Universidad Antonio Nari˜no Ingenier´ıa de Sistemas Educaci´on a Distancia
Teor´ıa de Grafos
GUIA No. 5. GRAFOS
Tutor: Helena Dulcey Hern´andez1.
Introducci´
on
Se define un grafo como un sistema matem´atico abstracto. No obstante, para desarrollar el conocimiento de los mismos de forma intuitiva se representar´an mediante diagramas. A estos diagramas se les dar´a, tambi´en, el nombre de grafos, aun cuando los t´erminos y definiciones no est´en limitados ´unicamente a los grafos que pueden representarse mediante diagramas.
Un grafo es un conjunto de puntos y un conjunto de l´ıneas donde cada l´ınea une un punto con otro.
2.
Objetivos
1. Encontrar el grado de un v´ertice
2. Identificar v´ertices aislados, grafos regulares y grafos isomorfos.
3. Encontrar caminos y ciclos de los grafos
4. Reconocer grafos completos, conexos y desconexos
3.
Definiciones
3.1. Grafo
Se llamar´a grafo,G, al par ordenado formado por un conjunto finito no vac´ıo,V , y un conjunto, A, de pares no ordenados de elementos del mismo.
V es el conjunto de los v´ertices o nodos del grafo. A ser´a el conjunto de las aristas o arcos del grafo.
Notaci´on:G= (V, A), designa al grafo cuyos conjuntos de v´ertices y aristas son VyA
A cualquier arista de un grafo se le puede asociar una pareja de v´ertices del mismo. Si u y v son dos v´ertices de un grafo y la arista a est´a asociada con este par, se escribir´aa=uv.
Ejemplo. 1 Si V ={v1, v2, v3, v4, v5} y A = {v1v2, v1v3, v1v4, v2v4, v2v5} entonces el grafoG= (V, A)tiene av1, v2, v3, v4yv5como v´ertices y sus aristas sonv1v2, v1v3, v1v4,
v2v4 yv2v5.
3.2. V´ertices Adyacentes
Se dir´a que los v´ertices u yv son adyacentes, si existe una arista atal que a=uv. A los v´erticesu yv se llamar´an extremos de la arista.
3.3. Representaci´on Gr´afica
Un grafo se representa mediante un diagrama en el cual a cada v´ertice le corresponde un punto y si dos v´ertices son adyacentes se unen sus puntos correspondientes mediante una l´ınea.
Ejemplo. 2 El grafo de la figura tiene como conjunto de v´erticesV ={v1, v2, v3, v4, v5} siendo su conjunto de aristas,A={v1v2, v2v3, v2v5, v3v4, v3v5}
V´ertices adyacentes:v1 y v2; v2 y v3; v2 yv5; v3 y v4; v3 y v5. V´ertices no adyacentes: v1 y v3;v1 y v4; v2 y v4; v4 yv5.
Ejemplo. 3 SeaG la gr´afica cuyo conjunto de v´ertices es V ={X, Y, Z, U, V}y cuyo conjunto de aristas esA={XY, XZ, XV, Y Z, Y U, ZY, ZV, U V, U U}, su representaci´on gr´afica es:
3.4. Multigrafos
3.5. Pseudografo
Se llamar´a peudografos a los grafos en los que existan aristas cuyos extremos coincidan, es decir, aquellos en los que existan aristas que unan v´ertices consigo mismos. A tales aristas se llamar´an bucles o lazos.
Ejemplo. 4
3.6. Digrafo
Es un grafo en el cual el conjunto de las aristas A est´a formado por pares ordenados del conjunto de v´erticesV . Tambi´en se llamar´a grafo dirigido.
Esto asigna un orden en los extremos de cada arista. Dicho orden se indica en el diagrama con una flecha y se llamar´a origen o inicial al primer v´ertice de una arista y fin o terminal al segundo.
4.
Grados
4.1. Grado de un v´ertice
NOTA:Un bucle contribuye con 2 unidades al calcular el grado del v´ertice correspon-diente.
Se notar´a porgrG(v) al grado del v´erticev en el grafoG, algunas veces se notar´a sim-plemente,gr(v).
4.2. V´ertice aislado
Un v´ertice de grado cero se denomina aislado
4.3. Grafo regular
Un grafo se dice que es regular cuando todos sus v´ertices tienen el mismo grado.
4.4. Suma de los grados de un grafo
En cualquier grafo se verifica,
a) La suma de todos sus grados es igual al doble del n´umero de sus aristas.
b) El n´umero de v´ertices de grado impar es par.
Soluci´on.
Tenemos queG= (V, A) dondeV ={v1, v2, v3, v4, v5}yA={v1v1, v1v2, v1v5, v2v4, v3v5, v5v5} siendo |A| = 6, gr(v1) = 4, gr(v2) = 2, gr(v3) = 1, gr(v4) = 1, gr(v5) = 4 y P5
i=1gr(vi) = 12 = 2·6 = 2|A|
Por otra parte, el n´umero de v´ertices de grado impar es 2 que corresponde a la suma de los grados de los v´erticesv3 yv4.
4.5. Grado de entrada y de salida
Siv es un v´ertice de un digrafo D, entonces su grado de entrada gre(v) es el n´umero de arcos en Dde la forma uv y su grado de salida grs(v) es el n´umero de arcos en D
de la forma vu.
5.
Isomorfismo
5.1. Isomorfismo de grafos
Dos grafosG1 = (V1, A1) yG2 = (V2, A2) se dice que son isomorfos cuando existe una biyecci´on entre los conjuntos de sus v´ertices que conserva la adyacencia. Si los grafos
G1 yG2 son isomorfos, notaremosG1wG2.
En otras palabras,
G1 wG2 ⇔ ∃f :V1→V2: (
f es biyectiva
uv∈A1⇔f(u)f(v)∈A2;∀u, v∈V1
Ejemplo. 6 Construir un grafo isomorfo al de la siguiente figura
Soluci´on.
Sea G1 = (V1, A1) el grafo dado con V1 = {u1, u2, u3, u4} y A1 = {u1u2, u1u3, u1u4,
u2u3, u2, u4, u3u4}sus conjunto de v´ertices y aristas respectivamente. SeaG2 = (V2, A2) el grafo que se busca. Entonces, se debe construir una funci´on entre los conjuntos de v´ertices que sea biyectiva, es decir,V2 ha de tener el mismo n´umero de elementos que
V1, en este caso 4. As´ı, se puede escribir, por tanto, V2 ={v1, v2, v3, v4}.
Por otra parte,f ha de conservar la adyacencia, es decir ha de cumplirse que:
f(u1)f(u2)∈A2 f(u1)f(u3)∈A2
f(u1)f(u4)∈A2 f(u2)f(u3)∈A2
pero esto se consigue definiendo:
f :V1→V2:
f(u1) =v1
f(u2) =v2
f(u3) =v3
f(u4) =v4
siendo el conjunto de aristas deG2,A2 ={v1v2, v1v3, v1v4, v2v3, v2v4, v3v4}
En consecuencia, una representaci´on gr´afica deG2 puede ser
5.2. Invariante de un Grafo
Un invariante de un grafo G es un n´umero asociado con G que tiene el mismo valor para cualquier grafo que sea isomorfo con ´el.
5.3. Invariancia del Grado
Dado un grafoG, el grado de cualquiera de sus v´ertices es un invariante de G.
6.
Subgrafos
6.1. Definici´on
Un subgrafo de un grafo G = (V(G), A(G)) es un grafo H = (V(H), A(H)) tal que
V(H)⊆V(G) y A(H)⊆A(G).
Ejemplo. 7 La figura muestra un grafo G y dos subgrafos de ´elH1 yH2
G= ({v1, v2, v3, v4},{v1v2, v1v3, v1v4, v2v3, v2v4, v3v4})
H1 = ({v1, v2, v3, v4},{v1v2, v1v4, v2v4})
6.2. Subgrafo Expandido
Un subgrafo expandido de un grafo G, es un subgrafo que contiene todos los v´ertices de G.
Para el ejemplo anterior, se tiene queH1 es un subgrafo expandido deG
6.3. Eliminaci´on de Aristas
Sia es una arista del grafo G, entonces el subgrafo G\ {a} es el grafo que se obtiene de Geliminando la aristaa.
En general, se escribir´a G\ {a1, a2, . . . , ak}para denominar al subgrafo que se obtiene de Geliminando las aristasa1, a2, . . . , ak.
6.4. Eliminaci´on de V´ertices
Sives un v´ertice del grafoG, entoncesG\{v}es el subgrafo obtenido delGeliminando el v´erticev junto con todas las aristas incidentes con ´el.
En general, se escribir´aG\ {v1, v2, . . . , vk} para notar al grafo obtenido eliminando los v´erticesv1, v2, . . . , vk en Gy todas las aristas incidentes con cualquiera de ellos.
6.5. Grafos Completos
Se dice que un grafo es completo cuando todos sus v´ertices son adyacentes a todos los v´ertices del grafo, es decir, cuando cada par de v´ertices son los extremos de una arista. Se notar´a porKn los grafos completos de nv´ertices
Ejemplo. 9 La figura muestra los primeros 5 grafos completos
6.6. Complemento de un Grafo
Dado un grafoG connv´ertices, se llamar´a complemento de G, y se notar´a porG, al subgrafo de Kn formado por todos los v´ertices deG y las aristas que no est´an enG.
Ejemplo. 10 La figura muestra un grafo con4 v´ertices y su complemento
7.
Caminos y Ciclos
7.1. Camino
Sea G un grafo o un multigrafo. Un camino en G es una sucesi´on donde se alternan v´ertices y aristas, comenzando y terminando con v´ertices y en el que cada arista es incidente con los dos v´ertices que la preceden y la siguen.
Un camino que une los v´ertices v1 yvn ser´ıa: v1, v1v2, v2, v2v3, . . . , vn−1, vn−1vn, vn
Υ =hv1, v2, v3, . . . , vn−1, vni
A los v´ertices v1 yvn se les denomina extremos del camino. Suele decirse tambi´en que el camino conectav1 con vn o que va dev1 a vn. La longitud del camino es el n´umero
n−1 de aristas que contiene. Un camino es simple si en la sucesi´on de v´ertices no hay ninguno repetido.
7.2. Ciclo
Sea G un grafo o un multigrafo. Un ciclo en G es un camino en el que sus extremos coinciden. El ciclo ser´a simple si no hay, adem´as del primero y el ´ultimo, ning´un otro v´ertice repetido.
En un grafo dirigido, se utilizar´an los t´erminos caminos y ciclos dirigidos.
Ejemplo. 11 Sea G el grafo de la figura. Encuentre
a) Un camino que conecte v3 con v7.
b) Un camino simple de longitud 5 entrev3 y v7.
c) Un camino de longitud 6 entrev3 y v7.
d) Un ciclo con origen en v7 de longitud 6.
e) Un ciclo de longitud 3, otro de longitud 4 y un tercero de longitud 6.
f ) Un ciclo simple de longitud 6.
Soluci´on.
a) Un camino que conectev3 conv7. Υ =hv3, v4, v5, v7i
b) Un camino simple de longitud 5 entrev3 yv7. Υ =hv3, v2, v1, v6, v5, v7i
c) Un camino de longitud 6 entrev3 yv7. Υ =hv3, v2, v6, v5, v4, v3, v7i
d) Un ciclo con origen env7 de longitud 6. Υ =hv7, v3, v2, v1, v6, v5, v7i
Υ1 =hv3, v7, v5, v3i Υ2 =hv4, v5, v7, v3, v4i Υ3 =hv1, v2, v3, v4, v5, v6i
f) Un ciclo simple de longitud 6. Υ =hv1, v2, v3, v4, v5, v6, v1i
7.3. Teorema
Si en un grafo existe un camino que conecta dos v´ertices, entonces existe un camino simple con extremos en dichos v´ertices.
8.
Grafos Conexos
Una de las propiedades m´as elementales de las que puede gozar cualquier grafo es que sea conexo.
8.1. V´ertices conectados
Dos v´ertices de un grafo se dice que est´an conectados cuando existe un camino entre ambos, es decir,
u yv est´an conectados⇔ ∃µ=hu, vi
µes un camino que une al v´erticeu con elv.
8.2. Grafos conexos
Un grafo se dice que es conexo si cada par de sus v´ertices est´an conectados. Es decir,
G es conexo⇔ ∀u, v:∃µ=hu, vi
En caso contrario, se dir´a queG es un grafo desconexo.
Ejemplo. 12 En la figura se tiene que G1 es un grafo conexo, mientras queG2 no lo es, puesto que no existe ning´un camino entre v2 y v3.
8.3. Proposici´on
8.4. Componentes Conexas de un Grafo
Dado un grafo G = (V, A), las clases de equivalencia definidas en el conjunto de sus v´ertices, V , por la relaci´on de equivalencia “estar conectado con” reciben el nombre de componentes conexas deG.
Ejemplo. 13 El conjunto de v´ertices del grafoG2 del ejemplo 12 es V ={v1, v2, v3, v4,
v5, v6, v7} y si se considera en ´el la relaci´on de equivalencia definida en la proposici´on 8.3, las clases de equivalencia son:
[v1] ={v1, v2, v6}= [v2] = [v6] [v3] ={v3, v4, v5, v7}= [v4] = [v5] = [v7]
Por lo tanto, el grafoG2 tiene dos componentes conexas que son los subgrafos H1 y H2 cuyos conjuntos de v´ertices son[v1]y [v3], es decir,
H1 = ({v1, v2, v6} , {v1v2, v1v6}) H2 = ({v3, v4, v5, v7} , {v3v4, v3v7, v4v5, v4v7})
8.5. Puntos de corte
Dado un grafo conexoG= (V, A), un v´erticeudeGse llama punto de corte cuando el subgrafoGu cuyos v´ertices son los de V\{u} y cuyas aristas son todas las deA cuyos v´ertices est´an enV\{u} no es conexo.
8.6. Puentes
Dado un grafo conexoG= (V, A), a cualquier arista “a” deGtal que el grafo (V, A\{a}) no sea conexo, se llamar´a puente.
Soluci´on.
Puntos de corte. Los v´ertices v3, v4 y v5 ya que en los grafos Gv3, Gv4 y Gv5 en la figura existen puntos que no pueden conectarse a trav´es de ning´un camino, luego ninguno de los tres es conexo.
9.
EJERCICIOS PARA ENTREGAR
1. Compruebe que la suma de los grados de los v´ertices de los grafos la figura es igual al doble del n´umero de sus aristas y que el n´umero de v´ertices de grado impar es par.
2. Pruebe que los grafosG1 yG2 de la figura no son isomorfos
3. Haga el grafo completo K5
4. En la figura se tiene el complemento de los grafosG, F yH. Encuentre el grafo original
BIBLIOGRAF´
IA
1. JOHNSONBAUGH, Richard. Matem´aticas discretas. Sexta edici´on. Pearson Edu-caci´on de M´exico. 2005.
2. GONZALEZ, Francisco Jos´e. Apuntes de matem´atica discreta. C´adiz. 2004.
3. GRASSMANN W. K., Tremblay J-P: Matem´atica Discreta y L´ogica. Ed. Prentice-Hall, 2000
4. GRIMALDI, Ralph. Matem´aticas discreta y combinatoria. Tercera edici´on. Ad-dison Wesley Iberoaericana. M´exico. 1997.
