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(1)CALCULO I – Grado en Ingeniería Química Departamento de Matemáticas (ULPGC) Fecha: 08 de enero de 2015. EXAMEN CONVOCATORIA ORDINARIA. Apellidos:_________________________________________ DNI:___________. 1.. Resolver la ecuación: sen. 2. 0. 2.. Se quiere fabricar con chapa metálica un envase para contener líquido, con forma cilíndrica y capacidad de 33 cl. Hallar sus dimensiones para emplear el menor material posible.. 3.. Siendo derivadas. 4.. ⁄. y. 1, con ⁄ .. ln. , hallar por aplicación de la regla de la cadena, las. ,. Sea la superficie del paraboloide elíptico. , y el punto. 1,1,2 , hallar:. 3. ,. 2. a. La ecuación de la recta normal a la superficie en el punto . b. La ecuación del plano tangente a la superficie en el punto . c. El vector unitario perpendicular a la superficie en el punto , y orientado hacia. 5.. Calcular la integral: 1 √5. ..

(2) sen. ≅ →0. tan. arc sen. ≅ →0. arc tan. ≅ →0. senh. arg senh. ≅ →0. arg tanh. ≅ →0. sen. 1. 0 ≅ →0. ln 1. 1. ln. ≅ →0. ln. 1≅ →0. 1. ∈ , ≅ →∞. cos. 0 ≅ →0. 0 0. 1. 1. 1. ′ ′. →. senh. senh. cosh. cosh. 1 cos. tag. 1 cosh. tanh. 1. 1. √ 1. arccos. √1 1. √. ∀ 1. 1 1. arctag. 1. coth. 1. 0. arccos. arctg. ln sen cos. cos sen. tan cotg. Fórmula de Stirling ≅ →1 →∞ 1. ≅. cosh. argcosh. senh 2. argsenh. ∀. 1. 1 √1 1 √1 1 1 1 cos 1 sen. →∞. sen. 1. cosh 2 2. 1 1. argsenh. argcosh. argtgh. sen 2. 1. 1 1 ln 2 1 1 1. √ 1 √. 1 1. 1. 1 1 cos. tan. cos. 2 senh cosh. argtgh. cos. sen. cosh 2 2. ln. 2. sen. 1 cosh. 1. 2. cos. senh. tanh. argsenh. 1 arcsen. ln. ! ≅ √2 →∞. 2. senh. argtanh. 1. ln. 2. cosh. 1. ≅ →∞. 1≅. Regla de L’Hôpital. 1. 1. →∞. lim. 1 senh. tan. ≅ →0. ≅ →0. senh. √1. 0 ≅. 1. cosh. arcsen. 1. →∞. sen. cotag. tanh. ≅. 1. cos. 1. ≅ →0 1. 2. →0. →∞. 1≅. →. ≅1. 2. →0. ≅ →1. lim. cos. 1 sen. ≅. →0. ,. sen. 1. 1≅ →0. ⋯ ,. ≅ →0. 1. cos 2 2. 1. cos 2 2. 2 sen cos. argcosh. ln. 1. senh. cosh. cosh. senh. tanh. 1 cosh. coth. 1 senh. ln. 1. ln.

(3) 1. Resolver la ecuación: sen. 2. 0. SOLUCIÓN: sen. 2 →. 2. 4. 1. →. 4. 4. 4∙. 1. 4. √ 16 2. 2. 4. 4. →. 4. 1. √ 12 2. 4. , obtenemos la ecuación de segundo grado,. Llamando. 4. 4. 1. 0, cuyas soluciones son: 2 √3. 2. 2. Para cada valor de , tenemos: →. ln. |. |. arg. 2 0. → ln. √3 2. arc tan. 2. √3 2. ln. √3 2. 0 2. 2. √3. ln. 2. √3. 2. √3. 2. √3. 2. √3. ln. 2. 2 ln. 2. 2. √3. 2. √3. Tomando el valor principal del logaritmo, tenemos: ln. 2. →. ln. | arg. |. 2 0 arc tan. → ln. √3 2. 2. √3 2. ln. √3 2. 0 2. 2. √3. ln. 2 ln. 2. 2. √3. √3. Tomando el valor principal del logaritmo, tenemos: 2. ln. NOTA: Hay infinitas soluciones, de las cuales sólo hemos indicado dos.. 0. ln. 2. 2. √3.

(4) 2. Se quiere fabricar con chapa metálica un envase para contener líquido, con forma cilíndrica y capacidad de 33 cl. Hallar sus dimensiones para emplear el menor material posible.. SOLUCIÓN: Llamando al radio de las tapas, y. a la altura del envase, tenemos: 2. 2. Función objetivo: Material empleado; Suma de las superficies de las tapas (áreas de las circunferencias de radio ) y de la superficie lateral del cilindro, cuyo desarrollo corresponde a un rectángulo de altura y de longitud , el perímetro de la circunferencia de las tapas, 2 : 2 ∙ (en 2∙ ). unidades de superficie. ∙. Condición: Volumen del envase, volumen ). 33. 0.33. 330. (en unidades de. Despejando , y sustituyendo en la función objetivo: 0.33. →. ,. 2. 2∙. ∙. 2. 2. 0.33. 2. 2. 0.33. Derivando, e igualando a cero:. ′. 4. 0.66. 0.66 4. 0 →. 0.33 → 2. 0.33 → 2. Comprobemos que es un mínimo: 4. Nota: La solución anterior es en. . En. 1.32. 0. : 165. →. 1320. 0.33. 1.32.

(5) 3. Siendo derivadas. ⁄. , con ⁄ .. y. , hallar por aplicación de la regla de la cadena, las. SOLUCIÓN: , ,. 1. ln. ↗ → ↘. 2. 1. 1. 2. ↗ ↘ 2. 1 2. 2. 2. 2. , ,. 2 2. ↗ 2. →. 2. 2. 6. 2 2. 2. 2. ↗. ↘. ↘ 2 2. 2. 6. 2 2. 2 2. 2 ln. 4. 10. 10. 2 4. 4.

(6) ,. 4. Sea la superficie del paraboloide elíptico. , ,. , y el punto. , hallar:. , a. La ecuación de la recta normal a la superficie en el punto . b. La ecuación del plano tangente a la superficie en el punto . c. El vector unitario perpendicular a la superficie en el punto , y orientado hacia. SOLUCIÓN: a) Ecuación de la recta normal a la superficie en el punto : 3. ,. →. 2 2 2 6 2. →. 3. , ,. 3. →. →. ≡. 0. 2. , 3 ,1. →. ,. →. ,. 1, 3,1. →. →. 1 1 1. 1 3. 2 1. b) Ecuación del plano tangente en el punto : Π≡. 0 1 Π≡. 3. 1. 2. 3. 1. ∥. →. ,. ,. | |. 2. 1. √11. 0. c) Vector unitario perpendicular a la superficie en el punto , orientado hacia ,. 1. 1,. :. 0 1. 3. ..

(7) 1. 1 √11. ,. ,. 3. ,. 1. √11 √11. | |. ,. 1,. 1 √11. 0.

(8) 5. Calcular la integral: 1 √5. SOLUCIÓN: 1 √5. √5 sen. cos sen. 5 1. sen. sen 1 cos. 1 √5. cos. 1. √5. sen √cos. √5. 2√5. ln. ln. 1. 1. ⁄√5. 1. 1. ⁄√5. 1 √5. cos cos. 1 2√5 1 2√5. ln. ln. argtanh. 1. √1. sen. 1. √1. sen. √5. √5. √5. √5. 5 sen. sen sen. √5. 1. √5 1 1. 1. 1 sen. 1. 1 sen. sen √5. √5 sen. 1. 1. 2√5. 5. cos. 1 1 1 ln √5 2 1 1. cos. √5 cos. √5 sen √5 cos. También: 1. 1. 1 1. 1. √5 1. 1. 1. 1 1. 1. 1. 2√5. 1. 2√5. |. ln|1. ln|1. 1⁄2 1. 1⁄2 1. 1. 1⁄2 1⁄2. →. √5. 1. |. 2√5. ln. 1 1. Otra forma de resolver la integral: 5. 1 √5 1. 1 5. 5 1 √5. 1 1. 2. 5 5. 1 √5. 1. 2√5 1 1. argtanh. ⁄√5. √5. √5 √5 1 1 1 ln √5 2 1. 2 √. 2√5. √5 5. 1. 1 2√5. 1. ln. 1. ⁄√5. 1. ⁄√5.

(9) 1 2√5. ln. √5. 1. √5. 2√5. ln. √5. √5. √5. √5. Otra forma de resolver la integral: 1. 1. 1. 1. √5. 5 1. 1 √5 1 √5 1 √5. 1. √5. 1 √5 5. ln. 1. 1 1. 1. 1. √5. √5. 1. √5. argcosh. ln √5. 1. √5. √5. ln. √5 5. ln √5. √5 1. 1. √5. ln. √5. 1 1. √. 1 √5. ¿Qué relación tienen las dos expresiones de la solución de la integral?. Son la misma. En efecto: 1 2√5. ln. √5. √5. 1. √5. √5. 2√5. 1 2√5. ln. 1 2√5. ln. √5 √5 √5. ln. √5. √5. √5. √5. √5. √5. √5. √5. √5. 1 2√5. √5 √5. 1 2√5 1 √5. ln. √5. √5. ln. ln. √5 5 √5. √5 5 √5.

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