Resuelve ecuaciones lineales I
Unidades de competencia:
Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
Secuencia didáctica 1.
Ecuaciones lineales.
!Inicio
Actividad: 1
1. Alicia y Arturo tienen un total de $342 en sus alcancías. Si Arturo tiene $105 más que Alicia, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
2. La edad de Jacinto es el doble de la edad de Perla y entre los dos tienen 48 años. Encuentra la edad de cada uno.
3. Grafica la recta 3x+2y=6
4. GIGANTE ofrece un 50% de descuento al precio marcado de un artículo y aún así obtiene una utilidad de un 8%. Si le cuesta $15.60 cada artículo, ¿cuál debe ser el precio marcado?
Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación
Actividad: 1 Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes
SaberesSaberes Saberes Conceptual
Conceptual Conceptual
Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Identifica los conocimientos
previos que posee de ecuaciones lineales. Analiza y modela situaciones empleando ecuaciones lineales.
Aplica diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales.
Aprecia la importancia de la conexión de sus
conocimientos de secundaria con los actuales.
Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente
"Desarrollo
Despeje de ecuaciones lineales.
En bloques anteriores has encontrado cómo un problema cotidiano lo puedes representar con lenguaje algebraico y viceversa, también manejaste el uso de tablas y comportamientos recurrentes en series y sucesiones; todo este conocimiento se verá reflejado en el presente tema, ya que a partir de aquí, empezarás a resolver problemas, no sólo a plantearlos y representarlos, sino a darles solución. Para ello se requiere una serie de conceptos que deben ser familiares para ti, dado que son temas impartidos en secundaria.
Para iniciar enunciaremos la definición de ecuación.
Ecuación. Es una igualdad que se cumple para algunos valores o letras. Como por ejemplo:
8
5
x
+
=
Para que sea verdadera esta ecuación el único valor que puede tomar x es 3, entonces decimos que la solución a esta ecuación es
x
=
3
.Se dice que la solución «satisface» a la ecuación, cuando se sustituye su valor y se verifica la igualdad.
8 8
8 5 3
= = +
Los elementos de una ecuación son: 1. Miembros.
2. Términos. 3. Incógnitas. 4. Grado. 5. Solución
1. Miembros. Son cada una de las expresiones que aparecen en ambos lados del símbolo igual.
El rey Hicso Ekenenre Apopi El rey Hicso Ekenenre ApopiEl rey Hicso Ekenenre Apopi El rey Hicso Ekenenre Apopi
(1600 A.C.)
Escribió el principal texto matemático egipcio, el papiro de rhind. Éste
contiene lo esencial del saber matemático egipcio, contiene unas reglas para cálculos de adiciones y
sustracciones de ecuaciones, ecuaciones de primer grado, problemas de aritmética y otras
cosas.
Primer
2. Términos. Son los sumandos que forman a cada uno de los miembros de la ecuación.
3. Incógnita(s). Es el valor desconocido que se pretende encontrar, y puede haber una o más de ellas, también conocidas como variables o literales.
Dependiendo del número de letras distintas se dice que es de una, dos, tres, o más incógnitas. 4. Grado. Es el mayor grado de los monomios que forman a sus miembros.
En este caso es de primer grado, porque ambos miembros poseen al 1 como exponente, sólo que por convencionalismo no se escribe.
5. Solución. Es el valor que puede tomar la incógnita para que la igualdad se establezca, dependiendo del grado y del número de las incógnitas, pueden ser varias soluciones.
La solución para esta ecuación es:
7
x
=
Puesto que al sustituir el valor encontrado en la incógnita de la ecuación se cumple la igualdad. 16
x 3 2 x
5 + = +
Términos
16 x 3 2 x
5 + = +
Primer grado
16 x 3 2 x
5 + = +
( )
7 2 3( )
7 165 + = +
16 21 2 35+ = +
37 37=
16 x 3 2 x
5 + = +
A las ecuaciones de primer grado se les conoce como ecuaciones lineales. Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones lineales.
1)
5
x
−
3
=
−
2
x
+
18
4)2 2 m 3
4
n +
=
−
2)
3 2 x 2 1 3 1 x 4 3
+ =
−
5)
3
u
−
4
v
=
−
2
u
+
6
v
3) 4(2x−1)=5(x+3) 6) 2x−7y=−5
Las tres primeras son ejemplos de ecuaciones lineales con una incógnita y los últimos tres son ejemplos de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
La representación general de una ecuación lineal es:
Ax
+
B
=
0
con la condición de queA
≠
0
.Por supuesto que ésta es la representación más simplificada que se puede tener en una ecuación; como observaste en los ejemplos anteriores, la(s) incógnita(s) pueden estar en ambos miembros de la ecuación y además, poseer paréntesis y denominadores.
Para resolver las ecuaciones lineales con una incógnita, es recomendable seguir los siguientes pasos. 1. Quitar paréntesis.
2. Quitar denominadores.
3. Agrupar los términos que posean la incógnita en un miembro y los términos independientes en el otro. 4. Reducir los términos semejantes.
5. Despejar la variable.
Para llevar a cabo estos pasos, se requiere de las propiedades de los números reales que manejaste en el segundo bloque, a continuación se justificará paso a paso el despeje de una ecuación utilizando las propiedades de los números reales y posteriormente se explicará la técnica que se utiliza en el despeje sin necesidad de utilizar las propiedades.
Utilizaremos la ecuación que nos sirvió de modelo para explicar los elementos de una ecuación.
Despeje de la ecuación Despeje de la ecuaciónDespeje de la ecuación
Despeje de la ecuación Propiedad de los Números Reales aplicadaPropiedad de los Números Reales aplicada Propiedad de los Números Reales aplicadaPropiedad de los Números Reales aplicada
16
x
3
2
x
5
+
=
+
Ecuación original2
16
x
3
2
2
x
5
+
−
=
+
−
Se desea eliminar del primer miembro el 2, así que se utiliza la propiedadaditiva para sumar
−
2
a ambos miembros.5
x
+
0
=
3
x
+
16
−
2
Como el−
2
es el inverso aditivo de 2, se obtiene el neutro aditivo.2
16
x
3
x
5
Siendo 0 el neutro aditivo al operarlo con5
x
, éste queda igual.“La música es el placer que el alma
experimenta contando sin darse cuenta de que cuenta.”
5
x
−
3
x
=
3
x
+
14
−
3
x
Se utiliza la propiedad aditiva de nuevo, para sumar miembros de la ecuación.−
3
x
a ambos5
x
−
3
x
=
3
x
−
3
x
+
14
Se aplica la propiedad conmutativa de la suma para invertir el lugar tanto de 14como de
−
3
x
.14
0
x
3
x
5
−
=
+
Como−
3
x
es el inverso aditivo de3
x
, se obtiene el neutro aditivo.5
x
−
3
x
=
14
Al operar el neutro aditivo con14
, éste queda igual.14
x
2
=
Se realiza la reducción de términos semejantes.14 2 1 x 2 2 1
=
Se aplica la propiedad multiplicativa, para multiplicar por 21 a ambos miembros de la ecuación.
14
2 1 x
1
=
⋅ Al ser 21 el inverso multiplicativo de
2
, se obtiene el neutro multiplicativo14
2 1
x
= Y cuando se opera el neutro multiplicativo con x, ésta permanece igual.
7
x
=
Por último, se lleva a cabo la operación entre 21 y 14El proceso anterior es extenso, pero es necesario que lo conozcas para que comprendas por qué se despeja en forma reducida sólo utilizando algunos de los pasos del cuadro anterior, de hecho, los pasos que se requieren para un despeje corto son los que están sombreados, y aún así se pueden reducir más.
A continuación se muestra la forma de simplificación corta.
Despeje de la ecuación Despeje de la ecuaciónDespeje de la ecuación
Despeje de la ecuación DescripciónDescripciónDescripciónDescripción
16
x
3
2
x
5
+
=
+
Ecuación original.5
x
=
3
x
+
16
−
2
Como el miembro restando.2
en la ecuación original estaba sumando pasa al segundo5
x
=
3
x
+
14
Se realiza la resta.5
x
−
3
x
=
14
El primero restando.3
x
estaba sumando en el segundo miembro, por lo que pasa al2
x
=
14
Se realiza la reducción de términos semejantes.2 14
x= El coeficiente de la x está multiplicando pasa dividiendo.
Si eres más hábil con las operaciones puedes hacer el proceso mucho más corto todavía, piénsalo. Siempre lo más importante de las matemáticas es poder aplicarlas y que le encuentres
sentido a lo que representan, así que tomaremos varios ejemplos aplicados para practicar el despeje de las ecuaciones y al mismo tiempo irás desarrollando más habilidades en el planteamiento de problemas.
En los siguientes ejemplos visualizarás el planteamiento de problemas así como despejes de ecuaciones lineales, éstos irán desde lo más sencillo hasta lo complejo. Ejemplo 1.
Entre Said y Raymundo van a comprar una bolsa de canicas que cuesta $56, pero Said tiene $12 menos que Raymundo. ¿Cuánto tiene cada uno?
Para resolver este problema es necesario asignar la variable. x: Es el dinero que tiene Raymundo
12
x
−
: Es el dinero que tiene SaidEntre los dos comprarán una bolsa de canicas que cuesta $56, entonces el planteamiento del problema con la variable asignada se expresa de la siguiente forma:
56
12
x
x
+
−
=
Esta es una de las ecuaciones más sencillas, no posee paréntesis ni denominadores, por lo que procederemos a despejarla.
Despeje de la ecuación Despeje de la ecuaciónDespeje de la ecuación
Despeje de la ecuación DescripciónDescripciónDescripciónDescripción
56
12
x
x
+
−
=
Ecuación original.
2
x
=
56
+
12
Se reducen términos semejantes y
−
12
pasa al otro lado de la igualdad sumando.2
x
=
68
Se realiza la suma de los términos del segundo miembro.x=682 El coeficiente de la variable pasa dividiendo.
x
=
34
Se efectúa la división, obteniéndose así el resultado.Además del resultado que tienes, debes de interpretarlo y solucionar el problema real.
Al sustituir el valor encontrado en la asignación de la variable, se obtiene que: Raymundo tiene $34 y Said tiene $22. Demócrito
Demócrito Demócrito Demócrito (460 – 370 A C) Es más conocido por su Teoría Atómica, pone como realidades primordiales a los átomos y al vacío. Encontró la fórmula del volumen del
Ejemplo 2.
La edad de Carolina es la mitad de la de Emily; la de Valeria es el triple que la de Carolina y la edad de Angélica es el doble de la de Valeria. Si las cuatro edades suman 60, ¿qué edad tiene cada una?
Cuando se tienen relaciones de multiplicación entre los elementos del problema, en este caso las edades de las chicas, es recomendable asignarle la variable a la más pequeña, de esta forma la ecuación que se obtiene es más sencilla.
y: Edad de Carolina y
2 : Edad de Emily y
3 : Edad de Valeria )
y 3 (
2 : Edad de Angélica
Dado que la suma de las edades es 60, entonces, el planteamiento del problema se expresa así: 60
y 6 y 3 y 2
y+ + + =
Resolviendo la ecuación lineal.
Despeje de la ecuación Despeje de la ecuación Despeje de la ecuación
Despeje de la ecuación DescripciónDescripciónDescripciónDescripción 60
y 6 y 3 y 2
y+ + + = Ecuación original.
12y=60
Se reducen términos semejantes.
y=1260 El coeficiente de la variable pasa dividiendo.
y= 5 Se efectúa la división, obteniéndose así el resultado.
Del resultado tenemos que:
Carolina tiene 5 años de edad, Emily tiene 10 años, Valeria tiene 15 años y Angélica tiene 30 años.
Ejemplo 3.
-¡Javier!, -le dice Mónica a su esposo-, ganas $7700 mensuales y este mes le invertiste a tu auto el triple de la mitad de lo que me diste a mí menos $200. ¿Pues qué es lo que tiene tu auto? –Si Javier repartió su dinero entre el coche y lo que le dio a su esposa, ¿cuánto repartió a cada uno?
Asignación de la variable. w: Dinero que le dio a Mónica
200 2 w 3 −
: Dinero que invirtió en el auto
El planteamiento del problema es:
7700 200 2 w 3
w − =
Resolviendo la ecuación.
Despeje de la ecuación Despeje de la ecuaciónDespeje de la ecuación
Despeje de la ecuación DescripciónDescripciónDescripciónDescripción 7700
200 2 w 3
w − =
+ Ecuación original.
200 7700
2 w 3
w+ − =
Se recomienda primero eliminar paréntesis.
7700 200 2
w 5
+
= Se reducen términos semejantes y
−
200
se pasa al otro lado de laigualdad sumando. 7900
2 w 5
= Se efectúa la suma.
( )
5 7900 2w= El
2
que está dividiendo a la variable se pasa multiplicando y el5
que la está multiplicando pasa dividiendo.
w
=
3160
Se efectúan las operaciones y se obtiene el resultado.Por lo tanto Javier le dio a su esposa $3160 e invirtió en su auto $4540. Tendrá mucho que explicar…. Ejemplo 4.
Los ingenieros de una constructora están planeando una casa-habitación, tienen diseñado un plano en donde el largo de una sala-comedor de forma rectangular es el doble de su ancho. Pero están viendo la conveniencia de aumentar 2m las dimensiones de ésta y así el área aumentará 28m2. Hallar las medidas del largo y ancho de la sala-comedor original.
Asignando variables.
x: La medida del ancho
x
2
: La medida del largo Las medidas modificadas.2
x
+
: La medida del ancho2
x
2
+
: La medida del largoAhora, las áreas se ven modificadas de la siguiente forma
Resolviendo la ecuación.
Despeje de la ecuación Despeje de la ecuaciónDespeje de la ecuación
Despeje de la ecuación DescripciónDescripciónDescripciónDescripción
(
x+2)(
2x+2) ( )( )
= x 2x +28 Ecuación original.2x2+2x+4x+4=2x2+28
Se recomienda primero eliminar los símbolos de agrupación.
4 28 x 2 x 4 x 2 x
2 2+ + − 2= − 2x2que está en el segundo miembro pasa restando al primero y
4
que está en el primer miembro de la ecuación pasa restando al segundo.6
x
=
24
Se reducen términos semejantes.6 24
x= El
6
que está multiplicando a la variable pasa dividiendo.4
x
=
Se efectúan la división y se obtiene el resultado.Las medidas originales de la sala-comedor son: el ancho es de 4 m y el largo es de 8m. Ejemplo 5.
La siguiente lectura1 es importante, para entender la relación de las Matemáticas con la Química. Un poco más acerca de la contaminación del aire…
Un poco más acerca de la contaminación del aire…Un poco más acerca de la contaminación del aire… Un poco más acerca de la contaminación del aire…
Un “contaminante” es una sustancia que está “fuera de lugar”. Un buen ejemplo de ello puede ser el caso del gas ozono (O3). Cuando este gas se encuentra en el aire que respiramos, es decir, bajo los 25 kilómetros de altura habituales, es un contaminante que tiene un efecto dañino para la salud, por lo que en esa circunstancia se le conoce como “ozono malo”. Pero el mismo gas, cuando está en la estratósfera, forma la capa que protege de los rayos ultravioletas del Sol a todas las formas de vida en la Tierra, siendo considerado, en este caso, como “ozono bueno”.
Un lugar importante en la contaminación de la atmósfera es ocupado por las emisiones gaseosas resultantes de la combustión de los combustibles fósiles: gas natural, petróleo diesel, gasolina y queroseno. Estos gases contaminantes son de naturaleza muy diversa. Los contaminantes más comunes son el dióxido de carbono (CO2), el monóxido de carbono (CO), y los óxidos de nitrógeno (NO), en particular NO y NO2.
Clasificación de los contaminantes:
Generalmente, se distingue entre contaminantes primariosprimarios primariosprimarios y secundariossecundariossecundariossecundarios del aire. Los primeros son emitidos como tales, mientras que los contaminantes secundarios se forman en complejas reacciones que ocurren en la atmósfera y en las que intervienen, frecuentemente, el oxígeno atmosférico y la radiación solar.
La Purificación del aire: respuesta necesaria a su contaminación
La purificación del aire es un proceso complejo. Los gases contaminantes son dispersados y diluidos por el movimiento de grandes masas de aire (vientos, corrientes de convección, etc.) y los contaminantes gaseosos más solubles en agua disminuyen su concentración atmosférica a través de diversos fenómenos climáticos (formación de neblina y lluvias, principalmente), pero también suelen contaminar los suelos y aguas.
El ejemplo de contaminación del aire es el dióxido de azufre, que al combinarse con el oxígeno del aire se produce trióxido de azufre, y éste, al combinarse con la humedad atmosférica, ocasiona lo que conocemos como lluvia ácida, la cual ocasiona grandes daños.
4 2 2 3 2
2 O SO H O H SO
SO + → + →
Para que se lleve a cabo esta reacción tiene que cumplirse la Ley de Conservación de la materia, que significa que la cantidad de reactivos que se utilizan debe ser igual a la cantidad de productos obtenidos.
En el caso de SO2+O2→SO3 no se cumple con la Ley de conservación de la materia, porque de las sustancias reactivas hay cuatro átomos de Oxígeno, mientras que en el producto hay sólo tres. Para ello se requiere balancear la reacción y con ecuaciones lineales se puede realizar.
Si se le asignan coeficientes a las sustancias, podemos observar la reacción de la siguiente forma:
3 2
2 bO cSO
aSO + →
Observamos la reacción, el azufre no se modifica, entra y sale con la misma cantidad de átomos, así que en ese caso c
a= , en cuanto al Oxígeno quedaría
2
a
+
2
b
reaccionan y salen3
c
, así que tenemos la ecuación:c
3
b
2
a
2
+
=
Comoa=cse le puede asignar cualquier cantidad, si
a
=
8
, entonces la ecuación queda:( )
8 2b 3( )
82 + =
24
b
2
16
+
=
2
b
=
24
−
16
2
b
=
8
b
=
4
Al sustituir los valores obtenemos la reacción balanceada.3 2
2 bO cSO
aSO + →
3 2
2 4O 8SO
SO
8 + →
Dióxido + Oxígeno
Ejemplo 6.
Gilberto es empleado de una empresa de servicio de paquetería; un día sus compañeros le plantearon un problema y le pagarían una cantidad de dinero si lograba resolverlo, fue tanto el alboroto, que empezaron a hacer apuestas entre ellos para ver si lograría solucionarlo. El problema planteado fue el siguiente:
En el almacén hay dos paquetes que pesan 40 Kg. y 120 Kg., entre ellos hay una distancia de 2 pies (ver Fig. 1). Él debe levantar los paquetes al mismo tiempo, y la condición es utilizar su fuerza y no hacer uso de maquinaria especializada para levantamiento de carga. Gilberto meditó un rato y finalmente aceptó.
Todos estaban a la expectativa observándolo; se dirigió al taller, encontró una barra de metal liviana pero resistente de 13 pies de largo, colocó la barra por debajo de los paquetes, utilizó un soporte en forma de yunque y levantó los paquetes. Era tanto el asombro de sus compañeros que empezaron a cuestionarle cómo lo hizo y lo único que les contesto fue, -dame una palanca y un punto de apoyo y moveré el mundo, Arquímedes lo dijo-, y tranquilamente se fue con el dinero que ganó.
¿Cómo resolvió el problema?
Existe una ley en física que se llama la Ley de las palancas, y consiste en equilibrar fuerzas con el uso de palancas o barras.
Como lo muestra la figura 2.
[image:13.612.155.412.183.299.2]Donde, w1 y w2son los pesos de los objetos, d1 y d2son sus respectivas distancias al punto de apoyo.
Fig. 1 2 pies
120 Kg. 120 Kg. 120 Kg. 120 Kg. 44440 Kg.0 Kg.0 Kg.0 Kg.
1
d d2
1
w w2
Fig. 2
Thales de Mileto Thales de Mileto Thales de Mileto Thales de Mileto
(640 – 560 A C) Se le atribuyen los 5 teoremas de la Geometría elemental. Como astrónomo,
predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor, se cree que descubrió la Osa Menor, Creía que el año tenía
365 días, entre otros descubrimientos
[image:13.612.89.428.459.644.2]Así que el problema que tuvo que resolver Gilberto fue el siguiente:
Si conocía su peso, que es de 90 Kg., el peso de las cajas, la separación entre ellas y la longitud de la barra que utilizaría, sólo requirió resolver una ecuación para saber dónde colocaría el punto de apoyo y poder levantar los paquetes.
Utilizando la ley de las palancas, la ecuación que representa a este problema es:
( )
x 40(
11 x)
120(
13 x)
90 = − + −
Y se encuentra la solución despejando la variable como se ha visto en los problemas anteriores, primero eliminando paréntesis, como se muestra a continuación:
90
x
=
440
−
40
x
+
1560
−
120
x
1560
440
x
120
x
40
x
90
+
+
=
+
250
x
=
2000
250 2000 x=
x
=
8
Por lo tanto, Gilberto sólo tenía que colocarse al final de la barra y el punto de apoyo colocarlo a 8 pies de él.
Primero practicarás un poco los despejes antes de resolver las aplicaciones. x
120 Kg. 120 Kg.120 Kg. 120 Kg. 44440 Kg.0 Kg.0 Kg.0 Kg.
11 – x
13 – x
Sitios Web recomendados:
Ingresa a este sitio, ahí encontrarás múltiples ejercicios y problemas resueltos.
Actividad: 2
1.
x
+
4
=
9
8. 67 x 3
=
2.
2
x
−
6
=
6
x
+
4
9. 6w 7
12 =
3.
2 3 4 1 x 3 2
=
− 10.
3 2 n 4
6
n +
=
−
4.
3 2 x 2 1 3 1 x 4 3
+ =
− 11. (2x−1)(4x+1)=(8x−3)(x−2)
5. 4(2x−1)=5(x+3) 12. 1
2 3 x 3
1 x
−
=
− − −
6. (x 1)2 x2 17 =
−
+ 13. (x 5) 2
3 2 ) 1 x ( 2 1
= +
−
+
7. 3(2y−1)−2y=5(y−3)
14. x−2(x−1)=3x−5(x+2)
Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación
Actividad: 2 Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes
Saberes Saberes Saberes Conceptual
Conceptual Conceptual
Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinal ActitudinalActitudinal Describe técnicas para
resolver ecuaciones de una variable.
Aplica diversas técnicas para resolver
ecuaciones lineales en una variable. Asume una actitud de apertura que favorece la solución de los ejercicios. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación. Coevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente
#Cierre
Actividad: 3
1. Agustín tiene 12 monedas menos que Enrique y entre ambos tienen 78 monedas ¿Cuántas monedas tiene cada uno?
2. El perímetro de un rectángulo es 108 cm, si el largo es el triple que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
3. El precio de venta de una mochila es de $448 luego de aplicar un 20% de descuento. ¿Cuál es el precio regular de la mochila?
4. Un agente de ventas visitó 20 clientes en tres días. Si el segundo día visitó uno más que en el primero y en el tercer día a tres más que en el segundo. ¿Cuántas visitas efectuó cada día?
Actividad: 3 (continuación)
6. Entre Fátima y Julissa pesan 45 Kg. Si en un subibaja Fátima se sitúa a 4 pies del punto de apoyo y Julissa a 6 pies del mismo, quedan en equilibrio. ¿Cuál es el peso de ambas niñas?
7. Beto enyesa una pared en 8 horas y Nacho lo hace en 12 horas, ¿en cuánto tiempo pueden enyesar juntos la pared?
8. Sofía tiene actualmente la mitad de la edad de Aarón, y dentro de doce años tendrá 75 de la que Aarón tenga entonces. ¿Cuáles son sus edades actuales?
Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación
Actividad: 3 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes
Saberes Saberes Saberes Conceptual
Conceptual Conceptual
Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinal ActitudinalActitudinal Analiza y modela
situaciones empleando ecuaciones lineales. Describe técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable.
Aplica diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. Formula y soluciona, con técnicas algebraicas, en situaciones que se representan mediante ecuaciones lineales.
Aprecia la utilidad de las ecuaciones lineales en la representación de problemas.
Propone maneras creativas de solucionar un problema. Asume una actitud de apertura que favorece la solución de problemas. Coevaluación C MC NC Calificación otorgada por el
docente
Actividad: 3 (continuación)
10. Luly mezcló 50 onzas de una solución de yodo al 48% con 30 onzas de una solución al 72% de la misma sustancia. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la mezcla?
Secuencia didáctica 2.
Relación de la ecuación de primer grado con la función lineal.
!Inicio
Actividad: 1
2. ¿Qué valores satisfacen la ecuación anterior?, ¿serían los únicos?
3. Si tu respuesta anterior fue negativa, enuncia 10 resultados posibles que cumplan con la ecuación anterior.
4. En la siguiente tabla, representa los valores que obtuviste. Primer
número Segundo número
5. En una gráfica, representa los valores de la tabla.
Analiza las siguientes preguntas y contesta correctamente cada una de ellas.
Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación
Actividad: 1 Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes
Saberes Saberes Saberes Conceptual
Conceptual Conceptual
Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Identifica una ecuación lineal.
Ubica la sustitución de valores en la ecuación lineal. Ubica puntos en el plano cartesiano.
Construye ecuaciones lineales para solucionar diversas situaciones. Traza la gráfica de una ecuación lineal. Contrasta valores de una ecuación lineal.
Aprecia el conocimiento previo de bloques anteriores. Posee una actitud positiva en el desarrollo de la actividad.
Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente
"Desarrollo
Construcción de gráficas a partir de ecuaciones lineales.
En la primera secuencia de este bloque se ejemplificó algunas ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, como la siguiente.
0 6 y 3 x
2 + + =
Aquí observamos la forma general:
0 C By Ax+ + = Con
A
≠
0
yB
≠
0
.Estas ecuaciones se obtienen a partir de la relación entre las variables “x” y “y”, estas relaciones se encuentran en múltiples problemas.
Ejemplo 1.
Don Agustín posee varias hectáreas y le dijo a su hijo, -mira Gustavo, te voy a dar un terrenito aquí en mis tierras para que levantes tu casa; tengo 160 m de cerco para que elijas las medidas que gustes, ¡eso sí!, respeta que sea rectangular y utilices todo el cerco que te ofrezco; empieza a decidir para que cerques el lugar, luego lo verifico y le hablo al notario- ¿qué decisión tomará Gustavo?
Gustavo tiene varias alternativas, como el cerco mide 160 m, entonces debe considerar un rectángulo de 160 m de perímetro.
El perímetro de un rectángulo se obtiene al sumar todos sus lados, por lo que la expresión algebraica que lo modela es:
Perímetro = x+y+x+y=2x+2y x
Como el perímetro es la longitud del cerco y éste es de 160 m, entonces la expresión obtenida es: 160
y 2 x 2 + =
La siguiente ecuación se puede simplificar en una ecuación que es equivalente, porque ambos miembros se pueden dividir entre dos, así que se obtiene:
80 y x+ =
De esta manera, es más sencillo encontrar los valores tanto de x como de y. Como una variable depende de la otra, es decir, si
x
=
20
entonces forzosamente “y” debe ser igual a 60 para que sumados den 80, y así ir probando con diferentes parejas de números. Una opción es despejar una variable como se muestra a continuación.x 80 y= −
Y de esta forma es más sencillo darle valores a la “x”, sustituirlos y así encontrar sus respectivos valores de “y”. De esta manera se puede encontrar una serie de parejas de valores “x” y “y” para acomodarla en la siguiente tabla.
x y
5 75
10 70
15 65
20 60
25 55
30 50
35 45
40 40
45 35
50 30
55 25
60 20
65 15
70 10
75 5
Así Gustavo puede tomar dos ejemplos de ellos para verificar si cumple con la longitud del cerco que le dio su papá.
50
30 50
30
45
35 45
Como son muchos los resultados, Gustavo tendrá que pensar muy bien qué medidas deberá de elegir.
Utilizando este problema como guía, se puede trazar una gráfica que modele estos puntos, como lo hacías en la secundaria, en el plano cartesiano2, en donde el eje horizontal es el eje de las “x” y el eje vertical es el eje de la “y”.
A la variable “x” se le denomina Variable independiente, porque su valor es asignado por la persona que está realizando la gráfica, y a la variable “y” se le conoce como variable dependiente, porque su valor depende o está en función del valor asignado a x, como se obtuvo en la tabla de datos anterior.
Como se observa en ella, el comportamiento de los puntos describe una línea recta, con ella también se reafirma que proviene de una ecuación lineal de dos incógnitas. Cuando se realiza el despeje de x+y=80, se visualiza mejor la dependencia de las variables.
x 80 y= −
A esta expresión también se le conoce como función, porque el valor de “y” está en función o depende del valor que tome “x”. Más adelante se verá con mayor detenimiento lo que es una función.
2 Las coordenadas cartesianascoordenadas cartesianascoordenadas cartesianas son un sistema de referencia respecto de un eje (recta), dos ejes (plano), o tres ejes (en el espacio), coordenadas cartesianas perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) “x” y “y” se denominan respectivamente abscisaabscisaabscisaabscisa y ordenadaordenadaordenadaordenada, y se representan como (x, y). http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
-10 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
-15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
xxxx yyyy
¿¿¿¿Sabías que…Sabías que…Sabías que… Sabías que…
Se denominan coordenadas cartesianas
en honor a René Descartes, el célebre filósofo y matemático francés que quiso
fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un «punto de partida» sobre el cual edificar todo el
Actividad: 2
1. Un automóvil está en el restaurante de la Pintada a 50 Km. de Hermosillo y empieza a moverse a velocidad constante de 80 Km rumbo a Cd. Obregón. Si se toma como punto de partida a hr Hermosillo, la ecuación que modela este problema es:
50 t 80
d= +
Donde d es la distancia a la que se encuentra de Hermosillo y t el tiempo transcurrido. a) Completa la siguiente tabla.
t
(hr) (Km) d 0
0.5 1 1.5
2 2.5
3 3.5
b) Traza la gráfica con los datos que obtuviste en la tabla.
-2 -1 1 2 3 4
-150 -100 -50 50 100 150 200 250 300 350 400
t (hr) t (hr)t (hr) t (hr) d (Km)
d (Km) d (Km) d (Km)
Actividad: 2 (continuación)
d) El tiempo es una variable continua, es decir, podemos tomar valores que están entre 0 y 0.5, o entre cualquier otro intervalo de tiempo que se quiera, ¿cómo cambiaría la gráfica que trazaste si consideras que el tiempo es continuo?, grafica el problema tomando la continuidad del tiempo y además, que el auto se detiene al llegar a Cd. Obregón.
e) ¿Para qué valores del tiempo no tiene sentido este problema?, justifica tu respuesta.
f) ¿Para qué valores de la distancia no tiene sentido este problema?, justifica tu respuesta.
2. En el problema anterior analizaste varios aspectos, como es transformar una gráfica de puntos a una continua y sobre todo, la relación que existe entre una función lineal y una ecuación de primer grado, ¿en qué inciso se dio esta relación?, y ¿cómo surgió ésta?
-2 -1 1 2 3 4
-150 -100 -50 50 100 150 200 250 300 350 400
t (hr) t (hr)t (hr) t (hr) d (Km)
d (Km) d (Km) d (Km)
Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación
Actividad: 2 Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes
SaberesSaberes Saberes Conceptual
Conceptual Conceptual
Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Identifica la relación entre
funciones y ecuaciones lineales.
Transita de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al modelar y solucionar diversas situaciones.
Aprecia las representaciones gráficas de funciones como instrumento de análisis visual de su comportamiento. Aprecia la utilidad de las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones, para simplificar procesos y obtener soluciones precisas. Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente
Construcción de la gráfica de la función lineal.
Anteriormente se ha hablado sobre función, ahora se explicará con detenimiento lo que es una función.
El concepto de función implica la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos; esta relación se establece mediante una regla de asociación que puede ser verbal o matemática, como por ejemplo:
1. La temperatura en el ambiente a lo largo de un día depende de la hora; es decir, cada instante de tiempo está asociada a una temperatura.
2. Cuando se desea llenar de agua un tanque, el nivel del agua depende del tiempo transcurrido. Si el nivel del agua cambia uniformemente a razón de 10cmmin, y el tanque tiene una altura de 85 cm. entonces la relación que existe entre el nivel y el tiempo se da con la siguiente expresión:
t 10 h=
3. El pago de un refrigerador está en función del plan de pago mensual que ofrece una tienda departamental. Si se considera a la ecuación lineal de dos incógnitas Ax+By+C=0, y se despeja “y”, se observa mejor la relación que tienen las variables.
0 C By Ax+ + =
By=−Ax−C
B C Ax y= − −
Ejemplo 1.
Si se tiene la ecuación 2x−3y+6=0, al despejarla se puede encontrar mejor la relación que existe entre las variables.
2 x 3 2 y
3 6 x 3 2 y
3 6 x 2 y
6 x 2 y 3
0 6 y 3 x 2
+ =
− − − −
=
− − −
=
− −
=
−
= +
−
Se puede decir que la variable “y” está en función de “x” porque existe una relación o asociación entre ellas, si a cada valor de “x” que asignes, lo multiplicas por 32 y le sumas 2, vas a obtener un único valor de “y”.
De aquí se puede visualizar la definición de función, la cual es:
Función. Es la regla de asociación o correspondencia entre los conjuntos X y Y, de tal forma que cada elemento de un conjunto X se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y.
Con esto decimos que los elementos “y” del conjunto Y, están en función de los elementos “x” del conjunto X, esto queda más claro en esta notación.
) x (f y=
Así que la función x 2 3 2
y= + se puede reescribir como:
2 x 3 2 ) x
(f = +
Este tipo de formas de expresar una función lineal y otras que no son lineales, las abordarás con mayor detenimiento en asignaturas posteriores, en ellas realizarás gráficas más complejas y encontrarás más aplicaciones y propiedades de las funciones.
A continuación, mediante un ejemplo, se analizarán otros aspectos que posee la función lineal. Ejemplo 2.
Se desea llenar de agua una piscina que tiene inicialmente un nivel de 1m, la llave con que se llenará logrará subir el nivel uniformemente a razón de
2 1
metro por hora, si la piscina tiene una altura de 5 m, entonces la relación que existe entre el nivel y el tiempo se da con la siguiente expresión:
1 t 2 1
Uno de los métodos para graficar consiste en darle valores al tiempo y encontrar los respectivos valores de la altura.
t h
0 1
1 1.5
2 2
3 2.5
4 3
5 3.5
6 4
7 4.5
8 5
La gráfica del problema es:
En la gráfica se observa cómo la línea empieza en 1, ya que contenía en un inicio 1 m de agua y además, termina en 5, debido a que en 8 horas transcurridas la piscina se llenaría.
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
t (hr) t (hr) t (hr) t (hr) h(m)
Ahora se descontextualiza la función, es decir, sin tomar en cuenta las limitantes del tiempo y altura, la gráfica se tomaría de la función lineal sin restricciones, utilizando valores negativos.
1 t 2 1
h= +
Analizando esta gráfica y observando los valores de la función se darán cuenta que:
a) 2 1
es la razón de crecimiento de la gráfica, ésta se relaciona con el grado de inclinación de la recta, esto es, por una unidad que se avanza el eje vertical, en el eje horizontal se avanzan dos.
b) 1 es donde se intersecta la gráfica con el eje vertical.
Debido a este análisis se puede generalizar la función lineal y graficar sin necesidad de llevar a cabo una tabla.
La función lineal es de la forma
B C x B A
y=− − , si se hace
B A m=−
B C b=−
Entonces se obtiene la forma:
b mx y= +
A “m” se le conoce con el nombre de pendiente y representa la inclinación de la línea recta, y “b” se denomina la ordenada en el origen, la cual representa la intersección de la línea recta con el eje vertical.
Ahora se tomará otro ejemplo para visualizar esta nueva forma de graficar, utilizando la pendiente y la ordenada en el origen, esto es, usando “m” y “b”.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
t (hr) t (hr)t (hr) t (hr) h(m)
Ejemplo 3.
Graficar la función y=−3x+6
3
m
=
−
6
b
=
Primero se ubica “b” en el eje vertical.
Para graficar una recta sólo se necesitan dos puntos para trazar la línea, por lo que el otro punto se grafica a partir del punto encontrado utilizando la pendiente, o sea “m”.
1 3 3
m=− = − , esto significa que por cada 3 unidades que va hacia abajo en el eje vertical avanza 1 unidad hacia la
derecha en el eje horizontal.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xxxx yyyy
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xxxx yyyy
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación
Actividad: 3 Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes
Saberes Saberes Saberes Conceptual
ConceptualConceptual
Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Reconoce la ecuación en dos
variables y=mx+bcomo forma de la función lineal. Identifica los parámetros m y
b para determinar el comportamiento de la gráfica de una función lineal.
Utiliza los parámetros “m” y “b” para determinar el comportamiento de la gráfica de una variable lineal.
Transita de ecuaciones a funciones lineales.
Aprecia las representaciones gráficas de funciones como instrumento de análisis visual de su comportamiento.
Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente
Actividad: 3
1) 3x−2y−8=0 4) 4x−3y−18=0
2) x+y−3=0
5) 5x+y−7=0
3) −7x+4y+20=0 6) 3x−2y−9=0
Grafica las siguientes ecuaciones lineales utilizando la pendiente y la ordenada en el origen.
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
Actividad: 4
Una máquina que costó $60,000 se deprecia linealmente $5,000 al año, la ecuación que modela el valor de la máquina en función del tiempo es:
t 000 , 5 000 , 60
V= −
a) ¿Cuánto vale la máquina al transcurrir un año?
b) ¿Cuánto vale al transcurrir 2.5 años?
c) ¿Cuánto vale al transcurrir 10 meses?
d) ¿En qué tiempo la máquina pierde la mitad de su precio original?
e) ¿En qué tiempo vale $10,000?
Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación
Actividad: 4 Producto: Cuestionarios. Puntaje: Saberes
Saberes Saberes Saberes Conceptual
ConceptualConceptual
Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Reconoce la ecuación en dos
variables y =mx +bcomo
forma de la función lineal. Reconoce diversas técnicas para graficar.
Transita de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al modelar y solucionar diversas situaciones. Aplica diversas técnicas para graficar la función lineal.
Reconoce la importancia de la conexión entre funciones lineales y ecuaciones lineales, para examinar y solucionar situaciones. Aprecia la utilidad de las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones, para simplificar procesos y obtener soluciones precisas. Propone maneras creativas de solucionar problemas. Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente
Actividad: 4 (continuación)
g) ¿En qué tiempo V=0?
h) Grafica los valores que encontraste en los incisos f) y g), después une los dos puntos para que traces la función.
#
Cierre
Actividad: 5
1. Una radiodifusora cobra 6 dólares por transmitir los primeros 5 spots comerciales y por cada spot adicional cobra 1.5 dólares.
a) Construir la función que relaciona los costos con el número de spots.
b) Trazar la gráfica correspondiente.
c) Los requerimientos de las empresas A, B y C son de 10, 15 y 17 spots diarios, respectivamente, ¿cuánto deberán pagar por este servicio?
Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación
Actividad: 5 Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes
Saberes Saberes Saberes Conceptual
ConceptualConceptual
Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Reconoce la ecuación en dos
variables y = mx+bcomo
forma de la función lineal. Reconoce diversas técnicas para graficar.
Transita de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al modelar y solucionar diversas situaciones. Aplica diversas técnicas para graficar la función lineal.
Aprecia la utilidad de las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones, para simplificar procesos y obtener soluciones precisas. Asume una actitud de apertura que favorece la solución de problemas. Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente
Actividad: 5 (continuación)
a) Construye la función que relaciona el precio con el plan mensual.
b) ¿Cuánto pagaría a 3, 6, 12, 18 meses?
c) Una persona piensa pagar a crédito hasta $5000, ¿qué plan mensual le convendría?
d) Elabora la gráfica.
Resuelve ecuaciones lineales II
Unidades de competencia:
Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagrama o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
Secuencia didáctica 1.
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (2 x 2).
Inicio
Actividad: 1
Una empresa va a comprar trajes sastre como uniforme en dos de sus departamentos y además algunas empleadas decidieron comprar blusas como complemento, todas al mismo precio. En el departamento de Recursos Humanos compraron 5 trajes y 8 blusas que costaron $6490, y en el departamento de Contabilidad compraron 9 trajes y 6 blusas por las que pagaron $9330. ¿Cuál es el precio unitario de cada prenda?
a) Determina las dos ecuaciones que representan la compra de cada departamento.
b) Grafica cada una de las ecuaciones encontradas.
c) ¿Cómo ubicarías la solución del problema en la gráfica?
Evaluación
Actividad: 1 Producto: Cuestionario. Puntaje:
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal Describe los conocimientos
previos que posee de ecuaciones lineales.
Explica un método de solución de ecuaciones lineales.
Analiza y modela situaciones empleando ecuaciones lineales.
Grafica ecuaciones lineales.
Muestra disposición al realizar la actividad.
Actividad: 1 (continuación)
Desarrollo
Interpretación gráfica.
En el bloque anterior conociste las ecuaciones lineales, solución de problemas y su representación gráfica. Existen problemas más estructurados que implican varias situaciones y se requiere utilizar más de una ecuación. Con el siguiente problema se iniciará el desarrollo de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2).
Ejemplo 1.
Teresa invirtió parte de su dinero al 9% y el resto al 14% y le arrojó un ingreso total de $2765. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totalizado $3215.
Para encontrar la cantidad de dinero que había en cada una de las inversiones, primero se debe encontrar las ecuaciones que modelan las dos situaciones.
La asignación de variables es:
x
: Primera cantidad de dinero invertiday: Segunda cantidad de dinero invertida
De la inversión original se deriva la ecuación y 2765 100
14 x 100
9 . Para eliminar los
denominadores se multiplica por 100 ambos miembros de la ecuación, quedando la ecuación:
500 , 276 y 14 x 9
De la inversión intercambiada se obtiene la ecuación y 3215 100
9 x 100
14 , y eliminando
los denominadores la ecuación se transforma en:
500 , 321 y 9 x 14
El sistema 2 x 2 que modela este problema involucra ambas ecuaciones y se simboliza de la siguiente manera:
500 , 321 y 9 x 14
5000 , 276 y 14 x 9
A este sistema también se le conoce como ecuaciones simultáneas, porque la solución a éste debe cumplirse para ambas.
También en la gráfica se refleja la simultaneidad debido a que se trazan las líneas en un mismo Plano Cartesiano. Utilizando cualquiera de los métodos de graficación para ecuaciones lineales que se abordaron en el bloque anterior (tabla, pendiente-ordenada en el origen, intersección de ejes), se tiene la siguiente gráfica.
Hipócrates de Quios (Hacia el 460 A C) Es el primero en redactar unos Elementos, es decir, un tratado sistemático de matemáticas.
Las líneas rectas se cortan en un punto el cual es parte de ambas, es decir, ese punto es el que satisface las dos ecuaciones, por lo que sería la solución al problema.
El punto encontrado es una pareja de coordenadas (x, y) que se ubica en el plano cartesiano.
En este caso no se pueden localizar los valores exactos. Sólo observando la gráfica, se alcanzaría una aproximación de éstos. Para encontrar la solución se requieren métodos algebraicos para obtener con exactitud la solución. Posteriormente se abordarán estos métodos.
x y
Actividad: 2
a)
0 7 y 2 x
0 7 y 3 x 2
b)
0 13 y 4 x 14
0 6 y 2 x 7
Resuelve los siguientes ejercicios.
.
x y
a) b)
x y
Actividad: 2 (continuación)
II. Analiza las siguientes gráficas y contesta lo que se te pide.
1. ¿En qué punto se cortan las rectas de la gráfica del inciso a)?
2. ¿En qué punto se cortan las rectas de la gráfica del inciso b)?
3. ¿Qué podrías decir de las soluciones de ambos sistemas?
4. ¿Cómo describirías la gráfica de un sistema 2x2 con una infinidad de soluciones? Traza la gráfica que describiste.
c)
0 8 y 2 x 6
0 4 y x 3
d)
0 4 y 4 x
Evaluación
Actividad: 2 Producto: Ejercicios y cuestionario. Puntaje: Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce la solución de un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2) mediante las gráficas de funciones lineales.
Resuelve sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando métodos gráficos.
Realiza gráficas de sistemas de 2 x 2.
Asume una actitud
constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta, al realizar la actividad.
Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente
x y
a)
x y
b)
x y
c)
x y
d)
Actividad: 3
Evaluación
Actividad: 2 Producto: Ejercicios de relacionar. Puntaje:
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica diferentes gráficas
de sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2.
Distingue las ecuaciones lineales 2 x 2 y
sus gráficas. Realiza la actividad con apertura y buena disposición.
Coevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente
Como te habrás dado cuenta, la gráfica revela el comportamiento de las ecuaciones, y en ocasiones, su solución.
Clasificación de sistemas.
Los sistemas se clasifican dependiendo del tipo de solución.
1. Solución única. Ocurre cuando se cortan las rectas en un punto, al sistema se le conoce como Consistente.
2. Solución nula. Ocurre cuando las rectas son paralelas, el sistema se denomina Inconsistente.
3. Solución múltiple. Ocurre cuando las dos rectas coinciden en cada uno de sus puntos, los cuales son una infinidad. Las rectas están sobrepuestas y al sistema se le llama Dependiente.
“El progreso y el perfeccionamiento de las matemáticas están íntimamente ligados a la prosperidad del
Estado.”
Napoleón I
Actividad: 3 (continuación)
( )
0 10 y x 4
0 2 y 4 x 3
( )
0 y x 3
0 y 2 x 5
( )
3 x 8 y 14
y 7 21 x 4
( )
2 3 y 4 1 x 4 3
0 2 y 3 1 x
Cierre
Actividad: 4
CLASIFICACIÓN
SISTEMAS Sistema Solución
Consistentes Única
Inconsistentes Nula
Dependientes Múltiple
II. Toma los 10 sistemas anteriores y completa la siguiente tabla considerando que los coeficientes del sistema 2 x 2 en general se expresan
0 0
2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x a
CLASIFICACIÓN DEL SISTEMA
SISTEMA COCIENTES
0 c y b x a
0 c y b x a
2 2 2
1 1 1
2 1
aa 2
1
bb 2
1
cc
Realiza lo que se te pide en cada sección de la actividad.
Actividad: 4 (continuación)
III. Compara los cocientes de los coeficientes de cada sistema y contesta las siguientes preguntas.
Evaluación
Actividad: 4 Producto: Complementación de tablas. Puntaje:
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica los sistemas de
ecuaciones lineales 2 x 2. Clasifica el tipo de sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 y su solución.
Deduce la clasificación de sistema con base en sus coeficientes.
Muestra disposición para el análisis y clasificación de los sistemas.
Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente
Actividad: 4 (continuación)
b) ¿Cómo son los cocientes de los sistemas inconsistentes?
c) ¿Cómo son los cocientes de los sistemas consistentes?
d) Escribe las condiciones que deben cumplir los cocientes de los coeficientes del sistema en general,
0 c y b x a
0 c y b x a
2 2 2
1 1
1 , para determinar cuándo es consistente (solución única), inconsistente (solución
x y
Actividad: 1
La solución al sistema
0 13 y x 5
0 7 y 2
x se observa en la gráfica.
a) ¿Cuál es el valor de “x” y “y”, según la gráfica?
b) Sustituye los valores obtenidos en las ecuaciones para verificar que satisface el sistema y anota en este espacio las operaciones.
c) Multiplica la segunda ecuación por dos y súmale la primera ecuación, anota las operaciones en este espacio.
Analiza la siguiente gráfica y contesta lo que se te pide.
Secuencia didáctica 2.
Métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones
con dos incógnitas.
Evaluación
Actividad: 1 Producto: Cuestionario. Puntaje:
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica los sistemas de
ecuaciones lineales 2 x 2.
Obtiene la solución de un sistema 2 x 2 mediante la gráfica.
Deduce la clasificación de sistema con
Muestra disposición y apertura al realizar la actividad.
Actividad: 1 (continuación)
e) Despeja el resultado obtenido del inciso anterior.
Los métodos de solución algebraicos y numéricos, son procedimientos que ayudan a resolver con exactitud un sistema de ecuaciones, es decir, es encontrar una pareja de valores que al sustituirlos en cualquiera de las ecuaciones del sistema éstas se satisfacen.
Los métodos que se desarrollarán en este bloque son los métodos algebraicos de Reducción y el método numérico de Determinantes.
En los métodos algebraicos, como su nombre lo indica, se utilizan procesos algebraicos, como son: la suma o resta de polinomios, simplificación de términos semejantes, despejes de variables, así como la sustitución de las mismas, entre otros.
El método numérico de Determinantes requiere cambiar el sistema y expresarlo únicamente con números, el cual se soluciona con la ayuda de la Aritmética.
Métodos de Reducción.
Éstos consisten en simplificar el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a una ecuación con una incógnita, de tal manera, que se pueda despejar y encontrar el valor de una de ellas para posteriormente sustituirlo y encontrar el valor restante.
Los métodos de reducción son: Suma o Resta, Sustitución e Igualación.
Suma o resta.
Como se mostró en la secuencia anterior, la gráfica de un sistema no siempre es suficiente para encontrar su solución, por ello, se requiere de utilizar métodos que permitan encontrarla con exactitud, a continuación, con los siguientes ejemplos se representará el método de suma o resta.
Ejemplo 1.
Un salón de belleza cobra $630 por hacer reflejos y $450 por maquillaje. En el mes de Agosto registró haber efectuado 107 servicios entre reflejos y maquillaje, que representaron un ingreso de $61110. ¿Cuántos servicios de cada uno llevó a cabo?
Para resolverlo primero se requiere expresar el sistema de ecuaciones que lo representa.
Asignación de variables.
x
: Número de reflejos.y: Número de maquillajes.
61110 y
450 x 630
107 y x
El método de suma o resta consiste en convertir el sistema de 2 x 2, en una ecuación lineal con una incógnita que puedas despejar, se logra mediante los siguientes pasos:
El éxito no se logra con la suerte, es el resultado de un esfuerzo constante.
A continuación se etiquetarán las ecuaciones del sistema para ayudar en la explicación del método.
) B ( 61110 y
450 x 630
) A ( 107 y x
1. Se elige una de las variables para eliminarla, en este caso se elegirá la variable “y” (cualquiera que elijas te llevará a la misma solución).
2. Para eliminar “y” se necesita tener el mismo coeficiente con signo contrario, para poder restarse, para ello se multiplica la ecuación A por
450
, quedando de la siguiente forma:61110 y
450 x 630
48150 y
450 x 450
3. Se efectúa la reducción de términos.
12960 x
180
61110 y
450 x 630
48150 y
450 x 450
Quedando así una ecuación con una incógnita.
4. Se despeja la variable para encontrar su valor.
72 x
180 12960 x
5. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones originales, para así obtener una ecuación de una incógnita y poder despejarla. En este caso se elige la ecuación A, porque es más sencilla de sustituirla.
x y 107 107 y 72
y 107 72 y 35
El salón en el mes de Agosto realizó 72 reflejos y 35 maquillajes.
Es recomendable sustituir los valores encontrados en ambas ecuaciones para comprobar que la solución es correcta.
La gráfica de este sistema es la siguiente:
Ejemplo 2.
Resolver el sistema
0 33 v 2 u 5 0 2 v 3 u 2
por el método de suma o resta.
1. Se etiquetan las ecuaciones.
) B ( 0 33 v 2 u 5 ) A ( 0 2 v 3 u 2
2. Se elige la variable u para eliminar, así que se requiere que ambas ecuaciones tengan el mismo coeficiente con signo contrario, para ello se multiplica la ecuación A por – 5 y la ecuación B por 2, como se muestra a continuación. 0 66 v 4 u 10 0 10 v 15 u 10
3. Ahora se lleva a cabo la reducción de términos semejantes.
0 76 v 19 0 66 v 4 u 10 0 10 v 15 u 10
-30 -20 -10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
-40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 x y Recomendación.
Para que se facilite la aplicación de cualquier
método algebraico, elimina paréntesis y denominadores de los
4. Se despeja la ecuación.
4 v
19 76 v
76 v 19
5. Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones originales, en esta ocasión se sustituirá en A y posteriormente se despejará la ecuación obtenida.
5 u
2 10 u
10 u 2
0 10 u 2
0 2 12 u 2
0 2 4 3 u 2
0 2 v 3 u 2
6. La solución es
u
5
yv
4
Sitios Web recomendados:
En el siguiente sitio podrás bajar el graficador Winplot, el cual te ayudará a graficar los sistemas de ecuaciones y así comprobar las soluciones de éstos.
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
Hipatia (370 – 415) Filósofa, astrónoma y matemática, contribuyó a la invención de aparatos como el
aerómetro y construyó el astrolabio. Defensora del heliocentrismo (teoría que defiende que la tierra gira
Actividad: 2
1.
22 y 4 x 2
7 y x
2.
3 y 5 x 6
39 y 5 x 8
Evaluación
Actividad: 2 Producto: Ejercicios. Puntaje:
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce la solución de un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2), mediante el método de suma o resta.
Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 x 2
empleando el método de suma o resta. Asume una actitud de apertura que favorece la solución de los ejercicios.
Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y
Actividad: 2 (continuación)
3.
5 y 2 x 7
1 y 8 x 9
4.
9 y 4 5 x 3 4
