Lecture 4: Simulaci´
on
Arnau D`oria-Cerezo
Institut d’Organitzaci´o i Control de Sistemes Industrials Universitat Polit`ecnica de Catalunya
Posgrado en Automatizaci´on
Modelado y Simulaci´on de Sistemas de Control
Outline
1 Simulaci´on. Conceptos b´asicos
2 Software de simulaci´on
Simulaci´
on. Conceptos b´
asicos
La simulaci´on, en nuestro caso, ser´a la resoluci´on num´erica del sistema de EDOs,
˙x = f (x) + g(x)u,
o, en el caso de los port-controlled Hamiltonian Systems
M´etodos num´ericos de integraci´
on
Esta resoluci´on se realiza mediante los m´etodos num´ericos
Los m´etodos num´ericos noresolveran el sistema de forma
expl´ıcita.
La soluci´on ser´an valores aproximados a la soluci´on expl´ıcita.
El proceso consiste en dividir el tiempo en intervalos ∆t (no
tienen porque ser iguales).
En funci´on del m´etodo var´ıa, la complejidad de resoluci´ony la
aproximaci´ona la soluci´on anal´ıtica.
Para la resoluci´on siempre ser´a necesario asignar las
M´etodos num´ericos de integraci´
on
M´etodo de Euler
M´etodo de paso fijo: ∆tn= ∆tn+1
Consiste en definir las siguientes ecuaciones, y repetir para n= 1...N , d´onde N = ∆tt
n y t es el tiempo de simulaci´on.
dxn= f (xn) xn+1 = xn+ dxn∆t Ejemplo: Resolver ˙x = x con x(0) = 1 y ∆t = 0.5.
M´etodos num´ericos de integraci´
on
El resultado obtenido ´es:Resultado: t xn dxn 0 1 1 0.5 1.5 1.5 1 2.75 2.75 1.5 4.125 4.125 2 6.1875 6.1875 2.5 9.28125 9.28125 3 13.921875 13.921875
M´etodos num´ericos de integraci´
on
Si escogemos un paso de integraci´on menor, h = 0.125, y si obtenemos la soluci´on anal´ıtica (x = et), Resultado: t xn, h = 0.5 xn, h = 0.125 x= e t 0 1 1 1 0.125 - 1.25 1.23148 0.25 - 1.26562 1.28402 0.375 - 1.42382 1.45499 0.5 1.5 1.60180 1.64872 0.625 - 1.80203 1.86824 0.750 - 2.02728 2.11700
La soluci´on obtenida tiene unerror, y este error tambi´en ´esfuncion del paso de integraci´on.
Error
Tipos de error
Error dediscretizaci´on: resulta de sustituir la soluci´on exacta del problema por la aproximaci´on.
Error deredondeo, en las operaciones aritm´eticas.
Mejora del error
El error de discretizaci´on se puede disminuir con unpaso de integraci´on menor.
Si bien entoncesaugmentan los errores de redondeo, ya que augmenta el numero de operacines.
M´etodos de paso fijo
M´etodos de paso fijo
M´etodo de Euler. M´etodo de Taylor.
M´etodos de Runge-Kutta.
M´etodos de Adams-Bashforth (multipaso).
Caracter´ısticas
∆tn= ∆tn+1.
M´etodos de paso variable
M´etodos de paso variable
M´etodos de Vode-Adams.
M´etodos de Runge-Kutta-Fehlberg. Backward Differentiation Formula (BDF).
Caracter´ısticas
∆tn6= ∆tn+1.
Principales problemas
Estabilidad
La soluci´on del m´etodo de integraci´on num´erica ´esinestable, aunque la soluci´on del sistema ´es estable.
Soluci´on: reducir el paso de integraci´on,cambiar de m´etodo
de integraci´on.
Stiffness
Problema: el modelo contiene din´amicas r´apidas ylentas.
Soluci´on: utilizarm´etodos apropiados, c´omo BDF o
Principales problemas
Sistemas DAE
DAE: Equaci´on diferencial algebr´aica, pres´encia de ecuaciones impl´ıcitas. Por ejemploCuando tenemos causalidad diferencial Soluci´on: utilizar m´etodos de integraci´on impl´ıcita.
Principales problemas
Discontinuidades
El modelo no s´olo ´es funcion del tiempo, si no tambi´en deeventos
(ejemplo: bouncing ball).
Soluci´on: utilizar m´etodos depaso variable.
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 time height
Matlab
Principales caracter´ısticas
Probablemente el programa
m´as utilizadopor los inegieros de control
Dispone de muchas librerias,
y delSimulinky el Control
20sim
Principales caracter´ısticas Permite la representaci´on de Bond Graph. Dispone de 10 algoritmos de resolucion num´erica. Programa relativamente nuevo, ysencillo, de f´acil uso.Pr´
acticas de simulaci´
on
P1 Rutinas de integraci´on de Matlab
P2 Edificio con control activo de terremotos
P3 Propagaci´on de la causalidad
P4 Modelado, simulaci´on y control de un sistema de levitaci´on
