Espacios vectoriales

1

´Indice general

3

ESPACIOS VECTORIALES

1.1 Subespacios 4

1.2 Subespacios generados 6

1.2.1 Subespacios asociados con matrices 11

1.2.2 Ecuaciones param ´etricas e impl´ıcitas de un subespacio 15 1.3 Independencia lineal 19

1.4 Bases y dimensi ´on de un espacio 22 1.5 Intersecci ´on y suma de subespacios 28 1.6 Complemento ortogonal de un subespacio 34

1.6.1 Relaci ´on entre los cuatros espacios fundamentales 38 1.7 Coordenadas de un vector 44

3

1

ESPACIOS VECTORIALES

En lo que sigueVdenotar´a un conjunto de elementos llamadosvectores. Con el s´ımbolo+denotaremos una operaci´on, llamada suma de vectores, y sujeta al cumplimiento de ciertas propiedades definidas m´as adelante. Similarmente trabajaremos con un conjunto de elementos llamadosescalares. Estos escalares ser´an, en general, de n´umeros realesR.Adem´as trabajaremos con el producto y la suma usuales entre n´umeros reales.

Definici ´on 1.1

Un espacio vectorial es un conjunto no vac´ıoV de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma de vectores+y el producto de un escalarcpor un vectorv, denotado porc v, satisfaciendo los siguyientes diez axiomas:

1. u+v∈V,

2. u+v=v+u conmutatividad

3. (u+v) +w=u+ (v+w) asociatividad

4. Existe un elemento, llamado vector nulo, 0∈V, tal quev+0=0+v.

5. Para cadav∈V existe−v∈V tal quev+ (−v) =0.

6. c v∈V, para cualquier escalarc∈_R, y para cualquier vectorv∈V.

7. c(u+v) =c u+cv, para cualquier escalarc∈_R.

8. (c+d)v=c v+d v, para cualquier par de escalarescyd, y para cualquier vectorv.

9. c(d v) = (cd)v, para cualquier parc,d∈R.

10. 1v=v.

En la definici´on anterior, cuando decimos “escalares” nos estamos refiriendo a n´umeros reales. En este caso, se dice queV es un espacio vectorial real. Tambi´en es posible que los escalares pertenezcan a otro conjunto num´erico, por ejemplo los n´umeros complejos, pero en este curso ´unicamente trabajaremos con n´umeros reales. Utilizando tan s´olo estos axiomas, es posible probar que el vector cero 0 es ´unico, y el vector−v, llamado el opuesto dev, es ´unico para cada vectorvdeV.

Lema 1.1 SeaV un espacio vectorial. Entonces las siguientes propiedades son v´alidas:

1. 0v=~0.

2. c~0=~0.

Ejemplo 1.1

Para cualquiern≥1, el conjuntoRncon las operaciones usuales de suma y producto por un escalar es un espacio vectorial. Este espacio se conoce con el nombre de espacio eucl´ıdeon-dimensional.

Recordemos que la suma+de dos vectoresv= (v1,v2, . . . ,vn)yu= (u1,u2, . . . ,un)y el producto por un escalarαse definen como

u+v= (v1,v2, . . . ,vn) + (u1,u2, . . . ,un)

= (v1+u1,v2+v2, . . . ,vn+vn)

y

αv=α(v1,v2, . . . ,vn) = (αv1,αv2, . . . ,αvn),

respectivamente.

En particular, el plano eucl´ıdeoR2y el espacioR3son espacios vectoriales.

1.1. Subespacios

Dado un espacio vectorial V es posible determinar subconjuntos deV que formen un espacio vectorial utilizando las mismas operaciones que tenemos enV. Primero presentamos la definici´on formal y procedemos a desarrollar varios ejemplos.

Lema 1.2 SeaV un espacio vectorial. Un subespacio S de V es un subconjunto deV satisfaciendo las siguientes condiciones:

(S0) ~0∈S.

(S1) Para cadax∈S, y para cada escalark,c x∈S.

(S2) Six,y∈S, entoncesx+y∈S.

La definici´on anterior nos dice que un subespacio vectorial de un espacioV es un subconjuntoS⊆V que en s´ı mismo es un espacio vectorial bajo las mismas operaciones definidas en el espacio vectorial.

Antes de dar ejemplos ppresentamos una caracterizaci´on de los subespacios.

Lema 1.3 SeaV un espacio vectorial. Entonces un subconjuntoSdeV es un subespacio si y s´olo siSes distinto del vac´ıo y para todou,v∈Sy para todoc,d∈R,

c u+d v∈S.

Como un subespacio es un espacio vectorial, siempre debe contener al vector nulo~0. Esto debe ser tenido en cuenta a la hora de averiguar si un subconjunto es o no un subespacio vectorial.

Ejemplo 1.2

Dado un espacio vectorialV, el mismo conjuntoV y el conjunto{0}son espacios vectoriales. Estos son los llamadossubespacios triviales. Es decir, siempre existen y adem´as cualquier otro subespacioSdeV

cumple que

1.1 Subespacios 5

Ejemplo 1.3

Analicemos si los siguientes subconjuntos del espacio vectorialR2son subespacios.

1. Consideremos el conjunto de punto que forma una recta que pasa por el origen

L=(x,y)∈_R2: 2x−3y=0 .

No es dif´ıcil comprobar que este conjunto es un subespacio deR2.

2. Consideremos ahora una recta que no pasa por el origen

H=

(x,y)∈_R2_{:y=3x+2 .}

Se puede comprobar que H si est´a cerrado bajo la suma de vectores y producto de un escalar distinto de cero por un vector est´a enH, pero claramente(0,0)∈/H, pues 06=3 0+2. Entonces el vector nulo(0,0)∈/H. Por lo tantoHno es un subespacio vectorial deR2.

3. El conjuntoD=

(x,y)∈R3:x=0 oy=0 no es un subespacio, pues(1,0),(0,1)∈D, pero (1,0) + (0,1) = (1,1)∈/D.

4. Consideremos el subconjunto

S=(x,y)∈_R2:x.y≥0 .

Claramente se cumple que(0,0)∈S. Pero no est´a cerrado bajo la suma, puesv= (−2,−1)∈Sy

u= (3,0)∈Sy

v+u= (−2,−1) + (3,0) = (1,−1)∈/S.

Por lo tantoSno es un subespacio.

5. El conjuntoE=

a

3

:a∈R

no es un subespacio deR2. En efecto, sik∈R,entoncesk

a

3

=

ka

3k

, y en general 3k6=3. Por lo tantoEno es cerrado bajo producto de un escalar por un vector.

Se puede comprobar que tampoco es cerrado bajo suma de vectores.

Ejemplo 1.4

Consideremos el espacioR3. Veamos si los siguientes subconjuntos son subespacio deR3.

1. Sea

S={(x,y,z):x=y}.

Claramente(0,0,0)∈S. Por lo tantoS6=0. Por otra parte, si/ k∈R, entoncesk(x,y,z)∈S, pues

kx=ky.

Supongamos que,(x1,x2,x3),(x2,y2,z2)∈S, entonces

(x₁,x₂,x₃) + (x₂,y₂,z₂) = (x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)∈S,

puesx1+x2=y1+y2. EntoncesSes un subespacio deR3.

Observemos que si(x,y,z)es un vector deSentonces

Los puntos deR3que satisfacen esta igualdad son los puntos que pertenecen a un plano que pasa por el origen y con vectores directores(1,1,0)y(0,0,1). Por lo tanto el subespacio vectorial

S=(x,y,z)∈_R3:(x,y,z) =x(1,1,0) +z(0,0,1)

es un plano que pasa por el origen.

2. SeaH ={(x,y,2):x,y∈R}. En este caso es sencillo comprobar que (0,0,0)∈/ H, y en conse-cuencia no es un subespacio vectorial.

Observemos que los puntos deHson los puntos que satisfacen la siguiente identidad:

(x,y,z) =x(1,0,0) +y(0,1,0) + (0,0,2).

Es decir, queH es un plano enR3 que tiene como vectores directores a(1,0,0)y(0,1,0)y pasa por el punto(0,0,2).

Ejemplo 1.5

Recordemos que un plano enR3es un conjunto de puntos, cuya ecuaci´on en forma cartesiana es

ax+by+cz=d.

De igual forma, unhiperplanodeRnes un conjunto de puntos deRnque satisface la ecuaci´on

a₁x₁+a₂x₂+· · ·+anxn=d,

dondea1, . . . ,an,d∈R.Un hiperplano pasa por el origen cuandod=0.

Observemos que el vector nulo0= (0~, . . . ,0)no satisface la ecuaci´on de un hiperplano cuandod6=0, pues

a10+a20+· · ·+an06=d.

Por lo tanto el conjunto de los puntos que pertenecen a un hiperplanonoforman un subespacio vectorial, excepto cuando pasa por el origen y eso ocurre solamente sid=0.

De acuerdo a los ejemplos anteriores, podemos afirmar lo siguiente:

1. EnR2las rectas que pasan por origen son subespacios.

Las rectas que no pasan por el origen no son subespacios.

2. EnR3las rectas y planos que pasan por el orgien son subespacios.

Las rectas y planos que no pasan por el origen no son subespacios.

3. EnRnlos hiperplanos pasan por el origen son subespacios.

Los hiperplanos que no pasan por el origen de coordenadas, no son subespacios.

1.2. Subespacios generados

1.2 Subespacios generados 7

Definici ´on 1.2

Seav1, . . . ,vnun conjunto de vectores de un espacio vectorialV. Diremos que un vectorvescombinaci´on lineal de los vectoresv1, . . . ,vnsi existen escalaresc1, . . . ,cntales que

v=c1v1+· · ·+cnvn.

SeaV un espacio vectorial. Elconjunto generadopor el conjunto de vectores{v₁,v2, . . . ,vn}, en s´ımbolos

hv1, . . . ,vniosg(v1,v2, . . . ,vn), es el conjunto detodaslas combinaciones lineales de los vectores dev1, . . . ,vn, es decir:

hv₁, . . . ,vni={v∈V :v=c1v1+· · ·+cnvnpara algunos escalaresc1, . . . ,cn}

El conjunto{v1,v2, . . . ,vn}es el conjunto generador dehv1, . . . ,vni.

Ahora formulamos el siguiente resultado fundamental sobre conjuntos generados por vectores.

Lema 1.4 SeaV un espacio vectorial. Para cada conjunto de vectores {v₁,v₂, . . . ,vn} el conjunto S= hv₁, . . . ,vnies un subespacio deV, llamado elsubespacio generadopor el conjunto{v₁,v2, . . . ,vn}.

Ejemplo 1.6

Sean los vectoresw1= (1,1,1)yw2= (1,−2,2).

1. Estudiar siw1yw2son combinaci´on lineal de los vectores

v1= (1,2,3),v2= (0,1,2),v3= (−1,0,1).

2. Identificar el conjuntohv₁,v2,v3i.

Soluci´on

1. Comenzamos estudiando el vectorw1= (1,1,1). Como

w₁∈ hv₁,v₂,v₂i ⇔ ∃c₁,c₂,c₃∈_Rw₁=c₁v₁+c₂v₂+c₃v₃ .

Entonces supongamos que existen escalaresc1,c2yc3tales que

(1,1,1) = c₁(1,2,3) +c₂(0,1,2) +c₃(−1,0,1) = (c1,2c1,3c1) + (0,c2,2c2) + (−c3,0,c3)

= (c1−c3,2c1+c2,3c1+2c2+c3).

Igualando las componentes obtenemos un sistema de ecuaciones

 



c1−c3 = 1 2c1+c2 = 1 3c₁+2c₂+c₃ = 1

En notaci´on matricial escribimos





1 0 −1

2 1 0

3 2 1



 

 c1

c₂ c3



= 



1 1 1





Para resolver este sistema acudimos a Gauss. Consideramos la matriz aumentada del sistema y escalona-mos





1 0 −1 1

2 1 0 1

3 2 1 1



→ 



1 0 −1 1

0 1 2 −1

0 0 0 0



Por lo tanto el sistema original es equivalente al sistema

 



c1 = 1+c3

c2 = −1−2c3

c₃ = c₃

y en consecuencia tenemos tenemos un conjuntoinfinitode soluciones. Luegow1es combinaci´on lineal de los vectoresv1,v2yv3y son de la forma

(1,1,1) = (1+c3)v1+ (−1−2c3)v2+c3v3

Para obtener una combinaci´on particular podemos elegir un valor parac₃y de esa forma determinamos los valores parac1yc2. Por ejemplo, si elegimosc3=3, entonces obtenemosc1=4 yc2=−7. Por lo tanto,

w₁=4v₁+ (−7)v₂+3v₃.

Claramente las posibilidades de expresar aw₁como combinaci´on lineal dev₁,v₂yv₃son infinitas. Analizamos ahora el caso del vectorw2= (1,−2,2). Vamos a emplear la misma t´ecnica que en el caso anterior. Directamente podemos considerar la matriz

A= (v1v2v3w2),

donde estamos entendiendo que los vectores v₁,v₂,v₃ y w₂ est´an escritos como columnas. Entonces escribimos





1 0 −1 1

2 1 0 −2

3 2 1 2





Escalonando obtenemos





1 0 −1 1

0 1 2 0

0 0 0 1





En la ´ultima fila tenemos que 0=1, lo cual es claramente imposible. Por lo tanto el sistema es incompa-tibley en consecuencia no hay soluci´on. Por lo tanto

w2∈/S=hv1,v2,v3i.

2. Sabemos queS=hv₁,v₂,v₃ies un subespacio deR3. Ahora trataremos de identificarlo. Consideremos un vector gen´ericov= (x,y,z). Entonces razonando como en el apartado anterior tenemos las siguientes equivalencias:

(x,y,z)∈S⇔ ∃c₁,c₂,c₃∈_R(x,y,z) =c₁v₁+c₂v₂+c₃v₃

si y s´olo si el sistema siguiente tiene soluci´on





1 0 −1

2 1 0

3 2 1





| {z }

A



 c₁ c2

c3



 

 x y z





| {z }

~_b

si y s´olo si

rg(A) =rg(A|b).

Por lo tanto debemos estudiar el rango de la matriz ampliada. Escalonamos la matriz ampliada





1 0 −1 | x

2 1 0 | y

3 2 1 | z





(−2)F1+F2 −−−−−−→

(−3)F1+F3 



1 0 −1 | x

0 1 2 | −2x+y

0 2 4 | −3x+z 

1.2 Subespacios generados 9





1 0 −1 | x

0 1 2 | −2x+y

0 −1 −1 | 3₂x−1₂z 

→ 



1 0 −1 | x

0 1 −2 | −2x+y

0 0 0 | −1₂x+y−1₂z 



Por lo tanto

rg(A) =rg(A|b)sii −1

2x+y− 1 2z=0.

Entonces los vectores que est´an en el subespacio generado por los vectoresv1,v2 yv3son los que satis-facen la ecuaci´on−1

2x+y− 1

2z=0, o la ecuaci´on equivalente−x+2y−z=0

S=(x,y,z)∈_R3:−x+2y−z=0 .

Por lo tantoSes un plano que pasa por el origen.

SeaV un espacio vectorial. Diremos queV es(finitamente) generadopor un conjunto de vectores si existen vectoresv1, . . . ,vn∈V tal que

V=hv1, . . . ,vni.

En este caso diremos que el conjunto de vectoresv1, . . . ,vn es un conjunto de generadores del espacio. Cuan-do presentamos a un subespacio por un conjunto de generaCuan-dores decimos que tenemos una representaci´on param´etricadel subespacio.

Ejemplo 1.7 Generadores deR2,R3yRn

Para cualquier vector(x,y)deR2podemos escribir

(x,y) =x(1,0) +y(0,1) =x e₁+y e₂.

Es decir, todo vector(x,y)deR2 es combinaci´on lineal de los vectorese1= (1,0)ye2= (0,1). Por lo tanto los vectorese1ye2generan a todo el espacio:

R2=h(1,0),(0,1)i.

De igual forma se prueba que el espacio R3 est´a generado por el conjunto de vectores e1= (1,0,0),

e₂= (0,1,0)ye₃= (0,0,1):

R3=h(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)i.

En general, el espacio eucl´ıdeoRnest´a generado por losn-vectores

e1= (1,0, . . . ,0), . . . ,en= (0,0, . . . ,1),

pues

(x1, . . . ,xn) =x1e1+. . .+xnen,

para todo vector(x1, . . . ,xn)∈Rn. Por lo tanto, podemos escribir

Rn=he1, . . . ,eni.

Los vectorese₁,e₂,. . . ,ense los conoce como losvectores can´onicosdeRn.

Subespacios deR2yR3

ComoR2yR3son espacios finitamente generados, todos sus subespacios son finitamente generados. Ahora vamos dar cuales son exactamente los subespacios deR2yR3.

1. Supongamos queSes un subespacio propios deR2. Es decir

n

~₀o_⊂S⊂R2_.

Como R2 es finitamente generado, entob[nces S tambien es finitamente generado. Entonces existe un vectorv= (v1,v2)tal que

S=(x,y)∈_R2:(x,y) =λv =hvi

Por lo tantoSes una recta que pasa por el origen.

2. Supongamos queSes un subespacio propio deR3. Es decir

n

~₀o_⊂S⊂R3_.

En este casoSpuede estar generado por un vector o por dos vectores. Es decir,Ses una recta que pasa por el origen o un plano que pasa por el origen. SiS es una recta entonces, entonces existe un vector

v∈_R3_{, llamado vector director, tal que}

S=(x,y,z)∈R2:(x,y,z) =λv =hvi.

SiSes un plano, entonces existen dos vectoresvyutales que

S=(x,y,z)∈_R2:(x,y,z) =λv+αu =hv,ui.

No existen m´as subespacios propios enR3.

Ya conocemos que todo subespacio de Rn est´a generado por un conjunto finito de vectores. La pregunta ahora es la siguiente:

¿Como podemos hallar un conjunto de generadores de un subespacioSdeRn?

En el siguiente ejemplo explicamos como determinar un conjunto de generadores de un subespacio vectorial de que est´a definido por ecuaciones cartesianas o impl´ıcitas.

Ejemplo 1.8

Consideremos el plano

π=(x,y,z)∈_R3_{:x−2y+4z=0 .}

Determinar generadores del subespacioπ.

Soluci´on

Como todo plano que pasa por el origen es un subespacio deR3, entoncesπes un subespacio finitamente generado puesR3es finitamente generado. Es decir, existe un conjunto finito de vectores que generan a todo el planoπ.

Si despejamos la variable xy parametrizamos las otras dos variables comoy=t yz=s, obtenemos el sistema

 



x = 2t−4s

y = t

1.2 Subespacios generados 11

Es decir,

(x,y,z) = (2t−4s,t,s) =t(2,1,0) +s(−4,0,1).

Esta es la representaci´on param´etrica del subespacio. Por lo tanto, el subespacio es un plano generado por estos vectores. Es decir,

π=(x,y,z)∈R3:(x,y,z) =t(2,1,0) +s(−4,0,1)

=h(2,1,0),(−4,0,1)i.

1.2.1. Subespacios asociados con matrices

Ahora veremos que toda matrizAde tama˜nom×nse le pueden asociar cuatros subespacios, llamados los

subespacios fundamentales.

Consideremos la matrizA∈Rm×n. Sabemos el espacio N(A)es el conjunto soluci´on del sistema homog´eneo

A~x=0. Este conjunto es uno de los subespacios asociados a la matrizA.

Denotamos con ~c1, . . . , ~cn los n-vectores columna y denotamos ~f1, . . . , ~fm los m-vectores filas, como se indica en el siguiente diagrama:

~_{f1 →} ~_f2 →

.. . ~_{fm →}

~c1 ~c2 . . . ~cn

↓ ↓ ↓



   

a11 a12 . . . a1n a₂₁ a₂₂ . . . a₂n

..

. ... . . . ...

am1 am2 . . . amn



   

Definici ´on 1.3

SeaAuna matrizm×nde n´umeros reales.

El espacio nulo deAes el conjunto soluci´on del sistema homog´eneoA~x=~0. Es decir el conjunto

N(A) =nx∈Rn:A.~x=~0

o .

El espacio nulo de la traspuesta deA, es decir, el conjunto

N(At) =nx∈_Rn_:

At.~x=~0o.

Elespacio columnadeAes el subespacio deRmgenerado por los vectores columnas deA:

Co(A) =h~c1,~c2, . . . ,~cni.

Elespacio filaes el subespacio deRngenerado por las filas deA:

Fi(A) =D~f1, ~f2, . . . , ~fm

E .

Notemos que

Fi(A) =Co(At)y Fi(At) =Co(A).

Observemos que un vector~b∈_Rm_{es un elemento del espacio columna Co(A)si y s´olo si es combinaci´on}

lineal de los vectores columnas de la matrizA. Es decir,

Por lo tanto

Co(A) =n~b∈_Rm_:

A~x=~bes compatibleo.

Los espacios fila y columna son subespacios por la propia definici´on de subespacios generados.

Lema 1.6 SeaA∈_Rm×n_{. Entonces el conjunto de soluciones del sistema homog´eneo}

N(A) = n

~x∈Rn:A~x=~0

o

es un subespacio vectorial..

Podemos interpretar al espacio nulo asociado a una matrizA∈_Rm×n _{como la funci´on que env´ıa vectores}

deRnen el vector nulo deRm, como se muestra en la siguiente figura:

Rn Rm

N(A)

~₀

Ejemplo 1.9

Consideremos la matriz

A=

2 1 −2

−1 1 1

.

Determinar los subespacios N(A), Fi(A)y Co(A).

Soluci´on

Es conveniente trabajar con matrices de rango menor. Es decir, si nos dan una matrizApodemos escalo-narla y obtener una matrizBequivalente a la matrizApero a lo mejor con una cantidad menor de filas. En este caso no es necesario pues rg(A) =2 y no es posible encontrar una matriz equivalente a la matriz

Ade menor rango.

Para hallar el espacio nulo N(A)debemos buscar el conjunto soluci´on del sistema

2 1 −2

−1 1 2



 x y z



=

0 0

.

Entonces escalonamos la matriz

2 1 −2

−1 1 2

→

2 1 −2

0 3 2

1.2 Subespacios generados 13

Luego, 3y=2z=0, de donde obtenemosy=−2

3z. Luegox=− 1

2y+2z= 1

3z+2z= 7

2z. Entonces

(x,y,z) =

7 2z,−

2 3z,z

=z

7 2,−

2 3,1

.

Por lo tanto el espacio nulo deAes la recta siguiente

N(A) =

7 2,−

2 3,1

.

Ahora buscamos el espacio fila. Los vectores fila son(2,1,−2)y(−1,1,1). Entonces

Fi(A) =h(2,1,−2),(−1,1,1)i

=(x,y,z)∈_R3_{:(x,y,z) =}

α(2,1,−2) +β(−1,1,1) .

Luego Fi(A)corresponde a un plano deR3.

Ahora el espacio columna es un subespacio deR2pues

Co(A) = 2 −1 , 1 1 , −2 1

Entonces un vector

b1

b2

∈Co(A)si y s´olo si existenx,y,z∈Rtal que

b1 b2 =x 2 −1 +y 1 1 +z −2 1 =

2 1 −2

−1 1 1

  x y z  . Ejemplo 1.10

Consideremos la matrizAsiguiente:

A= 



1 3 2 −1

2 1 −1 −1

−3 1 2 3





N(A), Fi(A), y Co(A).

Soluci´on

Determinar los espacios fila y columna Fi(A) y Co(A), es inmediato. Los describimos utilizando los generadores

Fi(A) =h(1,3,2,−1),(2,1,−1,−1),(−3,1,2,3)i

Notemos que un vector   b₁ b2 b3 

∈Co(A)si y s´olo si existenx,y,z,w∈Rtal que

  b₁ b2 b3 

=x   1 2 −3 

+y   3 1 1 

+z   2 −1 2 

+w   −1 −1 3   =  

1 3 2 −1

2 1 −1 −1

−3 1 2 3

      x y z w     .

Ahora vamos a determinar el subespacio N(A)⊆_R4_{. Como}

N(A) =       

(x,y,z,w)∈_R4:





1 3 2 −1

2 1 −1 −1

−3 1 2 3

      x y z w     =   0 0 0         

Para hallar un conjunto generador de N(A) vamos a escalonar la matrizAya que la matriz que se en-cuentre ser´a m´as sencilla de manipular y el conjunto de soluciones es el mismo:





1 3 2 −1

2 1 −1 −1

−3 1 2 3



∼ 



1 3 2 −1

0 −5 −5 1

−3 1 2 3









1 3 2 −1

0 −5 −5 1

0 10 8 0



∼ 



1 3 2 −1

0 −5 −5 1

0 0 −2 2





Entonces, obtenemos la soluci´on general en forma param´etrica

      

x =5₇t y =−4₅t z =t w =t

Luego los vectores de N(A)tienen la forma

(x,y,z,w) =t(5 7,−

4 5,1,1),

es decir,

N(A) =

5 7,−

4 5,1,1

.

Dada una matrizA∈_Rm×n_{, podemos considerar la matriz traspuestaA}t_∈

Rn×m. Es sencillo comprobar que

Fi(A) =Co(At)y Co(A) =Fi(At).

De igual forma que definimos el subespacio nulo N(A)asociado a la matrizA, podemos considerar el subespacio nulo de la matriz traspuesta

N(At) = n

~x∈_Rm:At~x=~0

1.2 Subespacios generados 15

De esta forma, para cada matrizA, tenemos cuatro subespacios asociados

N(A),Fi(A),Co(A)y N(At).

M´as adelante estudiaremos las relaciones entre estos cuatro subespacios.

1.2.2. Ecuaciones param ´etricas e impl´ıcitas de un subespacio

En el apartado anterior hemos visto que toda matrizAtiene asociado cuatro subespacios vectoriales. Aho-ra veremos que cualquier subespacio tiene esencialmente dos formas de representarlo. Una es por medio de ecuaciones param´etricas y la otra es por medio de ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas. En el primer caso, la representaci´on param´etrica, es esencialmente determinar una matrizAtal queS=Co(A). El segundo caso es equivalente a determinar una matrizBtal queS=N(B).

Ecuaciones impl´ıcitas

Sabemos que cualquier matrizA∈_Rm×n _{determina un sistema homog´eneoA~x=~0. Ahora enunciaremos}

que cualquier subespacio vectorial deRnes de esta forma.

Teorema 1.1

Todo subespacio vectorial S de Rn de dimensi´onk es el conjunto de soluciones de un sistema lineal homog´eneo, es decir, existe una matrizA∈Rm×ntal que

S=N(A).

A un sistema de ecuaciones homog´eneoA~x=~0 cuyas soluciones determinan un subespacio se le denomina

sistema de ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas de ese subespacio.

Como todo subespacioSdeRnes finitamente generado, entonces debe existir un conjunto finito de vectores

v₁, . . . ,vktal que

S=hv₁, . . . ,vki.

Si consideramos la matrizAcuyas columnas son los vectoresv1, . . . ,vk entonces

S=Co(A)

Por lo tanto, cada vector v de S es combinaci´on lineal de los vectores v1, . . . ,vk, es decir existen escalares λ1, . . . ,λntales que

v=λ1v1+· · ·+λkvk.

Si igualamos componente a componente en la anterior identidad obtenemos la representaci´onparam´etricade

S.

Resumiendo la discusi´on anterior.

Un subespacioSest´a dado en forma param´etrica si existe un conjunto de vectoresv1, . . . ,vntal que

S=hv₁, . . . ,vni=Co(A),

donde las columnas deAson los vectoresv1, . . . ,vn.

Ejemplo 1.1

Determinar las ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas del subespacio

S=hv₁,v₂,v₃i,

Soluci´on

Comov= (x,y,z,w)∈Ssii

(x,y,z,w) =αv1+βv2+δv3

=α(1,1,1,1) +β(−3,2,0,1) +δ(−2,3,1,2)

para algunos escalaresα,β,yδsii el siguiente sistema tiene soluci´on

(Par)       

x = α−3β−2δ

y = α+2β+3δ

z = α+δ

w = α+β+2δ

sii el sistema



  

1 −3 −2

1 2 3

1 0 1

1 1 2



  

| {z }

A   α β δ  =   x y z  

| {z } b

tiene soluci´on sii

rg(A) =rg(A|b).

Llegado a este punto tenemos queSest´a est´a representado param´etricamente por las ecuaciones (Par), o si queremos podemos decir que las columnas de la matriz

A= 

  

1 −3 −2

1 2 3

1 0 1

1 1 2



  

generan aS, es decir

S=Co(A)

Para determinar las ecuaciones impl´ıcitas debemos escalonar la matriz ampliada del sistema anterior y estudiar su rango. Al escalonar la matriz obtendremos las ecuaciones impl´ıcitas del subespacio. Es decir,



  

1 −3 −2 | x

1 2 3 | y

1 0 1 | z

1 1 2 | w

    →     

1 −3 −2 x

0 5 5 y−x

0 0 0 −2x−₅3y+5z 0 0 0 −x−4₅y+5w



   

Por lo tanto

rg(A) =rg(B|b)⇔S=

−2x−3y+5z =0

−x−4y+5w =0

Luego las ecuaciones implicitas o cartesianas deSson

S=

−2x−3y+5z =0

−x−4y+5w =0

Este sistema homog´eneo lo podemos escribir en forma matricial

−2 −3 5 0

−1 −4 0 1

| {z }

B     x y z w     = 0 0 , es decir

S=N(B).

1.2 Subespacios generados 17

Ejemplo 1.2

Determinar ecuaciones param´etricas del siguiente subespacio deR4

S=

(x,y,z,w)∈R4:x−2y+3z−w=0,x+y−z+2w=0 .

Soluci´on

En este caso nos dan las ecuaciones impl´ıcitas deSpues

S:

(

x−2y+3z−w =0

x+y−z+2w =0 ⇔

1 −2 3 −1

1 1 −1 2

| {z }

A     x y z w     = 0 0 . Luego

S=N(A).

Ahora queremos hallar la representaci´on param´etrica. para lo cual deberemos hallar un conjunto de generadores deS. Tenemos dos ecuaciones con 4 incognitas. Entonces dos variables quedar´an en funci´on de otras dos. Por ejemplo,

x−2y+3z−w=0⇒x=2y−3z+w

Sustituyendo en la segunda ecuaci´on

2y−3z+w+y−z+2w=0

3y−4z+3w=0

Luegoy=4₃z−w. Como

x=2y−3z+w=2

4 3z−w

−3z+w=−1

3z−w.

Llamandoz=λ1yw=λ2, las ecuaciones param´etricas son

          

x =−1 3λ1−λ2

y =4₃λ1−λ2

z =λ1

w =λ2

Podemos buscar los generadores del espacio

(x,y,z,w) =

−1

3λ1−λ2, 4

3λ1−λ2,λ1,λ2

=λ1

1 3,

4 3,1,0

+λ2(−1,−1,0,1).

Si consideramos la matrizBcuyas columnas son los vectores que generan aS, es decir,

B=     1 3 −1 4 3 −1

1 0 0 1     , entonces S= 1 3, 4 3,1,0

,(−1,−1,0,1)

Ejemplo 1.3

Dado el subespacioSgenerado por los vectores(1,−1,0),(0,2,1), determinar matrices adecuadasA,B

yCtales que

S=Co(A) =Fi(B) =N(C).

Soluci´on

Como nos dan los vectores que generan al espacio, entonces nos dan las ecuaciones param´etrica, pues el subespacio corresponde al siguiente plano deR3

(x,y,z) =α(1,−1,0) +β(0,2,1),

Luego podemos considerar la matriz formada cuyas columnas son los vectores que generan aS. Es decir, consideramos la matriz

A= 



1 0

−1 2

0 1





y por lo tanto

S=Co(A).

El subespacioSse puede considerar como el subespacio fila Fi(B)de la matriz

B=At =

1 −1 0

0 2 1

.

Ahora queremos hallar las ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas que definen al subespacio. Entonces de-bemos hallar una matrizCtal queS=N(C).

Si queremos encontrar la ecuaci´on cartesiana tomamos la ecuaci´on (x,y,z) =α(1,−1,0) +β(0,2,1), igualamos componente a componente y obtenemos la param´etrica

x=α

y=−α+2β

z=β.

Escalonando el sistema ampliado





1 0 | x

−1 2 | y

0 1 | z



→ 



1 0 | x

0 2 | x+y

0 1 | z



→ 



1 0 | x

0 2 | x+y

0 0 | x+y−2z 



El sistema es compatible cuando

x+y−2z=0.

Por lo tanto

S=(x,y,z)∈_R3_{:x+y−2z=0 .}

Podemos escribir a la ecuaci´on

x+y−2z= (1,1,−2) 

 x y z



=0.

Por lo tanto si consideramos la matriz filaC= (1,1,−2)tenemos que

1.3 Independencia lineal 19

1.3. Independencia lineal

En esta secci´on vamos a estudiar el concepto de independencia lineal. En general dos vectores son depen-dientes si uno se puede obtener a partir del otro. Por ejemplo, los vectores v= (1,−3) yu= (−2,6) deR2 est´an conectados por medio de la siguiente identidad

u= (−2) (1,−3) =−2v,

o lo que es igual

u+2v= (0,0).

La ´ultima identidad indica que el vector nulo~0= (0,0)es una combinaci´on lineal de los vectoresuyv. En este caso decimos que los vectoresuyvsonlinealmente dependientes.

Si no hubiese sido posible formar una combinaci´on lineal donde algunos de los escalares sea distinto de ce-ro, entonces dir´ıamos que los vectoresuyvson linealmente independientes. Este el caso cuando consideramos los vectores

u= (1,−2)yv= (2,3).

Buscamos escalaresc1yc2tales que

c₁(1,−2) +c₂(2,3) = (0,0).

Es decir

c1+2c2=0 y −2c1+3c2=0,

y en consecuencia

c1=c2=0.

Luego no hay forma de hacer una combinaci´on lineal de los vectoresuyvcon escalares distintos de cero. Ahora presentamos una definici´on general para cualquier espacio vectorial.

Definici ´on 1.1

SeaV un espacio vectorial.

Diremos que un conjunto de vectores{v₁, . . . ,vk}es linealmenteindependientesi

c1v1+· · ·+ckvk=~0 implica quec1=. . .=ck=0.

En otras palabras, la ´unica forma de expresar al vector nulo 0 como una combinaci´on lineal dev

es la combinaci´on trivial 0v₁+· · ·+0vk=~0.

Diremos que el conjunto es linealmentedependientesi no es linealmente independiente. Es decir, existe alguna combinaci´on lineal

c₁v₁+· · ·+ckvk=0 donde alg´uncies distinto de cero.

Ejemplo 1.4

Estudiar si el conjunto de vectores

B={(1,1,−2),(1,−1,2),(3,1,4)}.

es linealmente independiente.

Primero formamos la ecuaci´on vectorial

c₁(1,1,−2) +c₂(1,−1,2) +c₃(3,1,4) = (0,0,0).

Debemos comprobar que la ´unica soluci´on es la trivialc1=c2=c3=0. La ecuaci´on anterior nos induce el siguiente sistema de ecuaciones:

 



c1 + 2c2 + 3c3 = 0

c₁ − c₂ + c₃ = 0

−2c1 + 2c2 + 4c3 = 0

Este sistema lo podemos escribir en notaci´on matricial





1 1 3

1 −1 1

−2 2 4





| {z }

A



 c1

c2

c₃ 

= 



0 0 0





Las columnas de la matrizAson los vectores de la base escritos como vectores columna. Escalonamos la matrizA





1 1 3

1 −1 1

−2 2 4



∼ 



1 0 0

0 1 0

0 0 1



.

Llegamos al sistema equivalente

 



c1 + 0 + 0 = 0

c₂ + 0 = 0

c3 = 0

Es decir,c1=c2=c3=0. Por lo tanto la ´unica soluci´on es la trivial y podemos concluir que el conjunto de vectores es linealmente independiente.

Como es un sistema homog´eneo de 3×3 , entonces un m´etodo alternativo es estudiar si el determinante de la matrizAes nulo o no. En este caso

det

1 1 3

1 −1 1

−2 2 4

=−4−2+6−6−2−4=−12.

Como el determinante detA6=0, entonces el sistema tiene una ´unica soluci´on y que es obviamente la trivial. Por lo tantoc1=c2=c3=0.

N Motivados por el Ejemplo1.3 en Rn podemos conocer en forma muy sencilla si un conjunto den vectores es linealmente independiente. Para ellos podemos utilizar los conocimientos sobre soluci´on de sistemas homog´eneos de tama˜non.

Consideremos un conjunto denvectores{v1, . . . ,vn}y la matrizAcuyas columnas son los vectores

v₁, . . . ,vn

A= (v1· · ·vk),

Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. El conjunto{v1, . . . ,vn}es linealmente independiente.

1.3 Independencia lineal 21

3. rg(A) =n.

4. detA6=0.

Ahora damos un criterio de independencia lineal.

Lema 1.1 SeaV un espacio vectorial. Un conjunto {v1, . . . ,vk} es linealmente independiente si y s´olo si todo vectorv tal quev∈ hv₁, . . . ,vki tiene una ´unica forma de representarlo como combinaci´on lineal de {v₁, . . . ,vk}, salvo el orden de los vectores.

Es importante interpretar geom´etricamente que significa que un conjunto de vectores sea linealmente inde-pendiente o deinde-pendiente enR3.

1. EnR2oR3,sabemos que dos vectoresv1yv2son linealmente dependientes, si uno es m´ultiplo de otro. En el caso de considerar vectores que tienen su origen en el origen podemos afirmar que

v1yv2son LD sii uno es m´ultiplo del otro sii est´an sobre la misma recta.

2. EnR3

v1,v2,v3son LD sii est´an sobre el mismo plano (coplanares) .

Ejemplo 1.5

Supongamos que {u,v,w} es un conjunto de vectores de Rn linealmente independiente. Probar que

{u+2v,v−w,u+3w}es linealmente independiente.

Soluci´on

Supongamos que

(u+2v)c1+ (v−w)c2+ (u+3w)c3=~0.

Debemos probar quec1=c2=c3=0.

Aplicando distributiva en la igualdad anterior obtenemos

uc1+2vc1+c2v−wc2+c3u+3wc3=~0

Luego

u(c1+c3) +v(2c1+c2) +w(−c2+3c3) =~0

Como el conjunto{u,v,w}es linealmente independiente entonces

c1+c3=0

2c1+c2=0

−c₂+3c3=0

1.4. Bases y dimensi ´on de un espacio

El objetivo de esta secci´on es estudiar conjuntos de vectores que son linealmente independientes y que generan a todo el espacio. Comenzamos analizando el ejemplo m´as sencillo del espacioR2.

Ejemplo 1.6

Consideremos el espacioR2y los vectores

e₁= (1,0)ye₂= (0,1).

1. Es inmediato comprobar que el conjunto{e₁,e2}es linealmente independiente.

2. Adem´as todo vector deR2es combinaci´on lineal dee1ye2, pues siv= (x,y)∈R2entonces

(x,y) =x(1,0) +y(0,1).

Pero estos vectores no son los ´unicos que generan los vectores deR2. Por ejemplo, se puede comprobar que el siguiente conjunto de vectores genera aR2:

B={(1,2),(−2,3)}

Las dos caracter´ısticas de los vectores dados en el ejemplo anterior: independencia lineal y que generan a todo el espacio motiva la noci´on de base de un espacio vectorial.

Definici ´on 1.2 Base de un espacio vectorial

SeaV un espacio vectorial. UnabasedeV es un conjunto finito de vectores{v₁, . . . ,vn}deV tal que:

1. {v₁, . . . ,vn}es un conjunto linealmente independiente.

2. {v₁, . . . ,vn}genera aV, es decir,V =hv1, . . . ,vni.

En Rn tenemos una base muy sencilla para trabajar, llamada la base estandar o can´onica. La base est´a formada por el conjunto de vectores

e₁ = (1,0, . . .0) e2 = (0,1, . . .0)

en = (0,0, . . .1)

Es claro que este conjunto de vectores es linealmente independiente y todo vector de Rn se escribe como combinaci´on lineal de estos vectores. Existen otras bases enRndistintas a la estandar.

Teorema 1.2

SiB={v₁, . . . ,vn}es una base para un espacio vectorialV, entonces todo conjunto con m´as denvectores es linealmente dependiente.

Es decir, para comprobar que un conjunto denvectoresB={v₁, . . . ,vn}es una base del espacioRn ´unica-mente ser´a necesario comprobar queBes un conjunto linealmente independiente.

Ejemplo 1.1

Estudiar si el siguiente conjunto de vectores deR3es una base.

1.4 Bases y dimensi´on de un espacio 23

Soluci´on

Debemos probar queBes un conjunto de vectores linealmente independiente y que todo vector deR3es combinaci´on lineal de los vectores deB. Primero probamos que es linealmente independiente. Como

det

1 2 0

1 1 1

0 1 1

=1−2−1=26=0

Luego el conjuntoB es linealmente independiente. La otra forma de probar la independencia lineal es plantear la ecuaci´on

α(1,1,0) +β(2,1,1) +γ(0,1,1) = (0,0,0)

y probar que la ´unica soluci´on esα=β=γ=0.

Ahora debemos comprobar que cualquier vectorv= (x,y,z)∈_R3_{es combinaci´on lineal de los vectores} de la base. Es decir, debemos determinar escalaresα,βyγtales que

(x,y,z) =α(1,1,0) +β(2,1,1) +γ(0,1,1).

De la ecuaci´on obtenemos

α+2β=x

α+β+γ=y

β+γ=z

y resolviendo este sistema llegamos a los siguientes valores de los escalares α,βy γen funci´on de las coordenadasx,yyzdel vectorv

α=y−z,

β=1

2(x−y+z),

γ=−1 2x+

1 2y+

1 2z.

Entonces cualquier vector deR3se puede poner en combinaci´on lineal de los vectores de la baseB. Por ejemplo, para el vectorv= (2,−2,3)tenemos queα=−5,β=1₂(2+2+3) =7₂yγ=−1−1+3₂=

−1

2. Luego

(2,−2,3) = (−5) (1,1,0) +7

2(2,1,1) + (− 1

2) (0,1,1).

Lema 1.1 SeanB1 y B2 dos bases de un subespacio vectorial deRn. EntoncesB1 yB2 tienen la misma cantidad de vectores.

De acuerdo al Lema anterior, cuando tenemos un espacio vectorial generado por una base finita de vectores linealmente independiente, cualquier otra conjunto de generadores linealmente independiente deber´a tener la misma cantidad de elementos y en consecuencia ser una base. Es decir,

Si un espacioV est´a generado por un conjunto finito de vectores, entonces todas las bases tienen la misma cantidad de vectores.

Lo anterior permite dar la siguiente definici´on.

Definici ´on 1.1 Dimensi ´on de un espacio

SeaSun subespacio vectorial deRn.

SiB={v₁, . . . ,vn}es una base de un espacio vectorialV, entonces la dimensi´onndeV ser´a indicada como

dimV =n.

Por convenci´on la dimensi´on del espacio trivialV =n~0oes cero, es decir dimn~0o=0.

Ejemplo 1.2

Observemos que

dimR2=2 pues R2=h(1,0),(0,1)i

dimR3=3 pues R3=h(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)i.

De igual forma

dimRn=npuesRn=hei: 1≤i≤ni

dondeeies el vector cuya coordenadas son cero, excepto en el lugarique es igual a 1.

Lema 1.2 Supongamos queSyGson dos subespacios de un espacio vectorialV tal que

S⊆Gy dimS=dimG.

Entonces

S=G

.

Ejemplo 1.3

Analizar enR3los posibles subespacios generados por uno, dos y tres vectores linealmente independien-tes.

Soluci´on

EnR3sabemos que los ´unicos posibles subespacios, adem´as de los triviales, son las rectas que pasan por el origen y los planos que pasan por el origen.

Si el subespacio es una recta, entonces est´a generado por un solo vectoru= (u1,u2,u3). Oviamente el conjunto formado por un ´unico vector es linealmente independiente. Por lo tanto toda recta tiene una base de un vector, el vector director de la recta ( o cualquier otro m´ultiplo de ´el). El subespacio que genera es

L=hvi=

(x,y,z)∈R3:(x,y,z) =λv,α∈R .

Luego

dimL=1.

Si tenemos un planoS, entonces sabemos que est´a generado por dos vectores linealmente indendientes

{w,u}. Es decir, entonces e l subespacio que genera es

S=hu,vi=(x,y,z)∈R3:(x,y,z) =αu+βv,α,β∈R .

Entonces

dimS=2.

Si tenemos un conjunto de tres vectores linealmente v,u,w independientes en R3 entonces cualquier vector deR3est´a en el subespaciohv,u,wi. Por lo tanto

1.4 Bases y dimensi´on de un espacio 25

Ejemplo 1.4

Determinar una base para el subespacio generado por los siguientes vectores

v1= (1,−2,1),v2= (0,1,3),(−1,1,3),yv4= (1,0,−1).

Como tenemos 4 vectores deR3, por la propiedad (3) del Lema1.4, el conjunto{v1,v2,v3,v4}es lineal-mente dependiente. Veamos cual es el subespacio deR3que genera este conjunto. Primero formamos la ecuaci´on vectorial

c1v1+c2v2+c3v3+c4vv=~0.

Es decir

c1(1,−2,1) +c2(0,1,3) +c3(−1,1,3) +c4(1,0,−1) = (0,0,0).

Igualando las componentes correspondientes obtenemos el siguiente sistema homog´eneo:

 



c₁−c₃+c₄ = 0

−2c1+c2+c3 = 0

c1+3c2+3c3−c4 = 0

Formamos la matriz del sistema

A= 

  

1 −2 1

0 1 3

−1 3 0

1 0 −1



  

y determinamos una forma escalonada por filas



  

1 −2 1

0 1 3

−1 3 0

1 0 −1



  

[

F1−F4→F4]F1+F3→F3



  

1 −2 1

0 1 3

0 1 1

0 −2 2



   [

2F1+F4→F4]F2−F3→F3



  

1 −2 1

0 1 3

0 0 2

0 0 4



  

→ 

  

1 −2 1

0 1 3

0 0 2

0 0 0



  

Los pivotes aparecen en las primeras tres filas. Por lo tanto los vectoresv₁,v₂yv₃forman una base para el subespaciohv₁,v2,v3,v4i. En consecuencia, como dimR3=3, entonces

R3=hv1,v2,v3,v4i=hv1,v2,v3i

y{v₁,v₂,v₃}es una base.

En el siguiente lema recopilamos las propiedades m´as importantes sobre base y la dimensi´on de un espacio vectorial.

Lema 1.3 SeaV un espacio de dimensi´onn. Es decir, existe una base deV connvectores. Entonces

1. Todo conjunto denvectores linealmente indpendientes deV es una base deV.

2. Todo conjunto denvectores que genere aV es una base deV.

3. Todo conjunto de m´as denvectores deV es linealmente dependiente.

Teorema 1.3 Extensi ´on a una base

Sea{v1, . . . ,vk}un conjunto propio de vectores linealmente independientes de un espacioVde dimensi´on n, conk<n. Entonces existen vectoresvk+1, . . . ,vntal que

B={v1, . . . ,vk,vk+1, . . . ,vn}

es una base deV.

Ejemplo 1.1

Dado el espacio vectorialR3y los vectores linealmente independientev1= (1,0,1)yv2= (0,1,1). De-terminar un vectorv3tal queB={v1,v2,v3}sea una base deR3. Si es posible, determinar una condici´on general que permita hallar el vectorv3.

Soluci´on

Como el conjunto{v₁,v2}es un conjunto de vectores linealmente independiente, por la propiedad (4) del Lema1.4, se puede extender este conjunto a una base deR3. Un posible vectorv3puede serv3= (0,0,2). Es sencillo comprobar que el rango de la matriz





1 0 1

0 1 1

0 0 2





es 3. Por lo tantoB={v₁,v2,v3}es una base deR3.

Veamos como podemos determinar una condici´on general que permita determinar los posibles vectores

v₃= (x,y,z)tal queB={v₁,v₂,v₃}es una base deR3. Como{v1,v2,v3}debe ser un conjunto linealmente independiente, entonces se debe cumplir que

rg





1 0 1

0 1 1

x y z



=3.

Entonces debemos escalonar la matriz para obtener una matriz reducida pero donde todos nuestros vec-tores filas sean distintos de cero. Es decir





1 0 1

0 1 1

x y z



→ 



1 0 1

0 1 1

0 −y x−z 

→ 



1 0 1

0 1 1

0 0 y+x−z 



Entonces para que la ´ultima matriz tenga rango 3 se debe cumplir que

y+x−z6=0,

es decir,y+x6=z. Por ejemplo seleccionandox=y=2 yz=5 obtenemos un vectorv₃= (2,2,5)tal que{v₁,v2,v3}es un conjunto linealmente independiente y por lo tanto una base deR3.

Otra forma de analizar este problema es determinar un tercer vector v3 que no sea coplanar con los vectoresv₁yv₂. Un vector que cumpla tal condici´on es el vector que corresponde al producto vectorial de los vectores(1,0,1)y(0,1,1)

(1,0,1)×(0,1,1) =

ˇ

i jˇ kˇ

1 0 1

0 1 1

=kˇ−_iˇ−_jˇ_{= (}−1,−1,1).

Luego

{(1,0,1),(0,1,1),(−1,−1,1)}

1.4 Bases y dimensi´on de un espacio 27

Base del espacio columna

Ahora queremos saber como hallar una base para el espacio fila y una base para el espacio columna de una matrizA.

Teorema 1.4

SeaA∈_Rm×m_{. SeaBuna matriz escalonada por filas deA. Entonces}

1. Las filas distintas de la fila nula deBforman una base de Fi(A).

2. Las columnas deAcorrespondiente a las columnas pivote deBforman una base de Co(A).

Lema 1.1 Rango de una matrizSeaAuna matrizm×n. Entonces

rg(A) =dimFi(A) =dimCo(A).

Ejemplo 1.1

Dada la matriz

A= 



1 2 −1 1

2 4 −3 0

1 2 1 5



,

determinar el espacio nulo, el espacio fila y el espacio columna.

Soluci´on

Escalonamos





1 2 −1 1

0 0 1 2

0 0 −2 −4



→ 



1 2 −1 1

0 0 1 2

0 0 0 0



=E.

Entonces

Fi(A) =Fi(E) =h(1,2,−1,1),(0,0,1,2)i.

Seg´un la matrizE, los vectores columnas que son linealmente independientes corresponden a las colum-nas donde se ubican los pivotes. En este caso la primer y tercer columna. Tomando la primer y tercer columa de la matrizAobtenemos el siguiente subespacio

Co(A) =h(1,2,1),(−1,−3,1)i.

Si queremos obtener una ecuaci´on del plano que corresponda a Co(A), podemos plantear la ecuaci´on como

(x,y,z) =α(1,2,1) +β(−1,−3,1).

Entonces obtenemos un sistema

x=α−β

y=2α−3β

z=α+β

Resolviendo obtenemos la ecuaci´on

5x−2y−z=0.

Por lo tanto el subespacio Co(A)queda definido como

Hallemos el espacio nulo N(A).El espacio nulo es el conjunto de soluciones del sistema homog´eneo

A~x=~0.Al escalonar la matrizAobtuvimos la matrizE y en consecuencia llegamos a las ecuaciones

x+2y−z+t=0

z+2t=0

y por lo tanto tenemos que

N(A) =(x,y,z,t)∈R4:x+2y−z+t=0,z+2t=0 .

Obtengamos conjunto de generadores. Comoz=−2tentoncesx=−2y+z−t=−2y−2t−t=−2y−3t. Finalmente,

(x,y,z,t) = (−2y−3t,y,−2t,t) =y(−2,1,0,0) +t(−3,0,−2,1),

es decir

N(A) =h(−2,1,0,0),(−3,0,−2,1)i.

N Observemos en el ejemplo anterior que tomando la primer y tercer columa de la matrizEobtenemos el siguiente subespacio

Co(E) =h(1,0,0),(−1,1,0)i=(x,y,z)∈_R3:z=0 .

Claramente los dos subespacios Co(A)y Co(E)son diferentes, aunque la dimensi´on es la misma.

1.5. Intersecci ´on y suma de subespacios

Ya sabemos que con cualquier conjunto de vectores de un espacio vectorial podemos general un subespacio realizando todas las posibles combinaciones lineales. Ahora veremos otras formas de generar subespacios a partir de subespacios conocidos. El primer ejemplo de esto es la intersecci´on de subespacios.

Proposici ´on 1.1 Intersecci ´on de subespacios

Sean S₁ y S₂ dos subespacios de un espacio vectorialV. Entonces la intersecci´on de los subespacios

S1 yS2, es el conjunto de vectores del espacio vectorialV que pertenecen simultaneamente a los dos subespacios. En s´ımbolos

S₁∩S₂={~x∈V :~x∈S₁y~x∈S₂}

S₁ S₂

1.5 Intersecci´on y suma de subespacios 29

Teorema 1.5

SeanS1yS2dos subespacios de un espacio vectorialV. SiA~x=0 es un sistema de ecuaciones deS1y

B~x=~0 sistema de ecuaciones deS2, entonces,

( A~x=~0

B~x=~0

es un sistema de ecuaciones deS1∩S2.

Ejemplo 1.1

Consideremos los subespacios vectoriales

S1=

(x,y,z)∈R3:x+2y−z=0

y

S₂=(x,y,z)∈_R3:−x−y+3z=0 .

DeterminarS₁∩S₂.

Soluci´on

Debemos determinar los vectoresv= (x,y,z)∈_R3_{que pertenezcan simultaneamente a los dos} subespa-cios. Para ello debemos resolver el sistema de dos ecuaciones

(

x+2y−z=0

−x−y+3z=0

Resolviendo por Gauss-Jordan

1 2 −1

−1 −1 3

F1+F2

−→

1 2 −1

0 1 2

2F2−F2 −→

−1 0 5

0 1 2

Por lo tanto nos queda el sistema equivalente

(

−x+5z=0

y+2z=0

De donde

( x=5z

y=−2z

Tomando azcomo par´ametro, obtenemos que los puntos de la intersecci´on son de la forma

(x,y,z) = (5t,−2t,t) =t(5,−2,1).

Es decir la intersecci´on es la recta

S1∩S2=

(x,y,z)∈_R3_{:(x,y,z) =t(5,−2,1) .}

Una base del espacioS1∩S2es{(5,−2,1)}.

Otra forma

n=v1×v2=

ˇ

i jˇ kˇ

1 2 −1

−1 −1 3

=5ˇi−2 ˇj+kˇ.

Luego

n= (5,−2,1)

es el vector director de la recta intersecci´on de los planosS₁yS₂. Este es el mismo vector que encontra-mos anteriormente.

.

Ahora vamos a definir la suma de subespacios.

Definici ´on 1.1

ConsideremosS1yS2dos subespacios de un espacio vectorialV. Definimos lasumadeS1conS2como el conjunto

S1+S2={w∈V:w=u+v, para alg´unu∈S1yv∈S2}.

Notemos que siempreS1∪S2⊆S1+S2, pues cualquier vector se puede escribir como

v=v+0=0+v

y~0∈S1∩S2.

Lema 1.1 DadosS1yS2dos subespacios de un espacio vectorialV, entoncesS1+S2es un subespacio de

V.

Si conocemos un conjunto de generadores para cada espacio, entonces podemos formar un conjunto de generadores para el espacio suma. Es decir, si

S1=hB1i yS2=hB2i,

entonces la uni´on de los conjuntos generadores es un conjunto generador de la suma, es decir:

S1+S2=hB1∪B2i.

Ejemplo 1.2

Determinar la suma de los subespacio siguientes y una base de la suma

S₁=h(1,0,1),(2,1,2)i yS₂=h(1,−1,0),(1,3,2)i.

Soluci´on

Sabemos que

S₁+S₂=h(1,0,1),(2,1,2),(1,−1,0),(1,3,2)i.

1.5 Intersecci´on y suma de subespacios 31

diagonalizamos.

A= 

  

1 0 1

2 1 2

1 −1 0

1 3 2



  

2F1−F2 −−−−−−−→

F1−F3,F1−F4 

  

1 0 1

0 −1 0

0 1 1

0 −3 −1



  

→ 

  

1 0 1

0 −1 0

0 0 1

0 0 1



  

→ 

  

1 0 1

0 −1 0

0 0 1

0 0 0



  

Luego el rango de la matriz es 3, por lo tanto una base del espacio es(1,0,1),(2,1,2),(1,−1,0). Enton-ces

S₁+S₂=h(1,0,1),(2,1,2),(1,−1,0)i.

.

Definici ´on 1.2 Suma directa

Diremos que la suma de los subespaciosS₁yS₂esdirectasi y s´olo si la intersecci´on de los subespacios es el vector nulo. Es decir,

S1+S2es directa siiS∩S2={~0}.

.

Para indicar que la suma es directa escribimos

S₁⊕S₂.

N Cuando la suma de dos subespacios S1 yS2 es directa, cualquier vectorv∈S1⊕S2 se expresa en forma´unicacomo la suma de un vector deS1m´as un vector deS2.

Para justificar esta afirmaci´on, supongamos que un vectorv∈S1⊕S2 tiene dos formas de escribirlo como suma de vectores deS1yS2. Entonces existen~x1, ~x1∈S1y~y1, ~y2∈S2tales que

~v=~x1+~y1=~x2+~y2.

Es decir,

~

x1+~y1=~x2+~y2,

y por lo tanto

~

x1−~x2=~y2−~y1∈S1∩S2=

n ~₀o_.

Luego,

~

x1−~x2=~y2−~y1=~0.

Entonces~x1=~x2y~y2=~y1. Por lo tanto la representaci´on es ´unica.

Ejemplo 1.3

Sean los subespacios

S1=

(x,y,z)∈_R3_:−2x=y=2z

y

S2=

(x,y,z)∈R3:y=3x,z=−2x .

DeterminarS1+S2y analizar si la suma es directa.

Primero podemos ver como son los vectores del subespacioS1+S2. Notemos que los vectores deS1son de la forma(x,y,z) = (x,−2x,−x) =x(1,−2,−1). Es decir,(x,y,z) =α(1,−2,−1). Los vectores deS2 son de la forma(x,y,z) =β(1,3,−2). Entonces los subespacios corresponden a rectas que pasan por el orrigen de coordenadas. Si tomamos un vector gen´erico(x,y,z)∈S1+S2entonces existeu∈S1yv∈S2 tal que

(x,y,z) =u+v=α(1,−2,−1) +β(1,3,−2).

Eso nos da las ecuaciones param´etricas de un plano. Es claro que{(1,−2,−1),(1,3,−2)}es una base deS1+S2, es decir,

S1+S2=h(1,−2,−1),(1,3,−2)i.

Si queremos las ecuaciones cartesianas del plano escalonamos las matriz ampliada





1 1 | x

−2 3 | y −1 −2 | z



→ 



1 1 | x

0 5 | 2x+y

0 −1 | x+z 

→ 



1 1 | x

0 5 | 2x+y

0 0 | 7x+y+5z 



De esta manera obtenemos la ecuaci´on cartesiana del subespacio suma

S₁+S₂=(x,y,z)∈_R3_{: 7x+y+5z .}

Finalmente debemos estudiar si la suma es directa o no. es decir, debemos determinar la intersecci´on

S1∩S2. Sea(x,y,z)∈S1∩S2. DLuego obtenemos el sistema

 



−2x=y=2z y=3z z=−2x

Dey=2ze y=3z, obtenemosz=y=0. Luegox=0. Entonces S1∩S2={(0,0,0)}, por lo tanto la suma es directa.

Vamos a finalizar esta secci´on con un resultado que permite calcular la dimensi´on de la suma de dos subes-pacios de un espacio vectorial dado.

Teorema 1.6 (de la dimensi ´on de la suma de subespacios)

SeaV un espacio vectorial de dimensi´onn. SeanS1yS2dos subespacios deV. Entonces

dim(S₁+S₂) =dimS₁+dimS₂−dim(S₁∩S₂).

SiS₁∩S₂= n

~₀o_{, entonces}

dim(S1+S2) =dimS1+dimS2.

Ejemplo 1.1

Consideremos los subespaciosS1=h(1,0,0),(0,1,1)iyS2=h(−1,1,0),(2,1,2)i.

1. DeterminarS1∩S2, una base y su dimensi´on.

2. DeterminarS₁+S₂, una base y su dimensi´on.

3. Comprobar el Teorema de la dimensi´on de la suma de subespacios.

1.5 Intersecci´on y suma de subespacios 33

1. Un vector(x,y,z)∈S1∩S2si y s´olo si existena,b,c,d∈Rtales que

(x,y,z) =a(1,0,0) +b(0,1,1) (1.1)

y

(x,y,z) =c(−1,1,0) +d(2,1,2). (1.2)

Entonces igualando

(x,y,z) =a(1,0,0) +b(0,1,1) =c(−1,1,0) +d(2,1,2),

es decir

a(1,0,0) +b(0,1,1) +c(1,−1,0) +d(−2,−1,−2) = (0,0,0).

Entonces obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:





1 0 1 −2

0 1 −1 −1

0 1 0 −2



 

  

a b c d



  

= 

  

0 0 0 0



  

Escalonamos la matriz





1 0 1 −2

0 1 −1 −1

0 1 0 2



∼ 



1 0 −1 2

0 −1 0 −1

0 0 1 3



∼ 



1 0 0 −1

0 1 0 −2

0 0 −1 1



 (1.3)

y obtenemos

   

  

a = d

b = 2d

c = d

c = d

Entonces

(a,b,c,d) = (d,2d,d,d) =d(1,2,1,1).

Podemos sustituir los valores deayben la ecuaci´on (1.1) y obtenemos

(x,y,z) =d(1,0,0) +2d(0,1,1) =d(1,2,2).

Estos puntos corresponden a una recta con vector director(1,2,2). Si sustituimos los valores decyden la ecuaci´on (1.2) obtenemos los mismos puntos. Porlo tanto

S1∩S2=

(x,y,z)∈_R3:(x,y,z) =d(1,2,2) .

Claramente el conjunto{(1,2,2)}es una base deS1∩S2y la dimensi´on es 1. 2. La suma de los subespaciosS₁yS₂est´a formada por los vectores

~x=~y+~z,~y∈S₁y~z∈S₂.

Teniendo en cuenta que conocemos bases deS1 yS2, entonces expresamos cada vector como combina-ci´on lineal de los vectores de su base, es decir

~x=α1(1,0,0) +α2(0,1,1)

| {z }

∈S1

+β1(−1,1,0) +β2(2,1,2)

| {z }

∈S2

.

Por lo tanto

Entonces

S1+S2=h(1,0,0),(0,1,1),(−1,1,0),(2,1,2)i

Por (1.3), la matriz asociada a estos vectores es de rango 3 y los vectores(1,0,0),(0,1,1)y(−1,1,0) son linealmente independientes. Por lo tanto

S1+S2=h(1,0,0),(0,1,1),(−1,1,0)i

y una base es el conjuntoB={(1,0,0),(0,1,1),(−1,1,0)}. Luego dim(S1+S2) =3. 3. Por el Teorema de la dimensi´on tenemos que

dim(S1+S2) =dimS1+dimS2−dim(S1∩S2)

=2+2−1=3.

Entonces comoS₁+S₂es un subespacio deR3de dimensi´on 3, entoncesS1+S2=R3.

1.6. Complemento ortogonal de un subespacio

Recordemos que el producto escalar o producto interno entre de Rn es un n´umero que se asocia a dos vectores Siv= (x1, . . . ,xn),w= (y1, . . . ,yn)∈Rnel producto escalar o producto punto de~xpor~yes

v·w=x1y1+· · ·+xnyn.

En algunas ocasiones el producto escalar es conveniente definirlo como un producto de matrices en la siguiente forma. Consideramos a los vectoresvewcomo matrices de tama˜no 1×n. Entonces la traspuesta del vector fila es el vector columna de tama˜non×1

vt = 

 

x1 .. .

xn 

 

Luego podemos definir al producto escalar entre~xe~ycomo el producto matricial

v·w=vtw.

Por ejemplo, siv= (2,−1,4)ew= (1,3,2), entonces

v w= 



2

−1 4



(1,3,2) =2−3+8=7.

Recordemos tambi´en la noci´on de vectores ortogonales. Dos vectoresvewson ortogonales si su producto escalar es cero

v·w=0.

Ahora introduciremos un importante concepto que en cierta forma extiende la noci´on de perpendicularidad entre dos rectas deR2.

Definici ´on 1.1 Complemento ortogonal de un subespacio

SeaSun subespacio del espacio vectorial eucl´ıdeoRn. El complementoortogonaldeSes el conjunto

S⊥={v∈_Rn

1.6 Complemento ortogonal de un subespacio 35

Teorema 1.7

SeanSyW dos subespacios deRn. Entonces

1. S⊥es un subespacio deRn.

2. S∩S⊥= n

~₀o_.

3. S= (S⊥)⊥.

4. Si{v1, . . . ,vk}es una base del subespacioS. Entonces el complemento ortogonal deSes el con-junto de los vectores ortogonales a los vectores que generan aS. Es decir:

S⊥=nw∈_Rn_{:w·vi=~0,para todo 1≤} i≤n

o

5. S⊕S⊥=Rn. Por lo tanto, dimS+dimS⊥=n.

El siguiente resultado no dice que conociendo una base paraSy una base paraS⊥, entonces conocemos una base para todo el espacio.

Corolario 1.1 SeaSun subespacio deRn. Entonces siB1es una base deS, yB2es una base deS⊥, entonces

B=B1∪B2es una base deRn.

Supongamos que tenemos un subespacioSdeRn. Entonces por el Teorema1.6siv∈Rn=S⊕S⊥ existen vectoresu∈Syw∈S⊥tales que

v=u+wyu·w=0.

En otras palabras, cualquier vectorvdeRnse puede descomponer en la suma de doc vectores, uno del subespa-cioSy otro del complemento ortogonal. Esto lo dejamos escrito en un teorema.

Teorema 1.8

de descomposici´on ortogonal SeaSun subespacio deRn. Para cada vectorv∈Rnexisten vectores ´unicos

w∈Syw⊥∈S⊥ tales que

v=w+w⊥.

Ejemplo 1.1

Consideremos enR3el subespacioSgenerado por los vectoresv1= (1,−1,2)yv2= (0,1,1).

1. Determinar una base deS⊥.

2. Descomponer al vectorw= (2,−3,1)como suma de un vector deSy otro vector deS⊥.

Soluci´on

1. Por el Teorema 1.6, el conjunto de vectores de S⊥ son los vectores ortogonales a los vectores de la base deS. Entonces

(x,y,z)∈S⊥ ⇔ (x,y,z)·(1,−1,2) = x−y+2z=0 (x,y,z)·(0,1,1) = y+z=0

⇔

1 −1 2

0 1 1

| {z }

A



 x y z





| {z }

~x =

0 0

De acuerdo a lo anterior, la soluci´on del sistemaA~x=~0 genera el subespacioS⊥. Dey=−z, obtenemos

x=y−2z=−z−2z=−3z. Entonces

S⊥=

(x,y,z)∈R3:(x,y,z) =t(−3,−1,1) =h(−3,−1,1)i.

2. Como la uni´on de las bases deScon la base deS⊥nos da una base deR3, es decir

B={(1,−1,2),(0,1,1),(−3,−1,1)}

es base deR3, entonces podemos buscar una combinaci´on lineal para el vectorw= (2,−3,1)y de esa forma tendremos la descomposici´on buscada.

Buscamos escalaresa,b,ctales que

(2,−3,1) =a(1,−1,2) +b(0,1,1)

| {z }

∈S

+c(−3,−1,1)

| {z }

∈S⊥

.

Escalonamos la matriz ampliada





1 0 −3 | 2

−1 1 −1 | −3

2 1 1 | 1



→ 



1 0 −3 | 2

0 1 −4 | −1 0 −1 −7 | 3



→ 



1 0 −3 | 2

0 1 −4 | −1

0 0 −11 | 2



19

Entoncesa=−2

11,b=− 19 11 yc=

16 11.

Ejemplo 1.2

Dado el subespacioL=h(2,−4,5)i.

1. DeterminarL⊥.

2. Comprobar que L⊥⊥=L.

3. Comprobar queL⊕L⊥=R3.

Soluci´on

1. Seav= (x,y,z)un vector. Siv∈L⊥, entonces en particular es ortogonal al vector(2,−4,5), es decir

(x,y,z) (2,−4,5) =0

2x−4y+5z=0.

Es sencillo comprobar que todo vector ubicado sobre la recta L=h(2,−4,5)i es ortogonal al plano 2x−4y+5z=0. Por lo tanto los vectores ortogonales al vector(2,−4,5)o a la rectaL=h(2,−4,5)ies el plano

L⊥=n(x,y,z)∈S⊥:(x,y,z) (2,−4,5) =0o

=n(x,y,z)∈S⊥: 2x−4y+5z=0

o .

Hallamos ahora una base deL⊥. Como 2x−4y+5z=0, entoncesx=2y−5₂z. Luego

(x,y,z) = (2y−5

1.6 Complemento ortogonal de un subespacio 37

Para simplificar podemos tomar como base los vectores(2,1,0)y(−5,0,2). Entonces

L⊥=h(2,1,0),(−5,0,2)i.

2. Nos preguntan cual es el complemento ortogonal del plano L⊥. Veamos que dicho complemento es la misma recta L generada por el vector (2,−4,5). Conociendo la base del subespacio L⊥ podemos determinar el complemento ortogonal.

Sea entonces un vector (x,y,z) ∈L⊥⊥. Dicho vector debe ser ortogonal a cada vector de la base

{(2,1,0),(−5,0,2)}reci´en encontrada. Es decir

(x,y,z).(2,1,0) = 0 (x,y,z).(−5,0,2) = 0

Esto no da el sistema

2x+y=0

−5x+2z=0

Resolviendo

y=−2x

z=5 2

Luego

(x,y,z) = (x,−2x,5

2x) =x(1,−2, 5 2).

Entonces el vector (1,−2,5₂) genera al subespacio L⊥⊥. Como todo m´ultiplo de un generador es un generador, entonces el vector(2,4,5)tambien genera aL⊥⊥. Por lo tanto

L=L⊥⊥.

De esta forma hemos comprobado que el complemento ortogonal de la rectaLes un plano, y el comple-mento ortogonal de ese plano es la recta inicial:

L −→ L⊥ −→ L⊥⊥=L

recta plano recta

2. Comprobemos que L⊕L⊥=R3.Observemos que la uni´on de la base deL con la base deL⊥⊥, es decir el conjunto

B={(2,4,5),(2,1,0),(−5,0,2)}

es un conjunto linealmente independiente de vectores, y como la dimensi´on del espacioR3es 3, entonces

Bes una base deR3. Luego

L⊕L⊥=nw∈_R3_{:w=u+v,u∈S,v∈S}⊥o

=w∈R3:w=c1(2,4,5) +c2(2,1,0) +c3(−5,0,2)

N EnR3los posibles subespacios no triviales son rectas o planos que pasan por el origen. Por lo tanto,

SiSes una recta, entonces su complemento ortogonalS⊥es un plano.

SiSes un plano, entonces su complemento ortogonalS⊥ es una recta.

1.6.1. Relaci ´on entre los cuatros espacios fundamentales

Sabemos que toda matrizA∈Rm×ntiene asociada cuatro espacios vectoriales, a saber:

N(A),Co(A),Fi(A)y N(At).

La relaci´on entre todos estos espacios se expone en el siguiente teorema.

Teorema 1.9 Fundamental de los subespacios de una matriz

SeaAuna matriz dem×n. Entonces

1. N(A) =Fi(A)⊥.

2. N(At) =Fi(At)⊥.

3. Co(A)⊥=N(At).

4. N(At)⊥=Co(A).

Las dimensiones de los espacios asociados a una matrizA∈_Rm×n_{queda establecida en el siguiente}

resul-tado.

Teorema 1.10 Teorema del rango y la nulidad

SeaA∈_Rm×n_{. Entonces}

1. dimFi(A) =dimCo(A) =rg(A).

2. rg(A) +dimN(A) =n.

3. rg(A) +dimN(At) =m.

Para finalizar, formulamos siguiente teorema como corolario de los Teoremas1.6y1.6.1.

Teorema 1.11

SeaA∈_Rm×n_{. Entonces}

Fi(A) +Fi(A)⊥=Co(At) +N(A) =Rn

y

Co(A) +Co(A)⊥=Co(A) +N(At) =Rm.

Ejemplo 1.1

Consideremos el subespacio dado por las siguientes ecuaciones

   

  

x+y+z+t =0

x+2y+z =0