, en un equilibrio

(28)

Esto es, no es beneficioso para la empresa cobrar un precio que la induzca a producir más allá de la respuesta óptima a la capacidad de la otra empresa (si esto es posible).

Pf: El precio que cobra la empresa i es pi. Si la empresa j cobra pj > pi quiere decir que

la empresa i tiene que estar cobrando el precio de monopolio, y que la empresa j no obtiene beneficios (si no, podr´ıa cobrarpj =pi− ).

Si la empresaj cobra un preciopj < pi, los beneficios de la empresa ison

pi(X(pi)−x¯j) sixi <x¯i

pix¯i si ¯xi < X(pi)−x¯j

pero, como se vio más arriba, si la empresa está vendiendo su capacidad, encontrará beneficioso

aumentar el precio (ya que la empresa j tiene que estar vendiendo toda su capacidad, ver Lema 3), por lo que el segundo caso no es relevate. La empresa i, vendiendoxi <x¯i tiene un beneficio

pi(X(pi)−x¯j) =xiP(xi+ ¯xj)

Pero este es el beneficio de Cournot para una cantidad ¯xj, de modo quexi=Ri(¯xj) por definici´on

de función de reacción. Por lo tanto, la empresa ajustará su cantidad producida y, por ende, el precio.

Finalmente, si

pi =pj < P(¯xj+Ri(¯xj))

la empresai, si est´a vendiendo toda su capacidad, puede aumentar el precio en un y aumentar sus beneficios ya que

(pi+ )¯xi > pix¯i

En cambio, si no est´a proveyendo toda su capacidad (y dado que la empresa j est´a vendiendo toda su capacidad), los beneficios de la empresa ison

pi(X(pi)−x¯j) =xiP(xi+ ¯xj) Ri(¯xj)P(Ri(¯xj) + ¯xj)

donde la desigualdad proviene de la definición de función de reacción, de modo que no está

maximizando beneficios. En otras palabras, le convendr´ıa su cantidad producida —y por ende, el precio— hasta xi =Ri(¯xj). Por lo tanto,pi=P(¯xj+Ri(¯xj)). Q.E.D. Debe notarse quexi =Ri(¯xj) nada dice sobre la relaci´on entrexi y ¯xi. Se refiere solamente

a la reacción en términos de producción a la cantidad producida de la otra empresa (donde una de las dos necesariamente está produciendo toda su capacidad). La implicancia de los Lemas 3

(29)

Figure 6.9: Regi´on de Capacidades para las cuales Existe un Equilibrio de Precios en Estrategias Puras.

x2

R1

Región de Estr. Mixtas

Región

de Estr. R2

Puras

x1

Corolario 8 Existe un equilibrio en estrategias si y solo si, para todoi,

¯

xi Ri(¯xj)

Pf: Supongamos que ¯xi> Ri(¯xj) y que existe un equilibrio en estrategias puras. Del Lema 3,

pi = P(¯x1+ ¯x2). Entonces, pi < P(¯xj +Ri(¯xj)), lo que contradice el Lema 4. Luego, para capacidades por encima de la funci´on de reacci´on a la capacidad de la empresa competidora, el ´

unico equilibrio que puede existir es en estrategias mixtas (ver Figura 6.9).

Por otro lado, si ¯xi Ri(¯xj), entonces p=p1 =p2 =P(¯x1+ ¯x2) es un equilibrio. No tiene

sentido reducir el precio, mientras que por aumentar el precio las empresas venden una cantidad menor que la proveniente de su funci´on de reacci´on. Esto es

p(X(p)₋x¯j) =xiP(xi+ ¯xj)

yxi x¯i Ri(¯xj). Q.E.D.

(30)

de beneficios (incluyendo el equilibirio en el subjuego de precios) tiene la forma de la funci´on de beneficios de Cournot.8

En la regi´on fuera de la correspondiente a estrategias puras, el equilibrio corresponde a

estrategias mixtas. En particular,

Lema 5 En la regi´on de capacidades para las cuales el equilibrio en precios es en estrategias

mixtas (esto es,x¯i> Ri(¯xj)para al menos uni, la empresa con la mayor capacidad (la llamamos

i) obtiene un beneficio de seguidor de Stackelberg

πi =πF(¯xj) =Ri(¯xj)P(¯xj +Ri(¯xj)) (6.20)

Ver Kreps y Scheinkman (1983) para una prueba completa o Tirole (1988) para una prueba que la empresas no encuentran beneficioso invertir m´as all´a de la capacidad correspondiente al ´

area de estrategias puras. La intuici´on es la siguiente. Si las empresas est´an jugando estrategias

mixtas en un intervalo [p_i,p¯i], tiene que ser verdad que algún precio p ∈ [p_i,p¯i] elegido por la empresa de mayor capacidad, ésta no vende toda su capacidad, mientras que la de menor ca-pacidad s´ıvende toda su capacidad. En este caso, la empresaielegirá la cantidad que maximiza

sus beneficios dada la capacidad ¯xj, esto es xi = Ri(¯xj). Pero en este caso, los beneficios que obtiene son los de un seguidor de Stackelberg para una capacidad ¯xj (solo necesitamos saber

en esta Sección que dichos beneficios son menores a los que obtendr´ıa eligiendo capacidades de Cournot).9 Finalmente, dado que una empresa que elige estrategias mixtas está indiferente entre los precios elegidos, para cualquier precio en [p_i,p¯i] sus beneficios deben ser idénticos.

Finalmente, si la capacidad invertida por las empresas es excesivamente grande, las estrate-gias de equilibrio sonfijar un precio igual al costo marginal.

Teniendo en cuenta c´omo evolucionar´a el subjuego en precios, las empresas eligen capacidad en el primer per´ıodo, incurriendo en un costoc0 por unidad de capacidad (esto es, se analiza el

caso sim´etrico).

Vamos a mostrar que el equilibrio en elecci´on de capacidad corresponde a la cantidad de equilibrio de Cournot con un costoc0, esto es

¯

x1=xC1(c0) ; x¯2=xC2(c0)

dondexC

i (c0) maximizaxi P xi+xCj (c0) −c0 (ver Figura 6.10).

En el segundo per´ıodo la capacidad ya está hundida, por lo que al elegir cuánto producir, la función de reacción de la empresa i es Ri(xj,0) (dado que supusimos que c = 0). Por otro

(31)

Figure 6.10: Elecci´on de Capacidades en la Primera Etapa.

x

2

R

1

(x

2

,0)

R

1

(x

2

,c

0

)

x

2C

(0)

x

2C

(c

0

) R

2

(x

1

,0)

R

2

(x

1

,c

0

)

x

1C

(c

0

) x

1C

(0) x

1

lado, en el primer per´ıodo, la empresaiconsidera el costo de inversión al elegir la capacidad, de modo que su función de reacción es Ri(xj, c0).

Supongamos que la empresaieligexC_i (c0). La empresaj, si elige ¯xj R(xCi (c0),0), obtiene

beneficios

¯

xj P(¯xj +xCi (c0))−c0 xCj(c0) P(xCi (c0) +xCj (c0))−c0

(por definición de función de reacción), mientras que si elige ¯xj > Rj(xCi (c0),0), a partir del

Lema 5,10 obtiene exactamente

πF(xC_i (c0)) =Rj(xCi (c0)) P Rj(xCi (c0)) +xCi (c0) −c0

Pero, por definici´on de xC_j (c0), xCj (c0)< Rj(xCi (0)) (ver Figura 6.10) es la mejor respuesta en el primer per´ıodo a ¯xi =xCi (c0). Por lo tanto,

πF(xC_i (c0)) xCj (c0) P xCi (c0) +xCj (c0) −c0

(32)

de modo que la capacidad de Cournot con costo c0 es el equilibrio en el juego de elecci´on de

capacidad. Entonces a partir del equilibrio en el subjuego de precios, el precio de equilibrio es

P xC_i (c0) +xCj (c0) .11